（天体物理专业论文）微波场中温度分布的数值模拟研究.pdf

摘要 本论文来源于云南省自然科学基金项目“微波烧结p t c 半导体陶瓷 ( b a t i 。，舯蛳a ) 的研究”中的温度场分布的数值模拟计算。文中的主要工作 是分析微波作用于材料的加热效应并建立应用f d t d 方法进行分析的电磁热模 型。模拟了微波加热具体物质的温度分布，并且对计算结果进行了分析。 我们简单介绍了建立电磁模型中所需采用的时域有限差分y e e 算法的差分 方程、稳定性条件、边界条件、激励源设置的基本原理。第三章中介绍了热模型 及其边界条件的设置，结合f t o r t e s 提出的口因予，给出了一个加快模拟时间 的新方法；根据我们编写的计算程序，这种方法确实有很好的效果。在第四章， 介绍了电磁模型和热模型的结合，给出了整个微波加热过程的新模型电磁热模 型。 最后，给出了理想情况下微波加热物体的情况。这一章中，我们编写了程序 计算了不同功率、不同频率和不同加热时间时的温度分布，用o r i g i n 软件作图 直观的表示出来；并且对模拟的结果进行了分析。由于我们仅仅模拟了物体的温 度分布，相对于l m a 和f t o r t e s 等人工作中的结果，更好地表现出了加热物 体的温度分布。这也是本论文中重要的一个思想。在第六章中，指出了本工作存 在的问题和设想了以后的工作，为以后更好地进行科研工作提供了帮助。 关键词：微波加热数值模拟时域有限差分法电磁一热模型 t h et o p i co f t b sp a p e ro r i g i n a t e sf r o mt h er e s e a r c h t h er e s e a r c ho f m i c r o w a v e s i n t e r i n gp t c s e m i c o n d u c t o rc e r a m i c s 却研w 硒* 胁b p 妒”，w h i c hi ss u p p o r t e db y t h ey u n n a np r o v i n c en a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o n t h i sp a p e rm a i n l ya n a l y z e dt h e h e a t i n g e f f e c t sw h e nm i c r o w a v ea c t s o nm a t e r i a l sa n ds e t u p a r t e l e c t r o m a g n e t i c - t h e r m a lm o d e lu s i n gt h ef i u l t e - d i f f e r e u c et i m e - d o m a i nm e t h o da st h e n u m e r i c a lt 0 0 1 w i t ht h i se l e c t r o m e g n c t i c - t h c r m a lm o d e lt h et w o - d i m e n s i o n t e m p e r a t u r ed i s t r i b u t i o n so f t h em a t e r i a la r es h o w e d f i r s t , t h ed i f f e r e n c ee q u a t i o n , n u m e r i c a ls t a b i l i t yc o n d i t i o n , b o u n d a r yc o n d i t i o n , p o w e rs o u r c e ss e t t i n g sa n dy e ec o m p u t a t i o n a lm e t h o d sw 眦i n t r o d u c e db r i e f l yi nt h e s e c o n ds e c t i o n u s i n get o n e s sp a r a m e t e r 口，w eg i v ean e wm e t h o dw h i c hc a n i m p r o v et h es p e e do fs i m u l a t i o n s e c o n d ，t h et h e r m a lm o d e la n di t sb o u n d a r y c o n d i t i o n sw e r ei n t r o d u c e di n t h et h i r ds e c _ t i o n c o m b i n i n gt h et h e r m a lm o d e lw i t ht h e e l e c t r o m a g n e t i cm o d e l ，w oe s t a b l i s h an o wm o d e l w h i c hi sc a l l e dt h e e l e c t r