（基础数学专业论文）奇异二阶常微分方程三点边值问题的正解.pdf

摘要 本文考虑奇异二阶常微分方程三点边值问题 fz ”( f ) + 厂( f ，工( f ) ) 一0 ，0 t fc 1 i x ( o ) a0 ，x ( 1 ) = | h ( ，7 ) 其中，：( 0 1 ) o , o o ) 一 o ，。) 连续，且允许，在；0 ，f = 1 处具有奇性首先，在，满 足拟齐次次线性条件时，通过运用上下解方法得到了该问题存在c 1 f o ，1 1 正解的充分必 要条件；建立了存在c o ，1 正解的充分条件；还讨论了关于c 1 o ，1 1 正解的唯一性其 次，在，满足拟齐次超线性条件时，通过运用锥拉伸与压缩不动点定理得到了该问题 存在c 1 o ，1 正解的充分必要条件；证明了至少存在一个c o ，1 正解的充分条件最 后，利用锥拉伸与压缩不动点定理建立了所讨论问题多个正解的存在性定理 关键词：奇异边值问题；上下解；极大值原理：不动点定理；多个正解 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ei n v e s t i g a t et h r e e - p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fs i n g u l a rs e c o n d o r d e ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( o d e ) fx ”( f ) + 厂( f ，石o ) ) = 0 ，0 c f t l i x ( o ) = 0 ，x ( 1 ) = 舡( ，7 ) w h e r e f ：( o ，1 ) o ，0 0 ) 叫o ，。) l sc 0 t l o n u 0 u s i n q u a s i - h o m o g e n e o u ss u b l i n e a rc a s e ，an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h e e x i s t e n c eo f c 1 【o ，1 p o s i t i v es o l u t i o ni sg i v e nu s i n gm e t h o do fl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s w ea l s o g i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo f c o ，1 p o s i t i v es o l u t i o n m e a n w h i l e ，au n i q u e n e s sr e s u l ti so b t a i n e d u s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e mo fc o n ee x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o no fn 0 1 t l lt y p e ，w e p r o v et h ee x i s t e n c eo fa tl e a s to n ec o ，1 a l s ow eg e tan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n f o rt h ee x i s t e n c eo f c 1 0 , 1 p o s i t i v es o l u t i o n s i nq u a s i - h o m o g e n e o u ss u p e r l i n e a rc a s e f i n a l l y , w ed i s c u s s e dt h ee x i s t e n c eo f m u l t i p i ep o s i t i v es o l u t i o n s k e y w o r d s ：s i n g u l a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；l o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s ；m a x i m u m p r i n c i p l e ；f i x e dp o i n t ；m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n