（应用数学专业论文）债务关系的模糊数学方法研究.pdf

债务关系的模糊数学方法研究 摘要 本文给出债务关系的模期矩阵表示，通过模糊矩阵幂运算实现丁闻接债务关 系的基本要素一债务链，债务圈，债务量的刻画为三角债的分析研究和决策提 供依据 给出划转的数学公式，第一次把圈和链统一在一个模式之下，并通过矩阵的 变换得以实现这洋，划转可以从任何债务链着手，从根本上简化了准备过程 进一步的讨论从理论上证明了它具有不改变单位债务量和可实现性优点且易于 做成软件系统，实现电算化，成为解决三角债同题的工具 划转的最后结果简单阵表示消除了三角债后的直接债务关系为决策者可选 择最好分派的理念下，提出并求解备择方案的数学模型，它是未见之于文献的新 的经济数学模型，在诸如物流，销售等分配性质的决策中有实用意义 关键词： 债务关系；模糊阵；划转变换；分派模型 1 r e s e a r c hi n c od e b tr e l a t i o n su s i n gf u z z ym a t h e m a t i c a lm e t h o d s a b s t r a c t i nt h 如p a , p e r t h ef u z z ym , a t r i xe x p r e i o no fd e b tr e l a t i o u n 扛西v e na t t d bp o w e r o p e r a t i o t t 拓u 擞mt , oj u d g et h e d s t e n ：eo ft h ei z i d i r e c td e b tr e l a t i o n w ed e s t a i b e a n da n a l y z ed e b te l l a t n ，d e b tc i r c l ea n dd e b l ：q u a n t i t yb u s i n gt h ep o w e ro p e r a t i o n so n f u z z ym a t r i x i ti su s e f u lt oa n a l y t , ead e b tn e t w o r ka n dp r o v i d eab a z i si nt h ed e c i s i o n p r o c e 船 i ti sn o te a s yt 0c l e a zu pd e b tc h a i n se f f i c i e n t l yt , h r o u 出t h r o u g hs e t t l e m e 址m a k i n g b ym e a n so ft r a n s f e r r i n ga c e o w a t 3 i ti st h ef i r s tt i m et od e d b et h ep r o c e s sa n dr e s u l t o ft r a m f e r r i n ga e e o t m t , st h r o u g hau n i f i e df o r m u l a i ts i m p l i f i e st h ed e b tr e l a t i o n sa n d o p t ；i m i z e st h es y s i ；e m f u r t h e r m o r e m & 岫t h er a t i o n a l i t yo ft h i sr e e l ；h o db yp r o v i n g t h ei n v a r i a n e eo fd e b to fe v e r yc o m p a n yi si nt h et r 删矗p r o e e t r a n s f e r r i n gad e b t m , a t r i xt oas i m p l em a t r i xi so l l l m a i ng o a l 衄dt h ee q u i v a l e n ts t a t 曲1 e to fas i m p l e m a t r i xi sg i v e n t h ed i s e u a s i o no ft l n i t e t t e s so fs t e p so ft r a s f e r r i n gad e b tm a t r i xt o as i m p l em a t r i xi su s e f u lt od e v e l o pp r o g r a m s 如rs i m p t i f 弛gt h ed e b tl a e = w o r ka n dt o f i n do p l ；i m i t i o ns