向量法解立体几何的方法总结.doc

向量法解决空间几何问题一、证明：空间几何主要证明垂直和平行。1、垂直：有线线垂直，线面垂直（重点），面面垂直 （1）线线：证明两直线向量积为0 即如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点。（）求证：BDFG； （）确定点G在线段AC上的位置，使FG/平面PBD，并说明 理由；()当二面角B-PC-D的大小为时，求PC与底面ABCD所成角的正切值。解：以AB为X轴，AD为Y轴，AP为Z轴建立空间直角坐标系 设正方形边长为a,PA为b，则B（a,0,0）,D(0,a,0),P(0,0,b),C(a,a,0)，F(a/2,a/2,b/2),G(X,X,0) (I)证明：=(-a,a,0), X =0,即证BDFG（2）线面：证明该线向量乘该平面两条相交线向量积分别为0如图，已知四棱锥SABCD的底面ABCD是矩形，M、N分别是CD、SC的中点，SA面ABCD，SA=AD=1，AB=（I）求证：MN平面ABN；（II）求二面角ABNC的余弦值（3）面面：证明两平面法向量积为0 即BCADEP如图：平面，四边形ABCD为直角梯形，/，,() 求证：/平面；（) 求证：平面平面；() 求二面角的余弦值2、平行： 线面平行（重点），面面平行（1）线面：(AB为这条直线向量，n为平面法向量)DBCEB1C1AA1如图，在三棱柱中，每个侧面均为正方形，为底边的中点，为侧棱的中点.（）求证：平面；（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值. （2）面面（计算二面角为90度）二、计算： 角度，距离，体积1.角度：线线角，线面角，面面角（重点）（1）线线：(AB与CD为两直线的向量)已知四棱锥的底面为直角梯形， 底面，且， ，是的中点。（）证明：面面；（）求与所成的角；（）求面与面所成二面角的大小。（2）线面：(AB为直线向量，n为平面法向量)如图，已知点P在正方体ABCDA1B1C1D1的对角线BD1上，PDA=60。（1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。1解：如图，以为原点，为单位长建立空间直角坐标系则，连结，在平面中，延长交于设，由已知，由ABCDPxyzH可得解得，所以（）因为，所以即与所成的角为（）平面的一个法向量是因为，所以可得与平面所成的角为（3）二面角：(m,n分别为两平面的法向量)如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面是正三角形,平面底面 （）证明：平面； （）求面与面所成的二面角的大小证明：以为坐标原点，建立如图所示的坐标图系. （）证明：不防设作，则， ， 由得，又，因而与平面内两条相交直线，都垂直. 平面. （）解：设为中点，则，由因此，是所求二面角的平面角，解得所求二面角的大小为2.距离：线线，点面（1）线线：(P为一条直线上一点，A是另一直线上一点，n为垂直两直线的向量)如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，是上一点，. 已知求（）异面直线与的距离； （）二面角的大小.解：（）以为原点，、分别为轴建立空间直角坐标系.由已知可得设 由，即 由，又，故是异面直线与的公垂线，易得，故异面直线,的距离为.（）作，可设.由得即作于，设，则由，又由在上得因故的平面角的大小为向量的夹角.故 即二面角的大小为（2）点面:(P为平面外一点，A为平面任意一点，n为平面法向量)如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的，其中. （