（基础数学专业论文）强不定椭圆方程组和全空间上临界方程的研究.pdf

摘要 本文主要研究了一类有界区域上的的强不定方程组解的存在性问题以及一 类全空间上的临界方程的全局紧性结果。 在第一章中，我们主要介绍半线性方程已有的研究成果，并对已有成果在研 究过程中遇到的困难以及如何克服这些困难进行一个概述。 在第二章中，我们主要研究光滑有界区域上强不定方程 + j ( x ，口) 刃q ， 十g ( x ，札) z q ，( 1 ) 私= 口= 0 ，2 a q ， 解的存在性问题，其中q 是r 中的光滑有界区域，入b a a b + 1 a 知是一算子 在q 上取狄利克雷边值条件的第尼个特征值。首先，我们将研究( x ，口) 和9 ( z ，u ) 在无 穷远点渐进线性的情况，证明在适当的假设条件下，方程( 1 ) 至少存在一个非平凡 的解。其次，我们将探讨( x ，钞) ，9 ( z ，u ) 在无穷远点超线性的情况，证明在适当的 假设条件下，方程( 1 ) 至少存在一个非平凡的解。本文的主要结果已经在e l e c t r o n i c j o u r n a lo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 第2 0 0 8 卷上发表。 在第三章中，我们将证明全空间上的临界方程 饥-au日-+，。a。乏(x)，u=i让12一2让+g(z)|tlp一1珏zr 的一个全局紧性结果及相关的推论。本章的主要结果即将在n o n l i n e a ra n a l y s i s t m a 上发表。 关键词：强不定半线形椭圆型方程组，存在性，( v s ) 条件，c e r a m i 条件，全局 紧性结果 s o m er e s u l t so ns t r o n g l yi n d e f i n i t es e m i l i n e a re l l i p t i c s y s t e m sa n dc r i t i c a le q u a t i o ni nr n y i n gy e ( m a j o r e di nm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f y a n gj i a n f u i nt h i sp a p e r ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c er e s u l t so fac l a s so fs t r o n g l y i n d e f i n i t es e m i l i n e a re l l i p t i cs y s t e m sa n ds e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m si nr i nc h a p t e r1 ，w eg i v eas u m m a r yt ot h es t u d yo fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s w e d e s c r i b et h em a i nd i 伍c u l t i e si nt h er e s e a r c ho ft h e s ee q u a t i o n s a n dg i v et h ei d e a st o o v e r c o m et h e s ed i 伍c u l t i e s i nc h a p t e r2 ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so f l - a u = a u + ( x ， ) z q ， l 一a v = a v + 夕( 茁，缸) z q ， ( 2 ) i 【让= 口= 0 ， z a q ， w h e r eqi sas m o o t hb o u n dd o m a i ni nr n ，n 3 ，入b a 入+ 1 ，a 知i st h ek t h e i g e n v a l u eo f 一i nqw i t hz e r od