（光学工程专业论文）用传输矩阵法（tmm）研究光子晶体的传输特性.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 本文将传输矩阵法( t m m ) 用于光子晶体传输特性的研究，推导出了一维光 子晶体带结构和传输特性的方程；对二维光子晶体，采用m u r 二阶、三阶近似吸收 边界条件和周期边界条件来截断计算区域，研究了其在几种情况下的传输特性。 编制了计算一维光子晶体带结构和传输特性的数值计算程序以及二维方格子 光子晶体传输特性的数值计算程序。对一维光子晶体，计算了完整结构光子晶体、 金属介质光子晶体和色散介质光子晶体的带结构和透过率谱，以及在一维完整结构 光子晶体中引入缺陷时的透过率谱；对二维光子晶体，研究了e 偏振电磁波( e m ) 正入射，在完整结构光子晶体、有损介质光子晶体、光予晶体直波导、光子晶体线 缺陷、光子晶体耦合腔波导，以及色散和吸收介质光子晶体中的透过率频率谱； 另外还研究了在色散介质光子晶体中引入缺陷时的透过率一频率谱。 设计了微波段的二维方格子光子晶体模型，用h p 8 5 1 0 c 微波矢量网络分析仪测 试了其透过率一频率的关系。 数值模拟与微波波段设计的实验结果是基本一致的。 关键词：光子晶体，光子带隙，传输矩阵法，吸收边界，微波波段，透射谱 缺陷态。 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t t r a n s f e rm a t r i xm e t h o d ( t m m ) i su s e dt os t u d yt r a n s m i s s i o np r o p e r t i e so f p h o t o n i c c r y s t a l s t h ee q u a t i o n so f b a n ds t r u c t u r ea n dt r a n s m i s s i o np r o p e r t yi no n ed i m e n s i o n a l p h o t o n i cc r y s t a l s a r eo b t a i n e d ；t h es e c o n do r d e r t h e “r do r d e ro fm u ra b s o r b i n g b o u n d a r ya n dp e r i o d i cb o u n d a r ya r eu s e dr e s p e c t i v e l yt oc u tt h ec o m p u t a t i o n a lr e g i o ni n t w od i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l s ，a n dt r a n s m i s s i o np r o p e r t i e sf o rd i f f e r e n tp a r a m e t e r s a r es t u d i e d t h ep r o g r a m sw e r ed e v e l o p e dt oc a l c u l a t eb a n ds t r u c t u r e sa n dt r a n s m i s s i o np r o p e r t i e s o fo n ed i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l s ；a n da l s oap r o g r a mw a sd e v e l o p e dt oc a l c u l a t e t r a n s m i s s i o np r o p e r t i e so ft w od i m e n s i o n a ls q u a r el a t t i c e p h o t o n i cc r y s t a l s f o ro n e d i m e n s i o n a l p h o t o n i cc r y s t a l s ，t h eb a n d s t r u c t u r e sa n dt h et r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n tv e r s u s t h ef r e q u e n c yw e r ec a l c u l a t e di na p e r f e c t ，i nam e t a l l i cm e d i u m ，i n a d i s p e r s i v em a t e r i a l o fp h o t o n i c c r y s t a l s a l s o t h et r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n tv e r s u st