（应用数学专业论文）基于谱分析理论与moorepenrose广义逆的正则化.pdf

审寸摘尊 反问题是现在数学物理研究中的一个热点问题，但是数学物理反问题的求 解面i 临的一个本质性的困难是不适定性，主要是近似解的不稳定性，即方程的解 ( 如果存在) 不连续依赖于右端的数据，当右端的数据有误差时，其解与真解之 间会产生很大的误差。求解不适定问题的普遍方法是正则化方法，如何建立有效 的正则化方法及算法是反问题领域中不适定问题研究的重要内容。 本文从一些实例出发，介绍了反问题和不适定问题的基本概念，并讨论了 方程的m o o r e p e n r o s e 广义解和m o o r e p e n r o s e 广义逆，得出了线性紧算子方程 的不适定性，即斛o o r e p e n r o s e 广义解的不稳定性的结论。为了得到线性紧算子 方程稳定的近似解，介绍了不适定问题正则化的一般理论，以自伴紧算子的谱分 析与紧算子奇异值分解为理论基础，利用奇异系给出了解的表达式，说明了紧算 子方程不适定性的根源在于紧算子的奇异值趋于零的性质，由此通过引入正则化 滤子函数来减弱或滤掉奇异值趋于零的性质对解的稳定性的影响，构造正则算 子，从而提供了建立正则化方法的理论依据。文中以此为依据给出了一个正则化 滤子函数，从而建立一种新的正则化方法，并讨论了正则解的误差估计及正则参 数的选取问题，证明了这种方法使正则解的误差具有渐进最优阶。文中还介绍了 两种重要的正则化滤子函数，并讨论了其对应的t i l d l o n o v 正则化和l a n d w e b e r 迭代法，这两种方法避免了奇异系的计算，在各类反方问题的研究中被广泛地采 用。考虑到反问题的数值计算需要将问露离散化，化为有限维的问题来进行处理， 而对于有限维算子的奇异系的计算已经有了相当成熟的各种算法，因此在反问题 的数值计算中没有必要避开奇异系的计算，此时t s v d ( 谱截断) 正则化方法是 十分简单并相当有效的正则化方法。文中详细讨论了t s v dj 下则解的误差估计 与正则参数的选取问题，通过正则参数的先验和后验选取，证明了1 s v d 正则 解的误差具有渐进最优阶，并且通过具体的实例说明了t s v d 正则化方法是一 种计算量小，正则参数容易确定的求解不适定问题十分有效的方法。 关键词：反问题，不适定问题，正则化，正则化滤子函数 t s v d 正则化方法 a b s t r a c t i nm a l h e m a t i c a lp b y s i c si n v e s e p r o b l e m s r e s e a r c h n gi sv e r yh o tn o w a d a v s h o w e v e lt h e m a i n d i f f i c u l t y a b o u tt h es o l u t i o no fi n v e r s ep r o b l e m si i e si n i l l p o s e d n e s s ，w h i c hi st h ei n s t a b i l j t yo fa p p r o x i m a t es o l u t i o n ，t h a ti s ，t h es o l u t i o no fa e q u a t i o n ( i fe x i s t i n g ) i n c o n t i n u o u s l yr e l yo nm ed a t ai nr i g i l th a n ds i d e t 1 i e r ew i l l p r o d u c ea 口e a te h o r b e t w e e nt h ea p p r o x i m a t es o l u t i o na n dt h ec o n e c ts o l u t i o nw h e r e t 1 1 ed a t ai nr i 曲th a n ds j d ea r ee r r a i l t + a g e n e r a lw a y t h a tw es o i u t ei i l - p o s e dp r o b 【e m s i sr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d t h e r e f o r e ，h o wt ob u i l du pe f i c c t i v er e g u l a r i z a t i o nm e t h o d a n da i g o r f c h ma r ev e r yi m p o n a n tp a n so fm p o s ep r o b l e m s 豫s e a f c h j n gi nj n v e r s e p r o b l e m s 6 e l d b o 西砬i n gw i 也s o m ec a s e s ，t h oa n ；c l e 西v e s