e l a e m e s h tt h i sp a p e r w ea l s og i v ean wm a t h e m a t i c a lm o d e la b o u ta d t o e a t i o nr e l a t i o j a s w h i c hd o e sn o ta p p e a ri no t h e rp a p e r s i tj se a s yt ou n d e r s t a n dt h a tt h ec o n c e p t sa n d m e t h o d si n t r o d u c e dh e r ea 1 - en o to n l ya p p l i e a b l ei nad e b tn e t w o r k , b l l ta l s oc 觚b e g e n e r a l i z e dt oa l - e a 8s u e l aa sw a , t , e rs u p p l yi nc i t i e s ，c o m m o d i t yc i r c u l a t i n ge r e k e y w o r d s ：d e b tr e l a t i o n ；f u z z ym a t r i x ；t r a n s f e r ；a l l o e a l ；i o nm o d e l 2 引言 一，文献综述 。 在自然科学，社会科学，工程技术的诸多领域都会涉及大量的模糊因素和模 糊信息处理问题1 1 ) f ；5 年，美国控制论专家l a z a d e h 发表了著名的论文f 1 m , z y s e t s 1 1 1 ，在深入研究经典集合特征函数的基础上，提出了模糊集的概念，标志 着模糊数学的诞生模糊数学的出现为描述模瑚性的事物，也为描述人的智能行 为提供了一种新的工具模糊理论作为现代信息科学的一个重要概念和方法论。 它的科学性和有效性越来越引起人们的重视在短短的几十年间，模糊数学不断 深入发展，研究对象不断扩大，理论1 3 臻完善，其应用范围也日益广泛，如模糊 控制、人工智能、神经网络经济管理、生物学，心理学、教育学软件科学等， 几乎深入到生产及科学领域的方方面面，为这些学科的量化研究提供了数学语言 及研究工具；同时也给出了一种思考。分折和解决问题的新方法三十年来，由 于海内外学者的共同努力，模糊数学获得了迅速的发展目前已形成包含模糊拓 扑，模糊代数、神经网络等，特别是近十几年来与专家系统、知识工程人工智 能等十分活跃分支的有机结合，使得模期数学在理论上获得了丰富的成果 在模糊集合理论及应用中，当论域为有限集时，模糊关系可用模糊矩阵来表 示，因此自模糊数学诞生的那天起，模糊关系和模糊矩阵一直是研究的重要课 题在聚类分析、模糊控制，知识表示与推理、模糊神经网络等诸多领域，模糊 关系是基本的处理工具模糊矩阵作为一个有力工具发挥了重要作用其中， 模糊矩阵的传递闭包在模期聚类分析，计剪机技术，可靠性问题模糊控制及 经济管理等方面得到了广泛的应用，传递闭包的研究受到普遍关注1 9 6 5 年， l a z a d e h 1 l 提出，对于n 阶模糊相似矩阵r ，其传递闭包t ( r ) = 舻一，并直 接利用模糊矩阵乘法计并传递闭包，其运算次数为o ( n ，) 此后，众多学者提出 各种筲法来改进传递闭包的计并1 9 8 9 年，l a r s e na n dy a g e r 通过构造模糊 等价矩阵中的二元数，给出一种传递闭包的改进箅法，指出对于n 阶模糊相似矩 阵，若其非零元素个数为m ，则计算其传递闭包一般只需o ( m l o g m ) 次，至多 不超过o c m n ) 次1 9 9 2 年，g a o y a of u l ”f 提出了一种n 阶模糊相似矩阵运箅次 数为oc k , , 3 ) 的传递闭包的求法此外，还有许多学者研究了从图论角度出发的 1 债务关系的模期数学方法研究 多种算法叫2 0 0 1 年，h s u a n - s h i l hl e e l 2 0 通过构造扣桥矩阵，证明了若ed 为等价矩阵，则扣桥矩阵e ( ；gd ) 也是等价矩阵，给出了从低阶等价矩阵卡句造 高阶等价矩阵的方法，并进而给出n 阶模期相似矩阵传递闭包的t - 桥算法该 算法简单易行，经过至多o ( n 2 ) 次运算，便可求出传递闭包2 0 0 3 年，赵峰，刘 文斌 2 1 1 从利用平方法求模糊自反矩阵的传递闭包推广到一般的模糊矩阵上来， 至多经过l 0 9 2 ( n 一1 ) 十1 次模期矩阵乘法运算，便可求出其传递闭包，大大简化 了传递闭包的算法 模糊聚类分析的核心是相似矩阵传递闭包的应用和计算，因此上述大多数文 献对传递闭包的研究主要集中于相似矩阵而一般模糊矩阵的传递闭包也是一 