（凝聚态物理专业论文）rydberg波包的演化和恢复.pdf

r y d b e r g 波包波形的演化和恢复 捅要 经典力学与量子力学之间的关系一直是物理学、化学以及其他相关领域十分感 兴趣的课题。而研究发现r y d b e r g 态最适合用来研究微观世界和宏观世界之间的联 系，或者说量子力学与经典力学之间的关系。本文在前人研究的基础上，对r y d b e r g 波包波形的演化和恢复进行了进一步研究。所用的方法与前人有所不同，主要是通 过建立自动关联函数以及将波函数扩展为次波函数叠加的方法来研究的。全文共包 括四个部分：第一章，讲述了不同量子系统的波包恢复结构的通用处理方法，定义 了决定量子波包演化和恢复行为的时间，利用这些时间介绍了可能产生的不同类型 的恢复结构。并以简单的量子系统 包括谐振子，无穷势阱，刚性转子等 为例进行 了说明；第二章，以氢原子为例重点研究了在大于恢复时间f 。时r y d b e r g 波包的长 周期演化和恢复的行为特征。所用的方法与前人有所不同，主要是通过建立自动关 联函数以及将波函数扩展为次波函数的叠加的方法来研究的；第三章，研究了有限 方势阱中r y d b e r g 波包的演化和恢复特征，研究发现，在有限方势阱中的恢复时间 乃、r 。、，。，对波包能量和势阱深度比其它量子系统中具有更大的依赖性，其恢复 特点具有一定的区域性，在某些有效区域内，这些时间可以非常准确地预测波包恢 复的情况。势阱底部的极限情况与无穷势阱中的情况完全一致。第四章，对全文进 行了简要的总结，并对该领域的前景进行了展望。 关键词：r y d b e r g 波包；恢复；超恢复；波函数：自动关联函数 t h ee v o l u t i o na n dr e v i v a ls t r u c t u r eo fr y d b e r gw a v ep a c k e t s a b s t r a c t t h er e l a t i o nb e t w e e nc l a s s i c a la n dq u a n t u mm e c h a n i c sh a sb e e nas u b j e c to fm u c h c u r r e n tr e s e a r c hi np h y s i c s ，c h e m i s t r ya n ds o m eo t h e rr e l m e df i e l d s r e s e a r c h e sd i s c o v e r t l l a tt h em o s ts u i t a b l em e t h o df o rt h es t u d y i n go fr e l a t i o n sb e t w e e nm i c r o s c o p i ca n d m a c r o s c o p i cw o r l d ，n a m e l yt h er e l a t i o nb e t w e e nq u a n t u mm e c h a n i c sa n dt h ec l a s s i c a l m e c h a n i c s ，i su s i n gr y d b e r gs t a t e s o nt h eb a s e so ff o r e r e s e a r c h e r s w o r k i n g ，t h i sp a p e r c a r r yo ns o m ef u r t h e rr e s e a r c ha b o u tt h ee v o l u t i o na n dr e v i v a ls t r u c t u r eo fr y d b e r gw a v e p a c k e t s t o t a l l y ，t h i sp a p e ri n c l u d e sf o u rp a r t s ：c h a p t e r1 ，p r e s e n tag e n e r i ct r e a t m e n to f t h ee v o l u t i o na n dr e v i v a ls t r u c t u r eo fr y d b e r gw a v ep a c k e t si nd i f f e r e n ts y s t e m s d e f i n e t h et i m es c a l e sc o n t r o l l i n gt h ee v o l u t i o na n dr e v i v a lb e h a v i o r u s i n gt h e s et i m e ss c a l e sw e i n t r o d u c ev a r i o u st y p e so fr e v i v a ls t r u c t u r e so c c u r r i n gi ni d e a lf o r m t h er e s u l ti s i l