（基础数学专业论文）关于序半群的理想扩张.pdf

独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得( 注：如没有其他需要特别声 明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对 本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 奎艳 导师签字： 学位论文版权使用授权书 诉勃芬 i 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权兰 垫可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数掘库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：奎斧乏 导师签字 砷璐 i 签字日期：2 0 0 辫节月世日 签字日期：2 0 0 广年辞月f 品 山东师范大学硕士学位论文 关于序半群的理想扩张 李颖 ( 山东师范大学数学科学学院，济南，山东，2 5 0 0 1 4 ) 摘要 序半群的理想扩张问题是由n k e h a y o p u l u 和mt s i n g l i s 于2 0 0 3 年首先提出和 研究，他们给出了一个序半群的理想扩张定理本文，在此基础上继续研究序半群 的理想扩张，给出了序半群理想扩张的等价定理，并研究了一类特殊的序半群一弱 可约序半群的理想扩张，还利用序半群的理想扩张来研究序半群的半格合成全文 共五章，各章内容如下： 第一章给出引言和预备知识 第二章，给出了序半群理想扩张的等价性的定义，并绐出了如下序半群理想 扩张的等价定理 定理2 , 2 设( s ，s ) 是序半群，则s 的理想扩张( ”， i ) = ，y ，则对任意a & ，be 昂，妒。口，1 眇口( o ) 咖，。口( b ) - 饥，( 。) 咖，( b ) ( 4 ) 币。，口是保序的 在s = u 。y & 上分别定义乘法“+ ”和关系“5 ”如下： n + b = 札，o 口( n ) 咖，n 口( 6 ) ，( de & ，b 品) s = u d y 兔 则( s ，+ ，s ) 是序半群族 s q aey ) 的半格l ，记作s = ( y ：，妒。s ，d 。) 反之， 如果s 是序半群族 & d y ) 的半格y ，则s 可以如此构造另外，可要求d 。 满足下列条件： ( 5 ) d n = b 。，这里现= 咖，。( b ) ib & ，卢n ( 6 ) d 。是品的稠密扩张 关键词：序半群的左( 右) 平移，序半群的双平移， 序半群的理想扩张，序 半群的等价理想扩张， 弱可约序半群， 部分同态，分歧映射，稠密扩张 分类号：0 1 5 27 山东师范大学硕士学位论文 4 o ni d e a le x t e n s i o n so fo r d e r e ds e m i g r o u p s l i y i n g s c i e n c ei n s t i t u t eo fm a t h e m a t i c s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，p rc h i n a a b s t r a c t t h ep r o b l e mo fi d e a le x t e n s i o n sf o ro r d e r e ds e m i g r o u p sh a sb e e nf i r s tg i v e na n d s t u d i e db ynk e h a y o p u l ua n dm t s i n g l i si n2 0 0 3 t h e yh a v eg i v e nat h e o r yo fi d e a l e x t e n s i o n sf o ro r d e r e ds e m i g r o u p si nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w ec o n t i n u es t u d y i n gt h ei d e a l e x t e n s i o n so fo r d e r e ds e m i g r o u p s w eg i v et h et h e o r yo ft h ee q u i v a l e n c eo fi d e a le x t e n s i o n so fa no r d e r e ds e m i g r o u pa n ds t u d yi d e a le x t e n s i o n so fas p e c i a lo r d e r e ds e m i g r o u p w e a k l yr e d u c t i v eo r d e r e ds e m i g r o u p w ea l s ou s et h ei d e a le x t e n s i o n so fa l lo r d e r e d s e m i g r o u pt os t u d yt h es e m i l a t t i c ec o m p o s i t i o n s t h e r ea r ef i v ec h a r p t e r si nt h i sp a p e r t h em a i nr e s u l t so fe v e r yc h a r p t e ra r eg i v e ni nf o l l o w i nc h a p t e r1 ，w eg i v et h ei n t r o d u c t i o na n dp r e l i m i n a r i e s i nc h a p t e r2 ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no ft h ee q u i v a l e n c eo fi d e a le x t e n s i o n so fa n o i - d e r e ds e m i g r o u pa n dt h et h e o r yo ft h ee q u i v a l e n c eo ft w oi d e a le x t e n s i o n so fa l lo r d e r e d s e n f i g r o u p t h e o r e m2 2l e t ( s ，s s ) b ea no r d e r e ds e m i g r o u p t h ei d e a le