（应用数学专业论文）增长曲线模型参数阵的线性容许minimax估计.pdf

华北水利水电学院硕士研究生毕业论文 增长曲线模型参数阵的线性容许m i n i m a x 估计 摘要 增长曲线模型是具有如下形式的模型： y x 泓；+ e 这里y 是n x q 阶观测矩阵，x 。和x ：分别是n x p 和q x k 阶己知设计矩 阵，b 是p x k 阶未知参数矩阵，f 是界x q 阶随机误差矩阵，并且满足 e - 0 ，- 盯缈o z ，矿和是已知的半正定矩阵。 本文从以下几个方面研究增长曲线模型的可估函数k b l 的线性 容许m i n i m a x 估计： 首先，在矩阵损失函数下，得到了一般形式的增长曲线模型的可 估函数的线性容许m i n i m a x 估计，并证明其惟一性。 其次，在矩阵损失函数下，研究了具有共同均值参数矩阵的增长 曲线模型的线性容许估计和线性容许m i n i m a x 估计，得到了其表达 式，并证明了线性容许m i n i m a x 估计的惟一性。 再次，在矩阵损失函数下，分别在齐次线性估计类和非齐次线 性估计类中研究了带约束的增长曲线模型的可估函数的线性容许 m i n i m a x 估计。 最后，在二次损失函数下，研究了带等式约束的增长曲线模型 的可估函数的线性容许m i n i m a x 估计特征。 关键词：增长曲线模型，容许m i n i m a x 估计，矩阵损失函数，二 次损失函数 华北水利水电学院硕士研究生毕业论文 t h ea d m i s s i b i i ，i t ym i n i m a xe s l 1 m 筮10 f t h eg e n e r a lg r o 佃c u r v em o d e l t h eg r o w t hc u r v em o d e li st h em o d e la sf o l l o w i n g ： y x 澄：+ e 强p l e r ey i sa nn x qm a t r i xo fo b s e r v a t i o n s ，x la n dx 2a l e r e s p e c t i v e l ynx pa n dqx kk n o w nm a t r i c e s ，bi sp x ku n k n o w n p a r a m e t e rm a t r i x ，s i sa l lnxqr a n d o me l r o rm a t r i x ( 芎) 一0a n d c o v 口缈o z ，v a n d2a r ek n o w np o s i t i v e s e m i d e f i n i t em a t r i x i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ea d m i s s i b i l i t ya n dt h em i n i m a xe s t i m a t eo f t h ep a r a m e t e rm a t r i xk b lo ft h eg r o w t hc u r v em o d e li ns u c hw a y ： f i r s t l y , u n d e rt h em a t r i xl o s sf u n c t i o n ，ig e tt h em i n i m a x a d m i s s i b l e e s t i m a t eo ft h ep a r a m e t e rm a t r i xk b lo ft h eg r o w t h ( 奠l r v em o d e lw h i c h h a st h eg e n e r a lc o n c l u s i o n s e c o n d l y , u n d e r t h em a t r i xl o s s f u n c t i o n ，is t u d yt h el i n e a r a d m i s s i b l ee s t i m a t o ra n dt h ea d m i s s i b l em i n i m a xe s t i m a t o ro ft h eg r o w t h c l l i v em o d e lw i t ht h es a n l em e a np a r a m e t e rm a t r i x ，a n dp r o o ft h eo n l yo f t h el i n e a ra d m i s s i b l em i n i m a xe s t i m a t o r t h i r d l y , u n d e ram a t r i xl o s sf u n c t i o n ，w ec o n s i d e rt h em i n i m a