h e f r e q u e n c y w a s c a l c u l l a t e di nd e f e c t f o rt w od i m e n s i o n a l s q u a r e l a r i c e p h o t o n i cc r y s t a l s ，t h e t r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n tv e r s u st h ef r e q u e n c yo fe p o l a r i z e di n c i d e n te l e c t r o m a g n e t i c w a v e sp r o p a g a t i n gi np h o t o n i c - b a n d g a ps t r u c t u r e sw e r ec a l c u l a t e di np e r f e c t ，i nl o s s m e d i u m ，i nl i n e a rw a v e - g u i d e ，i nl i n e a rd e f e c t ，i nc o u p l i n gc a v i t yw a v e - g u i d e ，i n d i s p e r s i v e a n d a b s o r b i n g m a t e r i a l so fp h o t o n i c c r y s t a l s a l s o t h et r a n s m i s s i o n c o e f f i c i e n t sv e r s u st h ef r e q u e n c yw e r es t u d i e df o rd i s p e r s i v em a t e r i a l sw i t hd e f e c ti n p h o t o n i cc r y s t a l s am o d e lo f2 ds q u a r el a t t i c ep h o t o n i cc r y s t a l sw a sd e s i g n e da n df a b r i c a t e d t h e t r a n s m i s s i o nc o e f f i c i e n t sv e r s u st h ef r e q u e n c yw e r et e s t e db yh p 8 5 1 0 cm i c r o w a v e v e c t o rn e t w o r ka n a l y s i si n s t r u m e n t t h er e s u l t so fn u m e r i c a ls i m u l a t i o na r ec o n s i s t e n t w i t he x p e r i m e n t a lr e s u l t si n m i c r o w a v ew a v e l e n g t h r e g i o n s k e y w o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l s ，p h o t o n i e b a n d g a p ，t r a n s f e r m a t r i xm e t h o d ， a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n ，m i c r o w a v ew a v e l e n g t h r e g i o n s ， t r a n s m i s s i o ns p e c t r a ，d e f e c ts t a t e s 独创性声明 y 5 1 9 7 9 9 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目：题篮猃缝睦洼! ! 婴! 盟壅左至晶堡鲍篮捡监蛙 学位论文作者签名：翟l 主啦 日期： 训。年，r 月；3 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文题目：围佳捡熊隍洼( i 避2 丛窥左王晶签鲍篮捡挂世 学位论文作者签名 作者指导教师签名 日期：w v 年f ，月巧日 日期：舢2 年1 1 月3 1 日 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章光子晶体简介 1 1 什么是光子晶体? 从计算机、互联网到无线通信等，无不说明这场由同俗物理和半导体引发的信息尊命已 经深深地影响到我们生活的每一个角落。尽管这种巨大的冲击是无容质疑的，在这冲击背后 的物理机理依赖硅原子中的电子能带结构及在硅晶体中掺入杂质后能带结构的变化，但事实 上硅原子晶格中电子能带结构的存在并不仅仅依赖硅原子或电子的特性。