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几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究硕士学位论文 中文摘要 本文主要利用非线性泛函分析中的理论和方法以及锥上不动点理论研究了 几类常微分方程组边值问题解的情况。根据内容本文共分为以下三章： 第一章主要介绍研究目的及意义、国内外研究概况和本文的研究内容及取 得的结果，以及相应的一些预备知识。 第二章主要讨论了三类三维二阶常微分方程组边值问题解的存在性。 先利用k r a s n o n e l s k i i s 不动点定理讨论了下列边值问题在某些条件下正解的存 在性： 叫= 口( x ，w ) f ( u ，v ) - v = 6 似w ) g ( 地v ) - w = h ( x , u ，v 1 “( o ) = u o ) = v ( o ) = v ( 1 ) = 以o ) = w ( 1 ) = 0 然后研究了下列边值问题在某些条件下其正解的存在性和个数问题： 矿= f ( x , u ，v ，w 1 - v = g ( x , u ，w 1 - w = h ( x ，1 甜( 0 ) = “( 1 ) = v ( o ) = v ( 1 ) = w ( o ) = w ( 1 ) = 0 最后利用s c h a u d e r 不动点定理研究了下列边值问题在某些条件下解的存在性： 川。= ，似甜，v , w ) 矿= g ( x ，u ，v ，m ，) - w = h ( x ，砧，v 1 “( 0 ) = 材( 1 ) = v ( o ) = v ( 1 ) = w ( o ) = w ( 1 ) = 0 第三章主要讨论了下列两个常微分方程边值问题： i - l u = f ( x ，“)i 也v = g ( x ，v ) 置 ) = a t u ( o ) + a 2 p ( o ) u ( o ) = 0 蜀( v ) = a t v ( o ) + p ( o ) 1 ，( o ) = 0 【岛 ) = 届“( 1 ) + a p ( 1 ) u ( 1 ) = 0【恐( v ) = 层v ( 1 ) + f 1 2 p ( 1 ) v ( 1 ) = 0 在一定条件下存在相同的唯一解，并推广了常微分方程解的存在唯一性定理。 关键词：常微分方程组，边值问题，锥，不动点，正解 几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究 硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y st h et h e o r ya n dt h em e t h o do fn o n l i n e a rf u n c t i o n a l a n a l y s i sa n df i x e dp o i n tt h e o r y0 1 1c o n e st oi n v e s t i g a t et h es i t u a t i o no fs o l u t i o n so f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fs e v e r a lk i n d so fs y s t e mo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s t h et h e s i si sc o m p o s e do f t h ef o l l o w i n gc h a p t e r s ： c h a p t e r1m a i n l yi n t r o d u c e st h ea i ma n ds i g n i f i c a n c eo f t h er e s e a l c h , t h e g e n e r a ls i t u a t i o no f d o m e s t i ca n df o r e i g nr e s e a r c h , t h er e s e a r c hc o n t e n ta n ds o m e r e s u l t so f t h i sa r t i c l e , 弱w e l la ss o m ep r e p a r a o r yk n o w l e d g e c h a p t e r2m a i n l yd i s c u s s e st h r e ek i n d so f t h ee x i s t e n c eo f s o l u t i o n so f b o u n d a