x a d m i s s i b i l i 哆e s t i m a t e so ft h er e s t r i c t e dm u l t i v a r i a t er e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t t h e 饿圮懿卿a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o na l eg i v e nf o ral i n e a re s t i m a t e m y n ( m y n + c ) t oh e m i n i m a xa d m i s s i b l ei nt h ec l a s so fs o m e h o m o g e n e o u s ( n o n - h o m o g e n o u s ) l i n e a re s t i m a t e s ，a n d am i n i m a x a d m i s s i b l ee s t i m a t ei sg i v e n l a s t l y , w oc o n s i d e rt h em i n i m a xa d m i s s i b i l i t y e s t i m a t e so ft h e r e s t r i c t e dm u l t i v a r i a t er e g r e s s i o nc o e f f i c i e n tu n d e r q u a d r a t i cl o s sf u n c t i o n t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o na r eg i v e nf o ral i n e a re s t i m a t e 华北水利水电学院硕士研究生毕业论文 m 州m ot ob em i n i m a xa d m i s s i b l ee s t i m a t ei nt h ec l a s so f s o m eh o m o g e n e o u s ( n o n - h o m o g e n o u s ) l i n e a re s t i m a t e s ，a n dam i n i m a x a d m i s s i b l ee s t i m a t ei sg i v e n k e yw o r d s ：t h eg r o w t hu - ：i l r v e m o d e l ，a d m i s s i b i l i t ym i n i m a x e s t i m a t e ，m a t r i xl o s sf u n c t i o n ，q u a d r a t i cl o s sf u n c t i o n 华北水利水电学院硕士研究生毕业论文 a 七0 a 0 4 z + 彳1 a 七b r k ( a ) t t ( a ) ( 砷 只 j ) v e t ( a ) e ( z ) v a t ( x ) c o v ( x ，y ) a b - 瓴丑) f l - ， 符号表 “定义为”或者“记为” 4 为对称半正定方阵 彳为对称正定方阵 矩阵彳的广义逆 矩阵彳的m o o r e - p e n t o s e 广义逆 满足月1 0 且具有最大秩的矩阵 a 2 i ) b 0 a b 0 矩阵彳的秩 方阵爿的迹 4 的第f 个顺序特征根 向u ( a ) 的正交投影变换阵 矩阵a 的列向量张成的子空间 矩阵爿按列拉直 随机变量或向量x 的均值 随机变量z 的方差 随机变量或向量x ，y 的协方差 4 和口的k n o n e c k e r 乘积 实数域上的全部以维向量 表示分量皆为1 的列向量 单位矩阵 独立完成与诚信声明 本人郑重声明：所提交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进 行研究工作所取得的研究成果并撰写完成的。没有剽窃、抄袭等违反学术道德、 学术规范的侵权行为。文中除已经标注引用的内容外，本学位论文中不包含其他 人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北水利水电学院或其 它教育机构的学位或证书所使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和 集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。本人完全意识到本声明的法律 后果由本人承担。 学位论文作者签名： 保证人( 导师) 签名： ；蜊 嘶 签字日期： w 叼岁， 7 签字日期；p 7 s 7 学位论文版权使用授权书 本人完全了解华北水利水电学院有关保管、使用学位论文的规定。