个应用广泛的概念，尤其在阿络分析计芽机技术及可靠性分析等方面具有重要 作用随着二十一世纪网络时代的到来，一般模糊矩阵的传递闭包必将扮演更重 要的角色网络分析的最大流问题是图论组合优化，网络优化的一个基本问题 吲，主要思想是在一定限制下求优化目标函数目标函数可以为配送网络最小成 本，最大流量等；路宽往往作为限制条件文献1 2 4 2 5 j 对最大流问题模糊化，即 在目标函数和其他条件相同的情况下，加上模糊路宽为限制条件由此可见，路 宽是这些问题中的一个重要因素2 0 0 2 年，刘文斌周转l ”i 首先给出利用模 糊矩阵进行网络最大路分析的思想，应用于诸如交通网络及经济管理等，是模糊 矩阵应甩的最新结果2 0 0 3 年，赵峰，刘文斌1 2 2 1 把网络分折的最大路问题，归 结为模糊矩阵的传递闭包问题，最大路是网络分析的重要概念，有广泛的应用背 景当我们具体地研究诸如交通，物流等网络问题时，最大路均扮演着问题分析 的基本角色 三角债是经济生活中经常出现的现象，面对错综复杂的债务债权关系网络， 应该如何清理才能清理掉所有的三角债，已有文献探讨的问题有两类，一，投资 模型的建立和求解；二。对债务网络不进行投资，通过盈亏相抵或转账的方式简 化债务网络，对这类问题都是以圈作为切入点，且没有给出一个统一的划转表达 式文献【2 6 】以图论为工具。给出了一种寻找清理掉所有三角债最少需要多少资 金清理方案的有效算法及图上作业法【27 】考虑了应投入多少资金，如何分配这 笔资金才能使清理的债务与贷款之比最大， 【2 8 1 把清理三角债中两种优化数学 模型同题，化成求解相应网络上最小费用流的问题 2 债等关系的填瑚数学方法研究 二，本文的主要工作 我们的工作属于第二类，在不投入资金的情况下，划转经济单位之间的债 务，从而葡化债务关系，降低债务总量，本文首次用模期阵表示直接债务关系， 通过其幂运筲刻画了间接债务，为研究三角债提供科学方法，给出划转数学表 述，把各种情形的划转统一于一种模式，克服了以往无从下手的困难，使实际操 作可行和简便打破了以往以债务固为核心的局限，把债务链纳入最基本对象， 是债务关系研究新思路为解除各单位闻的三角债关系提供了理论基础和实用的 方法需要指出的是：我们所讨论的范围只是该模型所包含的n 个企业，如果它 们还与模型之外的其它企业存在债务关系，则不予讨论 分派关系是有广泛应用的新的数学模型，我们给出分派关系的定义，建立了 线性模型并求解得到了所有备择方案作为数学模型，分派关系在经济学和物 流等更广方面有实际意义，为优化翔转债务关系的方案提供了理论基础 3 第一章债务关系的模糊矩阵表示和分析 1 1 预备知识 设育n 家企业，记为z l ，现，x n ，其中某些企业之间存在一定数量的债务关 系，可以用每条弧带个参数的n 点有向图g = ( 矿e ) 来表示这种债务关系，称 之为债务网络，其中点集y = z l ，现，j ) 表示n 家企业的集合，弧( 黾，句) e 当且仅当企业以欠毛的债 定义1 1 1 称图g 中存在一条从矗到o ，的长为i 的路l 是指存在序列 ，z ；。) ( z z 。) ，( 五。，) e ，记为，z m ，孔。，) ，表示路 的长度，令i o = i ，缸= j ，称w ( l ) = 以。为该路的权值 定义1 1 2 称路上( 黾，z h 矗。一。，q ) 是过而的圈，如果；而 定义1 1 3 设m 为所有k 步路的集合，若l n k 且w ( l ) = 孵u ( ) ，则称 工为k 步最大路 记( a ) = ( 幻) 。为a 的传递闭包，心表示a 的第i 行第j 列元素。 定义1 i 4 称幻为以到弓的最大债务，若( l ) = t , j ，称l 为以到吩的 最大债务路 下面给出一般模糊矩阵的传递闭包的平方算法 定理1 1 1 l s l 设a 是n 阶模期矩阵，j 是n 阶单位阵，设t ( a ) = f t , a 。t ( t v a ) = ( z 刁。，则当i j 时，有t , j = 爵 对于自反阵，其传递闭包可由平方法求得，定理1 1 1 表明t ( a ) 与t ( 1 v a ) 除对 角线以外其余元素皆相等，从而绽眉平方法求般模糊矩阵传递闭包成为可能 1 2借贷关系矩阵表示及债务关系存在定理 首先我们给出借贷关系的矩阵表示： 记卸，却，为有债务关系的n 个单位，首先可以甩一个有向图来表示 单位同的债务关系，若矗欠巧的债务量为 0 ，则连一条由矗到句的有向 弧k 而) ，并赋值为口，这样得到的有向图称为债务图 4 债务关系的模瑚教学方法研究 定义1 2 1 称n 阶方阵a 为债务阵，如果满足：( 1 ) 20 ，( 2 ) 畅= 0 。 i j = 1 2 ，n 由( 2 ) 知，当i = ，时= = o ，表明单位自身不存在债务问题，i j 时，若o i 7 = q 。