（基础数学专业论文）带hardysobolevmaz’ya项的椭圆型方程neumann边界条件下的正解.pdf

p o s i t i v es o l u t i o n sf o rs i n g u l a re l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n g h a r d y - s o b o l e v - m a z y at y p ew i t hn e u m a n nb o u n d a r y at h e s i s s u b m i t t e di np a r t i a lf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t s o rt h em s d e g r e ei nm a t h e m a t i c s b y j i a n gl a n p o s t g r a d u t ep r o g r a m s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds t a t i s t i c s c e n t r a lc h i n an o r m a lu n i v e r s i t y s u p e r v i s o r p s h u a n g j e n d ：h u a n g i i e r a c a d e m i ct i t l ep r o f e s s o r s i g n a t u r e a p p r o v e d m a y 2 0 1 1 50879舢8 -哪y 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者始江岚 日期：2 0 1 1 年5 月2 2 1 1 i 学位论文版权使用授权书 学位论文作者完全了解华中师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：研 究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属华中师范大学。学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许学位论文被查阅和借阅； 学校可以公布学位论文的全部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手 段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后遵守此规定) 保密论文注释：本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 非保密论文注释：本学位论文不属于保密范围，适用本授权书。 作者签名：江岚 日期：2 0 l l 钙月2 2 日 栅签名：彳卵 嘲：莎q 崎r 月| 日 作者签名：沿饶 导师签名：钞伊一 嘲：川m 彪2 日 啪：肿期汐。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 摘要 本文研究涉及带h a r d y s o b o l e v m a z 7 y a 项的奇异半线性椭圆型方程 n e u m a n n 边界条件下正解的存在性，即方程一让一入靠+ 肛u = 警在具 有光滑边界的有界区域qcr 上n e u m a n n 边界条件下的正解其中z ： ( 可，z ) 瞅r 一，2 2 时，0 入 坐竽；当七：2 时，入：0 此外，0 t 2 并且a2 酱本文主要研究当t = 2 一而；2 、( 雁n - 写2 ) 芦嚣，即 p t2 1 + 瓦i 刁赢时的情形我们得到在一定的条件下，所研究的方程非 平凡解的存在性为了解决这个问题，我们用到山路引理 关键词：奇异半线性椭圆型方程；h a r d y s o b o l e v m o y o 不等式；山路引 理；存在性；p s 序列；n e u m a n n 边界；能量泛函；临界点 i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s tr a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h es i n g u l a r s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o nu n d e rt h en e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o ni n v o l v i n g h a r d y s o b o l e v m a z z y ai n e q u a l i t