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分歧理论在一类半线性偏微分方程中的应用 学位论文独创性声明 本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别 加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同 志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。 学位论文作者签名：和嗄 日期：蝴_ 砧 学位论文版权的使用授权书 本学位论文作者完全了解辽宁师范大学有关保留、使用学位论文的规定，及学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交复印件或磁盘，允许论文被查阅和借阅。本文授权辽宁 师范大学，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库并进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。保密的学位论文在解密后使用本授权书。 学位论文作者签名： 彩贺 2 0 指导教师签名： 日期： 移_ i 吉 加r 形 分歧理论在一类半线性偏微分方程中的应用 分歧理论在一类半线性偏微分方程中的应用 研究生：祝贺指导老师：沈洁 学科专业：应用数学 摘要：在本文中，我们利用经典的局部、全局分歧定理，考虑了一类具有第一类边值条 件的反应扩散方程果蝇模型。我们研究了解了全局存在性，并利用偏微分方程的最 大值原理和泛函分析的谱理论，证明了从常值解附近分歧出来的分歧解关于分歧参数是 单调增加的，从而证明了方程的解不仅存在而且关于分歧参数是唯一的。这些工作都是 对文献 1 0 的有益补充。 关键词：果蝇模型；反应扩散方程；稳态解分歧；全局存在性：解的单调性。 1 背景知识 分歧理论是近半个世纪以来逐步形成的有重要应用价值的数学分支，它反映的是流 的拓扑结构随参数的变化而引起的质的变异，不论在数学理论上还是在现实应用中都具 有极为重要的意义。近半个世纪以来，分歧理论的研究一直受到人们的广泛关注，也得 到了很大的发展，然而最主要的工作还是集中在由常微分方程所确定的连续动力系统的 分歧上 1 。 一般说来，分歧现象经常出现在非线性问题的解决当中。在数学上，稳态解的分歧 研究是十分有意义的工作。在一个系统当中，如果有一个或几个参数，并且随着参数的 变化，系统解的定性行为发生改变，那么此时系统将产生分歧现象。更为具体的，考虑如 下系统： f ( a ，“) = 0 ( 1 ) 其中，名为分歧参数。如果系统在某个参数值，比如厶发生分歧现象时，系统的结构将 发生变化，系统的解的个数将随之发生改变。有关分歧问题的更为一般的叙述可以参见 3 分歧理论在一类半线性偏微分方程中的应用 文献 1 1 2 8 。 近年来，分歧理论在偏微分方程中的应用受到人们的广泛关注，尤其是考虑椭圆型 偏微分方程。对于椭圆型偏微分方程，人们考虑它的稳态解分歧，因为它的解与时间无 关；对于稳态解分歧，其研究的理论基础是七十年代c r a n d a l l 和r a b i n o w i t z 提出的局 部分歧理论、k r a s n o s e l s k i 和r a b i n o w i t z 全局分歧定理i 从无穷远处产生的分歧定理 等。利用这些抽象的分歧理论，人们可以研究某些特殊的椭圆型方程，考虑这类椭圆型 方程的解的存在性、唯一性以及多解性结果。同时结合偏微分方程的最大值原理、泛函 分析的谱理论，人们还可以研究方程解的单调性和稳定性等。 经典的分歧理论需要以下假定： d i m n ( f ( 凡，u o ) ) = c o d i m r ( f , , ( 厶，) ) = 1 其中，凡是分歧点，u o 是系统( 1 ) 的平凡解。这就是通常所说的从单特征值附近产生 的分歧条件( 部分条件之一) 。 最近，偏微分方程的静态分歧理论被广泛的应用在生物数学模型、化学反应模型、 经济数学模型以及管理数学模型上。其中讨论这类方程的解的存在性的问题已经成为这 类问题的研究热点。我们的研究工作是将分歧理论应用在一类具体的应用模型上，即著 名的n i c h o l s o n 果蝇模型。 n i c h o l s o n 果蝇模型是一个非常重要的模型。最初由n i c h o l s o n 在文献 4 中提出的， 它有效地记录了澳大利亚的一种寄生在羊身上的果蝇( l u c i ac u p r i n a ) 的“生态动力学”。 随后这一模型引起了许多学者的一致关注。比如在文献 8 中，j o s e p hw 考虑了一类具 有第一类边值条件且具有延迟项的偏泛函微分方程的解的渐进行为，并且考虑解的全局 渐进吸引性。