o m a g n e t i c - t h e r m a lm o d e l f i n a l l y , w es i m u l a t e dt h em a t t e r si nt h em i c r o w a v ef i e l do f t h ed i f f e r e n tp o w e r a n dt h ed i f f e r e n tf r e q u e n c y w i t ht h em i c r o w a v eh e a t i n gm o d e lt h a tc o n s i s t so ft h e e l e c t r o m a g n e t i ca n dt h e r m a lt m a s 3 x ) r gt h et w o - d i m e n s i o nt e m p o r a m r ed i s t r i b u t i o n s a r es h o w e d t h er e s u l t sa n dd i s c u s s i o n 眦g i v e ni nt h ep a p e r l m aa n df t o n e s s i m u l a t e dam a t t e ra n dt h el o a dw h i c h 啪sap h a n t o mm a t t e rg e l ，b u tw eo n l y s i m u l a t e dt h et e m p e r a t u r ed i s l r i b u t i o n so ft h eh e a t e dm a t t e r , s ot h er e s u l t s 躺b e t t e r t h a no n e se l l m aa n det o n e s t h i sm e t h o di sav e r yi m p o r t a n ti d e ai nt h ep a p e r i n t h es i x t hs e c t i o nw ed i s c u s s e dt h ew o r k s w h i c h w o u l db ed o n ei nt h ef u t u r e k e y w o r d s ：m i c r o w a v eh e a t i n g ：n u m e r i c a ls i m u l a l i o n ；f i n i t e - d i f f e r e n c e t u n e - d o m a i n ；e l e c t r o m a g n e t i c - t h e r m a lm o d e l ： 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进 行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除文中已经标 明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发 表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名巷第 2 酊萨岁月中日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文 的规定，即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论 文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权云 南师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保 存和汇编本学位论文。 学位论文作者签名：巷易 2 - 4 年岁月甲日 f 指导教师签名： 。2 刀莎年朋 微波场中温度分布的数值模拟研究 第一章绪论 1 1 微波加热的优点 随着人类科学技术的发展和社会的进步，特别是二次世界大战之后，微波 作为一种清洁高效的能源在工农业生产，医疗保健，生物环保，食品制造等方 面获得广泛应用。因此，材料科学与微波技术交叉结合而发展起来一种新型快 速烧结技术一微波烧结技术，为材料工业开辟了一片新的天地。5 0 年代美国 的v o nh i p p e l 在材料介质特性方面的开创性工作为微波烧结的应用奠定了基础 【1 1 。材料的微波烧结开始于2 0 世纪6 0 年代中期，l e v i n s o n 2 和t m g a t 3 1 首先提 出陶瓷材料的微波烧结，到7 0 年代中期，法国的b a d o t 和b e r t e a n d 及美国的 s u t t o n 等【4 1 开始对微波烧结技术进行系统的研究；8 0 年代以后，各种高性能陶 瓷和金属陶瓷材料得到广泛应用，相应的制备技术也成了人们关注的焦点。 微波烧结是采用微波直接与物质粒子( 分子、离子) 相互作用，利用材料 的介质损耗使材料直接吸收微波能量从而得以加热烧结【5 坤l 。