r y v a l u ep r o b l e m sf o rs y s t e mo ft h r e e - d i m e n s i o n a ls e c o n do r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f i r s t l y , w ed i s c u s st h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m su n d e rs o m ec o n d i t i o n sb yu s i n gk r a s n o n e l s k i i f i x e dp o i n tt h e o r e m f _ 矿= a ( x ，w ) ( u ，v ) i - v = 6 ，w ) g ( u ，v ) i 一= | j 2 ( 五虬v ) 【“( o ) = u 0 ) = v ( o ) = v ( 1 ) = “o ) = 以1 ) = 0 t h e nw es t u d yt h ee x i s t e n c ea n dt h eq u a n t i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m su n d e rc e r t a i nc o n d i t i o n s f 叫= ，( x ，地v ，w ) i - v = g ( 工，地w ) | - 矿= _ i l ( 训) 【“( o ) = “( 1 ) = k 0 ) = k 1 ) = w ( 0 ) = w ( 1 ) = 0 f i n a l l yw es t u d yt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s u n d e rt h ec e r t a i nc o n d i t i o n sw i t ht h es c h a n d e rf i x e dd 0 i n tt h e o r e m 几类二阶常徽分方程组边值问题解的存在性研究硕士学位论文 一矿= ，( x ，“，v ，w ) 一v = g ( x ，”，v ，w 1 - 1 4 = ( x ，虬v ) “( o ) = “( 1 ) = 1 ，( o ) = v ( 1 ) = w ( o ) = w ( 1 ) = 0 c h a p t e r3m a i n l yd i s c u s s e st h et w ob o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fo r d i n a r y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n f l u = ，( x ，u )f - l v = g ( x ，v ) r 1 ) = “( o ) + 啦p ( o ( o ) = 0 墨扣) = c e l v ( o ) + a 2 p ( o ) v ( o ) = 0 【垦 ) = p l u ( 1 ) + f 1 2 p ( 1 ) u ( 1 ) = 0【是( v ) = 屈v ( 1 ) + a p ( 1 ) v 0 ) ；o h e r ew eo b t a i nt h a tt h e yh a v et h e 鬣3 1 n eu n i q u es o l u t i o nu n d e rc e n a i nc o n d i t i o n s ，a n d p r o m o t et h e 既i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mo fs o l u t i o no fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n k e yw o r d ：s y s t e mo fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ， c o n e s ，f i x e dp o i n ：c p o s i t i v es o l u t i o n m 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以。