（应用数学专业论文）双材料非弹性主方向界面裂纹应力场分析.pdf

p 摘要 摘要 在断裂问题的理论研究中经常用到近代数学的理论和方法。复变函数方法是用于求 解复合材料平面断裂问题非常有效的方法之一。利用复变函数方法，给出了复合材料单 层板非弹性主方向裂纹尖端应力场和位移场理论公式n q l 。各向异性复合材料的界面裂 纹也有大量的研究并取得了重要成果瞄。1 朝。复合材料纤维主方向和坐标轴一致的情况研 究也比较多n 卜蚓，但关于双材料非弹性主方向界面裂纹应力场的研究并不多见。 借助复合材料断裂复变分析方法，在文 1 7 基础上，将双材料平面断裂问题化为偏 微分方程问题，利用坐标转轴变换，在特征方程组的判别式都大于零的情况下，对双材 料非弹性主方向界面裂纹作了讨论，推导出了一种特殊情况的非弹性主方向界面裂纹和 裂纹在主轴上非弹性主方向界面裂纹尖端的应力场和位移场的理论表达式。当 仍= 仍= 0 时，可得到正交异性双材料界面裂纹尖端的应力场n 7 1 。给出三组正交异性双 材料参数，用0 r i g i n l a b 模拟图像进行分析，得到不同双材料参数对振荡因子和应力场 分布的影响规律。 最后一章，对正交异性双材料i 型界面裂纹尖端的积分作了初步讨论，把i 型界面 裂纹的应力场和位移场公式代入积分的一般表达式，得到a 。 0 和a ， 0 的双材料i 型 界面裂纹积分的复形式。 关键词：偏微分方程：边值问题；非弹性主方向：界面裂纹：应力场：，积分 双材料非弹性土方向界面裂纹应力场分析 i i a b sj k a cj a b s t r a c t t h e t h e o r ya n dm e t h o do fm o d e r nm a t h e m a t i c sa r eu s e di nt h et h e o r e t i c a l r e s e a r c hf o rf r a c t u r ep r o b l e mu s u a l l y t h em e t h o do f c o m p l e xf u n c t i o ni so n eo f t h ev e r ye f f e c t i v em e t h o d sf o rt h ep r o b l e mo f c o m p o s i t em a t e r i a l sp l a t ef r a c t u r e al o to fr e s u l t sf o rt h ep r o b l e mo f c o m p o s i t em a t e r i a lp l a t ef r a c t u r eh a v eb e e n d e r i v e db y u s i n gt h e m e t h o do fc o m p l e xf u n c t i o n t h e s t r e s sf i e l d sa n d d i s p l a c e m e n tf i e l d so fn o n p r i n c i p a ld i r e c t i o no fe l a s t i c i t yo fc o m p o s i t em a t e r i a l as i m p l el a y e rp l a t ea r eo b t a i n e d i - 4 1 a tt h es a m et i m e ，t h e r ea r eag r e a to f t h e o r e t i c a lr e s e a r c hf o ri n t e r f a c i a lc r a c ki n a n i s o t r o p i cm a t e r i a l sa n dg o t i m p o r t a n tr e s u l t s f 5 - l 3 1 t h e r ea r eal o to fs t u d i e so fp r i n c i p a ld i r e c t i o n so f e l a s t i c i t yo fo r t h o t r o p i cc o m p o s i t em a t e r i a l sa n di n t e r f a c i a lp a r a l l e la n dag r e a t o fr e s e a r c hr e s u l t s 1 4 - 1 6 】a r eo b t a i n e d b u ta sf a ra st h ep r o b l e mo fs t r e s sf i e l d s a n dd i s p l a c e m e n tf i e l d so f n o n p r i n c i p a ld i r e c t i o n so fe l a s t i c i t yo fb i m a t