= 0 。说明彼此不存在债务关系，当 0 时，= 0 ，表明 债务关系只能是单向的 债务图对应一个，l 阶方阵a = ( h 。其中 i 嵋施欠q 的债务量为n 2 10 丑不欠幻的债务 显然a 的元素满足上述二个条件，即a 是债务阵 命题1 2 1 非负阵a 是债务阵的充要条件为a a t = 0 其中，运箅为 同阶方阵对应元素相乘，是a 的转置 证明由a a t ；( ) 。= 0 命题可证 规定非负实数集的二元运算e 为 口e6 ：j ”6 t 畦6 、【o ， 4 “ 命题1 2 2 非负阵a 是债务阵充要条件a = a 其中，a = a e a r = ( 口蛆0 勺，) n x n 证明由e 运算的定义和性质啄= 0 直接验证可得 例1 由 a x ，： 08 o 0 5 0 7 0 = 0 知a 是债务阵，它表明：z 1 欠勋的债务为4 ，勋欠如的债务为5 等 下面给出间接债务关系的数学描述及其存在定理： 定义1 2 2 设a 是债务阵，如果存在路lc z , ，而，。，z ，) 满足u ( 工) = 。 岛- l j = o t o ，称矗到有数量为n 的步传递债务，称2 时 的传递债务为间接债务，= 1 时为直接债务，直接和间接债务统称为债务，l 5 x 、， 3 7 0 0 0 5 o 6 4 o o o 债务关系的填期数学方法研究 为债务路 间接债务是经过系列直接渍务复合而成的一种债务关系。即俗称的三角馈。 它是一个复杂的关系网络，用模糊方法研究是本文的目标 债务阵的模糊化与债务阵在债务关系的表达和相关处理方面有确定的对应 关系，为此，本文下面的债务阵都视为模糊阵 定理1 2 1 若而对句有量为n 的k 步传递馈务则砖n ，若畦= n 则有 五到z ，的量为口的 步债务 证明由定义1 2 2 ，若c j ( l ) = 而ma 一j = 口 0 ，可得砖= 0 m j ， 勺l m a d ，j 口；反之，若8 ：= a ，则存在 ，矗，挑廿歹 j l ，o k - l o l l ，2 ，l ，满足u ( 工) = 以j l a a 7 , 1 i - i j = n 0 定理1 2 1 告诉我们通过幂运箅得到小，它的元素硪表明了间接债务关系 的存在，同时也给寻找间接债务关系路提供了路权范围 定理1 2 2 若以到而有量为o t 的债务则幻a ，若= o 则有量为q 的 飘到而的债务 证明若以到与有量为d 的债务，即存在t l ，2 ，n ) ，使得i j a j 。a 吩j = n ，于是有t 3 = 9 呜n ：啦j 上 畅以a 一。j = n 若幻；鸽 则寸喃= n ，于是有七 l ，2 ，i ，使得d l j la 勺。j 2 a a 勺 一lj = 窿 我们可以通过n j = 0 t 得知从& 到q 有量为n 的k 步路，在计算过程中可 能会出现毋= 口磬，这是因为从而到岛有不同的路或某一条路上有圈，我们 可通过下面的定理来判断丑到“的路上是否有圈 定理1 2 3 若= a 。k + o ，其中k 2n ，l 为使等式成立的最小正整数，则岛 到z ，的路上存在2 步圈 证明假设在从矗到巧的路工上没有圈，则路工最长为7 i l 步，即遍历 n 个点，而吐o ，女n ，表明而到句有n 步路，矛盾，故路工上至少有 个长为z 的圈 定理1 2 3 为通过矩阵运算计算丑到而的实际路长提供了方法 定理1 2 4g ( a ) = b 为债务图g 的邻接阵其中g c a ) 表示将a 中非零元换 成1 证明债务图任意两点至多有一条边相连，债务阵a 的非零元是边权。设 债务关系的填期数学方法研究 o ，表示以到勺有向弧的边权为，将换成l ，表示矗到而有且仅 有一条有向孤由此可得债务图g 的邻接阵b 注屹( 普通幂运并) 表示从毛到q 的步路有屹条 例2 设非零债务阵a ，其中非零元为，“1 2 = 1 ，o l 3 = 3 ，r 1 2 3 = 2 ，哪= 5 ，他6 = 1 ，= 4 ，衄= l ，幻= 6 ，啦m = 7 ，7 4 = 8 现对a 进行模糊幂运算得， a 3 ： 010l3l1o 0l0 0 2 010 0 0l lo 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0o 0 0 0o o 0 0o0l410 o 0 0 0 0 0 0 0 4 00 0 0 0000 其中口j f 5 = 3 ，说明在债务图中存在从z ，到z 5 权值为3 的3 步路，事实上， l ( x 1 霸，钆z 5 ) 即为满足条件的路当然我们也可以通过编程计算得到n 2 5 = 1 ， 说明在债务图中存在从l 到z 5 权值为l 的5 步路，( z l ，如，粕，7 ，“5 ) 就是 其中一条 我们可继续按前面给出的方法计算4 到q 的女步路的条数，例如6 毛= 1 ， 说明从q 到5 的5 步路只有一条，吼= 2 ，说明从z l 到“的5 步路有二条 由以上两点可知从z l 到岛权值为1 的5 步路有且仅有一条。 