求实、创新的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果 3 ，本论文中除引文外，所有实验，数据和有关材料均是真实的 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果 5 ，其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意 作者签名：毖垒塾 日期： 丝卑： 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京信息工程大学有关保留、使用学位论文的规 定，学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论 文的电子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索；有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密 的学位论文在解密后适用本规定 作者签名：盥缒 日 期：垒翌：坐 几类二阶常徽分方程组边值问题解的存在性研究硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究目的及意义 微分方程是近代数学一个十分重要的分支。通常，我们可以根据实际问题 建立数学模型，许多情况下是建立反映实际问题的微分方程，然后求解这个微 分方程，用所得的数学结果来解释问题，以便达到解决实际问题的目的，可以 说微分方程在各领域都具有广泛的应用。关于微分方程解的存在性问题研究一 直是人们关注的问题，并取得了丰富的研究成果【”。特别是二阶常微分方程 边值问题一直是微分方程研究领域中的一个重要研究课题，它在物理学、天文 学、生物学及社会学等研究领域内有着广泛的应用背景和重要的理论指导意义。 有关这一问题的研究早在一百多年前的s t u r m l i o u v i l l e 时期就已经开始了，至 今，在问题研究的深度、广度以及研究方法和工具方面都有很大的进展。另外， 随着科学技术的发展，在物理学、化学、数学、生物学，医学、经济学、工程 学、控制论等领域出现了各种各样的非线性常微分方程和方程组问题，由于其 广泛的应用背景和深刻的数学意义，这些非线性常微分方程和方程组问题引起 了许多学者的密切关注。 作为非线性算子研究的动力和源泉，以及非线性算子与工程技术问题的切 入口，非线性微分方程的研究在国内外始终是一个热点问题。特别是b a n a c h 空 间中的微分方程理论把常微分方程理论和泛函分析理论结合起来，利用泛函分 析方法研究b a n a c h 空间中常微分方程。其中，非线性s t u r m - l i o u v i l l e 边值问题 的研究是一个具有持久生命力的课题，近一段时期以来，非线性s t u r m l i o u v i l l e 边值问题的正解的存在性受到广泛的关注。许多文献在非线性项为非负的情况 下，研究了s t u r m - l i o u v i u e 边值问题正解的存在性，关于非线性常微分方程边值 问题，已有十分丰富的研究成果 l 。”。近年来，锥压缩和锥拉伸不动点定理被有 效地应用于二阶常微分方程两点边值问题正解的存在性问题，相比之下，对于 二阶非线性常微分方程组边值问题，相应的研究要少得多 1 s l 。 1 2 国内外研究概况 在过去的几十年里，许多数学家都在研究以下形式方程的边值问题： 几类二阶常徽分方程组边值问题解的存在性研究硕士学位论文 f l u = f ( x ，“) 加q 1 “= 0 o n 勰 其中l u = 一嘞( x ) + 岛( x ) 甜。，q 为彤中具有光滑边界的有界域。 这方面一系列的研究成果加深了我们对边值问题的理解，详细见文献 【l 】- 5 】。 1 9 8 3 年，p i c a r d 运用迭代法讨论非线性二阶常微分方程两点边值问题解的 存在性和唯一性之后，常微分方程问题的研究得到蓬勃发展。 1 9 8 8 年j a g a t i c a ，v l a d i m i ro l i k e r 和p a u lw a l t m a n 6 研究了如下的边值问 题： 陟。+ o ，y ) = o j g y ( o ) - p y ( o ) = 0 【r y c l ) + , ，y ( 1 ) = o 并给出了一个新的锥上不动点定理。 随后又有很多文章给函数厂作了一些小小的变动。如1 9 9 4 年l h e r b e 和 i - i a iy a hw a n g 嘲就讨论了这样一个二阶边值闯题： f + 口( f ) ，( “) = 0 ，0 f 1 a u ( o ) 一励( o ) = 0 【g u ( 1 ) + 8 u ( 1 ) = o 将函数厂g ) 换成口( ，) ，( “) 的形式，利用锥上不动点理论得出了新的正解存在性 结论。 近凡年，国内对边值问题的讨论基本上是将上述方程中的函数厂或边值条 件做一些改动。 