e r i a la r e s e l d o mb e e ns e e n n o n - p r i n c i p a l d i r e c t i o no fe l a s t i c i t yi n t e r r a c i a lc r a c ko f o r t h o t r o p i c b i m a t e r i a li sm a d eb ya x i st r a n s f o r m a t i o nf o r m u l a sa n dc o m p o s i t ec o m p l e x f u n c t i o nm e t h o d ，o nt h eb a s i so f a n a l y s i so fs t r e s sf i e l d sa n dd i s p l a c e m e n tf i e l d s o fo r t h o t r o p i cb i m a t e r i a li nt h er e f e r e n c e 1 7 i nt h ec a s et h a tt h ec h a r a c t e r i s t i c e q u a t i o n s d i s c r i m i n a t e sa r ea l lm o r et h a nz e r o t h et i l e o r e t i c a lf o r m u l ao ft h e s t r e s sa n dd i s p l a c e m e n tf i e l d so fc r a c ko nt h ei n t e r f a c ea n dc r a c ko nt h em a i n a i x w h e n 仍= 仍= 0t h e s t r e s sf i e l d sa n dd i s p l a c e m e n tf i e l d so fo r t h o t r o p i c c o m p o s i t eb i m a t e r i a la r ed r i v e d 【17 | t h e n t h el a w so fi n f l u e n c eo fb i m a t e r i a l p a r a m e t e r so nt h es t r e s sf i e l d sa r ei n v e s t i g a t e da n dt h e nb yu s i n gt h es t r e s s i n t e n s i t yf a c t o rc o m p u t i n gf o r m u l a ea n dc h a n g i n gt h eb i m a t e r i a lp a r a m e t e r s ，t h e c h a n g i n gp a r e m so fs t r e s sn e a rc r a c kt i pa r eo b t a i n e d i nt h el a s tc h a p t e r , t h e j - i n t e g r a ln e a rii n t e r f a c ec r a c kt i po fb i m a t e r i a li sp r e l i m i n a r ys t u d i e d p u t t i n g s t r e s sf i e l d sa n dd i s p l a c e m e n tf i e l d so fc r a c kt i pi n t ot h eg e n e r a l l yf o r m u l ao f j i n t e g r a l ，t h ec o m p l e xf o r mo fm o d e lic r a c kt i p j i n t e g r a li sd e r i v e dw h e n t h ec h a r a c t e r i s t i ce q u a t i o n s d i s c r i m i n a t e sa r ea l lm o r et h a nz e r o i i i 双材料1 f 弹性主方向界面裂纹应力场分析 y w o r d s ：p a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s ；p r o b l e m o fb o u n d a r y v a l u e s ； n p r i n c i p a ld i r e c t i o n so fe l a s t i c i t y ；i n t e r f a c ec r a c k ；s t r e s sf i e l d s ；j i n t e g r a l i v 目录 目录 