i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n f i r s to fa 1 1 w es t u d y t h ee x i s t e n c er e s u l to f ( 2 ) w i t hb o t h ，( z ，移) a n d9 ( z ，牡) a r ea s y m p t o t i c a l l yl i n e a ra t i n f i n i t y t h ep r o b l e m ( 2 ) i sp r o v e dt op o s s e s sa tl e a s to n en o n t r i v i a ls o l u t i o nu n d e r s o i n ea s s u m p t i o n s n e x t ，w ed i s c u s st h ee x i s t e n c er e s u l to f ( 2 ) w i t hb o t h ( x ，口) a n d 9 ( z ，t i ) a r es u p e r l i n e a ra ti n f i n i t y p r o b l e m ( 2 ) i sa l s op r o v e dt oh a v ea tl e a s to n e n o n t r i v i a ls o l u t i o nu n d e rs o m ea s s u m p t i o n s t h em a i nr e s u l to ft h i sp a p e rh a sb e e n p u b l i s h e di ne l e c t r o n i cj o u r n a lo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nc h a p t e r3 ，w ee s t a b l i s ht h eg l o b a lc o m p a c t n e s sr e s u l to f t h ec r i t i c a ls e m i l i n e a r e l l i p t i cp r o b l e m ia u + d ( z ) 让= i 仳1 2 一2 珏+ q ( x ) l u l v 一1 t z 1 1 王， it 工日1 ( r ) ， a n dp r e s e n ts o m ee x i s t e n c er e s u l t s t h em a i nr e s u l t so ft h i sc h a p t e rw i l lb ep u b l i s h e d i nn o n l i n e a ra n a l y s i st m as o o n k e y w o r d s ：s t r o n g l yi n d e f i n i t e ，s e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m ，e x i s t e n c e ，( p s ) c o n - d i t i o n ，c e r a m ic o n d i t i o n ，g l o b a lc o m p a c t n e s s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意。 学位论文作者签名：签字日期：年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用 学位论文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期：年月 日 导师签名： 签字日期：年月 日 第一章引言 1 1研究的问题及主要背景 上个世纪以来，随着物理、几何和生物科学的发展，产生了大量的二阶椭 圆非线性方程和方程组，例如在量子力学中有薛定谔方程，几何中的y a m a b e 问 题，此外生物学中也有大量的半线性椭圆方程方程和方程组。研究这些方程或 方程组解的存在性问题成为了数学的一个重要研究领域。