特授权 华北水利水电学院可以将学位论文的全部或部分内容公开和编入有关数据库提 供检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段复制、保存、汇编以供查阅和借阅。 同意学校向国家有关部门或机构送交论文原件或复琦j 件和电子文档。( 涉密的学 位论文在解密后应遵守此规定) 导师签名； 签字日期： p 螂。 洲y 毒谓， 轸 多 芏 ：力， 名 矿 鹕 y 者作 ： 文 期 论 日 位 字 学 签 华北水利水电学院硕士研究生毕业论文 第一章序言 增长曲线模型是具有如下形式的模型； y - x i 脚鼍- l - e ( 1 1 ) 这里y 是站x q 阶观测矩阵，x 。和x 2 分别是n p 和q i | 阶已知设计矩阵，曰是 p x k 阶未知参数矩阵，芎是矗x 口阶随机误差矩阵，并且满足e ( 力一0 ， c o v ( o - 盯缈o ，其中手表示蓐按列拉直生成的向量，y 和z 是已知的半正定 矩阵。 这个模型相当一般，实际上，若z ，模型( 1 1 ) 就是多元线性模型； 若q - k 1 ，模型( 1 1 ) 就是大家熟悉的g a u s s - m a r k o v 模型。由于一般线性模 型的应用是相当广泛的，因而作为包含一般线性模型的增长曲线模型其应用前景 也十分广阔。目前它广泛地应用在生物制药、工农业生产、气象地质、经济管理、 水文学等领域。这从理论和实际上都说明研究模型( 1 1 ) 是有意义的。 增长曲线模型最先由w i s h a r t 于1 9 3 8 年在研究不同动植物生长情况时引用 的。p o t h o f f , r ea n dr o y , s n 在1 9 6 4 年对这种模型的背景进行了详细的研究 【9 】。近几十年来，很多统计学家如c r r a o ，p e r l m a n & o l k i n ，k h a t r l ，吴启光等 对其进行了研究。其中关于未知参数矩阵口的估计，较有代表性的是应用矩阵向 量化运算，把模型化为如下形式 f v c c 0 ) - ( z 2 固x 1 ) v e c ( b ) + v e c ( t ) j e ( v e “) ) 一0( 1 2 ) 【c 。v ( v e 雄) ) - 0 2 v y 然后可以按照一般线性模型的方法进行处理。 现在增长曲线模型仍然是研究的热点，归纳起来主要有两个研究方向：一是 研究协方差分量的线性函数及其估计的有关性质；二是研究回归系数矩阵的线性 可估函数的性质，其中的重点是线性容许估计和m i n i m a x 估计。关于回归系数 的线性估计的可容许性的研究比较多，c r r a o 9 研究了二次损失下增长曲线模 型回归系数线性估计在某种估计类中的可容许性，潘建新【刀在 e ( 孑) - 0 , c o v ( i ) - 仃t o z ，z ，0 的情况下，得到了可估函数皿己在矩阵损失下的 可容许估计。覃红f ：强】在y 和z 是半正定矩阵下研究了可估函数在某些线性估计 类中的泛容许性。伍长春【2 4 】在二次损失下得到了均值参数的线性估计在线性估 计类中的泛容许估计另外，孙六全、刘刚等f 3 】f 4 l 把y ，z 的范围做了适当的拓 展，对回归系数的线性估计傲了迸一步研究。最近，在对一般线性模型回归系数 线性估计的m i n i m a x 性进行研究的基础上，模型( 1 1 ) 的回归系数的线性估计 的m i n i m a x 估计成为了热点。其中陈清平 1 3 1 ，尤进红【1 4 】分别得到了矩阵损失 华北水利水电学院硕士研究生毕业论文 下模型( 1 1 ) 中回归系数的m n l m a x 容许估计的充要条件，刘郁文【1 5 】在二次损 失下锝到了模型( 1 1 ) 中回归系数的m i r 妇a j 容许估计，并对具有共同均值参 数的增长曲线模型进行了研究【1 6 】。孙孝前f 2 5 】等人则找到了模型( 1 1 ) 中回归 系数的线性可估函数的惟一容许m i n i m a x 估计。由此可知：第二个研究方向是 针对模型( 1 1 ) 在不同损失函数下，不同的协方差阵，不同的估计类中以及具 有共同均值参数的线性可估函数的可容许性和m i n i m a x 性的研究。所以，关于 模型( 1 1 ) 的回归系数的线性可估函数的可容许性，m i n i m a x 性尚有许多问题 需要解决。例如回归系数的线性可估函数在一切估计类中的可容许性，m i n i m a x 性以及参数矩阵受约束时线性可估函数的可容许性，m i n i m a x 性等比较难，耳前 无人研究。 本文主要做了如下的工作： 1 ) 第三章，研究了具有一般形式的增长曲线模型，把矩阵损失函数下的可 估函数k b l 的m i n i m a x 可容许估计结果拓展到一般的情况。 