与传统的加热方式 相比，由于其对不同的介质的吸收能力不同，有些介质是绝缘的，有些电导率 和极化损耗适中的损耗介质，微波既有一定的渗透度，、又有相当的吸收可以加 热，所以可以选择性的进行加热。微波加热时，微波进入介质内部直接与介质 作用，依靠介质损耗吸收微波能量而升温，具有体积性加热的特点。而传统的 加热方式是由外部热源通过对流、辐射将热量传到样品表面，然后再通过热传 导向内部传递热量。微波烧绪同常规传导、辐射、对流加热方式相比，具有内 外同时加热、升温快、加热具有瞬时性和选择性、节约能源、提高生产效率、 符合环保要求等一系列优点；因此，微波烧结的优势逐渐为人们所认可。 虽然微波加热有很大的优点，并且得到广泛的应用，但是其作用机理( 微 波损耗能量如何转化为能量) 还不是完全清楚嗍，微波加热过程的分析和数值 模拟相对发展缓慢。而这类数值模拟在实际生产中又是极其重要的。数值模拟 的难点在于被加热的材料参数，如介质参数等往往是温度的复杂函数1 7 , 1 0 , n , 1 2 1 。 因此，对微波加热过程，采用合适的电磁数值算法分析其电磁模型并结合热模 型来建立新的电磁一热模型的工作很有意义。由于材料的介电常数依赖于温度 和外场频率的变化，因此数值模拟计算必须联立求解电磁场方程( m a x w e l l 做波场中沮度分布的数 f i t 模拟研究 e q u a t i o n ) 和热传导方程( f o u r i e re q u a t i o n ) 才能得到问题的解，而热传导方程 与电磁场方程是通过单位体积材料中耗散微波功率来联系的。 1 2 微波热模型分析方法及f d t d 应用背景 2 0 世纪7 0 年代以来，由于计算机技术的飞速发展，计算电磁学获得了迅 猛发展。相对于解析方法，数值方法能过解决很大一类计算巨大，结构复杂而 解析方法难以或无法得到精确结果的问题【1 3 】。 考虑微波热效应过程，完全可以分离为电磁过程和热过程“7 】。微波作用 于被加热物体，由于材料电特性使微波产生耗散，于是电磁能转换成为热能。 转换的热能相当于一个热源，于是材料的温度会不断升高，温度的变化往往又 会影响材料的电特性；电磁特性又会影响温度的分布，温度的分布又会影响材 料的电特性。这种模型的研究就是电磁场分布和温度分布两个过程。电磁场分 布问题和工程传热问题的数值模拟都分别比较成熟，对应的是分别对麦克斯韦 方程和热传输方程进行求解。研究微波加热模型就是选择合适的数值分析方法 求解这两个方程。 对于电磁模型，目前主流的数值分析方法【墉】按微积分处理方法主要分为体 积分方法( 如体积分方法，边界积分) 和微分方法( 有限元，f d t d ：t h e f i n i t e - d i f f e r e n c e t l m e d o m m n m e 也o d 等) ；按时频域分为时域方法( 如f d t d ) 和频域方法( 如有限元，矩量法等) ；其它一类方法包括几何绕射法，物理光学 法等。在应用上述方法分析微波加热模型中的电磁问题时，有限元，矩量法， f d t d 等都是目前热门的数值算法，但是考虑到微波热模型中电参数为时变函 数和热模型时间延续性的特点，采用时域有限差分法更为合适。f d t d 方法的 基本思想是由k s y c e 【1 9 】于1 9 6 6 年在分析金属圆柱的电磁散射时提出的，他在 文章中给出了f d t d 方法的单元网格和差分方案。但是，由于计算机技术的限 制，没有被引起重视。直到1 9 7 5 年，a t a f i o v e 2 0 在其研究u h f 和微波对眼球 的穿透即引发“白内障”的课题时再次应用和发展了f d t d 。此后，得益于计 算机技术的发展，有关f d t d 方法的应用和研究成果不断出现，f d t d 方法已 经成为当前计算电磁学领域最热门的方法之一。 微波场中沮度分布的数值模拟研究 f d t d 方法直接对时域m a x w e l l 旋度微分方程进行数值离散，它的巧妙之 处在于1 1 3 】：对电磁场雪、露分量在空f 司和时间上采用交叉抽样离散方式，每一 个e ( 或圩) 场分量周围有四个詹( 或雷) 场分量环绕，应用这种离散方式将含 时间变量的麦克斯韦方程转换为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解 空间电磁场。在计算中将空间某样本点的电场( 或磁场) 与周围格点的磁场 ( 或电场) 直接相关联，且介质参数已赋值给空间每一个元胞，因此这一方法 可以处理复杂形状目标和非均匀介质物体的电磁散射、辐射等问题。 数值模拟微波加热问题的总体思想是：首先，在f 0 时刻根据加热空间中各 点的电特性，加载一定的微波功率，计算出各点的微波损耗并进一步转化为热 量；然后，将得到的热量值代入到热模型中。得到各点的温度。根据各点温度， 利用电介参数随时间变化的公式得到下一时刻 的材料电特性参数并再次重复 计算损耗功率，如此重复进行下去，直到完成加热时间并输出温度值。流程图 如下： ” 图1 - 1 ：微波加热数值模拟流程图 l v i a 等f 2 1 1 人研究了微波传导热模型，假设被加热物体里面的场变化规律 在加热过程中仍保持正旋变化规律。