（基础数学专业论文）正交性相关问题的研究.pdf

哈尔滨理t 大学理学硕十学位论文 正交性相关问题的研究 摘要 本文利用赋范线性空间中的一些广义正交性给出了内积空间的一些特 征性质，给出了等腰正交和b i r k h o f 征交性之间的差异的一种数量刻画，引入 了m i n k o w s k i 平面上度量椭圆的定义，并对它的基本性质进行了研究 前人在对各种广义正交性之间的关系、正交性与空间性质关系的研究中 得到了很多重要的结论然而，一方面，这些研究通常都局限于关注空间整体的 正交性的性质，以及它对空间整体性质的影响，而忽视了空间在某些特殊点处 的正交性的性质将会对空间整体的性质起到的作用，对正交性在点态所具有的 性质对空间性质的影响的研究至今还是空白；另一方面，前人对广义正交性之 间关系的研究通常是定性的，他们通常只关注两种广义正交性是否有差别，而 对于它们之间的差别的大小缺乏定量的刻画 基于上述原因，本文首先从点态入手，证明了对于一个m i n k o w s k i 平面x 而 言，对偶映射在某些特殊点处是线性的、b i r k h 硼旺交在某些特殊点处蕴含毕达 哥拉斯正交都蕴含着x 是内积空间作为推论，本文给出了如果b i r k h o 缸交蕴 含着毕达哥拉斯正交，则原空间是内积空间这一结论的另一种证明利用等腰 正交的唯一性，本文用比较简洁的方式证明了如果b i r k h o f f 正交蕴含等腰正交， 则原空间是内积空间这部分的结论是对前人相关结论的点态化和精细化 其次，为了刻画等腰正交和b i r k h o 缸交之间的差异，本文引入了一个新的 几何常数d ( x ) ，给出t d ( x ) 的上下界，得到了d ( x ) 取得上下界的充分必要条 件，并在圪空间中和对称的m i n k o w s k i 平面中计算- j d ( x ) 的值，同时证明了在对 称的m i n k o w s k i 平面中，d ( x ) = d ( x + ) 最后，作为对等腰正交的研究的延伸，本文引入了度量椭圆的概念，证明了 度量椭圆是中心对称的闭凸曲线，空间的严格凸性与它生成的度量椭圆的严格 凸性等价以此为基础，表明了平行四边形范数不可有限表示，证明了如果一个 空间生成的某些度量椭圆是椭圆那么该空间就是内积空间，从而给出了内积空 间的一个新的特征性质 关键词b i r k h o f f 正交；等腰正交；内积空间；度量椭圆 哈尔滨理t 大学理学硕i j 学位论文 p r o b l e m sr e l a r e d t oo r t h o g o n a l i t m s a b s t r a c t i nt h i sp a p e rc h a r a c t e r i z a t i o n so fi n n e rp r o d u c ts p a c e sa r eo b t a i n e db ys t u d y i n g p r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e do r t h o g o n a l i t i e s ，aq u a n t i t a t i v ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h ed i f f e r - e n c eb e t w e e nb i r k h o f fo r t h o g o n a l i t ya n di s o s c e l e so r t h o g o n a l i t yi sg i v e n ，t h ed e f i n i t i o n o fm e t r i ce l l i p s ei si n t r o d u c e da n db a s i cp r o p e r t i e so fm e t r i ce l l i p s e sa r es t u d i e d a l a r g en u m b e ro ff u n d a m e n t a lr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e db ys e v e r a lr e s e a r c h e r s d u r i n gt h e i rs t u d y i n gp r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e do r t h o g o n a l i t i e sa n dt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nd i f f e r e n tk i n d so fg e n e r a l i z e do r t h o g o n a l i t i e s h o w e v e r t h e i rr e s e a r c hi n t e r e s t m a i n l yf o c u so nt w o f i e l d s f o rt h ef i r s t ，t h e ym a