第1 章绪论1 1 1 课题提出的背景与意义l 1 2 界面力学发展概述1 1 3 正交异性双材料非弹性主方向界面裂纹的研究及主要方法2 1 3 1 正交异性复合材料非弹性主方向界面裂纹的研究与发展2 1 3 2 正交异性复合材料非弹性主方向界面裂纹的研究现状3 1 4 本文研究的主要内容及主要数学方法5 1 4 1 本文研究的主要内容5 1 4 2 本文研究应用的主要数学方法6 1 4 3 本文研究的意义6 第2 章一种特殊的非弹性主方向界面裂纹应力场7 2 1 引言7 2 2 正交异性体的物理方程7 2 3 正交异性复合材料非弹性主方向的弹性特征9 2 3 1 单层板非弹性主方向弹性特征9 2 3 2 单层板非弹性主方向裂纹尖端应力场1l 2 4 材料主轴方向与界面平行的界面裂纹应力场1 2 2 4 1 偏微分方程边值问题1 2 2 4 2 应力函数1 3 2 5 转轴变换公式1 9 2 6 正交异性双材料非弹性主方向界面裂纹的应力场2 0 2 7 小结2 2 第3 章裂纹在主轴上的非弹性主方向界面裂纹应力场2 3 3 1 引言2 3 3 2 转轴变换公式2 3 3 3 裂纹在主轴上的界面裂纹应力场2 4 3 4 裂纹在主轴上的界面裂纹位移场2 5 3 5 正交异性双材料非弹性主方向界面裂纹应力场2 6 3 6 小结2 8 第4 章正交异性双材料非弹性主方向界面裂纹应力场分布规律2 9 v 析 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题提出的背景与意义 近现代以来基于航空工业快速发展的需要，促进了玻璃纤维增强塑料的发展( 俗 称玻璃钢) ，从此复合材料这一名称开始出现。5 0 多年之后，石墨纤维、碳纤维等增强 复合材料接踵问世，这些复合材料逐渐成为众多产业的必选材料。我们把两种不同或者 相同的材料，利用某种结合方法连接在一起使用的结构或组合材料称作结合材料，结合 部分称之为界面。由两种不同性质的复合材料沿界面结合在一起称为双材料。尽 管结合材料的用途及其广泛，但是它们在界面经常处存在缺陷，这些缺陷不仅会致使材 料结合强度降低，而且会因界面的存在而引发应力集中并产生残余应力等，使界面附近 的材料处于较高的应力状态下，最终会造成材料强度的降低或结构的破坏。因此，随着各 种新型材料在工程上的应用日益增加，迫切需要解决界面断裂力学问题。 目前，对于正交异性双材料纤维主方向与坐标轴方向一致的界面裂纹情况已 经有了大量的研究n 8 2 副，关于复合材料单层板的非弹性主方向裂纹研究已有非常成 熟的理论口q 1 。各向同性双材料的界面断裂力学研究已经相当成熟 2 3 - 2 6 各向异性 双材料的界面裂纹力学研究也逐渐趋于成熟 2 7 - s 1 1 而正交异性双材料非弹性主方 向界面裂纹问题的出现，使界面裂纹表现出许多不同于单材料裂纹的奇特性质，有 关非弹性主方向界面裂纹即正交异性双材料纤维主轴方向与坐标轴方向不一致的 情况比较成熟的研究还不多见。现实中的正交异性复合材料并不都是纤维主方向 和坐标轴一致的情况，因此我们有必要对正交异性双材料非弹性主方向的界面裂 纹问题进行研究，其结果将具有现实的重要意义。 1 2 界面力学发展概述 2 1 世纪初期，更的多可靠和有效的结合方式相继诞生，如锡焊、扩散结合技术、激 光焊接等等，使结合材料的界面更加“精致”，甚至结合部位的强度远远超过被结合母 材的情况。整个工业技术的发展受到这些新的结合技术极大的推动，同时复合材料的发 展和应用，也受到了重要的推动。由于具有结合构造的构件或材料的广泛应用，对结和 材料的强度和可靠性评价，提出了更高的要求：一方面界面的力学性能可以进行准确的 评价或定量分析；另一方面，为了适合特殊情况而发展起来的表层改性技术，例如等离 子体喷射、物理方法蒸镀等在金属材料表面涂上一层几十个或几百个微小的陶瓷薄膜， 也需要对它的界面力学行为进行评价。就是在这些强烈的工程实际应用的背景下界面力 学迅速发展起来了。将材料的结合部位理想化为界面，然后进行力学分析的最早研究是 1 双材料非弹性主方向界面裂纹应力场分析 1 9 5 9 年w i l li a m s 口对界面裂纹尖端进行的应力振荡奇异性研究，包括之后涌现的一些界 面裂纹的理论研究，都只是用数学对界面裂纹尖端应力场的描述，而没有涉及到如何进 行评价。在1 9 6 6 年，b o g y 发现，在结合界面的端部，从弹性力学上看，应力是可以无 穷大的，他定性地的分析了结合材料的破坏为什么多数是从界面结合端部开始的原因。 这时，实际上已经发现了界面力学问题中有关应力分布的两个基本特点。但是基于应力 振荡奇异性不仅具有自身奇妙的性质，而且还致使裂纹产生互相嵌入的物理矛盾，因此 当时很多人认为应力振荡奇异性仅仅是一个数字游戏，难以被应用到实际工程中。而有 关界面端应力奇异性的分析，也经受了断裂力学研究中裂纹尖端应力奇异性曾经的遭 遇。关于这一点，可在有关研究销声匿迹近2 0 年的历史中得到证实。