l u s t r a t e dw i t hs i m p l eq u a n t u ms y s t e m s i n c l u d et h es i m p l eh a r m o n i co s c i l l a t o r , i n f i n i t e s q u a r ew e l l ，r i g i dr o t a t o r ，e t c 】；c h a p t e r2 ，t a k eh y d r o g e na t o ma sa ne x a m p l e ，s t u d yt h e l o n g t e r mr e v i v a la n de v o l u t i o ns t r u c t u r eo fr y d b e r gw a v ep a c k e t so nt i m es c a l e sm u c h b i g g e rt h a no t h em e t h o dh e r ei s t ob u i l da u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o na n de x p a n dt h e w a v ef u n c t i o ni n t oas e to fs u b s i d i a r yw a v ef u n c t i o n sw h i c hi sd i f f e r e n tf r o mt h o s eo fp a s t ； c h a p t e r3 , s t u d yt h er e v i v a ls t r u c t u r eo fr y d b e r gw a v ep a c k e ti naf i n i t es q u a r ew e l l t h e t i m es c a l e s 乃、，聊、0 ，i naf i n i t es q u a r ew e l l ，e x h i b i tas t r o n g e rd e p e n d e n c eo nw a v e p a c k e te n e r g ya n dw e l ld e p t ht h a ni na n yo t h e rq u a n t u ms y s t e m s i nc e r t a i nr e g i o n so f v a l i d i t y , t h et i m es c a l e sp r e d i c tt h e i n s t a n c e so fr y d b e r gw a v ep a c k e tr e f o r m a t i o n e x t r e m e l ya c c u r a t e l y r e v i v a l sa tt h eb o a o mo ft h ew e l la r ep e r f e c t l yr e s e m b l et h e p h e n o m e n o ni na i n f i n i t es q u a r ew e l l ；c h a p t e r s4 ，s u m m a r i z et h ew h o l ep a p e r ，a n dc a r r y o na no u t l o o ko ft h ef u t u r es t u d yi nt h i sr e a l m k e yw o r d s ：r y d b e r g w a v ep a c k e t ；r e v i v a l ；s u p e rr e v i v a l ；w a v ef u n c t i o n ； a u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n 学位论文独创性声明、学位论文知识产权权属声明 学位论文独创性声明、学位论文知识产权权属声明 学位论文独创性声明 本人声明，所呈交的学位论文系本人在导师指导下独立完成的研究成果。 文中依法引用他人的成果，均已做出明确标注或得到许可。论文内容未包含法 律意义上已属于他人的任何形式的研究成果，也不包含本人已用于其他学位申 请的论文或成果。 本人如违反上述声明，愿意承担由此引发的一切责任和后果。 论文作者签名： 王确秀 v 日期：肋g 年月日 学位论文知识产权权属声明 本人在导师指导下所完成的学位论文及相关的职务作品，知识产权归属学 校。学校享有以任何方式发表、复制、公开阅览、借阅以及申请专利等权利。 本人离校后发表或使用学位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，署 名单位仍然为青岛大学。 本学位论文属于： 保密口，在年解密后适用于本声明。 ? 不保知。 ( 请在以上方框内打“ ) 论文作者签名： 王确豸 日期：2 卵多年么月肜日 新签名兹套乡， 隰缈g 年石月肜日 ( 本声明的版权归青岛大学所有，未经许可，任何单位及任何个人不得擅自使 用) 青岛大学硕士学位论文 引言 长期以来，经典力学和量子力学之间的关系一直是物理学、化学以及其他相关 领域十分感兴趣的研究课题。按照b o h r 的对应理论：在大量子数极限下，量子力学 体系的行为将渐近地趋于与经典力学体系相同。原子、分子中量子数很大的束缚态 ( 例如氢原子中量子数大于i 0 0 的态) ，常称为r y d b e r g 态。对于其他体系中大量 子数的束缚态也称为r y d b e r g 态。所以r y d b e r g 态最适合用来研究量子力学与经典 力学之间的关系。研究r y d b e r g 波包的目的之一就是探索经典力学和量子力学之间 的相互关系， 由于短脉冲激光技术的发展，已经能够在实验室中产生和检测到各种物理系统 中电子的许多量子力学定态相干叠加形成的r y d b e r g 波包。这种波包的演化和动力 学是目前物理学和化学等很多研究领域都很感兴趣的课题。 波包在理论和实验上比较成熟的应用之一是原子物理中r y d b e r g 波包的应用。 利用短脉冲激光激发可以产生r y d b e r g 波包，例如，一个高激发的单电子的状态的 叠加2 3 4 钉。 对于r y d b e r g 波包恢复的研究不只限于原子物理中。物理和化学的许多领域都 在探索和研究波包动力学特征，其恢复结构与许多问题有关。在分子物理学中，随 着飞秒短脉冲技术的出现，一些有关波包现象的新领域已经出现阳1 。超短脉冲被用来 产生和探测分子波包，利用短脉冲可以得到化学过程图表。一个相关的应用就是试 图利用光脉冲来控制化学反应h 一1 。例如，已经合成声频信号脉冲来控制碘的震动波 包的演化嘲。在半导体量子阱中也已经可以产生r y d g e r g 波包n 0 1 ，其动力学与原子 系统相似，可以观察到量子拍和恢复n h1 2 1 。最近的一些相关理论研究包括：飞秒激 光脉冲作用下氢原子径向和角向波包的产生与演化1 3 ；氢原子r y d b e r g 波包的演化和 恢复n 钔；磁场中氢里德堡波包的自动关联函数n 5 1 ：有隐藏可变量的r y d b e r g 波包 n 引；氢原子非扩散电子波包波形的控制n 刀 在这些系统中可以发现数种不同的恢复结构。大多数恢复结构具有以下特点： 有一个初始周期，这个周期与库仑场中带电粒子的经典运动周期乃一致u 吼坞1 ，然而， 这种经典运动只持续几个周期，之后，量子相互作用使得波包先坍塌再经历一系列 的恢复汹一h 2 钆矧。然而，恢复发生的时间，恢复波包与初始波包相似的程度， 以及是否会发生部分恢复和超恢复等问题都依赖于所研究的量子体系。 r y d b e r g 波包恢复的特点是：在瓦，时刻，坍塌的波包重新恢复到最初的波形并 以乃为周期震荡。这在一定程度上可以看作量子重现定理的确证1 。除了完全恢复 引言 外，在时间为乙。的有理分数倍的时候产生部分恢复，并且与宏观上可区分的次波包 的形成相对应，其周期等于经典周期乃的有理分数倍。完全恢复和部分恢复都已经 在实验中检测到啪瑚棚。3 。在远大于恢复时间乙时，又开始了一系列新的完全和部 分恢复，其特点是时间更长，该时间称为超恢复时间f l ，o 在时间为，。的有理分数倍 的时候，可区分的次波包又形成，但是其周期为恢复时间f 。，的有理分数倍。这种长 周期部分恢复随着一个单一局域波包的形成而结束。这种恢复称为超恢复，其波形 比k 时刻的完全恢复波形更接近于初始波形。 b l u h m 等人对一维谐振子、平面转子、无穷方势阱等简单量子系统中r y d b e r g 波包的演化和恢复进行了深入的研究，他们主要是通过寻找能量展开式中2 万的整数 倍项的方法进行研究的。本文在前人研究的基础上，对r y d b e r g 波包的演化和恢复 特征进行了进一步研究，所用的方法与他们有所不同，主要是通过建立自动关联函 数以及将波函数扩展为次波函数叠加的方法来研究的。 2 青岛大学硕士学位论文 第一章r y d b e r g 波包的演化和恢复 按照b o h r 的对应理论：在大量子数极限下，量子力学体系的行为将渐近地趋于 与经典力学体系相同。而r y d b e r g 态是量子数很大的态，由r y d b e r g 态相干叠加形 成的波包称为r y d b e r g 波包，所以r y d b e r g 波包最适合用来研究量子力学与经典力 学之间的关系，因此研究r y d b e r g 波包演化和恢复的特点具有重要的意义。 1 1 r y d b e r g 态和r y d b e r g 波包 r y d b e r g 态：倘若分子中有一个外层电子处于很高的激发态，其相应的运动轨 道远离分子实( 分子的原子核及剩下的电子) ，即可将外层电子与分子实的相互作 用视为外层电子与点电荷相互作用( 可与经典的k e p l e r 运动相比较) ，此时用氢原 子谱项公式就可近似描述其能级位置。这种外层电子所处的高激发能态称为分子的 r y d b e r g 态。所以，原子或分子中量子数很大的束缚态( 例如氢原子中主量子数n 1 0 0 的态) ，常称r y d b e r g 态，对于其他体系中大量子数的束缚态也称为r y d b e r g 态。 