（基础数学专业论文）poissonnijenhuis流形的dirac结构.pdf

摘要 本文首先弓f 入和介绍了李取代数胚和李取代数胚上的d i r a c 结构的相关概 念，并给出了泊松流形上的切李双代数胚在第二节，我们利用n i j e n h u i s 张量使 泊松张量发生形变，在满足相容性条件后使泊松流形成为p o i s s o n n i j e n h u i s 流 形。将p a i s s o n n i j e n h u i s 滚形作为双h a m i l t o n 流形的一个特例，得到p o i s s o n n i j e n h u i s 流形上一些比较特殊和有用的性质；并给出了p o i s s o n n i j e n h u i s 流形上的形变李代数胚和形变李双代数胚这些都为本文第三节的p o i s s o n n i j e n h u i s 流形上d i r a c 结构及其性质傲了铺垫 利用极大迷向子丛是d i r a c 结构的充要条件，第三节详细讨论了p o i s s o n n * j e n h u i s 流形上的几种李双代数胚及其上的d i r a c 结构，并由此得到了一些 p o i s s o n n i j e n h u i s 流形上d i r a c 结构的特殊性质 最后我们研究了p o i s s o n n i j e n h u i s 流形上基本向量场和基本1 形式，对 已有的成果迸行了系统的整理，并加以补充由此将p o i s s o n n i j e n h u i s 流形 上基本向量场和泊松流形上的泊松向量场从形式上得到了统一。考虑了基本向量 场与d i r a c 结构的关系，在前三节的基础上证明了基本向量场可以保持上述李双 代效胚上的d i r a c 结构 关键词：李代数虚乓双代姣硅d 丹。结, “p o i 。一巧纨盹了磊形， 基本向量场，基本1 一形式 、- 7 、l a b s t r a c t i o n i nt h i sp a p e r ，w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fl i eb i a l g e b r o i da n di t sd i r a cs t r u c t u r e s f i r s t l y t h e nw ep a r t i c u l a r l yd i s c u s st h et a n g e n tl i eb i a l g e b r o i d ，b a s e do nt h ec o n c l u s i o n a n dt h o r e m sg i v e nb ya w e i n s t e i n ，z j ，l i ui ns e c t i o nt w o ，w es t u d yt h en i j e n h u i st e n - s o l w h i c hc a u s 笛t h ed e f o r m a t i o no fp o i s s o nt e n s o rv i e wp o i s s o n - n i j e n h u i sm a n i f o l d a sas p e c i a lc a s eo fb i h a m i l t o n i a nm a n i f o l d w ew i l ls h o ws o m e s p e c i a la n d u s e f u lp r o p e r t i e so fp e i s s o n n i j e n h u i sm a n i f o l d m e a n w h i l e ，w ew i l ls h o wt h ed e f o r m a t i o nl i e b i a l g e b r o i d t h e s ea r et h en e c e s s a r yp r e p a r a t i o n sf o rt h el a t e rd i s c u s s i o n w i t ht h ei fa n do n l yi fc o n d i t i o no ft h ec o n d i t i o nw h e na m a x i m a l l yi s o t r o p i c s u b b u n d l ei sad i r a cs t r u c t u r e 、w ep a r t i c u l a r l yd i s c u s ss o m el i eb i a l g e b r o i d sa n di t s d i r a cs t r u c t u r e si nt h es e c t i o