（基础数学专业论文）半线性波动方程组小初值问题经典解的破裂.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 一般说来非线性双曲方程c a u c h y 问题经典解只能在t 的局部范围内 存在，即使对充分光滑的甚至还充分小的的初值也是如此。非线性双曲方 程在什么条件下不存在整体经典解，它的生命跨度是多少? 这一问题是许 多数学家致力研究的对象。本文就半线性波动方程组c a u c h y 问题经典解 的破裂及其生命跨度进行了讨论。 本文首先介绍了半线性波动方程组c a u c h y 问题的一些主要结果，然 后用不同的方法证明了半线性波动方程组小初值问题经典解在波速相同和 不相同两种情况下的破裂，并分别给出了解破裂时生命跨度的上界估计。 第一章，引言。这一章简单介绍了半线性波动方程组c a u c h y 问题的 一些主要结果，并给出了我们的结果。 第二章，预备知识。这一章我们给出了在证明定理3 1 、定理4 1 时用 到的基本不等式。 第三章，波速相同时半线性波动方程组解的破裂。这一章我们用固定 特征线的方法证明波速相同时半线性波动方程组c a u c h y 题的经典解的破 裂，并给出解在破裂时生命跨度的上界估计。 第四章，波速不相同时半线性波动方程组解的破裂。这一章我们用不 同与第三章的方法讨论了波速不同时半线性波动方程组c a u c h y 问题经典 解的破裂，并给出了解在破裂时生命跨度的上界估计。 关键词：波动方程组，经典解，破裂，生命跨度 复旦大学硕士学位论文 i i i a b s t r a c t i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ec l a s s i c a ls o l u t i o nt oc a u c h yp r o b l e mf o rs y s - t e r n so fn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n so m ye x i s t si nf i n i t et i m ee v e nf o rs m a l l a n ds m o o t hi n i t i a ld a t a ，n a t u r a l l yt h ef o l l o w i n gp r o b l e m sa r i s e ：w h e nt h e c l a s s i c a ls o l u t i o nw i l lb l o wu p & r i dw h a ti st h el i f e s p a n m a n ym a t h e m a t i c i a n h a v ew o r k e do ut h e m i nt h i sp a p e rw e s t u d y t h eb l o w u po fc l a s s i c a ls o l u t i o n t ot h es y s t e m so fs e m i l i n e a rw a v ee q u a t i o n sw i t hs m a l li n i t i a ld a t aa n di t s l i f e s p a n w ef k s ti n t r o d u c es o m er e s u l t sf o rt h es y s t e m so fs e m i l i n e a rw a v ee q u a - t i o n sw i t hs m a l li n i t i a ld a t a ，t h e nw ep r o v et h eb l o w u po fc l a s s i c a ls o l u t i o n f o rs m a l li n i t i a ld a t ai nt h ef o l l o w i n gt w oc a s e s ：s a l 2 1 ew a v es p e e d sa n dd i f - f e r e n ts p e e d s t h em e t h o d sa r ed i f f e r e n ti nt h i st w oc a s e s f i n a l l yw eg i v e u p p e rb o u n d sf o rt h el i f e s p a no f t h ec l a s s i c a ls o h i t i o nt ot h es y s t e m s t h ew h o l ec o n t e n t s 壮e o r g a n i z e da sf o l l o w s ： c h a p t e ro n e ，i n t r o d u c t i o n w eb r i e f l ys t a t es o m em a i nr e s u l t s a n d p r e s e n to u r r e s u l t s c h a p t e rt w o ，p r e l i m i n a r i e s w eg i v e a l l i n e q u a l i t yw h i c hw ew i l lb e u s e di nt h ep r