（基础数学专业论文）量子可分性与局部幺正变换下量子态的等价性.pdf

摘要 随着量子信息与量子计算的迅速发展，量子纠缠的重要性与日俱增。 在过去的几十年中，纯态的可分性判定已经很好的解决了然而，对混合 态的可分性和纠缠的研究还是不尽如人意本文一方面就混合态的可分 性判定问题作了一些研究，另一方面也在混合态的局域幺正等价性方面 取得了一些成果 判定一个给定的量子态可分与否是量子信息理论的基本问题之一在 本文的第三部分我们主要研究了秩为2 的量子态与某些多体p p t 态的 可分性首先我们借助于不变量及推广的c o n c u r r e n c e 给出了两体及多体 秩2 的量子态可分的一个可操作的充要条件然后对于c ：oc spc 及 c 2 0c 2 0 c 2 固c 量子空间上秩n 的p p t 态，我们研究了它的标准型，并 根据其标准型得到了其可分的一个充分条件。 c o n c u r r e n c e 是判定多体量子态是否纠缠的重要工具之一然而，计 算多体量子态的c o n c u r r e n c e 绝非易事在本文的第四部分，通过寻找 c o n c u r r e c e 与推广的部分转置之间的关系，我们给出了三体及多体量子 态c o n c u r r e n c e 的一个下界，这个下界是易于计算的通过这个关系，我 们将判定多体量子态的纠缠问题转化为计算推广的部分转置的迹范数是 否大于1 的问题。 对于给定的两个混合态，如何判定其在局域幺正变换下的等价性是量 子信息理论的重要问题之一解决这个问题的一个重要且常用的方法是 寻找局域幺正变换下的不变量的完全集。然而，随着子系统的增加，不 变量的个数迅速增长因此，用这种方法来解决多体量子态的局域幺正 等价性是相当困难的利用矩阵的不动点子群理论与直积分解，我们首 先研究了三体任意维非简并的两个量子混合态在局部幺正变换下的等价 性，并给出了一个易于操作的局域幺正等价性准则进一步，三体的结果 经过推广可以应用于多体任意维非简并的量子混合态在本文的第六部 分，我们利用局部测量原理给出了一部分两体任意维可分w e r n e r 态的一 种直积分解 关键词：量子纠缠，可分性，局部幺正等价性，密度矩阵，c o n c r e n c e ， 、v e r e r 态 2 a b s t r a c t a st h ek e yp h y 8 i c a lr e s o u r c 鹤i nq u a n t u mi n f o r m a t i o p r o c e 船i n ga n dq u a n t u m c o m p u t a t i o n ，t h eq u a n t u me n t a n g l e ds t a t 鹤h a v eb e e ni n v e s t i g a t e dw i t hag r e a t d e a lo fe 肋r ti np a s ty e a 璃s of 缸f o rg e n e r i cm i 】【e d8 t a t e so n l yp a r t i 舡s o l u t i o n sa r e k n o w no nd e t e c t i o n 粕dq u a n t i f i c a t i o no fe n t 柚g l e m e n ti n 雏o p e r a t i o n a lw a 弘i n t h i st h e s i s ，w em a i n l ys t u d yt h es e p a r a b i l i t ya n dt h ee q u i v a l e n c eu n d e rl o c a lu n i t a 珂 t r a 璐f o r m a t i o 璐( l u t ) o fq u a n t u ms t a t 稍 i ns e c 3w ei n v 鹤t i g a t et h e8 e p a r a b i l i 锣o fm i ) 【e ds t a t 鼯w h i c hh a v es o m e8 p e c i a lp r o p e r t i 锶o nb i p a r t i t ea n dm u l t i p a r t i t eq u a n t u m8 y 8 t e m sa n dp r e s e n ts o m e 叭伍c i e n t 锄d e c e 豁a r yc o n d i t 蛔o rs u 伍c i e n tc o n d i t b n 8f o r 船p a r a b n i t y0 fm e d 8 t a t w e6 r s t8 t u d yt h e8 u 毋c i e n ta n dn e c 髑s a r yc o n d i t i o n sf o rs e p a r a b i l i t yo f h i g h e 卜d i m e n s i o n a lq u a n t u ms t a t 髑w i t hr 锄kt w o b i p a r t i t e 觚dm u l t i p a r t i t e q u a n t u ms y s t e m 8 t h e nw ei n v 鹄t i g a t et h ec a n o n i c a lf o ma n d p a r a b i l i t yo fp p t ( p o s i t i v ep a r t i a lt r a n s p o s e ) s t a t e so n8 0 m em u l t i p a r t i t eq u a n t u ms y s t e m s f o rg e n e r i cm i 】【e ds t a t e s ，c o n c u r r e n c ei so n eo ft h ew e ud e 6 n e dq u a n t i t a t i v em e a - s u r e so fe n t a n 出e m e n t n e v e r t h e l e s s ，c a l c u l a t i o no ft h ec o n c u r r e n c ei saf o r m i d a b l e t a s kf o rh i g h e rd i m e n s i o n a lc 船e w bi n v e s t i g a t et h el o w e rb o u n d so fc o n c u h e n c e f o rt r i p a r t i t e ，觚de v e nm u l t i p a r