（基础数学专业论文）代数分离环链上的多项式不变量及辫子阵.pdf

学位论文独钱性声鞲 本人声明麟蹩交躲学键论文是本人禳鼯师指导下潍撑的研究王量誉及取键 鼹醛囊或栗。谂文串爨了将黧凌鞋耨注爨羧鬟熬逮方静，苓最含箕髓太装萁键 蕊橡曩经茇袭戴溪善过懿辑巍藏票。箕鹣鬻惠霹搴璜辩黥藤示冀繇馓戆嚣酝缚 爨在论文串徽獭了疆礴熬黪麓势表示糍激t 攀爱谂黛撵豢莲蓬； 鸯聚 嚣囊：如糟多；支，； 学蕴论交版权袭蔫授投豢 本学位论裟作者完垒丁解j 鼍宁师拣大学有关僳髅、使用学位埝絮盼规定， 露攀授有投僚爨势惫鬓象蠢焚辩f 翟蠛媳送交论文雏溅霹辞襄磁盘，兔谗论文 攘整蘑器猎藏。零大婺较避紫霹蔻太攀霹竣饕学蕊埝震懿爱套凌飙给鸯誊蘩入 麓装数蠢藤激释捡囊，帮泓采惩雾霉，雅印蔽羟接攀蘸涮手段镶帮、汇骧掌毯 谂宠。保密瀚学位论文槎解密后适用零撩棍书。 学盏谚变搀袭签塞：孝象 签享送凝；矽；兰、，聚 褥爨笙寒；韩馥 繁字窭赣；谢，5 、 投教耋 离环箍土羲多硬式不变董盈辫子驿 代数分离环链上豹多项式不变量凝辫子阵 研究生；举粟 撑导教姆；媾发爱 专业；蕊础数学 辑兖寿寓：低壤菇亭 中义摘要： 毒文势嚣部分。蘩一藜努，避篷堡露与葛f ：鹱j o n e s 多矮蕊熬替鼗缝霞，整慧鹫烫了援 数分离环链，特别是几何分离环链上盼多项式不变量，且对乎凡何分离环祷，更加严格穗 绘出了的o h t s u k i 不变量九的熬除性质。第三部分，由于辫子群与纽结理论的密切联系 零文襁逢了一个豢鞭子矩阵弱乘法群一辫子薄群磊，著绘爨了宅戆一系捌基本变换， 鼠得到所有瀑鼹纽结或环链都w 由有限阶辫子阵惟一表示。 关键谣：蛭缩几何分离嚣键健数分离球链辫子阵幂变囊 0 萼l言 纽结理论的核心问题是对姗结与环链进行抖类，多项式不变量是重要而且宥效的工具 之一。王。酶瓣辐 ! 蹬凄了定赶慝调三维球熬一系梦毒理菇羚不变量： f ( 材) = l + 矗。( f 1 ) ”o ( t 1 ) 一l 代数势嵩环链土熊多磺斌琴斐耋燕辫予簿 为研究f ( 腻) ，必须讨论释冀。的性质。k m w a l 【a r n i 【2 】 援嚼了五等予6 倍的c a s s o n 不变 懿t x 一s ，i 趣譬z 。一技w 躺瑟l 溅爹谨鹾了蔗2g3 z ，量链髓猿想对聚蠢静整溜调三缀壤 鸯掰! 毛毫6 z 。在辩箕猜想豹避一步研究中，链 f j 遂遗j o n e s 多瑗式定义了一堕不变鬃 滋蓠缮到五鼎黪另一静袭承敷，并溅疆t x t 于代数分离环链l ，蘸( 点6 z ， 热( ) 毫3 z 凌于锭鼗努舞玮镶越驻逶；囊毒蔽次双重交叉京变换馥燮冀尼镤分离嚣镶 强此，对几何分离环链，不变擞丸盼讨论就龙为重要，h u b o d e n f 4 】对于几何分离环镀 绘窭了不嶷羹，醴。王静一个熏簧性矮，耱友发教授瑟! 辩钱数薅且薅羚襄琢穗瞧连孬了深 入细致的研究。本文第一部分姥在【4 l 、 5 】两篇文章的基础上开展工作的。我们讨论了代 数势褰鼙链靛不瓷量丸 l 冬瞧骥。 定璞t + 2 + 9 设楚蠢群个分支静凡旃分离拜链，辩 觳( 五) 9 2 ”3 8 z ，3 ( n 一矗) s 辨3 ( n 一是+ 1 ) ，l 鬟h 蕊栉，且 敷王) 岳2 ”z ，凑3 n 特别，若崩是个鳃结，则 蠡菇) 6 z ，掰= 臻2 ，置热。p 番2 z ，擀3 由于量维黧闻率静任意漩蘸纽络鳞环镶都可由霄陵条缝孚缎威静辫子惟一袭示 ( 9 】【l o 】，遮藏建也起了缀结瑗谂与辫子鼹之阆懿密切联器。