o o fo ft h e o r e m3 1a n dt h e o r e m4 1 c h a p t e rt h r e e ，b l o w u po fs o l u t i o no fs e m i h n e a rw a v ee q u a t i o nw i t ht h e s a m es p e e d s w ed e a lw i t ht h ec a s et h ew a v es p e e d s & r es a m e w ep r o v et h e b l o w u pa n dl i f e s p a nb yf i x e dc h a r a c t e r i s t i cm e t h o d ， c h a p t e rf o u r ，b l o w u po fs o l u t i o no fs e m i l i n e a rw a v ee q u a t i o nw i t ht h e d i f f e r e n t i a ls p e e d s w es t u d yt h ec a s et h ew a v es p e e d sa r ed i f f e r e n t w eu s e d t h ed i f f e r e n tm e t h o d st og e tt h eb l o w u pa n dl i f e s p a n k e y w o r d s ：w a v ee q u a t i o n s ，c l a s s i c a ls o l u t i o n ，b l o wu p ，l i f e s p a n 第一章引言 在这一章中我们将给出半线性波动方程组小初值问题的已知的结果， 并给出我们的主要结果。在本文中我们将用到下面的记号： n 为空间维数，时中的点z = ( z 1 ，z 2 ，。) ，t 为时间变量，a = a 抛。0 = l ，2 ，n ) ，馥= a 砒或t ，研= a 2 a t 2 或，k = 群 对x 0 ，0 0 ) 上的实值未知函数“= “( z ，t ) ，”= v ( x ，t ) ，我们考虑下 面的半线性波动方程组的c a u c h y 问题 f ( z ，t ) 一a 2 a u ( x ，t ) = l v t ( x ，t ) 1 9 ( z ，t ) r “0 o ， 翟0 二金蕊i 罢“0 ；型e 4 9 l ( x ) 字：窖，础“2 芝吣( 1 )1u ( z ，) = e ( z ) ，钍c ( z ，) = ：) z r “， 、7 【v ( x ，0 ) = 如( 。) ，仇( 。，o ) = e 9 2 ( x ) 。 其中0 1 ，l p ，q 0 0 ，a 1 ，并且假设五( z ) ，g i ( x ) g 铲( 妒) ( i = 1 ，2 ) 我们的工作是受到了h t a k a m u r a 1 0 ，y iz h o u 【1 2 和k ，y o k o y a m a 1 1 】的启发。c a u c h y 问题( 1 1 ) 与下面的c a u c h y 问题相似 fu “一“= f u t 严，( z ，t ) 妒 o ，o o ) ， i 札( z ，0 ) = ( z ) z r n ，( 1 2 ) i 【“t ( 。，0 ) ：= g l ( x ) x p 对c a u c h y 问题( 1 2 ) ，我们已经知道存在临界值p o ( n ) 满足 ft 扛) 2 ， 【+ 。o当n = 1 复旦大学硕士学位论文 对c a u c h y 问题( 1 2 ) ，当n = 3 时，fj o h n 6 】首先证明了经典解破 裂部分的结果，t c s i d e r i s 3 1 证明了经典解整体存在的结果；当= 5 时，j s c h a e f f e rf 8 1 对经典解的破裂和整体存在两种情况分别进行了证明。 当n = 2 时，j s c h a e f f e r 9 证明了当p = p o ( n ) 时解的破裂，r a g e m i 1 用与j s c h a e f f e r 9 不同的方法证明了1 p s p 0 ( n ) 时解的破裂。当p = 2 时，k m a s u d a 7 l 证明了n = 1 ，2 ，3 情况下经典解的破裂。对破裂部分 我们已经知道了解的生命跨度。f j o h n 【6 】给出了当n = 3 ，p = 2 时生命 跨度的下界估计，当n = 2 ，p = 2 ，3 时，生命跨度的上界估计由p g o d i n 4 1 给出。当0 p p 0 ( n ) 时，y iz h o u 【1 2 1 研究了低维空间中生命跨度的 上界估计，他的方法可以直接应用于所有维数的空间。 对c a u c h y 问题( 1 1 ) ，当a = 1 时与c a u c h y 问题( 1 2 ) 相似。例 如，当p = q 时，我们取u = ，可化为( 1 2 ) 的形式。对这种情况我 们的定理3 1 给出了完整的结果。但是如果。1 ，情况就不同了。当 礼= 3 ，p = q = 2 时，k y o k o y a m a 1 1 】证明了在小初值的情况下解的整体 存在性。当n = 2 ，p = q = 3 时，由a h o s h i g a 和h k u b o 5 的结果知， 对小初值其解也是整体存在的。