我们知道一列波通 过周期性阵列的散射体时，对某一频率和波矢的波在散射体中散射时，如果出现相消干涉， 则这样的波就不能在其中传播。这就有一个很明显的问题，在硅晶体中对硅原子电子能带结 构的操纵已经导致了电子革命，那么与此相同，在周期性电介质的结构中，如能操纵光子的 能带结构，是否也会导致在光电予技术一f - 的一场革命呢。 y a b l o n o v i t c h 和j o l 】1 1 分别在研究周期性电介质结构材料对自发辐射的抑制 1 和电介质 超晶格结构材料中引入一定的无序对光子局域态 2 的影响时，于1 9 8 7 年各自独立地提出了 光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l s ) 的概念。 光子晶体就是介质的介电常数呈周期性分布，具有光子带隙( p h o t h i cb a n dg a p ) 的功能 材料。这种高低折射率材料的周期性排列，使在其中传播的光波的色散曲线呈带状的结构， 带与带之间形成光子带隙, ( p h o t o n i cb a n dg a p ) 。频率落在带隙中的电磁波将被禁止传播而被完 全反射回来。如果介质的介电常数只在一个方向上存在周期性结构，那么光子禁带只能出现 在这个方向上：如果在三个方向上都存在周期性的结构，那么就可以出现全方位带隙，落在 禁带频率范围内的电磁波进入光予晶体，将在各个方向都被禁止传播。维的多层介质膜 ( m u k i p l a y e tf i l m s ) 或者b r a g gs t a c k 就是最简单的一维光予晶体，如图1 1 所示，它是由 两种不同的电介质材料组成的周期性结构，当电磁波入射到其上时，经过许多次的两介质分 界面的散射，有些频率的光能够通过多层介质膜，同时，有些频率的光不能在介质膜中传播 而被完全反射。其典型的b r a g gs t a c k 的带结构图如图1 2 所示，在可能的带中( a l l o w e d b a n d ) ， 对应的频率有实的波矢，这种 【l 磁波波能够通过，而在禁带中( b a n d g a p ) 则没有实的波矢女存 在。对二维、三维的光予晶体，其结构如图1 3 所示，对某晶 备j 割期常数和某结构，当 满足一定的填充比时，其对应的波矢j i i 和频率形成的能带图中也有带隙存在。在光子禁带 中，所有频率的波其对应的云都是复数，它在晶体中激发了一个消逝波。这些模式在无限大 的晶体中不能被激发，但是当晶体的平移对称性被打破，比如在晶体表面，或者在晶体中有 第1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 w a v ev e c t o r 图1 1 电介质多层介质膜或者布拉格堆 图1 2 典型的布拉格堆的带结构 缺陷，这就有可能在光子禁带中现局域表面态( 1 0 c a l i z e ds u r f a c e 似e ) 或者缺陷态( d e 廊t s t a t e ) 。 图1 3 左：二维光子晶体结构图 右：二维光子晶体结构图 1 2 早期的光子晶体结构 自然界中有天然的光子晶体存在，如蛋白石和蝴蝶翅膀等，但这些天然的光子晶体均没 有完全的光子带隙，因此需要人工通过调节折射率的周期性变化来制造光子晶体。h o ，c h a n 和s o u k o i l l i s 是第一个从理论上预见了具有金刚石结构的三维光子晶体具有完全禁带 3 。他 国防科学技术大学研究生院学位论文 们发现只要球的半径选取得适合，无论是介质球植埋在空气中、还是在介质中挖出空气球， 形成三维结构，就有完全的三维光子禁带存在。而y a b l o n o v i t c h 第一个在实验室中制造出具 有完全禁带的三维光予晶体。如图1 4 所示。 图l _ 4y a b l o n o v i t h 结构的三维光子 晶体制作方法的示意图 多 ，。弋 弋 r t e a l oag 坤 一 图1 5y a b l o n o v i t h 结构的六个 最低的光子带结构图 具体的制作过程 4 如下：在一片电介质材料上镀上具有三角空洞阵列的掩膜，在每一 空洞处向下钻三个孔，钻孔相互之间呈1 2 0 。，与电介质材料表面的法线呈3 5 2 6 。，十字 形的洞将得到三维周期性的面心立方结构，在格点位置上空气部分是非对称的。其带结 构如图1 5 所示 5 。 1 3 光子晶体本征方程 所有的宏观电磁理论，包括电磁波在光子晶体中的传播都由m a x w e l l 方程来决定。 在高斯单位制中，m a x w e l l 方程为 0 u#一、d3vuc中口0-u 国防科学技术大学研究生院学位论文 v d = 4 巧d v 豆1 0 b c 。o t v 。厅：土a d + 三4 方 co tc v b = 0 ( 1 3 1 ) 其中：d i = 占, j e j + 坛衅e j e k + o ( e 3 ) 这里，五和疗是宏观的电场和磁场强度，西和云是电位移强度和磁感应强度，p 和了是 自由电荷密度和电流密度。 