s 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包括其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西北师范 大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 、卅 签名：i 娣) 复i 羔1日期：丛1 6 ： 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论 文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：i 嘘。釜 訇导师签名：兰兰2 丝立! 日期：翌亟：l 尘 刖罱 常微分方程多点边值问题有着广泛的实际应用背景例如，它可以出现在弹性稳 定性理论中；也可以用来刻划多种不同材料的导线的电流情况1 9 8 7 年1 i i n 和 m o i s e e v 2 率先研究了线性方程多点边值问题的可解性；1 9 9 2 年，g u p t a 3 于t ：始研究了 非线性常微分方程三点边值问题的可解性，但这些结果对解的符号没有给出任何信息 直到1 9 9 9 年，马如云教授【4 利用锥上的不动点定理，率先给出了常微分方程三点边 值问题 北u ( x “) ) 二a 。u ( , 7 ) ， 1 “( o ) = o) =) 。 正解的存在性此后，出现了大量关于二阶常微分方程多点边值问题正解的研究工作 然而以上这些研究均是在非线性项非奇异的前提下进行的 目前，对于奇异的常微分方程边值问题正解的研究结果大多是对两点边值问题得 到的早在1 9 7 9 年, t a l i a f e r r o 5 用打靶法研究了奇异二阶常微分方程两点边值问题正 解的存在性和唯一性此后，许多学者探讨了形式更一般的常微分方程边值问题正解 的存在性，可参考【6 9 】 相比之下，对于奇异二阶常微分方程多点边值问题的研究，进展缓慢就我们所知， 仅有文【1 ，l o x 批类问题做了一些探索性研究 马如云和0 r e g a n 1 考察了 。 i 卜x ( o ”) 烈o , x ( 石1 然= c t x ( 。r i ) 叭k 1 ( o - z ) 。 = ) “ 其中 ( a ) r e ( 0 , 1 ) ，a ( o ，1 ，九( o ，1 ) 以及p ：( o ，1 ) - - o ，。) 连续 论文证得： 定理0 1 设( a ) 成立，则边值问题( o 2 ) 确r c 0 ，1 正解的充分必要条件为 o c j = 印。冲删 定理0 2 设( a ) 成立，则边值问题( o 一2 ) 有c 1 o ，1 1 正解的充分必要条件为 前言 o f o s l p ( s ) d s 。 现在，自然会问对于比p ( f p 。更一般的非线性项是否也可获得类似的结果本文 试图对这一问题进行探讨具体地，本文考虑奇异二阶常微分方程三点边值问题 裂0 x 幻( 1 1 c i z ( o ) = ，) = 舡( 叩) 。 其中，：( 0 ，1 ) o ，0 0 ) 一 o o 。) 连续，允许在f = o ，f = 1 处具有奇性此时，f - 撼( o 3 ) 未必 能转化为等价的积分方程的形式 本文安排如下： 第一节首先讨论奇异线性二阶常微分方程边值问题 一裂乩x ( 1 嚣晶 似。， 1x ( o ) = o ) = h ( ，7 ) 7 在给e 一定限制的前提下，证明问题( 0 4 ) 确可转化为如下与其等价的积分方程 x ( r ) = 上g ( 如) e ( s ) 出+ 硎k t 。1 g ( 叩，s ) e ( s ) 出 其中g ( f ，s ) 为g r e e n 函数， 咖) ；胎糍篡； 值得注意的是，凯e c o ，1 b v j - ，这个等价关系显然成立接着，当，在f = o , t ：1 处具有 奇异性时，我们也给出了奇异线性三点边值问题( 0 - 4 ) 的极大值原理 第二节在，满足拟齐次次线性条件下，通过构造问题( 0 - 3 ) 的上下解和运用极大 值原理及s c h a u d e r 不动点定理得到了问题( 0 - 3 ) 的c o ，1 1 正解存在的充分条件及 c 1 o ，1 正解存在的充分必要条件 第三节在，满足拟齐次超线性条件下，通过构造适当的锥，运用锥拉伸与压缩不 动点定理给出了( 0 - 3 ) 存在c 1 o ，1 正解的充分必要条件和至少存在一个c 【o ，1 i e 解 的充分条件 第四节讨论了问题( o - 3 ) 至少存在两个c o ，1 j 正解和两个c 1 o ，1 】正解的充分条 件 2 1预备知识 在以下各节中，i i - i i 