2 ) 第四章，具有共同均值参数矩阵的增长曲线模型将被研究，在矩阵损失 函数下得到了可估参数k b l 在给定的线性函数类中可容许的充要条件，求出了 其容许m i n i m a x 估计，并证明其惟一性。 3 ) 第五章在参数矩阵受等式约束下，研究了矩阵损失函数下增长曲线模型 中回归系数在某些线性估计类中是m i n i m a x 可容许估计的充要条件。 4 ) 第六章在二次损失函数下，讨论了带约束的增长曲线模型的参数阵在适 当的线性估计类中是线性1 v l 越l l l a x 可容许估计的充分必要条件。 2 华北水利水电学院硕士研究生毕业论文 第二章所用到的基础知识 2 1 增长曲线模型 下面给出两个例子来说明增长曲线模型( 1 kg r o w t hc u r v em o d e l ) 的实际背 景【1 1 。 例1 欲研究小自鼠的某个特征随时问的变化情况，随机选取厅只小白鼠做实验， 在时刻f 1 ，f ，对每只小白鼠观测该特征的值。设第i 只小白鼠的第，次观测值为 ，i - l ，靠，- 1 ，p 若有 e ( 】勺) 一屁+ 届一+ - i ，k ，i 一1 ，刀，j - 1 , ，p 其中p o ，反。是未知的参数。用y 表示捍p 的随机阵( ) ，则： e f t ) 一( e y e ) - k ( 风，晟。) l1 f 1屯 r r 其中k 表示分量皆为1 的列向量，如果令墨- k ，b 一( 风，反。) ，本例就满足 例2 研究问题同上例，但是现在假设有m 组小自鼠，第瑚目有珥只，在时刻f l ，f ， 对每只小自鼠进行观测，用表示第i 组第，只小白鼠在时刻的特征，若有： e 曲- p m + p 硭l4 - - + p 0 1 x 一( ) 锄k 。，f 一1 ，掰， 叫a 就有； 五u 且- k 0 0 1 _ l ： oo 0 0 ： k ，x ：- 臻苎】 氏如艮。i 凡冉尾j 反 j 3 l1 气乞 r 毛 f 2 ： ，- 心) ， 。：r ，：矿 华北水利水电学院硕士研究生毕业论文 利用矩阵向量化方法，上式变为： f v e c o ) - ( x 2 圆五) v c c ( b ) + v e c o ) e e s ) ) - 0 l c o v t v e c ( e ) ) - 0 2 v o y 不难证明线性函数矿- n ( 4 铆可估的充要条件是存在矩阵2 k ，使得 a - x ( t x 2 则声- v e c ( b ) 的g l s 解为 矿- v e c ( ( x ， z 。x x ：咖4 x ：哒y 。x j ) 等价地 矿- ( z 墨) - 乏。1 y 矿1 墨( x y 。1 置) + 在已知的条件下，对任一满足a - x i 髓2 的4 ，可估函数妒- 仃( 彳冶) 的b l u 估计 为： 妒一t r ( a b ) 2 2 矩阵 定义2 2 1k n o n e c k e r 乘积 设4 - ( a q ) 和bt ( ) 分别是册x 玛p x q 的矩阵，定义矩阵c - ( a o b ) 这是 一个掸矽x 职的矩阵，称为4 和丑的岫e c b r 乘积，记为c 一彳。丑，即： 彳。占一 q 声4 庐气丑 4 2 一口2 声口“b ；j 口o4 翘a j k n o n e c k e r 乘积具有如下的性质： ( 1 ) 0 a - a 固0 - 0 ： ( 2 ) 似+ 4 ) o b 一4 且+ 4 固丑； ( 3 ) 4 0 假+ 丑2 ) - a 马+ 4 0 8 2 ； ( 4 ) “锄 “。功一讹似 口) ； ( 5 ) 以。垦) 他固最) - ) 9 ( 目呸) l ( 6 ) 似。酬- a 7 0 ； ( 7 ) 似。口) - a 。固b 一； ( 8 ) 刚 口) - t r ( , 4 ) t r ( b ) ； ( 9 ) 瞰4 丑) - r k ( a ) r k ( b ) ； ( 1 0 ) 若a 乏o ，b 七o ，则a 固b 2 0 ； 4 华北水利水电学院硕士研究生毕业论文 其中 ，九为数 定义2 v e c 运算 设钆( 口1 ，4 2 ， ) ，定义舢1 的向量 v c c 翻) 一 q 4 2 t ： 吒 这是把矩阵4 按列向量依次排成的向量，往往称为矩阵的向量化。 向量化运算具有下列性质： ( 1 ) w c ( a + 口) - v e c ) + 、，色c ( 口) ； ( 2 ) v ( a b c ) - ( c 彳) v p ) ； ( 3 ) ，。( 叫) 一a v j c 似) ，这里口为常数： ( 4 ) n ( 丘口) 1 8 ( 、做翻协7 v p ) ； ( 5 ) 仃o ) - t r ( a ) - - ( v e o ( l ) ) v e o 口) ； ( 6 ) 设口和b 分别是捍x l , m x l 向量，贝l j v e c ( a b 3 - b 圆a ； ( 7 ) 设以。一瓴，) 为随机矩阵，且 c o y ( x , ，x j ) - e ( x , 一e x , x x , 一e x j ) - 吒z 记v - “) - 。