对电介质材料，下列假设是很好的近似，( a ) 空间无自由电荷和电流，即p = 0 、7 = 0 ， t b ) 介质尤非线性效应，( c ) 介质各向同性，不均匀( 但对某一区域为各向同性均匀介质) ， 所以豆( ，r ) 和西( f ，f ) 由一个标量占( i ，) 来联系：b ( f ，) = s ( 尹，) 舌( 尹，f ) ，( d ) 、电介质材料 非铁磁性：= 1 ( 高斯单位制下) 。考虑单色平面波，即： 厅( f ，f ) = 曰( f ) p 豆( f ，f ) = e ( f ) e 一“( 1 3 2 ) 则m a x w e l l 方程组变为： v 疗( f ) = 0 v 西( f ) = 0 v 营( 尹) 一丝豆( i ) ：0 ( 1 3 3 ) v 膏( 芦) + 丝( f ) 丘( 尹) = 0 消去e ( 尹) 得： 乳去乳的) 2 p 2 觚) ( 1 3 4 ) 令 。( 力却。高弘 五：p ) 2 贝qo ( f ) 疗( f ) = 五詹( i ) 其中 是线性厄米算符，这就是光子晶体的本征方程 5 。 ( 1 3 5 ) 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 1 4 光子晶体理论计算方法 光子晶体理论的计算已相对成熟，通常用于计算光子晶体特性的方法有：平面波法 ( p w m ) 、时域有限差分方法( f d t d ) 、传输矩阵法( t m m ) 等等。 平面波法 3 ，6 - 7 是最先用来计算光子晶体能带结构问题的方法。方程( 1 3 4 ) 虽然是一 个矢量方程，但它仍然是一个简单的本征值问题，从原理上说可以把它精确地解出来，这是 光子晶体_ 水征方程不同于电子s c h r o d i n g e r 方程的一个方面，因为光子之间没有相互作用，而 电子之间有相互作用。 为了找到光子晶体的带结构，我们解方程( 1 3 4 ) ，由于光子晶体结构的平移对称性，应 用b l o c h 定理 8 ，可将雷( 尹) 和1 占( i ) 用倒格矢展开。 日( i ) = e i g , f i ( i ) ( 1 4 1 ) 且 霸( 芦+ 月) = 霸( 尹) ( 1 4 ，2 ) 其中五= 确蟊+ m 2 舀2 + m 3 玩为格矢 将厅( 尹) 展开成f o u r i e r 级数 开( i ) = 办( 西“7 所以 由( 1 4 2 ) 知p “8 = 1 令 则 2 。色e 。“ g 再( f ) = 九。叫埘 g2 所以g 为倒格矢。因为v 膏= 0 ，得 孬( 6 ) ( 霞+ 6 ) = 0 毛( k + g ) = 0 ( 九= l ，2 ) 疗( i ) = 磊( g ) e 坼西= h 。n 。p 同理将占“( f ) 用平面波展开 所以 ( 1 4 3 ) ( 1 4 4 ) ( 1 4 5 ) ( 1 4 6 ) ( 1 4 7 ) 占一1 ( 芦) = 占一1 ( g ) p 廊 ( 1 4 8 ) v 疗( 沪v f g 们) e 觚衍) _ 1 第5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 3 n g ) 财( g ) 沛“7 高v 厅回5 萎占( a o ) e i g o m e 。 i ( 霞+ 面蛎( 西“面i = g - j ( 鼠) 【f ( 霞+ o ) 厅( g ) p 2 + 。+ 瓯f 亩g 乳高弧觚) 2 蒡驴( 弧“西面7 陋“弧 f ( n 弧厕j ：。一t ( 龟弦“+ g + 白，i 每( o ；【( 霞+ o + 龟，) ( 霞+ 6 ) 卜( 霞+ 6 ) 【( 霞+ 6 + 磊，) 霸( 6 ) 】 ( 詈) 2 厅( i ) = ( 詈) 2 霸( 6 1 ) g 肛面f cc 石 ( 1 4 9 ) ( 1 4 1 0 ) 由于本征函数p 67 正交，所以( 1 4 8 ) 、( 1 4 9 ) 中同类项的系数必然相等，令 6 + 0 ：= 6 ( 1 4 1 1 ) 得 占一- ( o ，一百) 每( o ) ( 霞+ d 7 ) ( 霞+ 舀) 一( 霞+ o ) ( 霞+ 6 ) 开( o ) 】 g ：( 马2 舀( 6 ) ( 1 ，4 1 2 c 由( 1 4 6 ) 式，取 茧= ( 以1 ) l + ( 茜e 2 ) 2 + ( 爵旬) 色 ( 。1 ，2 )( 1 4 1 3 ) 将( 1 4 1 3 ) 式代入( 1 4 1 2 ) 式，并将结果写成矩阵形式 矿( 。刮霞+ 石陋批i f h l l j 一0 科) 2 厅h ：1 ( 1 。1 4 ) 其中爿= 雕糍凛鬟怒兽装蒜嚣嚣鞠 a 。，：，毛、a ：，乞，彭是垂直于f + 6 的单位矢量。 ( 1 4 1 4 ) 式是一个典型的求解2 n 2 n 矩阵的特征值问题，n 是平面波的个数：根据所 需要的计算精度，确定n 的大小，从而在倒格矢空间截断对0 的求和，对每一个给定的波矢 ，就能找到其对应的本征频- g r o ，这样就可以得到光子晶体的能带结构以及电磁场在空间 的分布。 