比如研究微分几何中 的y a m a b e 问题解的存在性，就知道是否在相差一个共形变换的情况下，存在具有 常数纯量曲率的黎曼度量，研究生物学中方程组也可以知道几类物种是否存在共 存状态。我们知道，对于常微分方程来说，一般都不存在显示解，即用函数把它 的解表示出来。偏微分方程的变量更多，变量所在区域也更加复杂，因此更难求 出显示解。因此，求解偏微分方程通常采用间接方法。通常的做法是在某个巴拿 赫空间或希尔伯特中证明方程存在弱解，再利用椭圆的正则性理论证明弱解就是 强解。至于在哪个空间中寻找弱解依赖于具体的问题。在证明方程弱解的存在性 中，最常用的方法是变分法。 变分法即通过找方程对应的能量泛函的临界点来找方程的解。它首先要求方 程具有变分结构，其次还要求方程对应的范函具有某种几何结构。例如，对于光 滑有界区域q 上的方程 ：三二_ 妒二茎二， c 1 1 ， 如果0 0 ，使得，b b 。2o r ； ( i i ) 存在e e b p ，使得j ( e ) s0 。那么j 存在一个临界值c2n 。其中c 可以 由下列极小极大值来刻画 c = i n f g e fu e m g ( 硒 o 砸) ， ( 1 3 ) ，1 】) 、川 、 其中 f = 扫c ( 【o ，l 】，e ) ：g ( o ) = 0 ，g ( 1 ) = e 引理1 1 可以应用到边值问题 f 一钍= u p ， z q ( 1 4 ) lu = 0 ， z a q ， 其中q 是中的光滑有界区域，l p 硒n + 2 。它对应的泛函是 ，( u ) = 互1 上i v 叫2d x 一未_ 二矿+ 1 d x ，“塌1 ( q ) 。( 1 5 ) 此泛函的二次项是正定的，因此有山路引理几何结构。另外，利用索伯列夫紧嵌 入定理，很容易验证此泛函满足( p s ) 条件。最后，用山路引理，可以找到此泛函 一个非平凡的临界点。 引理1 1 的一个推论是 推论1 2 设e 为- - 实b a n a c h 空间，c 1 ( 刀，冗) 满足( p s ) 条件。如果，有下界，那 么 c = i n f i 是j 的临界值 推论1 2 从某种程度上可以看作是e k l a n d 变分原理的推广，关于e k l a n d 变分原 理，可参考【1 2 】。这个推论可应用到最早的方程( 1 1 ) ，即o p l 的时候，此时的 能量泛函满足推论1 2 的条件，应用推论1 2 ，我们也可以找到泛函的一个非平凡 的临界点，从而找到方程( 1 4 ) 的一个非平凡解。 我们在应用山路引理的时候，要求泛函的二次项是正定的，如果问题( 1 4 ) 变为 ：全鼍一a 钆= 八甸三茎未， c 1 6 ， 其他条件不变，假定k a a ，使得1 i x p 那z a i 存在一个临界值c p ，此外，c 还 可以刻画为 c = i n 。fm a ；x ，( ( u ) ) ， h e ru e d 其中 f = c ( d ，e ) ：h l a d = i d ) 容易验证，只要，在原点超线性且有界，并且当_ o 。时f ( 乱) = 聒，( s ) d s _ o o 。能量泛函( 1 7 ) 满足鞍点定理的条件。 为了应用鞍点定理，我们要求问题( 1 6 ) 中的，有界，这个要求太苛刻，它甚 至排除了 - - a u ，- - 地卅二茎募 8 ， 这种最简单的非线性椭圆边值问题，其中q 是r n 中的光滑有界区域，1 p ，使得在q = ( 凰nv ) o ( ，- e ：0 r n o 边界上满足引a q 0 。那 a i - 存在一个临界值c 口，此外，c 还可以刻画为 c 。谢i n fm 。a q xi ( h ( u ) ) ，n it q 其中 f = 九c ( q ，e ) ：忍i a q = t d ) 在证明上面这两个引理的过程中主要要证明一个相交引理，证明的方法是应 用b r o w e r 度。由于b r o w e r 度只有紧同伦不变性，因此要求y 空间是有限维的显得 至关重要。 4 学位论文 当能量泛函的负定空问是无穷维的时候，例如在利用变分法证明方程 e 三 z q z q ， z 0 q ( 1 9 ) 的解的存在性的时候，其中q 是冗中的光滑有界区域，1 可n - 2 。因此研究由+ 甜1 祭的情况更有意义。