他们所考虑的方程如下： o u - = ( x - 一, t ) ：“( x ，r ) 一万“( x ，f ) + p u e - a u ( x t ) , xef 2 ；u ( x ，f ) ：0 ，x a q ( 2 ) o t 其中，p 是果蝇每天最大产卵率，! 为果蝇在最大产卵率时的产卵量，万为每天果蝇的 4 分歧理论在一类半线性偏微分方程中的应用 成年死亡率。 在文献 9 中，z o u 等人考虑了方程( 2 ) 的行波解的存在性，得到了有关行波解的 一些结果，这些结果是有关行波解方面的比较早的结果。 本文中，我们考虑了一类具有第一类边值条件的果蝇模型的解的全局稳态解分歧， 并得到了一些全局性的结果，同时给出解的单调性的结果，这些都是对文献1 - 1 0 的局部 稳态解分歧工作的补充。我们主要研究如下方程的稳态解分歧： a u + , g u ( 1 - b e 一“) ，x q ；材= 0 ，z a q ( 3 ) 本文的结构如下：在第二部分中给出了预备知识：已有的一些非常重要的分歧定理， 其中包括局部分歧定理( 鞍结点分歧定理、临界点分歧定理) ，全局分歧定理。这些定理 的创立为我们的研究提供理论基础。在第三部分中，我们给出了主要的结果，即全局分 歧结果和解的单调性等结论。第四部分，我们给出了本文工作的总结。 2 预备知识 假设x ，】，是一个b a n a c h 空间。我们考虑如下的抽象方程： f ( a ，= 0 其中，f ：r x 专y 为非线性可微映射，r 是实直线。对于任何的a r ，有f ( x ， u o ) = o 。则称u = 为方程的一个平凡解。令： = ( a ，u ) er x x ：u u o ，f ( 兄，u ) = o ，则为方程的一个非平凡解集合。 ss 在不引起混淆的情况下，我们可以去掉s ，称为非平凡解集合。 定义2 1 ：方程的一个分歧点是指某个实数r ，使得，( ，o ) 属于的闭包。换 句话说，名r 是方程的一个分歧点，当且仅当，存在序列以r ，以x 0 ) ，使得 下列条件成立： 5 分歧理论在一类半线性偏微分方程中的应用 ( 1 ) f ( 以，虬) = 0 ； ( 2 ) ( ，u ) 寸( ，砜) ； 引理2 2 如果是方程的一个分歧点，则e ( ，w o ) l ( x ，t 3 ；是不可逆的。特别的， 如果f ( a ，【厂) = a u - t ( u ) ，则方程的任何一个分歧点是t ( o ) 的一个谱点。 引理2 3 ( b a n a c h 空间上的隐函数存在定理) 假设( 凡，) r xx ，f 是从( 凡，u o ) 的 一个开邻域v 到y 的一个连续可微映像。并且f ( 凡，砜) = 0 ，e ( 凡，) 是一个线性 同胚， 则f ( a ，u ) = 0 在( 磊，) 附近具有一个解曲线： ，u ( 五) ) = w o + ( 五一厶) + z ( 旯) ，其中，c o o = _ 屹( 磊，砜) 】1 ( e ( 厶，u o ”， 元专z ( 名) x 在见= 九附近连续可微，并且满足z ( 磊) = z ( 厶) = 0 需要说明的是，如果我们假设f 对于u 是连续可微，但对于允仅仅是连续的，则 结果仍然成立，但u ( 旯) 仅仅是连续的。同理，如果f c 七，则u ( 名) c 。 引理2 4 假设x = 矽2 2 ( q ) n 1 2 ( q ) ，y = r ( q ) 定义f ：r x x 专】， f ( 名，u ) = a u + a f ( u ) ，则乃( a ，u ) 为f r e d h o l m 指标为零的算子。 上个世纪七十年代，美国数学家r a b i n o w i t z 和c r a n d a l l 合作先后提出了如下抽象 的局部、全局分歧定理，这些理论的建立为分歧问题的研究提供了理论基础。 如下的局部分歧定理是c r a n d a l l 和r a b i n o w i t z 在文献 2 中得到的： 定理2 1 令九r ，f 是从( 九，) 的邻域y 到】，的连续可微映像，假设 ( 1 ) 对于所有的旯r ，f ( 2 ，u o ) = 0 ， 6 分歧理论在一类半线性偏微分方程中的应用 ( 2 ) 偏导数兄存在且连续， ( 3 ) d i m n ( f e ( 2 0 ，) ) = c o d i m r ( f v ( 2 0 ，) ) = 1 ，n ( f v ( r o ，v o ) ) = s p a n o o ) ， ( 4 ) ( 凡，v o ) 。甓r ( 昂( 凡，v o ) ) 令z 是空间x 的子空间印册 o ) 的补空间，则有： 1 存在开区间，= ( 一占，占) 和c 1 函数f ：，j r ，z ：，j z ，使得五( o ) = 凡z ( o ) - - o ， 并且如果对于所有的j ，都有u ( s ) = v o + s o + 记( s ) ，则 f ( 名( j ) ，u ( s ) ) = o 。 