i n l yf o c u so nt h ep r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e do r t h o g o n a l i t i e so nt h ee n t i r es p a c e ，a n dt h e i ri m p a c to nt h ep r o p e r t i e so ft h ee n t i r e s p a c e p r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e do r t h o g o n a l i t i e sa ts o m es p e c i a lp o i n t so ft h eu n d e r l y - i n gs p a c e ，a n dt h e i ri m p a c to nt h ep o i n t w i s ep r o p e r t i e so ft h es p a c e ，e v e np r o p e r t i e s o ft h ee n t i r es p a c e ，w a sn e g l e c t e d a n df e ww a sd o n ei nt h es t u d yo ft h ep o i n t w i s e p r o p e r t i e so fg e n e r a l i z e do r t h o g o n a l i t i e s t h es e c o n d ，t h er e s u l t so nt h er e l a t i o n s h i p b e t w e e nd i f f e r e n to r t h o g o n a l i t i e st h a th a v eb e e no b t m n e da r em o s t l yq u a l i t a t i v e ，t h e r e w a sal a c ko fq u a n t i t a t i v ec h a r a c t e r i z a t i o n s b a s e do na l lt l l a th a v em e n t i o n e da b o v e ，w ef i r s tp r o v e dt h a t ，am i n k o w s k i p l a n ei s a ni n n e rp r o d u c ts p a c ei ft h ed u a lm a p p i n ga ts o m es p e c i a lp o i n t si sl i n e a ro rb i r k h o f f o r t h o g o n a l i t yi m p l i e sp y t h a g o r e a no r t h o g o n a l i t ya ts o m es p e c i a lp o i n t s ，an e wp r o o f o ft h er e s u l tt h a ti fb i r k h o f fo r t h o g o n a l i t yi m p l i e sp y t h a g o r e a no r t h o g o n a l i t yt h e nt h e u n d e r l y i n gp l a n ei sa ni n n e rp r o d u c ts p a c ei sg i v e n w ea l s op r e s e n tan e wp r o o fo ft h e r e s u l tt h a t ，i fb i r k h o f fo r t h o g o n a l i t yi m p l i e si s o s c e l e so r t h o g o n a l i t yt h e nt h eu n d e r l y i n g s p a c ei sa ni n n e rp r o d u c ts p a c e o u rp r o o fi sm u c hs h o r t e rt h a nt h eo n em e n t i o n e di n t h ef a m o u sb o o ko fd a m i l t h e n ，t op r e s e n taq u a n t i t a t i v ec h a r a c t e r i z a t i o no ft h ed i f f e r e n c eb e t w e e nb i r k h o f f o r t h o g o n a l i t ya n di s o s c e l e so r t h o g o n a l i t y , w ei n t r o d u c e dan e wc o e f f i c i e n td ( x ) t i l e l o w e ra n du p p e rb o u n d so