y a u a 静+ p 让= i nab o u n d e d d o m a i nqw i t hs m o o t hb o u n d a r yi nr w h e r e x = ( y ，z ) r 七r n 一七，2 k n 0 入 2 ；a = 0 w h e nk = 2 0 t 2 a n d p t = _ n n + 2 丁- 2 t i n t h i sp a p e r ，w es t u d yw h e nt = 2 一 ，t h a ti st h ec a s ep t = 1 + t h e o r e m k e y w o r d s ：c r i t i c a lp o i n t ；e n e r g yf u n c t i o n a l ；h a r d y s o b o l e v m a z y ai n - e q u a l i t y ；m o u n t a i np a s st h e o r e m ；n e u m a n nb o u n d a r y ；p ss e q u e n c e ；s i n g u l a r s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s i i 铲 u 一 硕士学位论文 m a s 丁e r st h e s i s 目录 摘要 i a b s t r a c t i i 第一章引言 1 第二章主要引理5 第三章主要结果的证明1 9 第四章附录2 0 参考文献 2 2 致谢2 4 ，歹冷 硕士学住论文 m a s t e r st h e s i s 本文研究方程 第一章引言 ul 巩- 1u ，z q ， z q ， z a q ， ( 1 1 ) 其中z = ( y ，z ) r 七r ，2 k n qcr ，iql 2 时，0 入 让一n 一 让a a 让 f | u p ， + ， 0 u 0 = u n 一 让a a ，-_-j、-_iil 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s i 兰：_ f 昂+ 卢u = l u1 2 一2 让， x w a n g 6 早在1 9 8 9 年就研究了问题( 1 3 ) ，并通过变分方法证明了当 n 3 ，肛 0 充分大时，问题( 1 3 ) 在1 上有非平凡解 p h a r t ，z l i u 【7 也在2 0 0 3 年讨论了问题( 1 4 ) 的解的存在性，他们也通过 变分方法得到当qcr n 。= ( z 1 ，z ) r lx n o ，n 5 ，h ( 0 ) 0 ，0 a q ，并且p o ，0 入 a 。时，问题( 1 4 ) 在q 上有非平凡解这里h ( 0 ) 是原点的主曲率，旷= m i n c ，互一1 ) ，瓦= 删4，召= s u p cic 厶静d r , 厶( id u1 2 + u 2 ) 如，v u h 1 ( q ) ) 另一方面，g m a n c i n i ，i f a b b r i ，k s a n d c c p 【5 在最近几年研究了问题 z 乏 r ， z r ， ( 1 5 ) 其中z = ( y ，z ) 瞅xr n ，k 2 ，n 3 ，并得到了该问题解的一般形式： 咖( z ) ：呦( y ，z ) ：c ( n ，) 【( 1 + iyi ) 2 + lz1 2 一下n - 2 ， 当且仅当u ( y ，z ) ：e 学( 叫，纠约) 时成立其中c ( n ，后) = 【( 一2 ) ( 尼一1 ) 】学 其他结果见参考文献【1 ，3 ，4 】 但是很少有人讨论问题( 1 1 ) 当0 0 ，使得i iei l r ， 且b = i n 。f 垆( u ) 妒( 0 ) 妒( e ) 则对任意的e 0 ，存在缸七x ，使得 妒( u 七) _ c ，妒7 ( 毗) 一。于x + 其中c2 7 i n “f t m i 。a ，x l l g ( 7 ( t ) ) ，r = 1 c ( o ，1 ，x ) i ，y ( o ) = 0 ，7 ( 1 ) = e ) 在本文中，我们选取妒= 以x = h 1 ( q ) 定义f = 7 c ( 【o ，1 】，h 1 ( q ) ) i 7 ( o ) = o ，j ( 7 ( 1 ) ) 0 ，使得 c 上青；出上( i 。让1 2 + u 2 ) 如, v u eh i ( q ) ( 1 6 ) 因此，我们定义 虿= s u p c i c 上南如上( 1 。让1 2 + u 2 ) d x , v ue 日1 ( q ) ，( 1 7 ) 即 肛叫粥叫，天= 华 ( 1 8 ) 所以对p 0 ，任意的入 。 