2 在( 矗，砜) 附近，f - 1 ( o ) 只由两条曲线u = 砜和u ( s ) = ( 允( s ) ，u ( s ) ) ，j j 组 成。 在文献 3 3 中，c r a n d a l i 和r a b i n o w i t z 给出了如下的判定分歧解的稳定性定理： 定理2 2 假设定理2 1 的条件成立，则存在开区间厶，1 2 ，其中凡，0 厶和连续可微 函数y ：寸r ，：一r ，d ：厶专x ，旷：厶寸x 使得下列式子成立： ( 5 ) 昂( 允，砜) 矽( 名) = y ( 五) j z ( 厶，) 矽( 元) ，x c 于re 厶， ( 6 ) 乃( 五( j ) ，u ( j ) ) 旷( j ) = ( j ) ( 厶，) 矿( s ) ，x 寸- 3 = se 乞， 其中厂( 凡) = ( o ) = o ，矽( 厶) = 。= 旷( o ) ，并且痧( a ) 一m 。z ，矿( s ) 一。z ； 更进一步( 凡) o ，并且在j = o 附近，函数( s ) 和一s ( s ) ( 凡) 具有相同的零点， 而且只要( s ) 0 则它们具有相同的符号。 定理2 3 在定理2 1 的条件下，如果f 对变量u 来说是c 1 的，则有 7 分歧理论在一类半线性偏微分方程中的应用 旯( o ) = 一 ，其中 ( ，) 是y 和】，的对偶，而r 为】，的对偶空间，z y 满足( z ) = r ( 昂( 矗，) ) 。 如果兄( o ) 0 ，则分歧为超临界分歧，当( o ) 0 时为上临界分歧，当旯7 ( o ) 0 时为上临界分歧，当a 。 o 时为上临界分歧，当( o ) o 满足： d i m n ( i - l ( & ) ) = c o d i m r ( i - l ( 凡) ) = 1 ， 并且对于所有的旯( 厶一s ，无) u ( 厶，五十g ) 都有( ，一三( 元) ) = 矽，其中s o 为 某一常数：另一方面，对于任意的磊一占 名 f 旯 o ，则( 磊，) 是 一个分歧点，其中凡= 幺( 三) 。 定理2 8 假设三是x 上的一个紧算子，日( 五，u ) 是r x x 空间上的一个连续算子，在 u = 0 0 附近。日( 允，u ) l l = o ( 1 l u i i ) ，并且0 u 2 日( 兄，u l u l l 2 ) 0 是紧的，如果允c ( ) 是奇 数代数重数，则( 九，o o ) 是方程的一个分歧点。 定理2 9 如果人r 是一个区间，并且满足人n c ( ) = 矗 ，则( 厶，) 的任何一个邻 域m 在r 上的投影在人内，并且一m 是无界的，或一m 与其他的分歧点相交。 定理2 8 和定理2 9 是具有全局分歧结构的，但它们并没有具体的描述方程的解集合 在分歧点附近的具体结构。 以上叙述的局部、全局静态分歧定理为研究静态分歧的存在性、分歧解的稳定性以 及分歧方向的判定提供了理论基础。 3 稳态解分歧分析 n i c h o l s o n 果蝇模型是n i c h o l s o n 在文献 1 中提出的，旨在精确地记录澳大利亚 的一种寄生在羊身上的果蝇s h e e p 咄1 0 w f l i e s ( l u c i ac u p r i n a ) 的生长周期；人们在实 1 0 分歧理论在一类半线性偏微分方程中的应用 验中观察到果蝇的基本的生长周期是4 0 天左右。这种模型的一般化模型引起了许多学 者，尤其是数学家的重视，他们对这一模型进行了广泛而深刻的研究。 在这一部分中，我们主要研究如下方程的稳态解分歧： 甜+ 勉( 1 6 口一“) = o ，x q ；甜= o ，x e i g f z ( 3 ) 在文献 1 0 中我们得到如下的结果： 定理3 。假设o 6 o ，则当名土1 - - b 时，方程 ( 3 ) 没有正解，当 五 力 0 ， 并且 d “q “ g ( u ) g ( o ) = 1 - b ，则上述等式中的第二项是正的，从而说明如果方程具有一个正解， 则必有五 厶。 第二步，我们证明当名 厶时，方程( 3 ) 确实具有一个正解q ，“) 事实上，引理 2 a 即从单特征值产生的分歧定理可知，方程在( 击，。) 处经历了分歧从而在平 凡解( 击，。 附近，方程的解可以参数化：心，= s + 似j ，。其中 分歧理论在一类半线性偏微分方程中的应用 s = 卜s ，占) ，而s 为充分小的正实数由于我们可以取c o o 为正数，从而在 s ( o ，占) 附近，方程( 3 ) 的解甜g ) 是正的。定理得证。 在文献 1 。 中，我们只是给出了局部的稳态解的存在性，也就是说，在临界点1 - l b 附近，方程具有稳态解分歧。