ft h i sc o e f f i c i e n ta r eo b t a i n e d f u r t h e rm o r e ，an e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r t h ed ( x ) o ft h eu n d e r l y i n gs p a c et oa t t a i nt h el o w e ra n du p p e r 一一 哈尔滨理j l 大学理学硕卜学位论文 b o u n d si so b t a i n e d t h ev a l u eo ft h ec o e f f i c i e n ti sc a l c u l a t e di nt h ec a s eo f 曙s p a c e s a n ds y m m e t r i cm i n k o w s k ip l a n e s i ti sa l s os h o w e dt h a td ( x ) = d ( x + ) i fx i sa s y m m e t r i cm i n k o w s k ip l a n e f i n a l l y , a sa ne x t e n s i o no ft h es t u d yo fi s o s c e l e so r t h o g o n a l i t y , t h ed e f i n i t i o no f m e t r i ce l l i p s ei si n t r o d u c e d i ti ss h o w e dt h a t ，m e t r i ce l l i p s e sa r eg e n e r a l l yc e n t r a l s y m m e t r i cc l o s e dc o n v e xc u r v e s ，t h es t r i c tc o n v e x i t yo fam i n k o w s k ip l a n ei se q u i v a l e n tt ot h es t r i c tc o n v e x i t yo fm e t r i ce l l i p s e sg e n e r a t e db yi t i tw a sa l s os h o w e dt h a t ， ap a r a l l e l o g r a mc a nn o tb er e p r e s e n t e db ya n ym e t r i ce l l i p s ea n di fs o m em e t r i ce l - l i p s e sg e n e r a t e db yam i n k o w s k ip l a n ea r et r u l ye l l i p s e s ，t h e nt h eu n d e r l y i n gp l a n ei s a ne u c l i d e a np l a n e n u san e wc h a r a c t e r i z a t i o np r o p e r t yo fi n n e rp r o d u c ts p a c e si s o b t a i n e d k e yw o r d sb i r k h o f fo r t h o g o n a l i t y ；i s o s c e l e so r t h o g o n a l i t y ；i n n e rp r o d u c ts p a c e s ； m e t r i ce l l i p s e s m 一 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文正交性相关问题的研 究，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行 研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已 发表或撰写过的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体， 均己在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：昊森林日期：2 对年月7 日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 正交性相关问题的研究系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间 在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学所 有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨理 工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论 