，则 c o y l y e c ( x ) ) - v 园z ， c o v ( v x 协- z v ， c o v ( v ( t x ) ) 一y o ( 您r j ) ， 这里r 为非随机矩阵。 定义2 2 3 广义逆彳。 对矩阵4 。，一切满足方程组 a x a a 的矩阵z ，称为矩阵a 的广义逆，记为彳。 广义逆具有如下性质： ( 1 ) a ( a a ) - a a - a a a ( a a ) - a - a ( 2 ) a x - b 为一相容方程组，则a x - b 的通解为x - a + g a - a ) y ，其中y 为任意的向量。 定义2 2 4m o o r - p 愀广义逆 设a 为任一矩阵，若z 满足下述的四个条件； a x a 4 j l o t r - x ，( 肛) - a x ，【j ：| y 一彪t 则称z 为a 的m o o r - p 僦广义逆，记为是一个特殊的a 一，因此，它 s 华北水利水电学院硕士研究生毕业论文 具有a 一的全部性质。另外，还有下列性质： ( 1 ) 对任意的a ，a + 惟一； ( 2 ) 似+ ) + - a ，似+ ) 一似y ； ( 3 ) i a + 彳； ( 4 ) r k 似) - i i 私+ ) ； ( 5 ) a + 一似砷+ a - a ( 削y ； ( 6 ) 砷+ - a + 似) + 定义2 2 5 正交投影阵 设x e r ，s 为的一个线性子空间。对工做分解 善- y + z ，y e s ，z s 1 ， 则称y 为x 在s 上的正交投影。若p 为捍阶方阵，使得对一切的x e r ，上式定 义的y 满足y p x ，则称p 为向s 的正交投影阵。 定理2 么l ( r a y l e j g h m 砖) 设a 为n x n 对称阵， 表示a 的第f 个顺序特征根， 劬为对应的标准正交化特征向量，x 彤，则 粤等一池一 ， ( 2 骠等一h 一丸。 定理2 2 2 设a 为露x 埘矩阵，只为向u ( a ) 的正交投影阵，则只- a ( a ：t ) - 彳 定理2 ( c a u 曲”潮唧a 讫不等式) ( 1 ) ( x ) 2 善k y ； ( 2 ) 若a 0 ，则o ) 2 工：缸y 么一 ； ( 3 ) 若a 0 ，则( x 冷) 2 工钕y 缈 定理2 2 4 若e ( x ) - m ，c o v ( z ) - y o z ，则对于任意的常数矩阵矽，有： e ( x 麟3 一t r 7 y ) z + m w m 定理2 工5 若a 土0 ，则有 刚) ，彳么 2 3 参数估计的可容许估计及其性质 假设否为待估参数0 的一个估计，因0 一般与真值0 有一定的偏差，于是基 于否的统计决策会产生一定的损失，用工p ，口) 表示这个损失，它是0 的函数，称 为损失函数，其平均损失点z 巧，口) 称为否的风险函数，记为月币，0 ) 。经常采用的 损失函数为矩阵损失或二次损失。 一般地，可容许估计的定义如下： 矗 华北水利水电学院硕士研究生毕业论文 定义2 3 1 设巨和e 是口的两个估计，如果对于风险函数r ( ，) 来说，有： ( 1 ) r ，口) r 幌，8 ) ，对一切的6 i j 掂立： ( 2 ) 至少存在一个岛使不等号成立； 则称磊关于风险函数r ( j ) 一致优于反。若在某个估计类中，不存在一致优于 每的估计，称石在该估计类中关于风险矗( j ) 为0 的可容许估计。否则，称每为0 的不可容许估计。 另外，还采用如下的定义： 定义2 3 2 设岳和反是0 的两个估计，如果对于风险函数尺( ，) 和 j r - g h e r , n 1 ，有： ( 1 ) f 欠 ，口ys ，欠渡，口y ，对一切的0 成立； ( 2 ) 至少存在一个吼使不等号成立； 则称巨关于风险函数矗( j ) 一致优于反。若在某个估计类中，不存在一致优于 石的估计，称石在该估计类中关于风险矗( ，) 为0 的可容许估计否则，称百为0 的不可容许估计。 可容许估计是对一个估计的最起码的要求，因为一个估计不容许的话，那么 就可以找到一个更好的估计去代替它。一般来说，对一个未知参数向量，可容许 估计是很多的，构成一个很大的类。不过由于满足条件的估计太多，所以仅仅考 虑可容许性是不够的，需要根据其他的一些标准，来从中选取一个特殊的估计。 2 4 参数估计的m i n i m a x 性 由于仅仅考虑可容许性不太合理，人们常常把可容许性和h 恤i m 强性结合 起来考虑，明容许m i n i m a x 估计，下面给出m i n i m a x 估计的定义： 定义2 a 1 假设一可控参数结构( x ，户，饥：口e ) ，行动空问a 和损失函数 工p ，d ) ，工p ，d ) 表示当参数为口而采取的判决为do ) 所遭受的局部损失。