（应用数学专业论文）增长曲线模型参数阵的线性容许估计和minimax估计.pdf

西北人学硕f ：研究生毕业论文摘要 考虑增长曲线模型： 摘要 f y i x b z 4 - j f ( o ， z ) l 0 众多文献研究了回归参数矩阵口的各种估计，特别是最小二乘估计。对于一 般增长曲线模型参数估计的容许性也已经有比较成熟的理论，这些研究是在矩阵 损失跟二次损失函数下，在齐次线性估计类和非齐次线性估计类中展开的。 本文的工作主要集中在以下两个方面： 第一，回顾了线性模型理论的基础知识，并将统计判决理论中的m i n i m a x 估 计问题分别在齐次线性估计类厶和非齐次线性估计类厶中进行了研究。找到了 系数矩阵的线性可估函数k b l 在二次损失下的容许m i n i m a x 估计。并且证明了 这种估计是唯一的。 第二，对具有共同均值参数的增长曲线模型，在新给定的线性估计类l o 和厶 中及矩阵损失下研究了线性可估函数k b l 的线性容许估计和线性容许m i n i m a x 估计。 关键词：增长曲线模型；可估函数； 二次损失； 矩阵损失； 风险函数；线性m i n i m a x 估计 西北人学颂1 l 研究生毕业论文 a b s t r a c l a b s t r a c t c o n s i d e rg r o w t hc i l r v em o d e la sf o l l o w s ： + ，固) d i f f e r e n te s t i m a t o r so fr e g r e s s i o nc o e f f i c i e n t sm a t r i xbh a v eb e e nd i s c u s s e di n m a n yd o c u m e n t s , e s p e c i a l l yt h el e a s ts q u a r ee s t i m a t e ，a n dt h e r eh a v eb e e nr a t h e r m a t u r et h e o r i e sa b o u tt h ea d m i s s i b i l i t yo fg e n e r a lg r o w t hc u r v em o d e lp a r a m e t e r e s t i m a t i o n t h e s er e s e a r c h e sw e r es p r e a di nt h eh o m o g e n e o u sa d m i s s i b l ee s t i m a t o r s a n dt h ei n h o m o g e n e o u sa d m i s s i b l ee s t i m a t o r s ，u n d e rm a t r i xl o s sa n dq u a d r i cl o s s w ed i s c u s s e dt h et w of o l l o w i n ga s p e c t sm a i n l y ： f i r s t ，w er e c a l l e dt h ep r e l i m i n a r yo fl i n e rm o d e l st h e o r ya n dd i s c u s s e dt h e m i n im a xe s t i m a t o rp r o b l e m si ns t a t i s t i c a ld e c i s i o nt h e o r yu n d e rt h eh o m o g e n e o u s a d m i s s i b l ee s t i m a t o r s a n dt h ei n h o m o g e n e o u sa d m i s s i b l ee s t i m a t o r s l l w eh a v e f o u n dt h ea d m i s s i b l em i n im a xe s t i m a t o r so fl i n e a re s t i m a b l ef u n c t i o nk b lu n d e r t h eq u a d r i cl o s s ，a n dp r o v e dt h ee s t i m a t o ri su n i q u e s e c o n d , w er e s e a r c h e dt h el i n e a ra d m i s s i b l ee s t i m a t o r sa n dl i n e a ra d m i s s i b l e m i n im a xe s t i m a t o r so fl i n e a re s t i m a b l ef u n c t