（基础数学专业论文）存储空间存在限制的存储决策.pdf

l 一 at h e s i si nf u n d a m e t a lm a t h e 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 。_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - 。_ _ _ _ _ - 。_ _ - 。 _ _ _ _ - _ _ _ _ 。1 1 t l l l l l l l l l u r l f l r j i j l l l l l l l f l l l l l l l l f l l l l l l m a t i c s fy 1 8|ul e l r 4 h i i l l 1 i i i7 1 l l l l l 7 l l l l l 5 i f l l | t h e s t o r a g ed e c i s i o n w i t hl i m i t e ds t o r a g es p a c e b yl uy a n a n s u p e r v i s o r ：v i c e - p r o f e s s o rz h a n gw e i n o r t h e a s t e r nu n i v e r s i t y n o v e m b e r2 0 0 7 本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得 的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人己经发表或撰写过 的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 谢意。 学位论文作者签名磊甥 日期：矽艿，口 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论 文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。 ( 如作者和导师不同意网上交流，请在下方签名；否则视为同意。) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 东北大学硕士学位论文 摘要 存储空间存在限制的存储决策 摘要 本文研究了存储空间存在限制的存储问题传统的经济订购批量公式( e o q 公式) 中的假设条件往往是现实生活中无法或很难达到的，如假设中的存储空间无限大就与现 实经济生活不同，所以研究存储空间存在限制的存储模型及其存储决策问题是很有必要 的 当采用经济订购批量公式计算出来的最优汀货量超过存储空间的存储能力时，原有 存储空间将无法容纳下订购的物品为解决此问题，本文提出了三种可选方案：方案一， 租用场地，存储物品；方案二，扩大投资，建没新的存储空间，存储物品；方案三，按 原有存储空间容量订货，允许缺货，承受缺货损失，并针对三种方案分别建立了总平均 费用存储模型，给出了在总平均费用最小惫义f 的最优存储决策 通过二个实例对上述三种可选方案进行比较，有结论：三种方案不共存；对于某物 品，通过对三种方案最低总平均费用的比较，总能找到适合该物品的最优存储决策 注意到不同物品的各项数据往往不同，所以不同物品的最优存储决策一般也会1 j 同因此，进行存储模型间的比较有助于得到物品最合适的存储决策，比较是十分必要 的 关键词：经济订购批量公式；受限存储空间；总平均费用；缺货；存储决策 a bs t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ep r o b l e mo fs t o r a g ew i t hl i m i t e ds t o r a g es p a c ei ss t u d i e d a sf a ra st h e t r a d i t i o n a le c o n o m i c a lo r d e rf o r m u l ai sc o n c e r n e d ，i ti so f t e nd i f f i c u l tt oa c h i e v ew i t ht h e a s s u m e dc o n d i t i o n ，s u c ha st h eu n l i m i t e ds t o r a g es p a c ei sr e a l l yd i f f e r e n tw i t ht h ea c t u a l s i t u a t i o n t h e r e f o r e ，i ti sn e c e