r y d b e r g 波包：因为处于定态下的量子体系，在空间概率分布是不随时间变化 的。所以与经典粒子的轨道运动对应的量子态决不是一个简单的定态，而只能是由 若干定态相干叠加所构成的非定态。为了模拟经典粒子的轨道运动，它应该是一个 在空间运动的较窄的局域波包。由r y d b e r g 态相干叠加形成的波包称为r y d b e r g 波 包。 这种局域量子波包可以产生于各种物理体系，是原子，分子，化学和凝聚态物 理等研究领域中的前沿课题。他们尤其适用于研究量子力学系统的经典极限。 按照b o h r 的对应理论：在大量子数极限下，量子体系的行为将渐近地趋于与经 典力学体系相同。以氢原子为例，处于能量( 角动量) 本征态y 砌上的电子，径向 坐标r 的平均值为： 1矗2 f = 二【3 刀2 一砸+ 1 ) 】口，口= 与= 5 2 9 x 1 0 n m o 0 5 n m ，为b o h r 半径。对于圆轨 z 掰ep 道( 甩，= o ，z = 万一1 ，径向波函数无节点) ，= ( 疗2 + 昙) a n 2 a ，( 刀1 ) 。在疗1 0 0 的 z r y d b e 娼态，f 1 0 4 a 0 5 朋已经接近于宏观尺度了。 3 第一章r y d b e r g 波包的演化和恢复 1 2 r y d b e r g 波包的演化和恢复结构 1 2 1 波函数及其分布 由能量本征态的一维或多维叠加而形成的局域量子波包的含时波函数可以写成 如下形式： 甲( 尹，f ) = 艺巳( 芦) e x p 【一喝，】 l - ( 1 ) 式中，矢量尹表示波函数在一维或多维方向上的位置，下标玎代表与叠加数量有关 的量子数。波函数o ) 代表能量本征值为色的能量本征态。巳是叠加系数，其值 根据初始波函数得出，巳= ( 虬( ) j 甲( ；，o ) ) 在通常情况下，叠加可能包括连续态，下标i 将变成连续的，其值将成为一系 列连续值。然而，我们最感兴趣的是连续态贡献可以忽略的边界状态的叠加，因为 这才是波包恢复实验中产生的叠加类型。因此，可以假设下标r 是离散的，这里还 假设分布严格局限于量子数, 的平均值万附近。这种假设对于使用短脉冲激光产生 局域波包的情况是合理的。不确定原理应用于激光状态为r a e 1 2 ，f 是激光脉冲 的持续时间，衄为能量宽度。用短脉冲激光激发一个量子系统的基态产生以万为中 心的叠加态，万的值与激光的平均频率有关，扩散宽度0 与激光脉冲的持续时间有 关。研究中感兴趣的是万特别大的情况， 所以可以做如下假设：分布几率i 1 2 是高斯分布： 一壶 蚶2 丽1 p 2 0 - 2 1 - 2 这个简单的假设给出了一个刀围绕万的均匀分布，其偏离为o 。因此，利用这个假 设可以将激光激发态的平均值和状态分布起联系来，当然状态分布形状可能不同。 高斯分布的假设主要是为了简化波包演化的计算，并不影响得出定性结论。其他的 分布情况也可以由此延伸得到。例如，简谐振子的相干态可以通过能量本征态来获 得，其系数为 一目口r 口” 铲矿h 翥 l - ( 3 ) 该系数与一个复杂的参数口有关，这个分布状态对于刀不对称，并且分布在 4 青岛大学硕士学位论文 刀= 川2 的周围，扩散宽度为盯= 。这些相干态具有最小不确定度，其运动呈现经 典周期性，并且波包形状不随时间变化。在其他的一些情况下也可以获得最小不确 定度相干态口乙3 钔，尽管相关波包相继经历坍塌的恢复。 在实验中用短脉冲激光激发r y d b e r g 原子可得到的径向r y d b e r g 波包，这种波 包具有最小的不确定度m 脚1 ，它们是压缩态的例子，这种状态的特点是其波包形状 和不确定度的值随时间变化汹脚1 。要产生在平面内沿椭圆轨道运动的r y d b e r g 波包 必须利用外场来扰乱其角分布。已有人提出产生椭圆波包的方案呻1 ，给出了有关于 压缩态的平面椭圆波包的描述侧，并且给出了径向以及椭圆压缩态的相应分布系数 【柏】 1 2 2 波包演化和恢复的几个重要的时间范 假设几率分布i e l 2 严格围绕平均值万，即1 一( 1 ) 式只考虑能量值e 接近平均 值乓的态。可将能量己按照玎围绕万进行泰勒展开： 色= 岛+ 岛7 0 一万) + 去岛。( n 一万) 2 + 岛_ q 一万) 3 + l - ( 4 ) 磊上的撇号代表导数。 根据卜( 4 ) 式中的导数项可以定义依赖于万的不同的时间。 耻鬲铲新铲南“5 ) 第一个时间乃叫经典周期，第二个时间k 叫恢复时间，第三个时t s r 是超恢复时 间。实践中，对于我们感兴趣的大多数情况，都有乃 o 0 时，更高阶项又对部分和完全超恢复起调制作用。在大多数物理系统中， 青岛大学硕士学位论文 这种更高阶项的作用是可以忽略的。因为对于r y d b e r g 波包来说，四阶项时间和波 包寿命相当，在这个时间起作用之前，波包就自发坍塌了。但是超恢复时间比波包 寿命小好几个数量级，因此在实验中探测r y d b e r g 波包的超恢复是可以做得到的。 