nt h r e e m o r e o v e r ，w eg e tt h es i m i l a rc o n c l u s i o na n dt h e - - o r e m s ，f r o mt h e s e w ek n o wm o r ep r o p e r t i e so fp o i s s o n n i j e n h u i sm a n i f o l d t h e a s t w es t u d yt h ep r o p e r t i e so f t h eb a s i cv e c t o rf i e ma n di - f o r mi nt h ep o j s s o n - n i j e n h u i sm a n i f o l d ，m a k i n gas y s t e m a t i co r g a n i z a t i o no f t h e s ec o n t e n t sa n d g i v i n gs o m e a p p r o p r i a t ea d d s t h e r e f o r e w eu n i f i e dw i t ht h ec o n c l u s i o n 0 ft h ep o i s s o nv e c t o rf i e l do n p o i s s 。nm a n i f o l di 丑r e f o r m c o n s i d e r e dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ed i r b cs t r u c t u r e s o fp o i s s o n - n i j e n h u i sm a n i f o l da n dt h eb a s i cv e c t o rf i e l d ，w ep r o o ft h a tt h eb a s i cv e c t o r 雠l dc a n k e e pt h ed i r a c s t r u c t u r e so f p o i s s o n - n i j e n h u i sm a n i f o l dw h i c hd i s c u s s e db e f o r e k e yw o r d s ：l i ea l g e b r e i d ，l i eb i a l g e b r o i d ，d i r a cs t r u c t u r e ，p o i s s o n n i j e n h u i sm a n i f o l d ，b a s i cv e c t o rf i e l d ，b a s i c1 - f o r m o 引言 流形上的n i j e n h u i s 结构是李代数形变理论在流形上的推广。在流形上的 一个( 1 ，1 ) 型张量，如果关于流形上向量场李代数中的n i j e n h u i s 挠率为零， 则称为n i j e n h u i s 张量n i j e n h u i s 张量可以将流形上的向量场李代数形变为 新的李代数，面且与原有的李代数是局态的。当流形是泊松流形时，洎松张量 与n i j e n h u i s 张量具有一定的相容条件就构成p o i s s o n n i j e n h u i s 流形【7 ，8 ， 它是双h a m i l t o n 流形的一个具体的例子。在流形上特别是在李代数的对偶上的 p o i s s o n n i j e n h u i s 结构构成了完全可积系统的自然框架。 在流形上的d i r a c 结构包括予辛结构，泊松结构和叶层结构，是由c o u r a n t 和 w e i n s t e i n 引入，在 1 2 中被c o u r a n t 详细研究。刘张炬。w e i n s t e i n 和徐平在【1 3 1 中利用c o a m 代数胚的观点给出了李双代数胚( a ) 的d o u b l e ( e = ao ) 中的d i r a c 结构的研究 李取代数胚( a ，a ) 是p 上的向量且a 和它的对偶丛a 上都带有李代数胚 结构，并且满足一定的相容条件李_ 双代数胚也是李双代数的推广。在e = a a 中引入两个自然的对称和反对称运算 1 ( x + u ，y + ) = 三( ( u ，y ) 士 x ，印) ) 锚映射为两个李代数胚的锚映射的和在( a ，介) 上定义d i r a c 结构l ，满足l a o a + 在( ，) + 下是极大迷向的，且在r ( a o a ) 的括号运算下是封闭的，或称是 可积的其中r ( a o a ) 中的括号运算定义为：v x + u ，y + p p ( a o a + ) ， 衅+ 。