t i t eq u a n t u mm i ) ( e ds t a t e si ns e c 4 b ye s t a b l i s h i n g f u n c t i o n a lr e l a t i o n sb e t w e e nc o n c l l r r e n c ea n dt h eg e n e r a l i z e dp a r t i a lt r a n s p o s i t i o n s ( g p t ) ，w ed e r i v ea n a l y t i c a ll o w e rb o u n d so fc o n c u r r e n c ef o r 咖l t i p a r t i t es y s t e m s o n eo ft h ei m p o r t a n tq u t i o n si nq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r yi sh o wt oj u d g e w h e t h e rt w om i x e ds t a t 鹪a r ee q u i v a l e n t 蚰d e rl u t o n e 印p r o a c hi nd e a l i n gw i t h t h ee q u i v a l e n c eo fq u a n t u ms t a t 郎u n d e rl u ti st o6 n dt h ec o m p l e t es e to fi n v a r i a n t s u n d e rl u t t w os t a t e sa r ee q u i v a l e n tu n d e rl u ti fa n do n l yi ft h e yh a et h es a m e v a l u e so fa l lt h e s ei n v a r i a n t s h o w e v e r ，t h en u m b e ro “n v a r i a n t si n c r e a s e sq u i c k l y w h e nt h es u b s y s t e m si n c r e a s e ，s oi tbr a t h e rd i m c u l tt od e a lw i t ht h ee q u i v a l e n c e 3 p r o b l e mo fm u l t i p 秫i t e8 t a t 铭i nt e r m so fi n v 撕a n t 8 印p r o a c h b y1 1 s i n gt h e 缸a l y s i 8 o f 矗x e d p o i n t s u b 寥o u p 锄d t e n s o r d e c o m p o b 苦m l i t yo f c e r t a i n m a t r 洒，w e i r 8 ts t u d y t h ee q u i v a l e n c e0 f 肿n d e g e n e r a t et r i p a r t i t eq u a n t u mm i ) 【e ds t a t e su n d e rl u t a n d p r o v m ea no p e r a t i o n a lc r i t e r i o nf o rt h ee q u i v a l e n c eo f 押阳n o n d e g e n e r a t em i x e d 口u a n t u ms t a t 鹤u n d e rl u t m o r e o v e rt h er 晒u l ti 8s t r a i g h t f o r w a r d l yg e n e r a l i z e d t ot h ec 鹅eo fm u l t i p a r t i t en o n d e g e n e r a t em i x e d8 t a t e s f i n a l l y w e 百v eac o n v e x d e c o m p o s i t i o no f8 0 m eb i p a r t i t es e p a m b l ew 毫r n e rs t a t e si na r b i t f a 巧d i m e n s i o 璐 k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n 西e m e n t ，d e n s l t ym a t r i x ，c o n c l l r r e i l c e ，l o c a lu n i t a f y e q u i v 以e n c e ，8 e p a r a b i l i t y ，w e r n e rs t a t 髓 4 首都师范大学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担 学位论文作者签名： 日期：卅年钥归 首都师范大学位论文授权使用声明 本人完全了解首都师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版 有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆 被查阅有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索有权将学位论 文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：毒参红 日期：聊年钼矿日 1i n t r o d u c t i o n d i s c l l 鹪i o 璐o nt h ee x i s t e n c e0 fe n t a n 酎e ds t a t 鹤i t h e1 9 3 0 8r o d o u b t 8o n w h e t h e rq u a n t u mm e c h a n i c sc o u l dp r o v i d eac o m p l e t ed e s c r i p t i o no ft h en a t u r e 【1 】 i np a r t i c u l a r ，p o s s i b i ec o h e l a t i o 璐o fm e 卸u r e m e n tr e 8 u l t so nd i 行e r e n t8 1 王b s y s t e m s w e r ew i