1 2 3 2 不同类型的恢复系统 根据以上的讨论可以依据不同恢复特征将量子系统划分为以下几种类型。 1 永远无恢复的系统，其波包运动毫无周期性。在这种情况下死，o 和0 都 无限大，或者说对于任意整数k ，都有d 毛d n i - = o 成立。这就是说，如果一个量 子系统，其能量本征值与量子数疗无关，那么其波包运动将毫无周期性，自由粒子 就是这样的系统。 2 有严格经典恢复的系统，它由严格的周期性系统组成，其波包即没有恢复也 没有超恢复。严格周期的意思是对于删为任意整数，波包在f = 0 和，= 乃，之间的一 段时间内的运动与波包在f = m r 和r = ( m + 1 ) t a 之间的一段时间内的运动完全相同。 对于这种系统，没有恢复或超恢复，这意味着初始的周期运动将无限延续下去。在 这种情况下，o 和。都无限大，或者说对所有的七2 ，d k e d n l 百= o 成立。这就 是说如果一个量子系统，其能量本征值为巨= a + b n ，其中a 和b 与n 无关，b o ， 那么它的波包的运动就表现出严格的周期性，并且在时间为兀的整数倍时恢复初始 波形。波包永远不会完全坍塌，没有恢复或超恢复。d 维谐振子就是这种类型的系 统的例子，e 。= + ) 缈，缈为周期，疗为主量子数。因为对这种系统，卜( 6 ) 式含时相中没有高阶调制项，所以在每一个经典周期乃之后波包形状保持不变。 3 有严格完全恢复的系统，它由经历恢复但不经历超恢复的系统组成。也就是 说。是无限大，即对所有的k 3 ，d k 色d n i ；= o 成立。这一类的量子系统中，其 能量本征值与刀2 有关，e = a + b n + c n 2 ，a ，b 和c 与刀无关，c 0 。其波包运动 的经典周期受恢复相的调制。但是因为恢复结构不受超恢复时间的调制，这种系统 完全恢复时的波包是初始波包的严格复制。无穷方势阱和刚性转子就是具有这种类 型能谱的量子系统。 7 第一章r y d b e r g 波包的演化和恢复 4 有严格超恢复的系统，如果有一个量子系统，它的定态能量对门有一种立方 依赖性，即三阶导数不为零，而三阶以上的导数均为零，则它就是有严格超恢复的 系统。目前还没有发现具有这一特点的任何物理系统。 5 永远无任何严格恢复的系统，如果一个量子系统，它的定态能量对门的各阶 导数都不为零，那么该系统永远都不会有严格的恢复。氢原子就是这样的系统。 1 3 具体例子 下面给出了几种不同的量子系统波包的例子，来说明上面的讨论。这些例子是： 谐振子，无穷方势阱，刚性转子和氢原子。 1 3 i 简谐振子 根据以上的讨论，简谐振子的波包永远不坍塌且无恢复。利用1 一( 1 ) 式可以 说明这一点。因为卜( 1 ) 式的值紧紧围绕万，所以可以截去有限项后面的项，定 量地来考虑其结果。为了方便，采用自然单位，令国：1 。对于简谐振子 e n ( 以+ 吾) ，玎：l ，2 ，。所以瑶：1 ，群：= o ，因而乃= 等= 2 万， 乙= 互，= = ， 波函妣咐，= 跏唧卜( 警+ 譬+ 譬 = ；州咖x p 卜( 警牌州咖州”砂 谐振子的局域波包的演化图象特别简单，它总是以自然周期2 万演化，即经过一 周期2 万后，波包将完全恢复原状，如图1 1 。这种简单的演化规律是均匀能谱分布 的结果，而更深层次的根源是谐振子在相空间的旋转不变性。 8 青岛大学硕士学位论文 8 咱q 一2o24e8 置 ( c ) j 图1 1 谐振子r y d b e r g 波包的演化图 万= 1 5 舻1 5 ，) 陬一化，横坐标x 采用自然叫口= 舷) 波包的恢复周 期仁t c l = 2 _ z 缈x ，( 口m ( 6 ) ，= 沁) ，_ ，( d ) t = 3 t a 4 如h 图1 1 是万= 1 5 ，盯= 1 5 时波包在一个周期内的不同阶段。波包开始处在相应经 典振子的右端拐点。可以看出，虽然波包是局域的，但是它的形状不是高斯分布， 9 第一章r y d b e r g 波包的演化和恢复 所以它不是相干态，其波形在运动过程中改变。然而，波包运动与经典运动一致， 一 一 周期为死= 等= 2 万。其运动是严格周期性的，所以每一个次波形表示波包处于乃 “ 岛 的整数倍的时刻。波包不坍塌也没有恢复或超恢复。 除了谐振子之外的其他体系，由于能级分布不均匀，局域波包的各叠加态的相 位随时间演化的频率并无简单的比例关系，波形的变化就比较复杂。一般说来，只 在较短的时间内( 大约几个瓦) 波包近似作周期演化。时间稍长，各叠加态相消干 涉，导致波包坍塌。但时间更长后，波形又会恢复，或部分恢复。无穷势阱和平面 转子是其中较为简单的例子。 1 3 2 无穷方势阱 无穷方势阱中粒子的本征函数为。) = 享s i n 丁n t c x ( 。x 三) ，本征能量为 e = ! 芋，一= 1 ，2 ，3 。所以对于一+ 1 5 1 绕万的叠加态瑶= 砌2 ，群= 万2 ，审= = 。， t 二死二 幻2 瓦2 磊 k 2 磊7 4 2 码， 仁万一。 波函姚咐户 。- c i , ( x ) e x p 卜( 半+ 譬+ 学) 月 l c 肼 盯 ，l = 即小x p 卜( 镣+ ( n 4 - 川万) 2 t1 因此，在无穷方势阱中波包的最初周期为毛，随后经历坍塌再到部分恢复及完 全恢复，并目其完全恢复是严格恢复，因为超恢复时间f 为无穷大。 