如：2 0 0 0 年王宏洲、邓立虎、葛渭高1 9 运用了锥上不动点理论和渐进逼近 方法讨论了以下形式的二阶微分方程边值问题正解的存在性： fx ( ) + 厂( r ，x q ) ，x ( f ) ) = o ，0 ， l l x ( o ) - - - - x ( 1 ) = o 2 几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究 硕士学位论文 得出了其正解存在性的较好的结果。 另外，对于上述边值问题，很多的研究都是在函数厂非负的情况下进行的。 如：2 0 0 1 年程建纲1 在不对厂作出非负假设和单调性假设的条件下研究了 以下边值问题： i y + 留( f 矿( ) ，) = o ，fe ( o ，1 ) q j ，( o ) - a ：y ( o ) = 0 【6 1 y ( 1 ) + 6 2 ( 1 ) = 0 在研究中使用了将包括延拓与截断、边值问题的估计、极值原理、拓扑度理论 等多种方法结合的新方法来考虑正解的存在性，给出了正解存在的充分必要条 件。 2 0 0 1 年，孙伟平和葛渭高1 2 1 运用锥上不动点理论研究了以下边值问题： j ( 蟊( “) ) + 口o ) 厂( “) = 0 ，0 o 和g ( o ，o ) 0 时得出该边值问题有多重解的结果。 1 9 9 6 年，马如云n “6 】也对上述方程组边值问题进行了研究，随后又将条件 改为，( 0 ，0 ) o 和g ( o ，o ) 0 ，且通过举例说明得到的新结论。 2 0 0 4 年，杨志林和孙经先m 1 又对上述方程组中的函数做了修改，研究了一 几类二阶常徽分方程组边值问题解的存在性研究硕士学位论文 类特殊的二维二阶非线性常微分方程组边值问题： - - u = f ( x ，v ) 一v 。= g ( x ，“) ( o ) = “( 1 ) = 0 k o ) = v ( 1 ) = 0 利用拓扑方法讨论其正解的存在性和个数问题。 随后，江波、夏大峰、周伟灿 4 6 1 将上述方程组中函数厂的变量增加一维， 化为下列边值问题： - - u 。= f ( x , u ，v ) 一1 ，= g ( x ，“) “( o ) = ( 1 ) = 0 v ( o ) ；v ( 1 ) = 0 用同样的方法证明了该边值问题正解的存在性，讨论了解的个数。 1 3 本文研究方法及研究结果 近几年来，对一维、二维二阶常微分方程组边值问题正解的研究多是利用 g r e e n 函数构造与方程等价的积分算子方程来讨论正解的存在性，有时也需要用 到拓扑的方法和锥上不动点理论对正解的存在性进行讨论。本文主要研究了几 类三维二阶常微分方程组边值问题，其方法是：把微分方程组首先转换为积分 方程组，进而转化为算子方程，利用拓扑度理论、方法和锥上不动点理论讨论 解的存在性。另外，本文还考虑了两个常微分方程边值问题存在唯一共同解的 条件。 在本文第二章中，首先利用k r a s n o n e l s k i i s 不动点定理讨论了下列三维二 阶常微分方程组边值问题： - - u = a ( x ，w ) f ( u ，v ) - v = 6 慨w ) g ( u ，v ) - w = h ( x ，u ，订 ”( o ) = “( 1 ) = v ( o ) = v ( 1 ) = ，叹o ) ；w ( 1 ) = 0 在某些条件下正解的存在性。 然后，用锥理论和拓扑度的方法讨论了下列边值问题： 4 几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究 硕士学位论文 叫。= f ( x , u ，v ，w 1 - v ；g ( x ，u ，w 1 - w = h ( x ，“1 “( o ) = 甜( 1 ) = y ( o ) = v ( 1 ) = ( o ) = h ，( 1 ) = 0 在某些条件下其正解的存在性。 最后，对三维常微分方程组边值问题： - - u = f ( x ，“，v ，w ) 一v = g ( x ，“，v ，们 一矿= h ( x ，“，v ) ”( o ) = u o ) = v ( o ) = v ( 1 ) = w ( o ) = w o ) = 0 利用s c h a u d c r 不动点定理得出其在某些条件下解的存在性。 另外，在常微分方程解的存在唯一性定理中局部l i p s c h i t z 条件是关键，它 保证了解的唯一性。受局部l i p s c h i t z 条件的启发，本文在第三章中又讨论了两 个常微分方程边值问题： f 工”= f ( x ，“) 蜀 ) = q “( o ) + a 2 p ( o ) u ( o ) = 0 ， 【足 ) = 届甜( 1 ) + p 2 p ( 1 ) u ( 1 ) = 0 i 工v = g ( x ，v ) 与 墨( p ) = c t l v ( o ) + a ：p ( o ) v ( o ) = 0 【马( v ) = 届v ( 1 ) + p 2 p ( 1 ) v ( 1 ) = 0 在一定的条件下存在相同的唯一解，并从理论上推广了常微分方程解的存在唯 一性定理。 