在1 9 7 9 年， c o m i n i n o u 口4 1 设计出界面裂纹尖端附近的裂纹面互相接触的裂纹模型，使裂纹面互相嵌 入的不合理现象和应力的振荡性得以消除。大多数情况下，由于裂纹的两个尖端中有一 端的接触区域总是非常小，d u n d u r s 和g a u t e s e n 聆5 又进一步提出了一端闭口而另一端开 口的界面裂纹接触模型。以上理论研究的结果说明，包含互相嵌入这一力学矛盾的界面 裂纹经典结论，在嵌入区较小情况下，振荡区域外边的裂纹尖端应力场分布与消除了相 互嵌入后的界面接触裂纹的理论解基本接近。s h i h 和a s a r o 。剐利用弹塑性有限元分析的 方法，发现塑性变形可使裂纹面相互嵌入和应力振荡奇异性消失，并且在屈服区域很小 时，可以近似地用具有应力振荡奇异性的弹性解来表示裂纹尖端附近应力场的解。在以 上研究结果的基础上，1 9 8 8 年，r i c e b 7 3 明确提出在不大的规模屈服条件下，具有应力振 荡奇异性的弹性解，可以用来当作评价界面裂纹断裂依据的观点，至此关于界面裂纹经 典弹性解有用性的争论得到结束。许多有关界面裂纹分析和评价的研究随后出现，从而 线性界面断裂力学理论体系的确立具备了丰富的材料。与此同时，断裂力学理论的逐步 发展和完善，人们已广泛接受应力奇异性的概念。此时，关于界面端应力奇异性的讨论 也相继大量涌现出来。人们开始尝试以界面端奇异的应力场来作为评价界面端强度的依 据。从此，作为一个新兴的学科分支一界面力学得到了前所未有的发展。 1 3 正交异性双材料非弹性主方向界面裂纹的研究及主要方法 1 3 1 正交异性复合材料非弹性主方向界面裂纹的研究与发展 材料科学的发展使许多新型材料在工程领域中得到了越来越广泛的应用，例如复合 材料、非均匀材料和多相介质材料以及粘结和焊接材料等，这些材料都具有一个共同的 特点就是存在着界面。在实际制作过程中，由于发生了物理、化学作用，在材料之间形 成材料性质连续变化的界面层。 由于界面层材料性质失配，不可避免地存在残余应力、应力集中和初始缺陷，在大 2 第l 章绪论 变形时不可避免地在界面层处首先发生损伤和开裂。尽管界面的尺寸远小于整个材料的 尺寸，但界面的性能在材料强度中发挥着举足轻重的作用。正交异性双材料非弹性主方 向界面裂纹问题的研究工作是基于当今新型复合材料同益发展的需要，如在宇航、船舶、 建筑等诸多行业中经常会有带孔的、带裂纹的正交各向异性材料出现那么所谓非弹性 主方向是指正交异性复合材料的纤维主方向与坐标轴不平行。对于纤维增强复合材料单 层板，在面内有两个弹性主方向：纤维方向( 纵向) 和垂直纤维方向( 横向) ，垂直单 层板的方向为法线方向( 垂向) 。选取坐标轴平行于单层板的弹性主方向，纵向x 轴，横 向y 轴，垂向z 轴，这样的坐标系o x y 称为弹性主方向坐标系。若坐标轴不平行于纤维增 强复合材料单层板的弹性主方向，x 轴与纤维方向1 轴之问的夹角为缈，则这样的坐标系 o x y 称为非弹性主方向坐标系n3 1 。关于正交各向异性复合材料数值求解研究工作，国内 外已有诸多文献可参阅例如，o z t u r k 和e r d o g a nd 8 叫刚采用两种不同的界面区模型，研究 了非均匀界面粘接层的界面裂纹受反平面剪切载荷作用的断裂问题，分析了中间非均匀 界面层材料性质变化对i i i 型轴对称界面裂纹的影响，万建松等n 妇采用大变形弹塑性有限 元方法分析了各向同性和正交各向异性韧性材料光滑圆棒拉伸试件的颈缩问题。锁志刚 3 教授的研究成果，表征了各向异性复合材料间界面裂纹奇异性场的数学结构，证明出 裂纹尖端场是两类场的结合。y a n g f d s h i h h 3 1 通过引入非均匀界面层假设，给出了远场和 近尖奇异场相位漂移的近似显函数表达式，证实了界面裂纹的几个重要特征一一振荡 性、嵌入性和混合性。崔德渝、张行h 4 3 以单边边缘裂纹二维应力场与位移场的级数展开 式为基础，以分区广义变分原理求解出含双边非对称边缘裂纹板的应力强度因子，利用 满足各向异性板基本微分方程和裂纹表面边界条件的应力场和位移场的本征展开式和 分区广义变分原理满足其余边界条件与交界连续条件，确定了应力强度因子。1 9 9 8 年亢 一澜n 5 3 对正交各向异性体的各种界面力学行为进行了综述，但这些已有工作大多集中于 理论分析。2 0 0 2 年苏成、韩大建h 6 1 采用域外奇点技术并根据课题的边界条件，建立了正 交各向异性弹性力学平面问题的非奇异虚边界积分方程，然后采用性态优越的b 样条函 数去逼近未知虚荷载函数，据此获得积分方程的数值解。2 0 0 8 年，高鑫、王汉功、康兴 无h 7 3 基于各向异性材料力学，研究了无限大各向异性材料中i i i 型裂纹的动态扩展问题， 确定了i i i 型裂纹的动态应力强度因子的表达式，得到了裂纹尖端的应力分量、应变分量 和位移分量。 1 3 2 正交异性复合材料非弹性主方向界面裂纹的研究现状 1 9 8 1 年，s i h ，g c a n dc h e n ，e p 得到了裂纹在主轴上和裂纹不在主轴上的正交异 性单层板裂纹尖端的应力场表达式h8 | 。