文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大 学，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或 部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密瓯 ( 请在以上相应方框内打“、 ) 作者签名：吴森株 导师签名：计弟歹爹 日期：z 辟朔7 日 日期一万年多月j 7 日 哈尔滨理 t 大学理学硕 = 学位论文 1 1m i n k o w s k i 空间 第1 章绪论 我们从欧氏几何的五条公设谈起，欧氏几何的五条公设分别是： 1 过任意两点都可以做一条直线； 2 直线可以无限延长： 3 可以以任意一点为圆心，以任意半径作圆； 4 所有的直角都相等； 5 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 上述五条公设中，最为人所关注的当属第五公设，通过修改第五公设，我们 可以得到两种主要的非欧几何：保留其它四条公设，而将第五公设修改为：过直 线外一点可以有多条直线与已知直线平行，我们将会得到双曲几何；如果将第 五公设改为：过任意一点，没有任何直线与己知直线平行，我们将得到椭圆几何 与此同时，h i l b e r t 在1 9 0 0 年国际数学家大会上提到了另一种非欧几何： w ea r ea s k i n g ，t h e n ，f o ra g e o m e t r yi nw h i c h a l lt h ea x i o m so fo r d i n a r ye u c l i d e a n g e o m e t r yh o l d ，a n di np a r t i c u l a ra l lt h ec o n g r u e n c ea x i o m se x c e p tt h eo n e o ft h ec o n g r u e n c eo ft r i a n g l e s ( o ra l le x c e p tt h et h e o r e mo ft h ee q u a l i t yo ft h eb a s ea n g l e si nt h e i s o s c e l e st r i a n g l e ) ，a n di nw h i c h ，b e s i d e s ，t h ep r o p o s i t i o nt h a ti ne v e r yt r i a n g l et h es u m o ft w os i d e si sg r e a t e rt h a nt h et h i r di sa s s u m e da sa p a r t i c u l a ra x i o m o n ef i n d st h a ts u c hag e o m e t r yr e a l l ye x i s t sa n di sn oo t h e rt h a nt h a tw h i c h m i n k o w s k ic o n s t r u c t e di nh i sb o o k , g e o m e t r i ed e rz a h l e n ，a n dm a d et h eb a s i so fh i s a r i t h m e t i c a li n v e s t i g a t i o n s m i n k o w s k i si st h e r e f o r ea l s oag e o m e t r ys t a n d i n gn e x tt o t h eo r d i n a r ye u c l i d e a ng e o m e t r y ；i ti se s s e n t i a l l yc h a r a c t e r i z e db yt h ef o l l o w i n gs t i p u l a t i o n s ：1 t h ep o i n t sw h i c ha r ea te q u a ld i s t a n c e sf r o maf i x e dp o i n t0l i eo nac o n v e x c l o s e ds u r f a c eo ft h eo r d i n a r ye u c l i d e a ns p a c ew i t h0a sac e n t e r 2 t w os e g m e n t sa r e s a i dt ob ee q u a lw h e no n ec a nb ec a r r i e di n t ot h eo t h e rb yat r a n s l a t i o no ft h eo r d i n a r y e u c l i d e a ns p a c e 对于欧几里德和牛顿来说，空间具有各向同性，然而这样的观念不符合于我 们在现实生活中的某些经验例如，“上”，“下”的含义是与“东”，“西” 哈尔滨理t 大学理学硕 j 学位论文 不同的；再如，由于存在某些“优先”的方向，晶体将生长成为多面体而不会长 