b a 岛cd e 氍n i t i o n so fj n v e f s e p r o b l e m sa n di l l - p o s e dp r o b l e m s t h e ni t d i s c u s s e st h em 0 0 r e - p e n r o s e 足e n e r a l i z e d s 0 1 u t i o na d dt h em o o r e p e 肚o s e e n e r a l i z e di n v e r s e ，a n dm a k e sac o n c l u s i o nt h a t 1 i n e a r c o m p a c to p e r a t o re q u a t i o n s a r e i l i p o s e d ， t h a t i s ， t h em o o r e p e n r o s e g e n e r a l i z e ds o l u t i o ni s u n s ta _ b l e i i io r d e rt of i n das t a b l ea p p r o x i m a t es o i u t i o no f l i n e a r c o m p a c to p e r a t o rc q u a t j o n ，m ea n i c i e i n t r o d u c c s e e n e r a it h e o r i e sa b o u t i l l p o s e dp r o b l e m s i tb a s e so ns p e d r a lt h e o r yo fs e l f a d j i o n tc o m p a c to p e m t o r sa n d t h es j n g u i a fv a l u ed e c o m p o s i t i o nf o r c o m p a c to p e r a l o r s ，a v a i l ss i n g 址l a fs y s c m 撼g i y e e x p r e s s i o no ft h es o l u t i o n ， a n de x p l a i n si l l - p o s e d n e s so fc o m p a c to p e r a t o re q u a t i o n r o o t si nt h ep r o p e f t yf h a tt h es i n 2 u l a rv a l n e st r o n d st oz e 0 t h e r e o u l ，j ti sp r d v j d e d w i t ht h e o r e t i c s u p p o n o f b u i l d i n gu pr e g u l a r i z a t i o n m e t h o d b yi n d u c l i n g f e 口m l a f i z a t j o nf i l t e rt ow e a k e no rf i l t r a t et h ei n f l u e n c et h a tt h en a t u r eo ft h es i n p 叫】a r v a l u eb e i n gv e r yc l o s et o2 e r oh a so nt h es 0 1 u t i o n ss t a b i l i t y o nt h eb a s i so ft h a t ，t h e a r t i c l eg i v e sar e g u l a r i z a t i o nf i l t e ra n db u i l d su paq u i t en e wm e t h o do fr e g u l a r i z a t i o n i ta i s od i s c u s s e st h ec a l c u l a t i o no fr e p m l a r i z a t i o nr e s o l u t i o n se r r o ra n dt h ec h o i c co f r e g u l a r i z a t i o np a r a m e t e r a n dp r o v e st h a tt h i sm e t h o di st h eb e s tt om a k et h e r e s o i u t i o nh a v eo r d e r o p t j m a l i y b e s i d e s ， t h ea r t j c i e p r c s e n t s “v of m 口o r t a 耐 r e 2 m l a r i z a t i o nf i l t e ra n da l s od i s c u s