1 9 9 1 年，杨维阳教授，给出了正交异性复合材料 1 双材料非弹性主方向界面裂纹应力场分析 单层板非弹性主方向在对称载倚作用下的裂纹尖端应变与位移计算公式。1 9 9 3 年，杨 维阳和张少琴教授，研究了线弹性正交异性复合材料单层板非弹性主方向的断裂问题， 推出了非弹性主方向坐标系和弹性主方向坐标系的特征根和柔度系数的变换公式，将裂 纹尖端应力场和位移场表达式代入应变能释放率的基本公式，得到在斜对称载荷作用 下，用弹性主方向坐标系的工程参量表示的裂纹尖端应变能释放率的计算公式n2 | 。2 0 0 1 年，杨维阳、张少琴、马玉兰采用复变函数方法，通过将界面裂纹尖端应力和位移理论 解表达式代入j 积分的一般计算公式，推导出线弹性正交异性复合材料单层板受对称载 荷作用的非弹性主方向的裂纹尖端，积分的复形式一一复变函数积分的实部，并且证明 了该积分的路径无关性，得到了它的具体计算公式n 0 1 。2 0 0 2 年，马浩、王彪、陈宜亨 h 9 。，给出含边裂纹正交各向异性板问题的特征函数展丌式，并利用变分法及边值条件确 定式中的待定系数，继而求得裂纹尖端应力强度因子。2 0 0 4 年，周振功，王彪嘞3 利用 s e h m i d t 方法分析了位于f 交各向异性材料中的张开型界面裂纹问题，经傅立叶变换最 终获得应力强度因子的数值解。2 0 0 5 年，张晋香、刘铁林、刘凯欣瞄运用一种改进的非 结构化四边形格子法，对含孑l 正交各向异性板受面内冲击拉伸时弹性应力波和空边动应 力集中进行了研究。通过对多种工况进行数值模拟，分析了材料的各向异性性质、纤维 方向等参数对孔边动应力的影响，得到了一些规律性的结果。并与现有实验结果进行对 比验证了其方法的有效性。2 0 0 6 年，许金泉n 铂利用哈密顿矩阵得到裂纹在界面上的正交 各向异性双材料非弹性主方向界面裂纹尖端的应力场和开口位移场的一般形式。当纤维 主方向与界面的夹角为零时，其结果与锁志刚教授所得的结果完全一致。并利用数值外 插法得到应力强度因子，并给出了中央界面裂纹在各种主轴方向下的应力强度因子和边 缘裂纹在各种主轴方向下的应力强度因子对照表。 正交各向异性材料，其哈密顿矩阵可表示为： 。l2 n f v 4 屈l 厥：f ( 屈，及：+ 屈2 ) i 【- 一f ( 屈，反z + 屈2 ) 2 订- j 4 屈。履zj n1 ) h = 蜀+ 巨 ( 1 2 ) 下标1 ，2 表示与材料1 ，2 对应的量，振荡因子占和特征向量w = 劬鹞 7 1 满足 b w = p 2 ”h w( 1 3 ) 当纤维主方向和界面不一致的哈密顿矩阵： 吨一咖北聍麓幺：，“垒槎峰妒啷sin缈osin。o c o s 。o i ( 4 p , 2 n fs i n 。o 4 ， l j l 一 ，履：+ 届：) 一v 4 层。屐：i l c o s 缈_ j 对于纤维主方向与界面不一致的情况：将式( 1 4 ) 代入( 1 2 ) 得： 4 第1 章绪论 ，l h 1 1h i f l 4 h i l h 2 2 - h 2l 肚h 而芝j 办= 刀( r 一1 - - - i 4 拓万s i n 2 仍 。+ 疗( 1 1 一1 7 , - i 4 佰万s i n 2 仍) ： 一。= 2 n ( f 1 4c o s 2 仍+ - - - i 4s i l l 2 仍) 佰万) 。+ 2 门( f 1 4c o $ 2 仍+ f - i ，4s i n 2 仍) 俩万 ： 皿z = 陬r 1 1 4s i n 2 仍+ r _ 们c o s 2 仍) 佤砚+ 2 胛( 1 p i 4s i n 2 仍+ r - i 4c o s 2 仍) 佤习： ( 1 5 ) 把( 1 5 ) 代入( 1 3 ) 得剑振汤凼于和特，仕同重时表达式为： ：! 垒! 鱼掣竖丝丝型s ：一1l n 坐 q h e z h 2 ： 劢l + p w = q 哆 r = 一寺彬+ i w 2 彬= 4 h t 矿1 h 2 2 - h 2 ，= 麦2 h ( 1 6 ) 1 2 日， 7 ，( ) 当仍= 仍= o 与s u o 的结果一致 q + 2 i ( w l i w 2 ) ：_ 2 w j ( 赢k 1 + i k 2 ) ，* ，叠， qz 死r + 丽正= 压群慧器 7 ， 应力强度师c r y + 2 i ( r y e ) = 垡挚( 甜 裂纹开口位移：+ 高瓯= 丢等杀甍鬻高等磊( 去厂c ，8 ， 1 4 本文研究的主要内容及主要数学方法 1 4 1 本文研究的主要内容 1 简要介绍课题提出的背景及意义、复合材料发展状况以及正交异性双材料非弹性 主方向界面裂纹的研究现状。 2 一种特殊情况的非弹性主方向界面裂纹应力场和位移场。 3 裂纹在主轴上的正交异性双材料非弹性主方向界面裂纹应力场和位移场。 4 正交异性双材料参数对界面裂纹振荡因子和应力场分布的影响规律。 5 正交异性双材料i 型界面裂纹尖端j 积分的初步讨论。 