s s a r yt os t u d yo nt h es t o r a g em o d e la n ds t o r a g ed e c i s i o nw i t h l i m i t e ds t o r a g es p a c e w h e nt h eo p t i m u mo r d e r i n gq u a n t i t yc a l c u l a t e db ye c o n o m i c a lo r d e r i n gf o r m u l ai si n e x c e s so ft h ec a p a c i t yo fs t o r a g e ，t h e r ew i l lh a v en os p a c et os t o r a g et h eu n n e c e s s a r yg o o d s i no r d e rt os o l v et h i sp r o b l e m ，t h ep a p e rp r e s e n t st h r e ep r o p o s a l s t h ef i r s to n e i st or e n tr o o m f o rs t o r a g e t h es e c o n do n ei st ob u i l dt h en e ws p a c ef o rs t o r a g e t h el a s to n ei st os t o r et h e g o o d sa c c o r d i n gt o t h ea c t u a ls t o r a g ec a p a c i t y a tt h es a m et i m e ，t h el a c ko fg o o d si s p e r m i t t e da n dt h er e s p o n s i b i l i t yf o rs h o r t a g ei st a k e n t h ep a p e re s t a b l i s h e sag e n e r a la v e r a g e c o s tm o d e lr e s p e c t i v e l yf o rt h e s et h r e ep r o p o s a l sa n dp r e s e n t st h eo p t i m a ld e c i s i o nw i t ht h e m i n i m u ma v e r a g ec o s tf o rs t o r a g e i nt h i sp a p e r , w em a k eac o m p a r i s o na m o n gt h r e ep r o p o s a l st h r o u g ht w oe x a m p l e sa n d s h o w e dt h ec o n c l u s i o na sf o l l o w s ：t h e s et h r e ep r o p o s a l sc a nn o tc o e x i s tu n d e rt h ec e r t a i n a s s u m e dc o n d i t i o n w ea l w a y sc a nf i n dt h eo p t i m u md e c i s i o nt h r o u g ht h ec o m p a r i s o na m o n g t h e m s i n c et h ev a r i a n tg o o d so f e nd i f f e ri nd a t a , t h eo p t i m u md e c i s i o ni sd i f f e r e n t t h e r e f o r e ， i ti sn e c e s s a r yf o ru st oo b t a i nt h eo p t i m u ms o l u t i o nf o rs t o r a g ep r o b l e mb yc o m p a r i s o n a m o n gs e v e r a lp r o p o s a l s k e yw o r d s ：e c o n o m i co r d e r i n gq u a n t i t yf o r m u l a ；t h el i m i t e ds t o r a g es p a c e ；t o t a la v e r a g ec o s t ； b a c k o r d e r ；s t o r a g ed e c i s i o n v 东北大学硕士学位论文 目录 目录 独创性声明i 摘要i i i a b s t r a c t v 第1 章绪论1 1 1 存储问题1 1 2 需求、补充和费用。