由此将场建立的过程分为瞬态和稳态，其 区分标准是被加热物体里面的总损耗能量是否保持不变；当到达稳态时，就用 此刻的场分布来求单位体积的转化能量，代入热模型求解温度分布。如此反复， 最后得到需要的各个时刻的加热物体温度分布。在f t o r t e s 等人1 1 1 的文章中， 他们研究了复介电系数的d e b y e 松弛方程，在电磁场方程的离散和热传导方程 散波场中沮度分a i r 的教1 1 模拟研究 离散的结合中采用e t o r r e s 等人提出的时问压缩因子口，使模拟的时间大大缩 短；他们用这种方法重复了l v i a 等人的工作，表现出了比较好的效果a 在本论文中，采用f d t d 方法对微波加热的物体进行了数值模拟研究 2 2 - 2 4 1 ， 并运用t u r b o c 语言编写了计算程序 2 5 - 2 7 】。对比了不同频率，不同功率，不同 热传导系数和不同加热时间情况下加热物体的温度分布。在l m a 等人和f t o n e s 等人所作的工作中，他们是对整个微波空间进行模拟，在加热物体的温 度分布图中，不能明显地表现出物体内部温度分布的不同；但是在本论文中， 仅仅模拟了加热物体部分的温度分布，这样很明显地就把温度的不同表现出来 了。 1 3 本论文的内容安排 在本文中我以微波热模型为研究对象，建立了完整的电磁热模型，采用 f d t d 方法对其进行了数值模拟研究，我们运用口系数的方法重复了m a 等人 的工作。给出了数值模拟的温度分布结果。论文安排如下： 第一章，论述了微波加热的优点，并且研究了应用微波加热模型的必要性， 选取f d t d 方法进行分析的可行性和f d t d 方法的发展历史及应用背景，应用 f d t d 方法分析微波加热的研究进展和成果。 第二章，主要介绍了应用f d t d 方法求解实际电磁问题所必需的f d t d 方 法基本理论，从m a x w e l l 方程出发导出了时域有限差分方程；并对数值稳定性， 激励源的设置，边界条件，数值色散特性这些关键问题作了简述。 第三章，简述了传热学的基本理论，以微波热问题中常见的传导热模型为 例，利用y e e 网格建立了热传导方程的离散差分形式。 第四章，在利用现有的电磁模型和热模型的基础上，我们建立了合理的电 磁一热模型，将单位体积的耗散功率代入热模型进行求解，然后利用温度分布 更新介质的损耗参数，重新进行电磁问题求解。 第五章，应用上面介绍的电磁热模型，分析了微波加热物体的二维情况， 编写程序计算了物体内部的温度分布，并用可视化的方法表现出来。 第六章，总结了本文的工作，指出了这种电磁热模型的一些不足，和对 本工作的设想。 散波场中遏z l r , , 分布的欺a 1 模拟研究 第二章f d t d 方法的基本原理及形式 1 9 6 6 年k s y 曲首次提出了一种电磁场数值计算新方法对域有限差 分法。对电磁场雷、豆分量在空间和时间上采用交叉抽样离散方式，每一个e ( 或 日) 场分量周围有四个雷( 或雷) 场分量环绕，应用这种离散方式将含时间变量的 麦克斯韦方程转换为一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场。 y e e 提出的这种抽样方式后来被称为y e e 元胞。f d t d 方法是求解麦克斯韦方 程的直接时域方法。在计算中将空间某一样本点的电场( 或磁场) 与周围格点 的磁场( 或电场) 直接相关联，且介质参数已赋值给空间每一个元胞，因此这 一方法可以处理复杂形状目标和非均匀介质物体的电磁散射、辐射等问题。同 时，f d t d 的随时间推进可以方便地给出电磁场的时间演化过程，在计算机上 以可视化结果清楚地显示了物理过程，便于分析和设计万 麦克斯韦方程组是支配宏观电磁现象的一组基本方程；这组方程即可以写 成微分形式，又可以写成积分形式。f d t d 方法是由微分形式的麦克斯韦旋度 方程出发进行差分离散。 2 1时域有限差分方法 2 1 1m a x w e i l 方程及其y e e 元胞 m a x w e l l 旋度方程f 1 3 2 司为 v x 豆：丝+ 了 a v 小一詈一厶 其中， 豆为电磁场，单位为伏特，米( v m ) ； 西为电通量密度，单位为库仑米2 ( c m 2 ) ； 詹为磁场强度，单位为安培米( a m ) ； 秀为磁通量密度，单位为韦伯米2 ( w b m 2 ) ； 了为电流密度，单位为安培，米2 ( a m 2 ) ； ( 2 1 ) ( 2 - 2 ) 徽波场中沮度分布的载值模拱研究 无为磁流密度，单位为伏特，米2 ( v m 2 ) ； 各向同性线形介质中的本构关系为 西= e e “，b 。= 蔺。j = o 卺，j 。= o 。嚣 其中占表示介质介电系数，单位为法拉，= 米( f 恤) ：表示磁导系数，单位为亨 力，米( 瑚m ) ；o - 表示电导率，单位为西门子，米( s ，m ) ；o - 。表示导磁率，单位 为欧姆，米( q ，m ) 。仃和分别为介质的电损耗和磁损耗。