那么，由第二章预备知识1 可得i i 珏i i = ( 厶( 1d u1 2 一a 品+ 肛u 2 ) d yd z ) 是 h 1 ( q ) 中的范数，且等价于i l 让1 1 日，( n ) = ( 厶( id u1 2 + u 2 ) ) ； 3 硕士学住论丈 m a s t e r s 丁h e s l s 对于( 1 1 ) 的解，我们给出： 假设( a ) qc 酞n z = ( z 1 ，x n ) r lz o ) ，q 是有界区域， n 3 ，a q c 1 ，0 a q ，h ( 0 ) 0 ，其中h ( 0 ) 是原点的主曲率 运用变分方法及 6 ，7 】的思想，我们可以得到本文的主要结果： 定理1 假设( a ) 成立，则当惫= n 一1 时，对，上 0 ，任意的0 a a + ( 其 中a + 由( 1 8 ) 式给出) ，方程( 1 1 ) 在q 上至少存在一个非平凡解 本文的证明思路如下： 在第二章中，我们首先运用山路引理得到( p s ) c 序列，并证明当0 c 0 ，任意的0 a 入( 其中入+ 由( 1 8 ) 式 给出) ，如果c ( c 的定义在引言中给出) 满足 。 一 iyi 。2 l “lp t + 1 溉+ 1 ) ( 研) 学 溉+ 1 ) ( 印) 学 u 垆+ 1 ， 从而存在p = ( 霹) i 耥 0 ，使得当i iui i = p 时，上式右端取极大值q 0 ，即 6 - i n 。f ：pj ( u ) o = 荆 此外，对任意的御h 1 ( q ) ，若u 0 ，口0 ，由( 1 2 ) 我们有当t - o o 时， j ( t v ) 一一o o 因此，存在t o 0 ，使得i l 幻ui i p 且t j r ( ) ( 2 一籍乒e ) ( 上1 则 乱i a + 1 lyi 观1 2 - , x v 2 。) + a 上h1 2 ( 2 - 翳牡e ) ( 上 令七一o 。，得 b ( 2 一m 旷+ ，x s ；一e ) 6 丽2 若6 = 0 ，则当尼一。时，厶( id v k1 2 一a 薄i ) 2 ) 一0 魄l a + 1 ( 2 8 ) 又由于七_ u 于l 2 ( q ) ，即仇一0 于l 2 ( q ) ，所以厶1 1 2 _ 0 因此， 厶id 魄1 2 _ 0 所以我们有i i 仇1 1 日，( q ) = ( 厶( iv k1 2 + id v k1 2 ) ) - 0 因此u 七一u 于日1 ( q ) ，即能量泛函j 满足( p s ) 。条件 假设6 0 ，则d p t b m + - - ，1 2 一碰p r t - 1 s 一e ，由e 的任意性得b ( s t 、) 巡p t - 1 所以由 ( 2 6 ) 得 1 ， c 石6 一 二 这与c 0 ，使得a q 在原点附近司以表不为z n2 九( ) 2 ；竺1 九z i 2 + 。c i 1 2 ) ，v 一= 1 ，z 一1 ) d ( o ，6 ) 其中入1 ，入n 一1 是a q 在原点附近的主特征值，d ( 0 ，6 ) = 邑( o ) f - ) z = o ) 对任意的e o ，令让：( z ) = 半u ( 鼍) ，其中u ( z ) = c ( 入，忌雨瓦茄， 所以化简得让： ) = c ( a ，忌) e p i 五赫，i 2 - k _ ：里k = 0 ，任意的0 。， 觋e以厶c，=毛=上一。瓦：手潞。， 这里 a ：科( 1 巾| ) 2 州1 2 2 + 尚2 ( 1 小1 ) 2 一啬( 1 巾1 ) 【( 1 + ly1 ) 2 + i7 1 2 + 石 兰l f i y1 2 i71 2 证明：令9 ( ) = 互1 ：1 入觑2 ，则z = ( ) = 夕( z ) + d ( 1 一1 2 ) ，其中z = ( z 1 ，z 一1 ) d ( 0 ：6 ) ( 1 ) 因为 2 2 赢y 豁，【( e + i1 ) 2 + 1 名1 2 】酱平 这里 肚舻 ( e + i 洲2 + 1 名1 2 】2 + 击i 可1 2 ( 帅i | ) 2 一尚i 川帅1 1 ) 【( 帅i | ) 2 + iz1 2 】+ 尚iy1 2 iz1 2 所以 l i 则如= 厶2 如一l ，彬厂+ d ( 南 = 上! 2 如一l 彬广协c 1 2 蚶 一l ，如e 2 如圳南， 其中r 掣= r n z o ) 由于 矾) = l 如7 o “扪协1 2 如 = l n - 1d x s o “赢豁如 = l n - 1d x l 叼勺而貉 紧1 忡l 赭一戤 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 其中，7 = ( z 1 ，z n 一七一1 ) 。如朦则蚓叱，二列蔗赢器如 毒l ，d 篇并b 砒 0 ，存在6 0 ，只要 z d ( o ，6 ) ，有 i 九( ) 一g ( x 7 ) i 7 7 i 1 2 ， 所以 i 如徊“陬1 2 如i 叼e 南 两矗辆蹦 l = 7 7 e j d ( o ， 莹2 6 ) ( i - i - i 可i ) 2 + i 1 2 寿+ 譬 如7 ， 即 k 如蔗“2 出( e ) ( 2 1 5 ) 由( 2 1 2 ) 一( 2 1 5 ) ，得到( 2 9 ) l 1 2 = 厶样。