（基础数学专业论文）射影几何几个重要定理关系的研究.pdf

摘要 m e n e l a u s 定理、c e v a 定理、d e s a r g u e s 定理、p a p p u s 定理、p a s c a l 定理和b r i a n c h o n 定理等，都是射影几何中重要而著名的定理，也是研究平面和空间几何中点共线或线 共点等问题的有力工具长期以来，在各种版本的几何学专著或教材中，这些重要定理 均独立表述，少有阐述它们关系的介绍说明近几年，关于m e n e l a u s 定理和c e v a 定理 等的应用研究，已经取得了不少研究成果；也有不少学者应用代数几何、拓扑或微分 流形等工具，研究d e s a r g u e s 定理、p a p p u s 定理、p a s c a l 定理和b r i a n c h o n 定理等定理 的一些推广与应用问题但仍有若干问题有待进一步探讨，深入理解和揭示这些重要 定理的关系及其内涵，有其理论和实际研究意义 本文就射影几何的上述重要定理，对它们之间的关系作一些探索，主要工作是：探 讨了c e v a 定理和d e s a r g u e s 定理的致性，分析研究了m e n e l a u s 定理和c e v a 定理的 统一性，同时给出这两个定理的统一形式m c 定理，并揭示了m c 定理与p a s c a l 定理和b r i a n c h o n 定理( 包括退化情形) 之间的内在联系；利用m e n e l a u s 定理，对p a p p u s 定理、d e s a r g u e s 定理和p a s c a l 定理( 关于圆的情形) 进行了统一形式的证明；对p a p p u s 定理、d e s a r g u e s 定理和m e n e l a u s 定理作了一定的推广以此认清这些定理之间的关系， 揭示它们在射影几何中的重要地位与作用 关键词：射影几何；m e n e l a u s 定理；c e v a 定理；d e s a r g u e s 定理；p a s c a l 定理；b r i a n c h o n 定理；点共线；线共点 a b s t r a c t m e n e l a u st h e o r e m ，c e v at h e o r e m ，d e s a r g u e st h e o r e m ，p a p p u st h e o r e m ，p a s c a l t h e o r e ma n db r i a n c h o nt h e o r e mn o to n l ya r ei m p o r t a n ta n dw e l l k n o w ni np r o j e c t i v e g e o m e t r yb u ta l s oa r ep o w e r f u lt o o l si nr e s e a r c h i n gs o m eq u e s t i o n ss u c ha sj u d g m e n t so f s o m ep o i n t si nt h es a m el i n ea n ds e v e r a ll i n e si n t e r s e c t e di nt h es a m ep o i n ti np l a n e g e o m e t r ya n ds p a c eg e o m e t r y h o w e v e r , f o ral o n gt i m e ，t h e s ei m p o r t a n tt h e o r e m sa r e i n t r o d u c e di n d e p e n d e n t l ya n dt h e i rr e l a t i o n sa r er e s e a r c h e ds e l d o mi na l lk i n d so fg e o m e t r y b o o k s i nr e c e n ty e a r s ，t h ea p p l i c a t i o n so fm e n e l a u st h e o r e ma n dc e v at h e o r e mh a v eg o t t e n ag r e a ts u c c e s s s o m ea p p l i c a t i o n sa n dg e n e r a l i z a t i o n so fd e s a r g u e st h e o r e m ，p a p p u s t h e o r e m ，p a s c a lt h e o r e ma n db r i a n c h o nt h e o r e mh a v e b e e no b t a i n e db ys o m ea c a d e m i c i a n s w h ou s ea l g e