时域有限差分方法 9 一1 1 是将麦克斯韦方程组在直角坐标系中展开成标量场分量的方程 国防科学技术大学研究生院学位论文 组，然后用二阶精度的数值差商代替微商，将连续的空间和时间问题离散化，得到标量场分 量的差分方程组；由数值色散关系和所关心的电磁波的波长大小来确定空间离散步长的大小， 进而用此空间步长将所要研究的光子晶体沿坐标轴向方向分成很多y e e 氏网格单元；求出每 一个网格点的有效介电常数；由空间步长和时间步长所满足的数值稳定性条件关系，得出相 应的时间步长。这样可以根据标量场分量的差分方程组，进行迭代，计算出光子晶体中在任 意时刻场的分布情况，并通过傅立叶变换，计算出包含很大频率范围的透射谱。 由于平面波方法( p w m ) 并不能适用介电常数是复数、或者随频率变化的情况，而实验特 别关注的是一定频率的入射场被光子晶体散射后的透射系数和反射系数。p e n d r y 和 m a c k i n n o n 发展了传输矩阵法t r m m ) 1 2 1 6 ，并十分成功地应用于l e e d 1 7 实验分析和有 缺陷的光子晶体中。其方法实质是在实空间中把麦克斯韦方程进行有限差分，然后将其变成 传输矩阵的形式，则通过传输矩阵可以把一个层面上的电场和磁场与紧邻的另一个层面上的 电场和磁场联系起来，如此可以将其外推到整个光子晶体空间。如果知道了最初层面上入射 场的分布，就可以利用传输矩阵法计算出最后层面上的透射场的分布，而计算出光子晶体的 透射系数和反射系数。本文将在后面的章节中对传输矩阵法进行详细地讨论。 1 5 光子晶体的应用 光子晶体理论的完善和实验制备技术的提高，使光子晶体应用的领域愈来愈广泛。 ( 1 ) 微波天线 1 8 针对某一微波波段设计出光子晶体，让此微波波段落在禁带中，则该光子晶体作为天线 的基板，基底就小会吸收或从背面泄漏微波，而能把能量全部发射到空中，这就实现了 罩淦 卜的无损耗完全发射。而对一般用g a a s 介质作基底的天线反射器，9 8 的能量完全损耗在基 底中，只有2 的能量被发射出去。1 9 9 3 年美国研制成功第一个以光子晶体为基底的偶极平面 微波天线。 ( 2 ) 光子晶体光纤 1 9 传统光纤的缺点是存在色散、单模频率范围窄。而光子晶体光纤可以做到很宽波长范围 一 国防科学技术大学研究生院学位论文 的单模和低色散。英国b a t h 大学用二维光子晶体成功制作了新型空心光纤：由几百个传统的 氧化硅毛细管依次绑在起组成六角阵列，然后在2 0 0 0 。c 下烧结从而形成直径约为4 0 微米 的蜂窝结构亚微米空气孔。让光在中心空7t 孔中传播，而非氧化硅中。 另外，光子晶体还可以制作光子晶体光波导 2 0 、光子晶体超棱镜 2 1 、光子晶体偏振 器 2 2 j 、低阈值激光发射器和光子晶体光开关 2 3 等等。 第8 页 里堕型兰垫查盔堂笙壅竺堕主些堡茎 第二章一维光子晶体传输矩阵 2 1 一维光子晶体模型 有两个相对介电常数分别为s 。和岛、厚度分别为a 和b 的薄介质层交替排列在x 方向构 成周期结构，而在y 和z 为无穷，则此构成一维光子晶体，空间周期为d = 口+ b ，即 占( x ) = 6 ( x + d ) 。如图2 1 所示。一束频率为甜的单色光从左向右入射到此结构中。 i 文 与 - 2 ” 。 h + 1 图2 1 一维周期性的电介质结构图 图2 2 在同一层介质中，波的传播示意图 其计算的模型如图2 2 和如图2 3 所示，在图2 2 中，电磁波在x 方向的传播行为只有 正向行进和反向行进两种。 e 。l ( x ，y ) = e 。1 ( x 。) e x p 【f ( 亓f 。，1 ) ( z x 。) 】e x p f ( 女。1 ，y ) 】 瓦2 ( x ，y ) = b 2 ( x 。) e x p 积。，2 ) o x 。) e x p i ( k 础，y ) 】 = e m , 2 ( x 。) e x p 一f ( 亓矗1 ) ( x x 。) 】e x p i ( k 。舢_ y ) ( 2 1 2 而e ( x ，y ) = e 。，l ( x ) e x p i ( k y ) e ( x ，_ y ) = e 。2 ( x ) e x p i ( k 。，l ，) 则( 2 1 1 ) 式和( 2 1 2 ) 式可写成如下的形式 ( 乏驰一，位 里堕型堂垫查查兰竺茎竺堕堂焦笙苎 这里匕c x x 。，= ( 8 x p 【f ( 而乞( x z m ) 】。p 。一，。再乏，。一x 。， c z ，s ， 圪( x 一) 为x 方向的传播矩阵。 e 卅l ( x 。) 和e 椰( x 。) 为电矢量的振幅。 在两介质的交界面上，电磁波满足电磁场的边界条件，即界面处的电矢量廓口磁矢量疗 的切向分量连续。首先考虑t e 模( 亓雷= o ) ，就是入射光的电偏振五垂直入射面，且以斜入 射至介质面，如图2 3 所示。 a 产 卢e ： 岛 鼋吣坷 、 净弋 岛 一 凶1 7 1 图2 3 在两介质分界面上，电场和磁场方向分布图 e 。和e 、h 。和：为介质相对介电常数为巳的在两介质交界面处的入射电场和反射电 场、入射磁场和反射磁场，只和一为入射角和折射角，e 。