2 1 3 存储问题的研究现状3 1 4 本文主要工作4 第2 章经济订购批量模型5 2 1e o q 公式5 2 2 经济订购批量决策7 第3 章存储空间存在限制的存储决策9 3 1 存储空间存在限制的不允许缺货的存储决策：9 3 1 1 租用场地存储物品的存储决策9 3 1 2 投资建新的存储空间存储物品的存储决策1 3 3 2 存储空间存在限制的允许缺货的存储决策1 6 第4 章案例分析19 第5 章总结j 2 3 参考文献：2 5 致谢2 7 随着生产、经济、技术的发展，工程技术与管理人员在实际工作中越来越多地面临 这样一类问题：工程设计中怎样选择参数，使得设计既满足要求又能降低成本；资源分 配中，怎样的分配方案既能满足各方面的基本要求，又能获得好的经济效益；生产计划 安排中，选择怎样的计划方案才能提高产值和利润；原料配比问题中，怎样确定各种成 分的比例才能提高质量、降低成本；城建规划中，怎样安排工厂、机关、学校、商店、 医院、住宅和其他单位的合理布局，才能方便群众，有利于城市各行各业的发展这些 涉及各个领域的实际问题都可归于最优化问题解决这类问题就是要找出最合理并符合 规定的所谓最优方案，寻找最优方案的方法称为最优化方法i l _ 3 1 与最优化同时迅速发展起来的理论还有运筹学运筹学是在解决第二次世界大战初 期的军事任务过程中逐步发展起来的当时迫切需要把各项稀少的资源以有效的方式分 配给各种不同的军事部门及在每一部门内的各项活动，所以美国及随后美国的军事管理 当局都号召大批科学家运用科学手段来处理战略与战术问题这些问题的解决，显示了 运筹学的巨大威力随着战后的经济迅速发展，人们开始遇到与战争中类似的问题，这 些问题起因于社会中与r 俱增的复杂性和专门化这样，运筹学在5 0 年代以后被广泛 应用于工商企业、民政事业等组织内的统筹协调问题，形成了比较完备的一套理论，如 规划论、排队论、存储论、决策论等等【4 】 存储问题是人们最熟悉又最需要研究的问题之一例如，工厂存储的原材料、在制 品等，存储太少，不足以满足生产的需要，将使生产过程中断；存储太多，超过生产需 要，将造成资金及资源的积压浪费商店存储商品，存储太少，导致商品脱销，将影响 销售利润和竞争能力；存储太多，将影响资金周转并带来积压商品的有形或无形损失凡 此种种，一方面说明了存储问题的重要性和普遍性，另一方面又说明了存储问题的复杂 性和多样性 一般来说，存储是协调供需关系的常用手段存储由于需求而减少，通过补充而增 加存储问题研究的基本问题是：对于特定的需求类型，以怎样的方式进行补充才能更 东北大学硕士学位论文 好地实现存储管理的目标 在存储问题的研究中，由于经常以存储策略的经济性作为存储管理的目标，因此费 用分析就成为了存储问题研究的基本方法【5 - 6 ij 1 2 需求、补充和费用 需求就是存储的输出，即从存储中取出一定的数量对于存储来说，由于需求，存 储量将减少需求有间断式的，有连续均匀式的图1 1 、图1 2 分别表示输出是间断的 和输出是连续的 0l 一iz0i + 一f _ lr 图1 1 存储茸间断变化图1 2 存储量连续变化 f i g 1 id i s c o n t i n u o u sc h a n g ef i g 1 2c o n t i n u o u sc h a n g e o ft h es t o r a g eq u a n t i t y o ft h es l o r a g eq u a n t i t y 补充就是存储的输入，即订货或生产存储由于需求而减少，必须加以补充，否则 最终将无法满足需求补充的办法可以是订货从订货到货物进入“存储”所需要的时 间称为拖后时间从另一个角度看，为了在某一时刻能补充存储，必须提前订货，所以 拖后时间也称为提前时间或备货时间拖后时l 、日j 可能很长，也可能很短；可能是随机性 的，也可能是确定性的 费用主要指以下费用的总和 ( 1 ) 存储费：包括货物占用资金的应付利息，以及使用仓库、保管货物、货物损坏 变质等支出的费用 ( 2 ) 订货费：包括两项费用，一项是订购费用，如手续费、电信往来、派人员外出 采购等费用，为固定费用订购费与订货次数有关而与订货数量无关另一项是货物的 成本费用，如货物本身的价格、运费等，为可变费用货物的成本费与订货数量有关 ( 3 ) 缺货费：当存储供不应求时所引起的损失如：因缺货导致的销售机会损失、 0 i1；ii土 东北大学硕士学位论文第1 章绪论 停工待料损失，以及不能履行合同而缴纳罚款等在不允许缺货的情况下，费用上处理 