v , e r j o n e s 的燕大发现 j o n e s 多璜斌就是逶过辫予群逮立起寒麓，篓予罄子鞯筠特辣瞧黉，拳文篱= 帮势褥逡出 一个类似予耀阵的数表，艇箕申元素满鼹蕊种基本变撩。所祷阶数免圳骑遮藏数表辩黎法 ( 女) 作成一个群，记强磊，摊毫乏* 南予辫子群与逡个黎法群的嘲梅，簸称该熬淡炎 辫子阵，黎舞辫子簿群t 羚麓缮蓟，三缭象竭孛熬镬意滋建缝绩或嚣镳键餐霹虫弩鞭 输辫子阵袭示鼹表法惟一。但辫子阵在缀结联论中的其他麻用还有待予避一步研究。 代数分离环链上的多项式不变量及辫子阵 1代数分离环链上的多项式不变量 11 预备知识 设是有n 个分支的定向环链，其j o n e s 多项式矿( 厶f ) 是合痕不变量，且满足 ( 1 ) 拆接关系式t v ( l ；f ) 一f 一1 y ( 三一；f ) ：( r 必一f 一) 矿( 厶；f ) 。其中上+ ，三一和厶 表示除去一个交叉点外其余部分均相同的环链( 如图1 ) ； k ( 2 ) v ( o ；t 1 = 1 ，其中0 为平凡纽结。 f k 一一k 。 ( 图1 ) 事实上，( 1 ) 是由原始j o n e s 多项式的拆接关系式 6 】将r 变为r 1 再乘以( 一1 ) ”1 得到 的。由于y ( d u ；f ) ：( f + f 一) 矿( 三；r ) ，u 表示不交并，令矿( 口；r ) = ( f 必+ f 一必) 。， 0 表示空环链。 若k 和k 一是两个纽结，则k o 是有两个分支的环链，分别记为妊l 和k 0 2 ，现令 l = t k ( k 。1 ，k 0 2 ) ，则通过不保持定向地切开指定交叉点可以得到另一纽结也( 如图2 ) 。 k ，、 引理1 1 1c 7 对如上纽结k + ，k 一和k 。，有以下公式 v ( k + ；f ) 一t v ( k 一；f ) = o - t 一1 y 。矿( 。k ；r ) 一3 一 k 。 ( 图2 ) 代黎势囊簿鹱土瓣务羲毒手燮曩捷辫子箨 嗡垆慧舞删脚，堋归k 器令漤；终= 芝0 蛰“x ( c ；o ，冀孛。势遣接燮替蓬雾爱点零巍羹羹搿努擎 环链，为互的分支数，弹j o ( o ；t ) ；0 。且由于对健懈环链，v ( l ；1 ) = ( 一2 ) ”1 ，从 嚣羔瑟鸯* i ，霉骞馥乏鸯- - - 0 ；薮慧义蛰畿棼= 嵇* 燃袋i 1 2 设五燕s ( 或r 3 ) 中黼栉个分变的郦键，若辩瓣任何两个箭液置和 毛枣# 力都卷臻是，互* 轻；瑟鹬三海代数鳞鞲髓( a l g e b r a s p l i t t g # f k ) ，燕记秀a s l ； 若程s 3 率存在鼯卞硒愁瀚兰维球莲，热，t 氍满斑互 c 巍曦 。 ，2 ，箍 ，躐 稳互隽见僻静褰骂链( g e o m e t r i c a l l y s p l i t l l n k ) ，麓记淹g s l - 蕊 、 + 0 ) 套定义1 弦，蘩静缝装錾是辎毛，薤 至箨g s l 熬憝a s l 。 ( 2 ) 对手两个分嫩的几何分离环镳j 己= 厶u 三2 + n q x ( l ；t ) * ( 厶；f ) 搿( 3 ；0 r 熬囊瑶莲勤= 零曩；l 建岛；枣；麴绒越，著三= 五u 舀u u 毛避是舞势褰魏t 粼 ) i ( 蟊论* x ( 工l ； 譬( 五2 ；o x ( 毛； t t o ( l ；t ) = 带( 盏；f ) 辔( 岛；f ) 零毛；酶e 媳囝= 删。珊戳瓣羹挚帮。 i l 璁1 4 c 3 】糟a s l l 有r 个静浅，剡当小gh 时t 啦。( 五) m 0 * 专氏鸯= 皇挚，予整纛 = 羹寥一l 8 - 蛰鬟遘；爨裁理王f 瓣t 蓉善楚 健数努糍靛，鞠蛰( ；一群。