和耳、h 。和日：为介质相对介电 常数为矗的在两介质交界面处入射电场和反射电场、入射磁场和反射磁场，可建立下列的方 程： e 。+ e = 毛+ 聪 ( 2 1 4 ) h 。c o s ( 只) 一珥c o s ( 只) = h 6c o s ( o ；) 一h ：c o s ( 0 1 ) ( 2 1 5 ) 根据肚挣2 侩e 压( 胪1 ) ( 2 1 6 将( 2 1 4 ) 、( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) 连立起来得到 鼢吉 + 一 上 ( 2 1 7 ) 第l o 页 等等 篮厄巫厄等等巫压正石 一 国防科学技术大学研究生院学位论文 为两介质界面上的散射矩阵， 这样就可以用传播矩阵和散射矩阵的乘积把光的传播行为表示出来。 同样，可以把刑模( 疗的偏振方向和入射面垂直) ，即( 亓膏= o ) 的散射矩阵d 表示出来。 利用电磁场的边界条件，可以得到下列二式 h 。+ 影= h 6 + h ：( 2 1 8 ) e 。c o s ( a , ) 一e ：c o s ( a , ) = e bc o s ( a , ) 一日c o s ( a , )( 2 1 9 ) 将( 2 1 8 ) 式、( 2 i 9 ) 式、( 2 1 6 ) 式联立起来得到 i 岛。c o s ( a , )岛。c o s ( a 1 ) 1 院i 匡。c o s c o 徊s ( a 2 ；) 每。裂弦。， l 砭j 2 石。再，c o s ( 研) j 忆l 川 i 巳c o s ( a , ) 巳c o s ( a , ) j f 毛c o s ( g )。c o s ( a ) 舯肛剖墨显筐+ 型 i 毛c o s ( a , ) 乞c o s ( 0 , ) 为h 偏振在两介质界面上的散射矩阵。 以上我们计算了单层介质的传播矩阵和散射矩阵，对于一维周期性结构，可利用逐层计 算的方法求出它的传输矩阵，如图2 4 所示的结构，在第0 层有入射波e 和反射波e ，第 n + l 层只有出射场e 。则有 ( 参) = 。( 密只t x 一一，d m ，。) ( 吾) = 吖( 言) = 三l ：j ) ( 言) ( 2 2 1 ) 岛。为第0 层和第1 层介质界面的散射矩阵，d m 。为第l n 层和第n 1 + 1 层介质界面的散 射矩阵。 第l i 页 鬻鬻 巫厄篮厄器器篮厄篮厄rl1 一 国防科学技术大学研究生院学位论文 0 最 e ， 2 i+ 1 f t 图4 2 n 层电介质结构图，e ，、e ，、e ，分别为入射场、反射场和透射场。 ”，m t 2 j ，m 2 。2 是m 的矩阵元。这样透射系数和反射系数分别为 r = 鲁弧 ，：生：堕 em l l 妒维光子晶体的透过率叫圹= 吲e 2 = 旧 腓酬干槲= 科 2 3 一维光子晶体带结构 由b l o c h 定理，在周期性的界面处的场矢量满足： 盼e “ c 啪鼬黼 又由传输矩阵法可以得到 ( 主； = ( 只。咖p b d b ，。，f ，t e e ：6 j 1 ， 记m = ( p 。d o 。6 p b d b 。) ( 2 2 3 ) 第1 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 于是( 是 = 肘( 刍 = ( 麓：麓i ( 壹) = e 一“( 参 彳1 1 ，m 1 2 ，m 2 l ，m 2 2 为m 的矩阵元。 由定解斛a e t c m k 。玲。 而m = ( p o d 础只d ) ，则 d e t i m = d e t l p o l d e t l d 础i d e t l p 。l d e t i d 。，。 ：1 延 0 o = 1 ( 2 2 4 ) 可以得到一维周期性结构的光子晶体的色散关系式为 e o s ( k d ) = ( m l i + m 2 2 ) 将只、兄、d 柚和d 代入m 。和m ：的式子中，我们可以得到： t e 模的带结构方程： c o s ( 咖c o s ( - ；4 - i a i ) c 0 s ( 詈廊卜j 1 ( 仨三端+ 詈兰蔫) s i n ( 詈而i ) s i n ( 詈廊。) t m 的带结构方程： c o s ( 咖c o s 嗤而1 ) c 。s 呼廊- ) 一i 1 ( 仨丽c o s ( o , ) + j 詈兰器) s i n ( 詈西1 ) s i n ( 詈廊。) 这里口。= a c o s ( o , ) ，b 。= b l c o s ( o ：) ，只为相对介电常数为巳和的两介质分界面上，在 厚度为n 的介质中的入射角，纠为相对介电常数为岛和毛的两介质分界面上，在厚度为6 的 介质中的入射角。其满足折射定律乞s i n ( 0 ，) = s i n ( o j ) ，如图2 3 所示。 