此时泛函定义在分数维索伯列 夫空问e r ( q ) e 2 - - r ) ，0 r 2 上，因此此时我们需要在新的空间中来进行 空间分解，我们将在第三章中讨论这种情况。 用变分法寻找方程的解的时候的第二个重要的条件是( p s ) 条件。对于有界区 域上的次临界方程，由于有索伯列夫紧嵌入定理，所以只要证明了( p s ) 序列有界， 就很容易得到它有收敛的子列。但是，当我们想研究无界域上的半线性方程的时 候，情况通常就变得很复杂，无界域上的半线性方程解的存在性问题至今仍然是 一个重要的研究领域。无界域上方程解得存在性通常与区域的形状或拓扑结果有 关，例如，m j e s t e b a n 和p l l i o n s 在f 1 3 】中证明了一类方程在一类无界区域上没有 非平凡的解，后来人们就称这类区域为e s t e b a n l i o n s 区域。但是，当把这个区域挖 掉一个小洞以后，原来的方程却又有非平凡的解了，这就说明无界域上方程的解 的存在性确实与区域的形状有关。我们知道，最特殊的无界域就是全空间，因此 全空间上的各种半线性椭圆方程、薛定谔方程以及方程组是一类很重要的方程。 这类方程或方程组的能量泛函通常具有我们前面介绍的几种几何结构，但是这时 泛函通常定义在h 1 ( r ) 或w 1 巾( r ) 或类似的希尔伯特空间或巴拿赫空间上，嵌 6 学位论文 a h 1 ( 兄) ql q ( r ) ，2 q 鹩和嵌入1 ，p ( r n ) ql q ( r ) ，psq 业n - p 都。 是 不紧的，所以虽然我们很容易证明( p s ) 序列的有界性，但是通常很难证明( p s ) 序 列含有收敛的子列，也就是所( p s ) 条件在通常情况下不满足。那么如何克服这些 困难呢? 一种办法就是在区域具有某种对称性的时候，例如当区域是球对称的时 候，我们可以在球对称空间霹，( q ) 中研究方程。特别地，当q = r n 时，我们通常 在研( r ) 中来研究原来的方程。在【1 1 】和【2 9 】中，作者证明了硪，( q ) q 汐( q ) ，2 0 ， j 驯_ o o协l _ o o a ( x ) 占 0 ，6 ( z ) 0 ， m = i n f l ( i v 让1 2 + a ( z ) u 2 ) d x ：u 碥( 哦上) m p “= 1 ) ， 和 = i n f 上( i v u 2 + a u 2 ) 出：u 日1 ( r ) ，上吼r 1 = 1 ) f 2 5 】中的定理i 2 说明，m 的极小化序列在础( q ) 中是紧的当且仅当 m m ( 1 1 3 ) 第一章引言 7 二二- u = i u i p 一1 札二三二， c 1 1 4 ， 二三：，_ r 一1 t z r c 1 1 5 ， 讹) 2 圭( 1 v u l 2 + u 2 ) d z j gp 壶j | nu 旷1 如，t | 硪( q ) ( 1 朋) z十土 8 学位论文 二三：_ a 让+ 乱2 一1 三三二二 c 1 ，7 ， j m ) 2 圭以l v 乱1 2 一地2 如一去以铲_ z ，牡础( q ) ( 1 1 8 ) s x ：= 一i n f m 。，臀 ( 1 1 9 ) 一珏= u 2 。， 乱d 1 ，2 ( r )( 1 2 0 ) 的非平凡解口1 ，2 ( r ) ，使得当m 一+ o o 的时候，础_ 。o ，幺q ，且 玉 1 1 m u o 一磙：( 掣) _ 0 j = x 其中 幺( z ) = ( 碥) 学( 磙( z 一磊) ) ，l 歹k 此外还有 知 ，( ) 叶j ( 知) + k ( ) ， j = i 其中k 是极限方程以2 0 ) 在d x , 2 ( r ) 中对应的能量泛函。 第一章引言 9 也就是说，不紧完全是由于极限方程( 1 2 0 ) 的解引起的，对于每个( p s ) 。列 “n ， 如果 ) 不收敛，那么它减去方程( 1 2 0 ) 的若干个解后就强收敛了。利用这个结 果，我们可以研究证明方程 二三：_ 乱2 一1 + ，二三三 ( 1 2 1 ) 的多解性质。可以证明5 1 1 1 1 1 l 2 ( n ) 充分小的时候，方程( 1 2 2 ) 至少存在两个非平凡 的临界点。