，y + 嗣= ( ，y + 厶一y 一k x - d ( ，y + u ，y + 芦) ) + ( p ，川+ 工x p 一上y u + d ( x + u ，y + p ) ) 这是流形上d i r a c 结构的推广事实上，d i r a c 流形也即a + = t p 中取平凡李 代数胚结构时的特殊情形d i r a e 结构的特征对( d ，”) 的概念主要是由刘张炬给 出的利用特征对定义d i r a c 结构，并给出一个极大迷向子丛二是d i r a c 结构的 充要条件，使得d i r a v 结构静理论更直观 流形上的p o i s s o n n i j e n h u i s 结构，特别是它在流形余切丛的截面上就构 成了可积系统理论的一个自然框架【7 1 1 8 1 1 9 ly k o s m a n n - s c h w a r z b a c h 和f m a g r i 在 文章i l o 】中研究了泊松李群、李代数上的p v i s s o n n i j e n h u i s 结构和修正y a n g - b a x t e r 方程之阅的关系在文章 1 1 中，他们又研究了向量场上的李代数的形变 理论，n i j e n h u i s 算子和形变李代数结构，形变李代数的对偶之间的关系和一个 双向量场p 和n i j e n h u i s 算子之间的关系。本文在总结前面已有结果的同时， 主要是详细讨论了p o i s s o n n i j e n h u i s 流形上李代数胚、李双代数胚；并利用 个极大迷向予丛l 是d i r a c 结构的充要条件给出了其上的d i r a c 结构。同时 也得到了d i r a c 结构在p o i s s o n n i j e n h u i s 流形上的一些特殊性质，从而充实 了对p o i s s o n n i j e n h u i s 流形的理解。 本文第四节给出了p o i s s o n n i j e n h u i s 流形上的基本向量场和基本1 - 形式 的概念，并分别讨论了基本向量场在李括号和形变括号下成为李代数。最后证明 了基本向量场可以保持上述p o i s o n n i j e n h u i s 流彤上李双代数胚的d ( r a c 结 构不变 p 流形和d 开a c 结构 l 李双代数胚上的d i r a c 结构 1 1 李代数胚 李代数胚是李代数概念的推广，也是李群胚的无穷小逼近 定义1 , 1l一个向量丛a 4p ，如果在截面空间r ( a ) 中有李代数结构 ，并且存在向量丛映射n ：a t p ，使得 ( 1 ) 诱导映射a ：r ( a ) f ( t p ) 是一个关于r ( a ) 中的李括号k j 和f ( t p ) 的向量场括号的李代数同态 ( 2 ) v ，c 。o ( p ) 和v x ，y 1 1 ( a ) ，有下列等式成立 【i x ，y = b x ，y 一扣( y ) ，) ) x 我们称( a ，n ) 是一个p 上的李代数胚，n 称为锚映射。 下面给出李代数胚的几个例子： 例1 1 1 流形p 上的平凡余切丛t p 是李代数胚，其中带有零括号和零锚 映射 例1 1 2 流形p 上的切丛t p 是一个李代数胚，其中的括号为向量场括号 和锚映射为恒同( 参见 1 1 ，p 2 5 3 ，例5 ) 。 铡1 i 3 泊松流形( 只7 r ) 的余切丛t p 是一个李代数胚，其中的括号为诱导 括号 a ，p ) 。= l 。口一l 祁n d ( 订( 口，卢) ) v 血，卢t 4 p 和锚映射为p 的泊松张量诱导的l 映射( 参见【l 】，p 2 5 4 、例7 ) 。 1 ，2 李双代数胚 定义1 2 1 流形p 上的一对李代数胚( ，) ，如果满足相容性条件 d 【x ，r t = 陋x ，y j + 陋，d y i 其中d + ：r ( h a ) + r ( a + 1 d ) 是由a 诱导的外微分，则( a ，小) 称为李双代数 胚 特别地，当底流形p 退化为一点时，李双代数胚即退化为李双代数。 注：定义1 2 ，1 中的条件等价于： 由 诱导的外微分d ：r ( h k a ) 一r ( h k + t a + ) 是f ( a a ) 上的s c h o u t e n 括号的算 子，即 d 慷，啊= 坎，州+ 硅，咖l 、 v f ，q f ( a a 4 ) 也即相容条件。 例1 2 1 流形p 上的切丛t p 带有例1 1 2 中的李代数胚结构，在其对偶丛 t 。p 上定义平凡李代数胚结构，则( t 尸 t + p ) 构成李双代数胚 例1 2 。2 设( 尸，”) 是泊松流形，a = 丁尸是切丛，带有例1 1 2 中的李代数 胚结构a 。= t p ，带有例1 1 _ 3 中的李代数胚结构。这时d 。