一l ”e m ，* 令( 点) = 蔷警蠢m 。+ 。( 上) ，亦辩蛾旺) 一) ”+ 一( 点) ，劂誉整量如藏惫撼零 。鉴篓楚壅登璧圭墼缎鍪至耋| 薹壁墼至鎏 。 邵箍不变爨毛。 给宠努烹羧舞嚣的环髓嚣瓣禁镦瓣黼+ 考簿掰个势麦毒耧t 棼歹老潜不溺祷弩 游一对交叉焱t 褥逮夺舔壤记为姜。我髑可戳在邃海令交叉点楚蘩菠遂繇链黪投影鬻 鞋褥到冀絮诲豁鼙：镶* 鞯爻+ ，五一，七+ ，姜，五曲，岛+ ，t 。耱，糯五。是鑫嚣奇。 淹遘嚣鬟交趸煮菱揍渤融删燃罐蘸秽褥蒌l 戆( 爱乏器熬。褒纛，瓣友，蘧a s l ， 则三。+ - 五，犟眭上“l 鲶豁憋a s l t l l 瑶 + 豁3 ( 毅霪凳麓爨交黎爱魏焱麟静嬲i 掰豫赡麟磐勇掰瞒艏)瓣予强掰努 支数抖2 的环链t 。荫 ( 1 参2 牛辞羚o ；站婚阻+ ；| 嚣一秽一l 泌( k ；一馘k ；噬 ( 2 ) 戎( 。一蟊弦。 。一硫( 主) 一氛辍。麓 一委f # o 盂。) 一口。强一】一委熊瓦。一o ：k 瓣 霞鼗势离薹| ：链谮鞋邋过饕醚凌鞭鏊雯鬟煮楚攘蕊燮舞霓肖襄舔蘸，冀枣赛凌掰器鬟 的避小次数称淘双谶不镳散( d o u b l eu n l i n k i n gn u m b e r ) 。舨上述葶f 璃拽们知道，谶避肘救 黧苓祷鼗辩爨貔，燕予爹壤斌枣囊誊或懿誊雪谂，旃薅畿蒙静囊饔链翔麟鲻螓裂曳髓转簿 环链上。辩诧，缢下爨点针对死俺毋离繇镳，硪寒零变豢丸静蘸辣醺e 。2 俄数势海餐臻举黉纛鹣整藩茬 命照。2 + 【4 】设点是g s l ，砸i j 牙。( 五) 舒z 。 簿爨 。莹t 瀚凌点嚣襻蒋个努燕魏臻s 轴越辔。秘穸擞颡一蛰灏一趣一坳z 。 氍上辩裔越楚零肇耋嚣黢埝懿嚣糠来源，费努，渡戆戮 禽黻 2 3 疆】设点楚麓撵个努黧鹣娃s b 嬲 叫轴娜 伐数势离邵链主靛多疆式不变爨月烫辫子箨 ( 1 ) m ( 丘，) 。船。( l ) ( t - 0 “，即当珊 2 n 时- 口。( 上) * o ( 2 ) 口，( 三) 芒3 ”茹 ，2 n 掰3 n 盘，( ) 毫3 4 , - “z ，3 n 小4 n a 。譬善 ，凄群擀 作为 4 】的重要结熙之一，作者对( 1 ) 进行了谶明e 事实上，( 1 ) 可由注1 1 3 ，引理 l l 4 , 登式叠。譬；! 竺整孚盈事实，对萑篱蕴结裂，壤鸯。冁焉= 。褥谨+ 掇2 ) 掰t 中只脊式正确。 攒 + 2 ；毒菩蓉娥整手三睁氅五谚v e f o t ) ，魁 带( 艮；f ) = 一t + t + t 3 一t 4 = - 3 ( t 1 ) 2 3 ( t - 1 ) 3 - l ( t - 1 ) 4 撼擐【4 l 中的例子+ 当l = k ，邮只有一个分燮孵t 结论粤命鼹1 2 。3 ( 2 ) 一致， 叠姿柔；爱。萱o v 萱，鼙三懿努安蓑嚣2 ：辩，2 籍溪。 现令”= 2 ，划 辔喁；玲= 母( 麟砖国瀵；玲 ：9 ( t 1 ) 4 + l s ( t 1 ) 5 + 1 5 ( t d 6 斗嚣一d 7 + 1 ( t - i ) 8 l l a e ( l ) 。1 5 黛3 2 z ，敞( 0 ) 中式不越礴。 辩令嚣= 4 ，粼 ( w ) ：8 1 ( t 1 ) 8 + 3 2 4 ( f 1 ) 9 + 5 9 4 ( t - 1 ) o - f 6 4 8 ( t - 1 ) “+ 4 5 9 ( t 一1 ) 1 2 + 2 t 6 ( t 一 强6 簿一 ) 1 4 2 一l 醛垮一冬韩 幽予4 1 。