事实上，方程( 1 2 2 ) 对应的能量泛函在原点附近有一个局部极小值，另 外它还有山路几何结构。利用l l 川纠q 1 充分小和上面的的全局紧性结果，可以将 这两个解区分开来。 当方程既涉及到对于无界域，又是临界指数的时候，此时由于平移不变性和 伸缩不变性的双重作用，情况更加复杂。但主要想法仍然是用局部( p s ) 条件来代 替全局( p s ) 条件。关于无界域上的临界方程，可参考【3 2 】和【3 5 】。 真正彻底刻画出全空间和临界方程对应的泛函的紧性结果是p l l i o n s 的集 中紧致原理，在【2 4 1 和 2 5 1 中，作者证明了全空间上次临界方程能量泛函的不紧完 全是由平移不变性引起的，而有界域上的临界方程完全是由伸缩不变性引起的。 关于全空间上的全局紧性结果还可参考【4 】，【3 7 】。关于全空间上次临界方程解的存 在性、多解性和解的性质可参考f 6 】，【7 】 1 2 本文的工作 本文的第二章我们主要研究光滑有界区域上强不定方程 + ，( z ，口)z q ， + 9 ( z ，t 正)z q ， ( 1 2 2 ) z a q 解的存在性f ；l 题，其中q 是冗中的光滑有界区域，a b a a b + 1 ，其中札是一a 算 子在q 上取狄利克雷边值条件的第k 个特征值。由于本文主要研究的是有界区域 上的次临界方程，因此很容易证明( p s ) 条件满足。本文的主要困难在于空间的分 解。 当a = o 的时候，j h u l s h o f 和r v a i ld e rv o r s t 在【1 8 】中研究了这种情况，也可 参考dgd ef i g u e i r e d o 和p l f e l m e r 在 1 4 1 中的工作，他们假定非线性项在无穷远 口 k 地 加 仉 = = = = 一 一 u ，-_-_ij、_lfli-_， 1 0学位论文 点超线性，然后通过找泛函 j ( u ， ) = 互v u v u d x 一上f ( z ，口) 如一五g ( z ，u ) 妇( 1 2 3 ) 的非平凡的临界点证明了方程组( 1 2 2 ) 至少有一个非平凡的解。泛函j 的二次项部 分是 q ( u ，v ) = v 钍v t ，d x 它在础( q ) x 硪( q ) 一个无穷维子空间e + = 1 ( ( 铭，u ) ：铭磁( q ) 上是正定的，并且 在e + 的补空间e 一= ( u ，一让) ：u h d ( q ) ) 上是负定的，也就是了是强不定的。他 们然后用环绕定理证明了j 至少存在一个非平凡的临界点。 当a 在两个更高的特征值之间的时候，方程组( 1 2 2 ) 有定义在磁( q ) 础( q ) 上 的泛函 ( 缸，口) = f n ( v 铭v v - - a u v ) 如一点f ( 。，t ，) 如一上g ( z ，铭) 如， ( 1 2 4 ) 该泛函的的二次项是 洲让，移) = 上( v v v - a u v ) 如， 这就导致参数a 影响了二次项的正定性和负定性。在用环绕定理证明非平凡临 界点存在的时候，一个重要的步骤就是要对砩( q ) 础( q ) 做适当的空间分解， 使得泛函的二次项在一个子空间上正定，在其补空间上负定。但是此时，玑 在e + 和e 一既不正定也不负定，所以此时我们需要对空间嘲( q ) x 础( q ) 进行新 的空间分解。 第二章第一节主要研究非线性项在无穷远点渐进线性增长的情况。对于单个 方程的渐进线性问题，目前已经有了大量的研究，可参考 2 1 ，3 0 ，3 6 m 工作，对于渐 进方程组的研究可参考【2 2 】。在渐进线性的情况下，a m b r o s e t t i r a b i n o w t z 条件总是 不满足，这就导致证明( p s ) 序列的有界性存在极大的困难，所以通常用c e r a m i 条 件来代替( p s ) 条件，以证明渐进线性方程解的存在性。我们称泛函j 满足c e r a m i 条 件，是指对e 中的序列 ，如果它满足i z ( u n ) i c 和( 1 十i | 乱n i i ) ，( 乱n ) _ 0 ，那么 它存在收敛的子列。 在渐进线性的情况下我们假设 ( a 1 ) ，g c ( q x r ，r ) ，当i u i ，川_ o 的时候，对z q 一致地有，( ”) = o ( i v l ) ，9 ( z ，t ) = o ( 1 u 1 ) ，此外还假设，( 。