b r a i cg e o m e t r y , t o p o l o g ya n dd i f f e r e n t i a lm a n i f o l da n ds o0 1 1 b u tt h e r ea r e s e v e r a lq u e s t i o n sn e e dt ob ed i s c u s s e d i ti s s i g n i f i c a n ti nt h et h e o r ya n dp r a c t i c et o u n d e r s t a n da n dr e v e a lt h em e a n i n g so ft h e s et h e o r e m sa n dr e l a t i o n sb e t w e e nt h e m i no r d e rt or e c o g n i z et h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e ma n dr e v e a lt h e i ri m p o r t a n tp o s i t i o n s a n dr o l e sp l a y i n gi np r o j e c t i v eg e o m e t r y , i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e n a b o v e m e n t i o n e dt h e o r e m sa sf o l l o w s f i r g l y ，t h eu n i f o r m i t yb e t w e e nc e v at h e o r e ma n d d e s a r g u e st h e o r e ma n dt h eu n i t yb e t w e e nm e n e l a u st h e o r e ma n dc e v at h e o r e ma l e r e s e a r c h e d ，a n dm - ct h e o r e mi so b t a i n e d t h e n ，t h ep o t e n t i a lr e l a t i o n sa m o n gm ct h e o r e m ， p a s c a lt h e o r e ma n db r i a n c h o nt h e o r e m ( i n c l u d i n gd e g e n e r a t ec a s e ) a r ei n v e s t i g a t e d n e x t ， t h eg e n e r a lf o r ma b o u t p a p p u st h e o r e m ，d e s a r g u e st h e o r e ma n dp a s c a lt h e o r e m ( a b o u tt h e c a s eo ft h ec i r c l e ) i sp r o v e db ym e n e l a u st h e o r e m l a s t l y , t h eg e n e r a l i z a t i o no ft h et h r e e t h e o r e m si so b t a i n e d k e yw o r d s ：p r o j e c t i v eg e o m e t r y ；m e n e l a u st h e o r e m ；c e v at h e o r e m ；d e s a r g u e st h e o r e l n ； p a s c a lt h e o r e m ；b r i a n c h o nt h e o r e m ；p o i n t si nt h es a m el i n e ；l i n e si n t e r s e c t e di nt h es a m e p o i n t i i 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体己经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 论文作者签名：扔哆 日期：沙吕年5 - nz 占日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以 允许采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的 的前提下，学校可以公开学位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守此 规定) 作者签名：雳吻 指导教师签名： 孝走汉 日期：矽孚。