i o nk b li ng r o w t hc u r v em o d e lw i t h c o m m o nm e a np a r a m e t e ru n d e rm a t r i xl o s s k e yw o r d s ：g r o w t hc u r v em o d e l ； e s t i m a b l ef u n c t i o n ； o u a d r i cl o s s ；m a t r i xl o s s ； r i s kf u n c t i o n ；l i n e a rm i n im a xe s t i m a t o r 脚m o - _ 慢、 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解学校有关保护知识产权的规定，即：研究生在校攻 读学位期间论文工作的知识产权单位属于西北大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许论文被 查阅和借阅。学校可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学 位论文。同时，本人保证，毕业后结合学位论文研究课题再撰写的文 章一律注明作者单位为西北大学。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名： 士彼 指导教师签名：疡型； 圣 加7 年占月日7 年占月日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我 一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示谢意。 学位论文作者签名：主砍 御年月日 西北人学硕i ：研究生毕业论文第一章 1 1 统计决策 第一章引言1 帚一早，i 西 统计决策理论是著名的统计学家a w al dl q ( 1 9 0 2 - - 1 9 5 0 ) 在加年代建立 起来的。他的观点是把统计推断问题看成是人和自然的一种“博弈”。它是经典 统计学讨论过的一些参数估计方法一点估计、区白j 估计的一种推广。与经典统 计学的差别在于是否涉及后果。经典统计学着重于在推断上，而不考虑用在何处 以及效益如何。而统计决策理论引入损失函数，用来度量效益大小，评价统计推 断结果的优劣。这个理论提出了不少新概念，新准则，为一些老问题提出了新看 法，提出了一些新问题甚至开辟了某些新的研究领域，如今这个理论的基本观点 已不同程度地深入到不少统计分支中，对今后数理统计学的发展起了一定的影 响。 统计决策理论提出了许多新的定义，如损失函数、决策函数以及风险函数等。 假如我们不是全面对风险函数进行逐点比较，而只对风险函数某一侧面进行比 较，从中选出在这一侧面上最优的决策函数，这就形成了众多统计决策准则，其 中尤其以最大最小准则和贝叶斯风险准则最常用和最有意义。我们知道风险函数 提供了一个衡量决策函数好坏的尺度，我们自然希望选取一个决策函数使得它的 风险尽可能的小。这样我们就引入了m i n i m a x 估计。 自m i n i m a x 估计问题被提出来之后，关于线性模型中回归系数的m i n i m a x 估计问题就成了研究的热点。在损失函数为矩阵损失和二次损失下对m i n i m a x 估 计有许多研究。在y 为正态随机向量，j 与v 均为川玢单位阵和损失函数为 两北人学硕f ：研究生毕业论文第一章 坚二坐的假定下，对卢m i n f m a x 估计有不少研究，如跏，b a l o r r i s , c 嘲 盯。 和k h u r s h e e d ，a 1 3 1 ，b a r a n c h i k ，4 ，1 5 1 等，对共同均值的m i n im a x 估计进行的研 究有s a c h r o w i t z ，h j b 与c o h e n ，a 1 6 1b h a t t a c h a r y a ，c g 1 4 1 1 7 1 , 和k u b o k a w a ，t1 8 l ，在 损失函数为( d s 卢) 似一印) 的情况下徐兴忠【1 5 i l 切、喻胜华【1 8 h 1 9 1 、李新民【”1 1 2 0 l 、 陈清平【2 1 1 、邬学军【矧等对线性模型的回归系数的线性m i n i m a x 估计进行了研究， 给出了回归系数的线性m i n i m a x 估计及其最大风险的表达式。在损失函数为 f ，邓) - 了( d - 硒s 声) 万 ( a - 万s p ) o 。+ p 五y 五钍 的情况下徐兴忠瞄1 、温忠麟 2 4 1 ”1 、喻胜华1 1 s l l - ”l l r o i ”1 1 2 9 1 、徐礼文瞄】- p o l 等对线性模 型回归系数的唯一线性m i n i m a x 估计进行了研究，并且给出了回归系数的线性 m i n i m a x 估计及其最大风险的表达式。