（基础数学专业论文）模李超代数snm的性质与导子超代数.pdf

i i i ii ii lli i iil i tii iiii y 18 0 5 7 8 0 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其 他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者貅礁咻巫7 。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件 和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段 保存、汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 日 期： 通讯地址： 指导教师签名： 日 期： 电话： 邮编： t i 摘要 设，是特征数p 2 的域本文构造了域f 上的一类模李超代数s ( n ，朋) ，讨论了这类李 超代数的一些性质获得了它的生成元，证明了它的单性通过论证与计算，我们得到了 s ( n ，脚) 的所有z 齐次导子，从而确定了s ( n ，m ) 的导子超代数 关键词：模李超代数；导子超代数； 一导子 a b s t r a c t l e tfb et h eu n d e r l y i n gb a s ef i e l do f c h a r a c t e r i s t i cp 2 i nt h i sp a p e r , w ec o n s t r u c tac l a s so f m o d u l a r l i es u p e m l g e b ms ( n ，m ) u n d e rf w ef i r s td i s c u s ss o m ep r o p e a i e so ft h i sa l g e b r a t h e nw eg e tt h es e to f g e n e r a t i n ge l e m e n t sa n dp r o v et h es i m p l i c i t y w eg e th o m o g e n e o u sd e r i v a t i o n sb yc a l c u l a t i o n a tl a s tt h e d e r i v a t i o ns u p e m l g e b mi sd e t e r m i n e d k e yw o r d s ：m o d u l a rl i es u p e r a l g e b m ；d e r i v a t i o ns u p e r a l g e b r a ； - d e r i v a t i o n i i 目录 中文摘要i 英文摘要i i 目录i i i 1 引言1 2 预备3 3 模李超代数s ( n ，朋) 的性质及导子超代数5 4 模李超代数s ( n ，肼) 的单性及生成元1 3 5 讨论与总结1 5 参考文献1 6 致谢1 7 i i i 东北师范大学硕士学位论文 l 引言 近年来，超对称性的数学发展越来越为数学家所重视，如超流形、超几何以及在其上建 立起来的超分析，超代数已成为数学研究的一个重要领域理论物理界对超对称性的研究 甚感兴趣，它在高能物理、引力理论和核结构理论等领域中有重要应用李超代数是研究超 对称性的重要数学工具在物理学中为了建立相对论的费米子与波色子的统一理论， 1 9 7 4 年w e s s 和z u m i n o 提出了超对称性，将普通时空满足的p o i n c a r k 李代数扩充为超p o i n c a r b 代 数，于是将有限个具有同内部量子数的费米子与波色子放在一个不可约表示中从此李超 代数有了迅速系统的发展( 如k i l l i n g c a r t a n 理论，单李超代数的分类理论，表示理论，向量 场的李超代数，李超代数的簇等理论) 李超代数分为非模李超代数和模李超代数特征零的域上的李超代数被称为非模李超 代数，其发展已经较为完备素特征域上的李超代数称为模李超代数由于基础域的特征数 不同，模李超代数的研究不能相仿于非模中的情形 非模李超代数研究中，具有里程碑意义的结果当属v g k a c 于1 9 7 7 年完成的特征零代数 闭域上有限维单李超代数的分类有限维非模单李超代数分为经典李超代数和c a r t a n 型李超 代数单李超代数的伴随表示如果是完全可约的或不可约的，则称为经典的，否则称为c a r t a n 型的利用可迁、滤过及诱导阶化李超代数，将c a r t a n 型李超代数分为职力) ，s ( ”) ，觑刀) ，j ( 行) 模李超代数的研究仍然处于初期发展阶段李超代数的偶部分恰为李代数，所以李超 代数的研究方法常常要借鉴李代数的研究方法和手段，更重要的是李超代数的结论在一定 