为c o ，1 空间中最大值范数 本节给出一些预备知识 考虑奇异二阶常微分方程三点边值问题 x ”( f ) + ，( ( f ) ) = o ，o tc 1 x ( o ) = 0 ，x ( 1 ) = 缸( 卵) ( 1 1 ) ( 1 2 ) 其中，( ，) c ( ( o ，1 ) o ，o 。) ， o ，。) ) ，( f ，1 ) 一o ，t c ( o ，1 ) ，并且允许，在f = o ，t = 1 处 具有奇异性 本文假设 ( h 1 ) 存在常数町，k ，使得o t 叩c 1 ，0 o ，故z ( f ) 为 ( 1 3 ) ，( 1 4 ) 的唯一正解 引理2 ( 极大值原理) 设( q ) 成立，e ( f ) 满足引理1 的条件，口zo , b 苫。为给定的常 数，则奇异边值问题 z ”( f ) 十e ( f ) 一0 ，m ( o a ) ( 1 9 ) x ( o ) = a , x ( 1 ) ；缸( 叩) + 6 ( 1 1 0 ) 的唯一解x ( f ) 满足x ( t ) z 0 ，t e o ，1 证明设y ( f ) ；z ( f ) 一妒( f ) 其中 北) = n ( ，一嵩r ) 十。两t 地r 。，1 从而y ( f ) 满足奇异边值问题 y ”+ p ( 小；0 ，t m ( o ，1 ) y ( o ) = o , y ( 1 ) = 砂( ，7 ) 由引理1 的证明知) ，( f ) 可以写成如下形式 y ( r ) = 丘g ( t ，s 扣o ) 出+ 去f g ( 玑s k ( s ) 出，t o ，1 故( 1 9 ) ，( 1 1 0 ) 的唯一解可表示为 x ( f ) = j = g ( 抽) e ( s ) 出+ 1 一k 七t 。j 。1 g ( 町，s 弘( s ) 出+ 伊( f ) ，f o ，1 因j ：g ( r ，s ) e ( s ) 幽十r 笺“g ( 刁，s ) e ( s ) 出苫o ，r o ，1 ，并且妒( r ) = o ，r o ，1 ，故 z ( f ) = o ，f o ，1 ，引理得证 引理3 设( q ) 成立，e ( f ) 满足引理1 的条件，x ( r ) 是( 1 3 ) ，( 1 4 ) 的c 1 o ，1 正 解，则存在常数m l t r i m 2 ，0 m 2 ，使得 m a ts z ( f ) s 2 t ，z o ，1 ( 1 1 1 ) 5 1 预备知识 且 证明：设z ( f ) 是( 1 3 ) ，( 1 4 ) 的c 1 o ，1 正解，则 z ( r ) = j = g ( s ) e ( s ) 出+ 点一g ( 町，s ) e ( s ) 出+ 妒( r ) ，r 。，1 茗( ，) 。i 二k j 。1 g ( 蹿，s ) e 扫) 如= i ( 1 一可w s e ( s ) 办+ 南( 1 一s ) e ( s ) 凼 苫南( 1 一叩) j ：s e ( s ) 如。 故由x ( f ) 是凸函数可得 型苫x f l l x ( 小= x ( 1 ) f 由- 3 ：x ( o ) ) 0 ( 否则，当z ( o ) s o 时，由z ( f ) = x ( o ) f + 妻工”( 亭) f 2s o ，产生矛盾) 故由泰勒公式可得 工( f ) = 工( o ) f + 寺x ”( 亭) f 2s 工( o ) f ，f o ，1 综上可得川。fs x ( f ) s 埘：f ，t c o ，1 ，其中0 c m ，= z ( 1 ) ，0 c m ：= x ( o ) 引理4 1 1 0 l 设( 只) 成立，e ( f ) 满足引理1 的条件，则问题( 1 _ 3 ) ，( 1 4 ) 的唯一正解 凝m i 。n x 。( 啦删，其吣幽 掣鲰刁 为了陈述全文的主要结果。我莉给出以下几术定义： 定义1 若x ( f ) c o ，1 n c 2 ( o ，1 ) ，x ( f ) 满足奇异边值问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) j 1 x ( t ) o ， f ( o ，1 ) ，则称x ( f ) 为( 1 1 ) ，( 1 。