f 厶多 日期：2 印毋多矽 1 引言 1 引言 m e n e l a u s 定理、c e v a 定理、d e s a r g u e s 定理、p a p p u s 定理、p a s c a l 定理和b r i a n c h o n 定理等( 1 ) ，都是射影几何中重要而著名的定理它们是数学史上不同时期的经典成果， 是射影几何的重要组成内容，也是研究平面和空间几何中点共线或线共点等问题的有力 工具m e n e l a u s 定理和c e v a 定理以对立的形态，分别给出了判别平面上点共线和线共点 的准则，d e s a r g u e s 定理则给出了这两个定理的对立统一体即点和直线构成“中心透 视 与“轴透视”之间的透视对应关系，而p a s c a l 定理和b r i a n c h o n 定理，则揭示了二次 曲线的有关点和直线的透视对应关系，p a p p u s 定理只是p a s c a l 定理的退化情形这些定 理关系密切，应用较为广泛但长期以来，在各种版本的几何学专著或教材中，m e n e l a u s 定理、c e v a 定理、d e s a r g u e s 定理、p a p p u s 定理、p a s c a l 定理和b r i a n c h o n 定理等这些 重要定理却独立表述，少有阐述它们关系的介绍说明 近几年来，对于m e n e l a u s 定理和c e v a 定理等的应用研究，已经取得了不少研究成果 ( 4 1 一 1 1 1 ) ；同时，也有不少学者以代数几何、拓扑和微分流形为工具，研究d e s a r g u e s 定理、p a p p u s 定理和p a s c a l 定理等定理的应用与推广问题( 1 6 一 2 4 ) ，使传统的射影几 何知识有了更深更广的拓展可见，深入理解和揭示射影几何中的重要定理的关系及其 内涵，研究它们的应用，有其理论和实际研究意义 本文拟就射影几何中的d e s a r g u e s 定理、p a p p u s 定理、m e n e l a u s 定理、c e v a 定理、 p a s c a l 定理和b r i a n c h o n 定理等重要定理，对它们之间的关系作一些探索，既讨论定理之 间一定的统一性，又适当地对定理作一定的推广，研究它们的应用问题，用以认清这些重 要定理的内在联系，揭示它们在射影几何中的重要地位和作用 2c e v a 定理与d e s a r g u e s 定理的统一性 我们先讨论d e s a r g u e s 定理和c e v a 定理的联系，为此将射影几何n 1 中的这两个定理 叙述如下： d e s a r g u e s 定理若a , 4 b c 和鲋召7 c 7 对应顶点的连线朋，朋，c c 交于一点s ，则 它们对应边( 所在直线) 的交点l = b cxb c ，m = c ax c a ，n = a b 么b 三点共线( 如 图1 ) 塑! ! 奎兰堡主堂垡丝壅一一 _ - - _ _ _ _ l _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ - - - _ _ _ - _ - _ - _ _ _ 一一一。 s 图1d e s a r g u e s 定理 图2c e v a 定理 c e v a 定理设x ，y ，z 分别是鲋l a 2 a 3 的三边4 2 a 3 ，a 3 a l ，a l a 2 ( 所在直线) 上的点( 如 图2 ) ，则彳。x ，彳2 y ，4 3 z 三线共点的充要条件是 坐型望：1 弛m 弛 其中4 x ，彳2 y ，么3 z 称为鲋i 彳2 彳3 的c e v a 线 值得思考的是，对一个三角形中几组特殊的c e v a 线，将有一些重要结果 2 1c e v a 线为三角形的中线情形 当x ，】，z 分别是鲋1 4 2 彳3 三边彳2 坞，呜4 l ，彳l 彳2 的 中点，即彳l z ，彳2 】，彳3 z 是鲋l 彳2 彳3 的三条中线时，其三 中线共点( 连结x y ，y z ，z x 所构成的a x y z 称为 鲋1 4 2 彳3 的中位三角形) ( 如图3 ) ，则幽l 彳2 彳3 与a x y z 具有公共的重心，亦即鲋彳：4 与a x y z 对应顶点的连 线共点，由d e s a r g u e s 定理知，它们对应边的交点必共 线，其三交点恰好在一条( 无穷远) 直线上 图3c e v a 线的特殊情形 2 2c e v a 线为三角形的高线情形 当x ，】，z 分别是a a l a 2 鸣三边a 2 a 3 ，a 3 4 ，a l a 2 上高线的垂足，即彳l z ，彳2 l 彳3 z 是 鲋。a 2 a 3 的三条高线时，其三高线共点( 连结x y ，y z ，z x 所构成的妣称为a a l a ：a 3 的 垂三角形) ( 参见图3 ) ，即削1 4 2 彳3 与a x y z 对应顶点的连线共点，由d e s a r g u e s 定理知，它 们对应边的交点必共线 2 3m e n e l a u s 定理与c e v a 定理的统一性 2 3c e v a 线为三角形的角平分线情形 当a i x ，a ：y ，a ，z 是鲋。