如果a = 1 ，上面的两种情况下的解都是 破裂的。当n = 1 ，p = q = 2 时，我们的定理4 1 可以证明解的破裂。 下面对本文的结构安排做一简单说明： 第一章，引言。在这一章中，我们简单介绍半线性波动方程组的主要 结果，并给出了我们的主要结果。 第二章，预备知识。这一章中，我们证明了本文定理3 1 、定理4 1 证明过程中用到的基本不等式。 第三章，波速相同时半线性波动方程组解的破裂。我们采用固定特征 线的方法可以得出下面的定理： 定理3 1 如果a = 1 ， m 一1 ) ( p g 一1 ) ， 而百丁二1 2 复旦大学硕士学位论文 、，f 盯潦，当与紫 ， r 忙琏1 醐。一铽当卓势乩 2 咒( p q - 。1 ) 0 ，f 0 ，j 0 ，并且0 g 1 ，1 p ，q 0 ， 所以 ，n 渤眦器， 礼b ) g 器 ( 2 3 ) 两边同乘以礼( 可) ，( 2 4 ) 两边同乘以m ( ! ，) ，然后两式相加 m 洲 黼+ 然 由引理2 ，1 的条件可知， 半一l 毒- i - 生”，s口l s 所以( 2 5 ) 可以写作 山g ( 蒜) 学+ ( 蒜) 端 由y o u n g 不等式可知 蚓髀擀 如果我们令 i ( y ) = m ( 可) n ( 可) ， 以啦e 斋络， i ( ) ：m 矿 如果n + 7 2 = 1 ，由f 2 8 ) 可得 广1 ( 可) 面丽五西焉 百= 汞啬百习玎币= 瓣 当e 充分小时，有 t + ( e ) e x p 岛2 ( 1 8 ) ( 2 ，9 ) 5 勺 印 回 踟 口 妲 口 心 复旦大学硕士学位论文 如果0 r 1 + r 2 1 ，由( 2 8 ) 可得 t + ( ) c o 业1 - - r l - - r 2 则由( 2 9 ) 和( 2 1 0 ) 可得引理2 1 的i l ? n 。 f 2 1 0 1 口 6 霈 第三章波速相同时 半线性波动方程组解的破裂 对c a u c h y 问题( 1 1 ) ，当波速相同时，即a = 1 时，可化为下面的半 线性波动方程组的c a u c h y 问题 f ( z ，t ) 一a u ( x ，t ) = i v t ( x ，t ) 1 9 j 仉t ( 。，t ) 一a v ( x ，t ) = u t ( x ，t ) 1 9 1u ( z ，0 ) = e ( z ) ，u t ( x ，0 ) = e g l ( x ) 【u ( z ，0 ) = e ，2 ( z ) ， ( 。，0 ) = 9 2 ( x ) 其中 ) ，饥( z ) c 扩( r “) ( i = 1 ，2 ) ，0s e 1 ，1 一 一 p p x黔廿 k k 耖靴冀 复旦大学磺士学位论文 由散度定理以及u ( z ，t ) ，v ( x ，t ) 具有紧支集，可得 h ( ，。，t ) l d z = ( a 2 一岛2 一。) u ( 可，。，) 出 j r n 一1j r n 一1 = ( 霹一霹) 上札( ，z ，t ) 出， = 上一( a 2 一西2 一创比而删z = ( 留一露) 上。咄，印) 兆 现在我们构造两个新的函数 矿( ，t ) = u ( y ，z ，t ) d z ，y ( ，t ) = v ( y 忍t ) d z j r n 一1j r n 一1 则u ( y ，t ) ，v ( y ，t ) 满足下面的一维波动方程 u t e ( y ，t ) 一( ，t ) = i v t ( y ，z ，t ) i p d z j r “一1 k t ( y ，t ) 一( ，t ) = l u t ( y ，z ，t ) 1 9 d z j r ”一1 由d u h a m e l 原理和d a l e m b e r t 公式，可知 其中 ( 3 6 ) ( 3 7 ) u ( ，t ) = i u 0 + t ) + ( 一+ z 二+ 。u ( ( ) d ( + ；z d tf y + t - 7 矗( 上。一。j 坼( e ，z ，r ) 1 ，d z ， ( s s ) y ( ”，亡) = ； 国+ 钟+ k b t ) + z 二+ k ( e ) d e + 躲r e 7 武“州，r 耶出 ( 3 。) u ( 可，o ) 2 上。“( ，o ) d = 25 上一 ( 舭) d z = e u o ( y ) ，j r “一1j r “一1 以( ，0 ) = u t ( 掣，g ，o ) d z = s g l ( ，z ) d z = e 巩( 可) j r “一1，旺“一1 v ( y ，0 ) = 7 z ，o ) d z = 7矗( 磐，z ) d z = e ， j r “一1j r “一1 ( g ，o ) 2 上。一v d y , z , o ) 1 d 。2 5 上。一19 2 ( ) 如2 ( g ) j 碇n 一 皿”一 8 复旦大学硕士学位论文 当一t + y t 一，由( 3 3 ) 可知 ( + t ) = u o 一t ) = 0 f y + ai + o orr z 一。巩( ( ) d e 2 上。