是逆变外微分 v x ，y r ( ) = ( p ) ， 2 p 流形和d i r a c 结鞫 d 。 x ： 丌，( x yj j = 一陋，陀叫1 一【r 竹，x 1 = l x ( d 。y ) 一l y ( d 。x ) 所以( 五，a ) = ( t p , t p ) 是李取f 君敷经称为仍z ) 的切李双代数坯 命题1 2 1 设( 4 ，【- ，1 ，d ) 是流形p 上的李代数胚，a r ( a 2 a ) 淆足【a ，a 0 ，在r ( a 4 ) 中有诱导的李括号： o ，p = 上 卢一厶 口a d ( 【口，卢) ) v ，卢r ( a 4 ) 定义丛映射口；no a ：a 十t p ， 则a + 带有括号 ，) 及锚映射o + 构成p 上的李代数胚。并且( ，小) 构成李双 代数胚，称为三角李双代数胚 汪明妇，声r ( a l ，g ”即， ，n ，目) = l a ( i 。1 卢一l h a f a d ( a ( ，a ，p ) ) = n 。p + d ，一( f l a g c r + ( d ( a 卢) ( ，) ) 口) 一f ，烈a ( 。，芦) ) + a ( 。，卿够) = ， n ，p ) 一( 口( a 芦】( ，) ) a = ， ，卢) 一( o ( 卢) 门a n 。是李代数同态，因此。a 是p 上的李代数胚。 同时，由j a c o b i 恒等式和下面的弓f 理可直接推出a 和 满足李取代敷胚的 相窖性条件 引理1 2 2 对于任意的x f c a ) ， 出x = a ，x 7 证明v a ，口r ( a ) ，有 ( d + x ) ( o ，p ) = 血+ ( 口) 一吼。( 卢) 一 = a ( a 一 口( x ) ( a ( 口、卢) ) = 一d ( x j ( a ( a ，p ) ) + a ( l x n ，卢j 十 ( 。，工x 芦) = 一l x a ( a ，卢) = 【a x 1 ( a ，卢) 例1 2 2 中泊松流形的切李j 双代数胚就是一个三角李双代数胚 3 p 流形和d i r a c 结构 l ，3 李双代数胚上的d i r a c 结构 d i r a c 结构是由c o u t a n t ，t j 和w e i n s t e i n ，a 引进的流形的d i r a c 结构理 论包含了预辛结构，泊松结构，叶层结构理论，为泊松几何的约化理论提供了有 力工具刘张炬，w e i n s t e i n ，a ，徐平将d i r a c 结构理论发展到李双代数胚上， 力研究群胚作用的约化理论起到了关键的作用， 设( a ，) 是底流形p 上的李双代数胚，锚映射分别为a 、n + ，在e = a o a + 中自然存在着个非退化，双线性的对称内积和一个反对称内积如下： 1 ( x + u ，y + p ) 士= 三( ( u ，y 4 - ) 其中， 表示对偶丛之间的配对运算，对于x ，y a 。，u ，p 啦，在r ( e ) 中定义括号运算为： f x + u ，y + 川= ( i x ，y j + l y l p x 一：呔( x + u ，y + p ) 一) + ( ，川+ 工x # - - l y u + l d ( x + u ，y + p ) 一) 上k 映射p = 。+ 口：e + t p ，即：p ( x + u ) = n ( ，x ) + o 。( u ) 定义1 3 1 李双代数胚( a ，a ) 上的d i r a c 结 勾是子丛三且。以，满足 ( 1 ) l 对( ，) 是极大迷向的； ( 2 ) f ( l ) 在r ( e ) 的括号下是封闭的，或称可积的( 可积条件) 。 倒1 3 1 令d ：t p t 尸是一个闭的2 形式 l = g r a p h f t = ( x + n xj x t p t p o t p 贝1 j 工对( ，) + 是极大迷向的，且由础= 0 ，l 可积 从而三是( ? 只t + p ) 上的一个d i r a c 结构 在李双代数胚上的d i r a c 结构理论中，有许多的性质，这些性质被刘张炬， 徐平，等详细论证过在此，我们列出这些性质，不给出它们的证明。 设( a ，a ) 是李双代数胚，一个光滑分布d a 和一个双向量场”r ( a 2 a ) 构成的对( d ，r ) ，对应ao a 中的一个极大迷向子丛如下： l = x + 丌u + u 1 v x d ，u d 上) = d + g r a p h ( r d l ) 其中，d 上a + 是分布d 的余法分布，d = l n a 被称为l 的特征分布，这样 的对徊，”) 被称为三的特征对 定理1 3 1 在李双代数胚( a ，) 中，lca o a 是一个对应于特征对( d ，z ) 的极大迷向子丛那么，工是一个d i r a c 子丛当且仅当下列条件满足： ( 1 ) d 是对合的； ( 2 ) 7 满足m a u r e r - c a r t a n 型方程，即 d t r + 互1 卜，叫io ( m 。