，t ) o ，t g ( x ，亡) 0 。 ( a 2 ) 存在正常数z ，m ， f - 隋l i m t 。士掣= l i f f l l i m - + 士掣= m 成立。 第一章引言 ( a 3 ) 对任意k n ，都有入4 - 石面a k 。 ( a 4 ) 存在让o s p a n q o k o + l ，妒b + 2 ) ，且矗i v u o l 2 一入( u o ) 2d x = ，使得 ( | v 钍o f 2 一a u 3 ) d x m i n ( ，m ) 锃3 如 2 ，使得 0 帑和常数n 1 ，a 2 0 ，使得f ，( 蜀口) l a l + a 2 1 v 1 9 ， 1 9 ( z ，让) lsa l + - 2 u l p 成立。 我们的主要结论是： 定理1 8 在假设( b 1 ) ( b 3 ) - v ，方程组以别至少有一个非平凡的解 在第三章中我们主要研究全空间上的临界方程的全局紧性结果。我们研究的 问题是 f - i u + a ( x ) u = i 缸1 2 一2 t + 口( z ) l t 正l p 一1 钍， z r ， ( 1 2 5 ) 【钍日1 ( r ) ， 其中2 + = 腑2 n ，1 o 和口( z ) l o 。( r ) 。 ( i i ) l i m 西i ，o oq ( z ) = 口，l i m i 。i - - , o on ( z ) = a 为叙述方便，下文我们不妨设a = g = 1 。方程( 1 2 5 ) 对应的泛函是 m ) = 乩( i v 珏1 2 + a 扛) u 2 ) d x 一去上旷d x 一寿9 f r n q ( 圳矿1d x ( 1 粥) 我们将证明7 失去紧性的原因有两个，一是无界区域的平移不变性，二是临界指 数引起的伸缩不变性。为叙述方便，我们引入方程( 1 2 5 ) 对应的两个“极限方程”： 第一个是方程( 1 2 9 ) ，第二个是方程 f a u + t = l 乱1 2 * - - 2 t 上+ l t 正i p 一1 缸 z r ， t 删。 ( 1 3 4 ) 令 帅) = 艺( i v 砰+ u 2 ) d x 一去上m rd x 一嘉上川州d x 矾r n ) ， o o ( u ) = 三上i v 缸1 2 如一去上m 矿d x ，u 。1 2 ( 酞) ， ( 3 6 ) 那么我们的主要结果是 定理1 9 设 让m ) 是月1 ( r ) 的序列，满足，( 让m ) 一c ：b ，v j ( u 仇) _ 0 ，那么存在r 中 的序列 编) ( o j k 1 ) 和 而( os 歹k 2 ) ，以及序列踹( o j k 2 ) ，序 列 旃) ( o j 南1 ) ) 、 砩) ( o 歹乜) ) ，使得存在的子列( 仍记为原列) 满足 俐( 。) = u o ( z ) + 2 - 碗( z 一磊) + ( 鹏) 学旃( 兢z 一旅) ( i 0 当仇一的时候，乱( z ) 在日1 ( r ) 中强收敛到铲( z ) 一叫当m _ o 。的时候，对1 歹k l ，有磊( z ) 在h 1 ( r ) 中强收敛到( z ) ； 当m o o 的时候，对于1 j k 2 ，有旅( z ) 一( 藤) 警( 厩z 一磊) 在日1 ( r ) 中 强收敛到o 。 其中u o 是方程以别的解，( 1 j 七1 ) 是方程以s 4 ) 的解，( 1 j 乜) 是 方程( 1 。2 9 ) 讷解。 此外，当m _ + o o 的时候我们还有 1 1 2 _ j 2 + i l u 歹( x ) 1 1 2 - 4 - 1 2 1 4 学位论文 和 k t 七2 t 歹( 锃m ) 一了( 护) + 氏( ( z ) ) + ( ) j = l j = l 由上面的定理我们很容易得到下面的两个推论。 推论1 1 0 当c ( o ，c o o ) 的时候，泛函j 满足( 尸s ) 。条件，其中c o o 是泛函如的极小 能量。 准论1 1 1 假定口( z ) 口和口( z ) q ，且在在某个正测度集上有o ( z ) ? 那么方程f 1 2 5 j 至少存在一个非平凡的解。 