2 ) 的c o ，1 正解 定义2 若x ( f ) 是奇异边值问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的c o ，1 正解，且z ( o + ) ，x ( 1 一) 存在， 则称x ( f ) 为( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的c 1 o ，1 正解 定义3 设口( f ) c o ，q n c 2 ( o ，1 ) ，若o ( f ) 满足 一a ”( f ) s ，( ( f ) ) ，f ( o ，1 ) a ( o ) s 0 ，a ( 1 ) k a ( r 1 ) 则称a ( f ) 是奇异边值问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的下解 定义4 设卢( f ) c o ，1 n c 2 ( o ，1 ) ，若芦( f ) 满足 一f l ( t ) z f ( f ，卢( f ) ) ，f ( o ，1 ) 卢( o ) z 0 ，卢( 1 ) = 七卢( ，7 ) 1预备知识 则称卢( f ) 是奇异边值问题( 1 1 ) ，( 1 2 ) 的上解 2 拟齐次次线性条件下奇异二阶三点边值问 题正解的存在性 本节应用上下解方法研究奇异二阶三点边值问题 工”( f ) + ，( f ，工( f ) ) = o ，0 t c l x ( o ) = 0 ，x ( 1 ) = h ( 町) ( 2 1 ) ( 2 2 ) 在拟齐次次线性条件下正解的存在性其中允许，在t = 0 ，t = 1 处具有奇异性本节总 假定 ( h 。) 存在常数，7 ，k ，使得o r c 1 ，0 k r 0 ，当n 时， 忙。( s ) 一。i = ! _ ：i 。! ! ：j 笋g ( s ，s ) i g ( s ，) 一g ( s ，x o ) l cs ，n p 。，1 1 故吃( s ) 一o ( n m ) ， n n o j l 由l e b e s g u e 控制收敛定理知 l k ( f ) 一缄( r ) 卜o ，r o ，1 故4 是c o ，q - + c o ，1 连续 综上可知：a 是全连续算子 运用s c h a u d e r 不动点定理，a 至少有一个不动点i ( ) ，且i ( - ) e c o ，q n c 2 ( o ，1 ) 满 足 a ( f ) s i ( f ) s 卢( f ) ，f o ，1 2拟齐次次线性条件下奇异二阶三点边值问题正解的存在性 b b 边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 至少有一个c 【o ，l j 正解定理证毕 定理2 2 的证明必要性设z ( f ) 是( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的c l o ，1 正解，则由引理3 中( l 1 1 ) 式可知，存在0 cr r 5c m ：使下列不等式成立 优l fsj o ) 胁2 f ，工 q 1 ( 2 1 8 ) 存在常数c 0 ， 吏c o r n 29 1 ，1 ，从而由( 2 3 ) ，( 2 4 ) ，( 2 1 8 ) 得 。0 巾州f ) ) 叶扣( f ) ) 苫1 巾删) c 0 ”1 m l v ，( f ，t ) 即 ，( f ，t ) c o a - # i n l - p ，( f ，工( f ) ) ( 2 1 9 ) 对( 2 1 9 ) 两端积分得： os j ：，( s ，s ) 出弓一。一p n 5 一”f 2 x e ( s ) 出 一c o x - u m i l ( x ( 1 ) 一x ( o ) ) t o 。 若，( s ，s ) d s = 0 ，则对v s ( o ，1 ) ，( s ，s ) = 0 ，取常数c - ，o ，使得 c 1 鸭s 1 ，f o ，1 ，且1 ，从而由( 2 3 ) ，( 2 ，4 ) ( 2 1 8 ) 得 ，( f 州帕陪( e l x ( 纠) 甜，( f 删) 甜( q 爿巾一 gc l - i ”，( f ，t ) = 0 ，f ( o ，1 ) 则，( f ，工( f ) ) = o ，f ( o ，1 ) 即x ( f ) ：o ，f ( o ，1 ) ，这与x ( f ) 为( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的正解相矛盾 故j = ，( 岛。) 凼，o ，即o c j = ，如净c c 。 充分性：首先证明( 2 1 ) ，( 2 2 ) 有c o ，1 正解 令 1 4 2 拟齐次次线性条件下奇异二阶三点边值问题正解的存在性 q - ( f ) = j ：g ( l s ) ，( s ，g ( s ，s ) ) 出十i = l a 历j 。1 g ，s ) 厂( s ，g ( s ，s ) ) 凼r f e o ，1 】 q z ( t ) = j ：g ( ) ，( s ，s ) 如+ i j k t i j 。