按定理1 1 1 可求得t ( i vj 4 ) 通过计剪知( i v a ) 4 = ( i v a ) 5 ，所以t ( i v a ) = j v 口a n ，例如，纽= 5 表明到瓤的最大债务为5 ，即从如到z 4 的所有债 务路中权值最大的是5 ，通过债务图也可以很清楚的看到 称c 一( 勺) 。为债务图g 的可达阵，其中 ， i1 ，从z 。到。，至少有一条有向路 。 l0 ，从而到而没有有向路 、 显然g ( ( a ) ) 为债务图g 的可达阵 7 债筹关系的模瑚教学方法研究 在可达阵c 中。只关心z 。到而是否有有向路，至于有向路的长度与有几条 是不被关注的 下面定理给出了取到z ，是否k 步可达的判定方法 定理1 2 5 设a 是模糊阵，分别甩a k , 表示在。 一v 。和“一+ 运 笄意义下的a 的t 次幂，= ( ) 。则砖0 _ 车4 堕o 证明吐= vo i f iao “1 2 a a 口f j o h ，b k i = l = = | ! i ，1 2 ，l 一l l ，2 ，n ，有d 吐1aa l ，ka a m i u o 车= 争l ，岛，k 一1 1 ，2 ，n ，使a d 1 田，1 2 啦卜l j 0 = 亭口1 1 = a i i b l i b d l 一”o 定理1 2 5 给我们提供了通过模糊阵的普通幂运算来判断任意两点是否存在 k 步路的简单方法 最大债务路在债务关系分析中扮演重要角色寻找债务路是债务关系分析的 主要内容之一和基础。上述的存在定理是寻找和分析债务路的准则，而具体实旌 还要做进一步的工作 8 1 第二章债务阵的划转变换 定义2 1 设k ，巧，。劫) 是a 的邑到弓的传递债务为q 的路 称口为a 关于l 的债务划转阵，如果b 满足 f 。n 一口， 。l ( + 。) e k 21 帅m 【， 把定义2 1 确定的由a 到b 的变换记为印( a ) = b ，或简记为，( a ) = b ，b 称 为a 的剜转阵，不难看出，当路l 给定时，划转阵b 由q ，的情况而定，下面 就其三种可能的情况具体化并说明实际意义 定理2 1l 如定义2 1 所述，当a 时有 a “= ：，一d 萎善6 “t 血) i 。l 如) i 。k 一“j ) 瓴” 证明由7 ，的规定和定义2 1 ，显然有b = 咏7 ，o = 一n 0 ，由于电。 n 0 根据债务关系的定义此时= 0 ，这佯b = ( 0 + q ) ( 吗。= 口( ) a ：i = 0 定理2 1 有直观的图形象和简化债务关系的意义事实上，满足定理2 1 条 件的l 是权为n 的债务圈。其结论表明，此时口是把c 的每个边权减去n 的变 换，即债务关系构成圈时，变换一使之相互消去量为n 的债务 当，l a 时。可分为咏= 0 和0 ，l o 两种情况： 首先设唧。= 0 ，则咄= e o = 0 ，峙；+ o 表明：在不欠矗债情况下，转账结果是黾欠而债务应当在原来甄欠 债的基础上加上转来的幽当然对= 0 的情况不矛盾 对0 啄 a 情形，b = q 。e a = 0 此时= 0 ，显然有：叼+ q2 吩t ，6 v = ( 十q ) 一q l = d q 表明，当欠五的债啄小于转账过来矗欠的债口时，抵消以后，文 欠z j 的债为q 一口” 上面结果列表如下 9 力b 0力0 “力0“心u = = 鸵 债务关系的模期敷学方法研究 类型条件划转结果 k 6 tj 1 ，6 ， 一l j 其它 i q “ 0 ，l o 0 0 ，对于( s ，t ) ( ) ，帆一1 ，j ) 则k = 0 若b 0 ，从表看出q 。a 0 ，则= 0 ，此时6 l j = n e 吗。= 0 ， 若k = ( 叼+ n ) e 0 则m ，+ o d ，- 此时，如 0 ，有码。= o ，b 。= o ； 如叼= 0 ，有唧；一a a ，得 c q ( a ) = b 符合上述列表中类型i 在b 中对路p ( r 3 ，z l ，3 ：4 】划转， 唧( b ) = c 符合上述列表中类型 在c 中对路q ( x 2 ，z 3 ，z 1 ) 划转 | ；| a = 3 ，岫 c l , 得 此时o l = 1 ，a 1 2 = 0 ，得 fo o oo f 1o4 3 i 咱( e ) = d = i i l 0000 i o o 5 o 符合上述列表中类型此时已简化了a 的债务关系。d 中只剩一条二步债务 路，按上述方法对其再划转一次即可达到无三角债务关系 定理2 4 记f ( a ) ；妻，对任意债务路l 协，巧。：瓢。