d d ) 4 p 流形和d i r a c 结构 ( 3 ) r ( d 1 ) 在和括号 ，】+ h 。是可积的，即 p ，p 】+ u ，p 】。r ( dj _ ) ，讪，p f ( d 上) 其中，【- ， 。的定义如下： p ，弘k = l 。u 芦一l 。弘u 一矗霄( u ，p ) ，钆，p r ( a + ) 当李双代数胚( a ，a 4 ) 是三角李代数胚( a ，a ，a ) 时，r ( 小) 中的李括号是 由双向量场a 诱导的记为卜l ( 或 ，) ) ，上边缘算子d ，是由d x = 【a ，x 给出 的，井有下列公式： d + 7 r + 瓠丌，7 r 】= 【a ，丌1 + ，丌 = 【a + 丌，a + 丌 ，- + 卜1 。= 【 - 】 上面的定理1 3 1 就变成了如下的形式： 推论1 3 2 设( a ，a 。，a ) 是三角李双代数胚，lc ao a + 是对应于特征对 ( d ，”) 的极大迷向子丛，那么， l 是d i r a c 结构当且仅当下列条件满足： ( i ) d 是对合分布； ( 2 ) 【a + 丌， + 刮i 三0 ( r o o d d ) ； ( 3 ) a + ”是d 一不变的( m o dd ) ，即l x ( a + 口) ；o ( m o d d ) ，y x r ( d ) 设( a ，a + ) 是李双代数胚， ：小_ 是丛映射，l 是”的图，即 l = 7 r 叫+ u l u a + ) 这时，d = 0 ，d 上= a + 定理1 3 t 的第一条和第三条显然满足，又得到下列 推论： 推论1 3 3l 是d i r a c 结构当且仅当r ( h 2 a ) 且满足m a u r e r - c a r t a n 型方 程 如+ 扣：。 2 p o i s s o n - n i j e n h u i s 流形上的李双代数胚 p o i s s e n - n 0 e n h u i s 流形是一个泊松流形带有( 1 ，1 ) - 型张量，这个( 1 ，1 ) 一型 张量满足n i j e n h u i s 挠率为零，称为n i j e n h u i s 张量，泊松张量和n i j e a h u i s 张量要 满足一定的相容性条件我们在这一部分主要讨论p o i s s o n - n i j e n h u i s 流形上的李 双代数胚 5 2 1p o l s s o n n i j e n h u i s 流形 设e 是某一数域上的向量空间，p 是e 上的e 值2 一形式，在e 上定义了一个 李代数结构。我们记这个括号为卜】，设是e 到e 的线性映射。定义n 关 于李代数结构乒的挠率为： 【， p ( x ，y ) = n x ，n y i p n ( n x ，y 】“+ i x ，y h n i x ，卅p ) ，v x ，y e 5 p 流形和d i r a c 结构 又称这个挠率为关于李代数结构肛的n i j e n h u i s 挠率。 定义2 1 1 如果向量空间f 上的线性映射关于李代数结构“的n i j e n h u i s 挠率为零，则称 为n i j e n h u i s 算子 例2 1 1 流形m 上的丛映射n ：t m 斗t m ，切丛的李代数括号即向量 场括号，此时，关于李代数结构【j 的n i j e n h u i s 挠率为： t n ( x ，y ) ：= 【n ， ( x ，y ) = 【n x ，n y 一n i x ，y 】 当7 k ( x ，y ) i0 ，v x ，y t m ，称j v 为上的n i j e n h u i s 张量其中 瞵，y = n x ，y 】+ x ，y 】一i x ，y 称为形变括号不难证明，由n i j e n h u i s 张量n 诱导的形变括号卜 是李括号， 而且( 【x ，y ) = i n x ，n v l 即是李代数同态 设”是泊松流形p 上的泊松双向量场，即i 丌i ”】- 0 在a 1 ( p ) 中通过”可 以定义李括号：，卢a 1 ( p ) 口，卢) 。= l ，。卢一l 。口a d ( 7 r ( a ，p ) ) 如果在p 上存在着n i j e n h u i s 张量，则将x ( p ) 中的李括号 形变 为新的李括号【，- 】，利用这个新的李括号我们可以定义一个形变李导数f 和微 分算子d 。这样，我们利用泊松双向量场”，可以定义a 1 ( p ) 中形变括号运算 对任意的啦卢a 1 ( 尸) ，这个形变括号为： ( 口，屡 妻= 工乞肛一二：。