真空中盯= 0 ， o m = 0 ，以及 占= 占o = g $ 5 x 1 0 一”f m ；= o = 4 刃r x l o q i - l m 在直角坐标系中m a x w e l l 旋度方程的形式可以写为【1 3 】 以及 鲁一誓= 叫警一t t 以 = 一二- = 一f i ：一 ，f 甜佬 口 誓罢= 叫要o r 一呐亿甜 鼍一鲁= 叫睾o t 一吼 = 一：= 一f z i 一，h 瘦们 ( 2 - 3 ) 我f f l 令f ( x ，y ，z ，f ) 代表雷或雷在直角坐标系中某一分量，在时间和空间域 中的离散取以下符号表示：f ( x ，弘2 ，f ) = f ( i a x ，j a y ，k a z ，n a t ) = f ”( _ ，七) 对，y , z , t ) 关于时间和空间离散，利用一阶偏导数取中心差分近似公式， 即 6 啦 鸣 喧 强一西哆一研啦一西 占 s 占 可 钉 甜 呱i啦卜毽氓一钞 旦钞盟如吗l蕊 微波场中沮度分布的散值模拟研究 堑g ：兰! 型l：尘：丛2 二：垒二i ：竺 舐 j ，m a x 堑! 墨苎! ：垒i：坠圭! 竺二：堡二i ：竺 砂l 肿 缈 0 f ( x , y , z , t ) i ：坚! 韭曼二：垒! 缝二塑 如 i ；姚 z 宣竖苎圣垒l：兰垡! 盟= ：二f ! ! 占墨! ( 2 - 5 ) 在f d t d 离散中电场和磁场各节点的空间安排如图2 1 ，这就是著名的y e e 元胞。由图2 1 可见每一个磁场豆的分量由四个电场豆的分量环绕；同样，每 一个电场豆的分量由四个磁场豆的分量环绕( 例如：吼被两个e x 和两个e ，环 绕；e ：被两个且和两个日，环绕) 。这种电磁场分量的空闻取样方式不仅符合 法拉第感应定律和安培环路定律的自然结构，而且这种电磁场各分量的空间相 对位置也适合于麦克斯韦方程的差分计算，能够恰当地描述电磁场的传播特性。 此外，电场和磁场在时间顺序上交营抽样，抽样时间间隔彼此相差半个时间步， 使麦克斯韦方程离散以后构成显式差分方程，从而可以在时间上迭代求解。因 此，给定相应电磁场的初始值，应用方程的f d t d 差分形式就可以逐步推进的 求得以后各个时刻各点的电磁场值。 图2 - l ：f d t d 离散中的y e o 元胞 2 1 2 直角坐标系中的f d t d 形式( 以三维情况为例) 标记网格定点的坐标为( f ，_ ，七) = ( 洫，j a y ，尬) ，其中，缸、缈和z 为网 格沿x 、y 、z 坐标方向的空问步长，x 、) ，、z 取整数。在时间上，一代表n a t 饿波场中沮度分布的数值模拟研究 时刻，a t 为时间步长我们对电场在砖f 时刻采样取值，对磁场分量在n a t 址 时刻采样取值。这样，任意时间和空间的场量都可以类似标记为 f ”( i ，_ ，k ) = f “t ( i a x , j a y ，k a z ) 那么，我们就可以利用一阶导数的中心差分公式( 2 5 ) 将m a x w e l l 方程写 为f d t d 形式如下【2 5 1 ： 狮泓) 丛盐笺必 州f + 批七) 型盟丛婪塑生迪 ：垡兰g ：! 盟= 垡兰坚：二! 盟 缈 一堡：垫丛! 塑墨兰唑：垡二塑( 2 妨 上式中用了平均值近似，即 + ( ，j , d ：型坠丝婪型生盟 ( 2 - 7 ) 实际上这一平均值方法使f d t d 随时间推进算法具有数值稳定性。将上式整理 后可得 域“o + ，工d ：c x ( 肌) 霹o + ，工助 删删) f 型鳢盟等丝迎塑 一型堕坐喾丝些叫 式中 占( 哟盯( m )1 一! ! ! ! 竺 脚，2 巫a t 砸22 矗釜 ， 微波场中沮度分布的数值模拟研究 ”硒15 叠盏 任，。， 上式中的标号m = a + ，工七) 。同样，其它的式子离散后的形式为 髟n “( t ，+ ，= c o 呐彤a ，- ，+ ， + ( 4 型鱼生丝学塑幽 lz 一型鱼型堂掣监趔 缸l 式中所= ( l ：，+ ，七) ； 霹“( i ，_ ，_ | + 土) = c 4 ( m ) 彰( 工七+ 如 + 咧聊) l 堕：垫丛! 塑二堡：垫二垫! 塑 i a x 一型堕皑皆删 式中m = g 工七+ 如。 同样，设观察点如弘力为也的节点，即( f + ，k + ) 懒j t = n a t ，于 是 碳嘎( f ，+ ，七+ 工) ：c p ( m ) 嘎( ，+ ，i + 曲 一c q ( 研) i 丛塑竺娑堡幽 l ， 一坐型等盟幽l c 那， 式中m = ( _ ，+ 号，k + 9 日；+ o + 吉，七+ 如= c p ( 朋) 日；一( i + ，j ，k + 扣 一倒一旦丝型掣兰幽 lz 9 徽波场中沮度分布的数l i t 模拟研究 e ：o + 1 ，j ，_ | + ) 一e ；( f ，j ，七+ 如l a x i f 2 - 1 4 ) 式中m = o + ，j ，七+ 如 日：+ ( f + ，j + ，的：c p ( m ) h ：一( f + 号，j 十号， 一蚴) 业坐掣 一盟垃等塑地i 式中m = o + ，+ 古，七) 。上面三个式中系数c p ( m ) 、c q ( m ) 分别为 j u ( m ) 一! 