然而在离开临界点击很远的地方的稳态解的全局存在 性的研究也是非常重要的。接下来，我们考虑解的全局存在性。这里我们研究的理论基 础是c r a n d a l1 的全局分歧定理。我们的主要结果如下： 定理3 1 假设o 丑暑土1 - b 时，方程( 3 ) 有一个正解。 证明：为了应用定理2 7 ，我们需要把方程写成如下的抽象形式： u = 名“+ 日( 旯，u ) ( 4 ) 其中算子三为紧的线性算子，日为紧算子，并且当肛0 专。时，在五的有界区域内有 l i h ( 名，u ) l l l l u l l 专o 。定义彳= 一为从空间c 詈+ 。( q ) 到空间c 口( q ) 的算子。由于空 间c ：竹( q ) 紧嵌入到空间c 口( q ) ，所以算子，：四帕( q ) 一口帐( q ) 是紧算子。 由此，方程( 3 ) 可以写成如下的抽象形式： u = 2 , 1 l u + 2 , 1 , 4 。( 厂( “) 二三“) ( 5 ) 显然，写成如上的抽象形式。我们就可以知道尼和a - 1 都是紧算子，故可以利用定理 2 7 得出：要么方程的解曲线在r c 口空间上是无界的，要么方程的解曲线经过另# l - - 个分歧点。但另一方面，利用最大值原理，我们可以知道：方程的解一定是有界的，而 且它的上界是三1 1 1 6 。 下面我们证明：方程( 3 ) 的解曲线不可能经过另外一个分歧点。事实匕，如果方 1 2 分歧理论在一类半线性偏微分方程中的应用 程( 3 ) 的解曲线经过另外一个分歧点，那么不妨假设这个分歧点为丑，则存在一列 ( 五，u ，) 使得当a 一丑时坼_ 0 ，同时在q 上 0 。令： m2 向删怫蚶眢 因为坼寸。且集合 坼 有界，所以由三和片的紧性可以知道u 具有收敛的子列。 不失一般性，我们假设这个收敛的子列仍然记为_ ，从而由0 h ( 五，_ ) | i | h0 一o ，可 以得到 ，= 丑三1 ，。由于忆0 = l 并且_ o ，所以m i = l 并且在q 上1 ，o 。但由于三只 具有一个单的特征值，所以方程( 3 ) 的解曲线不可能与另外一个分歧点相交。从而结 定理3 2 假设0 丑三专时，方程( 3 ) 的正解对于兄来 l d 说是单调增加的。 证明：我们利用文献【7 】中的方法进行证明。假设( a ，u 五) 是方程的一个解，将其代入方 程( 3 ) 便有： “工+ a u 五1 一b e 一“丑- o ，x f 2 ；u 五= o ，x a q ( 7 ) 对方程( 7 ) 两端以兄求导，便可以得到： a u 丑7 + a u 名( 1 - b e 一) + a b u “五“a = o ( 8 ) 由于蚝( o ) = 0 ，所以方程( 8 ) 等价于：a u 五7 + 五材：( 1 - b ) = o ( 9 ) 即 a u 工+ 五甜五7 = o ，x q ；甜 = 0 ，x a q ( 1 0 ) 从而由偏微分方程的最大值原理可知，材五= o ，x 孢ju 五o ，x q 。 1 3 分歧理论在一类半线性偏微分方程中的应用 但另一方面，由文献 1 0 中的结论可知，方程( 3 ) 的解是非常值解，所以甜互7 0 。从 而命题得证。 备注l ：我们的结果表明，当参数旯 击时，方程( 3 ) 始终具有稳态解。故我们 所得的结果是文献 7 的结果的一个特殊情况。 备注2 ：需要说明的是，在我们的研究过程中，我们并没有直接利用经典的分歧定 理来判定方程( 3 ) 所产生的分歧解的分歧的方向，但在文献 4 中定理的证明过程里已经 很清楚地看出分歧方向是上临界的，因为只有当a 丑时，方程才有解。 备注3 ：定理2 说明当参数见固定时，方程( 3 ) 的解是唯一的，从而得到了方程正解 的唯一性结果。 需要说明的是，在文献 1 0 以及本文中，我们始终假设条件0 b 0 ，否则五 0 ，则对任意的兄 0 方程( 3 ) 都有唯一的正解。 证明：同定理2 。 4 结论 本文考虑了一类果蝇模型的稳态解的全局存在性，给出了该系统非常值稳态解的存 在区间，同时对稳态解的单调性进行了分析。我们的研究结果表明：在临界点允附近，方 程( 3 ) 产生稳态解分歧，其分歧解是上临界的，并且按照分歧，参数兄是单调增加的。通 过以上对果蝇模型的稳态解的研究，使我们对方程( 3 ) 的解的渐进行为有了更为清楚地认 1 4 分歧理论在一类半线性偏微分方程中的应用 识，这些都是有意义的工作。 _ 1-o 一 一 一i i in ea p piic a t10 n so tbit u r c a t10 nt n e o r yinas e miiin e a r p a r t iaidif f e r e n tia i e q u a t io n s a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rak i n do fn i c h 0 1 s o nb l o w f l i e se q u a t i o ns u b j e c t t od i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o nb yu s i n gs t a n d a r dl o c a la n dg l o b a lb i f u r c a t i o n t h e o r e m s t h i sm o d e li sar e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n w ec o n s i d e rt h eg l o b a l e x i s t e n c eo ft h es o l u t i o no ft h i ss y s t e m ，w h e r em a x i m a lp r i n c i p a l si np d e s ， s p e c t r a lt h e o r yi nf u n c t i o n a la n a l y s i sa r ef r e q u e n t l yu s e d f u r t h e r m o r e ，w ea l s o p r o v et h eu n i q u e n e s so ft h es o l u t i o no ft h i ss y s t e mb ys h o w i n gt h a tt h es o l u t i o n c u r v ei sm o n o t o n ew i t hr e s p e c tt ot h eb i f u r c a t i o np a r a m e t e r o u rw o r k h e r ei s c o m p l e m e n t a r yt o 1 0 k e yw o r d ：n i c h o l s o nb l o w f li e s ：r e a c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n ；s t e a d ys t a t e b i f u r c a t i o n s ：g l o b a le x i s t e n c e ：m o n o t o n i c i t y 1 5 分歧理论在一类半线性偏微分方程中的应用 参考文献 【1 】黄启昌等，泛函微分方程分支理论发展概况，科学通报，1 9 4 2 ，2 4 ：2 5 8 1 2 5 8 7 。 【2 】m g c r a n d a lia n dp h r a h i n o w i t z ，b i f u r c a t i o nf r o ms i m p l ee i g e n v a l u e s ，j f u n c a n a l ，1 9 7 1 ，8 ：3 2 2 3 4 0 3 c r a n d a l l ，m i c h a e lg ：r a b i n o w i t z ，p a u ih ，b i f u r c a t i o n ，p e r t u r b a t i o no fs i m p l e e i g e n v a l u e s a n d1 i n e a r i z e d s t a b i l i t y a r c hr a t i o n a lm e c h a n a l 1 9 7 3 ，5 2 ：1 6 1 1 8 0 4 n i c h o l s o n a j a no u t l i n eo ft h ed y n a m i c so fa n i m a lp o p u l a t i o n s j a u s t r a li aj o u r n a lo fz o o l o g y ，1 9 5 4 ，2 ：9 6 5 5 p h r a b i n o w i t z ，s o m eg l o b a lr e s u l t sf o rn o n li n e a re i g e n v a l u ep r o b l e m s ，j f u n c a n a l ，1 9 7 1 ，7 ：4 8 7 5 1 3 6 r a b i n o w i t z ，p a u lh ，o nb i f u r c a t i o nf r o mi n f i n i t y j d i f f e q u a t i o n s1 9 7 3 ， 1 4 ：4 6 2 4 