u d ，( 丌( u ，卢) ) 同时，若p 上的n i j e n h u i s 张量满足 = r n + 时，即j v 7 r 也是一个双向 量场时，在a 1 ( p ) 中亦可诱导出以下括号： 口，芦) ，= 二删芦一三* p 埘一d ( r ( ，p ) ) 仿照形变李括号作用在向量场上，还可以诱导出另一种形变括号 口，卢) ”= + 口，卢) 。+ ( a ，n 卢) 。一n a ，卢) 。 一般而言，“一h ，“) ，和( 一，) “不是李括号 定义2 1 2 在流形p 上的泊松双向量场7 r 和n i j e a h u i s 张量被称为是相容 的，如果 ( 1 ) 是一个双向量场，即= n n + ； ( 2 ) “- ) ；= “ 如果n i j e n h u i s 张量和泊松双向量场”是相容的，( 丌 ) 被称为流形p 上的p o i s s o n n i j e n h u i s 结构，同时( p n ) 被称为p o i s s o n - n i j e n h u i s 流形。 命题2 1 1 当= ”+ 时， n ，卢) ：+ a ，口) ”= 2 口，臼 。 6 p 流形和d i r a c 结构 命题2 1 2 ” a ，p ) ：= ”f a ，p ，”= n ( a ，口， r 。= 时a ，”卢】 推论2 1 _ 3n 7 r a ，卢) ：= n n a ，卢) “= w o ，卢) 。= n w a ，卢 = n s r c x ，”同 引理2 14 如果n i j e n h u i s 张量和泊松双向量场是相容的，那么 t u ( o t ，p ) i0 ，v 。，p a 1 ( p ) 这个引理说明，在p o i s s o n n i j e n h u i s 流形上，+ 是a 1 ( p ) 中的n i j e n h u i s 张量 定理2 1 | 5 设( 只7 r ，) 是p o i s s o n n i j e n h u i s 流形，那么， ( 1 ) 1 上述三种括号“) ：，“ 霄， ，- ，都相等，且都是李括号i ( 2 ) 是从李代数( a l 【p ) ，“n 到李代数( a 1 ( p ) ，“ 丌) 的同态，即，v n ，卢 a 1 ( p ) n a ，卢) ”= a ，n 卢) 。 ( 3 ) ”是李代数( a 1 ( p ) ，( ，n 到李代数( a 1 ( p ) ，【1 f ) 的同态， 丌 n ，口) ”= 丌 a ，卢) 。= 【丌n ，丌同 ( 4 ) n l r 是李代数( a 1 ( p ) ，“，) 到李代数( a 1 ( 尸) ， ) 的同态， n r a ，卢r = v ，r a ，7 r 纠， ( 5 ) 【n 丌 。= 0 ，和 7 r ，叫= 0 ， ( 6 ) 【丌，n , d = 0 以上多数内容在k o s m a n n - s c h w a r z b a c h 和f r a c om a g r i 的文章【2 中可以找 到 定理2 1 6p o i s s o n - n i j e n h u i s 流形( p i ，) ，对于任意的i ，j n ，有7 r 是 泊松双向量场且【q 州”】= 咿几胛卅= 0 定理2 t 6 说明，若泊松张量”和n i j e n h u i s 张量是相容的，则双向量场 ”，一，n k7 r ，也是泊松双向量场且彼此相容 2 2p o i s s o n - n i j e n h u i s 流形上的李代数胚 设( a ，n ) 是流形p 上的李代数胚，在 的截面上有李代数结构卜】和锚映射 o ：a _ + t p 是丛映射，a 诱导了r ( a ) f ( t p ) 的李代数同态a 是a 的对偶 丛，在f ( a a ) 上定义外微分，y w r ( a a ) 和x 1 ，x k + 1 f ( a ) ，使得 d w ( x , ，凰+ 1 ) = ( 一1 ) i + l g ) “，( 五”，盔，”，x k + 0 + ( 一1 ) 州u ( 陵，玛 ，x i ，宠，岛，凰+ 1 ) t 刁 对于，c c 。( p ) = r ( a o a ) ，d l ( x ) = o ( x ) ，其中x f ( a ) 我们还可以 定义缩并和李导数如下：蚪，x i ，溉一1 f ( a ) 奴：c ( a a ) _ r ( a 一2 a ) i x w ( x l ，凰一1 ) = u ( x ，x 1 ，x 一1 ) 7 p 流形和d i r a c 结构 和 v fe c 。( p ) ，l x f = ( x ) ， 定义s c h o u t e n 括号如下：v 苁；砖r ( ) ， i x la a x k , y 1a 】：圭h ( 一1 ) ；卅 ，y j x 1a a2iaxxa x i a a a a l y 1一- 】= ( 一1 ) 4 + j ，x 1 一 l = l = l ka 巧a - - 酥 和 【，g = 0【x ，】_ - i f ，x 1 = a x ) l 命题2 2 【若是泊轮流形p 上李代数胚( a ，d ，【1 t j j 的n f f e n h u 旅量，辩 形变括号 陇，y 】= 【x ，y j + x ，l ，卜陋，y 1哨，y r ( a ) 定义了r ( a ) 上的李括号，且( 且，口。