4 彳，三个内角的平分线时，三线共点( 参见图3 ) ，则连结 x y ，y z ，z x 所构成的a x y z 与a a l a 2 a 3 对应顶点的连线必共点，由d e s a r g u e s 定理知，它 们对应边的交点必共线 2 4c e v a 线的一般情形 一般地，对于一个鲋l 彳2 鸣的任意三条c e v a 线彳l x ，彳2 】，么3 z ，若满足 筹等等= 1 ，则连结殿，y z ，砑所构成的伽与鲋i a 2 a 3 成“中心透视或 “轴透视 的透视对应，即成立d e s a r g u e s 定理：若两个三角形的对应顶点的连线共点， 则它们的对应边( 所在直线) 的交点共线由射影几何知识知，这个定理的逆定理( 也是定 理的对偶定理) 也成立( 如图4 ) 图4c e v a 线的一般情形图5m s n 8 1 ar t s 定理 由此可见，c e v a 定理是d e s a r g u e s 定理的特殊情形，而d e s a r g u e s 定理是c e v a 定理的 发展与拓广 3m e n e l a u s 定理与c e v a 定理的统一性 3 1m e n e l a u s 定理与c e v a 定理的对偶性 m e n e l a u s 定理与c e v a 定理历史上相隔近1 5 0 0 余年，两者以各自独立的形式表述 为思考这两个定理之间的关系，我们来比较两个定理的条件与结论： m e n e l a u s 定理设x ，y ，z y y 另j g a a l a 2 a 3 的三边彳2 a 3 ，a 3 a l ，a l a 2 ( 所在直线) 上的 点( 如图5 ) ，则x ，y ，z - - 点共线的充要条件是 型型。望：一1 弛hz 以 湖北大学硕士学位论文 c e v a 定理 设x ，y ，z 分别是a a l a 2 a 3 的三边 彳2 a 3 ，a ，a l ，a 。a 2 ( 所在直线) 上的点( 如图6 ) ，则 么l x ，彳2 】，a 3 z 三线共点的充要条件是 坐型望：1 弛m 戤 图6c e v a 定理 由上可知，m e n e l a u s 定理与c e v a 定理的条件完全一致，而结论判别的充要条件 妥妻等- 等= 千1 却依“_ l 与“+ l ”相互对立，前者提供了点共线的判别准则，后者 提供了线共点的判别准则，它们都是反映着点与线之间的对应关系，二者之间具有同一 性根据平面射影几何的对偶原理可知，它们互为对偶定理 3 2m e n e l a u s 定理与c e v a 定理的统一性 我们将m e n e l a u s 定理与c e v a 定理的前提条件合并在一起，来寻求二者的统一性 为此，先引入引理 3 2 1 两个引理 引理l 设置，z 。分别是她彳：彳，的三边彳：鸣，彳，彳，彳，彳2 ( 所在直线) 上的点，并且 ； 2 4 x i i a 3 = ，乏舞= 层，盖鲁= 兀，其中，届，乃为实数，则 ( 1 ) 墨，i ，z 1 三点共线的充要条件是 届以= - 1 ( 即m e n e l a u s 定理) ； ( 2 ) a 。x 。，a ：k ，鸣z l 三线共点的充要条件是 q 届乃= 1 ( 即c e v a 定理) 引理2 设置，e ，z 2 分别是鲋。a 2 a 3 的三边彳2 呜，a 3 a l ，4 彳2 ( 所在直线) 上的点，并 且满足筹嘞簧哦筹嘞其中以儿为娥则 ( 1 ) x ：，e ，z ：三点共线的充要条件是 属托= - 1 ( 即m e n e l a u s 定理) ； ( 2 ) a 彳：，a 2 艺，彳，z 2 三线共点的充要条件是 吃属儿= 1 ( 即c e v a 定理) 4 3m e n e l a u s 定理与c e v a 定理的统一性 上述二引理由m e n e l a u s 定理与c e v a 定理易证，此处从略 据此，我们可以将二定理统一为一种形式 3 2 2m c 定理 m - c 定理 设x i ，e ，z l ；x 2 ，e ，z 2 分别是鲋1 么2 么3 的三边彳2 彳3 ，以彳i ，4 么2 ( 所在 直线) 上的两组点，并且满足 爰嘶爰确箍讲筹嘞筹巩筹嘞 则x ：k ，r 2 z 。，z ：x 。三直线共点的充要条件是 q 置l r , + a 2 尾圪+ q + 届厦+ 乃儿= 1 ( 1 ) 证明采用二维射影坐标系证明取鲋，4 以为坐标三角形，不在其三边上的任一点 e 为单位点建立二维射影坐标系( 如图7 ) ，即么。，彳：，4 各点的坐标分别为 4 ( 1 ，0 ，0 ) ，4 ( 0 ，1 ，o ) ，4 ( o ，0 ，1 ) 图7 m c 定理 由已知条件易得x ；，i ，z ；，x ：，e ，z ：各点的坐标分别为 x l ( o ，q ，1 ) ，i ( 1 ，0 ，届) ，五( 靠，1 ，0 ) ；置( o ，1 ，) ，k ( 属，0 ，1 ) ，z 2 ( 1 ，尼o ) 于是，直线x ：z ，艺z ，乙x 。