型 c p ( m ) 2 巫a t 晒2 出2 ：la 丝= ( m ! 型) a t l + ! ! ! ! ! 竺 2 p ( m ) a t ：岂! 生 1 + a ( m ) a t 2 _ ( 神 ( 2 - 1 6 ) r 2 1 7 ) 上面式子( 2 8 ) ，( 2 - 1 1 ) ，( 2 - 1 2 ) ，( 2 1 3 ) ，( 2 - 1 4 ) 和( 2 - 1 5 ) 为f d t d 中磁场的 时间推进计算公式，也是基本公式。 i 若已知& = t o = n a t 时刻空 i 问各处值 j r l 适箩! ：t l t f 2 时刻空 i 问各处e 升布 上 懦熬青岛在叫2 时刻空 - j 图2 - 2 ：f d t d 在时域的交叉半步逐步推进计算 根据上述f d t d 差分方程组可得出计算电磁场的时域推进计算方法，如图 2 2 ，我们得到y c e 算法的电磁场时域有限差分方程，任意点某个时刻的电磁场 分量值是由上个时刻该点的场值和上个时刻该点周围的磁电场分量场值决定。 y c e 算法的场值分布也满足y e e 网格上执行f a r a d a y 和a m p e r e 定律。不难证明， i o 散波场中沮度分布的数值模拟研究 y e e 算法中的电磁场值在时问和空间上具有二阶精度，并且电磁场值传递的速 度是每个时间步长传播一个空间步长。场值从源点不断传出，时域有限差分法 正是在时间坐标轴上模拟了电磁场现象的发生过程。给定一个计算空间，应用 f d t d 算法就能得到该空间任意时刻的电磁场分量值。根据这种算法得到的值 我们可以分析如q 值等电磁场信息。 2 1 3 介质界面电磁参数选取 由于m a x w e l l 方程微分形式在介质参数突变面处失效，通常电磁场问题处 理中需要用到边界条件。这里，我们考虑f d t d 中有介质参数“”突变的处理方 法。如图2 - i 所示，我们来考虑式( 2 3 ) 和( 2 - 4 ) ，注意它们的离散是以雷、疗各 分量节点所在位置为中心来进行的。对于图2 3 所示界面，日。和e 。e ：节点 正好位于界面上。对式( 2 3 ) 和( 2 - 4 ) 离散时涉及界面两侧电磁场其它分量，而界 面两侧介质参数分别为q 、0 1 、a 。和占2 、0 2 、2 ，所以需考虑离散中介质参 数应当如何取值h 广日：和e 节点不在界面上，其离散可按正常方式迸行。 ， 或 新辩鬃点 q1、弓2 一 “一1 j + l ，2 ，岣酗j + i ，2 蔚 的，而磁场分量总是切向的。当e 、e ：为介质界面上切向电场分量时，通过 l 二蓑 。， 仃矿2 彳j 饿波场中沮度分布的数值模拟研究 对介质界面上的法向磁场，其f d t d 迭代公式中涉及到磁导率，为了减少突 变，我们同样采用界面两侧介质磁参数的平均值作为界面上节点的等效参数， 。物二差：卜 叻 = 垒产| _ 由此可见，只要在介质分界面处引入等效电磁参数，便可直接应用麦克斯韦旋 度方程的f d t d 方程组。换言之，处理散射或辐射问题时，在整个计算空间均 可应用f d t d 差分方程组，但对于那些位于介质分界面上的节点，有关介质电 质边界上，我们总是取与这个场分量所有相邻网格的电磁参量的等效值，即平 译m = 。骢雹籼e 亳骢雹d s e m = 氐骢叠如p 畚驱毳出 f 2 2 0 ) 将兵弟一式禺敢n - j 得 一日：+ 必o ，+ ，粤+ 1 ) + ( f ，j 一圭，_ | + 曲卜 + 卜彰+ o + 批七+ 1 ) 一h y 一( f 一批| + ) p ：c r ( i ，_ ，七+ 1 ) + 必( f ，七+ ) 蛐 埔m + 曲蛐盟型鼍等型堂 上式可以整理成为( 2 2 7 ) 的形式。我们可以知道所研究的角点的占( f ，i ，七+ 上) 和 仃g 工七+ 上) 值，其实就是环绕它的四个元胞中心点介质参数的平均值，即 占g 工j + 上) = 去k ( f 一号，+ ，七+ ) + 占。一 ，一号，七+ ) + 占u + ，_ ，一号，七+ 如+ f o + ，+ ，j + 1 ) 】( 2 - 2 2 a ) 盯( 工j i + 曲= 去b ( f 一号，+ 圭，七+ 曲+ 盯( f 一号，歹一，七+ 上) 1 2 微波场中沮度分布的数值模拟研究 + 口a + ，一 ，七+ 上) + 仃u + ，+ 吾，量+ 圭) 】( 2 2 2 b ) 同理，角点处的声( i ，瓦_ | + 劳和a _ ( i ，j ，七+ 值，是其两侧元胞的中心值的平均， 如下 ( f ，j , k + 抄= 委如( j ，j ，k + 1 ) + ( j ， 妁】( 2 - 2 3 ) c r ( i ，工k + 曲= 妻【o _ ( f ，j ，k + 1 ) + 吒( i ，j ，枷( 2 - 2 4 ) 由此可得结论：根据f d t d 中y e e 元胞电场和磁场分量节点的排布( 如图 2 - 1 ) ，若各元胞电磁参数以元胞中心为样本值，则f d t d 电磁场分量随时间迭 代公式中所用8 和口应取电场分量所在元胞棱边环绕的四个元胞相关介质参数 的平均值，而和吒则应取磁场分量所在元胞表面两侧两个元胞相关介质参数 的平均值。 