彬厂样蝌。c 南 = 厶研i u e 1 2 一l 蹦o 出“研l u e1 2 如 一l ，如7 蔗饼如删南， 而 砾，= l 出0 “铧2 如 1 2 = e 寿l 彬厂衙热如 = l 副厂勺丽赫 l i m6 - 1 1 2 = l 赭蒜蹦 l ，如7e 样眯卜 由( 2 1 6 ) 一( 2 1 9 ) ，得到( 2 1 0 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 如一l ，如7 广嵴出州e 智， 出一厶如o “嵴妣 。出。嵴如刑c e 糟， 而 砾，= l 如厂嵴如 = e 智l 彬厂赢赫出 彬厂勺矗貉 l i r a e-13(0 o u pj ( 刎 斋砑1 砾) + d ( e ) ， ( 2 2 9 ) 硕士学位论文 m a s t e r s 丁h e s l s 从而( 2 2 5 ) 得证 事实上，( 2 2 9 ) 等价于 矸1 ( 厶一a 如) 而2 蚜1 厶+ 。( 1 ) ， 即 i l 一入1 2 j 1 3 由引理2 ，有当七= n 一1 时， i 。：f j r 一1 而2 瓦g l + 。( 1 ) ；币瓦+ d ( 1 ) 。 yl 六一n 【k ( 1 + iyi ) 2 一五4 了iyi ( 1 + iyi ) 】2 9 ( 一) ( 1 + i i ) 蚪 ( 2 3 0 ) 7 爿与一【k ( 1 + 7 ) 2 一瓦与7 ( 1 + 7 ) 】2 ( 入1 y + + a 一1 可奄一1 ) 7 i 一2 ( 1 + r ) 爷 一入1 + + 入一l 厂r 者b ( 1 + r ) 2 一瓦与r ( 1 + r ) 2 2 ( n 一1 ) j o ( 1 + 7 _ ) 智 同理， 。 l 1 22 ， j r n 一1 如乇需 所以 五一x 2 一= = 厶 + + a n 一1 2 ( n 一1 ) 7 寿 ( 1 + r ) 2 一i 4 了7 ( 1 + 7 ) 2 ( 1 + ，) 寿 ( 1 + 7 ) 锴 入( 1 + r ) 4 ) e ( 1 + r ) 智 ( 1 + r ) 帮 办) - 1 1 6 六 r 辫 2 一 r z 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s z 亟4 苇一办( o 羔办) 一 对所有的2 卢 f ，垫! 挚璺2 一p g 一1 ) 2 + 7 ) 一( 4 ( p t + 1 ) t + 3 ) ：=- - - - - 二二- - - - - 。一1 ) 2 溉+ 7 ) 芝打 ( 1 + 7 ) 寤 z 斋o 斋打 j = ；打， ( 1 + r ) 订 一入) o 赤打( z 器办) 以 一a ) 0 毒打( o c 南4 ，e t 2 _ ! 打) 。1 篇一a 丽2 c ( a ，惫) m 一 ( 2 3 1 ) 1 7 阻 一一 d 一- ，q 尊栌寝q 南 南等 塑鬻 、 ， o ，使得62 l i 箍p 了( u ) o = j ( o ) 此外，当 t _ + 时，j ( t v ) 一一o 。其中，u 是引理3 中的u 所以，存在t o 0 ，使得| | t o yi i p ，j ( t o 口) 0 由山路引理，存在( p s ) c 序列 u 七) h 1 ( q ) ，使得当尼+ o o 时，j ( u 七) - c ，j u k ) - - + 0 又由引理3 有， c _ h ( x 7 ) ) ，其中b 。= b ( o ，1 ) ，h ( 2 ) 是定义在 z r “一1iiz i ( 2 一漪砖_ e ) ( 上饼) 寿 证明：( 1 ) 若h 兰0 ，因为当z n 一翼l ，l 二- oi 一 ，r 1 l o = 2 _ 露- - 后f 可l u i p + i ) 寿 ( 2 ) 作坐标变换矿= 一，= z n h ( x ) 则百= b 1c i o ) 我们得到对对 任意的e 0 ，存在5 0 ，使得只要id ui 5 ，则 二( 协| 2 - 入研u 2 ) ( 2 一漪印- e ) ( 二并) 寿 ( 3 ) 设e 0 ， 0 ，d i a m ( s u p p 妒口) 6 ，其 中d i a m ( d ) 是d 的直径，则由( 2 ) 有 上( 愀毗引2 一a 嘴) 冲一潜牡，( z # ) 丽， 所以 ( 上并) 寿 = ( 上c 南，学) 焘 ：靠忆， _ i i 三南忆， 到斋忆， 衅帮牡，。