d e l yd i 8 c u s s e d i nd a 硒i c a ls y s t e m s ，a l ls u c hp s i b l yo c c u r r i n gc o r r e l a t i o n s c a nb ed e s c r i b 甜i nt e m so fc l a s s i c a lp r o b a b i l i t i e 8 r h i 8i sn o tp s i b l ef o rc o r r e 1 a t i d n sc h a r a c t e r i s t i co fe n t a n g i e ds t a t 铝，w h a ta tt h a tt i m ec o n 屯r a d i c t e dc o m m o n u n d e r s t a d i n go ft h en a t u r e a sac o n s e q u e n c e ，t h e r ew e r ea t t e m p t st o6 da l t e m 扣 t i v et h e o r i t h a tc o u l de x p l a i nt h en o n - c l a 鹋i c a lc o r r e l a t i o 瑚o fq u 锄t u ms y s t e 瑚 t h em o s tp o p u l a rt h e o r y 【1 t h a t 缸a l l yl e dt ot h e 丑f 8 te x p e r h n e n t a le v i d e n c e 【2 1 f o re n t a n g l e ds t a t p 0 8 t u l a t 鹤t h e 础t e n c eo fs o - c a u e dh i d d e nv a r i a b l e s t h 档e a r ea s 8 u m e dt od e t e r m i n et h ev a l u e 8o fa l ll o c a lo b s e a b l e s w i t h o u t ，h o w e v e r ， b e i n ga c c e s s i b l et oa n y “n do fm e a s u r e m e n t ，s u c ht h a tt h e i rd e t e r m i n i 8 t i c a u y6 x e d s t a t er e m a i 璐u n k n o w n 鹄am a t t e r0 fp r i n c i p l e s e v e r a li n e q u a l i t i e 8w h i c hc a l l e d b e l li n e q u a l i t i e s c a p a b l eo fd i s c r i m i n a t i n gc o r r e l a t i o 璐o fm e 龋u r e m e n tr e s u l t sd u e t oe n t a n g l e m e i l ta g a i n s tt h o s ed e 8 c r i b e db yl o c a lh i d d e n 、嘶a b l et h e o r i e 8 ( l h v t ) w e r ep r o p o s e d 【3 ，4 】， l a t e r ，a l s oc r i t e r i at h a tu s es p e c i a lt r i p a 】广乞i t es t a t e sa n dd o n o ti n v 0 1 v ei n e q u a l i t i e 8w e r ef o u n df 5 】 b o t hk i n d so fc r i t e r i aw e r et e s t e de x p e r - i m e n t a i l y 【2 6 】，a n di n d e p e n d e n t l yg a v ee v i d e n c et h a tl h v tc a n n o td e s c r i b ea l l c o r r e l a t i o n st h a to c c u ri nq u a n t u ms y s t e m s n o w a d a y s ，t h e r ei sc o n s i d e r a b l ei n t e 卜 e s ti ne n t a n d e ds t a t e s ，b e c a u s et h e r e 射ev a r i o l l 8p o t e n t i “印p l k a t i o n st h a tm a k e u s eo ft h e s en o i l l o c a lp r o p e r t i e s ，s u c ha s ：嬲t h er e s o u r c ef o rq u a i l t u mc o m p u t a t i o n 【7 ，8 】，q u 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e n t a lq u e s t i o ni nq u a n t u me n t a n g l e m e n tt h e o r yi 8 钮如i c s 8 d r e e ，i t o 叫甜。仃dm i c o 化，l 以o n l yi nf e wc 勰t h i sq u e s t i o nh 稍s i m p l ea 璐w e r t h e8 i m p l e s t 主8t h ec 嬲eo fp u r eb i p a r t i t e8 t a t e s i nt h i sc 硒e ，t h ep u r es t a t ei s 8 e p a r a b l e 讧孤do n l yi ft h er a n ko fe i t h e ro fr e d u c e dd e 瑚i t ym a t r i c e si se q u a lt o 1 ，o rt h e r ei sa 咖g l en o n z e r os c h m 诚c o e 伍c i e n t t h u 8f o rb i p a r t i t ep 、l r e 或a t 锯 i ti se l e m e n t a r yt od e c i d ew h e t h e rt h es t a t ei