成类似于肥皂泡的球形m i n k o w s k i 几何就是这样一种几何理论：在外界看来， m i n k o w s k i 几何对于不同的方向，度量的单位是不一样的，m i n k o w s k i 空间中的 “圆”，“球面”是一些凸的图形，而不像欧氏空间中圆或者球面那样，是圆形； 但是以m i n k o w s k i 几何的理论看来，各个方向的度量单位都是“一样地”，因为 此时我们所用的标尺随着所度量方向的改变( 在外界看来) 在自动的改变但 是，我们依然可以利用m i n k o w s k i 几何的度量方法来证明，这种几何理论是非欧 氏的：因为在欧氏几何中，单位圆的周长是2 7 r ，但是在m i n k o w s k i 几何中，这个值 可能是6 到8 之间的任何一个数，而且，对于空间中的不同的平面，这个值一般也 是不同的，这清楚的表明，m i n k o w s k i 几何不具有各向同性 m i n k o w s k i 几何与欧氏几何最大的不同在于m i n k o w s k i 几何中不具有”正 交”的概念虽然，在m i n k o w s k i 几何中，一点到一条直线也有最短距离，不幸的是 这个最短距离可能在许多不同的点达到，而且以”距离最短”定义的正交关系也 不具有对称性由于没有正交和直角的概念，欧氏几何中最主要的定理之一一 一勾股定理，在m i n k o w s k i 几何中也就没有意义了正交性的概念在欧氏空间的 几何理论中扮演着相当重要的角色，它不仅仅出现在欧几里德第四公设中，而 且在其它的一些基本定理，例如毕达哥拉斯定理中都有他的身影在赋范空间 几何学的研究中，一个潜在的主题就是在更为一般的空间中寻找一个新的概念 来代替欧式空间中的正交性 最早的广义正交性被称3 0 n o r m a l i t y , 它是由c a r a t h 6 0 d o r y 在研究f i n s l e r 几何的一个问题时引入的，b l a s c h k e 和r a d o n 都对这个概念进行了研究g 1 3 i r k h o f f t j 于1 9 3 5 年独立的引入了这个概念： 设x 是一个赋范线性空间，z ，夕x ，如果对于任意的o t r 都有 忪+ a 洲1 1 3 7 1 l 则称zb i r k h o f f 正交于剪 在【3 l 】中，r c j a m e s 详细的研究了b i r k h o 跹交的相关性质，他指出， b i r k h o 跹交不具有对称性，三维以上的实赋范线性空间中的b i r k h o f f 正交如 果是对称的，则该空间是内积空间；它也不具有唯一性，一个空间中的b i r k h o f j f 正 交是是右唯一的或者是可加的当且仅当该空间的范数在每一个非0 点都 是g a t e a u x 可微的，即该空间是光滑的。b i r k h o f 旺交是左唯一的当且仅当该 空间是严格凸的由于j a m e s 在这篇论文中的工作，b i r k h o 跹交通常也被称 一2 一 哈尔滨理t 大学理学硕 j 学位论文 为b i r k h o f f - j a m e s 正交和j a m e s 正交 j a m e s 本人在 2 9 】中也提出了另外两种正交性，分别称为等腰正交( i s o s c e l e s o r t h o g o n a l i t y ) 和勾股正交( p y t h a g o r e a no r t h o g n a l i t y ) ： 设x 是一个赋范线性空间，z ，x ，如果它们满足忙+ 训= 一训，则 称z 等腰正交于箩，若忙+ 圳2 = 忪胪+ 1 2 ，则称z 勾股正交于矽 j a m e s 指出，这两种正交性是对称的，但他们不具有齐次性和可加性，如果某 个空间中的等腰正交和勾股正交是齐次的或者可加的，那么该空间就是内积空 间但是，关于这两种正交的唯一性，j a m e s 没有讨论 事实上，在j a m e s 提出等腰正交性之前，r o b e r t s 曾在 4 6 】中提出一种 l t b i r k h o 跹交和等腰正交更强的正交性： 设x 是一个赋范线性空间，z ，可x 如果对于任意的o z r 都有 3 7 + q 暑，i i = l i z a 秒 则称zr o b e r t s 正交于 很容易验证，r o b e r t s 正交性具有对称性，齐次性并且，也很容易说明，如 果zr o b e r t s 正交于剪，那么z 同时等腰正交和b i r k h o 缸交于可，而且z 同时等腰正 交和b i 舳。