条件下和李代数的结论保持一致模李代数的研究起源于e v i t t 在1 9 3 7 年发现的非经典单 李代数此后，更多的不同于特征零的李代数被发现小特征模李超代数的分类还没有完全 解决，但已有初步结论1 9 8 9 年h s t r a d e 完成了特征数大于7 的代数闭域上单的有限维李 代数的分类至今模李代数已经有了丰富的理论 模李超代数目前研究的内容主要是阶化、单性、导子、滤过、分类、表示、限制、c a f t a n 型模李超代数李超代数的上同调也得到广泛的研究非模李超代数与模李超代数的差别 在于c a r t a n 型模李超代数在模李超代数的研究中c a r t a n 型模李超代数有很重要的地位 有限维单模李超代数的分类仍是没有解决的公开问题正如模李代数的情形，c a r t a n 型模 李超代数将在有限维单模李超代数的分类工作中占有中心位置目前我们已经发现一族新 的有限维c a r t a n 型单模李超代数，即奇h a m i l t o n 模李超代数一般说来，它们既不对偶于有 限维单模李代数，也不对偶于特征零域上有限维单李超代数这从一个侧面说明，有限维单 模李超代数的分类不会是平凡的( 相对于有限维单模李代数和特征零有限维单李超代数的分 类而言) 导子超代数是c a r t a n 型模李超代数研究的一个重要的方面，所以导子超代数的研究 对单李超代数的分类也是有着重要的作用 东北师范大学硕士学位论文 1 9 9 7 年，张永正构造了素特征域上无限维c a r t a n 型李超代数，进而定义了有限维广义 c a r t a n 型李超代数，并且给出了有限维单李超代数分类的一个猜想：即特征p 7 时，除李 代数外，在同构的意义下，f 上任一有限维单李超代数或为经典的或为严格c a r t a n 型的，或 为广义c a r t a n 型的严格c a r t a n 型模李超代数分为四类：彬s ，1 4 , k ，它们都是单的，并且导子 超代数问题都得到解决对于c a n a n 型模李代数，特征p 2 时的导子超代数的问题也在早 期得到解决1 9 9 4 年特征p = 2 的日型的导子代数得到解决随后，特征p = 2 的彬s ，k 一型 的导子代数结构也得到解决2 0 0 0 年张庆成和张永正给出了矽型和s 型的导子代数2 0 0 0 年3 月马凤敏与张庆成又给出了k 型的导子代数2 0 0 4 年王颖和张永正又给出了日型的导 子代数目前无限维的c a r t a n 型模李超代数的研究也取得了一些成果 本文第一部分构造了一种特征数p 2 的域f 上的李超代数s ( n ，朋) ，定义了这个代数中 的相关概念，及其中的运算与导子，从而证明是李超代数第二部分定义了s ( n ，m ) 的一类特 殊的导子o 导子讨论了李超代数s ( n ，所) 的一些性质通过论证与计算，我们得到了s ( n ，m ) 的所有z - 齐次导子，从而确定了s ( n ，m ) 的导子超代数第三部分获得了它的生成元，证明 了它的单性最后是对于这个代数的拓展，以及对这类导子应用的说明与理解 2 东北师范大学硕士学位论文 2 预备 设，是特征数p 2 的素特征域，a ( n ) 是域f 上的外代数，其生成元为x l ，一，令 y = l ，2 ，刀 对于t = 1 ，玎，定义b ，= i i l ，如，i t ) l l i l f 2 f f 圳 设占( 门) = u 是ob ， 其中b o 0 若“= 弘朋，f ，i = 1 ，2 ，m ， - j j = l 则是，的加法子群令z = 1 ，2 ，优 ，设f 陟l ，此，】是f 上的截头多项式代数， 它满足彰= l ，i = 1 ，2 ，m 对h 中任一元素，1 = 翟la 而，定义少= 彳1 以2 力易见 咖= 少叼，v 五，7 h 简记f y l ，妮，】为q ( 聊) ，则 q ( ，珂) = s p a n f o ，l l 用 定义 矾圮所) = 人仍) ( pq ( 聊) 显然，人( 胛) 的自然z 2 一阶化与q 沏) 的平凡z 2 一阶化诱导u ( n ，聊) 的一个z 2 阶化如下： 矾耽m ) 石= 人( ”河眨多q ( m ) ，叭玎，m ) i - = 人( 玎) i 匿多q ( 所) ， 从而u ( n ，棚) 是一个结合超代数若厂人( 玎) ，g q ( 所) ，则简记u ( n ，肌) 中元素h o k 为h k 易见 f 删l u 联珂) ，a 邡是u ( n ，所) 的一个f 基令u ( n ，朋) f _ s p a n ， 删i l u l = f ，则 矾删) = 矾m ) i i = 0 是z 阶化的超代数，且u ( n ，m ) o = q ( 所) 下面简记u = u ( n ，所) 令矗是人( 胛) 对元x i 的导子，其中i y 则矗是叭 ，m ) 的关于x i 的偏导子对任意 i 一d i 是u 的线性变换，使得o i ( 