又假 设d 为该统计决策问题的某个决策函数类，其风险函数定义为如下形式； 足够，6 ) - 毛扣陋p ，6 皤) ) 】- 弘p ，6 0 ”办d 卢 ( 2 4 1 ) ： 如果在决策函数类d 中可以选出这样的决策函数6 + 缸) ，使得 s 嘲u p r p ，6 + 。瑶溜r ( s ，d ( 2 4 2 ) 则称d ( 功为该统计决策问题在最小最大风险准则下的最优决策函数。在点估计 问题中d g ) 就称为最小最大( m i n i m a x ) 估计，相应的的风险就称为最小最大 风险 定义2 4 1 比较晦涩，一般情况下使用下面的定义 7 华北水利水电学院硕士研究生毕业论文 定义2 a 2 设否为口的一个估计，当口在参数空间日内变化时，如果对于风险函 数晨( ，) 和i e 毛一f ：z j p ，l 一1 ，s u p s u p f 次书，叫在某个估计类中达到最小值， 峨卿 则称每为口的m i n j 血缸估计。 定义2 4 3 假设否是0 的一个估计，若存在一个非负定矩阵q ，对于风险函数 r ( ，) ，有r 巧，日) q 对一切的否h 成立。则称q 为否h 的关于r ( ) 的一个 风险上界一个估计矿日称为h 的一个m i n i m a x 估计，若对于其他日中的估 计的任意的风险上界q ，都有矿的风险上界q ，使得q q 。 一般来说，定义2 4 3 比定义2 4 2 要弱。 最小最大风险就是在最坏的情况下考虑最好的结果( 损失最小) 显然最大最 小风险准则是一个可接受的准则，。这是一种稳妥保守的方案，被风险厌恶者所 喜欢。 定义2 4 4 如果一个估计石既是口的容许估计，又是0 的m i n i m a x 估计，则称否 既是口的容许m m h n a x 估计。 下面这个定理说明了最小最大( m i n i m a x ) 估计与可容许性之间的关系 定理2 4 1 在一个统计决策闯题中，假如磊0 ) 是参数口的睢一最小最大 ( m i n i m a x ) 估计，则氏( 功也是口的容许性估计。 矗 华北水利水电学院硕士研究生毕业论文 第三章一般增长曲线模型参数阵的线性容许m i n i m a x 估计 本章在矩阵损失函数下，研究了一般形式的增长曲线模型回归系数的线性估 计在齐次线性估计类和非齐次线性估计类中的容许m i n i m a x 估计，并证明其惟一 性。 fy - x , a x ；+ e ( d - 0 ( 3 1 1 ) l c o v ( 刁盯缈o z 式中y 是玎g 阶观测矩阵，五和z ：分别是栉p 和口x 七阶已知设计矩阵，b 是 文献 2 0 1 1 2 3 1 研究了线性模型回归系数的线性m i n i m a x 估计，将其推广到增长 曲线模型( 3 1 1 ) ，对于v - i 和z 0 的情形，文献阴讨论了回归系数矩阵的可 容许性，文献【1 3 】【l 锥果用矩阵损失，在v ，0 和三，0 时考虑了可估函数k b l 在 龟- ( u r ：m ，为r , h x n ，q x m 2 阶常数矩阵，形- l l 包- m y n + c ，肘l q ，c 为m l x m 2 阶常数矩阵 中的可容许性问题。本文在矩阵损失下，研究了( z ，) c c p ，( 础) c ，l ( 叻时可 q ，k b l ) - 似一k b l ) ( a k b l ) i 0 2 t r l ( x ；v + x 2 ) - q + 臼旺拶t b l ) ( 3 1 2 ) 厶“，k b l ) - 似一k b l ) ( d - k b l ) ， 2t r l ，( z 少+ x 2 ) 。l i + u ( l 留您己) + c ( 3 1 3 ) 其中c ，0 记 墨( n ，k b l ，( o r 2 ) - e l , ( m w ，k b l ) ， t - x lz + 五，a - 矿t r ( l ( x i v + 邑) 。l ) + t r ( l b t b l ) 匕- 五仁# + 五) 一z 茹+ ，气- 邑 y + 五) 。x l v + & 五- 置，啦。墨，足i 戳。气一戳，一气v 一吃 9 华北水利水电学院硕士研究生毕业论文 定义3 1 1 假设膨l 和m i y n l 分别是肋l 的估计，如果对于任意的( 毋盯2 ) 和 f 墨一f ：i e r 4 ，l 1 1 1 ，有 z 豫( 倒，k b l ，盯2 y ci r ( m i y n l ，k b l ，仃2 y 且不等号至少对某个( 毋c r 2 ) 和f 成立，则称m y n 一致地优fm 1 朝如果不存 在一致优于m y n 的估计，则称m y n 在龟中是k b l 的可容许估计。 定义3 1 2 设m y n e 嘎，若存在一个非负定阵q 满足墨( m y , k b l ，仃2 ) s q 对所有 ( 髓c r 2 成立，则称q 为m y n e 龟的一个风险上界。一个估计射嘲。龟称为在 电中的m i n j m 强估计，若对于其他也其他估计的任意风险上界q ，存在m y n 的一个风险上界q ，使得q q 。