谭菊 3 1 1 1 3 2 1 、王成名p 2 】、刘郁文【3 3 1 1 3 4 1 等对 m i n i m a x 可容许估计进行了研究。在增长曲线模型中冯文娟嘲、刘郁文 3 3 1 3 4 1 、 赵建听1 3 7 1 弼i 、孙孝洲3 9 垮对系数矩阵的线性m i n i m a x 估计进行了研究。 1 2 增长曲线模型 增长曲线模型起源于1 9 3 8 年w i s h a r t 研究不同组问动、植物生长情况。1 9 6 4 年p o t t h o f f 和r o y 将增长曲线模型定义为： - x b z + j ，( o ， ) l 0 l ( 1 2 1 ) 其中y 是一x q 的观察值矩阵，是n x q 的随机误差矩阵，x 和z 分别是一x p 和七x q 的已知设计阵，口为参数矩阵，i 为g 阶单位矩阵，z 为已知的玎阶对称 正定矩阵。 2 西北大学硕i 研究生毕业论文 第一章 增长曲线模型是比般线性模型更广泛的模型，在许多领域如生物学、医学、 工艺替代、经济预测方面都有应用。近十年来许多统计学家都对此作了许多深入 的研究，研究了模型( 1 2 1 ) 的参数估计，估计的容许性、假设检验和预报。给出 了许多不同条件下增长曲线模型中未知参数的极大似然估计( m l e ) ；1 9 8 4 年 d i e t r i c k v o n r o s e n 通过矩阵方程组求解法再次获得了增长曲线模型中的未知参 数的m l e ，其估计形式上要比从前获得的估计好得多；在正态假设下他进一步 讨论了m l e 的矩及其渐进分布；1 9 8 8 年潘建新给出了回归参数阵0 的最小二乘 估计( 距) 及参数阵线性函数打( c ，0 ) 的最佳线性无偏估计( 肚【堪) ，而对于模型 中的另外一参数，耿成山( 1 9 9 7 ) 、高宏伟( 1 9 9 5 ) 、盛世明( 2 0 0 0 ) 等分别在 准正态情形，独立同分布情形和椭球等高分布情形下讨论了f r ( c ，z ) 的最小二乘 估计( 岱e ) 最小模估讨 ( m i n q e ( u ，) ) 及其最优性问题。 对于模型参数的估计，主要有最小二乘估计( l s e ) 、加权最小二乘估计 o e l s e ) 以及协差阵的最优非负估计，这方面的结果主要见文献【4 0 】- 4 2 1 。对于 一般增长曲线模型参数估计的容许性也已经有比较成熟的理论，这些研究主要是 在矩阵损失跟二次损失函数下，在齐次线性估计类和非齐次线性估计类中展开 的。 本文在第三章中分别在某种齐次线性估计类厶和非齐次线性估计类上1 中找 到了系数矩阵的线性可估函数k b l 在二次损失下的容许m i n i m a x 估计。并且证 明了这种估计是唯一的。后而在第四章中对具有共同均值参数的增长曲线模型在 给定线性估计类后，研究了在矩阵损失下线性可估函数k b l 的线性容许估计和 线性容许m i n i m a x 估计。 3 西北大学顾j 二研究生毕业论文 第一章 1 3 可容许性 a w a l d 为了要把形形色色的统计问题归纳到一个统一的模式内，于2 0 世纪 4 0 年代末，创建了统计判决理论，这个理论对现代统计的发展产生了重大的影 响，极大的丰富和发展了统计推断理论，并由此产生了很多新的研究方向，可容 许性就是其中之一。从实际的角度看，它把统计问题的解看成一种行动，通过分 析这种行动的后果损失，使问题的提法及其结果更能适应特定的应用。 对线性模型而言，最基本的问题之一是进行参数估计，以便人们根据参数估 计的结果来进行统计分析，而统计结果分析的好坏往往依赖于参数估计的好坏。 尽管数理统计学者提出了参数的各种估计，但是如何从统计判决的角度来衡量这 些估计的优良性，仍然是一个重要的研究课题。参数估计的可容许性正是用来解 决这类问题的重要统计工具。 假定研究的问题是要估计某一随机元工的分布函数f ( x ，0 ) 中的参数0 ，其 参数空间为e ，为评价和比较采取的判决函数6 而产生的后果，引进损失函数 工p ，6 ) 和风险函数r ( o ，6 ) ，它们分别表示当参数为口而采取的判决为6 时，所遭 受的局部损失和平均损失，两个判决函数的优劣比较全基于其风险函数。称6 + 一 致优于6 ，若易三p ，6 + ) j 毛三p ，6 ) , v o e e ，且不等号至少对某个岛9 成立。 若不存在一致优于6 的判决，则称6 是可容许的。 显然，可容许性是对所采取的判决函数的最起码的要求。1 9 5 6 年s t e i n 给出 在模型y l v ( e ，) 及在二次损失峪一p l l 2 下，否定了当h 乏3 时，y 为卢的可容 许估计这一猜想，这个结果给了人们极大的震动，从而可容许性问题引起了统计 学家的普遍关注，这一重要的发现成为以后许多工作的起点1 9 j - 【1 4 1 。 4 两北人学硕1 二研究生毕业论文 第二章 2 1 符号说明 彳 口 z ( a ) r ( a ) 爿 4 4 。 