第二章一类强不定方程解的存在性的研究 2 1 渐进线性的情况 e 墨曼 偿l ， 上(ivuoljn2 一a 札3 ) 如一皿n ( z ，仇) j 厶u 8 如 a k o + l - a 的时候，我i f - - 以对某个口 0 ，选取u 0 = q 妒知+ 1 ，那么很容易验证如1 w o l 2 一 a u 3 ) d x r a i n ( ，m ) f f l u 3 ) d x = ( a k o + t 一入一r a i n ( ，仇) ) 矗碚d x u 使得t 面_ z - 条成立： ( i ) sce 1 且j l s q ， ( i i ) q 有界且，i a q 0 3 ， ( i i i ) s 和q 环绕。 那么至少存在一含非零的临界值c a 。 为简单起见，我们记h ：= 础( q ) ，它有直和分解h = h 1oh 2 ，其中日1 = s p a n 妒k o + 1 ，妒幻+ 2 】，h 2 = s p a n 妒l ，妒2 妒b ，愀是对应特征值k 的特征向量。 另只是日到子空间上的h i ，i = l ，2 上的投影，我们对牡h 定义一个新的范数： 1 1 4 1 1 2 = l v ( p l u ) 1 2 一入( 马乜) 2d x 一| v ( p 2 让) 1 2 一入( 岛珏) 2d x ， ，s 2- ，q 它与h 1 ( q ) 上最常用的范数等价。方程1 2 2 对应的泛函为 ( 钍，移) = 上( v 牡v v - ) , u v ) 如一上f ( x , v ) d x 一上g ( z ，u ) 如，q，q，n 其定义域为h h ，它的二次性部分为 q j , ( u ，t ，) = ( v u v v a u v ) d x 为了找出二次项在哪个空间上正定，哪个空间上负定，我们记 e n = ( t ，让) ：u h 1 ) ，e 1 2 = ( 珏，一u ) ：t h 1 ) ， e 2 1 = ( t 正，u ) ：钍h 2 】，e 2 2 = 【( u ，一u ) ：4 日2 因此，hxh 有直和分解h h = e 1 loe 1 2o 砀lo 如。对任意( u ，口) hx 日， 我们有分解 ( u ，口) = ( 仳1 1 ，4 1 1 ) + ( 仳1 2 ，- - u 1 2 ) + ( 4 2 1 ，u 2 1 ) + ( u 2 2 ，- u z 2 ) ，( 2 2 ) 第一审一类强不定万程解的1 手在性的研究 1 7 其中 容易验证q a 在子空间e 1 1o e 2 2 上正定，在它的补空间e 1 2 0 e 2 1 上负定。所以为方 便起见，我们可以记耳= 局1oe 2 2 ，n = e 1 2oe 2 1 。 所以泛函j 有下面的形式 ，一 ( 珏， ) = i l u l l i l 2 + | j 让2 20 2 一1 1 u 1 2 1 1 2 一1 1 让2 1 1 1 2 一f ， ) d x lg ，让) d x ，( 2 3 ) - ，2 ，3 z 显然它在hxh 上是g 1 的。 我们先证明一个引理。 引理2 3 设q 是冗中的光滑有界区域，p 是一实数，我们假定当n 3 的时候1 p 0 ，使得0 p n ，q n m ，因此我i f - - f 以假设在l 2 ( q ) 空间中，黜一 妒，q n 一妒，以及在q 中加_ 妒，q n _ 妒口e 口如果w 1 ( z ) 0 ，那么我们就有( z ) 一 。o ，进而有锄( z ) _ m 。类似的我们得到，如果w 2 ( 2 7 ) 0 ，那么就有魄( z ) _ o o 进 而得到加( z ) _ z 。所以我们得到如果 1 1 3 2 ( z ) o n & 就有妒( z ) = f ；如果伽1 ( z ) 0 ， 那么矽( z ) = m 。 由于以( ，) _ 0 ，所以对任意的检验函数( ? 7 1 ，r 2 ) h h 我们有 v v n v r h 一x v n ，l ld x 一9 ( z ，t i n ) 叩ld x 0 ， ( 2 。1 4 ) v u n v r l 2 一) t u n r l 2 d x 一，( z ，) 忱d x 一0 ( 2 1 5 ) ，n，q 由0 i i _ 。