1 4 预备知识 下面就本文要用到的一些概念和结果介绍如下： 定义1 1 4 2 1 设e 是一个实b a n a c h 空间。如果p 是e 中的某非空凸闭集，且满 足条件： ( a ) x e p 五2 0 a x p ； 5 几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究硕士学位论文 ( b ) 工p ，- - x e p j x = 0 ( 占表不e 甲的零兀) a 则称p 是e 中的一个锥。 定义1 2 4 2 1 设置，岛是两个b a n a c h 空间，d c 五。设算子：a ：d 甘e 2 。若4 将d 中任何有界集s 映成易中的列紧集a ( s ) ( 即4 ) 是相对紧集，亦即它的 闭包4 ) 是如中的紧集) ，则称a 是映d 入易中的紧算子。 定义1 3 4 2 1 若算子：a ：d 呻e z 是连续的而且又是紧的，则称4 是映d 入最中 的全连续算子。 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中的正锥，对p o ，记彤= e i i i i o ，甜a 哆。n p ， 则必有f ( 4 ，易n p ，p ) = o 引理1 2 d i 设4 ：瓦n 户一p 为全连续，在a en ，上没有不动点。若 | i a i i i i i i ，a r i p ， 则必有f ( 一，n p ，p ) = 1 a 引理1 3 州设爿：e n p - e p 为全连续，在a en p 上没有不动点。存在线性映 射三：，一尸，e 户、 口 ，使得 l u o 且4 甜“，v u a 吃n p ， 贝q 必有f ( 彳，易n p ，p ) = o 。 引理1 4 ( “3 1 ( k r a s n o n e l s k i i s 锥拉伸锥压缩不动点定理) 设b 是b a n a c h 空间， kc b 是b 中的锥，q 。及f 2 2 是b 中的开子集，护q 1 且- 1cq 2 ， 6 几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究硕士学位论文 t ：k n ( _ 2 、q ，) 一k 是全连续算子。如果以下两条件之一成立： 1 ) 俐i _ o 0 h e c ( o ，1 】x 0 ，佃) 【o ，佃) ，【0 ，悃) ) ，且当u + v 0 时有h ( x ，t , l ，v ) 0 。 2 2 1 预备知识与引理 令k ( x ，y ) 是二阶常微分方程“( x ) = o 满足边值条件甜( o ) = u o ) = o 的g r e e n 函数”1 ： 易见 坼川= 膝冀：篡兰 七( 墨j ，) k ( y ，力，0 x , y 1 厂，g ：【o ，- o ) x o ，+ ) 一【o ，+ ) 为连续函数，并记 ( 2 2 2 ) 厂* ：l i m 盟盟，厂o ；l 鳃地盟，g * ：l i m 丛业，g o ：烛巫业 p 。pp “pp 。“pp p 其中p = 以2 + v 2 。 设石= c o ，1 】，1 1 1 1 = ，m i 【a o j l x l 甜( x ) i ，此时，x 为b a n a c h 空间a 记y = z x ， 对任意的( 虬v ) y ，v ) l i = m a ) 【i “1 ，l l ，则】，也为b a n a c h 空间。令 p = 材x k ( x ) o ，善 o ，1 】) ，e = p x p 由扛( 工) 出 o 与p ( 出 o 知：存在口e ( o ，争，使得 0 o 一 9 几类二阶常徽分方程组边值问题解的存在性研究硕士学位论文 i - - a a , ( x ) d x 0 ， l - - u b l ( x ) d x 0 定义 k = “x 忙) o ，勰j u ( 工) 口 c p 显见，x 是x 中的正锥，k k 是】，中的锥。 记q ，= f l u ，v ) r l l l ( u ，v ) 0 1 ，使得对任意的( x ，w ) 【0 ，1 1 0 ，唧) ，都有吒( x ) s m ， 6 2 ( x ) s m 。因为蕾= g 。= o ，那么对占= 击，存在， o ，当p = 丽2 ， 时，都有 伸，v ) 专，础，v ) 0 ，使得x 寸v ( u ，力b ( r ) ，都有： ，( “，v ) 5 n ，g ( u ，v ) s n 。 