n ，【1 】) 是李代数胚， 证明由n = 0 ，对任意的x ，y r ( a ) ，有 n x ，n y _ n i x ，y 成立。通过 直接计算可以证明括号 ， 。满足j a c o b i 恒等式，即v x ，一z p ( a ) f f 墨y ? j z 7 + f f y = 2 i j ，x 7 4 - l l z , x ，y 】7 = 0 所以， 1 是p a ) 上的李括号。v ，g ”( p ) i f x ，y 】4 = 【n ( i x ) ，y 】+ f x ，n y 】一n f x ，y 1 = u n x ，y 1 十u x 、n y l n u x l 职 = ， x ，y 一( a w ) f ) n x 十，i x ，n y 一 ( a ( n y ) f ) x 一，瞄，卅+ ( a ( y ) f ) n x = ，f x ，y 1 。+ ( ( 。) ( y ) ，) x 再由。：r ( a ) 叶p ( t p ) 是李代数同态，：( r ( a ) ，卜】) _ ( p ( t p ) ，【 ) 是李代数 同态，所以n 。n ：( r ( ) ，卜 ) _ p ( t p ) 是李代数同态。 对于泊松流形而言，其平凡的( 余) 切丛是李代数胚i 锚映射o = i d 的切丛 是李代数胚；余切丛? 只 ，h ，力也是李代数胚。 在泊松流形中加上n i j e n h u i s 张量可以成为p o i s s o n - n i j e n h u i s 流形，下面的 推论将会给出一些p o i s s o n n i j e n h u i s 流形上形交的李代数胚的例子 推论2 2zp o i s s o n n i j e n h u i s 流形( p 7 r ，) 的带形变括号的切丛( t p 1 ，卜 。) 是李代数胚。 事实上，( tp ，卜r ) 可咀理解为是在李代数胚( t 只i d ，卜j 】上的形变。 8 p 流形和d i r a c 结构 推论2 2 3p o i s s o n - n i j e n h u i s 流形( p ) 口，) 的带形变括号的余切丛( p 只”， ) ：) 是李代数胚。 证明在p o i s s o n n i j e n h u i s 流形中， ， ；= ( - ，一 j j = ，一 m 且均是李括 号。 而( pp ”，( ， 。) 是已知的李代数胚，4 是其上的n i j e n h u i s 张量，则 “ ：= ( ， ”可以理解为是括号t ， 。的形交。由命题2 2 1 即知p + p ，”4 = ”，“- ) ：) 是李代数胚 令 ， 。：= - ，】丌， - ，】j ，= = f ，j f 。】则上述推论可推广为：v k n 推论2 2 4p o i s s o n - n i j e n h u i s 流形( p ，n ) 的切丛( t p ，2 ，卜1 t 。) 是李代 数胚。 推论2 2 5p o i s s o n - n i j e n h u i s 流形( 只n ) 的余切丛( t p ，( 一，- ) * 。) 是 李代数胚。 2 3p o i s s o n - n i j e n h u i s 流形上的李双代数胚 从上一节的描述可知，在泊松流形上加上n i j e n h u i s 张量后出现了形变的李 代数胚，它们之间是否彼此都能配对成为李双代数胚呢? 设( p i ，) 是p o i s s o n - n i j e n h u i s 流形，k = 0 ，l ， 例2 3 i 取a = ( t 只f ， ，i d ) ，a = ( t + 只 ， h ，”) 因为! n ”，川= 0 ， f ( t + p ) 中的括号是由，r 诱导的括号“) t 。，所以( ，小) 构成三角李双代 数胚，是泊松流形( p t k ”) 的切李双代数胚。 特别地，当k = 0 时，( ，) 即成为1 2 中的例1 2 2 。 例2 3 2 取a = ( t 只i ，】，) ，a + = ( t 只( ，) ：，”) 因为卜，”】= 0 ，且 ，) ： 是由【，】和”诱导的，所以( ，小) 也构成三角李双代数胚，称为p o i s s o m n u e n h u i s 流形( p 丌，) 的形变李双代数胚 命题2 3 1 若( p ，) 是p o i s s o n - n i j e n h u i s 流形，则 a = 汀p i “，) ，小= ( r p ， 知。