巧) ，有f ( a ) 一 f ( b ) m i n 2 码。+ 佧一1 ) b ，( k 十1 ) a 证明据上面的结果当啄2d 时，工亿，吻。，q 。，甸，文) 是k + l 元圈。 有f ( a ) 一f ( b ) = 晴十t ) a 当0 o ，。 口时，有( 畸+ a j 。) 一( b + 如，) 之n ，。一b o = a j l 一( o t - a ，) = 2 a ”一d ， 故f ( a ) 一f ( b ) = 2 0 一一口十妇= 2 a j t + ( 七一1 ) a 当啄= o 时，有( 叼+ q ；) 一( 峙+ b ，) = 一= 叼一( a , j 十a ) = 一o t ，此 1 1 、l， 0 3 0 0 0 5 0 5 o 0 0 0 ， 时， = 此 = 债务关系的模搠数学方法研究 时有f ( a ) 一f ( b ) 2 ( j 1 ) 口 综上所述有f ( a ) 一f ( b ) 血 2 十( k 1 ) d ( + 1 ) q 1 2 第三章简单阵和划转变换不变量 3 1 债务阵的简单阵 定义3 1 1 称不存在间接债务关系的阵为简单阵 定理3 1 1 债务阵a 经有限步可划转为简单阵 证明债务阵a 可认为定义在非负整数集上的阵，由定理2 3 ，( a ) = b 也 是非负整数阵，对r ( a ) 归纳证明 当f ( a ) = l 时显然成立 设对于f ( a ) 0 矛盾，类 似可证。社0 的情形反之易证 1 4 0 l o 0 o 0 0 o 0 o o 0 ，jlrili-l-、 = ) a旷 债务关系的填猢数学方法研奄 ( 2 ) 号( 5 ) ，设 0 = t l ，i 2 ，讲，i t i 2 ，i 时，= 一q b 舢= + q hn ，七= o ； ( 3 ) 当 呲时，呜k = q k 一叼，= + ，一o 转i 1 6 债务关系的填期数学方法研究 算例 设非零债务阵a ，其中非零元为，口口= 4 ，0 - 2 9 = 6 ，口m = 4 ，咄= 5 ，n t 5 = 3 ，a 5 629 ，0 7 8 22 ，0 - 7 6 。1 ，( 1 8 5 = 6 ，蛳22 鲫。6 输入矩阵 后，输出的是笱单阵，其中菲零元有n “= 1 n 1 6 ；3 ，o 2 6 = 2 ，o , 2 7 = 3 ，o 2 8 = l ，0 3 6 。5 ，嘶22 债务总量由原来的4 8 减小为1 7 且清除了间接债务关系 债务阵的最简阵在形式上会不一样，我们希望其中的非零元少一点，即直接 债务关系少一些，这跟我们选择划转的债务路有关例如，债务阵a ，其非零元 为口“= l ，d 2 5 = l ，口= 2 ( 1 3 4 = 3 ，若选择l ( z t ，z 2 ，z 5 ) 触转，得到简单阵为b ， 其中d 1 5 = l ，口3 2 = 2 ，a 3 4 = 3 若选择l ( z s ，z 2 ，$ 5 ) 划转得到简单阵为c ，其中 e l 2 = 1 ，恤= 1 ，= 1 ，= 3 矩阵b 与c 的非零元不一佯多如何选择较好的 优化方案是我们需要继续探讨的问题 1 7 第四章分派关系数学模型和求解 设r 是一个债务关系。经过向i 转等结算手段之后，变成了简单债务关系。划 转不改变单位对外的债务量但结算方案不是唯一的，根据实际情况，可以选择 更合理的方案例如，有的可以通过实物交流还债等，于是单位之间的分派关系 就可以漏整但必须保证每个单位的收和支不变，这洋就提出一个理论问题，到 底有那些方案可供选择，这是优化还债方案的基础本文下面针对上述问题给 出分派关系的定义，建立了线性模型并求解得到了所有备择方案作为数学模 型，分派关系在经济学和物流等更广方面有实际意义 4 1 分派关系 首先我们给出分派关系的定义 定义4 1 1 称x = 如l ，c 2 ，f k 到y = y 1 y 2 ，瓤 的关系r 为x 到y 的一个分派，如果r ( x 。巧) = 满足 j = 1 ，2 ，8 i = 1 2 t ( 1 ) 上述x 到y 的关系r 可用 阶矩阵表示 曰= 巨引 虬， q 。q吨吨嘎 妒 酽 一。譬。i 地 锄 抛 债务关系的模糊数学方法矸究 附加约束后可用扩展阵表示： 再= z l lz 1 2 工2 l z 2 2 z i lz k 2 6 1虬 z l s 口l 0 2 o , 2 ? ha k 虬m 其中m = 妻啦= 妻b 刚r 称为分派关系阵 例1 把x 和y 关系理解为供求关系，y 是供货单位，x 是需求单位，表示给 的供给量，于是表示一个规划方案，它和一般的方案区别在于供和求都有数量限 制也就是在满足供的能力和需的数量的条件下分配方案。但方案不是唯一的， 需选择好的方案，譬如，原先有债务关系，在进行新的关系是需加以考虑的，故 同样提出一个新的问题。