的方程分别为 k z l ：x 一乃y 一岛z = 0 ， z 2 五：托x y + a l z = 0 由三直线x ：k ，e z 。，z ：x 。共点的充要条件，可得 瞻牛 5 湖北大学硕士学位论文 化简，即得 口l 届乃+ 屈儿+ 2 1 5 2 + 届压+ 以圪= 1 4m c 定理与其它定理的关系 4 1m c 定理的特殊情形 考虑m c 定理的两种特殊情形，可得 推论1当x ：，e ，z ：分别与x l ，z ，z 1 重合时，则 q 局万= - 1 ， 此即m e n e l a u s 定理 事实上，当置暑x l 时，则有吼= 差鲁筹= 1 同理有届厦= 乃圪= 1 又 吃厦圪= _ 告，于是由式( 1 ) 得嘶层乃= - 1 ，由引理1 ，故结论成立 l 乃 推论2 当x ：，e ，z 2 分别与4 ，鸣，4 重合时，则 口l 届乃= 1 ， 此即c e v a 定理 事实上，x 2 兰4 时，则有= 筹2 乏= o 同理有f l z = y 2 = 0 , 于是由式( 1 ) 得a t , = 1 ，由引理1 ，故结论成立 4 2m c 定理的更一般的情形 射影几何中有两个著名的定理p a s c a l 定理和b r i a n e h o n 定理，二者互为对偶定 理，它们与m c 定理有关密切的联系，为了简明，以下不妨仅以关于圆的情形来讨论 p a s c a l 定理若六角形a b c d e f 内接于一个圆( 如图8 ) ，则它的三对对应边的交点 a b d e = l ，b c e f = m ，c d x f a = n 三点共线 图8p a s t a i 定理 6 b r i a n c h o n 定理若六角形a b c d e f 外切于一个圆 ( 如图9 ) ，则它的三对对应顶点的连线a d ，b e ，c f 三线共 点 f 由射影几何知识知，定理中的六角形退化为五角形、四 角形和三角形，也有类似结论 特别地，当p a s c a l 定理中的六角形退化为二直线时，即 得射影几何中的p a p p u s 定理 图9b r i a n e h o n 定理 p a p p u s 定理若4 ，4 ，4 ；盈，最，马分别是直线，乞上的两组点，直线 4 岛，4 b ，4 b 分别与直线4 尽，4 骂，4 岛相交于点厶m ，n ( 如图1 0 ) ，则厶m ，n - - 点共线 当b r i a n c h o n 定理中的六角形退化为两点时，即可得p a p p u s 定理的对偶定理 p a p p u s 对偶定理若a g ，口2 ，a 3 ；岛，6 2 ，b 3 分别是通过点0 l ，q 的两组直线，点 ( q 6 2 ) ，( q 6 3 ) ，( 口：熟) 分别与点( a ：b o ，( 口3 2 j i ) ，( q 6 2 ) 的连线为，m ，n ( 如图1 1 ) ，则j ，m ，n 三 线共点 图ldp a p p u s 定理图11p a p p l l s 对偶定理 仔细分析可知，m c 定理与p a s c a l 定理和b r i a n c h o n 定理有着重要的关联，尤其是 m - c 定理与b r i a n c h o n 定理有高度的相似性，m c 定理只是b r i a n c h o n 定理的特殊情形， 而b r i a n c h o n 定理则是m c 定理的更进一步的推广此中关系，有待于我们作进一步的深 入思考与探索 5 三个重要定理的统一形式的证明 m c 定理是m e n e l a u s 定理与c e v a 定理关于平面三角形情形的一种形式的统一，它 给出了判别点共线或线共点的一种准则，为数学中点共线或线共点问题的证明提供了一 种方法但它应用起来却没有单一应用m e n e l a u s 定理或c e v a 定理方便以下为简明，仅 7 一 塑! ! 奎堂堡主堂垡丝奎一 一_ 一一 以单一的m e n e l a u s 定理为主要工具，来证明射影几何中的p a p p u s 定理，d e s a r g u e s 定理和 p a s c a l 定理( 关于圆的情形) ，以此说明m e n e l a u s 定理的应用，也进一步揭示这些定理之 间的关系 5 1p a p p u s 定理的证明 p a p p u s 定理若a , b ，c 和么，召，c 分别是直线，如上的两组点，则 l ：b c ，b ，c ，m = c a c a ，n = a b a b 三点共线 证明设p ：a b b c ，q = p a xa c ，足= p b xa c ( 如图1 2 ) 在尸鲫中，利用 m e n e l a u s 定理，有 由m ，c ，a 共线，得 由c ，b 共线，得 由a ，曰7 ，n 共线，得 由a ，c ，b 共线，得 由c ，曰，彳共线，得 图1 2p o p p u s 定理 一a m 丝一p a ：一1 ： m rc pa p 一q c 丝丝：一1 ： c 1 rl pb q 丝r i b 一p n ：一1 ： a rb ph q q ar cp b1 一一= 一： a rc pb q o c 些p a 一1 c rb “pa q 以上式( 2 ) 一( 6 ) 左右分别相乘，整理可得 ( 丝丝丝) ：( 丝型p a p ) z ( q m 丝玛：一1 、a rc pb q 。