在正入射的隋况下，对t e 模和t m 模都有下式： c o s ( 舻c o s ( 了c o 西) c o s ( 詈廊) 一吉( 偿+ 挣s i n ( 詈厅) s i n ( 詈廊) ( 2 2 5 ) 如果将k d 限制在0 材蔓疗范围内，可以得到第一布里渊区( t h e f i r s t b f i l l o u i n z o n e ) 的色散 关系。 第1 3 页 只一纠 莒| 正厄 jnq一九q 善| 哪 垦堕型兰垫查奎兰堑塑兰堕兰堡笙苎 第三章二维光子晶体传输矩阵 将所研究的结构分层，在一层结构中对( 1 3 3 ) 式中的麦克斯韦方程组进行离散差分， 计算出单层结构的透射矩阵r ”、r 一和反射矩阵了1 + 。、丁，然后利用传输矩阵法计算出多 层总的透射矩阵和反射矩阵，这样就能计算出透射场和反射场，再计算反射场和透射场的波 印廷矢量，从而计算出电磁波通过光子晶体的透过率和反射率。 在二维光子晶体中，一系列半径为r ，介电常数为e 的长介质柱植埋于空气中，组成一 卜二维的光子晶体，如图3 ，l 所示，即柱的方向和z 轴的方向平行，电介质柱与x o y 平面相 交的部分组成周期性的二维结构，我们考虑电磁波场的两种偏振态： 图3 1二维方形光子晶体示意图。其介质柱植埋于空气中，半径为l 介电常数为占：在z 方向不变，在x 和y 方向呈周期性的变化。 对t m 模e ( f ) = ( o ，o ，e ( f ) ) ，疗( f ) = ( 日。，日，o ) 代入( 1 2 3 ) 式，得到竽一i c e ， ( 3 1 1 ) o xc 堡：垫h 。 ( 3 1 2 ) 洲c 国防科学技术大学研究生院学位论文 一o h y 一盟：一堡庄苏 o y c ( 3 1 3 ) 在( 3 1 1 ) 式、( 3 1 2 ) 式和( 3 1 3 ) 式中消去h ，和h ，得到下列方程 c 导+ + 占等 将方程( 3 1 4 ) 离散化，即将 ( 3 1 _ 4 ) i 一a - 一 ， 磋t 。 鬟 暑、 j程。，i 露i 骧l 1 懿 嚣7：蕊# 、_ 熬滋 萝 - - ；e ( i ，) ：兰堕l 孕二! ! 堡卫 图3 2 原胞离散示意图，a 是晶格常数 斑 仃 导e(f，)：了e(i,j+1)-e(i,j) d v月 等刚) = 塑垃雩掣 h 是空间步长。 等聊) = 型坐等幽酬3 惴o ( 4 一譬 山厂。 广。 ( 3 l - 5 ) 下标i ，j 表示x 和y 轴向网格点标号，h 表示相邻格点之间的距离，如图3 2 所示。 对t e 模曰( i ) = ( 0 ，0 ，日( r ) ) ，豆( f ) = ( e ，( ，) ，e ，( r ) ，o ) 代入( 1 2 3 ) 式，得到掣：丝应， ( 3 1 6 ) 出c 里堕型兰垫查奎兰竺壅生堕兰垡笙苎 掣：一丝髓。 ( 3 1 7 ) 洲c 孥一筝：一i c o 圩 ( 3 1 8 ) 嬲鲫c 在( 3 1 6 ) 式、( 3 1 7 ) 和( 3 1 8 ) 式中消去e 。幂1 1 e x 得到下列方程 瓦a ( i l 刁a h + 面a ( f 1a 砂1 1 ) + 譬h = 。 将方程( 3 1 9 ) 离散化，得到： ( 3 1 9 ) ( 矗，+ 2 + - 。i 。一丁r _ 0 2 h 2 ) 。一e 。- i + 日。+ 。( 3 1 1 。) 一s 毫h 。一s ：1 i h q j s 未h 。 。i = 0 下标i ，j 表示x 和y 轴向网格点标号，h 表示相邻格点之间的距离。s 。为( i ，j ) 的网格 点上的有效介电常数。 3 2网格点上有效介电常数计算 在如图3 3 所示的( i ，j ) 的网格点中，整个网格点的面积为5 ，介质柱与网格点相交的 阴影部分的面积为s 。，其介电常数为占。，面积为0 一j 。) 部分的介电常数为s ：，整个网格点 上的有效介电常数为占。则有效介电常数占用面积权重来计算。则网格点上的有效介电常数 占：盟垒! ! 二! ! ! 。 j 国防科学技术大学研究生院学位论文 图3 3 计算有效介电常数示意图 3 3 边界条件 3 3 1 周期边界条件 在光子晶体中，由于介电常数s 是空间坐标的周期性函数，应用布洛赫( b l o c h ) 定理 7 于电场雷( 尹) 和磁场日( f ) 。 ( f ) = e i 。( i ) = u k , n ( i ) p “7 ( 3 3 1 ) 膏( i ) = 疗。( i ) = 瓦。( i 弦“7 ( 3 3 2 ) 这里玩。( i ) ，吒。( i ) 是周期性的矢量函数，它满足下列的关系 舀i 。( i + d ，) = 孬女。( i ) 瓦。( i + 吐) = 玩。( f ) 取云= 0 时，即为周期性的边界条件。 ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) 3 3 2 吸收边界条件 由于在计算电磁场的辐射、散射等问题时，需要的网格空间是无限大的，而计算机的 存储空间又是有限的，这样在无限大网格空间中计算电磁场是不可能的，在实际的计算中 总是在某处把网格空间截断，使之成为有限的。