能否用数学的方法，给出所有可能的方案，从以上的分 析，此模型是相当广的一类问题 4 2 模型求解 设为变量，其中l = 1 ，2 ，3 幻= l 2 j 于是( 1 ) 是一个特殊的k s 个 变量，设x = ( 。1 1 。l sj x 胁) 为女+ s = n 个方程的解向量，它可以表示 为如下的矩阵 eee8 10 0 虮 0 ，o 眈 00 j 乱 这里e 是s 阶单位阵，b = m ，b i ) t ，j = ( 1 1 ，1 ) 下面来求解此方程组，其过程如下： 1 ) 把后k l 行加到第8 + l 行后，减去前s 行的和，利甩圭以；妻b 可 t = l j = l 1 9 堕坌叁墨盟堡塑墼兰立鳖堑窒 得，第5 十1 行为0 2 ) 将第5 + 1 行依次变换到第n 行，于是得到阵如下： e 1e 1 e l6 l ， e -e j 0j _ 00 0o 其中e l 为s 维单位行向量 3 ) e h 第一行减去后k 行的和得 e jb _ 0 n 2 j 峨 00 l000 1 一l 0 - 1 - 1 卢 0l001001 0 屯 00100100lb ， 0001l 1000毗 - 00000011 1 b 女 00000o000 o k 其中卢= h 一啦 = 2 所以阵的秩为t l 一1 ，自由未知量的个数为女5 一t l + 1 4 ) 取。砧，现”z 托，为自由变量，z u ，z l 。，现l ，z 山，z t l 为未知量， 有以下的通解， iz l i = - i - 卢 l k - 1 z 1 。筝一岛+ 1 乒+ 6 i ，i = 2 ，矗 l：三： lz n = 一第幻+ l 十啦，l = 2 ，七 l j = l 2 0 债务关系的摸糊数学方接研究 当给自由变量斌值，则得出对应变量值，从而获得一种方案 下面我们讨论方程组的结构解，为了更加清楚地表达解( 2 ) ，首先引入矩 阵砑及时。 m = m = z uz 1 2 z 2 1z 2 2 z k lz “ b 1 6 2 d 1 一口2 一8 k 口 = ( 羔i r ) ，? 。一z 。 j i 一z 2 z 方程组的解可以用面由以下方法得出； 等于它在膨中余子式的各项与口的和，轧( 一2 ，：8 ) 和。b ( f = 2 ，功，由丽 中对应的行和列和等于0 解出，此外，解的自由未知量是m 中知的余子式的所 有元素，因此该矩阵的给定，按上面给出的原则可确定了中的所有元素，也就给 出了方程组的解下面求( 1 ) 的结构解，我们首先求出它导出组的基础解系， 显然，由时可以得出导出组的求解更简明的原则，即o 。l 是余子式元素的和，第 一行( 列) 的其余元素可取对应行( 列) 元素和求得，比如z 1 2 = 一( x z 2 + + x k 2 ) 利用上面给出的原则容易计并基础解系， = ( 三) 札 一 也 、， 2 2 ， 2 巩 钇 i 三： 抛 抛 j，-。1 其中e i ，e j 分别表示s - 1 维，k - 1 维单位向量，e 0 表示e ( f j ) = 0 ，其它元素 为0 的矩阵，面方程组( 1 ) 的特解 | r 6 2 乩、l i 砚o ol 脚。il 1 。j 0 0 例2 设r 是x = 。l ，现，到y = l ，抛，舶的债务关系分派，由 表示则对应的 由此得通解方程为 取 ，u 卫1 2 i 砑：i 钇1 砌 7 i i z i 65 z 1 1 = 士十z 鹞+ z 船+ z 解一9 z 1 2 。一o 一$ + 5 z 协= 一z 嚣一z 聃+ 1 4 x 2 j = 一z 一z + 7 z 3 l 2 一z 3 2 一z 3 3 f - 8 拈i1 l ：) ( ：) 、 加7 8 然 轧 纰 m 础 锄 抛5 矾 钇 船6 ，ji-l-ii_-、 = 一兄 、li m o 以曲 础 础 诒出 债务关系的模糊数学方法研窀 - l ；) ，他；i 10 - - i 1 ，啦t = i 1-10 1 ，舰= ( 三；) 肋= ) 耻) 4 3 部分关系已知的分派模型 上一节我们讨论了对z 。，2 i k ，2 j 女不加任何限制的条件下，给出 的x 到y 的分派模型，事实上，往往并不是任意的，即有部分限制，它可能 在一个范围内是允许的，下面我们研究一种简单的模型 首先，记日c “t ，2 2 七2 j 茎七，由日确定的阵，w = ( 札7 l j ) ( 七一1 ) 。t j _ l 】， 2 3 l d o ，一， ； 氰 m 债务关幕的模糊数学方法研究 其中 其中为常数 ，即有 = 矗髫日舻悟嚣日 称为的赋值称丽为t 的赋直分派阵，如果x = w 十t 丽= 、 z 儿一z l 一 一耽+ t 一b 9 f 不难理解砑就是当z 。