1 0 青岛大学硕士学位论文 a 一 鼍 一 鼍 00 2 q d 鼍 00 20 1 | 4 0 6 0 8 1 0 81 00 2 0 4 0 60 81 图1 2 无穷方势阱中r y d b e r g 波包的演化图 万= 1 5 舻1 5 枷 ，) 1 2 未归_ 化( 妙= o ，( 咖= 如) f = 脚= 3 心) f = 乃 图1 2 给出了无穷势阱中r y d b e r 波包( e = 1 5 ，仃= 1 5 ，k - 3 0 t c f ) 的演化和 恢复结构。图1 2 ( 口) 显示的是处于势阱左侧的初始波包，它是剧烈震荡的，因为它 受到来自无限深势垒的冲力。图1 2 ( b ) 中波包离开势垒自由运动，所以就平滑的多。 第一章r y d b c r g 波包的演化和恢复 图1 2 ( c ) 和图1 2 ( d ) 中，波包撞上右侧势垒又各自返回左侧。图1 2 ( e ) 中，波包 在时间死完成一个周期，这时波包形状已经有些改变，开始坍塌。可以看出，经过 一个毛后，波包形状大致恢复原状，但是并未严格恢复。这与谐振子r y d b e r g 波包 不尽相同，后者在经历一个乃后，波形完全恢复( 比较图1 2 和图1 1 ) 。对于 无穷势阱，在f = k 时才严格恢复原来的波形( 见自动关联函数部分的讨论和图 1 4 ) ，即在任何时刻，波包形状与时刻f + 所k 的形状完全相同。 1 3 3 平面转子 日：么，其中丘为角动量，为转动惯量。本征函数遵循周期性边界条件， 虮( ) = 面1 ，能级为e = 等， ( 刀= o ，+ 1 ，垃) ，所以， 层= 万，层= 1 ，岛。= - 0 ， 毛2 专2 等， 。2 袁珈- 2 码，。2 寿一 波函黼删= ；训小x p h 警+ 警+ 学) 硼咖十删障+ 譬 n li。! j l 这说明平面转子与无穷方势阱中的粒子具有相同的特征，因为两种情况下的能量都 1 2 青岛大学硕士学位论文 曙、 j 董 勺 长 羔 o 丌 ( c ) 3 2 n ，二 o a ，一、 u 喜 ，、 喜 父 q 薛 羔 o万 3 磁2 ，r z 刍 擅 。 ，爻 k ，夕 图1 3 平面转子r y d b e r g 波包的演化图 万= 1 5 ，矿= 1 5 ，y ( x ，) 1 2 未归一化，转角伊用弧度单位。乃= 2 ，r 删= 2 码= 3 0 t d ( 咖= o ，( 6 ) ，= ，( 咖= 乃，( 咖= 彳，彳，( 俨彳 图1 3 给出了平面转子r y d b e r g 波包( 万= 1 5 ，o r = 1 5 ) 的演化图，与无穷势阱 相似，在经过第一个乃后，波形大致恢复( 比较图1 3 ( 口) 和图1 历圭。后，波形更接近于原来波形( 比较图1 3 ( 厂) 和图1 3 ( 6 ) ， 1 3 第一章r y d b e r g 波包的演化和恢复 和f = 去乙) ，在，= k 时，波形将完全恢复( 与仁0 时相同) 。 ( 见自动关联函数 部分的讨论和图1 4 ) 。波包最初是周期性的，但是其形状随着波包的运动而改变。 当，大于乙时，波包扩散坍塌。图1 3 ( d ) 是在，= k 时的部分恢复，此时波包已 t 11 经重新形成宏观上可以区分的波包并以寺乃为周期运动。图1 3 ( p ) 是r = i 1k 时的 二 j 1 1 1 部分恢复，它由三个可分辨的次波包组成，运动周期为乃。图1 3 ( ) ，在f = 去k 又形成一个单一的波包，这个波包与初始波包相近，但是与经典运动相差半个周期。 在t = o 时，波包将严格恢复，形成一个与初始波包完全相同的波包。 1 4 自动关联函数 为描述波包的演化和恢复，常用到自动关联函数，即重叠积分 彳( f ) = 似( ，o ) l y ( ，f ) ) i 彳( f ) 1 2 表示初始波包与，时刻波包的重叠程度。对于r y d b e r g 波包 2 = 阻卜以1 2 “7 ， 使用1 - ( 2 ) 式求出系数巳后，就可以直接求出各种不同量子系统的陋( ，) 1 2 。 自动关联函数对各种不同类型的恢复结构可给出有力的说明。从数值上看， o 陋9 ) 1 2 1 。当一个波包与初始波包完全相同时，j a ( t ) 1 2 = l 。如果波包与初始波包 相差很大，贝 j l a ( t ) 1 2 = o 。另外，i a ( t ) 1 2 的周期性揭示了波函数周期性的特点，尤其 是部分恢复和部分超恢复的自动关联函数呈现出周期性的峰值，其周期分别是乃和 。的有理分数倍。 图1 4 是四种系统中自动关联函数的模方。图中没有给出平面转子的自动关联 函数图，是因为它的自动关联函数与无穷方势阱中的很相似。 1 4 青岛大学硕士学位论文 ) 0l23456 1 0 8 鬯- 一o 6 炒 旦0 4 0 2 0 q ) 图1 4 r y d b e r g 波包的自动关联函数i 彳o ) 1 2 ( a ) 自由粒子，( b ) 谐振子，( c ) 无穷方势阱，( d ) 氢原子( 万= 1 2 0 盯= 2 5 ) 图1 4 ( a ) 是一维自由离子的g a u s s 波包随时间演化的自动关联函数。