d 上一口( e ，2 ) 如2 厶g - ( z ) 如 o ， 仁吣脓= e d ( l 眯如= 厶以州刚 不妨设 m = 扳吣心，= ；仁哪( ( 3 1 0 ) 由( 3 8 ) ，( 3 9 ) 和( 3 ，1 0 ) 我们知道 哪) 啪+ 抬下z 竺7 必“眯，v 胪峨 ( 3 1 1 ) 咐) 圳1 z t 打z 芝7 d ( “州，刊峨 ( 3 1 2 ) 由( 3 3 ) 和h s l d e r 不等式可得下面的不等式 u ( 小) m s + a td7k+t-，rd茼i、膏v箨fz t s d z i p ，( 。) y c ”，t ， n e + c z t d r z y + 。十t - - ，td e i ；i ；i 掣c s a ， 对固定的特征线t y = k ，令 粼三叭v ( y 嚣y 昝 ( 3 1 5 ) i 卢( 可) =，+ 凫) p “ 分割( 3 1 3 ) 和( 3 1 4 ) 的积分区域，并交换( e ，r ) 的积分顺序( 见下一页的 图) ，则当时 嘶) 狨w ，i 。y 峥r e + 。而辫抚 1 6 ) 鼬) 卧g j ( v r e + 而辫加 ( 3 1 7 ) 9 复旦大学硕士学位论文 由( 3 1 6 ) 和( 3 1 7 ) 的积分区域可知 ( 下+ 七) 2 一( 2 ( e + k + 七) 2 一e 2 = 4 七( + 南) ( 3 1 8 ) 所以( 3 1 6 ) 和( 3 1 7 ) 可以写作 a c ， ，s + e z ”d e 厂- + k i 祭打 p c 掣，s + g z ”d e z ：石器打 瞄二三 u ( ( ，( 一k ) = y ( ( ，e k ) = 0 ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) u 。j j ( y - t ，0 ) d ( k , o )( y , o )( y + t ，0 ) 1 0 帖 惦。吲。叭 仁仁 童一 厂厶厂 复壁大学硕士学位论文 1 1 则 从而 所以( 3 2 1 ) 可写作 如果令 f = 荣虬 。， 蕊 _ ! 二! ! b ! 兰二! 二 2 j 一 2 f s ”1 + r 2 。歹干1 + j ( p + 1 8 )( n 一1 ) 。，q 一1 ) 焉2 ( 1 - s ) 三二 p + 1p - t - q + 2 2 ( p q 一1 ) p + q + 2 一( p q 一1 ) ( 礼一1 ) 2 ( p q 一1 ) p + q + 2 定理3 1 如果 与案 并且s u p p f i ( x ) ，s u p p g i ( x ) c z r “：i z i ) g i ( 。) d x o j r n 其中i = 1 ，2 ，k 是一个正常数，并且0 e 1 ，1 p ，q 一 删 m ，j1 第四章波速不相同时 半线性波动方程组解的破裂 f u t t ( x ，t ) 一a 2 a u ( x ，t ) = j 仇( 。，t ) j 9 ( z ，t ) r “ t2o ， vtt(x，魑-amv(z,0 砷黜x0 矬e g ，是亲，叭。邳 ，( 4 - ) l u ( z ，) = ( z ) ，u ，) =1 ( z )。瓜n ， l 4 1j 其中o 1 的常数，0 1 ，1 p ，q o c ， ( z ) ，吼( z ) c 铲( p ) 0 ： 篝裂q 2 。， 其中i = l ，2 ，k 是一个正常数。则c a u c h y 问题( 4 1 ) 的经典解在有限时 刻破裂，而且存在一个与e 无关的常数c o ，使得c a u e h y 问题( 4 1 ) 解的 丁、 一 、j、j p 0 口 p ，、 复旦大学硕士学位论文 1 4 从而 2 ( 1 一s ) 1 t 1 2 f s p + 1 。 由引理2 1 可得定理4 1 j ( p + 1 一s )2 ( p q 一1 ) p + 1p + q + 2 。( - _ s ) = 鬻 口 复旦大学顶士学位论文 附录非线性波动方程的依赖区域 我们讨论n 维空间中非线性波动方程初值问题经典解的依赖区域。 考虑下面形式的非线性波动方程 钍蜡一让= f ( 。， ，铭，d u ，d 2 u ) ( a 1 ) 其中u = u ( 。，t ) 是对 0 ，o 。) 中的未知函数并且 d u = ( a “，a 乱，瓯“) 酗， d 2 ( 霹“，a a 札，岛魏札，研u ，砩u ) 腿型掣 假设非线性项f 满足： ( h 1 ) ：存在个正_ 常数m 得 f c o ( r n 0 , o o ) r r n + l r 生盟学业) 满足 f f ( z ，u ，d u ，d 2 札) i5 m ( i u i4 - i d u i ) ， 或者更强一些： ( h 2 ) ： f c 1 ( 豫n o ，o o ) r 豫n “豫鱼型学盟) 满足 f ( z ，t ，0 ，0 ，d 2 u ) = 0 对任意的z ，t ，和d 2 札 定理a 1 ( 解的依赖区域) 假设成立( h 1 ) ，对( 3 ；0 ，t o ) 碾? 【o ，。o ) ，u 是( a 1 ) 在r = ( z ，t ) 孵x 0 ，o o ) ；i z 一粕j t o 一曲，并且“= a = 0 在r n t = o ，贝07 , ；0 在r 上 注a 1 本定理f j o h n 6 首先证明了在( h 2 ) 的条件下是成立的，后 来r a g e m i 1 】用条件( h 1 ) 代替( h 2 ) 证明了定理a 1 ，h t a k a m u r a 1 0 1 给出了详细的证明。 