的方式是缺货费为无穷大 存储论要解决的问题是：多少时间补充一次，每次补充多少，才能使平均费用最 低即要寻找最优订货周期和最优订货量的问题 以上部分参考文献 4 】 1 3 存储问题的研究现状 存储问题是经济管理中的一个基本问题最初，人们只是为了维持正常的生产、经 营或军事活动，而存储一定数量的物品，没有进行定量的研究把存储问题作为一门学 科来研究，还是进入2 0 世纪以后的事情1 9 1 5 年哈罩斯( h a r r i s ) 提出了“经济批量”问 题，定量的确定最佳存储数量，这是对存储问题最初的研究1 9 3 4 年威尔逊( w i l s o nr h ) 从经济的角度研究如何确定最佳存储数量问题，给出了存储论中著名的经济订购批量 ( e c o n o m i co r d e r i n gq u a n t i t y ) 公式，简称e 0 q 公式e 0 q 公式从根本上改变了人们对 存储问题的传统认识，是存储理论研究的重大突破，是现代存储理论的奠基石 从目前的研究文献来看，存储问题的研究方向很多有针对单级库存及多级库存的 存储研究，如马东怡等人针对供应链环境下的多级库存优化控制问题，建立了一个需求 率受库存水平影响的多级库存决策模型【7 1 ；r a m 对多个供应商、单仓库和多零售商二级 系统进行研究，建立了单产品供应链库存模型 s i ；杨红军从库存成本角度出发，提出一、 二级库存控制模型和解法有针对物品价格折扣的存储研究，如a b a d 研究在允许部分 延期交货的情况下，价格和订货量都作为决策变量的一类库存模型1 9 1 有针对需求方式 的存储研究，如s a r k e r 和3 a m a l 等人研究在时变需求和通货膨胀的情形下易腐品的库 存优化问题1 1 0 1 ：王瑛、孙林岩对于核心制造企业的多级库存控制系统，在合作需求下确 定了订购临界点，并建立了由供应网络、核心企业和分销网络组成的多级库存系统优化 模型1 1 1 ；陈顺正等人研究基于混合需求多产品的供应链库存优化模型 1 2 l ；d i p o n e g o r o 和s a r k e r 等人考虑需求的时变性，研究了需求线性增加、需求线性减少和需求不变三种 情形下的生产配送系统库存优化问题1 1 3 1 有针对单周期和多周期的存储模型研究，如张 道宏的多周期随机性库存控制模型与方法也有将优化算法应用到存储管理方面的研 究，如陈青等人针对某冶金企业原料库存的实际情况，建立了一个以资金损耗最小为直 东北大学硕士学位论文 化模型，并利用一种进化规划算法对模型进行了优化【1 4 i ；瞿建军等 人将遗传优化算法应用到多级联合库存优化求解中等 关于存储问题，虽然可研究的方向很多，但对存储空间存在限制的存储模型研究却 很少，k j c h u n g 等人在可延迟交货情况下，针对不易腐烂物品建立了存储空间容量受 限制的二级库存优化模型i t s ；周涛等人在对多品种配送库存优化模型的研究中对此也有 涉及1 1 6 l ，两篇文章都将存储空间容量存在限制作为约束条件来建立存储模型，并求解给 出了最优决策，但文章只是将这一限制作为一种硬性条件来看待，没有提出当存储量超 过存储空间容量时的解决途径在现实经济生活中，存储空间的容量显然有限，所以当 需要存储的物品一旦超出存储空间容量时，就必须寻求以往没有的其它解决方案研究 存储空间存在限制的存储问题很有必要 1 4 本文主要工作 本文将研究存储空间存在限制的存储问题具体研究当存储物品超出存储空间的存 储能力时的存储问题，将提出解决办法，建立新的存储模型，探讨最优决策 - 4 一 东北大学硕士学位论文第2 章经济订购 2 1e o q 公式 第2 章经济订购批量模型 存储问题是经济管理中的基本问题人们为了维持正常的生产、经营或军事活动， 常常需要存储一定数量的物品在社会发展初期，因存储量小，存储问题不突出，似乎 没必要对存储进行定量研究但随着社会的发展，存储问题r 益突显，解决存储问题已 变得越来越紧迫1 9 3 4 年，威尔逊( w i l s o nr h ) 从经济的角度研究如何确定最佳存储数 量问题，给出了存储论中著名的经济订购批量( e c o n o m i co r d e r i n gq u a n t i t y ) 公式，简称 e o q 公式e o q 公式从根本上改变了人们对存储问题的传统认识，是对存储理沦研 究的一个重大突破，是现代存储理论的奠基石 威尔逊的经济订购批量模型的假设条件如下： ( 1 ) 需求是连续的、均匀的： ( 2 ) 一次订货量无最大、最小限制： ( 3 ) 采购、运输均无价格折扣； ( 4 ) 当存储降至零时，可以立即得到补充； ( 5 ) 每次订购费不变，且与订货蕞无关； ( 6 ) 每次订货量不变； ( 7 ) 单位存储费不变，维持存储的费用是存储量的线性函数： ( 