这个波包 是由许多相干波组成的高斯分布的叠加， m 1 2 2 丽1 p 却刊2 胁2 1 - ( 8 ) 其中岛= 1 0 ，1 7 = 2 5 。可以看出，自由粒子( 无束缚态) 的g a u s s 波包的自动关联 函数从i 么( o ) 1 2 = l 开始，逐渐衰减，最后i 彳 ) 1 2 = o 。波包从开始渐渐远离初始位置， 扩散到全空间并逐渐坍塌，其运动没有周期性也没有恢复。 图i 4 ( b ) 是谐振子的r y d b e r g 波包演化的自动关联函数( 与图1 1 对应) 。可 以清楚地看出，其波包演化是严格周期性的，其周期为f = t c l = 2 万，显然， a ( k r ) = 1 ，( 七= o ，1 ，2 ，) 。 图1 4 ( c ) 无穷势阱中的r y d b e r g 波包演化的自动关联函数( 与图1 2 相对应) 。 l 8 6 4 2 0 0 0 0 0 ，l ( 号墨 第一章r y d b e r g 波包的演化和恢复 这里死= 2 x 私0 4 2 ，册= 2 - - r d 1 2 7 ，波包的初始周期为乃，与自动关联函数 的模0 s l a ( t ) 1 2 在r = 0 附近的峰值对应。这些峰值随时间的推移而逐渐减小，这与波 包的坍塌一致。可以看出，当，= 丢k = o 3 2 ，1 2 t 聊= o 6 4 ，；k = o 9 5 时，波包有明显 的部分恢复( i 彳o ) 1 2 取极大值) 。而当，= o = 1 2 7 时，1 4 ( o ) 1 2 = l ，波包完全恢复而 且是严格恢复，在k 附近又恢复为以经典周期经乃运动。这种先周期性运动，再坍 塌，继而部分完全恢复的循环在。的整数倍时刻重复出现。由于f j ，= 0 0 ，波包无 超恢复现象。 图1 4 ( d ) 是氢原子的圆轨道上的r y d b e r g 波包演化的自动关联函数，时间的数 量级为纳秒。最初的周期巧= 2 廊3 = 0 2 6 n s ，这么小的时间在图上很难分辨，但是 完全恢复时间，脚= 要码= 2 1 o n s ，已经比巧= 2 万万3 = 0 2 6 n s 大很多，所以完全恢复 以及一些部分恢复从图中可以清楚地看出。在f = 去。时，i 彳( ，) 1 2 出现一个大的峰值， 这标志着一个单一波包的形成。然而这种恢复比经典恢复运动相差半个周期。在 ，= f 。时，称为完全恢复，但还不是严格恢复，因为此时i 彳( r ) 1 2 仍然小于1 ，这是氢 原子的能谱结构决定的。o = 圭万2 毛= 1 8 9 0 n s ，在，丙1 。2 1 0 5 n s ，壶。2 1 5 8 n s , 等 处还出现阻( ) 1 2 的一系列峰值，标志着部分超恢复的产生，其周期分别为去7 撑，和 i 1 。，超恢复发生在f 吉。3 1 6 脚，超恢复的周期为圭。f 吉。时的峰值比。 时的峰值还要大，说明超恢复波包波形比完全恢复波包波形更接近初始波包波形。 1 6 青岛大学硕士学位论文 第二章氢原子r y d b e r g 波包的演化和恢复 因为处于很高的激发态的外层电子与分子实的相互作用可视为外层电子与点电 荷相互作用，此时用氢原子谱项公式就可近似描述其能级位置，所以研究氢原子 r y d b e r g 波包的演化和恢复结构具有重要的意义。 本章在前人研究的基础上分别用自动关联函数法和次波函数叠加法来研究当 f ，。时氢原子r y d b e r g 波包的行为特征。 当用短脉冲激光激发r y d b e r g 原子时，就会形成r y d b e r g 波包，这种波包开始 时具有经典的行为特征。根据激发方案的不同，产生的r y d b e r g 波包或者是径向局 域波包或者是椭圆局域波包h 引，不管是径向还是圆形波包最初都以经典开普勒周期 乙= 2 万万3 震荡，其中万是波包主量子数n 的平均值。然而这种经典运动只持续几个 周期，之后，量子相互作用出现，波包开始坍塌。 在， 乃时，r y d b e r g 波包先后经历部分和完全恢复h 毛“1 。完全恢复发生在 一 o = 码，其波形和初始波形相似。部分恢复发生的还要早，即在恢复时间，刖的 j 有理分数倍时发生部分恢复。它们与宏观上可区分的次波包相对应，其周期为经典 1 周期的有理分数倍。j w a l s 等人已经在实验中检测到周期t 圭瓦，的部分恢复。 | ? 研究发现在经历几个周期的恢复之后，波包在恢复时间的整数倍时停止原来的 恢复，而开始一系列新的坍塌和恢复，这种新恢复的周期是0 ( 0 f 。) ，在0 时 刻形成的波包比k 时刻形成的波包更接近初始波包，其变化周期为k 。另外在0 的 有理分数倍时刻自动关联函数的模呈现出一些周期性变化的大的峰值，其变化周期 为k 的有理分数倍。这种周期性说明在时间0 k 时又产生了一种新的部分恢复。 说明恢复的一个简单的方法就是建立含时波包与初始波包的自动关联函数。在 各种部分恢复时间，自动关联函数的模方呈现出周期性，这意味着次波包的出现。 