s e sc o r r e s p o n d i n gt i l 【l l o n o vr e p m l a f i z a t i o na n d l a n d w e b e ri t e r a t i v em e 俑o d t h e s et w om e t h o d sa v o i dc a l c u l a l i n 2s j n 毋n a rs v s t c m a n da r ew e n a p p l i e di nt h ef i e l d so fa l lk i n d so fi n v e r s ep r o b l e m s r e s e a r c h i n 2 n o t e f h a t r e ；舛j a i j z e dp r o b l e m sa r eu s u a l l yd e f i n e di n a nj n f i n j t es e t t i n ga n dh a v et ob e d i s c r e t i z e df o ra ni m p l e m e n t a t i o na n dt h e r eh a v eb e e nm a n yc o m p a r a t i v e l ya d u l t m e t h o d so fc a l c u l a t i n gs i n g u l a rs v s t e m t h e r e f o r e ，t h e r ei sn on e e dt oa v o i dt h e c a l c u i a t i o no fs i n g u l a rs y s t e mi ni v e r s ep r o b l e m s c a l c u l a t i n go fn u 田e r i cv a l u e h e r e t s v dr e 胂1 捌z a t i o nm e t h o di sv e r ys i m p l ea n dq u i t ee 圩e c t i v e0 n e 1 1 1 ea n i c l e d j s c u 5 s e sf h ec a j c u j a 打0 no ft s 、，df e 窖u 丑d z a f i o nr c s o j 踟n se r r o f 习n df 扫ee h o i c eo f t s v dr e g u l a r i z a t i o n p a r a m e t e r i nd e t a i l s b yp r i o r a n d p o s t e r i o rc h o i c e s o f r e g u l a r ：i z a t i o np a r a m e l e r ，i fj sp r o v e dt h a tt h ee 玎o ro fr e g u l a f i z 矗矗o ns o l u l i o nh a so 司e ， o p t i m a l i t y a n dt h r o u g hc a s e si ti sa l s oe x p l a i n e dt h a tt s v dr e g u l a r i z a t i o nm e t h o di s ae f f _ e c t i v eo n et or e s 0 1 v e 一p o s ep r o b l e m sw i t hc h a r a c t e r i s t i c so fl i i t l ea m o u n to f c a l c u l a t i n ga n do fe a s i e rr e s l a r i z a t i o np a r a m e t e rc o n f i 咖i n g k e yw o r d s ： i n v e r s ep r o b l e m s ， 1 1 1 p o s e dp r o b l e m s ，r e 豇l l a r i z a l i o n ， r e g u i a r z a l i o nf i l t e r s ，t s v dr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d 武汉理【大学硕十论文 1 1 反问题 第1 章引言 在科学史上有一个著名的“盲人听鼓”的问题，这是一位丹麦物理学家在1 9 1 0 年提出的一个数学问题。在已知鼓的形状的条件下，要确定鼓的发声规律，这 在数学物理研究中早已是成熟的课题。反之，仅仅通过鼓的声音能否判断出鼓 的形状呢? 生活经验告诉人们“以耳代目”具有一定的可能性。在实际生产、生活 中，类似的数学问题经常可以遇到。由此，在数学中派生出一个新兴的分支学 科反问题研究。 反问题是相对于正问题而言的。一般的，对于两个相关问题，如果其中一 个问题的是( 或部分是) 另一个问题的结论，则称这两个问题是互逆的。