取尺= m ( 2 + ，) ，x 盱v ( u ，谚b ( 2 r ) = ( “，v ) k o ，v o ，“2 + v 2s 2 月 ， 当“2 + v 2 ，时， 届而而而呵丽瓣茎压心 r 2 r ( 2 “2 ) 当， “2 + v 2 2 r 时， 几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究 硕士学位论文 4 。a 。2 。( x 。) 。f 。( 。u 。, 。v ) 。2 。+ 。 。b 。2 。( 。x 。) 。g 。( u 。, 。v 。) 2 p 2 r ( 2 2 7 ) 由于七( 弘y ) = j ，( 1 一南i i ，y “o ，1 】，所以对v ( 甜，v ) ( k x 足) n a q r ，那么 r 水，v ) 忙一删帅s 撕而而矿s 压一删帅i i 2 r ， 于是由( 2 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 式，有 五( 甜，v ) ( x ) = 弘力口f y ，p ( 弘t ) h ( t ，“( f ) ，v ( r ) ) 积) 厂 ( 力，v o ) ) 砂 o0 s k ( y ， v ( 力) 砂 “0 ，) ，v ( y ) ) 砂i i y ) a 2 ( y ) f ( u ( y ) 4s a 2 ( y ) f ( 0 0 r r s p ( y ， ，v ( 力) 砂 “0 ，) ，v ( y ) ) 砂i r r 一 即：忆( ) l r = v ) l l ，v ( u ，v ) ( 置k ) n 一 同理有：0 正( “，v ) 6 0 ( 2 8 ，) ， 当o h p a 对v ( u ，v ) ( k x k ) n a q j ，那么 x u 2 ( x ) + v ：( x ) 厢s 压麟i i ) h a 2 眦x 舡l | | l v 胁f k o , ，y ) a ，0 ) - - h a 21 1 ( “，v ) 8 f | j o ，y ) q0 ，) 咖 取凹2 葛- 生一，则对v ( “，叻e ( x 。足) n 孢j ，都有 口2 k ( y ，y ) q ( ) ，) 砂 五( “，v ) ( 功 i i ( 甜，v ) | | ，j 口，l - a 所以对v ，v ) e ( k x k ) f j s f ) ，都有：j i t , ( u ，训 ( “，v ) j | a 同理对v v ) ( k x k ) n o 她，都有：恢( “，v ) l l l l ( u ，v ) 8 。 故对任意的( “，v ) ( k x k ) n 铀，都有忙( v ) l | 忖，v ) 由引理1 4 ，即k r a s n o n e l s k i i s 锥拉伸锥压缩不动点定理知，r 在 ( k x 足) n ( 西。、q 。) 中至少有一个不动点，即边值问题( 2 2 1 ) 至少有一个正解。 如果条件2 ) 成立，即f 。= 9 4 = 4 0 0 ，f o = g o = 0 。 e a r ”= g 。= 佃，对任意的日 0 ，存在， 0 ，当p = “2 + v 2 ，时，都有 厂( “，d 蜀d ，g ( u ，v ) 助， 取r ：2 r ，对v ( 地v ) e ( x 足) n 恐r ，当x 【口，1 一口】时， 1 2 厨雨雨2 口撕而秆压一t l ) ：厄鼽v ) h 所以对v x 陋，1 - a 】，都有 11 五( “，v ) ( 力= p ( x ，) ，( j ，p ( 弘f ) ( r ，“( r ) ，v ( f ) ) 西) ，( 甜抄) ，v ) ) 咖 00 h l j 七阮y ) 口( 只p ( ”t ) h ( t ，“( f ) ，v o ) ) 出) 厂( “( y ) ，v ( y ) ) d y 4 0 1 4 几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究 硕士学位论文 l - u l q 一 口f 七( y ，y ) a a ( y ) f ( u ( y ) ，v ( y ) ) d y h afk ( y ，y ) q ( y ) “2 ( y ) + v 2 ( y ) 咖 l d1 - o _ 4 2 h a 2 m a x l l 圳帅f 七o ，y ) a 。( v ) d y = 殖口2 忆v ) k ( y ，y ) a a y ) d y 口 口 1 取日1 = 彳l 一，则对v ( “，v ) ( 芷x 芷) n 讹月， 口2f c o , ，y ) a i o , ) d y 三 都有 五( ，v ) ( 石) i l ( 甜，v ) 0 ，x e a ，1 一口】 触a x c v ( u ，v ) e ( k x k ) n t g t 2 。