5 双材料非弹性主方向界面裂纹应力场分析 2 本文研究应用的主要数学方法 本文利用复合材料断裂理论中的复变函数方法，将双材料非弹性主方向界面裂纹问 化为一类偏微分方程问题。利用坐标转轴变换公式推导出一种特殊情况的非弹性主 界面裂纹和裂纹在主轴上的非弹性主方向界面裂纹的应力场、位移场表达式。 3 本文研究的意义 近几十年来，由于不同材料组成的复合结构在实际工程中的应用越来越广泛，界面 问题得到了深入的研究，大量的研究成果已经发表。但以往的研究工作大多是对材 轴与坐标轴平行的情况下，而对材料纤维主方向与界面有夹角即非弹性主方向的界 纹尖端应力场的分析不多见。由于工程工业的飞速发展各种结合材料广泛应用，它 一定都是纤维主方向与界面一致的情况，所以我们有必要对正交异性非弹性主方向 裂纹进行讨论。由于各向异性非弹性主方向的理论还不尽完善，和推导的过程比 琐，因此本文讨论了一种特殊情况的非弹性主方向界面裂纹和裂纹在主轴上的非弹 方向界面裂纹。并利用数值实验对各种主轴方向和不同材料参数的应力场进行对 得出不同材料参数对振荡因子和应力场分布的影响规律。 6 第2 章种特殊的1 f 弹性土方向界面裂纹应力场 第2 章一种特殊的非弹性主方向界面裂纹应力场 2 1 引言 随着科学技术的飞速发展众多的先进材料在研究开发过程中提出了一系列与力学 相关的新问题，吸引着越来越多的力学工作者参与，促进了固体力学与材料科学之间的 结合，并由此产生和形成了一些新的学科方向，其中之一就足界面力学。界面区域应力 分布规律以及界面结构强韧度研究和破坏分析是界面力学研究的主要内容。搭接构件强 度分析是其早期的工作，是作为工程背景被提出的，与先进材料的研发和使用密切相关 则促进了它近年来的发展。因为许多先进的复合材料都由异质材料结合而成，故都存在 异质材料间的界面，例如复合材料，微电子多层材料、智能材料、功能梯度材料等等。 虽然界面层在整体结构中所占体积并不大，但是其性质却直接决定着整个结构的强韧 度。同时，界面层也是损伤和裂纹等缺陷易于产生的区域。因此，近几年来人们特别关 注与重视界面力学的研究。纤维增强复合材料是由高强度、低密度的纤维材料与基体所 组成，从传统的力学观点来看，纤维增强复合材料可以认为是具有线弹性各向异性力学 性能的单一材料。线弹性各向异性材料是指每一点的各个方向上的弹性性质不尽相同的 材料。 本文利用建立在z ，平面上的复变函数方法，对双材料非弹性主方向界面裂纹尖端问 题进行了讨论，通过坐标转轴变换公式，得到判别式a o 和a ， 0 时一种特殊的正交 异性双材料非弹性主方向界面裂纹的应力场和位移场的理论表达式。 2 2 正交异性体的物理方程 纤维弹性复合材料是由低密度、高强度的纤维材料和基体共同组成的。所谓线弹性 各向异性材料即在每一点各个方向上的弹性性质都不完全相同的材料。线弹性各向异性 复合材料，应变与应力之间满足广义胡克定律即应力是应变的齐次线性函数，反之应变 也是应力的齐次线性函数，可以用矩阵表示成： 吒ll9 1 盯y q 2 l e q 3 l 殛i - lq 4 1 r 。lf 姥l li 虢t q 1 2q 1 3 q 2 2e 2 3 q 3 2 q 3 3 q 4 2q 4 3 珐2q 5 3 q 6 2 q 6 3 y 毛 y y 2 了矗 l 碍 ( 2 1 ) 即 q ) = 【q 】 q ) 。其中g x ，q ，盯：为j 下应力：k = b ，k = k ，t x y = k 为剪应力。 s ，o ，巳为线应变：，坛，为剪应变： q ) 为应力列阵： q 为应变列阵；【q 】为刚度 矩阵，乌是表征弹性特征的材料常数被称作刚度系数。 7 9 q q q 姥姥 ；1 5 c 5 i q c 5 j q g 绕i； 瓯q g q 幺瓯 双材料非弹性丰方向界面裂纹应力场分析 线弹性f 交异性复合材料指的是通过每一点都具有三个互相垂直的弹性对称平面 的一类材料。因此，由弹性对称理论可以证明出： q 。= g ，= q i 。= q 2 。= q ，= q 2 。= q 。= q 3 ，= q 。= q ，= q 4 0 = 0 5 6 = 0 从而，应力一应变关系式可化为 q 9 19 2 o z , q 2 2 q 3 i q 3 2 oo 0o oo 上式也可用柔度阵表示如下： 白 y 巳 坛 踟 s 6 6 q y 8 z 趾 y z x y x y ( 2 2 ) ( 2 3 ) 显然，刚度矩阵和柔度矩阵是互逆的，即 吲= 蚓一，【纠= 【s 】- l 若把应变一应力关系式( 2 3 ) 中的柔度矩阵p 】用杨氏模量、泊松比和剪切模量代替那么 ( 2 4 ) 这里巨，e 2 ，岛为正交异性材料沿弹性主方向x ，y ，z 的杨氏模量：v 1 2 为x 方向伸、缩时决 定y 方向伸、缩的泊松比：h ，为x 方向伸、缩时决定z 方向伸、缩的泊松比，其余量可 类推；g 2 ，g 3 ，g l ：为决定y 方向和z 方向、x 方向和z 方向之问夹角变化的剪切模量。 