通常， 将其中一个研究的较早、发展的较成熟的问题称为正问题，而另一个问题相应 的称为反问题。例如：在初等代数中，已知方程求解方程的根，若称其为正问 题，那么由方程的根求出方程的系数就是代数方程的一类反问题；在矩阵论中，由 已知矩阵求特征值也对应着它的反问题已知特征值求矩阵；对于微分方程 而言，求解满足方程初始条件与边界条件的解是正问题，已知或部分已知微分 方程的解，反求微分方程如系数、右端项、定解条件和定义域等未知成分，这类问 题通常称之为微分方程的反问题。 反问题研究的蓬勃发展始于2 0 世纪5 0 年代前后，研究对象主要涉及与探 测、识别和设计有关的应用问题，特别在油藏模拟、地质勘探、卫星探测、遥 感技术、无损探伤以及医学成像等领域有着深刻的应用背景。来自生产、生活 的各个领域的实际需求，是推动这一学科迅速发展的动力。 例11 医学成像问题 r a d o n 在1 9 1 7 年证明了二维、三维物体可由无限多个投影的逆变换实现重 构，r a d o n 变换与计算机技术相结合开发了在医学成像上有广泛应用的c t 技术 ( c o m p u t e r i z e dt o m o 铲a p h y ) 。 假设通过人体的某一截面上的点( x ，y ) 处的密度为p ( x ，_ ) ) ，l 是该截面上的 任一直线，沿直线l 发射一束x 射线穿过人体，测量x 射线穿过人体后的强度 变化。如图1 1 ，直线l 用参数“，6 ) 表示： 武汉理1 ：人学硕士论文 y s p m + 豇z e 6 c ， “，5 r ，d 0 ，石】 图1 1x 射线扫描人体示意图 x 射线强度i 的衰减可近似表示为： d i = 一y p i d u y 为谍数 沿直线l 积分得： l n ，( ) ；一yr “p ( s e 坩+ f “p 拍) d “ o ”8 若p ( x ，_ ) ，) 有紧支集，则x 射线强度i 的衰减可由 l n ，( 叫= 一y c p ( s p ”劬e ”) d “ 给出。记( 尺，) ( s ，6 ) ：- cp ( s p 6 + f “e ”) d “，r ，称为p 的r a d 。n 变换。 通常，正问题是对于给定的密度p ( x ，_ ) t ) 求r a d o n 变换尺，而反问题则是已 知r a d o n 变换r 。求密度p ( 石，_ ) ，) 。 例1 2 地质勘探中的反问题 假设在地球表面上的某直线上测得z 处的引力竖直分量，( z ) ，而地面下深 度为 的线密度为p ( s ) ，那么由万有引力定律： 武汉理一i 人学硕士论文 刖= - p o 灿 【( x 一5 ) 2 + 2 】2 其中k 为引力常数。 在地质勘探中，通常根据地球表面测量到的数据，对发生在地球内部的地 质异常所在位置、形状和某些参数加以确定。此处的反问题是己知，扛) 的数据， 确定线密度p ( s ) 。 例1 ，3 物理中的反问题 设一质量为m 的质点在重力的作用下从高度为 的点p 。处，沿着铅直平面 中的曲线1 1 无摩擦地滑到高度为0 处的点风。正问题是：给定曲线r ：x 。，( ) ，) ， 确定质点由点p 。滑落到点p 0 处的时间r ；反问题是：假设测得质点由任一高度 滑落到点风处所需时间为f r ( ) ，确定曲线r 的形状。 在曲线r 上任取一点p ，坐标为( ，( _ ) t ) ，y ) ，由能量守恒定律： 去历v 2 + m g y 。m 曲 从而可得质点的速度为： 砉= 丽 故质点由p 。点处滑落到点p o 处所需时间为： 砌，。( 击2 j ： 如果令( y ) ：瓶干丽，妒) ：厨( ) ，那么这里的反问题可表述为： 伊( ) 己知，o ) 未知，求解a b e l 积分方程： r ，67 墅当y ：妒( ) j 。万“ 例1 4 数值微分问题 给定可积函数，( f ) ，f 【0 ，1 】，求其原函数f ( f ) ，这是积分问题。相应的反 武汉理工大学硕士论文 问题是已知可微函数f ( f ) 求其导函数，( ) ，这是微分问题。微分和积分是互逆 的数学问题，如果给出了解析式，通常积分比微分困难。但是，如果给定的f 是近似的，甚至是带有误差的离散值，这时对f ( f ) 作数值微分，那么这个问题 就要困难得多。在很多的实际问题中，例如：图象处理过程中的不连续点的确 定问题；化学分析中的实验数据的波峰分离问题；a b e l 积分方程的求解问题等 都会涉及到数值微分问题。 数值微分问题的一般提法是：对于可微函数y ；f ( f ) ，f 【0 ，l 】，已知f ( f ) 在 点0 一f o r 1 o ，使得 lj 只。y z + 硎ss l 陟， w d ( 丁+ ) 故有： i 矿+ y 0 1 1 尺。，一丁+ y4 + l 陋。，1 1 ( ，+ l l r 。悯i - ) ，l 这与丁+ 无界矛盾。l 4 2 正则解的误差与正则参数的选取 设盖，y 均为h i l b e r t 空间，丁：x y 是紧算子，d i m r 叮) 一。，考虑紧算 子方程： a - y ，y d ( + ) 的求解。