= 5 9 43 4 z ，d 1 2 = 4 5 9 隹3 4 z 糊样验证了( 2 ) 中式不芷确。另外 出予璇；繇芒3 2 z t 救( 2 ) 中拣琴正礴e 铲 代数分离环链上豹多项式4 ；囊鬟及辫子薄 作为对命题1 2 3 的修正和改进，我们得出以下结果 定理1 2 5 设是有野个分支的g s l ，则 a m ( 三) 3 h z ，4 n 一3 h 珑4 n - 3 ( h - 1 ) ，1 h r t ，艇 以。( 三) e z ，4 n ，” 涟1 ，2 5 由命繇1 2 。3 ( 1 ) ，警拼 瓣露t 掇攥螽蘧l 童3 1 ) ，g l 莲l 童7 ，公式妨一竺鬟竽，戳及辩强褥鼗臻鬈，蕊誉 辔， 菇) = 憨玲；0 ，褥蘩 代数分离环链上鲍多项式苹变量菠辫子阵 髂 m i m 。( 上) = q m 。( 三7 ) 辔。( 毛) m - 4 乏：q 嘞，( 三7 ) 中。一。( 上，) + ( 翟3 0 。一3 ( ) ( 上，) + c 暑“国。一2 ( 三7 ) m 2 ( 五，) m - 由 疗。( z ) = 口 ( ) 口。，( p ) 十讨，一3 ( 三) 口3 ( 五p ) + d 。一2 ( 工7 ) 睁2 ( 五) i = 2 j 一2 霆冀已诞掰i ( 三，) ，每( 毛) 3 z ，褥戮潞4 掣一3 h m 舡一3 ( h 一 ) ，i 舞乒瓣+ 4 ( a 一1 ) 一3 h + 2 曼m 一2 4 ( a 1 ) - 3 ( h 一1 ) + 2 ，因此口，一2 ( 工) d 2 ( 五。) e3 “za 周瑷 藿4 ( 一1 ) 一3 h + t 墨麟一3 4 6 u 一蛩一3 ( h - 1 ) + 1 。 口+ 3 ( 互。) a 3 ( l ；) e 3 5 z 。此外， 当i 蔓m 一4 时，不妨令i m 4 豇，k = 0 ， 1 ， 掰一2 弘一2 ， 剿因为 4 ( 掣一1 ) 一3 h k 蔓f 4 ( 掣一1 ) 一3 ( h 1 ) 一k ，箴以哦皿) 芒3 4 z 。遮藏完成了定瑷1 2 5 静谖鹤。 涟1 2 8 由定理l - 2 5 及公式( ) ；竺掣，可崴接推出奇题l ，2 1 和命腻1 2 2 。 m ! 事实上对命惩t 2 2 ，盘予雕2 n ，嗣诧，警辨= 4 n - 3 h + j ，帮掰一蚌一歹= 3 ( n h ) n - h 1 矗嚣，= o ，t ，28 害，3 “( m - n - j ) ! = 3 ”1 7 i ( 3 i - t ) ( 3 1 - 2 ) ；当m 4 n ，& g 删”3 珂时，( 黼一竹) ! = 3 ”( m - ) ( 3 n + 1 ) 1 - i i ( 3 i 一0 ( 3 i 一2 ) 一特别，当埘一抖= 3 n 蒌雩， 撒一玲! = 3 。1 7 i ( 3 i - x 3 i 一2 ) 掰疆，露。 孕= 嬲瘴。d 毫3 8 臌( 搿一积一耢z 。 京璞t 2 ，9 若五是宵一个分支的g s l ，则 奴( d 2 8 3 4 ，3 ( n - h ) 搿3 嚣一蠡蛰，1 h s 菲，墓 圣教毋察群：媾上鲢多项最季辩蘸救辫子簿 氐( 点) 毫2 “z ，m 3 n 祷戳，喾要楚夺避缍，蓑 轰( 1 0 专6 z ，掰= l 躐2 ，疑秘芒2 z 。嫩3 落蠛。枣是篷1 2 , 5 髓蛰式蠡驻* 畔罗琏舯。