赋值为，( 巧) 日时，x 到y 的分派求解表示 阵，下面进行求解根据分派关系的定义，容易得到此时对应的通解为； z 1 1 = + a , j + 口，z 1 。= 一 。一 q 。+ k i = 2 ，s ( 1 j ) 芒耳 。 ( 叼) ej = r u ，0 t ) t h )d ，0 】研 z f l = 一 司，一 + 啦，l # 2 ，k j ( j i t h j ( t aj h 由此可找到对应的结构解，显然，方程组的一个特解可如此得到。令w = 0 ，x = 0 + t = t ，代入上式，则9 0 是个解为表达更清楚一些，令一十 d l o , ) r l t k = 岛，f = 2 j 及一 口o + 聊= 日l ，j = 2 ，七， a , l + 卢= c 11 则 a ( t a ) e h ( t j ) h 瑚：f c l l q1 c 27 是特解，c l = ( c l “一c l 。) ，晚= ( c 2 1 ，c 姥) t 为求其导出组的解，考虑下面的矩阵 解为 显然取其自由未知量为e j ，( j ) g 日，它是w 的一组基，而对应的导出组的 l 1 铲| l 巧 、 如啦 ，i 日 奉) 玎 ( 、l， 白 “ 堡量薹墨竺! 塑墼兰：! 鳖堡茎 这表明导出组的基础解系是原方程组中的没有赋值那部分基础解系组成的 由此使求解变得简单丁，任意解为m = + 脚 ( ) 仨日 例3 设例2 中0 2 3 = 2 ，d = 3 ，有 细= 瞄) 而导出组的基为 如= ( 1 1i ) ，如= ( 三；? ) 于是任意解可写为，k e = + f e 3 3 + p o 的形式。取女= 3 ，l = 2 时； 显然满足所有条件，包括：z 2 3 = 2 ，z = 3 o i 7 q 胡 3 【 咖2 础“ 毗 钇3 山 ；j 址 吨 嘞邯 、， 加 2 2 o 3 3 l 2 3 ，-ii_-l- = 、 心 2 o 2 o 3 4 5 5 ， + 、 也 0 2 0 0 0 2 0 o ，f_ii_i、 + 、l 0 0 0 3 o 3 o ，ii_lli_li、 结束语 文中给出的债务网络的模糊矩阵表示，使得通过相互间的直接债务探讨闻接 债务成为可能，利用模糊阵的运算判别债务路的存在不仅是模糊方法的应用的一 个新例，也给债务关系分析引进了科学的方法阵划转变换用数学方式描述的， 容易做成应用软件。给决策者提供易于操作的有力工具 当然，我们的工作是初步的，从基本的理沦研究到实际可操作还有许多工作 要做 1 通过模糊阵幂运算获得路的信息还不够完整，对给定权值及长度的债务路 的确定的简单方法还需要继续探讨 2 ，能否开发系统分析债务网络的实用软件，包括债务网络复杂度分析，最 优划转方案的评价和确定等 3 ，分派关系求解的优化选择 4 ，对分派关系模型中的参数是区间数的情况的探讨 等都是复杂的但是有意义问题 参考文献 【1 1 1l a z a d e h 呦s e t s 旧i n f o r m a t a o na n dc o n t x o l ，1 9 6 5 8 ：3 3 8 - 3 5 3 【2 ja r e c l l d t o a l g o n t l mf o rp a 血s e a r c l n n ga n d 缸g r a p hc o n n e c t i n ga n a l y s t s 栅a d v a n c e s j ne n g m e e n n gs o f t w a r e 1 9 9 5 2 3 ：2 7 3 5 3 1y e o7 , e n g s h s nl i uw e n b m z h o uz h u a u m a x z m u mr o a da n a l y s i so ft r a f f i cn e t , - w o r k 旧a d v a n i ns y s t e m ss c i e n c ea n da p p h c s t a o n s ，v 0 1 4 ，n o 4 ( 2 0 0 4 ) 6 1 8 - 6 2 1 4 1z h o uz h u a n d i n gx i n n g q l a n l i uw e n b i n f u z z ym 纰a n a l y s i so ft h em a m u mr o a d i nt r a m cn e t n v o r k ，2 2 n di n t e r n a t i n n a lc 船o f t h en o r t ha m e r i c a n 脚i n f o 。- m “h p r o c e s s i n gs o c i e t t - n a f i p s 2 0 0 3 2 2 2 8 3 - 2 8 6 【5 | 5 卢开澄图论及其应