上述关于f d t d 计算中等效介质参数的讨论也适用于二维情况，表明介质 参数的等效方式与y e e 元胞的构形以及介质电磁参数离散时元胞代表点的选取 有关。 2 2 数值稳定性 时域有限差分方法是以一组有限差分方程来代替麦克斯韦旋度方程，即以 差分方程的解来代替电磁场偏微分方程组的解。但是，只有离散后差分方程组 得解是收敛和稳定的，这种代替才有意义。收敛性指当离散间隔趋于零时，差 分方程的解在空间任意一点和任意时刻都一致趋于原方程的解。稳定性是指寻 求一种离散间隔所满足的条件，在此条件下差分方程的数值解与原方程的严格 解之间的差为有界。 从m a x w e l l 方程可导出电磁场任意直角分量均满足其次波动方程f 1 3 】 窘+ 斋+ 害+ 等，= o ( 2 - 2 s ，锄2 却2 瑟2 。e 2 。 。 考虑平面波的解，即 ，( x ，y ，：，t ) = f oe ) 币卜- ( k x + b ) ，+ 七：= 一耐) j ( 2 - 2 6 ) 然后采用有限差分近似，波动方程的二阶导数近似为 微波场中沮度分布的数值模拟研究 鲁z 趔生篙掣 叙2 ( 缸) 2 、 害。盟铲产喾s ， 警+ 喾警手 争2( 争2争2 ， 其中c = ；一为介质中的光速。这一等式给出波动方程离散后的平面波( 2 2 5 ) 掣 中波矢量i - - ( k ，k ，屯) 与频率国之间应满足的关系式，即色散关系。上式又可 = 学2 s ，q 。 上面的式子用到了。争2 l ；它对任何t 、屯和t 均成立的充分条件是1 怯+ 击+ 剖 即 c a t ( 2 - 3 2 ) 这就是空间间隔和时间离散间隔应该满足的关系【1 3 0 0 川，又称为c o u r a n t 稳定性 条件。如果所划分的网格是均匀的，即a x = 缈= 止= 艿时，那么 出= 击 ， 1 4 警堂够等 微波场中沮度分布的教值模拟研究 2 3 吸收边界条件 由于计算机容量的限制，f d t d 计算只能在有限的区域中进行。为了能模 拟开域中电磁场散射问题，在计算区域的截断边界必须给出吸收边界条件 ( a b s o r i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，简写为：a b e ) ，即电磁波可以没有反射( 或散 射) 的顺利射出或被全部吸收。 2 3 1 吸收边界条件的简述 自由空间中的电磁场分布于全空间，为了用f d t d 模拟计算其散射过程， 我们只能截取空间有限区域进行分析。计算模拟只限于截断边界以内区域，这 就相当于以有限空间实验室的散射实验来模拟自由空间中的散射过程。这时只 有在实验室的墙壁上敷以吸波材料，使波在此界面上无反射，形成微波暗室。 因此，在计算中给出截断边界处所设置的吸收边界条件就起着截断边界处吸收 入射波的作用。 吸收边界从开始简单的插值边界，到后来广泛采用的m u r l 3 6 吸收边界条件， 以至近几年发展的完全匹配层( p e r f e c t l y m a t c h e d l a y e r ，简写为：p m l ) 吸收边 界条件，其吸收效果越来越好。 波动方程的时域形式为 弓丢专争+ 三争卅。= 。 co x 讲c c 冒一zc l l ，一 1 对于t e 波，波动方程令，= e ，得 咕去专罢0 7 哇争0 3 l = 。 cd 坝c 一一z i 将式( 2 - 3 ) 式的第一式( 设= 0 ) 代入，上式变为 堕一三婆c u0 2 h x l ：o l 蝴c a t 2 2 彬j 将上式对，积分，并设初始时刻场为零，可得 陪丢詈一等等l = 。 ( 2 - 3 4 ) r 2 - 3 5 ) ( 2 - 3 6 ) f 2 - 3 7 ) 微波场中温度分布的戡值模拟研究 对于t e 波，将e ：代换为日：可得 降丢警掣2 刳- 。 ， l 缸 ca 砂l 。 下面我们讨论m u r 吸收边界条件的f d t d 离散式。将二维t e 元胞绘制如 图2 4 所示，并设血= 缈= j 。注意这里设元胞的左侧为截断边界。t m 波时 的一阶近似式 陪a e c 刳。一。 口， f 融 研f 一 。 将上式在( f + 必，j ) 点和t = ( n + y g a t 时刻作离散，各项为 到”x ：竺! 生! ! 盈二墨丝塑1 差i 妇一掣峨，二册蝴到：型尘：立二垡尘：韭i 西i ，蝴 艿 j ( 2 - 4 0 ) 为了消去上式中疋在u + 鼢和o + 殇半整数点处的值，利用线性插值关系 巩鹕：望盟掣型业i 啪妫：盟霉勉 g 。4 ” 将( 2 - 4 0 ) 、( 2 - 4 1 ) 式代x ( 2 3 9 ) 式得 去陋+ l ( 川，d + e ( ，护矽o ，d e ) 】 一击时( ，卅矽( f 护霹o + 1 加剐】= o ( 2 蚴 整理后得 掣= e ( i + 1 ，j j + 面c a t 万- t 5r ( f + 1 ，j ) 一e ( 洲 ( “3 ) 对照图2 4 可见，位于左截断边界上的节点值是用区域内部节点值及前一时刻 边界上节点值来表示，不涉及截断边界以外的场景。 