8 ) 客观上不缺货； ( 9 ) 存储空间无限大 在以上假设条件下，给出符号约定： t ：订货周期，即每隔t 时f j b 充一次存储； q ：订货量； t o ：最优订货周期； q 0 ：最优订货量； r ：需求速度，即单位时i 日j 的需求量，为常数； i c ：原有存储空问的单位存储费用； l 第2 章经济订购批量模型东北大学硕士学位论文 c ：订购费； k ：货物单价， 以上变量均大于零 基于上述假设，存储量的变化过程是：当存储量以需求速度尺线性减少到零时，发 出一次订货，订货量为q ，补充时间间隔为t o 由于可以立即得到补充，即不会出现缺 货，所以存储量在每个时间间隔t o 后都会立即又变为绕如此重复存储量的变化情况 参见图2 1 q 乌 0 l 卜毛l r 图2 1 存储量变化 f i g 2 1c h a n g eo ft h es t o r a g eq u a n t i t y 以经济性作为存储管理的目标，这里的费用分析将用总平均费用来衡量存储决策的 优劣总平均费用最低就作为存储管理的实际目标总费用等于存储费用、缺货费用与 订货费的总和，而总平均费用等于总费用与订货周期的比值 分析可知，在需求确定的情况下，每次订货量多则订购次数就可以减少，从而订购 费减少但是，每次订货量多又会增加存储费用所以要使总平均费用最低就必然存在 订货量及订货周期的临界值 由于可以立即得到补充，不会出现缺货，所以这里不需要考虑缺货费用 由于一次订货量q 必须满足一个订货周期内的需求，而需求速度足为常数，所以 q = r t ( 2 1 1 ) 订货费为两部分，一为订购费c 1 ，二为货物本身的费用所以一个订货周期内的订 货费为 将( 2 i 1 ) 代入( 2 1 2 ) 式，得订货费为 c 3 + 阳 ( 2 1 2 ) c 3 + k r t ( 2 1 3 ) 东北大学硕士学位论丈 参见图2 1 可知， 因此一个订货周期内 一个订货周期内 可得总费用为 一个订货周期内的总 2 2 经济订购批量决策 c ( ，) = 1 r c t + k r + 孚 ( 2 1 5 ) 前面指出用总平均费用来衡量存储决策的优劣，即用总平均费用最低作为存储管理 的实际目标对于总平均费用函数来说，这相当于，取何值时c ( f ) 最小问题利用边际 分析法可以很好地解决这个问题 边际分析法是经济学的基本研究方法之一，其数学原理很简单边际指的是因变量 随着自变量的变化而变化的程度，即自变量变化一个单位，因变量随之改变的量而函 数的极值在边际为零时取得 对于公式( 2 1 5 ) ，由于订货周期r 是连续变化量，所以其边际值为因变量对自变量的 导数值由微积分基本原理可知，费用最低在边际值为零时取得 ( 2 1 5 ) ) 式对变量f 求导，并令竺掣：0 ，得 i zr c , 一7 c 3 = o 由此解出使总平均费用最低的最优订货周期为 ，o = 蜃， ( 2 2 1 ) r 第2 章经济订购批量模型 东北大学硕士学位论文 即每隔，o 时间订货一次可使c ( ，) 最小 将( 2 2 1 ) 式代入( 2 1 1 ) 式，便得到最优订货量为 东北 上一章讨论的e 0 q 公式是在许多假设条件下得到的，其中有些假设条件过于理想 化，在现实生活中根本无法或很难达到，如存储空间的大小问题现实生活中，存储一 定会受到存储空间存储能力的制约当存储物品超出存储空间的存储能力时，经济订购 批量公式一般不会再适用因此，对存储空间存在限制的存储模型及其存储决策问题进 行讨论是实际经济生活的需要，也是很有必要的 ， 当采用e 0 q 公式计算出来的订货量超过存储空间的存储能力时，原有存储空间将 无法容纳下订购的物品为解决此问题，本章提出了三种可选方案：方案一，租用场地， 存储物品；方案二，扩大投资，建设新的存储空问，存储物品；方案三，按原有存储宅 问容量订货，允许缺货，承受缺货损失，并针对三种方案分别建立了总平均费用存储模 型，给出了在总平均费用最小意义下的最优存储决策 本章将要讨论的三种可选方案的假设条件仅对2 1 节中的假设条件作了一点改变： 存储空间的容量有限 辄， 新增符号约定： 肘：原有存储空间的容量； c ：租用存储空f n j 的单位存储费用； c 4 ：扩大存储空间投资的单位成本； c ：单位时间单位缺货损失， 并假定：q m o ，c 2 c i o ，c 4 o ，c 5 0 3 1 存储空间存在限制的不允许缺货的存储决策 3 1 1 租用场地存储物品的存储决策 决策过程：租用场地存储物品，既发生了订货量q m 的情形在不允许缺货假没 前提下，这时则需要租一个其它场地存储多出的物品由于向外租用场地的单位存储费 用大于自有场地的单位存储费用，所以当出售物品时，应先出售租用场地存储的物品， 当这部分物品售空时，再出售自有场地存储的物品，直到物品全部售完，再组织下一次 订货 东北大学硕士学位论文 分析必须租用场地存储物品的平均总费用，并寻求在 这种万栗卜的最优词赁周期和最优订货量 租用场地存储物腻一何货脚时叫0 ，m 为 。