彳+ m l c o v ) g c m l s e 观w d i m ) 一芑0 彳苫b r o x r 第二章预备知识 矩阵a 与口的k r o n e c k e r 乘积 矩阵a 的列向量张成的线性空间 矩阵a 的秩 矩阵a 依列拉直得到的列向量 矩阵a 的转置 矩阵a 的广义逆 矩阵a 的m o o r e e e n r o s e 广义逆 向空间p ( x ) 的正交投影阵 l p t 随机矩阵y 的协方差阵 增长曲线模型( g r o w t hc a r v em o d e l ) 最t l , _ - - 乘估计( l e a s ts q u a r ee s t i m a t e ) 最优线性无偏估计( b e s tl i n e a ru n b i a s e de s t i m a t e ) 线性空间s 的维数 矩阵m i n i m a x 为非负定矩阵 表示a b 为非负定矩阵 所有k x r 阶的实元素矩阵的集合 5 西北= 学硕i ：研究生毕业论文 第一章 2 2 广义逆矩阵和投影阵 定义2 2 1 对矩阵a 一切满足方程组 a x a a 的矩阵z ，称为a 的广义逆，记为a 一。 定义2 。2 3 设工r ”，s 为r 4 的一个线性子空间，对石做分解 x y + z ，其中y e s ，z e s l ， 则称y 为x 在s 上的正交投影。 定义2 2 4 设p 为蚪阶方阵，并且对一切x e r “定义2 2 3 中定义的y 满足 y - p x ，则称p 为向s 的正交投影阵。 定理2 2 1 设彳。为任一矩阵，r a n k ( a ) 一r ，若 叫锄q 这里p ，q 分别为m r a 和n x n 的可逆阵，则 爿一- q - 1 【2 ：】p 4 这里d ，e 和f 为阶数适当的任意矩阵。 推论2 2 1 对于任一矩阵a ，有 ( 1 ) a 。总是存在的； ( 2 ) a 唯一a 为可逆方阵且a 一一a + ( 3 ) 设a 为对称方阵，将a 表为 a p d i a g “，九) p ， 此处p 为正交阵，( ，九) 为4 的全部特征根，d i o g ( a ，九) 为一对角阵，其 主对角线元素依次为 ，九，j j a 之一广义逆为 6 西北大学硕e 研究生毕业论文 第二章 a 一1p d i a g ( 2 h + ，九+ ) p 此处约定矿j 。j 一， 毒o 。因此，若4 对称，则必然存在对称的彳一，由以上 lo ，凡- o 所述，可知，a 一是a 的推广。 推论2 2 2 对任何一矩阵a ，有 a ( a ) 一a7 与广义逆似) 一的选择无关。 定理2 2 2 丘4 。b 1 b ，v a 一。( 口) c p 似) 。 下面我们不加证明的给出一些结论( 详细证明见王松桂【1 4 】) 命题2 2 1 对任一矩阵a ，有 4 0 ) 一彳么z4 彳么似砷一a 7 4 7 。 命题2 2 2 设矩阵a e r ，b e r ，且月) 一e ( a ) 1r ，则 汹) + 1 b + a + 。 命题2 2 3 设出t b 是一相容方程组，则其通解为 x 1 a b + ( ，一一一a ) z 其中a 一为任一固定的广义逆，z 为任意向量。 特别地，当取爿4 一一+ 时，其通解可以表示为 二1 a + b + ( ，一4 + a ) z 命题2 2 4 设a 为肼n 矩阵，只为向p p ) 的正交投影阵，则 只1 a ( a ) 一a 显然只为幂等方阵，即只21 只。 一般说来，广义逆a 一往往有无穷多个，在这无穷多个中，有一个彳一占有特 殊的位置，这就是下面要介绍的m o o r e p e n r o s e 广义逆。 定义2 2 2 设a 为任一矩阵，若z 满足下述四个条件： 西北人学硕l 研究生毕业论文 第二章 ( 1 ) a x a a ， ( 2 ) 脚- x ， ( 3 ) o ) 一a x ， ( 4 ) ( 尉) 一x a 则称矩阵x 为a 的m o o r e p e n r o s e 广义逆，记为a + 。 引理2 2 1 ( 奇异值分解) 设a 满足r a n k 似) 一r ，则存在两个正交阵 p 坩。，q ，使 叫铟q 其中a ，一d i a g ( & ，九) ， ，o ，f - 1 ，r ， 2 ，九2 为爿_ 的非零特征值。 利用此引理，可以构造出a + 。 定理2 2 3 c - ，设4 有分解式彳l p 含习q 7 ，则 小q 阿中 ( 2 ) 对任何矩阵a ，a + 唯一。 出于a + 是某一个特殊的a 。，它除了具有a 一的全部性质外，还有下列性质： 推论2 2 3 ( 1 ) + ) + i a ； ( 2 ) 似+ ) - 07 ) + ： ( 3 ) i a + a ： ( 4 ) r a n k ( a + ) 一r a n k ( a ) ： ( 5 ) a + 一研_ ) + a 一4 _ ) + ： ( 6 ) ) + - a + ) + 。 