这样，在网格空间的截断处就会出现非物 第1 7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 理的电磁波的反射，这与实际结构不符，必须设法消除这种反射现象。这就需要一种截断 边界网格点处场的特殊计算方法，它不仅要保证边界场计算的必要精度，而且还能大大消 除非物理因素引起的入射到截断边界的波的反射，使得用有限的网格空间就能模拟电磁波 在无界空间中的传播。加于边界场的适合上述要求的算法称为辐射边界条件( r a d i a t i o n b o u n d a r yc o n d i t i o n s ) 或吸收边界条件( a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n s ) 。e n g q u i s t 和 m a j d a ( 1 9 7 7 ) 通过波动方程的因子分解获得单行波方程，并建立了吸收边界条件 2 4 ，而 m u r ( 1 9 8 1 ) 则给出了单行波方程的的各阶近似及其差分格式。 ( 1 ) 一维吸收边界方程 ( 昙一! v 旦8 t ) = 。 左边界x = 。的吸收边界条件 ( 去+ 吉导) = 。 右边界x = x r a 的吸收边界条件 ( 2 ) 二维吸收边界方程 ( 两01 瓦8 1 1 晤8 a 2 胪。蝴删愀边界条件 c 糕昙丽胪。右蜘边界条件 ( 若言藤肛。瑚舢愀边界条件 c 昙+ 吉鲁、；丽，= 。上边界y = 的吸收边界条件 ( 3 ) m u r 二阶近似吸收边界 ( 急一i 1 矿02 + j v 萨0 2 胪。丽一i 矿+ j 萨即 ( 鼍+ ! 。a f 0 2 j _ 一j v 矿0 2 ) = 。( 蕊+ va f j _ 一j 矿矿刮 ( 旦一i0 2 r + 一v 萨0 2 a t o t 2 ) = 。 、 v 2 苏2 ” 。 ( 盖+ 1 。研0 2 j - 一j v 萨0 2 ) 庐= 。( 丽+ v 研j - 一j 萨) 矿刮 左边界z = 0 的吸收边界条件 右边界x = x 。的吸收边界条件 下边界y = 0 的吸收边界条件 上边界y = 儿的吸收边界条件 ( 4 ) 三阶近似吸收边界 杀吼茜一了p o 矿0 3 鸭v 番肛。 左蜘：。 o x 舻o t - - - - t + v 2 q 2 啬+ 了p o 萨0 3 协v 茜肛。右边界一。 由于x 和y 是对称的，因此只需要将三阶吸收边界的x 和y 对调，就可以写出y ：o 和 y 2 的近似吸收边界方程。以上v 是电磁波在边界上介质中的传播速度，痧是电磁波在 边界面上的切向分量，吼= p 。= 1 ，q 2 = 一1 4 ，p 2 = 一3 4 。 ( 5 ) m u r 二彰逝似吸收边界条件的差分格式 由于研究单色平面波入射到所研究的光子晶体上，所以，可以用一i 彩代替 昙，在x = o 的左边界上，入射的平面波为。( o ，) ，在左边界上的总场为( o ，) ，在右边 界上的透射场为妒( f ，) 。则在左边界上的方程为： ( 嘉一吉等+ 主等弘= ( 专等+ v 等 其差分格式为 f 2 丁( 0 2 h2 _ 2 。+ 亨严( o , j ) - i 孚- ( k ( 1 ，加卿，+ 1 ) 堋吖1 ) = 4 ( 兰一i ) ( o ，- ，) + 2 。( o ，+ 1 ) + 2 ，( o ，一i 在x = x 。的右边界上，其差分的格式为 f2 _ j 。：z 。h 22 + i 2 c v j ，o h 1 纯一，警( i 。- i , j ) 蜊“+ 1 ) 坝w _ 1 ) ：。 同样也可以得到上、下边界的差分格式。 ( 6 ) 三阶近似边界条件差分方程 在x = 0 的边界上的方程是 第1 9 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 ( 吼似芝凹_ a + v 2 q 2 础0 矿3 了p o 萨0 3 礓v 茜) = ( 一了2 p o 矿0 3 一锄v 面0 3 ) 其差分方程的形式为 ( 吼了c o2 h 2 均：嘞丁( 0 3 h 3 啦：警卜加( 嘞譬吻：卜力 加+ 1 ) + f + 扫：丝v ( 吖+ 1 ) + 9 2 加，_ ，- 1 ) + f + f p ：丝v ( 吖_ 1 ) v v ， = ( 一2 f p o 字一4 扣：警扯吣) + 2 和：譬八吖+ 1 ) + 2 f p ：警八吖_ 1 ) 在x = x 。，的边界上，其差分方程为 ( q o 丁c 0 2 h 2 均：嘞丁a ，a h 3 啦：爿衡，+ ( 嘞譬自：) 衡。 d + 9 2 纸 川) + ( 嘞懒警) 川：衡，- 1 ，川) + ( _ 9 2 慨警) 川) _ o 、v ，v 其中吼= p o = 1 ，q 2 = 一1 1 4 ，p 2 = 一3 4 ，h 为网格点的空间步长。 如图3 4 所示，假设电磁波自左至右入射到厚度为z 、三：的介质上，其透射矩阵分别为 丁+ + ( z ) 、r “( 三) ，其反射矩阵分别是r - + ( z ) 、丁。( 三：) ，电磁波自右至左入射到厚度为：、 工的介质上，其透射矩阵