，半 和 半小 个时段第一时段消耗的是租用空间存储的物品，第二时段消耗的是自有场地存储的物 品 当7 1 。，望 时，租用空间中存储的物品以需求速度尺线性减少，而自有存储 空间存储量为m 的状态不变一个订货周期内租用空间中存储物品的存储量变化如图 j 1 所示一个订货周期内租用存储空间的存储费用为 c 2 厂( 9 一m r 丁矽丁= 彖( 尉一m ) 2 ( 3 1 1 ) 口一肘 0 q mf r 图3 1 租用空问的存储量变化 f i g 3 1c h a n g eo f t h es t o r a g eq u a n t i t yi nt h er e n ts p a c e 当r 望素丝，f 哆，租用空间中的存储物品已经售完，开始以需求速度r 线性消 耗自有存储空间中的物品自有存储空间中存储物品的存储量变化如图3 2 所示一个 订货周期内原有存储空间的存储费用为 c l 卑( 丁妒m 半，c i = c 一舻坦t q - m 宇1 华卜半c t - 1 0 东北大学硕士学位论丈 0 9 一mt r 旦 图3 2 目羽存储仝1 日j 阳仔储草父化 f i g 3 2c h a n g eo ft h es t o r a g eq u a n t i t yi nt h eo r i g i n a ls p a c e 再将( 2 1 1 ) 式代入上式，得原有存储空间的存储费用为 塑( 2 m m ) (312)2r 、， 、。 一个订货周期内的总费用为 c = 熹( 尉一m ) 2 + 百m c i , 2 肛m ) + c 3 ( 3 1 3 ) 一个订货周期内的总平均费用为 c ( f ) - 导肌丽m 2 ( c ：一c ) + 孚一m ( c 2 一c 1 ) ( 3 1 4 ) 定义3 1 【1 8 】 设厂( x ) 在区间 口，6 】一l i i - 续，如果对【a ，6 】上任意两点x ix 2 ，恒有 厂( 半) o ，则厂( x ) 在 【口，b 】上为严格凹函数 定理3 2 ( 3 1 4 ) 式所表示的一个订货周期内的总平均费用函数c ( t ) ，当c 2 c 1 0 时，在( o ，佃) 上是，的严格凹函数 证明 了d c ( t ) = 一等一黑2 r t ( c 2 一c 1 ) + 等，衍 f 。 ” 2 。 掣：等+im2(c2一c1)，dt 2，r t 、 7 限制的存储决策东北大学硕士学位论文 ， 0 ，所以 d 2 c ( t ) o d l z 上是，的严格凹函数 口 令型：o ，即 a c t 可得唯一零点，即 睾_ _ m r 2 ( c 2 一c 1 ) + 等- o ( 3 1 5 ) 由于当c 2 c l 0 时，c ( t ) 在( o ，十) 上是t 的严格凹函数，所以f o 也是c ( f ) 在( o ，佃) 上 的唯一最小值点，而c ( ，) 的最小值为 g = 厣碡_ ： 瓦堋g ， b m ， 定理3 3 租用场地存储物品问题，当( ? ， c 。- j 。，暑 c i 。j ( j 。，苦等时，最优订货周期、最优订货 量和最低总平均费用分别由( 2 2 1 ) 式、( 2 2 2 ) 式和( 2 2 4 ) 式决定 证明 租用场地存储物品，须9 m 或r t m 0 当c 2 c l 。，c 3 。，苦 。，表明需要租用场地存 储物品，这时存储费、订购费也都大于零，表明模型( 3 1 4 ) 有经济意义这时的最优订 货周期和最低总平均费用分别由( 3 1 5 ) 式和( 3 1 6 ) 式决定，最优订货量为 q o = 当c 2 c l o c 3 0 ，岳等时心一m c j o ，c 3 o ，鲁 m 的情形在不允 许缺货假设前提下，则需要投资建新的存储空间以存储多出的物品由于原有存储空间 与新建存储空间的单位存储费用相等，所以出售物品时，不需细分新、旧存储空间，统 一出售物品，直到物品全部售完，再组织下一次订货 针对上述决策过程，下面我们分析必须投资建新的存储空间存储物品的平均总费 用，并寻求在这种方案下的最优订货周期和最优订货量 为使总费用最低，新建的存储空i 、日j 应仅够存放原有存储空间放不下的物品即可，为 此新建容量为q m 的存储空间新存储空l 、日j 的建设成本为 即 c 4 ( 9 一m ) = c 4 ( r t m ) 将新、旧存储空间视为一体，其存储物品的存储量变化如图3 3 所示 0 2 0 f - 图3 3 存储量变化 ( 3 1 7 ) 一 吐 f i g 3 3c h a n g eo f t h es t o r a g eq u a n t i t y 一个订货周期内的存储费用为 c 。