把式( 2 3 ) 和( 2 4 ) 对照，可得出弹性常数与柔度系数的关系式 墨，2 i 1 ，一_ 一百v 1 2 一v 岛2 _ _ _ l s v e u 一一i v 3 1 曼z2 去 ，5 一瓦v 2 3 = 一i 1 2 3 2 ，屯s 2 i 1 既：土点；：上，既：一1 ( 2 5 ) & 42 瓦5 5 2 百62 瓦 嘭训 通过求逆矩阵，推出刚度系数与弹性常数关系 o o o o o 魏 o o o o 姥0 o o o q o o 3 3 3 纽q 幺o o o o o o o 踮o o o o 跏o o o o o 啦勉豌o o o 叭鼢吼o o o 一2 o o o o o 。一q 。 。 o 。 _ 1 。 。 。 。 _ 1 。 。 且如望如一l如。 。 。 一如，一一如。 。 。 。一玩恤一日吣一函。 。 o q l 。= 9 2 = 酉1 - - k 2 3 v 3 2 骗= 等，q 3 32 锗 v 1 2 + v 1 3 v 3 2 1 l ，2 l + v 2 3 v 3 1 e i e j qe 2 e 3 h 1 3 = 乎 0 2 3 = v 2 3 + v 2 i v l 3 e e ： ：坠! 堡2 兰! e 2 e 3 n = v 3 2 - i - v 3 1 v i 2 e 、e 3 q 纵= g 2 3 ，0 5 5 = g 3 l ，q 6 6 = g 1 2 玎2 = 0 2 l = q 3 。 = q 3 2 1 - 1 , 1 2 v 2 l v 2 3 心3 一屹l 3 2 2 麴 巨易易 2 3 正交异性复合材料非弹性主方向的弹性特征 ( 2 6 ) 2 3 1 单层板非弹性主方向弹性特征 若坐标轴不平行于纤维增强复合材料单层板的纤维主方向，即所选的坐标轴与弹性 主方向之间的央角为妒，则这样的坐标系d 垆称为非弹性主方向坐标系。面内非弹性主 方向坐标系卿和弹性主方向坐标系d 1 2 之间的应力变换公式和应变变换公式依次为： 妻 = s i 三囊量妒一s 篓三s 缈 或 吒) = 【丁】。 0 1 ) 刚2 s 毫一2 曼c 磊熄 或 = 【丁】。 q ( 2 7 ) ( 2 8 ) 其：q hi t 。称为应力变换矩阵；口】。称为应变变换矩阵，由式( 2 7 ) ，式( 2 8 ) 通过求逆 刚曼删量兰爰蚓 或 q ) = 【礓 q ) 刚曼岫基毳蚓 或 q = 【丁巧 q ) 其中 丁】：是【丁】。转置矩阵， 丁巧是i t ，的转置矩阵。 9 ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 缈驴 妙 似邳群 c x 孵? 一 l 唧婶旷 么强莳 双材料非弹性主方向界面裂纹应力场分析 将式( 2 9 ) 代入式( 2 7 ) ，得到单层板非弹性主方向的应力一应变关系 o x o ￥ z x y 9 l iq 1 2q 1 6 q 2 1q 2 2q 2 6 q 1 69 2 6 姨6 x s y 7 x y 或 q = q 】 t 其中非弹性主方向的刚度矩阵 纠与弹性主方向刚度矩阵【q 】有下列关系 q 】= 旷】。 q 】 丁e 由此得到刚度系数q ，( ，= l ，2 ，6 ) 为 q 1 1 = ( q 1 1 ) c o s 4 伊+ 2 ( q 1 2 + 瓯) c o s 2 ( , o s i n 2 缈+ q 2s i n 4 缈 q 1 2 = ( q 1 l + q 2 2 4 q 6 6 ) c o s 2 ( p s i n 2c , o + q 2 ( s i n 4 妒+ c o s 4 缈) q 2 2 = q 1 ls i n 4 伊+ 2 ( q 1 2 + 2 q 6 6 ) c o s 2 ( p s i n 2 妒+ q 2 2c o s 4 伊 q 1 6 = ( q l l q 1 2 2 q 6 6 ) c o s 3 伊s i n 2 缈+ ( q 1 2 2 q 2 2 + 2 q 6 6 ) c o s o s i n 3 缈 q 2 6 = ( q l l q 1 2 2 q 6 6 ) c o s 呼o s i n 3 缈+ ( q 1 2 2 q 2 2 + 2 q 6 6 ) c o s 3 ( p s i n ( , o q 6 6 = ( q 1 l + q 2 2 - 2 q 1 2 2 q 6 6 ) c o s 2 ( p s i n 2 缈+ q 6 6 ( c o s 4 妒+ s i n 4 缈) 将式( 2 9 ) 代入式( 2 8 ) ，得单层板非弹性主方向上的应变一应力关系 卧 s l is 1 2s 1 6 s 1 2 s2 2 s2 6 s 1 6s2 6s6 6 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 或 t = 嘲 吒 ( 2 1 4 ) 其中非弹性主方向的柔度矩阵丽与弹性主方向的柔度矩阵【s 】的转轴变换公式为： 网= 【t 】。 