、c rb p 管q 。m rl pn 9 。 再将式( 5 ) ，( 6 ) 代入上式，即得 8 ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) ( 6 ) 5 三个重要定理的统一形式的证明 q mr lp n 一= 一i m rl pn q 由m e n e l a u s 定理，得证厶m ，三点共线 5 2d e s a r g u e s 定理的证明 d e s a r g u e s 定理若鲋肥和鲋7 曰c 对应顶点的连线朋，胎7 ，c c 交于一点s ，则对 应边( 所在直线) 的交点l = b cxb c 7 ，m = c a c a ，n = a b a b 三点共线 s 图1 3 o e $ a r g u c s 定理 证明利用m e n e l a u s 定理( 如图1 3 ) ，有 在a s b c 中，由l ，c ，b 共线，得 在a s c a 中，由m ，彳7 ，c 共线，得 在a s a b 中，由n ，b ，彳7 共线，得 丛n b 筹b 筹a 叫 s t a 以上式( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) 左右分别相乘，得 b lc ma n 一= 一i 三cm an b 一 故对鲋b c ，利用m e n e l a u s 定理，得证厶m ，n - - - 删 5 3p a s c a l 定理的证明 ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) p a s c a l 定理( 关于圆的情形) 若六角形彳b 唧内接于一个圆，则它的三对对应顶 点的连线的交点三= a bxd e ，m = b c x e f ，n ：c d 尉三点共线 9 i 一 一 = = 掣一腓 一 凹一吣 削一们 说们 伽蚴 r 图1 4p a s t a l 定理关于圆的情形 在a e q r 中，利用m e n e l a u s 定理，有 由m ，b ，c 共线，得 由e ，厶d 共线，得 由f ，4 ，共线，得 q mr bp c m rb pc q q er lp d ， e rl pd q o fr a p n f ra pn q ( 1 0 ) ( 1 1 ) ( t z ) 以上式( 1 0 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) 左右分别相乘，利用圆的割线定理和相交弦定理推得的结论 r b r ep dp aq eq d 一= 一一= 一一= 一 r fr a j p bp c i q c q f 可化简得 丝丝一p n ：一1 m rl ph q 由m e n e l a u s 定理，得证三，必，三点共线 注上述定理为关于圆的情形，若将条件中“圆”改为“二次曲线”时，定理仍然成立，但上述 证明方法已不适用 6 三个重要定理的推广与应用 6 1p a p p u s 定理的推广 p a p p u s 定理可推广为平面上六点共线的情形： 定理1 ( p a p p u s 定理的推广)在射影平面上，若4 ，蜀，c l ，日和4 ，垦，c 2 ，岛分别为 1 0 6 三个重要定理的推广与应用 两条直线，乞上的两组点，p = 4 岛4 垦，q = 4 c 2 4 c l ，m = 4 d 2 4 b ， r = 最c 2 岛c l ，s = 最d 2 马d l ，t = c l d 2 c 2 d 1 ( 如图i s ) ，则p ，q ，m ，r ，s ，丁六点共线的 充要条件是4 ，墨，c l ，d l 和4 ，垦，c 2 ，d 2 成透视对应 图1 5p a p p u $ 定理的推广 证明 ( 必要性) 设乞= 0 由于p ，q ，m 三点共线，则有 4 ( 4 ，马，g ，q ) 天4 ( 4 ，忍，c 2 ，d 2 ) 而4 ( 4 ，且，c l ，d 1 ) 天( 4 ，尽，c l ，d 1 ) ， 4 ( 4 ，垦，c 2 ，d 2 ) 天( 4 ，岛，c 2 ，砬) ， 从而有 ( 4 ，e ，c l ，q ) 天( 4 ，岛，c 2 ，d 2 ) 又由于以上两射影对应点列底的交点o 自对应，故有 ( d ，4 ，墨，c l ，d 1 ) 天( o ，4 ，岛，c 2 ，d 2 ) ( 1 3 ) 同样，设砬r = 互，d l r 之= 易，由于点m ，r ，s ，t 共线，有 皿( 4 ，巨，旦，q ，d 1 ) 天d l ( 4 ，易，岛，c 2 ，砬) 而 d 2 ( 4 ，置，骂，c l ，d i ) 天( 4 ，巨，且，c l ，d 1 ) ， 日( 4 ，易，岛，c 2 ，d 2 ) 天( 4 ，置，岛，c 2 ，d 2 ) ， 从而有 ( 4 ，巨，且，c l ，d 1 ) 天( 4 ，岛，垦，c 2 ，d 2 ) 又由于以上两射影对应点列底的交点0 自对应，故有 塑! ! 