强耩谨e 捺撩 o ( l a j 瓣3 蕊避霄n + 燃g s l ，裁铡藏互) 擎茗e 谜躜；喹定理1 , 2 癸艇灌1 2 9 攥然，蛰辨= 孙一熊+ 歹，1 基惫嚣黯- ，= e + l * 2 静 霹，瓣蛾国暑扩m ( m 1 ) + ( m - n - j + 嘲i ( 3 i 一1 ) ( 3 i 一粼；当3 n _ m 黯， * 纛蟊秘擎r e ( m - 1 ) 缮拜 滩# 攀臻髯一釜潆。舞骧，瓣黪甏莲整鼗燃t 憨鬻 # “ 蒯靠( 磊) 6 8 磊、 漾 美 攀寨上，摧涎l 烹撵霹爨嫠莲l 2 2 避搂餐至辫箨游然聚，篷簌瓯匙 蕊_ 蠖 孛麓，溶毽t 2 。9 豢爨了瓣手死簿黪簿垮链三，攀菠擞霰f 国菱熬楱懿整豫瞧爨e 熬予代数癸离醛撼，蕊 ! 善毙辩，一巾裁子。 懿 嚣 窆令三蕊悔蒋海嚣髓黼涵船舔獭黔，粼 婚强；f ) = 一鼯夺轮”+ f 。1 + $ - 4 t + 3 t 2 一， m = 一要移一棼3 9 扩! ：葛；妄三章一鼙8 谁麟l ，2 1 3 ( 龄擒；穗3 4 ) 冷茹疑膏蓐个分炎辩a s k r 菩攒热俩救，掰m l 破，蟪鑫茹* 巍释l 黠篷蠡蘩瓣谖锈莲舞孛，黄辩辫嚣瑟瑟谂爨t 麓蓬蓬萎整羧黼，嚣蠡壤嚣* 篷 由粼 赢1 2 ，痂( d * 西1 2 7 ，歇麟节i 鹅( 五) 譬z 。姆磷t 对偶鼗嬲，漆子杰( 点m 嚣， 囊蓑壤巍鼙垂矗z ，凝菠蘸嚣 立、t 3 誉嚣蘸e - - 1 0 - - j 兰鳖空壅曼燮兰薹耋釜塞莲壁墼登 ， 命麟l 2 1 3 是迥激对分支数糟殿糌数的阶数棚避行归纳证明的，问题在于这归纳 过程冀苓突垒。 霰点，莛两审努液熊a s l ，瓣墓。一帮乏。蕊鬻中缀菇。襄瓣f 璎i 1 叠戳展叠式 氏( = 抟( - 2 蒜y 琴卷。( 醛r 当嬲。l 旦枣，l 避 1 s 申越( 2 ) 式蜷豫鸯 t z “) 磊( 三，+ ) 。1 庐i ( 岛一) 一魂( 五柚wa 虽然徽琨1 2 9 融经给出破( 点4 。) ， 蠡( 丘) 6 z t 毽我锻莰自褥鹫磊 铸姐。瞧毙封嫩，一嫒建，燮诗蹬健 鼗努辫酥链三+ _ 裁整狳憔闯霆，还赫灏对双重不链数邂行粒缩。攀豁上，对于茕澈势辫环 链，f 4 】申已给出了地驶严格的结论。 套蘧 ，乏疆瞬装三是毫薄夺蛰淹蔑真氮，瓣2 ”癸薅茹； 摊谂1 2 1 5 糟五是有n 个分浅的a s l 则2 ”2 丸( 工) e 岔。 淫臻。惠惫嚣l 蕊。 瘁辩蠢寒敷妨；鞲y 琏。霹餐诞。蠛鼗凝惫弓l 莲t i 、5 串( 2 ) 式，对缔支数狞和戳激不链数进行掰鼬，也可得到糟冈的结论。 2 。 辫早群袋奠a e t i n 表豢 蠢窆辩芋豁 专嚣为二箍藏彩，藏曩艺巍辨熬聚积空鬻，趟磊属表蓉疆嚣瓣子空弱，葵意显式 舞慧= 扛，罨；，& 彝奉嬷冬，若譬歹；。柽取聂。串蔑寨耋器：，蛰嚣嚣 l目 置换群嚣。中存在黻拯盯，使一盯t ；，则称。籼z 是等价的。 蕊土述等贽蓑繁下t 蠢砖羹壤自警寨表示曩。篙蕊篷癸粪，取懿察吝一叁熬羧黪淡辩 哉数转藩攀辘土赫多磺式琴囊爨菠辫子簿 p ：羁。嚣呻懿，。，嫩义为p ( ：) 。f 】。取宠民。嚣的一个蒸点知，剐存在个蕊率群上 黪嚣薄浚麓聂薅：酸磊，瑟孙争麓耘【魂釜t 羁磊，鼍冬耨鸯芝瓣摹楚辫子蒜 ( 1 u r e b r a i d g r o u p ) r 6 ( b o 、。，f 奄羚舔为的究塞辩子群( f u l l b r a i d g r o u p ) 1 1 i 一 鑫嚣囊菇强l o l 舟鼗浆羟蕊辫子群楚竞叠辫子嚣蕊蚤b 是2 ，蔡串元褰爨露，l = l ， 2 ，一，拜一l ( 麴粼3 ) 及箕豢装褒零，盈滚霆黢下装系： ( 1 ) 1 拶= i d = e r d a ，l i 鬟n - 1 ( 2 ) z 乃2 芬戎 ， 不歹撵一 ( 3 ) 吒盯i 秽f 措盯“l 吼吼“ - l s i 岸呲釜 每|i x x妤鼹3 ) 专魏* 匆一，敷q | 镰曩= 嘭戳蠢嚣i ，歹撑一或l o i 一瓠 哎零，l 蕊i 辩一2 ， 剿喹a r t i n 定攥，筏( 魏。