7 5 7 s h i ，j u n p i n ga n ds h i v a j i ，r a t n a s i n g h a m ，g l o b a l b i f u r c a t i o no fc o n c a v e s e m i p o s i t o np r o b l e m s a d v a n c e si ne v o l u t i o ne q u a t i o n s ，p r o c e e d i n g si nh o n o r o fj a g o l d s t e i n s6 0t hb i r t h d a ye d i t e db yg r g o l d s t e i n ，r n a g a l ，a n ds r o m a n e l l i ，m a r c e ld e k k e r ，i n c ，n e wy o r k ，b a s e l ，2 0 0 3 ，3 8 5 3 9 8 8 j o s e p hw 一h s o d i r i c h l e tp r o b l e mf o rt h ed i f f u s i v en i c h o l s o n sb l o w f l i e s e q u a t i o n ， j j o u r n a lo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，1 9 9 8 ，1 5 0 ：3 1 7 3 4 8 9 j o s e p hx i n g f uz o u t r a v e l i n gw a v e sf o rt h ed i f f u s i v en i c h o l s o n sb l o w f l i e s e q u a t i o n ， j a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，2 0 0 1 ，1 2 2 ：3 8 5 3 9 2 1 0 祝贺宋成东，一类半线性n i c h o l s o n 果蝇方程的精确解的个数，已投。 11 h a n s f o r gk i e l h o f e r ：b i f u r c a t i o nt h e o r y a ni n t r o d u c t i o nw i t ha p p li c a t i o n st o p d e s s p r i n g e r v e r l a g ，n e wy o r k ，i n c ，2 0 0 4 1 6 分歧理论在一类半线性偏微分方程中的应用 1 2 s m o l l e r ，j a n dw a s s e r m a n ，a ，s y m m e t r y b r e a k i n gf o rp o s i t i v es o l u t i o n so f s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s a r c h r a t m e c h a n a l 9 5 ( 1 9 8 6 ) ，2 1 7 2 2 5 1 3 s h i ，j u n p i n ga n dy a o ，m i a o x i n ，o nas i n g u l a rn o n l i n e a rs e m i l i n e a re l l i p t i c p r o b l e m p r o c r o y s o c e d i n b e r g hs e c t a1 2 8 ，( 1 9 9 8 ) ，n o 6 ，1 3 8 9 1 4 0 1 1 4 g i l b a r g ，d a n dt r u d i n g e r ，n s ，e l l i p t i cp a r t i a ld i e r e n t i a le q u a t i o n so f s e c o n do r d e r ，2 n de d ，s p r i n g e r v e r l a g ，b e r li n ，( 1 9 8 3 ) e l s c r a n d a l l ，m i c h a e lg a n dr a b i n o w i t z ，p a u lh ，s o m ec o n t i n u a t i o na n d v a r i a t i o n a lm e t h o d sf o rp o s i t i v es o l u t i o n so fn o n l i n e a re l l i p t i ce i g e n v a