查堂堡主兰垡堡奎 - i _ _ _ _ _ _ _ l - i - _ _ _ _ _ _ _ l _ _ _ - - _ - - - - _ - _ - _ - l - _ _ _ - _ _ _ 一 ( 4 ，五，尽，c 1 ，q ) 天( 4 ，易，岛，c 2 ，d 2 ) ( 1 4 ) 由上述( 1 2 ) ( 1 3 ) 两式可知，两对透视对应点列至少有三对对应点相同，所以它们是 同一个透视对应，即点组4 ，且，c l ，日和点组4 ，展，c 2 ，0 2 成透视对应 ( 充分性) 由p a p p u s 定理，对于直线，如上的点4 ，晟，c l 和4 ，垦，c 2 ，可得交点 尸，q ，r 共线；对于点4 ，尽，0 1 和4 ，b ，d 2 ，可得交点p ，m ，s 共线；对于点4 ，c l ，q 和 4 ，c 2 ，d 2 ，可得交点q ，m ，r 共线 已知 ( 4 ，垦，c 1 ，d 1 ) 天( 4 ，岛，c 2 ，0 2 ) ， 而 ( 4 ，最，c 1 ，b ) 天4 ( 4 ，骂，c l ，d 1 ) ， ( 4 ，b ，c 2 ，d 2 ) 天4 ( 4 ，垦，c 2 ，0 2 ) ， 从而有 4 ( 4 ，且，c t ，d 1 ) 天4 ( 4 ，垦，c 2 ，0 2 ) 又由于以上两射影对应线束顶点的连线4 4 自对应，故有 4 ( 4 ，且，c l ，q ) 天4 ( 4 ，岛，c 2 ，d 2 ) 从而知它们对应直线的交点p ，q ，肘共线，又由上知户，q ，r 共线：p ，m ，s 共线：q ，m ，t 共 线，故得证p ，q ，m ，r ，s ，丁六点共线 这个定理可作如下进一步的推广： 推论 在射影平面上，若4 ，且，c l ，q ，和4 ，垦，c 2 ，d 2 ，分别为两条直线上的两 组点，则其中每组中每一个点向另一组中对应点外的点的连线所构成的线束的交点共线 的充要条件是这两组点成透视对应 此推论的证明由上述定理易得，此处从略 6 2d e s a r g u e s 定理的推广 6 2 1d e s a r g u e s 定理关于四面体的推广 从对偶的角度看，三点形与三线形是二维射影几何中的自对偶图形，成立d e s a r g u e s 定理及d e s a r g u e s 逆定理( 也是d e s a r g u e s 定理的对偶定理) ，注意到四面体是三维射影几 何的自对偶图形，故我们很自然地想到将d e s a r g u e s 定理和m e n e l a u s 定理在空间中关于 四面体作一些推广，可得： 定理2 ( d e s a r g u e s 定理的推广之一)在三维射影空间中，若两个四面体a b c d 与 1 2 6 三个重要定理的推广与应用 a ，b ，c d ，对应顶点的连线交于一点0 ，则其对应侧面的交线，之，毛，1 4 共面( 如图1 6 ) 图l6d e s a r g u e s 定理的推广 证明对于侧面a b c 与a bc ，设a b xa b = 置，b c xb c = ，c a xc a = e 由 d e s a r g u e s 定理，可知点日，只，b 均在直线厶上 ， 同理可知点足，只，忍均在直线如上，点b ，只，尼均在直线毛上，点丑，只，只均在直线 上 由上即得到，对应侧面的四条交线两两相交构成一个完全四线形，两个四面体对应 棱的交点正好是这个完全四线形的六个顶点，所以直线，乞，厶，厶是共面的，定理得证 由于四面体是三维射影几何的自对偶图形，则由对偶原理易得定理2 的对偶定理： 定理2 7 在三维射影空间中，若两个四面体对应侧面的交线共面，则其对应顶点的 连线交于一点 6 2 2d e s a r g u e s 定理关于完全以点形( 体) 的推广 将三维射影空间中关于四面体的d e s a r g u e s 定理( 定理2 ) 进一步推广为关于三维射 影空间中的完全刀点形( 体) ，可得到： 定理3 ( d e s a r g u e s 定理的推广之二) 在三维射影空间中，若两个完全忍点形( 体) 的 湖北大学硕士学位论文 对应顶点连线交于一点，且有相应的一对对应简单刀点形( 体) 有 1 ) 对对应面的交线在 一个平面上，则这两个完全，z 点形( 体) 其余的对应面的交线也在这个平面上 证明 设两个完全刀点形( 体) 的顶点分别为互，最，和互，足，g ，对应顶点连 线弓暑，最，g 交于点0 不失一般性，假定它们相应的一对对应的简单玎点形( 体) 为丑昱和岛昱只， 它们的( 以- 1 ) 对对应面墨b 和墨只g ，罡忍只和7 职，一：一。和 鼍：最。巧，一。片和群。