o 得 v w l v r n 一入以d x 一骱( z ) 镌啦d x _ 0 ， ( 2 1 6 ) v w 2 v t i 一) w 2 r hd x 一扛) 畦仇d x _ 0 ( 2 1 7 ) 注意n p w 2 ，q n w l 在l 2 ( q ) 有界，因此我们可以假设在l 2 ( a ) e o p , 删2 一专( z ) ，叫：一 e ( z ) ，以及在q 中骱叫i _ 专( z ) ，鼽叫矗_ e ( z ) a e 。由于在q 中我们有磅几乎处处收 敛到w 2 ，硼：几乎处处收敛n w l ，陬几乎处处收敛到妒以及锄几乎处处收敛到妒，因 此我们有毒= 妒叫2 = 1 w 2 和 = c w l = m 刊1 ) 1 。在方程( 2 1 7 ) 中令佗一o o ，我们得 n ( w 1 ，训2 ) 满足方程( 2 1 1 ) 。 令面2 = 、击叫2 ，那么m 1 ，面2 ) 满足方程 f 一叫l ：) t w l + 、鬲k 2z q ， 一a 2 = ) t f f ) 2 + 、石砒1z q ， ( 2 1 8 ) 【伽1 = 西2 = 0 ，z o f t ， 进而有 _ 1 + 舻) = q + 佩) ( 矿帕2 ) x e f 2 , ( 2 1 9 ) i t 0 1 + 舻= 0 z o a 学位论文 如果伽1 + 西2 0 ，那么就与( a 3 ) 矛盾。如果叫14 - 西2 = 0 ，那么就有 以- ( 小厕艇q ( 2 2 0 ) 【 1 = 0 z a q 这又与假设( a 3 ) 矛盾。 对于第( i i ) 中情况，我们由方程( 2 1 6 ) 得到如m ( z ) 叫：叩2d x _ 0 ，这就是说伽1 满 足方程 ， 一伽1 = 入叫1 zq，(221) 【伽1 = 0 z a q ， 这与a 的假设入 0 ，使得对( u ，移) s 成立以( u ，t ，) 口。 证明由假设( a 1 ) 和( a 2 ) 得到，对任意 0 ，存在g o 和2 0 ，二是t l z l i 0 。我们采用反证法，假定结论不成立，那么存在序列t ， o m n ，z n = p z o + z g ，, o n 0 ，i i z n0 = n ，使得厶( z n ) 0 。我们将z n 写成= ( u n ，) = ( p n u o + 如，p n u o + ) 的形式，那么有 ( 孙) = 专蠢一加石1 1 2 一f ( z ，) + g ( z ，) 妇 0 ，( 2 2 4 ) i n 也就是说有 样铡1 1 p 2 萨一研i l z g l l 2 ) 一z 塑铲出 。( 2 2 5 )丽矿2 硼萨一币孑卜厶市开一咖 0 因为只g 0 ，所以我们有触i l z z l l 。谮= 1 推出；s 苊稚1 。假设福赫_ 席 0 ，那么肌一+ o o 。我们不妨设在日中翩一6 ，赢一，且在q 中翻几乎 处处收敛到1 ，岛几乎处处收敛到。如果z q 使得冈伽( z ) + f l ( 。) 0 ，那么 就有( z ) = 砌u o ( x ) + 如( z ) _ o 。同样的，如果2 q 使得p o u o ( x ) + 已( z ) 0 ， 那么我们有 竹( z ) = 肪咖( z ) + ( z ) _ o 。有方程( 2 2 5 ) n n 。 丢品五1 丽i i z 二 1 1 2 一上【掣( 赫) 2 + 掣( 南) 2 】如 一1研a互1丽iiz二-1122i z , , l l一厶啪趔掣( 南舳t z z t 一) )- ：l 2 2j l z nj 1 2 - ， 舶撕+ 如o 镌。i i 磊0 7 u 出 一厶槲掣瓣u l q , 灿 令尊一= ( 毒1 ，) ，z = p 0 硒+ f 一并在方n ( 2 2 6 ) 中取极限得 裂1 舶2 i i 幻1 1 2 一雌一1 1 2 ) 一告( p o l o + ) 2 d x ， z ， 冈呦+ 白o ) ( 2 2 7 ) i _ 一等上冈啪o ( p o u o ) 2 蛇0 一 有两种情况：一是一= ( 专l ，) 局2 ，也就是说1 = 一h 1 二是毒一= ( 芒1 ，) 场l ，也就是说毒1 = 如h 2 。在这两种情况下我们都有如( t t , o l + 铷) d x = 0 。我 们由