s 】【t 】： ( 2 1 5 ) 由此得到用柔度系数s ，表示柔度系数s 驴( f ，j = l ，2 ，6 ) 如下： $ 1 1 = ( s 1 1 ) c o s 4 缈+ 2 ( s 1 2 + s 6 6 ) c o s 2 口o s i n 2 缈+ s 2 2s i n 4 缈 s 1 2 = ( s 1 1 + s 2 2 一s 6 6 ) c o s 2 ( p s i n 2 矽+ s 1 2 ( s i n 4 妒+ c o s 4 缈) $ 2 2 = s 1 1s i n 4 缈+ ( 2 s 1 2 + s 6 6 ) c o s 2 ( p s i n 2 缈+ s 2 2c o s 4 妒 $ 1 6 = ( 2 s , 1 - 2 s 1 2 一s 6 6 ) c o s 3 缈s i n 2 缈+ ( 2 s 1 2 2 s 2 2 + 2 s 6 6 ) c o s 弘, s i n 缈 s z 6 = ( 2 s l l - 2 s 1 2 一s 6 6 ) c o s 缈s i n 3 缈+ ( 2 s 1 2 2 s 2 2 + $ 6 6 ) c o s 3 ( , o s i n o s 6 6 = 2 ( 2 s l l + 2 s 2 2 - 4 s 1 2 - s 6 6 ) c o s 2r p s i n 2 伊+ $ 6 6 ( c o s 4 o + s i n 4 伊) ( 2 1 6 ) 纤维增强复合材料单层板非弹性主方向的应力一应变关系式( 2 1 2 ) 和应变一应力关 系式( 2 1 4 ) 说明，正应力会引起剪应变，剪应力会引起线应变；反之亦然。这种现象 称为交叉效应，反应交叉效应的刚度系数是q 1 6 ，q ：。；柔度系数是s s 1 6 由式( 2 1 3 ) ， 式( 2 1 6 ) 可知，上述交叉系数都是角矽的奇函数，其他系数都是角p 的偶函数。 1 0 第2 章一种特殊的非弹性主方向界面裂纹应力场 因为单层板非弹性主方向存在交叉效应，所以进行力学分析时属于各向异性体。若 用非弹性主方向的弹性常数表示柔度系数s ( i ，歹= 1 ，2 ，6 ) ，则应变一应力关系式( 2 1 4 ) 化为： 鼢 l e x y “ ex m 1 ex v x y e 。 1 e y 所y ey 所， e 。 聊” e ， l g x y ( 2 1 7 ) 共l t j 巴，已y 刀砰任土力1 日jx ，少刖仞氏俣重；刀x y 干回州刿训俣重；，l ，。刀 相应方向的泊松比；所，m ，是在非弹性主方向x ，y 出现的无因次系数，称为交叉系 一s i i = 击，- 1 2 一等一等，_ 2 22 瓦1 ，- 6 1 吒，一s 1 6 - 一专，- 2 s 一苦c 2 - 8 ， e x , e y , g x y 茜2 等和琶，亏m 的转轴变换公式如下 瓦12 击c o s 4 ( 1 9 - 1 - 2 c 毒一亭2 v i 2c o s 2 删n 2 缈+ 专s ；n 4 缈 等2 等= 等c s i 一够+ c o s 4 力一c 去+ 去一壶灿，删一缈 瓦12 击s 甜州瓦1 一争c o s 2 删n 2 缈+ 去c o s 4 缈 万12 去 咖s 4 卅c 云+ 云+ 鲁一寺2 c o s z 卿咖 薏2 ( 云+ 百2 v i 2 1 ：) c 。s 3cpsin。p_(如2+百2vn一瓦1g ) c 。s 卿n 3 矽 e、巨e：如巨g 。： 77 苦= ( 云+ 百2 v i 2 一石1 。：) c o s ( , a s i n 3i 2 + 百2 v 1 2 一寺c o s 3 删n 妒( 2 1 9 ) 吒= 去r e i 篇 南一雨i 1 眨2 。， 旷去髓l 志【、志一南j j 眨2 。， 双材料非弹性主方向界面裂纹应力场分析 = 志r e 篇( 志一南 仫2 2 ， 应力强度因子岛为 k ，= 盯厉( 2 2 3 ) 表示对 内的复数取实部。( r ，p ) 为以裂纹尖端为极点的极坐标，和( x ，y ) 之间有关 x a = ，c o s 秒，y = ，s i n 矽，( r a ) ( 2 2 4 ) ：是特征方程的根： a l j 4 2 a , 6 3 + ( 2 q 2 + ) 2 2 a 2 6 t + 哆2 = o ( 2 2 5 ) ，a 1 6 日，口拍，呸：是单层板关于非弹性主方向坐标系x y 的柔度系数。 材料主轴方向与界面平行的界面裂纹应力场 1 偏微分方程边值问题 如图2 1 所示，x 0 ，y = 0 为界面裂纹，x 0 ，y = 0 为材料粘接面。y 0 部分为第一 交异性复合材料，巨。，巨：，嵋。，嵋：，m 为其工程常数；y o 和a ： o 的情形，则方程( 2 3 7 ) 有如下的根 = f 颤，0 m ) = 觋，岛： 岛。 o ，( = l ，2 ，k = 1 ，2 ) ( 2 3 9 ) 群= 警一 陈= 7 2 ( 6 1 ：) ，+ ( 6 6 。) ，、 ( b 2 2 ) j 2 ( 6 1 ) ，( 6 1 ) ， 2 ( b 1