f ( q r r 矽= c l ( q ，一扣2 ) = 三脚2 ( 3 8 ) 一个订货周期内的总费用为存储费用、新存储空间的建设成本和订购费三者的和， 1 3 的存储决策东北大学硕士学位论文 c = 1 2r c i t 2 + ( r 卜m ) g + c 3 总平均费用为 c = 丢尺c l r + r c 4 + t c 3 - m c 4 ( 3 1 9 ) ( 3 1 1 0 ) 定义3 2 【1 8 】 设厂( x ) 在区间【日，6 】上连续，如果对 口，6 】上任意两点x i , x 2 ，恒有 ( 半) 掣，贝u 称m ) 在，上为严格凸函数 定理3 4 设厂( x ) 在( 口，6 ) 内具有二阶导数，若在( 口，b ) 内厂”( x ) o ，c 3 o ，c 4 o ，g m c 4 时，在( o ，+ o o ) 上是t 的严格凹函数； 当 c 。 o ，c 3 o ，c 4 o ，g m c 4 时，在( o ，佃) 上是，的凸函数 证明d c - ( o 一：1 r c , + 一m t 了7 4 - ( - 3 ， d t 2 1 2 掣：吾( c 3 一m c 4 ) ， 沈2，3 p 3 因为c i o ，c 3 o ，g o ， 0 ，所以 当c 3 m c 41 对，d e j c 厂( t ) o ，此时c ( f ) 在( o ，枷) 上是，的严格凹函数； 俄。 当c 3 = m c , ，c ( ，) = 吾尺c l f + r c 4 在( o ，佃) 上是，的线性函数，是凸函数且由于 了d c ( t ) o ，ac ( f ) 在( o ，佃) 上不存在最小值点，但i n f c ( ，) = r e , ； 当c 3 m c 4 时，由此可解得唯一零点，即 ( 3 1 1 1 ) 由于当c 3 o ，c 4 o ，c 3 m c 4，c ( t ) 在( o ，佃) 上是，的严格凹函数，所以，o 也是c ( ，) 在( o ，佃) 上的唯一最小值点，而c ( ，) 的最小值为 g = c ( t o ) = 扣m c 4 + 华 = x 2 r c l ( c 3 - m c 4 ) + r c 4 ( 3 1 1 2 ) 定理 3 6投资建新的存储空间存储物品问题， 当 g o , g 。，c 4 。，c 3 一m c 4 鲁时，最优订货周期和最低总平均费用分别由( 3 1 1 1 ) 式和( 3 1 1 2 ) 式决定，最优订货量为q o = ：当 c l o ，c 3 o ，c 4 o ，c 3 一肘g 罢手时，最优订货周期、最优订货量和最低总平均费用 分别0 , - t ( 2 2 1 ) 式、( 2 2 2 ) 式和( 2 2 4 ) 式决定 证明投资建新的存储空间存储物品，须q m 或r t m 0 当c l o ，g o ，c 4 o ，g m c 4 笔手 o 时，由( 3 1 1 1 ) 式知r t o m 0 ，表明需 要投资建新的存储空间存储物品，这时存储费、订购费和扩建费也都大于零，表明模型 ( 3 1 1 0 ) 有经济意义这时的最优订货周期和最低总平均费用分别由( 3 1 1 1 ) 式和( 3 1 1 2 ) 式决定，最优订货量为o o = 当c l 。，c 3 。，c 4 。，c 3 一朋- c 4 m 2 2 尺c t 时， r t 。一m 0 ，这时不需要投资建新的存储空间存储物品，表明最优订货周期、最优订货 量和最低总平均费用可由e o q 公式得到，即由( 2 2 1 ) 式、( 2 2 2 ) 式和( 2 2 4 ) 式决定口 定理3 6 表明，只有当c i 0 c 3 。，c 4 。，c 3 一肘c 4 m 2 2 尺c t 时，才需要投资建新的 1 5 第3 章存储空间存在限制的存储决策 东北大学硕士学位论文 存储空间存储物品 以上部分参考文献 4 ，1 6 - 1 7 3 2 存储空间存在限制的允许缺货的存储决策 决策过程：在存储至i 司存在限制且允许缺赁1 段设前提f ，一旦发生了词货量g m 的情形，则按存储空间容量订货，出现缺货，需自行承担缺货损失 针对上述决策过程，下面我们分析按现有存储空间容量订货并允许缺货的平均总费 用，并寻求在这种方案下的最优订货周期 按现有存储空间容量m 组织订货，一个订货周期f 时间段【。，】分为l 。