1 g ( 玎，s ) ，( s ，s ) 出，f o ，1 其中g ( f ，s ) 的定义如( 1 6 ) 由 g ( f ，j ) ej ，f ，s e o ，1 及( 2 6 ) 式结合引理1 的证明知，q t ，q 2e c o ，1 n c ( o ，1 ) 且满足 q x ”( f ) 一，( f ，g ( u ) ) ，t e ( o ，1 ) 且q l ( 0 ) = 0 , q 。( 1 ) = 虹( ，7 ) q 2 ( f ) = - ( t ，t ) ，t e ( 0 , 1 ) ，且q ：( o ) = o ，q ：( 1 ) = 幻：( 叩) 又由g ( f ，t ) s f 结合注3 可知 ，( r ，g ( f f ) ) s ，( f ，f ) ，t c ( o ，1 ) 故 口z ( r ) 一吼( f ) 5 _ g ( 如) 邢，s ) 一坪，g ( 邓) ) 出 + 1 一a 加j f 。, g ( ) ( 邝，s ) 一心，g ( 即) ) ) 出z o 胙【o 1 所以 q 2 ( 小：吼( f ) ，t e 0 ，1 而且 引小j ：几川蚋”芈私巾卅出s 端巾班r 一 o ， 同理 吼( f ) = j = g ( f ，s ) ，( s ，g ( s ，s ) ) 出+ i = k t 鬲j 。1 g ，s ) ，( s ，g ( s ，s ) ) 出 = 一g ( 舢) 小，g ( 邸) ) 出 = j ：g ( 踯) 几，g ( ) ) 出g ( u ) ，t e o ，1 因 j = g ( s ，s ) ，( s ，g ( s s ) ) 出s f ，( s ，s ) 出c o 。 故令 厶= 上g ( 兄s ) ，( s ，g ( s ，s ) ) 出，0 综上可得： 厶+ g ( f ，t ) s q x ( t ) s 口：( f ) g 工：t ，t e o ，1 ( 2 2 2 拟齐次次线性条件下奇异二阶三点边值问题正解的存在性 设 a ( f ) = 一g l ( f ) ，卢( f ) = 心口2 ( f ) ，f o ，1 这里 t ，2 m ；n l ( q “p ) 寺 ，七：2 m a x p ( 4 p ) 击 其中c l = 1 为常数满足c 1 厶z 1 ，争s 1 ，则a ( f ) ，卢( f ) c o ，1 o c 2 ( o ，1 ) 易知 0 c a ( f ) s f l ( t ) ，r ( o ，1 ) 下面将证明a ，卢就是我们构造的问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的下解和上解 事实上， 几圳) 川 9 1 ( f ) ) _ ，( f ，鲁。斜础) ) = 卧训啪) ) = c l j - j o ，( f ，g ( f ，f ) ) 女。i ( t ，g ( r ，f ) ) 口”( f ) ，t e ( o ，1 ) ( 2 2 1 ) 巾州) = 巾圳f ) ) 2 ，( f 晰引 sc f - x k 2 ”l 2 1 ，( f ，t ) 女：f ( t ，t ) - 卢4 ( f ) ，t e ( o ，1 ) ( 2 2 2 ) 再结合a ( o ) = e ( o ) = o , a ( 1 ) = k a ( 叩) ，卢( 1 ) ；七声( t 7 ) ，由定义3 ，定义4 可知a ( f ) ， 声( t ) 分别为( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的下上解 类似定理1 的证明知，( 2 1 ) ，( 2 2 ) 有c o ，1 正解戈( f ) c o ，1 n c 2 ( o ，1 ) 满足 a ( f ) c i ( f ) c 卢p ) ，t e ( 0 , 1 ) 因为a ( f ) o ，f ( o ，1 ) ，所以i ( f ) 为边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的c o 1 正解 下证i ( f ) 为( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的c 1 o ，1 正解 由a ( f ) e 王( f ) s p ( t ) ，f ( o ，1 ) 及( 2 2 1 ) 式知 ，( f ，量( r ) ) s ，( r ，卢( f ) ) s k 2 f ( t ，t ) ，f ( o ，1 ) 即 阳f ) 卜也，( u ) ，f ( o ，1 ) 今 2拟齐次次线性条件下奇异二阶三点边值问题正解的存在性 f ( t ) = 后：，( t , t ) ， 则 o c _ f ( s ) 出= k f f j f ( s ，s ) 出c c 。 