8 两北人学硕l ：研究生毕业论文第二帝 2 3k r o n e c k e r 乘积与向量化运算 定义2 3 1 设a 1 0 # ) 和b 1 ) 分别为m x n ，p x q 的矩阵，定义矩阵 c 1 0 “口) ，这是一个，印。叼的矩阵，称为a 和b 的心o n e c k e r 乘积，记为 ct a o b ，即 一 b 一 船o n e c k e r 乘积具有下列性质： ( 1 ) 0 a 1 a 0 1 0 ， a l l ba 1 2 b 口h b a 2 1 b 口b a 2 n b ；i a m l ba m 2 b 口m b ( 2 ) 似+ a ：) 口一似。砂+ 他 印， a ( 且+ b 2 ) 1 0 b 1 ) + o b ：) ， ( 3 ) ( 叫) o ( 芦曰) 1 妒似。口) ， ( 4 ) “ b i x 4 2o 口：) 1 “一：) ( b 曰：) ， ( 5 ) o 口) 1 a o 口， ( 6 ) 口) 一1 a 。 口一 由李俊涮4 3 1 ，下述命题成立： 命题2 3 1 设4 ：厅lx n 2 ，e ：开lx n 2 ，a 2 ：肌lx m 2 ，最：胁lx m 2 ，都是常数阵， 曩 易一0 ，则以下两种叙述等价： ( 1 ) 存在常数阵g 1 ：玎1x n 2 和g 2 ：肌lx m 2 使 4 0 4 + e 固，2 1 g 1 g ：； ( 2 ) 存在常数七。使4 。七，五，或存在常数七：使彳：1 k 2 ，2 。 定义2 3 1 设爿。1 q i a 2 口。) ，定义肌厅1 的向量 9 两北人学硕i 二研究生毕业论文 第一= 章 v e c ( a ) 一 称这个程序为矩阵的向量化。 向量化运算具有下列性质： ( 1 ) v e c ( a + 口) 一v e c ( a ) + v e c ) ， 口l a 2 ： a ( 2 ) v e c ( a b c ) 一( c7 0 彳) 赡c ) ， ( 3 ) 设x 。1 。工：工。) 为随机矩阵，且 c o v ( x l ，善，) i e ( 砖一点毫x _ e r ，) - ， 记矿1o 。) ，则 c o v 彤e c ( x ) ) 一v o ， c o v e c ( x ) ) t 艺o y ， c o v ( v e c ( 掰) ) 一y o f ) ， 这里r 为非随机矩阵。 2 4 幂等阵与投影阵 定义2 4 1 若n 阶方阵a 满足a 2 - a ，则称a 为幂等阵。 定义2 4 2 设c 。有直接和分解： c 41 s l + 是， 那么对任一向量工c 1 ，可唯一地分解为： x 1 y + z ( 2 4 1 ) 其中y e s 。，z e s ：，我们称y 为x 循s ：在s 。上的投影。a x n y 的变换是一个先 行变换。从一个有限维空间到另一个有限维空间的线性变换能够用一个矩阵来表 i 0 西北人学硕f 卅究生毕业论文 第二章 示，我们称矩阵为变换矩阵。当选定这两个空自j 的基之后，线性变换与其变换矩 阵之间有一个一一对应关系，我们用同一个字母既表示线性变换又表示对应的变 换矩阵。( 2 4 1 ) 式所定义的变换记为p ，称为投影阵。 定理2 4 1p 为一个投影阵当且仅当p 是幂等阵。 推论2 4 1 对任意幂等阵a ，都有： a - 0 似w “， ( 2 4 2 ) 定义2 4 3 若在( 2 4 1 ) 式中，s 。上s 2 ，即s 。和s ：互为正交补空间，则相 应的投影y 称为x 向s ，的正交投影，相应的投影阵称为正交影阵，简记为最 关于正交投影阵，我们有以下结论： 定理2 4 2 设c 4 中内积定义为： o ，) 一y m x ， 其中m 0 ，则p 为正交投影阵，当且仅当： ( 1 ) p 2 = p ： ( 2 ) m p 为h e r m i t e 阵。 推论2 4 2 若c 。中定义标准内积o ，y ) 一y x ，则p 为正交投影阵当且仅当 p 为幂等h e r m i t e 阵，即p 满足： ( 1 ) p + 一p ： ( 2 ) p 2 - p 。 2 5 镶边矩阵 定y 2 5 a 形如m - ( ：乞) 的矩阵称之为镶边矩阵。 定理2 5 1 设s e c ，s 0 , l e c t m ，则 西北人学硕士研究生毕业论文 第二章 ( ：矿r 三：擘盯一裟一) 这里r s + 上+ 工，q l t l 。 推论2 5 1 设s e c n u , s 之o , l e c p ，且口) c u ( s ) ，则： 这j 肇h l s 。c 。 一r 嚣1 rs 矧， 推论2 5 2 设s e c ，s 苫o , l e c ”，且) n p 岱) 一 田， r ( 工) + r ( s ) - n ，r ( l ) 一p ，贝0 ： c - ，t - s + l l 和i ( ：苫) 都是可逆阵； c 2 ，( i ：) 一。