删) = 秒，y u b ( 玎) ，l h ，则d i d e r ? u 因为人( 刀) 是外代数，就有x i x j = - x j x i ，y f ，j y 若“口( 七) ，i l u ，则令u 一( d 8 ( k 1 ) ，使 得 材一d = 设u ( 0 = i ， u l l 工任取y z k h 设【z ，d i = z ，v ，y ，则z l 翰_ 卜由归纳假设 妒( z ，) ：o ，v ，z 设妒( z ) = 廷l 五d 七，将妒作用在口，d i = z l 的两边，由已知妒( 【z ，d m = 妒( z ，) = 0 ， ， 所以 妒( z ) ，d f + ( 一l p 妒) 玳z z ，q o ( d t ) = 0 由于以d ，) = o ，故 妒( z ) ，d i = 0 于是【2 ：l 瓜仇，d i = 0 ， 得：】d ，( f d d t = 0 ，由此可得d ，坼) = 0 ，v l y ，故五q ( 肌) ，y k y j 因此妒( z ) 疋1 同时 8 东北师范大学硕士学位论文 z k h ，妒d e r t ( s ) ，所以妒( z ) 硒”因为h + f j + r 一1 所以妒( z ) 肛ln 翰+ r - 0 ，从而 妒( k h ) = 0 综合以上妒( k ) = 0 所以妒= 0 定理五3 设t 0 ，设n = s p a n f h k a l l k 刀，k a 1 - 1 , h k a = x d k ，贝l i d e r t s = a d ( s + 忉f + q f 证明：由引理2 2 知n n o r 。( s ) ，即是 s 】s ，伴随表示是导子，q 是0 导子的集合， 且q d e 积s ) ，则a d ( s + 加+ q d e r ( s ) 从而有a d ( s + 忉f + g d e r r ( s ) d i v ( x l v t d k ) 0 ，则n 垡亨 下面证明2 关系 设咖d e r t ( s ) ，所以咖( 研) s ，设慨( 巧) = 冬l 乃d f ，w ，： d j ，d h = o ，将慨作用等式两 边得 妒f ( 岛) ，d | i ，】+ ( 一1 ) 矾竹m 【研，妒f ( d h ) 】= 0 把妒r ( 岛) = 各l 乃d i ，o t ( d h ) = z i n = 1f i h d i 带入上式得 ( ( 一1 ) r 0 3 d j ( f i h ) d f - ( - 1 ) 撕+ 彻m ) d h ( f j ) d _ f ) = 0 - l d i ，d 2 ，d n l 中的元素作用在不同的分量上，所以是线性无关的故 ( - o a 1 则d e r _ f s = 0 证明：设妒d e r 一，s 。取d i i ( x u y a ) s t - i ，i ，j k 则q o ( d i y ( x u y a ) 是z 一次数为一1 因为t 1 ，设l u 于是可以设o ( d q ( x u y l ) ) = e i - - ls i d i ，其中j f q ( 肌) 设，工同理设 妒( d 玎( 彤刀) ) = x i n - lr i d i ，r i q ( 胁) 已知d # ( x t x j ) = 一2 町d ，z d ( d # ( x l x j ) ) = 0 所以o ( x j d d s r _ 0 巩戤 。矧 = d d 戤 。剐 协 即 一 研 阮 + 巧 柳 研町 + 功h 东北师范大学硕士学位论文 易算得 d 玎( 幽，1 ) ，d l l ( x l x j ) = 2 d i ( x “f ) d j + q ( x 吵) d f ，巧d ，) = 一2 d f ，( 如，1 ) 将砂作用在等式的两边得到 各ls i d i ，x j d ， = - 2 冬1r i d i ，得到s i = 0 ，i y 、帆s j = - 2 0 ，0 = 0 ，_ ，y i t 。 又 d i l ( 矿、) 。d q ( x i x j ) = p i 心矿) d i + d l 心矿) d i ，x j d j x i d i = d i t ( n 将砂作用在等式的两边有 冬lr i d i ，即d j x i d i = z i l d f ，则n = 0 ，所以勺= 0 从而妒( d ，( 的，) ) = o ，妒( d ，( 妁，1 ) ) = 0 于是妒岱，一i ) = 0 又f i + ( - t ) = - i - i ，则妒= 0 ，所 以d e r r s = 0 定理3 6d e r ( s ) = a d ( s + 加o q 通过上面的证明我们有下面几条结论， d e r f s = a d ( s + i v ) f + q r ，t 0 ， d e r _ i ( s ) = a d s i d e r f s = 0 ， a d ( s + 忉n q = 0 所以定理成立 我们就得到了s ( n ，朋) 的导子超代数d e r = a d ( s + 忉0 q 东北师范大学硕士学位论文 4s ( n ，m ) 的单性及生成元 定理4 1s ( ，i ，m ) 是单李超代数 证明：任取d = d u s ，t n o ，f y 则f v ( n ，聊) ，+ 2 ， 若 d ，s - i 】= 0 ，则p u ，d h 】- 0 ，y h y ，计算得d f j ( d h ) = 0 ，所以有协叽力，m ) o ，即 仇q ( ，1 ) ，则f 矾行，聊) i ，f 叭疗，m ) lnu ( n ，m ) 2t n o ，则厂= 0 ，d = 0 ，即s ( 刀 研) 是可迁 的 设r 是s o 一模s - 1 的任意一个非零子模，r 中的任意元素设为名】a i d ，其中口f 只任取 f ，是 ，中两个有异于的元素，则x j d i = ( - 1 ) r ( o r ( o d t j ( x l x j ) = - d t i ( x t x j ) , 模运算 x j d i ，名la i d ，】= 一a j d i r ，可见d i r ，取d i r ，x i d l s o ，则 d f ，x f d ， = d t ，因为r 是s o 的模s “所以乘积 d t r 取d i r ，而研s o ， d i ，而q 】= d ，r 是s o 模s - i 所以乘积d ，r 综上d f r ，v i y ， 所以r = s - 1 即s o 一模s - 1 无真子模，即证得s 是不可约的 s 是可迁且不可约的，则s l 上 设，是s 的一个零理想，则对于理想中的元素d ，有以下的乘法， d ，d u ( 乃一) 】= d i ，- d i ( x u y a ) m j q ( ) d 力 = 一d l d i p 矿、) d j - d t d j ( x u y a ) d i = d i d l ( x u y 。) m j + d j d l 潆矿、d i = - d o ( d t ( x u y a ) ) 因为理想具有吸收性，所以有 d q ( d , ( x u ) ) i v ，工，玢ld ( d l ( x u y 。) 刀一i ，所以 s i ，s o ，s 月一3 s 下面证d i j ( x v y a ) t 其中1 ，= 占( 胛) d j j ( x 眦b 少) ，d i i ( x i x j x h ) 7 ) = 【一2 d j ( x ” 少) j 叻，一2 d i ( x i x j x h y ”) d ，】 = 4 f 切( d m ”- ( “) o j d i ( x i x j x h ) d i + ( - 1 ( ，) d i ( x i x j x h ) d i o j ( x v - 如) 研) = 勺一+ ( p a x t m “) x h d f + ( 一1 ) a c ) x h d ，( 工”一 6 ) d ，) = ( 一1 产r ) 缈+ _ x h ( d fx t m b ) d ，+ d ， ” b ) d f ) = 一4 ( 一1 ) 哦，) ( 一1 ) “6 ) d f ，( 工0 ，+ 1 ) 有d i j ( x ”y a ) l , v i ，工 所以d o ( f ) ，v f s ( 甩，脚) ，即s 。一2 上 综上s = ，即s 单李超代数 定理4 2 设a = d q ( x u y a ) i i ，_ ，y , u = b ( 圩) j ，b = d i j ( x 砂 u ) l i ，上七，= 甜h l ，则彳ub 生成s 证明：设q 是aub 生成的s 的任意一个子代数，所以q 中元素乘法封闭a ，b 都是s 的子集，显然q s 下面证明另外一方面 东北师范大学硕士学位论文 d k i ( x k 3 r a ) = 一d k ( x t y t ) d ，一d i ( 工七) ，) d k = _ d f 所以z a ( d k i ( x t o , 1 ) ) = - i d q ( x “y 1 ) ，d t h ( x l y ”) = 【d f ( j f 2 少) 研一研( j f 一) d i ，一d i ( x i y ) d 一d h ( x l f l ) d 1 ： - d i ( 妒矿、d t d t 时矿、d i ，一d n = 卜d i ( 】) d f ，- y n d h + 一9 ，( 拶) d f ，吵d 】 = 一( 一1 ) ( 6 破一) + 7 ( o + 7 ) 少+ ”( d h d i ( j 产) 研+ d h d j ( x u ) d ，) = ( - 1p r ) ( d i d h ( x u ) d j + d j d h ( x u ) d i ) = 