故r ( f ) 在 o ，1 上绝对可积，因此一( o + ) 和f ( 1 - ) ；r 4 q j e 即王c 1 o ，1 n c 2 ( o ，1 ) 为边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的c 1 o ，1 正解 对边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 唯一性的研究有着很大的难度本节仅给出边值问题( 2 1 ) ， ( 2 2 ) 的c 1 0 ，1 】正解存在的唯一性定理 定理2 3 设( q ) ，( 日：) 和( 2 6 ) 成立，则奇异边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 只有一个c 1 o ，1 正解 证明 由定理2 2 的证明知，当( 盈) ，j 毛) 和( 2 6 成立时，奇异边僮问题( 2 1 ) ， ( 2 2 ) 至少有一个c 1 o ，1 正解设 ，屯为( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的两个正解，则由定理2 2 的证明 可知集合 a = 目( o ，) l 墨( f ) 一口屯( f ) 芑0 ，f ( o ，1 ) ( 2 2 3 ) 的定义是合理的，且显然有4 ；o 事实上，由引理3 知，存在常数口。，a ：，a 。，0 ，使得 n l fs 工( f ) 量a 2 t ，a a ts 工( r ) e a 4 t 取口；鱼一，0 ，贝0 有 z 吼 而( f ) 一一( f ) ：n 。卜i a l ra l a l t o , t 0 ，1 设 p = s u p a t e p 1 反设pc 1 由( 2 2 3 ) 知，( f ) 一p x a ( t ) 0 , t e 0 ，1 注意到在( q ) ，( 日：) 和( 2 6 ) 成立时，( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的任一c 1 o ，1 解满足 x ( r ) ；j ：g ( r ，s k ( 岛x ( s ) ) 出+ - - 打g f 1 g ( 如k ( s ，z ( s ) ) 出，r o ，1 ( 2 2 4 ) 2 当t e ( o , i 1 时， 外州) = ，卜蹦刊 1 7 2拟齐次次线性条件下奇异二阶三点边值问题正解的存在性 ( 蒜卜删， = p ”，( f ，x 2 ( f ) ) 由_ ，屯为( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的解，再结合( 2 2 4 ) 式知， 而( 小：p ”工：( r ) ，te o ，1 又因为p ”，p ，与p 的定义矛盾从而p 1 即 而( 小：p x 2 ( t ) = 屯( f ) ，t e o ，1 同理可得 工：( f ) = ( f ) ，t e o ，1 因此z ：( t ) x 1 ( f ) ，t e o ，1 1 8 3 拟齐次超线性条件下奇异二阶三点边值 问题正解的存在性 本节通过应用锥拉伸与压缩不动点定理讨论奇异非线性二阶三点边值问题 x ”“) + ，( f ，x ( f ) ) = 0 ，0 c f t 1 ( 3 1 ) x ( o ) = 0 ，x ( 1 ) = 缸( 町) ( 3 2 ) 其中允许，在f = 0 ，t = 1 处具有奇异性本节假定 ( h 】) 存在常数，7 ，k ，使得0 叩 0 ，t e ( o ，1 ) 且存在常数a ，口满足 1c spc 。o ，使得对于f ( o ，1 ) ，x e ( o ，m ) ，f 满足拟齐次超线性条件： c 一，( f ，z ) s f ( r ，a ) s c l ，( t , x ) ，当0 tc s l ( 3 3 ) 注1 ：由( h ：) 可知 c 1 ，( f ，x ) s ，( f ，甜) s c ”f ( 啦) ，当c 1 ( 3 4 ) 注2 ：当i ( t ，z ) 满足( h ：) 时，由( 2 3 ) ，( 2 4 ) 可知，f ( t ，工) 满足超线性条件， ( f ) l i m 型：o ，l i m 型；。，f ( o ，1 ) z 一0 + z o - 。 x 即条件( h ：) 蕴涵于超线性条件( f ) 之中 注3 ：设，( f ，x ) = _ p j o p ( f ) ，其中p 。c ( ( o ，1 ) ，( o ，。) ) ， l i = 1 ，2 m 则显 然，( f ，石) 满足条件( h ：) 注4 ：由( 2 3 ) 可以得出f ( f ，z ) 关于z 是非减的即对任意的f (