( t - s r t 。1r ) 。 西北人学硕士研究生毕业论文 第三审 第三章二次损失下增长曲线模型中系数矩 阵的线性容许m inim a x 估计 3 1 引言 考虑由生物学家e o n o h o f f 和s n r o y 提出的增长曲线模型 f y x l 蹦；+ e ( j ) i 0 ( 3 - 1 1 ) i c o v p i ) 一2 ( v z ) 其中y ，均为n x p 阶随机矩阵，j 。，x ：分别为n x k 阶，p q 阶的已知设计矩 阵，口为k x q 阶未知参数矩阵，口2 0 未知，v 和分别为p p 阶和n x n 阶已 知正定矩阵，v 0 z 表示v 和的k r o n e c k e r 乘积a 文n d 5 1 1 2 3 1 分别研究了增长 曲线模型中一类特殊的线性模型在二次损失和矩阵损失下的一般可估函数s p 在 线性估计类d p f l m i n i m a x 估计；文献【3 9 】【4 4 】给出了一般增长曲线模型在矩阵损 失下回归系数线性估计可容许的充要条件及具体形式的损失函数下的m i n i m a x 估计的表达式；文献【3 3 】给出了增长曲线模型在二次损失下共同均值参数的线性 容许估计和m i n i m a x 估计。 本章对【3 3 】中的二次损失函数做了修改，分别在给出的齐次线性估计类 和非其次线性估计类中考虑可估函数k b l 的m i n i m a x 可容许估计。 3 2 相关定义 考虑齐次线性估计类： l o = i m y n ：m ，n 分别为m 。n 阶，p x m ：阶常数阵，m x ，= k 和非其次线性估计类： 两北人学硕l 研究生毕业论文 第三章 l 。t 协蜊+ c ：m y n l 。，c 为m 。m ：阶常数阵 中可估函数k b l ( 即p ( k g ( x 。) ，( u 肛( x ；) ) 的m i n i m a x 可容许估计， 其中k ，分别为m ，x k ，q x m ：阶常数矩阵。 取二次损失函数为： l o ( d ，k b l ) = ( d k b l ) u ( d k b l ) c r 2 + m a x ( a f b t b a j ) ( 3 2 1 ) ， l t ( d ，k b l ) = ( d k b l ) u q 一翘v p 2 + m a x 2 ，一一 其中宇- _ f ，暖舰咖厦0 r # 1 五) 一x ) ，t - z 矿一：，u 是已知m 。阶方阵， k u k 20 ( - 0 ) ，其谱分解为 k u k 。砉 口4 ，口；口；。 ：；：； i 己m y n 和m w + c 的风险函数为民( 籽 雒艇强仃2 ) 和墨( m 弧c 瓮8 厶盯2 ) ，并且 m y n 和鸠m 是髓l 的两个估计。 定义3 工l 如果对任意的但，口2 ) 和f 尺：- t ：l e r m , l l - q 有 i r o ( m y n , k b l ，2 ysf 簧o ( m l l m ，k 8 ，盯2 ) ， i r 1 ( f 】w ，c ，k b l ，盯2 ) fsi r l ( ，1 r w , ，c ，k b l ，仃2 y 且严格不等号至少对某个p ，盯2 ) 和f 成立，则称m y n ，m y n + c 一致优于 m 1 l m ，( m 。l l + c ) 。如果在。) 中不存在一致优于j | l 删，m y n + c 的估计， 则称 删，m y n + c 在上。旺，) 中是k b l 的可容许估计。 定义3 2 2 若存在一个常数g ，满足z r o ( m y n , k b l ，口2 ) ，g 对一切( 只盯2 ) 成立，则称g 为m l w 的关于k ( d ，k b l ) 的一个风险上界。一个估计m l w + e l 。 称为在工。中的m i n i m a x 估计，若对于任意其它l 。中的估计m y n ，他的关于 l o ( d ，翘己) 的任一风险上界存在掰。y n 的关于毛“d ，船) 的一个风险上界 口，使得日s g 。同样地，若把上述定义中的m y n ，m y n 换为 西北_ 夫学硕f 研究生毕业论文 第三章 m y n + c ，m y n + c ，即为在l 1 d p 的m i n i m a x 估计的定义。 3 3 在l 。中的m i n i m a x 可容许估计 经计算易得： 引理3 3 1 在模型( 3 1 1 ) 下，若m y n e l 。，则 ( 1 ) r o ( m y n , k b l ，仃2 ) 。aztr(umtm)n7n+kb(x；n-l)ukb(x2n-l)( 3 3 1 ) 口2 + 亭m a x ( a f b t b a ；) l ， ( 2 ) r o ( m p x , y p ；, n ，k b l ，2 ) s r o ( m y n , k b l ，d 2 ) 对一切但，盯2 ) 成立，且等号 成立的充要条件是 u ma u m p r 。