对于t m 波m u r 吸收边界条件的二阶形式( 2 3 6 ) 式，其f d t d 离散式比式 ( 2 - 4 3 ) 多一项，即 剩“必：堡塑丝盟警塑生垃( 2 - 4 4 ) o yk 占 微波场中沮度分布的数仉w t - 双研咒 同样，为消去上式中日，在o + 必) 半整数点处的值，利用线性插值关系 h t r , ( i + 一 ) ：堕坠丝掣笪逸业 ( 2 将( 2 - 4 0 ) 、( 2 - 4 1 ) 、( 2 - 4 4 ) 、( 2 4 5 ) 式代入( 2 - 3 6 ) 式，经整理后得 矽) = 剐+ l ，d + ! 垒c a 型t + 矿k 州( f + 1 驴跳州一蛊 + x h ? 托q ，j + 净一h ? 托q ，j 一曲+ h ? * o + 1 ，j + 令 一月：+ k o + 1 ，一如】( 2 - 4 6 ) 椭追靠 丁 。l + u a ) 1 图2 - 4 ：处于左截断边界的二维t m 兀腮 在二维t m 情况下，电磁场除了e 还有也和日，。由图2 4 可见，在用f d t d 计算边界处的t m 元胞县：+ x o ，+ 9 和日；+ x o + 号，) 时并不涉及截断边界以外 雷或豆的节点，只有彰“( f ，力涉及截断边界外侧的疗节点。因此，只需要给出 边界处切向场分量e ，的吸收边界条件。最后，如果所计算区域为矩形0 s x 口、 0 y 6 ，则存在四个截断边界。以上只讨论了x = 0 的左侧界面的吸收条件， 对于其余三边有相似的结果。 2 3 3 二维角点的处理 在二维矩形计算区域的角点，吸收边界条件的离散式需特殊考虑，图2 - 5 给出位于矩形区域左下角点处的t m 元胞。对于角点( f 0 ，矗) ，若果用上面所给 公式无法应用，所以下面导出适用于角点的吸收边界条件。 徽波场中强度分布的数1 1 壤擞研究 首先，相对于原坐标系z 0 少旋转4 5 0 建立新的坐标系妒，7 。设角点处的截 断边界与，7 轴平行。于是，m u r 一阶近似吸收边界条件在矽，7 系中为 等一三誓：0 ( 2 - 4 7 ) 8 c 魏 仿照上节的离散步骤，在元胞中心p 点处和r = 0 + 必) 时刻离散，有 剖了x = 必业产 c z 删 a 孝f p 2 占 pw w 旦到”叫：丝n + l ! ! ! 二竺! n ! ! ! 西i p a t ( 2 - 4 8 ” 注意元胞中心点p 到角点的距离为2 2 。在利用线性插值 霹( d ：塑丛型警丛逊l 霹叫( i o ， ) ：墨! 鱼她f q 4 将式( 2 - 4 8 a ) 、( 2 4 8 b ) 和式( 2 - 4 9 ) 式代入( 2 4 7 ) 式，整理可得角点的吸收边界条件 掣1 瓴， ) = e 编+ l ，矗+ i ) + 而c a t - j 2 d 7 k 鼍“( 矗+ l ， + 1 ) 一e ：( i o ， ) j ( 2 5 0 ) 上面涉及角点( i o ，o ) 及对角点( j o + 1 ，歹。+ 1 ) 。对于其它三个角点作类似处理，只 需将上式中角点与对角点的坐标作相应更换即可。 tt占，。，0卫 散波场中沮度分a l r 的数值模撤研究 对于三维情况，除了考虑8 个顶点外，还必须考虑1 2 条棱上点的计算。在 这里不再详述，仅仅给出棱边y = ， 缈采用一阶近似吸收边界条件，即n e ；“( 矗， ，七十 ) = e ( i o + 1 ，_ ，o + 1 ，k + ) + 型c a 也t + 压8 f t f ”+ | 瓴+ l ，矗+ 1 ，七+ 圭) 一e 瓴，矗，七+ ) 】 f 2 - 5 1 ) 2 3 4b e r e n g e r 完全匹配层 完全匹配层( p e r 】枷y m a t c h e d l a y e r 简写为：p m l ) 首先由b e r e n g e r m 挑1 提出。通过在f d t d 区域截断边界处设置一种特殊介质层，该层介质的波阻抗 与相邻介质波阻抗完全匹配，因而入射波将无反射地穿过分界面而进入p m l 层。并且，由于p m l 层为有耗介质，进入p m l 层的透射波将迅速衰减，即使 p m l 为有限厚度，它对于入射波仍有很好的吸收效果。实际计算中，完全匹配 层也是一种常用的吸收边界。 以二维t e 波为例，在p m l 介质中，假设将磁场分量日：分裂为两个子分 量日。和日。，且日：= 日。+ 日。因而，可以将麦克斯韦方程改写为以下形式： 岛鲁+ t e = 掣 氏鲁+ 嘭b = 一坚掣 肌警+ k 比= 一誓 等峨卟等 i 。 k一 ；。 ；芦 图2 - 6 ：p m l 介质中的t e 平面波 ( 2 - 5 2 ) 微波场中沮度分布的散值模拟研究 考虑如图2 - 6 所示t e 波，其电场幅值为e 0 ，电场与_ ) ，轴的夹角为缈。用日。 和日硼分别表示磁场子分量日。和日。的振幅。设平面波在p m l 介质中传播， 四个场分量可以表示为 e = 一e o s i i i 妒e x p l ，o c 一肋j 1 e h 薹z e 呻x p j o j 国( t 2 端1 ， 。= 日m一似一黝jf ”7 日= 日珊c x p 【，郇一