旺交于可并不蕴含zr o b e r t s 正交于可但是，与此同时，r o b e r t s 也具有 很坏的性质j a m e s 在【2 9 】中给出了一个特殊的空间，在这个空间里，并不是对于 任意的向量都能找到与之r o b e r t s 正交的非零向量，亦艮p r o b e r t s 正交不具有存在 性 i s i n g e r 在【4 9 】中提出一种与等腰正交类似的正交性： 设x 是一个赋范线性空间，z ，x ，称zs i n g e r 正交于y ，当且仅当z ，剪中至 少有一个为0 ，或者它们满足 | | 南+ 赢| | _ l 南一赢| f 这种正交性的优点在于，它克服了等腰正交不具有齐次性的缺点，又不 像r o b e r t s 正交那样，不具有存在性 其他的一些正交性还有： c a r l s s o n 正交由s o c a r l s s o n 在【1 5 】中提出：设x 是一个赋范线性空间，z ， 一3 一 哈尔滨理：i ：大学理学硕十学位论文 秒x ，称zc a r l s s o n 正交于y ，当且仅当z ，可满足 m o ql l 屈z + m 可1 1 2 = 0 i = 1 其中o t i ，屈，7 i 是满足条件 mmm q t 群= q t 曾，q t 屈m = 0 i = 1i = 1 i = 1 的实数 d i m i r m i e i e 交由c r d i m i n n i e 在 2 1 中提出：设x 是一个赋范线性空间， z ，y ex ，称zd i m i r m i e 正交于y ，当且仅当z ，可满足 s u p f ( x ) g ( y ) 一f ( y ) g ( x ) ：f ，g s ( x + ) ) = l i x l | i l y 面积正交由j a l o n s o 在【6 】中提出：设x 是一个赋范线性空间，z ，y ex ， 称z 面积正交于y ，当且仅当z ，可中至少有一个为0 ，或者z ，y 所在的直线将它们 所张成的单位圆分成面积相等的四部分 在这些正交性当中，最基本，几何背景最直观并且得到较为广泛的研究的要 算b i r k h o 仃正交，等腰正交和勾股正交三种以下的几节将具体的介绍这三种正 交性的定义，基本性质以及与之相关的一些几何概念 1 2b i r k h o f f 正交 1 2 1 定义和基本性质 定义1 1 设x 是一个赋范线性空间，z ，y ex ，如果对于任意的q r 都有 i z - t - q 夕i | i i = 1 l 则称zb i r k h o f f 正交于y ，记为z - k by 可以从两种角度来理解上面的定义： 第一，z 到可所在的直线的距离大于忙l i ，也就是说原点是z 在唧竹 ，这 时我们称( 戤，z ：) 为一组双正交序列 正如二维的情形，任意的有限维b a n a c h 空间至少有两组a u e r b a c h 基文 献【4 l 】中还提到，如果对于某个有限维b a n a c h 空间的任意两组a u e r b a c h 基，都 存在着该空间到自身的等距同构，把其中一组变为另外一组，那么这个空间 是h i l b e r t 空间 与b i r k h o 缸交对称性有关的另外一个概念是r a d o n 曲线如果一个 m i n k o w s k i 平面上的b i r k h o f j f 正交是对称的，那么我们称这个m i n k o w s k i 平面 的单位圆是一条r a d o n 曲线r a d o n 于1 9 1 6 年引入了这个概念，b i r k h o f f t i l l 独立地 一7 一 哈尔滨理：r 大学理学硕十学位论文 发现和构- j r a d o n 曲线，r c j a m e s 3 1 】和m m d a y t l 9 】分别叙述了r a d o n 曲线 的构造方法最典型的r a n d o n 曲线的例子是f p q 范数，其中p ，q 是一对共轭数，这 个范数在平面的第一和第三象限取p 范数，在第二和第四象限取g 范数 下面是关于r a d o n 曲线的一些有趣的结论【4 1 1 1 4 3 】： 正2 n 边形是r a d o n 曲线当且仅当扎是奇数，例如仿射正6 边形就是r a d o n 曲 线 一个m i n k o w s k i 平面的单位圆是严格凸的r a d o n 曲线当且仅当对于他的任 何一个闭凸子集，最近点映射是非扩张的 如果一个m i n k o w s k i 平面的单位圆是r a d o n 曲线，那么它的单位圆的周长 大于等于6 ，当且仅当单位圆是仿射正六边形时周长为6 ；小于等于2 丌，当且仅当 空间是h i l b e r t 空间时周长取2 丌 r a d o n 曲线在可逆的线性变换下的像仍然是r a d o n 曲线 j o l y 在1 9 6 9 年l m j 提出了矩形( r e c t a n g u l a r ) 常数 p ( e ) = s u p ( | | z i i + i l y l l ) ( 1 l x + l i ) z - l b y 的概念，并且指出，p ( e ) = 2 时，空间的b i r l d a o f f i e 交是对称的m d r i o 和c b e n f t e z 4 5 1 证明了如果一个实二维赋范线性空间的矩形常数p ( e ) = 钜，那么这 个空间是内积空间 b i r k h o 旺交是各种正交性中最重要的且被研究最多的正交性，它在算子广 义逆f 1 1 ，矩阵论【1 0 儿3 7 】，非欧式空间中的最佳逼近【3 8 】等理论中发挥着越来越重 要的作用 1 3 等腰正交性 欧氏空间的正交性所具有的另外两个性质分别是“垂直平分线上的点到 线段两端距离相等”。