，n 一n p r ， 其中b 。一x 。( x # 一x 。) x # 一，b ：一x ：( x y x ：弘少一。 引理3 3 2 在模型( 3 1 1 ) 和损失( 3 2 1 ) 下，若k b l 可估，则m y n 在k 中是k b l 的可容许估计的充要条件为： i u m - u m p x , ： i i n - n ：； i i i x ；i l 或x ；n ，i l ，但对任意j l l ( o 舯，有 n i n l t l + h ( x 2 n 一) 7 一g 一) o 不成立，其中? - x 罗一x 2 证明见文献【3 4 】中定理2 1 。 引理3 3 3 设m y n e l o 是k b l 的一个容许估计，q 为m y n 的关于 l o ( d ，k b l ) 的一个风险上界的充要条件为 ( 1 ) q z t r ( u m y m ) l w i n l ( 3 3 2 ) ( 2 ) q 苫t r u k ( x ；z x i ) k 】f7 ( x ；- l ) t 一( x ：一) ， ( 3 3 3 ) 两北人学硕l ：研究生毕业论文第三章 证明由引理3 3 1 知m y n 的风险函数为( 3 3 1 ) ，取口一0 ，由( 3 3 1 ) 易 得( 1 ) 成立。令盯2 0 ，由( 3 3 1 ) 式可得 州( 删，娥矿) f 螋m 裟a xa掣1 ( 3 3 4 ) i ：直廿n 在3 3 4 式中取曰。善嬲；，口= r 一( x ；一工) f 即可得到2 ，引理证毕 定理3 3 1 取损失函数k ( d ，k b l ) ，则 k ( x ；z 一1 x 。) 一z ：一1 y 矿- 1 x ：( j 少一1 x ：) 一工 是k b l 在厶中的唯一容许m i n im 积估计。 证明 k ( x ；x 一1 工，) 一x ：x - 1 y y 一1 x ：( x y 。1 x ：) 一l 的风险函数为 o * t , o j m z m ) l z t - l l + x - i l b k u k b l i 侃( m 巩吼矿) f i l 7 丽面品丽一 ( 3 3 5 三 ? - l ) ( 是方阵的最大特征根) ( 3 3 6 ) 这是因为，对任意的i l r 2 。有 z 留k 啪朋。善o z 心少砷妒舭工：口口；) 】2 s 善编口晒啪”一朋 s 印( k ：曼警( 吒曰z b 口；) z r l h 由引理3 3 2 ( 1 ) 得 t r ( u m 到w ) t z t 。l i - t r ( u m p xz m ) i l t l 1 = t r ( u m x l ( x # 1 2 1 ) x 二。1 m ) r l t l i ( 3 3 7 ) s f r ( 【( x 二- 1 x 。) k ) 7 t l ) ( 3 3 8 ) 将( 3 3 7 x 3 3 8 ) 带入( 3 3 5 ) 式中，即得( 3 3 6 ) 式，b i j i & ( l r 一) 为 1 6 两北人学硕l ：研究生毕业论文 第三章 三k ( x ：三一1 x 。) 一z ：一1 y 矿一1 x 2 ( x y 一1 j ：) 一工的关于工。( d ，k s l ) 的一个风险上界。 先证三k ( x ：4 x 。) 一x ；z - , y v - , x ：( x y - 1 j ：) 工为船览的容许估计，显然此 估计满足引理3 3 2h b ( i x i i ) ，下证满足( i i i ) 。对于任何0t hc1 ，有 i 圭y - 1 x ：( x y - 1 石：) 一工】y 【三y 。x ：( x y - 1 x ：) 一 - l t - l + h ( n x 2 一工7 ) f ( x ；一工) 一三l ( x y 4 x ：) 一x ；( y 4 ) p y 。工：( x y 4 z ：) 一工- l t - + 是哇( x y 一_ ：) 一x ：o 。1 y x ：) 一f 一哇盖少- 1 x ：僻y 1 z ：犯一q - 三( 秽4 邑) 一工一工7 1 + 三舰r 1 丝工，r - 工s0 4 即引理3 3 2 ( i i i ) 也满足，从而昙k ( x ：一1 x 。) x ：一1 y y 1 x ：( x ；矿- 1 x 2 ) + 工为 k b l 的容许估计。 t 证z 1 k ( x ；z 。) 一x ：z 一1 y y 1 石2 ( 并少一1 x ：) 工为船l 的埘疗f m 积估计，设 m y n l o 为k b l 的可容许估计，由引理( 3 3 3 ) 知m r n 的关于工o ( d ，k b l ) 的风险 上界为q ，满足( 3 3 2 x 3 3 3 ) ，从而 口2i l r ( u m x m ) f ，聊z + 州嘲砟e 一墨) 一k 】f ( x 一工) 7 一( x 一工册 三p ( ( 难一1 五) x 7 ) f n w v + 僻；一) 7 一( 墨一工) 】f 。