一( 一1 芦，( d ，( d ( x 叼) ) 则d u ( d h ( x u y a + 7 ) s ，v i , j , h y 因为z d ( d 0 r ( ( + 1 ) ) = 刀一2 ，所以z d ( d u ( d h ( x u y a 切) ) = ”一3 因为f ，工七是任意取的，所以s - 3 q d i ( d h ( x u y a 切) ，d 缸( 工) 】= 少+ 目w - d i ( d h ( x u ) ) d j d j ( d h ( x u ) ) d i ，- d g ( x g ) d k d k ( x g ) d g = 少+ 日埘 - d i ( d h ( x u ) ) d j d j ( d h ( x u ) ) d i ，一仇】 = 少+ 删( 一1 产r ) ( d k d i d h ( x u ) d j + d k d j d h ( x u ) d i ) = 一( 一1 ) 矾，) 少+ r l + 8 ( d i d k d h ( x u ) d j + d j d k d h ( x u ) d i ) = ( 一1 芦，y + r l + 8 d i j ( d k d h ( x u ) ) s z d ( d q ( d k d ( ，) ) ) = 疗一4 因为i ，工k ，h 是任意取的，所以s 。- 4 q 依此办法可以得岛，( x ”) s ，其中b ( 门) 即有s 珂一5 q ，s 。一6gq s - i o ，其中 l f 刀一1 又有d i i ( x i x j x k ) = 一2 x j x k d i sl ， x j x k d i ，协】= 一x k d i s o a 所以s ic _ q ，v f y j 所以s a 综上s = q 所以aub 生成s 东北师范大学硕士学位论文 5 讨论与总结 在本文中我们先求出各个齐次导子，进而得到了s ( n ，埘) 的导子超代数这在其他类型 的模李超代数求导子的过程中将会有重要的作用 在q ( 所) 部分对应的 一导子中，对h i ( y ) 根据需要适当进行定义，会增加s ( n ，m ) 的应用 同时引发了对新的问题的思考 1 5 j ， t 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 ，盯张永正，刘文德模李超代数厂 巧北京：科学出版社，2 0 0 4 ：2 7 - 4 7 1 2 】v g k a c l i es u p e r a l g e b r a s a d v m a t h 。1 9 7 7 ( 2 6 ) ：8 9 6 3 1e g k a c r e p r e s e n t a t i o n so f c l a s s i c a ll i es u p e r a l g e b r a s l e c t u r en o t e si nm a t h e m a t i c 。1 9 7 7 ( 6 7 6 ) ：5 7 9 6 2 6 ，卵沙吾提阿吾提，张永正模李超代数w ( n 坍) 东北师大学报伯然科学版，2 0 0 8 ( 0 2 ) ：7 - 1 1 ，孟道骥复半单李代数引论北京：北京大学出版社，1 9 9 8 ：5 2 7 0 ，孙洪洲，韩其智李超代数综述物理学进展，1 9 8 3 ，3 例：8 1 1 2 5 ，刁沈光宇阶化c a r t a n 型李代数的阶化模伊型模的混合积中国科学，a 辑，1 9 8 6 2 9 例：2 5 5 2 6 4 ，酊张永正c a r t a n 型z - 阶化李超代数w ( n ) 与s ( n ) 的阶化模科学通报，1 9 9 5 ，4 0 ( 2 0 ) ：1 8 2 9 - 1 9 3 2 ，印张永正无限维c a r t a n 型李超代数的模的混合积数学年刊，1 9 9 7 , 1 8 ( 6 ) ：7 2 5 7 4 2 ，凹张永正素特征域上有限维的c a r t a n 型李超代数科学通报，1 9 9 7 , 4 2 倒：6 7 6 - 6 7 9 ，j 舒斌c a r t a n 型李代数的自同构群数学年刊，a 辑，1 9 9 9 , 2 9 ( 0 ：4 7 - 5 2 刀万哲先李代数北京：科学出版杜，1 9 7 8 ：6 7 - 7 7 ，刃张永正，南基沫f i n i t e d e m e n s i o n a il i es u p e r a l g e b r a sw ( m ，n ，t ) a n d s ( m ，n ，f ) 数学进展，1 9 9 8 ，2 7 仞：2 4 0 - 2 4 6 1l4 1w a n gy , z h a n g yz t h ea s s o c i a t i v ef o r m so ft h e g r a d e dc a r t a nt y p el