，等l 和 等，f 两个时段第一时段现有存储空间中存储的物品以需求速度r 线性减少，第二时 段物品售空，出现缺货，产生缺货费用 一个订货周期内存储空间中存储物品的存储量变化如图3 4 所示一个订货周期内 存储空间的存储费用为 c lf ( 肛r t ) d ! = 鲁( 3 2 1 )c lf ( 肛 = 等 ( 3 2 1 ) 0 一m z 尺 图3 4 原相仔储仝1 日j 明仔储麓父化 f i g 3 4c h a n g eo f t h es t o r a g eq u a n t i t yi nt h eo r i g i n a ls p a c e 一个订货周期内的缺货费用为 三c 5 ( f 一等) ( q 圳= 乏1c ，( r t 2 - 2 胁+ 争 ( 3 2 2 ) 一个订货周期内的总费用为订购费、存储费及缺货费用之和，即 c = 2 c ，( r f l - 2 m t + 百m 2 ) + 百c , m 2 + g 1 6 东北大学硕士学位论文 = i zr c s t 2 _ m c 5 ，+ 一个订货周期内的总平均费用为 c ( r ) = 圭尺c s r m c 5 + 2 r c 3 + 可( c 1 广+ c s ) m 2 ( 3 2 4 ) 定理3 7 ( 3 2 4 ) 式所表示的一个订货周期内的总平均费用函数c ( f ) ，当c 5 0 时， 在( o ，+ o o ) l - 是v t 的严格凹函数 证明 因为c 5 o ，r 0 ，所以 掣= 丢尺c 5 一2 r g l + ( g 扩+ c s 一) m z ，出22 r ，2 d 2 c ( t ) 一2 r c 3 + ( c i + c ；) m 2 了2 面广一， d t 2 r t 3 。 d 2 c 一( t ) o 斫。 区 l l t c ( t ) 在( o ，+ ) 上是，的严格凹函数 口 令掣：o ，即 d t 圭r c ；一三竺兰羔铲= 。，2 2 r f 当c 5 0 时，由此可得唯一零点，即 t o 2 ( 3 2 5 ) 由于当c 5 o 时，c ( t ) 在( o ，+ o o ) 上是f 的严格凹函数，所以，o 也是c ( r ) 在( o ，佃) 上的唯 一最小值点，而c ( ，) 的最小值为 c 0 - c ( ，0 ) ：扣，0 一崛+ 塑掣 = 正面i i 百i 两一崛 ( 3 2 6 ) 定理3 8 存储空间存在限制的允许缺货的存储问题，当c 5 0 时，最优订货周期 17 第3 章存储空间存在限制的存储决策东北大学硕士学位论文 和最低总平均费用分别由( 3 2 5 ) 式和( 3 2 6 ) 式决定，订货量为q = m 证明按现有存储空间容量订货，产生缺货费用，须q m 或尉一m 0 当c 5 0 时，由( 3 2 5 ) 式知r r o m 0 ，这时存储费、订购费和缺货费用也都大于 零，表明模型( 3 2 4 ) 有经济意义这时的最优订货周期和最低总平均费用分别由( 3 2 5 ) 式和( 3 2 6 ) 式决定，订货量为q = m 口 定理3 8 表明，当c 0 时，按存储窄f n j 容量订货一定会产生缺货费用 注意到订货周期以天为单位，取整数，所以一旦由( 3 1 5 ) 式或( 3 1 1 1 ) 式或( 3 2 5 ) 式 计算出的，o 不为整数，则按( 3 1 4 ) 式或( 3 1 1 0 ) 式或( 3 2 4 ) 式计算与，0 临近的两个正整数 处的总平均费用，并通过比较总平均费用的大小，得到最优存储决策 以上部分参考文献【4 ，1 9 】 1 8 - 东北大学硕士学位论文 第4 章弟4 草 以上提出的三种方案不共存对于某 及3 2 节中所讨论方案的存储模型，得出在三种方案下的各个最低总平均费用，并通过 比较三种方案的最低总平均费用，找到适合该物品的最优存储决策 下面以某厂某物品的销售过程为例，建立存储优化系统 例4 1 1 m - - 2 1 】某企业某种物品的需求率为1 0 0 件天，订购费用每次为3 5 0 0 元，自 己公司的仓库能容纳该物品3 0 0 件，使用自己仓库的单位存储费用为l 元如租用仓库， 单位存储费用为1 8 元，扩大仓库投资的单位成本为1 5 元当库存水平降为零时，可 以立即得到补货，但如不补货，单位物品单位时间的缺货损失为1 5 元请帮助该企业 确定一个好的存储方案 解分析题意，得各参数值如下： c l = l ，c 2 = 1 8 ，g = 3 5 0 0 ，c 4 = 1 5 ，c s = 1 5 ，m = 3 0 0 ，r = 1 0 0 将以上数据代入( 2 2 1 ) 式、( 2 2 2 ) 式和【2 2 4 ) 式，可得存储空间不受限制时的 最优订货周期为t o = 8 3 7 ( 天) ， 最优订货量为o o = 8 3 7 ( 件) ， 最优总平均费用为c n = 8 3 7 ( 元) 注意到由e o q 公式计算得到的最优订货量超过了原有存储空间的容量，原有存储 空问将无法容纳下8 3 7 件物品，这表明此时e o q 公式将不再适用，需要寻