如果m y n 在龟中既是可容许估计又是m i n i m a x 估计，则称m y n 是k b l 的m i n i m a x 可容许估计。 类似地可以给出胁w + c 是k b l 的容许估计和m i n i n l a x 可容许估计的定 义。 3 2 齐次线性估计类也中的线性容许m i n i m a x 估计 引理3 2 1 在模型( 3 1 1 ) 和损失函数( 3 1 2 ) t ，若肘嘎，则 1 ) 墨( i 】w ，k b l ，c r 2 ) - 口2 t r ( n v n ) m t m + ( f 邑一k ) b l l b ( 啦一p ，】 2 ) 置( 嘁，硒l 仃2 ) f f i & ( m y n ，k b l ，盯2 ) ，对一切p ，仃2 ) 成立，且等号成立的 充要条件为m z - m p x e 且n 7 7 - & 矿。 证明：1 ) 墨( m y n , k b l ，盯2 ) - i e ( m y n - k b l x m y n 一鼢己) - 陋 m v ) i - ( k b l ) e ( m y n ) - e ( m y n ) ( k b l ) + ( k b l x k b l ) 】 - p 2 仃( 聊 m 跚+ m e ( y ) n n e ( y 3 m - ( k b l x m x i b l ) - b l x i b l ( k b l ) + ( 绉己) ( 瓦既) ，】 一 p 2 仃( 乍w ) 岱膨+ ( 巧l - k ) b l l b ( 研l k ) ，】 ( 3 2 1 ) 其中( 3 2 1 ) 应用到定理2 2 4 ，根据 e 1 x , b x ：，踟们1 盯缈固z 可得 e 【膨跏( m l ) ，】1 盯2t t ( n w v ) m z m + m e ( y ) n n e ( y ，) m 2 ) 蜀( m y n , k b l ，( ，2 ) e ( m y n k 8 l x m t n j i 观) 华北水利水电学院硕士研究生毕业论文 一壬e ( f l 一m p x , y f x ：n + m p x , y y x 2 n 一髓己) ( 删一m p x 1 吃+ 朋& l 砭一k b l ) 一妥瞅唧一峨x m 掰一哦暖彬+ e ( 峨一盈l x m y n 一峨y + e q 倒一峨) ( 嵫吃一碰y + e ( 气磁一脚x 峨一z a l l ) i - a i + a 2 + 3 + a n 注意到嚣p f 掰) 一e 【嬲气砑薯：) - m p x , x 1 b x 2 1 ，x z n m x , b x 其中交叉项a 2 ( a ，为a 2 转置) 为： a 2 一e ( 删一j l i ：吒l z 皇x i & l ：一g b l ) - e ( 删) ( m p , , y p l , v 点观) ，一( 峨z 之x 鸩。l 。一g b l ) 应用定理2 2 4 ，若朋) - m ，d c r ) 一y o z ，则对于任意的常数矩阵矿，有： e ( x w x 3 一t r ( w v ) y + m w m 得到： e ( m y n x m p z y i xn y - m e ( y n n p x y ) i y x m 2 删砭戳膨+ 膨伐叫脚毪c x , n x ；) g m - 口2 仃【删砭i m am + u x , b x l , w v ( x , b x i ) m e ，l 砭) ( 峨l 砭，柳 一矿哦1 n n p x l m p x , y - , z x , m t + 凇胆娴| q 麟3 m 1 - 口2 叩删氆戳m + 蝇烈删，( 墨b 砭) w 贿e l 沁h k b 秘- 淞掣蛰卿q e ( m p x , y i y xn x k b l ) 一凇黔q 把上述各式带入，得a ：0 。故 足( 胁，k b l ，盯2 ) 一嗡+ a 凸 - 去【e 【 d 一般螂，x m l 一m p x , y z z ：) + ( 峨，砭一k b l x m p z y i p ，xn k b l ) 3 鲁士f e ( 峨磋一k b l x m p x , y t 7 zn 一鼢己) ，】 - 墨，砭，k b l ，盯2 ) ( 3 2 2 ) 对一切p ，盯2 ) 成立 显然上式对等号成立的充分必要条件为 e ( 胁w 一加x l 吃x 枷w 一峨，吃即o 当m 一0 或者一0 时，上式显然成立 当删- 0 对，类似上面的证明过程，可得 e ( m y 一m p xy t zn x m y n m p zy i p z , n ) ll 华北水利水电学院硕士研究生毕业论文 一幻2 呱伽渺删一n 【聊气磁m ， ( 3 2 3 ) 若m z - 鸠j 且矿- n 毪y ，( 3 2 3 ) 显然成立充分性得证。 