ss e p a r a b l eo rn o tb 甲d i a g o n a l i z i l l gi t s r e d u c e dd e n s i t ym a t r i x f b rm u l t i p a r t i t ep u r es t a t e s ，t h eg e n e r a l i z e dc o n c u r r e n c e 舀v e ni nf 1 5 】c a nb eu s e dt oj u d g ew h e t h e rt h es t a t ei ss e p a r a b l e o rn o t h d w e v e r ，f o r g e n e r a lb i p a r t i t em i x e ds t a t e s ，t h e o r e t i c a l l yc a l c u l a t i n g t h em e 鸽u r eo f e n t a n g l e m e n t f o ra 舀v e n8 t a t ei se n o u g ht os h o wt h e8 e p a r a b i l i t y h o w e v e r ，u n 七i ln o 眠w eh a n om e t h o dt 0a n a l y t i c a l l yc a l c u l a t et h ee n t a n 西e m e n tm e 嬲l l r eo f 学e n e r a lb i p a r t i t e m e ds t a t 圈t h em e t h o d sw eh a n o wo n l yc a nb ei l s e df o r m er a t h e rs p e c i a l s t a t m o r e o v e r ，f o rm u l t i p a r t i t es t a t e 8w ee v e nd o n th a y eaw e l ld e f i n e dm e a s u r e t h e r e f o r et o6 n dac r i t e r i o nt oj u d g ew h e t h e ram i ) ( e ds t a t ei 8s e p a r a b l eo rn o ti s n o tt r i v i a l l e 乞1 1 sr e c o l l e c ts o m ec r i t e r i ao f8 e p a r a b i l i t y s o m en e c e s s a r y8 e p a r a b i l i t yc o n d i t i o n sh a eb e e np r o v i d e dl nt e m 8o fe n t r o p kt n e q u a l i t 论s ，b u tam u c hs t r o n g e r c r i t e r i o nh 鹪b e e np r o v i d e db yp e r e s 【1 6 】，w h i c hi sc a l l e dp o s i t i v ep a r t i a lt r a n s p o s e ( p p t ) c r i t e r i o i ts a y st h a ti f 加曰i ss e p a r a b l e ，t h e nt h en e wm a t r i ) 【p 怨w i t h m a t r i 】【e l e m e n t sd e 矗n e di ns o m ef i x e dp r o d u c tb a s i sa s ： ( m l 似l z 岛l n ) l 功三( m l ( ”l 肌b i n ) l d i sad e n s i t yo p e r a t o r ( i e h a s o n n e g a t i v es p e c t r u m ) ，w h i c hm e a n sa u t o m a t i c a l l y t h a t 多盈i sa l s oaq u a n t u ms t a t e ( i ta l s og u a r a n t e e sp o s i t i v i t yo f 多麓d e 6 n e di n a n a l o g o u sw a y ) t h eo p e r a t i o n ，c a l k dp a r t i a lt r a n s p o s e ，c o r r e s p o n d sj u s tt o t r a n s p o s i t i o no fi n d i c e sc o r r e s p o n d i n gt ot h es e c o n ds u b s y s t e ma n d h a si n t e r p r e t a - t i o n 够ap a n i a lt i m er e v e r s a l 【1 7 1 2 a r e r w a r d st h ef 抽d y0 fh o r o d e c k i 【1 8 】s h o w e dt h a tt h ep e r 留c r i t e r i o ni 8a 1 8 0 8 u 伍c i e n t 五时2 2a n d2 3b i p a r t i t e8 y 8 t e 8b y 世i n gt h em e t h o do fp o s n i v e m a p s t h i sc r i t e r i o ni 8n o wc a l l e dp p t o rp e r e 8 - h o r o d e d 【i ( p h ) c r i t e r i o n f b r h i 曲一d i 地n s i o n a ls t a t e 8 ，t h ep hc r i t e r i o nj so n l yn e c e 鸽8 r y h o r o d e d i1 1 9 1h 笛 c o n s t r u c t e ds o m ec l a s s 皤o ff a m i i i e so fi n 8 e p a r a b l es t a t 舒丽t hp o s i t i v ep a r t i a lt m n s - p o s 鼯f o r3 3a n d2 4s y 8 t e 脚s t a t e 8o f t h i s k 缸da 弛s a i d t o b e b o