，都有：忱( ，o l i l i e u ，v ) i i i 同理x c v ( u ，v ) ( k 足) n a q 。，都有：l 般 ，v ) 0 l i e u ，v ) 。 敢对任意的 ，v ) e ( k k ) o t g q 。，都有肛( “，v ) 8 忖， 另外，由，o = g o = o ，对任意的s 0 ，存在万 0 ，当0 户= 也2 + v 2 2 万时， 有 ，( 轧v ) g , o ，g ( u ，v ) 印 那么，对v ( u ，) ( k x k ) n 施5 ，有 厨丽瓣压一帆i ii i v | | = q ( 酬i 2 6 于是 五( “，v ) ( 曲= p ( x ，y ) 口( ) ，p ( y ，t ) h ( t ，“o ) ，v ( f ) ) 毋) 厂( ) ，v o ) ) 方 p ，y ) 口，p ( 弘f ) 厅o ，”( ，) ，v ( r ) ) 田) 厂 o ) ，v ( y ) ) d y 0o 1 p ( 弘y ) 啦( y ) 厂( 甜( y ) ，v 0 ，) ) 砂s 占k ( j ，) ，) 啦o ) = 忑万i 丽 几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究 硕士学位论文 1l s 玉m a x 船| i ，| | v 眵p ，) ，) 吃( 力方= 玉胁，v ) 0 p ( y ，y ) a ：( y ) d y 00 取f ：1 一，则对v ( “，v ) ( j | ：x k ) n 0 f 2 口， 2 p y ) 啦o ) 砂 0 都有 i 阢( ”，v ) l i 慨v ) 0 同理，对v ( “，v ) ( k x k ) n o 讹。，也有：忱( ，v ) 0 o ，记 易= p x l l l u l l 厅2 ，关于( 马v ，w ) 。，1 】r + r + 一致成立。 特别地，1 1 墨警z ：q ! 等生堕= + ，关于( 而v w ) o 1 x r * x r + - - 致成立。 ( 皿) 设i i n l 蛐p 鱼兰! 兰盟：o ，关于( 善，v ，w ) 仨【o ，1 】。【o ，1 】【o ，1 】一致成立。 _ u 1一一一一 ( 风) 裢帅 l ，使得粤掣 佃， 关于( x ，v ，w ) o ，1 】r + x r + 一致成立a t 7 几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究 硕士学位论文 ( 皿) 存在o o ，使得 厂b ，v ，w ) 鲫- b ，v g ，v ，w ) e 【o ，1 x r + x r + x r + ， 于是，对v u p ，有 llll a u o ) = 弘 ，y ) y ( y , u ( y ) ，弘( y ，j ) g o ，“o ) ，弘o ，t ) h f f , u p ) ) 出) 凼，p ( y ，t ) h ( t , u ) ) 函) 砂 1l p ( x ，y x a u ( v ) - b ) a y 口p ( 毛) ，l v ) a y b 0 0 因为，s i n l r x 是线性积分算子艿的对应于特征值石2 的特征函数， 1 所以s i n 册= 石2 p o ，y ) s i n r t y d y ， 令材= p p 卜= 血+ 五s i n 碱五o ) ，对于v “c m p ( x ) s i n 万x 西r = ( 么甜( 力+ a s i n ，r x ) s i n ：r x d x 111 i a ( x ) s i n n x d x j ( 口f k ( x , y ) u ( y ) d y 一6 ) s i n n - x d x 1 9 几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究 硕士学位论文 =口ikct删咖injrxdxdy06 卜融= 参如s i n 石础一警 卸j 弘( 训m ( 咖 - 6 舾万础= 参p ( 小曲础一詈 o oo? 从而有s m 融s 誊， 所以，由m 的定义及引理2 3 1 知m 有界。 于是存在充分大的g 0 ，使得 u ( x ) a u ( x ) + ；l ，s i n # x , v u a f l p ，五0 ， 由引理1 1 司得， j ( 爿，尾c i p ，p ) = o 。 再由( 马) ，因为l i m 。叩垦考竽丝：o 关于( x ，v ，w ) 【o ，1 】。【o 1 】。