由于在实际问题中，方程投= y 的右端往往是观测到的值y 。，它与真 实值_ y 之间存在误差，因此真一求解的是方程： n = y 假设y 。d ( r + ) ，且l i y y 。忙6 ，r 。为算子丁的正则化算子，此处以正则解 r 。y 。作为方程r = y 的精确解r + y 的近似，那么难则解r 。y 。与精确解r + y 之问 武汉理 火学硕士论文 的误差为： 由三角不等式，误差忙。y 。一丁+ y 1 i 可分为两个部分 j k y 。一r + y s k y 。一r y 4 + 6 心y r + y 8 s l j r 。l j j l y 。一y 0 + j r 。y r + y 9 即i 陋。y 。一r + y | lsi 陋。1 1 6 + i 陋。y r + y | | 上式右端的第一项i 陋。忪称为扰动误差，反映了不精确数据对误差的影响， 数据误差6 被忙。9 放大：右端第二项忙。y r + y 4 称为正则误差，反映了尺。与r + 之间的逼近程度。显然，当口一。时，正则误差恤。y 一丁+ y 9 一o ，但由定理4 1 的结论，玩关于口不一致有界，郎a o 时可能会出现椒。f f 一+ 。，扰动误差 趋于无穷大，由此可见正则化方法是以扰动误差为代价换取解的稳定性。 正则参数口的选取a = 口( 6 ) 首先要求数据误差d o 时，r 。y 。一r + y ，如 果当6 0 ，尺。、y 。一丁+ y ，则称正则参数的选取策略是容许的。同时，从r 。 逼近r + 的精确度的角度看，正则参数a 取的越小越好；从解的稳定性角度看， 自然希望忙。4 越小越好，即正则参数a 要求不能太小。综合两方面考虑，正则 参数a ( 6 ) 的最优选取应确保6 一。时，r 。y 。一丁+ ) ，同时使得 f 尺。l p + l i 尺。y r + y 0 达到最小。 武汉理 ：大学硕+ 论文 第5 章正则化滤子函数与正则化算子 本章将在广义算子逆和谱分析的理论框架下讨论紧算子方程的正则化问 题，通过引入正则化滤子函数，构造正则化算子。 5 1 紧算子方程解的存在性与解的表示 定理5 1 ( r i e s z f is h e r ) 设h 均为h j l b e r t 空间，托) 是其标准正交系，则 ( 1 ) ( 叭，n ) f 2 。薹 ( 2 ) 若驴t 收敛记驴， 证明：。，注意到i 薹毒铲尘 ( 2 ) 驴( q ) ， 同时易知 令h 一+ ，即何 ) 。2 。善吒q 收敛 h 苫f ，令n 一+ 。，即得 口f 一 ，p 。) l 一喜n ；巳0 2 = l k 旷一耋k j l 2 蚶州i 2 定理5 2 ( p ；c a r d ) 设x ，y 均为h i l b e r t 空间 为( a ，x 。，y 。) ，刈 y 刨一砉半。 r ：x y 是紧算子，r 的奇异系 = 。 立 口 茂 懒灿旷牡 础n制。驰 硝叫。一 武汉理【：大学硕士论文 ( 2 ) 丁弘；| ；学。，d ( 证明：若y d 口+ ) ，则有n + = 毋，+ 一r + y 叮) 1 ，其中p ：y 一可巧为 2 正交投影a 由于印一 置 j 叮) 1 ，则石+ 。薹g + ，置弦r ，善忙+ ，x ) l o ，使得 k ( 口，) lsc ( 口) p ，v ( 0 ，l 旷驷 ( 3 ) 瓣q ( a ，肛) = l ， v 肛( o ，例】 则由下式定义的算子r 。：y x 助若掣蚶一 是一正则化方法，且l 陋。忙c ) 。如果正则参数口的选取a 一口p ) 满足 a ( 6 ) 一o 和6 c p ) ) 一o 6 0 则正则参数的选取策略是容许的。具有以上性质的函数q ，肛) 称为丁的正则化 滤子函数。 证明：由题设条件( 2 ) 胆驰砖帅。牡2 ( 嚼胁z 牡2 ( 帅| | 2 即有慨忙c ( a ) a 以下证明船只。) ，1 工+ 。 由定理5 2 的证明过程舭。扩 掣咄+ ) 而且 武汉埋i 人学坝士论文 即一薹掣映y 挑 从而 i | r 。y z + 8 2 一薹c a c a ，岸。，一。+ ，工。，上。4 2 = 薹【q ( a ，j ) 一1 】2 。i 。+ ，x t ) i 2 s | 卜+ 2 对v ，n 存存下昭拉傍得 缸训- 1 】2 胁j ) 1 2c 等 又由题设条件( 3 嬲q ，) 一1 ，v 卢( o ，俐| 】可知存在a 。) o ，使得 洳旭h 】2 胁r ，1 2 卉 v 州嘁， 于是，对v d ( o ，a 。) 有 扣_ 1 】2 阻) m _ 1 】2 忙葺卜缸训- 1 】2 z ) 1 2 卉2 + 故1 i m 月。y = z + 。l 口u 定理5 3 说明可以通过j 下则化滤子函数的构造给出相应的正则化方法。 53 几种正列化滤子函数与对应的正则化方法 满足定理5 3 的条件的正则化滤子函数有很多，其中有两个非常重要的正则 化滤子函数q ，) 。i 告_ 和q ，肛) = 1 一( 1 4 2 ) ：，它们分别对应的是 t i k h o n o v e 则化方法和l a n d w e