u n de n t a n g l e d ( b e ) c e r fe ta 1 2 0 】，a n dh o r o d e c k i 【2 1 1i n d 印e n d e n t l y i n t r o d u c e dam a pr ：p _ t r 日( p 且) p ，一p a 口( ，ot r a ( p a 口) 一p a b ) ，w h i c hg i v e sr i s et oas i m p l en e c e s s a r y c o n d i t i o nf o r8 e p a r a b i l i t yi na i b i t f a r ) ，d i m e n s i 伽8 ，c “e dt h er e d u c t i o n 西t e r i o n ：i f p h 口i ss e p a r a b l e ，t h e n p a 囝l p a b2 q ，iop b p a b2 q w h e r ep = t r 口( p a b ) ，p 日= t r a ( p b ) t h i sc r i t e r i o ni s8 i m p l ye q u i v a l e n tt ot h ep hc r i t e r i o f o r2 n c o m p o s i t es y s t e m 8 i ti sa l s o s u 伍c i e n tf o r2 2a n d2 3s y s t e m s i nh i g h e rd i m e n s i o n 8t h er e d u c t i o nc r i t e r i o ni sw e a k e rt h a nt h ep hc r i t e r i o n t h e r ei sy e ta n o t h e rs t r o n gc l a s so fc r i t e r i ab a 8 e do nl i n e a rc o n t r a c t i o n so n p r o d u c ts t a 七e s t h e ys t e mf 如mt h en e wc r i t e r i o d i s c o v e r e di n 【2 2 ，2 3 】c a l l e d c o m p u t a b l ec r o s sn o r m ( o c n ) c r i t e r b no rm a t r i 】【r e a l i g n m e n tc r i t e r i o nw h i c hi 8 o p e r a t i o n a la n di n d e p e n d e n to np p tt e s t 【16 】i nt e n n so fm a t r i xe l e m e t si tc a n b es t a t e da sf o l l o 、v s ：i ft h es t a t ep 口i ss e p a r a b l et h e t h em a t r i 【冗( p ) 1 】l ，i t he l e m 帆t s 冗( p ) 巧，“= p 钮挪 h 勰t r a c en o r mn o tg r e a t e r 地a no n e q u i t er e m a r k a b l y ，t h er e “i g n m e n tc r i t e r i o n h a sb e e nf o u n dt od e t e c ts o m eo fp p t e n t a n g l e m e n t 【2 2 ，2 3 1a n dt ob ei l s e f mf o r c o n s t r u c t i o no fs o m en o n d e c o m p o s a b l em a p s i ta j s op r o v i d e sn i c el o w e rb o u n do n c o n c u r r e n c ef u n c t i o n 【2 4 】 n i e l s e ne ta 1 【2 5 】p r e s e n t e da n o t h e rn e c e 8 s a r yc r i t e r i o nc a l l e dt h em a j o r i z a t i o n c r i t e r i o n ：t h ed e c r e a s i n go r d e r e dv e c t o ro ft h ee i g e n v a l u e sf o rpi sm a j o r i z e db yt h a t 3 o f m lo r 以，a l o f o ras e p a r a b l e8 t a t e ，i e ，i f a8 t a 七ep i 88 e p a r a b l e ，t h e n 砖 砖砖 o ，tp f = 1 ，a n di ) ，f 妒) a r en o 咖a 1 啪dp u r es t a t e so f s y s t e ma a n d b 瑚p e c t i v e l y b u tt h e s es t a t 鹤m a yb en o to r t h o g o n a lt oe a c ho t h e ri ng e n e r a l f b ram u l t i p a r t “es y s t e m ，w ec a l laq u a n t u ms t a t ep 1 ，也，山i sf u l l y 卵p a r a b l e i f i tc a nb e w r i t t e 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a nd e 6 n e t h e c o n c u r r e n c e o f a m i x e ds t a t p0 f t w o q u b i t s t o b e t h ea e r a g e c o n c u r r e n c eo fa ne n s e m b l eo fp u r es t a t e sr e p r 髑e n t i n gam i n i i i l i z e da v e ra l lp o s s i b l e c ( p ) = i n f 鼽c ( ) ， w h e r e 矿= f a l 皿i ) 甄1 e x c e p tf o rc o n c 砒r e n