，h 1 ) ) 是( p ”) 上的形变李双代数胚 证明因为 女，o 丌】1 = 0 ，且r ( a ) 中括号为：v 0 ，p r ( a ) 口，卢) - 。= 一l ，e 丌虚口+ 工0 。卢一d ( 丌( a ，卢) ) 其中和d r 是由【1 诱导的形变李导数和微分算子。 由命题1 2 1 可絮，江，岔j 是三角李双代数胚，是泊松流形，r ) 的形变李双 代数胚 当k = 0 时，( a ，a + ) 即为例2 3 2 命题2 3 2 若( p i ，) 是p o i s s o n - n i j e n h u i s 流形，则( t p ，h n ) 和( t + p i “) 。，) 构成李双代数胚。 引理设由李代数胚( t + 尸，“一 丌，”) 诱导的外微分以：r ( a ( t p ) ) - r ( a 1 ( t p ) ) 则vy x ( p ) 和u ，p a 1 ( p ) ， d y ( u ，p ) = d 。y ( n + u ，p ) + d ，y ( u ，n 4 p ) + l y n 丌( w ，p ) + g ( y ，叫，p ) 其中 g ( y u ，p ) = p 流形和d i r a c 结构 证明 d 聿y ，p )= 7 r u 一丌灿 一 = d 。y ( u ，n + p ) + 7 r n 1 t + + d 。y ( n u ，肛) 一i r n u ( y l p + 一 = d y ( n u ，p ) + 出y ( u ，n 卢) + 一丌u + 7 r + p 根据 叫，_ 【) “+ u ，p ) 7 = 2 c ，p 。 文n y ( w ，d y ( n + u ，p ) + d 。y ( u ，n 4 一) + 一y e n + u + 7 r p + d 。y ( n 甜，弘) + d + y ( 础，n + 芦) + l y 霄( u ，抖) + g ( l u ，灿) 命题2 3 2 的证明：只需证明vx ，y x ( p ) ， d l y ，y 1 7 = d x ，y + x ，d + y 由于( ? 只】，i d ) ，( t p 1 ( ，- 。，”) 构成( p ”) 的切李双代数胚，所以 ( 1 ) ( 1 ) 式左端= d ( 防x ，y + 【x ，y 一瞄，y 】) = l x ( d y ) 一l y ( d n x ) + l n x ( d y ) 一l u v ( d x ) 一出【x ，y ( 2 ) ( 1 ) 式右端= l x d , y 一砖d , x ( 3 ) 由于( p 17 r ，) 是p o i s s o n n i j e n h u i s 流形，显然g ( t u ，p ) = 0 。于是 工i d 。y ( u ，p ) = x ( d + y ( u ，p ) ) 一d y ( l x u ，p ) 一d + y ( u ，l 芦) = n x ( d 。y ( u ，p ) ) 一d y ( l n x w l x n u + l x w ，p ) 一d 。y ( u ，l h r x # 一l x n + p + n + l x p ) = l n x d 。y ( u ，p ) + d + y ( l x n + u ，p ) + d y ( u ，l x n + “) 一d y ( 1 v l x w ，p ) 一d 。y ( u ，n l x # ) l d + x ( u ，p )= l r c y d 。x ( u ，p ) + d x ( l y n + u ，p ) + d x ( u ，l y n p j d x ( n + l y w ，p ) 一d x ( u ，n l y # ) ( 4 ) ( 5 ) p 流形和d i r a c 结构 l x ( d n y ) ( c u 、p ) = x d y ( u ，p ) + d 。，( u ，n + 肛) + l 1 ，丌( u 、p ) 】 一d n y ( l x w ，p ) 一d n y ( w ，l x # ) = x d 。r ( n u ，p ) + d ，y ( u ，n + “) + l y n v ( w ，p ) 一d y ( n l x w ，p ) d 。y ( l x w ，n p ) 一l y n ( l x w ，p ) ，。 一d + y ( 叫，l x # ) d 。y ( u ，n l x p ) 一l y n r ( w ，l x # ) 。 = f x ，d 。y i ( n ，p ) + 以y ( l x n 。u ，卢) + ，以y ( u ，n 卢) + d y ( u ，l x n p ) d + y ( n l x u ，p ) 一d y ( u ，n l x g ) + l x ( l y n w ：) ( u ，p ) 类似地， l y ( d , n x ) ( w ，p ) = 出x ( u ，