三p x 咩# - 1 x 。) 一k ) 】f 1 缈一x ：丁一x d u l t r ( u k ( x , t , 一1 x 1 ) 一k 7 媸z f 豇 ( 3 3 。9 ) 所以，由定义知委k ( z ：x - 置) 一x ：一1 y y - 1 x ：( x y 4 j ：) 一工为艘的一个在 l 。中的容许砌f m 瓢估计。 再证唯一性，若存在j j l ，y n k 为另一个在厶中的肘跏f m a 】【估计由定义 知，存在口+ 为m y n 的一个风险上界，使口s i l 护( 嗽( 碓一1 墨) 一k ) 】f z r l z ，由 弓i 弹3 3 3 知 1 7 西北人学硕i ：研究生毕业论文 第三章 ， ( 1 ) q 2 t r ( u m y m 1 f ，v n 。f ( 2 ) q 2t ，w r ( x ；z x 。) k 】f ( x ；- l ) t 一( x ；- l ) t 则f r 【l ( z ：z x 。) 。k y z t 一f 2 丑r l v r ( x ；z x 。) k 】f w v n l + 2 f r v r ( x ；z x 1 ) 一k7 y 7 ( x ；一) r 一( x ；一l ) t 。2 t r u k ( x ；f x 。) 一k ，】f ，i n + v n + ( 工；一工) 7 一( x ；一l ) y - 知【皤( x 二一1 x ，) x 】f i v 一工2 t - 工：) + 2 ( x ：+ j 1 ) r 一( x ：一三1 ) + l t - l y - 2 t r u r ( x ；z x 1 ) 一k 】f i n 一x 2 t x o n y + 4 t r u k ( x y 一j 。) 一x 】f 僻；一昙工) r 。( x ：一i 1 工) ， + t r i u k ( x ；z x ) 一k 】f z t 一三f 由t r 【暖衅芦一x 。) 。k 】- 0 ，则司得上式中 f i n 彤一j 2 t - x ；) + 2 ( x ；一三1 ) 7 一( 工；三1 工) 】f - o ( 3 3 1 0 ) 即 f ，一x ：r x 9 。0 ( 3 3 1 1 ) z ，体；一三l ) r 一o ( 3 3 1 2 ) 从( 3 3 1 1 ) 和( 3 3 1 2 ) 式中可解得 n 。1 v 一，石： 少。_ ：) 。工 另一方面，如果材_ k 暖一x ，) 一x ：一，则 t i 吾k ( x ；z i x 。) 一z 墨一1 y y 一1 工：( x 少一1 x ：) 一l ；b ；盯2 i t j 口2 护 u k ( x ；z x ) 吲 r l f m4 i _ i , l b , k u k b l t 。7 巧面磊丽嚼厂一 1 0 2 t r u m z m v l t t - l i + r 0 b f k u k b u 旦生一 。 盯2 + 宇m a x ( a , b t b 7 ) 一 r o 1 m y y 一1 x 2 ( x ；y 一1 鼻2 ) 一工；丑；盯2 】， 对一切口r 一，盯2 0 ，且当b 0 时等号不成立，这与m y n 为k b l 的 1 8 西北人学颐i 。研究生毕业论立 第三章 容许估计相矛盾。所以m 一k ( x ；z x ，) 一x ；z 一，即在工。中的容许m ，l f m a x 估计 是唯一的。定理证毕。 3 4 在l 中的m in i m a x 可容许估计 仿照引理3 3 1 ，引理3 3 2 和引理3 3 3 的证明，我们有引理3 4 1 ，引理3 4 2 和引理3 4 3 成立： 引理3 4 1 在模型( 3 1 1 ) - f f ，若 删+ c 工，则 ( 1 ) 墨( m w + c ，k b l ，d 2 ) 口2 t r ( u m z m 3 n 1 n + 【k b ( x ：n - l ) + c u i k b ( x ；n l ) + c 】 。面面面赢了一 1 掣寸 ( 2 ) r i ( m p x 。l 。n + c ，k b l ，盯2 ) 墨马( n + c ，k b l ，口2 ) 萍t - - p j ( b ，仃2 ) 成立， 且等号成立的充要条件同引理3 2 1 中的条件相同。 引理3 4 2 在模型( 3 1 1 ) 和损失( 3 2 2 ) 下，若髓l 可估，则m 哪+ c 在 工。中是k b l 的可容许估计的充要条件是引理3 3 2 中的( i ) ，( i i ) ，( i i i ) ：x ；n 一工且 c ，c - 0 。 引理3 4 3 设m 州+ c 厶是k b l 的一个容许估计，g 为m y n + c 的关于 l t ( d ，k b l ) 的一个风险上界的充要条件为引理3 3 3 中的( 1 ) ，( 2 ) 。 定理3 4 1 取损失函数l