l u e p r o b l e m s a r c h r a t i o n a lm e c h a n a l 5 8 ( 1 9 7 5 ) ，n o 3 ，2 0 7 2 1 8 1 6 c a s t r o ，a l f o n s o ，m a y a ，c a n ds h i v a j i ，r n o n li n e a re i g e n v a l u ep r o b l e m sw i t h s e m ip o s i t o n es t r u c t u r e p r o c e e d i n g so ft h ec o n f e r e n c eo nn o n l i n e a r d i e r e n t i a le q u a t i o n s ( c o r a lg a b l e s ，f l ，1 9 9 9 ) ，3 3 4 9 ( e l e c t r o n i c ) ，e l e c t r o n j d i e q u c o n f ，5 ，( 2 0 0 0 ) 1 7 c a s t r o ，a l f o n s o ，g a r n e r ，j b a n ds h i v a j i ，r ，e x i s t e n c er e s u l t sf o rc l a s s e s o fs u b li n e a rs e m ip o s i t o n ep r o b l e m s r e s u l t sm a t h 2 3 ( 1 9 9 3 ) ，n o 3 - 4 ， 2 1 4 2 2 0 1 8 c a s t r o ，a l f o n s oa n dg a d a m ，s u d h a s r e e ，u n i q u e n e s so fs t a b l ea n du n s t a b l e p o s i t i v es o l u t i o n sf o rs e m ip o s i t o n ep r o b l e m s n o n li n e a ra n a l 2 2 ( 1 9 9 4 ) ，n o 4 ，4 2 5 4 2 9 1 9 o r u g a n t i ，s h o b h a ，s h i ，j u n p i n ga n ds h i v a j i ，r a t n a s i n g h a m ，d i f f u s i v el o g i s t i c e q u a t i o nw i t hc o n s t a n te f f o r th a r v e s t i n g ，i ：s t e a d ys t a t e s t r a n s a m e r m a t h s o c ，t oa p p e a r 2 0 s a t t i n g e r ，d h ，m o n o t o n em e t h o d si nn o n l i n e a re l l i p t i ca n dp a r a b o l i c b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s i n d i a n au n i v m a t h j 2 1 ( 1 9 7 1 7 2 ) ，9 7 9 1 0 0 0 2 1 s h i ，j u n p i n ga n dy a o ，m i a o x i n ，o nas i n g u l a rn o n l i n e a rs e m i l i n e a re l l i p t i c 1 7 分歧理论在一类半线性偏微分方程中的应用 p r o b l e m p r o c r o y s o c e d i n b u r g hs e c t a1 2 8 ，n o 6 ，1 9 9 8 ，1 3 8 9 1 4 0 1 2 2 s m o l l e r ，j a n dw a s s e r m a n ，a ，s y m m e t r y b r e a k i n gf o rp o s i t i v es o l u t i o n so f s e m i1i n e a re lli p t i ce q u a t i o n s a r c h r a t m e c h a n a l 1 9 8 6 ，9 5 ：2 1 7 2 2 5 2 3 p y h p a n g ，m w a n g ，q u a li t a t i v ea n a l y s i so far a t i o d e p e n d e n tp r