“等腰三角形底边上的中线和底边垂直”根据前者， r o b e r t s l 4 6 j 提出了r o b e r t s 正交的概念： 定义1 2m j 设x 是一个赋范线性空间，z ，y x ，如果对v k r 它们满 足忙+ 幻i i = 忙一切i l ，则称zr o b e r t s 正交于y ，记为z - i - ry r o b e r t s 正交是一个很强的概念，可以证明两个r o b e r t s 正交的元一定 是b i r k h o 跹交的，同时很容易说明r o b e r t s 正交也一定蕴含着我们接下来提 一8 一 哈尔滨理1 ：大学理学硕：f ：学位论文 到的等腰正交的概念 i _ h _ ：是j a m e s 2 9 】指出存在一类特殊的空间，这个空间中任意 两个r o b e r t s 正交的元，其中一个必须是0 【2 9 1 有鉴于此，j a m e s 提出了下面的等腰 正交的概念 1 3 1 定义和基本性质 定义1 3 【2 9 1 设x 是一个赋范线性空间，z ，y x ，如果它们满足忙+ 引i = z y l l ，则称z 等腰正交( 或j a m e s 交) 于! ，记为z - l - zy 下面我们来回顾一下等腰正交的一些基本性质首先，等腰正交显然是对 称的，其次等腰正交具有“存在性”： 定理1 9 【存在性】【2 9 】设x 是一个赋范线性空间，z ，箩x ，那么总存在数q 使 得忙+ ( o t x + y ) l l = 忙一( q z + y ) l l 或者z 上，a z + y 成立 定理1 9 使得等腰正交不像r o b e r t s 正交那样具有很坏的性质，但是它是有很 大的局限性的：首先，我们知道在欧氏空间中，对于任意一个非o 元z 在任何以原 点为心球面上都存在和它正交的元，定理1 9 显然不能保证这一点；其次满足定 理1 9 条件的数o t 的唯一性也没有得到说明这些问题直到1 9 9 4 年瞄j 才被较好的 解决 定理1 1 0 例设z lcx ，d i m ( l ) = 2 ，则对于所有的实数7 ，总存在y 三，s t 1 l y l l = 7 ，z 上jy 定理1 1 l 瞄j 设z lcx ，d i m ( l ) = 2 ，则对于所有的实数0 7 忙l l ，存 在唯一的( 可视为同一元) y l ，s t i l y l i = ，y ，z 上j 秒 定理1 1 2 【副对于一个赋范线性空间x ，下列事实等价： 1 x 是严格凸的： 2 若三是x 的任意一个二维子空间，那么对于任意一个非o 元z l 和任意 的，y l i x l l ，存在唯一的( 土可视为同一元) y l ，s t i l y l i = ，y ，z 上jy 1 3 2 等腰正交和内积空间的特征 定理1 1 3 【8 】设x 是一个实赋范线性空间，d i m ( x ) = d 2 ，下列事实等价： 1 等腰正交是齐次的，i e 比，y x ，z 上jy 兮z 上，t yv t r ； 2 v u ，秽s ( x ) ，t 0 ，t u 上j rv 兮t i 上j 秒； 9 - 哈尔滨理j r 大学理学硕 ：学位论文 3 v u ，v s ( x ) ，3 w s ( s p a n ( u ，钞) ) ，s t u 上j rt w v t 已； 4 3 c ( 0 ，1 ) ，v z ，y x ，z 上jy 令z _ 1 - ic y ； 5 等腰正交是可加的，i e v x ，y ，z x ，z - k iz ，y 上，z 号 + y ) 上fz ； 6 v u s ( x ) ，j 过原点的超平面日，s t 牡j - 1 日； 7 v 过原点的超平面日，3 u s ( x ) ，s t uj - 1 日； 8 比， 2 ：z - 1 - iz ，z x ) 是凸集； 9 v z ， z ：z 上j 名，z x ) 含于某个过原点的超平面中； 1 0 对于某些满足条件2 n d 的n ，如果z 1 ，z n 线性无关，并且妇 s p a n ( x 1 ，z n ) 满足z - k i 巧，j = 1 ，扎，贝0 z = o ； 1 1 x 是内积空间 1 3 3 与等腰正交相关的几何概念和几何常数 非方常数源于j a m e s 在1 9 6 4 年提出的一致非方空间的概念，它是按照如下方 式定义的： 定义1 4 设x 是一个赋范线性空间，常数： j ( x ) = s u p m i n l l x + i i ，i i z 一可i i ：z ，y s ( x ) ) ) 称为x 的非方常数或者j a m e s 常数 计东海9 9 年【2 2 】给出了非方常数的下述等价表示： 定理1 1 4 j ( x ) = s u p l l x + 可i i ：i i z + 可i l = l l z 一秒l l ，z ，秒s ( x ) 事实上它还可以表述为： j ( x ) = 8 u p l l x + 可i i ：z2 - iy ，z ，y s ( x ) 有了上述等价表示，我们还可以把非方常数理解为单位圆的内接等边四边 形的最大边长，这里面“等边”是指各边的范数相等文献 2 4 】包括了对单位圆 的内接等边n 边形边长的更为一般的讨论 哈尔滨理t 大学理学硕卜学位论文 我们知道内积空间的非方常数是讵，但是非方常数是以的空间是不是内 积空间呢? 