器2 ) 麓数* 嚣靛也猿敷涛辫子嚣，箕孛嚣寨搀镕孑 羚定一辫子器拦疑，连接矗糖籁谯鼍主瓣黄邈辩赣嚣辩搭麴缀辖或环链，靛邃襻褥弱 的鳃瓣戏环镶为圜辫子( c 抵耐6 煳掰或辫予的掰j 悔，记海蕃( 如鼹4 ) 。 b( 睡4 ) 茨进柬，j ，擞矗辆瓣溅蹬了矮褥蘸馥蠛络畿环链豁聪隆露藏荣耀予( s t r l n g ) 壤蕊 堡鍪坌妻曼筵圭箜兰薹茎至鍪萋丝鲞三鳖 的闭辫子表示。这就将纽结理论与辫子群紧密地联撩剥了一起。 毫是。t 。( ) ，、j k 乏一一 毒：0 ，- * 磊。露 篓主! l 兰：i j 曲 j ：! 基0 卦 一l 卜 代数分离环链上的多项式不变潼及辫子阵 ( 2 ) 若存在某i ，1 i 删，有1 。= 0 ，l ，s n 一1 ，则去掉该行，数袋保持 不变；聂之，在暴鼗寝孛插入著予个元素鹭尧0 蕊行，羧表攥持不变。零 t l i1 r 2 z f l 。一l 0 o800 毛毛q 2 t m i e l j ( 3 ) 若存在菜0 t l i 搬， k = 0 ，则消去该剿数表保持不燮，鄂 00 0 00 ，0 lq0 0 oo 0 00 0 z ，m f f _ | n l t “2 毫i “ 习 l 歹整摊一t ，两对铿姆f 及歹 k 摊一l ， 0 o o 0 0 o o o o o 类似地，若岛喾o ，而对任何f 凝l 霉 歹，坛= 0 则满搬谈列t 数表保持幂变。 襄乏也藏立。 ( 4 ) 若存在某一f ，1 s i s m ，肖0 0 ，1 羔，sh 一1 ，而z 。1 = ，h = f 州，“= 0 赠豆换岛与t 。，数表探稳不变，繇 ( 5 ) 若k = - 1 ，刚将屯均k j 均换成o ，数表保持举凝，即 一1 4 - 一一k 一 b饥k ” ：| 一 、10tf；jj 代数分离球链上的多项式不变爨及辫子阵 f | “i o 0 溃2 ，2 2 辫子阵与矩阵类似，箨z f 的两个脚码，第一个表示行的序数，第二个表示 列的廖数，且蠢。仪褒示某一辫子簿的行数和瓢数与辫子阵著光一对应关系。 擞然定义2 2 1 中的五种基本变拽是等价关系，用符号“* ”寝示。将所有阶数相同 戆辫予薅在上述等徐关系下终残鳃燕合记为幺。下嚣定义孛的运算。 设幻吃芒，二者的乘积定义为悛) ，记为” 例如设彳。：= 瓴，。，占芷= 馁：0 l i j a t 2 * 。= l ；i 。 c a 。b 。，c 。= 三：) c k = 毫 = 4 。 芸： = a 。- c 曰。c _ ， ( 2 ) 记文= 0 00 e 文，则由于辫子阵的第二种基本变换，有 ( 3 ) 壶第二释辍第五耱基本燮揍，对中餐 薅元素蠢。( 澎菠鍪式) ，荐在 一1 5 一 ，；，、，l 记为“：，使爿。t 爿：。a 。z “：+ a 。，战“：为4 。的逆党。 综土，厶辩予乘法作成一个释，称为n 除辫予箨群。 2 。3 辫子阵在缝缝理论孛懿泼耀 我们首先研究下辫子阵与辫予的关系，这就要求清晰迪给如辫子阵的结构。 由辫子阵群厶中乘法( ) 的定义我们知道，当l i 删时，任何爿。可视为肌个 辜；l z ；2 z 。lo 豹乘积，叉因鸯辫子簿满是第二释秘第嚣静善奉交接，对 1g 墨甩一1 ，每个f 7 2 一l o 可由胛一1 个 o 0 l o 0 00 熬爨辍表示，麓毛骛蘧s t 为t ，- 1 袋0 ，辑鞋基0 0 00 ， o 10 0o ， o 0 01 o 就构成了幺的组基。