耋上( 愀靴引12 一入铬) ( 2 _ 糟印- e ) 以( ( 1 刊上( 胁1 2 _ 入岳) + q 上2 ) ， 所以 ( 1 叫上( 胁卜a 鲁) + g 上i 奸 ( 2 一孵霹叫( 上糈) 寿， 由e 的任意性，引理5 得证 注：在式中取= 2 ，得 上( 协1 2 柑) c 上研u 2 2 1 硕士学位论文 m a s t e r st l l e s l s 参考文献 【l 】v l a d i m i rg m a z y a ，s o b o l e vs p a c e s ，s p r i n g e rs e r s o v i e tm a t h ，s p r i n g e r v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 8 5 2 】2 m b h a k t a ，k s a n d e e p ，h a r d y - s o b o l e v - m a z y at y p ee q u a t i o n si nb o u n d e d d o m a i n s ，j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 4 7 ( 2 0 0 9 ) ，1 1 9 - 1 3 9 f 3 】3y d e n g ，l j i n ，s p e n g ，ar o b i nb o u n d a r yp r o b l e mw i t hh a r d yp o t e n t i a l a n dc r i t i c a ln o n l i n e a r i t i e s j o u r n a ld a n a l y s e m a t h e m a t i q u e ，v 0 1 1 0 4 ( 2 0 0 8 ) 4 】d c a s t o r i n a ，i f a b b r i ，g m a n c i n i ，k s a n d e e p ，h a r d y - s o b o l e vi n e q u a l i t i e s a n dh y p e r b o l i cs y m m e t r y , a t t ia c c a d n a z l i n c e ic 1 s c i f i s m a t n a t u r r e n d 1 i n c e i ( 9 ) m a t a p p l ，1 9 ( 3 ) ( 2 0 0 8 ) ，1 8 9 - 1 9 7 【5 i f a b b r i ，g m a n c i n i ，k s a n d e e p ，c l a s s i f i c a t i o no fs o l u t i o n so fac r i t i c a l h a r d y s o b o l e vo p e r a t o r ，j d i f f e r e n t i a le q u a y i o n s ，2 2 4 ( 2 ) ( 2 0 0 6 ) ，2 5 8 - 2 7 6 【6 】x w a n g ，n e u m a n np r o b l e m so fs e m i l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n si n v o l v - i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t ，j o u r n a lo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，9 3 ，2 8 3 3 1 0 ( 1 9 9 1 ) 【7 p h a i l ，z l i u ，p o s i t i v es o l u t i o n sf o re l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n gc r i t i c a l s o b o l e ve x p o n e n ta n dh a r dt e r m sw i t hn e u m a n n b o u n d a r yc o n d i t i o n s ，n o n - l i n e a ra n a l y s i s5 5 ( 2 0 0 3 ) ，1 6 1 8 6 【8 】k c c h a n g ，c r i t i c a lp o i n t st h e o r ya n da p p l i c a t i o n s ，s h a n g h a is c i e n c ea n d t e a c h p r e s s ，( 1 9 8 6 ) 9 l c e v a n s ，p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，g r a d u a t es t u d i e si n