1 5 复旦大学硕士学位论文 由定理a 1 我们可得下面的推论 推论a 1 假设( h 1 ) 成立。u 是( a 1 ) 在时 0 ，o 。) 上的e 2 解。 设u ( z ，0 ) = u t ( z ，0 ) = 0 在 z 础；h ) ，k 是一个正的常数。则在 ( z ，t ) 腮“ 0 ，t ) ；l x i t + 七) 上三0 1 6 参考文献 1 r a g e m i ，b l o w - u po fs o l u t i o n s t on o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n si nt w o s p a c ed i m e n s i o n s ，m a n u s c r i p t am a t h ，7 3 ( 1 9 9 1 ) ，1 5 3 1 6 2 2 1 2r a g e m i ，l e c t u r e so nn o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s ，n o t e si nj a p a n e s e ， h o k k a i d ou n i v ，1 9 9 0 - 1 9 9 1 3 】t c s i d e r i s ，g l o b a lb e h a v i o ro fs o l u t i o n st on o n h n e a rw a v ee q u a - t i o n si nt h r e es p a c ed i m e n s i o n s ，c o m m p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， 8 ( 1 ) ( 1 9 8 3 ) ，1 2 9 1 1 3 2 3 4 p g o d i n ，l i f e s p a n o fs o l u t i o n so fs e m i l i n e a rw a v e e q u a t i o n s i nt w o s p a c ed i m e n s i o n s ，c o m m p a r t a l l d i f f e r e f n t a i l e q u a t i o n s 1 8 ( 5 & ：6 ) ( 1 9 9 3 ) ，8 9 5 9 1 6 5 a h o s h i g a a n dh k u b o ，g l o b a ls m a l la m p l i t u d es o l u t i o n so fn o n l i n e a r h y p e r b o l i cs y s t e m sw i t hac r i t i c a le x p o n e n tu n d e rt h en u l lc o n d i t i o n ， s i a m j m a t h a n a l ，3 1 ( 2 0 0 0 ) ，n o 3 ，4 8 5 5 1 3 6 f j o h n ，b l o w u pf o rq u a s i l i n e a rw a v ee q u a t i o n si nt h r e es p a c ed i m e n s i o n ，c o m m p u r ea p p lm a t h ，3 4 ( 1 9 8 1 ) ，2 9 5 1 7 k m a s u d a ，b l o w - u ps o l u t i o n sf o rq u a s i l i n e a rw a v ee q u a t i o n si nt w o s p a c ed i m e n s i o n s ，l e c t u r en o t e si nn u m a p p l a n a l ，6 ( 1 9 8 3 ) ，8 7 - 9 1 8 j s c h a e f f e r ，w a v ee q u a t i o nw i t hp o s i t i v en o n l i n e a r i t i e s ，p h d t h e s i s ， i n d i a n au n i v e r s i t y , 1 9 8 3 1 7 复旦大学硕士学位论文 1 8 9 】9 j s c h a e f f e r ，f i n i t e - t i m eb l o w - u pf o ru t t a u = h ( u r ，u t ) i nt w os p a c e d i m e n s i o n s ，c o m m p a r t a i ld i f f e r e n t a i le q u a t i o n s ，1 1 ( 5 ) ( 1 9 s 0 ) ，5 1 3 5 4 3 1 0 h t a k a m u r a ，n o n e x i s t e n c e o fg l o b a ls o l u t i o n st os e m i l i n e a rw a v ee q u a - t i o n s ，p h d t h e s i s ，t s y k u b au n i v e r s i t y , 1 9 9 5 1 l 】k y o k o y a m a ，g l