更为的一个问题是j b o r w e i n 和l k e e n e r 在1 9 8 0 年【1 2 】提出的：如果 一个空间x ，对某个固定的入r ，满足下面的r 性质，那么这个空间是不是内积 空间? v z ，可s ( x ) ，z _ l j 入可号l i x + 入1 1 2 = | l z a 可1 1 2 = 1 + 入2 j m o n s o 和c b e n f t z 在1 9 8 8 年【4 j 否定的回答了这个问题，并且指出：如 果r 2 上某个赋范空间的单位球面旋转7 r 2 扎= 2 ，3 ，) 不变，并且a = t a n ( k t r 2 n ) ( k = 1 ，2 ，礼一1 ) ，则这个空间满足r 性质与此同时两个新 的问题又被提了出来： 1 满足r 性质的空间是否一定旋转7 r 2 n 不变? 2 三维以上的实空间如果满足r 性质是否一定是内积空间? 以上两个问题至今没有得到解决 另外一个概念是对称的m i n k o w s k i 平面的概念设x 是一个m i n k o w s k i 平面， 如果3 e l ，e 2 s ( x ) ，s t a l e l + i z e 2 i = l i a e l + # e 2 1 i = i i # e l + , x e 2 1 1 ，我们就 称x 是一个对称的m i n k o w s k i 平面关于对称的m i n k o w s k i 平面我们已经可以证 明如下事实： 1 设x 是一个对称的m i n k o w s k i 平面，比，y s ( x ) ，z = o t e l + p e 2 ，则可- l x z 当且仅当y = + ( - f i e l + q e 2 ) ； 2 对称的m i n k o w s k i 平面的单位球面是r a d o n 曲线当且仅当它是h i l b e r t 空 间： 3 正2 n 边形是对称的m i n k o w s k i 平面的单位球面当且仅当礼是偶数 与r a d o n 曲线相比，对称的m i n k o w s k i 平面没有得到广泛的研究，目前己 知的结论只有“对称的m i n k o w s k i 平面单位圆的周长不小于2 7 r ”但是，对 对称的m i n k o w s k i 平面进行深入的研究是有必要的，这是因为：一方面对 称的m i n k o w s k i 平面是广泛存在的，例如实二维f 口空问的单位球面都是对称 的m i n k o w s k i 平面；另一方面，正如文献【4 l 】中提到的：“r e c e n t l y , i no p e r a t i o n s r e s e a r c h ( 运筹学) a n dv l s i ( 超大规模集成电路) d e s i g n ，v a r i o u sn o r m sh a v es t a r t e d p l a y i n ga ni m p o r t a n tr o l e ，e s p e c i a l l yf p n o l ma n dp o l y g o n a ln o r m s ；s e ee g 【2 5 16 】”， 而r a d o n 曲线和对称的m i n k o w s k i 平面正好对正多边形范数进行了一个分类 哈尔滨理r ：大学理学硕1 ：学位论文 1 3 4 等腰正交幂l a v o r o n o id i a g r a m s 等腰正交和v o r o n o id i a g r a m s 之间的关系也促使我们对等腰正交的各种性 质进行细致的研究 问题起源于所谓的“邮局问题”：假设某地有一些邮局，为当地的居民 提供邮递服务，那么我们怎么样划分这些邮局的服务范围，使得每一位居民 都可以享受到最为便捷的服务? 作为对这个问题的抽象，我们可以给出如下 的v o r o n o id i a g r a m s l 拘定义： 设 鼽) 警l 是平面上的扎个点，则由 鼽) 鍪1 所生成的v o r o n o id i a g r a m s ，是对 平面的一个划分，他把平面分成佗个区域，每个区域包含唯一一个 鼽) 磐1 中 的元，并且对于平面上任意一个点q ，口属于纯所在的区域当且仅当对于任意 的j i ，j 礼，g 到仇的距离小于等于q 到鳓的距离 在原始问题当中，两点之间的距离指的是欧氏距离，但是随着科学研究的深 入和实践的需要，人们已经不满足于仅仅考虑欧氏距离的情况，例如文献【3 6 】研 究了l v 范数意义下的二维v o r o n o id i a g r a m s i h - 题v o r o n o id i a g r a m s i h - j 题关键在于 寻找区域之间的边界，而边界上的点恰好是到某两+ p ，p ，距离相等的点的集合 的一部分我们称集合 b ( p ，q ) = z ：i i z v l i = i l z q l l 为p ，q f 拘b i s e c t o r 那么，构造v o r o n o id i a g r a m s 的关键在于确定任意两个两 个鼽，p ，的b