若( 3 2 3 ) 成立，则类似与文献阴中引理2 1 中类似的方法，可证明( 3 2 3 ) 成 立的必要条件是： m n - m p x y a n v n 1 毛y 证明完毕。 引理3 2 2 在模型( 3 1 1 ) 和损失函数( 3 1 2 ) 下，若髓l 可估，列满秩，则m y n 在 也中是皿l 的容许估计的充要条件为： 1 ) m z m p x ； 2 ) y 一砭矿； 3 ) 膨墨一k 或 砚k 但对任何0 a 1 有+ 织7 一墨一j 盯一k + 口( 吼- k 妒。( k 一置) o 不成立 证明：充分性 若在m y n 在q 中不是咫l 的容许估计，则存在m 尚l ，使得m 。k l 一致 优于m y n 。根据引理3 2 1 ，不妨假设 m 1 y - - m l 民zg a , y - n ：p xv 根据引理3 2 1 知： 口2 m t _ m 仃2 m 1 7 3 1 ： ( 3 z 4 ) 似r l 一田乩l 留( j 毗l j 【) 似1 x 1 一目b l l b ( m l x i 一目 ( 3 ”) 对一切的俾，仃2 ) 成立。 根据文献【2 4 】，知道( 3 2 5 ) 对一切口成立等价于存在口【一堋，使 4 ( j 1 一k ) - ( 膨l x l 一j p ( 3 2 6 ) 若m y i - k ，剐有( 3 2 6 ) 知 掰l - m l x i - k 由m l 三一m - & z ，即 n ：p x y ，m z - m p x g ，n v - 3 i 气y 知 墨( m 。k l ，k b l ，口2 ) - r ( 2 i f 】聊，k b l ，盯2 ) ，m l k l 不可能优于胁 若m x l 一k ，对任意的4 ( o 山，由( 3 2 6 ) 得： 肼l 盖j - a m x l + ( 1 一a ) k 从而膨罩- m 。j i z a m g + o - a ) 圈# + x 1 ) 。墨，带入( 3 2 4 ) ，得； m x x t 。j 0 m 一i c r 。k + 口( j l j c 墨- k ) f 。( j d ，1 一x y 土。 对任何0t 口t1 成立，与定理条件矛盾。充分性得证。 必要性： 设m y n 在也中是硒l 的容许估计，则根据引理3 2 ：1 ，知1 ) 2 ) 成立。 12 华北水利水电学院颈士研究生毕业论文 若j i 一k ，则已证。 若m x l 一k 且存在0 m t - a ；2 ) q - ( m d ) & z 磋( 膨一d ) ，这里置1 d x l 证明：因p 隅) c p 圆，u ( x i ) c p ，敌 !三 z 2 伍2 ) + 五1 蕊+ 墨- 墨，y 2 缈2 ) + z - + 彰1 z 由肼掰电是勋的容许估计，放根据引理3 2 1 ，3 2 2 知m y n 的风险函数为 r ( 删凰呐- 矗黜焉器 + 墼= 茎些竺：墼= 茎2 ： 。a 2t r 弘( x 罗+ 邑) 一叫+ t e ( l b t b l ) 若q 为m 哪一个风险上界，当且仅当足( m 啊v , k b l ，仃2 ) q ，对一切b e r ” k 和口2 ，0 成立，这等价于 ( i ) q ，m y j w ( i i ) ( 配k - k ) b l l b ( m x i 一目7 st r ( l b t b l ) q 对b e r ”t 一切成立，而( i i ) 成立的充要条件为对任意的4 r 唧，有 4 ( 甄- k ) b l l b ( 磁一k ) 么t e ( l b t b l ) a q a 对一切口r 雕成立因为 4 ( 蝎- k ) b l l b ( 一目，4 - a ( m d 肚l 国研似- d ) a - a ( m - d ) x ：t 墨 + 户口) 五舭留誓g + ) g + ) 墨r 墨饵- d ) a 4 似- d ) x 1 t 捌似一d ) ，4 t r ( l b t b l ) 上面的不等式利用了定理2 2 5 ，所以若2 ) 成立，则必有( i i ) 成立反之取 口1 ( j 譬z + 五) _ 工j 【 ，一d ) d ，4 ，4 ) 贝口 4 ( 墨一x 肚留7 ( 蔓j r l 目么 一4 ( 一j 习l ( j r ；+ x i ) - 掣( 2 l f 一i ) 如，4 ，a ) l l 协，4 ，4 ) ( m d ) j ，l ( j = + j ，1 ) ( r l 目，4 华北水利水电学院硬士研究生毕业论文 - a ( m x l - 1 6 ) ( x t ? z + 五) 一爿( m d ) ，( 4 ，口”，口) 计忻觯y 岍跏1 儿l i i i 口( 啦一k x x z + 五) 。( 一x ) 么j - 口( ：- i o ( x 1 2 + 五) 一( c 墨一l o a 仃【l ( 口，4 ，4 ) ( 瓯- k ) ( x i 志+ j ，1 ) ( f f 墨一。k ) 0 ，4 ，4 ) l 】 - a ( m x , - k x x