【o ，1 】一致成 - + 旷 v 立，取f ：妻，则j j ( o ，1 ) ，使得 fg ，w ) 知，v e ，v ，w ) e 【o ，l 】【o ，j 】【o ，万】 o ，万】 则对v “磊n p ，有 ( 郴圭b y ) u o , ) a ys 扣， 所以忙“忙昙圳 i t “1 1 ，笳，n ，其中万充分小。 由引理1 2 可得， f ( 彳，岛o e , e ) = l 所以 f ( 爿，( 岛、岛) n p ，户) ；j ( a ，岛n ，p ) 一f ( 4 ，岛n p ，尸) = 一1 ， 所以，算子4 在( 吃、瓦) f l p 内至少有一个不动点，于是边值问题( 2 3 1 ) 至少 有一个正解。 定理2 3 2 的证明若( 乜) 成立，贝存在正常数矾，使得 卫星三竺堕堕坌查堡垒望堕塑璧堑箜堡垄堡堡l 一 堡圭兰堡堡塞 厂e ，p ，w ) 觎+ ，v g 冉，v ，w ) ( o ，1 】x r + x r + r + ， 于是，对v ”e p ，由o s 七( x ，j ，) l ，有 砌2 。，_ y ，。，s 垮。，“油。，泌粤f y , t ) h ( t , u ( t ) 渺渺 鲰七瓴m 方十s 酬即卜 又因为0 g 时，有 口m + 扣i i ， 从而得恤训 肛0 ，a n p ， 由引理1 , 2 可得 f ( 彳，n p ，p ) = l 。 再若( 也) 成立，则存在常数口万2 和充分小1 7 ( 0 o 和相应的线性映射厶：p _ p ，使得 a u _ l t u ，v u a 8 口n p ，且三i l d o ( 其中u o c x ) = s i n ，r x p 口) ) ， 由引理1 3 可得， f ( 爿，磊n p ，e ) - - o a 所以 i ( a ，( 岛、磊) n 尸，) = f ( 4 ，吃np ，p ) 一f ( 4 ，岛n p ，? ) - - t a 所以，g - - y a 在( 吃、磊) n p 内至少有一个不动点，于是边值问题( 2 3 1 ) 至少 有一个正解。 几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究硕士学位论文 2 4 第三类三维二阶常微分方程组边值问题解的存在性 在本节我们主要利用s c h a u d e r 不动点定理研究了下列形式的二阶常微分方 程组边值问题： i 一矿= f ( x ，u ，v ，w ) 叫：g ( 训，_ 川 ( 2 4 1 ) j 一矿= h ( x , u ，y ) l ”( o ) = “( 1 ) = v ( o ) = v 0 ) = w ( o ) = w o ) = 0 在一定的条件下解的存在性问题。 中，g e c ( 【o ，1 】r r r ，r ) ，h e c ( o ，l 】r r ，r ) ，r = ( - - ，+ ) 。 显然， ，v ，w ) 为边值问题( 2 4 1 ) 的解等价于眠v ，w ) 为下列积分方程组： “( x ) - - p o ，y ) f ( y ，“，v ，w ( y ) ) d y o i v ) = p ( x ，y ) g ( y ，“) ，v ( y ) ，w ( y ) ) 方 0 l 圳0 ) = 弘o ，y ) h o , , u ( ) ，) ，v ( y ) ) 方 的解。 积分方程组( 2 4 2 ) 又等价于下列积分方程组： ( 2 4 2 ) i p ( y ，s ) h ( s ，砧o ) 心) ) 西冲 。 ( 2 4 3 ) 1 。 弘( y ，j ) 愚( 叫( s ) ，v o ) ) d s ) d y 0 其中k ( x ，y ) 为微分方程“。o ) = 0 满足边值条件“( 0 ) = u ( 1 ) = 0 的g r e e n 函数弭】： 。，、l y ( 1 - x ) ，0 ys z 1 ； 七 ，y ) 2 1 z ( 1 一y ) o s 工s ys 1 于是，常微分方程组边值问题( 2 4 1 ) 解的存在性问题就转化为积分方程组 ( 2 4 3 ) 解的存在性问题。令 e = c 0 ，l 川u 0 = m 。a 。x ) l ， 衄 时 砌 地 以 扩 培 ， y o 阮 。，m，。，p。 = = 埘 埘 几类二阶常微分方程组边值问题解的存在性研究硕士学位论文 n ( e ，州为实b a n a c h 空间a 2 4 1 主要结果 定理2 4 i 设，g c ( o ，l 】r r r ，r ) ，h c ( 【0 ，1 】r x r ，r ) 。如果，g 是 有界的，则边值问题( 2 4 1 ) 至少存在一个解。 定理2 4 1 说明了一类特殊的三维常微分方程组边值问题在，g 为有界的 条件下解是存在的，进一步，我们有下列的结论。 定理2 毛2 设，g e c ( 【0 ，1 i x r r r ，置) ，h e c ( 【0 ，1 】r x r ，r ) 。若，g 满足 。厂0 ，“，“，w