另外，泵浦实验中的电离信号应该与自动关联函数具有相同的周期。这样r y d b e r g 波包实验结果的主要特征就可以通过自动关联函数时间图直接表示出来。 本文将介绍一种说明恢复的更为直观的方法，就是将波函数写成次波函数叠加 的形式，通过对该叠加式的研究，来说明部分、以及完全超恢复现象。 1 7 第二章氢原子r y d b e r g 波包的演化和恢复 2 1 氢原子r y d b e r g 波包演化和恢复特点 有一个初始周期，随后出现一系列的坍塌和恢复。然而，恢复发生的时间、恢复波 包与初始波包相似的程度以及是否会发生部分和完全超恢复等问题，都依赖于所研 究的量子体系，确切地说依赖于体系的能量本征值乞的形式。假定几率分布l e l 2 严 格围绕平均值万，可以将能量按照i 围绕万进行泰勒展开， e = 磊+ 乓q 一- ) + i 1b ”o 一万) 2 + 圭岛_ o 一万) 3 + 2 一( 1 ) zo 根据式中的导数项可定义依赖于万的不同的时间： 耻南铲翕仁南2 - ( 2 ) 死是经典周期，o 是恢复时间，f s r 是超恢复时间， 实践中，对于我们感兴趣的所 有情况都有乃“k 瓦时，氢原子r y d b e r g 波包先后经历部分和完全恢复。完全恢复发生在 o = 码，其波形和初始波形相似，部分恢复发生的还要早，即在恢复时间t 斜的 1 8 0 娅争逊孕 心 丑毛 一 青岛大学硕士学位论文 有理分数倍时发生部分恢复，它们与宏观上可区分的次波包的形成相对应，其周期 为瓦的有理分数倍，在实验中已经可以检测到周期丁死的部分恢复。 2 2 自动关联函数法 自动关联函数是反映波包动力学性质的一个重要参量，在各种部分恢复时间， 自动关联函数的模方呈现出周期性，这意味着次波包的出现。r y d b e r g 波包的主要 特征可以通过自动关联函数一时间图直接表示出来。 氢原子中r y d b e r g 波包自动关联函数的模方是： 陬叫2 - l i x t c , i n2 p 田1 2 1 2 = 2 p 田i il 2 ( 4 ) 其中是高斯分布系数i 厶f 2 = 去口z c r 2 2 7 r o - 本文的讨论中，用来激发氢原子形成r y d b e r g 波包的激发光谱严格围绕中心值 万。为了简单起见，认为展开式系数的模方i e l 2 的宽度盯按高斯分布，仃的值与激 发所用激光脉冲的持续时间有关。用这种方法所得到的结果同样适用于非对称激发， 例如，那些以径向压缩态的形式出现的类型。该结果也可以推广到万的值为非整数 的情况，因此包括含有量子缺陷效应的情况。这就意味着该结果也同样适用于碱金 属原子。 氢原子r y d b e r g 波包的含时波函数可以写成氢原子能量本征态的叠加形式。 w ( r ，r ) = 气帆( ，) e x p ( 一峨r ) 2 一( 5 ) 其中k = 刀一万，万足够大，帆( 厂) 是氢原子本征波函数。因为所取的刀值紧紧围绕着 万，所以可以将能量e 按万展开： e = 岛+ 岛7 ( 力一万) + 丢岛”。一- ) 2 + i 1 岛_ o 一万) 3 + 2 鬲铲翥铲南 则 甲c 力，= ；厶c 乃唧卜峨仆塞q c 咖冲 2 加( 争i k 2 t + 譬一+ ) 2 一c 6 ， 1 9 第二章氢原子r y d b e r g 波包的演化和恢复 在该式中有三个不同的时间乃，k 和0 。前两个是传统恢复结构中的普通时 间，其中最小的时间乃是开普勒轨道运动的电子的经典周期。如果展开式中只有死 一项，波包将保持原有形状作简单的谐振运动。展开式中的第二项定义了恢复时间 o ，该项的存在导致波包的坍塌以及部分和完全恢复。 展开式中的三阶项定义了时间0 ，称为超恢复时间。它与恢复时间k 的关系是 t s r = 爵聊，当万足够大时，超恢复时间。比恢复时间f 聊大一到两个数量级。然而， 它仍然比被激发r y d b e r g 原子的寿命小得多。因此研究波包的行为特征，确定三阶 项对时间接近 。时的恢复结构的影响是可行的。 当i e l 2 按高斯分布时，可以直接根据2 一( 4 ) 式来计算自动关联函数模方l 彳( f ) 1 2 的值并讨论该结果。 2 2 1 万值较大时氢原子r y d b e r g 波包的自动关联函数 因为万的值越大，完全恢复和部分超恢复以及完全超恢复越明显，所以首先研 究万的值较大的情况。例如当万= 3 2 0 时，对于氢原子有 t e l = 2 n 元- 3 = 2 x 3 1 4 3 2 0 3 2 0 6 x 1 0 8 口4 9 8 n s k ：莩毛1 0 6 肛o ：莩o 2 5 4 却s 图2 1 是，k ，万= 3 2 0 的氢原子r y d b e r g 波包的自动关联函数的模方，图中 只考虑到稍大于o ( 4 2 5 s ) 的时间范围的情况。图2 1 ( a ) 显示的是前9 s 内 的波包特征。完全恢复出现在o 1 0 6 a s 处，在k 的有理分数倍时刻有明显的部分 恢复。最大的恢复发生在，= 去k 处，这时的波包重新成为一个单一的波包，但与初 始时的经典波包仍有差别。 从图上