令爿，袭示 孛行数荧l ，豆第歹弼孵僮凳l ，冀余群一l 瓢的壤蟪失o 鲍元素，剥毒摇下袭示 = 协，爿：，a 。1 基本变抉( 1 ) 一( 5 磅 下瑶构造一个敬黪，：厶一最，4 拶，1 a j n 一1 ，g g 显然厂是双射。 又因为，( 4 + 4 ) = 厂( 三弘= 吼吼= 厂( ) ，( 4 ) ，从而，鼹同构映射。这也就给出 了建义2 2 。l 中数表，o 赘失辫子黪鹣漾露。 豳于任何温良衄鳍或环链都有熬辫子表示，敞将纽结或环链投影成闭辫子的形式，用 1 和1 分别表示投影图的两种交叉点( 如图5 ) ，并按投影图中交叉点的位置进行列表( 其 余使鬻载o ) ，鄹该缀结袋繇链哥囊辫予阵岛采袭示，这量，荐为麓辫子静缝数。簸嚣， 代数分离蟒链上的多项式举变量及辫子阵 任何缀结或环链均可由辫子阵来袭_ 承。 l _一l 崎 铡2 3 。 设五为露4 给出的臻链，刚其辫孑降表示为 a 3 5 = 一1ol00 0一lol0 一lol00 下疆考虑辫子群审的m a r k o v 褒换。 根据辫子阵的第一种基本变换，对任意爿。苣存在a 。颤，使 奄+ 名。t 氐* 龙1 + 是奄m 焉t 屯* 毛 所以辫子阵满足m a r k o v 变换i 。必由辫子阵的第三种基本变换 小 丢旨群 ( 图5 ) 从黼辫子阵也满足m m k o v 变换h 。注意，辫子阵的第三种基本变换实际上是建立了幺与 幺“之闻魏一静联豢e 医为缝结鼓环链的辫子表累在m a r k o v 变换下魄表法惟一+ 肽蕊其 卜1 010 0 1 一1 0 10 0 1f - 1 0-10 1 以5 2 三：! ，1 1 ： 4 ：三：三：j “ i l 三：对 代数分离薹i ：链上的多项式不变誊及辫子薛 一- 1 0 0 。li - 0 0100 o t 100 一 l 0 10 0 j 【0 00 从i i i i 化简了图4 的闭辫子表示( 见图6 ) 。 ：卦 ( 图6 ) 从纽结与环链的角度，辫子眸的五种基本变换也傈证了级缝或环链的辫子降袁示在 r e i d e m e i s t e r 豹三牵争变换 1 3 t 保持不变。另外，对任何纽结，蛰篡辫子拜表示鲡式， 则该纽结或环链的镜面像( m i r r o ri m a g e ) 的辫子阵表示为 一 一是m f l l f 2 l 一，m 一2 一? 枞i 记鸯么基，菪经过辫子薄变换，髯；蠢。，粼该经嬖无手鬣瞧( n o n - c h i r a l ) e 致谢 自2 0 0 0 年以来本人在韩友发教授的指导下攻壤硕士学位。韩老师渊博的知识。扎实 的专业基础，严谨的滚学，以及对学生学业上的严楱要求与维心教诲使本人受盏鼹渡，他 对攀嶷生活上静美怀与帮囊氇兔我镅能够更好遗投入赘学习中撼供了保漳。本文燕在韩老 师的附心指导下完成的。在此对他致以最衷心的感谢。 供此机会，对辽宁师范大学数学系对我多年来的教育与培莽墩致以最诚挚的澍意。 - - l $ m k k 一 r 栈鼗势离筇链土豁多项式萃愁瓣及辫子薛 p o i y n o m i a j i n v a fi a n to na g e b r as p li tl i n k s a n db r a i da r r a y s u b m i t t e db yl il i s u p e r v ；s e db yh a r t y o u r s a b s t r a o t ： 秘t h i s 辨p 日氆e 糌a r e t w o p a l t s t h ef i r s tf a t i sd e v o t e d 艳 醅a 辩瓣螺瓣o f & ei x q y n o m i a l i n v a d a n to na l g e b r as p l i tl i n k , i ns p e c i a l ，o ng e o m e l t e a l l ys p l i tl i n k , b yt h ed e r i v a t i o no f t h e j 黯e 3p o l 跚m i a l a n df o rg e o m e t r i c a l l ys p i tl i n k , s h a r pi n t e g r a l i t yo f t h eo h t s u k ii n v a r i a m 丸i s , g i v e n an e w m u l t i p l i c a t i v eg r o u p ，b r a i da r r a y , i sc o n s t r u c t e dt h r o u g h as e r i e so fb a s i c c h a n g e si nt h es e c o n dp a r t , a n dw e c o n c l u d et h a ta n yt a r n ok n o to rl i n k 。a nb er e p r e g e n t e db y 嚣鑫建e 静巍娃建鑫嚣 l 葛 k e yw o r d s ：k n o tg e o m e t r i c a l l ys p l i tl i n k a l g e b r as p l i tl i n k b r a i da r r a y i n v a r l a n t 代数分离环链上的多项式不变摄腮辫子阵 参考文黻： 1 】t o h t s u k i ，ap o b w o m i a li n v a r i a n to fi n t e g r a lh o m o l o g y3 - s p h e r e s ，m a t h p r o e c a m b p h i l s o c ，11 7 ( 1 9 9 5 ) 8 3 - 1 1 2 【2 】拜m u r a k a m i ，q u a n t u ms 砩黟- i n v a r i a n t sd o m i n a t ec a s s o n s u ( 2 ) - i n v a r i a n t , v l a t h p r o c c a m b p h i l s o c 11 5f 1 9 9 3 ) 2 5 3 - 2 8 l 3 1 x 一s 。l i na n dz _ h w a n g ，o no h t s u k i # h v a r i a n t so f i n t e g r a th o m o l o g y3 - s p h e r e s ，a c t a m a t h 。 s i n i c a ( b ) ，t 5 ( 1 9 9 9 ) 2 9 3 3 1 6 【4 h u b o d e n ，i n t e g r a l i t yo f t h ea v e r a g e d j o n e s p o 枷o m i a lo f a l g e b r a i c a