铂7 的交线共于平面万以下证明这两个完全刀点形( 体) 其余对 应面的交线也在万上 首先考虑四面体墨忍b 只和丑昱粥，由于它们对应顶点的连线交于点0 ，由定理2 知，它们的对应面# 昱b 和最7 罡7 9 ，e b 只和g 只，只日和粥7 日，只日和只眉置的 交线共面但由已知，墨昱b 和墨7 最g ，e 只和职的交线在平面万上，故四对对应 面的交线共于平面万 用这种方法顺序考虑四面体卑b 只只和置职忍，丑只忍忍和 置7 只只层，最一：只一，只和只2 鼍；只，容易得出各对四面体中对应面交线在平面 上 利用上面结果，顺序考虑四面体名b 只只和日躺7 e ，与忍忍忍和 日县忍岩， ， 弓只一。和丑僻。巧，名b e 忍和日b 7 忍7 岩，丑b 忍另和 露7 e 忍弓，暑e 一。乞和# g 鼍。巧，墨e 一。只一。和丑鼍，最。弓，可证得各对四面体的 对应面交线在万上，从而这两个完全栉点形( 体) 过一对对应顶点暑和墨的所有对应面的 交线在平面万上 同理可证，通过其它对应顶点的对应面交线也在平面n - i - ，定理得证 6 3m e n e l a u s 定理的推广 以下我们仅讨论m e n e l a u s 定理在三维射影空间的推广 定理4 ( m e n e l a u s 定理的推广) 设在四面体a b c d 的四条棱上各取一点 p ，q ，m ，( 如图1 7 ) ，则此四面体共面的充要条件是 1 4 。a pb oc md n 一二= 一= 1 p bq cm dn a ( 此处条件中的等式中仅考虑线段的长度而不考虑线段的方向) c d 图l 了m e n e lal l s 定理的推广 t t ， 马1 , i ， 4 图18 平面p q m 门白勺垂线 ( 必要性) 过顶点a ，b ，c ，d 分别作平面? q m n 的垂线，垂足分别是 ( 如图1 8 ) 连结4 8 l ，则点p 在直线4 8 l 上，由r f 出弛p r t 衄m ，有 a p 一似 一= p b b b i 同理可得 召d b b ,c mc o , d nd d ! 二= o 一= 一= 。 p cc o , 。m dd d i n a似 因此有 么pb qc md n a a , b b , c o , d d , 一= - 一= ：- - 二- - ；- = 1 p bq cm dn a 够c c , d d l 他 ( 充分性) 设过点q ，m ，的平面与棱a b 交于点丑，则由必要性可知 彳互b qc md n ， e , 8q cm dn a 又篙器器筹- 1 ，比较两式有 a ea p = 一 # b p b 因此，点p 与置重合，所以点尸，q ，m ，共面 以下略举一例，来说明m e n e l a u s 定理之推广定理的应用 例 设四面体a b c d 的一组对棱a b ，c d 的中点为e ，f ，则过职的任一平面将四 面体恒分成等体积的两部分 图l9 分四面体为等体积的两部分 证明( 1 ) 过点e 和直线c d 作平面( 如图1 9 ) ，线段4 b 被平面e c d 平分，则a ，b 两 点到平面e c d 的距离相等，由此知四面体a b c d 被平面e c d 分成两个有公共底面e c d 的四面体，且a ，b 到此底面上的高相等，故体积相等 ( 2 ) 过凹的任一平面交四面体的棱于e ，f ，g ，日四点( 如图1 9 ) 不妨设 d h ：h a = m ：刀，则由m e n e l a u s 定理的推广定理知 a eb gc fd h 一2 1 e bg cf d h a x e ，f 为所在棱的中点，故面b g i m = 1 ，因此有嚣= 景，所以三棱锥e g 凹的体 积为 瑚f = 三。= 三夏丽m 。，j 1 =m丽睁)=m4(m4 ( m 丽圪一肋 = 一l 一i 、n l = 一y + 刀) l 3 凹。“ 。+ 刀) 以一。l u 同理有 一。砺m 丽一， 因此- c 配f = - h f d 所以 珊= 巧一肋_ 2 lv _ 一肋， 即平面e g f h 将四面体分成等体积的两部分 1 6 7 结束语 7 结束语 m e n e l a u s 定理、c e v a 定理、d e s a r g u e s 定理、p a p p u s 定理、p a s c a l 定理和b r i a n c h o n 定理等，都是射影几何中重要而著名的定理，它们是研究平面和空间几何中点共线或线 共点等问题的有力工具本文以上对上述重要定理之间的关系作了一些探索，先是以关 于平面三角形的情形，探讨了c e v a 定理和d e s a r g u e s 定理的一致性，分析研究了m e n e l a u s 定理和c e v a 定理的统一性，同时给出这两个定理的统一形式- m c 定理，说明了 m e n e l a u s 定理和c e v a 定理是m c 定理的特殊情形，并揭示了m c 定理与p a s c a l 定理和 b r i a n c h o n 定理( 包括退化情形) 之间的内在联系；接着，利用m e n e l a u s 定理，对p a p p u s 定 理、