x t e n s i o n s ( 矿$ ， i ) = a n d ( v ，0 ，) = o fs a l ee q u i v a l e n ti fa n do n l y i ft h e r ee x i s t sa l li s m o r p h i s m 妒o fqo n t oq s u c ht h a t ( 1 ) 0 = 妒； ( 2 ) f ( n ，b ) = ，( 妒( n ) ，妒( 6 ) ) f o ra l la ，b q + ，f o rw h i c ha b = 0 ； ( 3 ) ( n ，b ) r = 辛( 8 ，妒( 6 ) ) 一 i nc h a p t e r3 ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no ft h ew e a k l yr e d u e t i v eo r d e r e ds e m i g r o u p ， t h ec o n s t r u c t i o no fi t si d e a le x t e n s i o n sa n dt h ec o n d i t i o n so ft h ee q u i v a l e n c eo fi t si d e a l e x t e n s i o n s t h e o r e m3 4l e t ( s ，- ，s ) b eaw e a k l yr e d u c t i v eo r d e r e ds e m i g r o u p ，( q ，口) a n o r d e r e ds e m i g r o u pw i t h0 ，snq + = 口l e t0 ：句一+ n ( s ) b eap a r t i a lh o m o m o r p h i s m ， i nn o t a t i o n0 ：o - 0 ( a ) = ( 舻，p 。) ，w i t ht h ep r o p e r t yt h a to m o ( b ) n ( s ) i fa b = 0 l e tv = su0 + ，“ ”，“冬y ”a no p e r a t i o na n da no r d e ro nv ，r e s p e c t i v e l y ，d e f i n e db y ： 坐壅塑堇盔堂堡堂垡迨塞5 。+。：三三善基。，。，。，。，：。； ：b篡。? ：量 b 烈，：等。； 山东师范大学硕士学位论文 6 o r d e r e ds e m i g r o u p si nt h es e m i l a t t i c ec o m p o s i t i o n so fo r d e r e ds e m i g r o u p s t h e o r e m5 - 6l e tyb eas e m i l a t t i c e ，f o re v e r yd y ，l e t ( 咒，s 。) i sa n o r d e r e ds e m i g r o u p ，( d ， 7 ，t h e nf o ra l la 。，b ， 妒n 口，1 【妒n ，n 口沁) 妒口，o 口( b ) 】= 妒n ，1 ( n ) 妒口，1 ( b ) ， ( 4 ) 母d ，8i si s o t o n e 。 o ns = u a y 品，d e f i n eam u l t i p l i c a t i o n “宰 a n dar e l a t i o n 5 ”b yr e 8 1 ) e c t i v e l y a b = 母。，a 口( o ) 砂口，。口( 6 ) ，( a s 。，b 岛) s = u n ys s 。 t h e n ( s ， ，s ) i sas e m i l a t t i c e y o f o r d e r e ds e m i g r o u p s s ，i n n o t a t i o n s = ( y ；s o , 妒n 8 d n ) c o n v e r s e l y ，e v e r yo r d e r e ds e m i g r o u psw h i c hi sas e m i l a t t i c eyo fo r d e r e ds e m i g r o u p s & c a nb es oc o n s t r u c t e d i na d d i t i o n ，d 。c a nb ec h o s e nt os a t i s f y ： ( 5 ) d n = b n ，w h e r eb n = 妒口，。( b ) l b 昂p n ( 6 ) d di sad e n s ee x t e n s i o no f & k e y w o r d s ：l e f t ( r i g h t ) t r a n s l a t i o no fo r d e r e ds e m i g r o u p s ，b i t r a n s l a t i o no fo r d e r e d s e m i g r o u p s ，i d e a le x t e n s i o n so fo r d e r e ds e m i g r o u p s ，e q u i v a l e n te x t e n s i o n so fa no r d e r e d s e m i g r o u p s ，w e a k l yr e d u c t i v eo r d e r e ds e m i g r o u p ，p a r t i a lh o m o m o r p h i s l n ，r a l n i f i c a t i o n m a p p i n g ，d e n s ee x t e n s i o n c l a s s i f l c a t i o n ：0 1 5 2 7 山东师范大学硕士学位论文 第一章引言及预备知识 5 11 引言 7 早在2 0 世纪4 0 年代，美国著名数学家g ，b i r k h o f f 1 1 在他的名著格论一 书中，就有格序半群这一章，之后有序代数理论得到了很大的发展，特别是有序群 ( 格序群) 理论由于有很强的群论理论基础做依托从6 0 年代开始一枝独秀，很快从 代数理论中分离出来，在l f u c h s ，p c o n r a d 及w ，h o l l a n d 等著名数学家的推动下发 展成一个完整的研究体系 半群的代数理论是在数学内部和外部特别是计算机科学的强烈推动下从2 0 世 纪5 0 年代到6 0 年代发展起来的一个崭新的代数分支在半群代数理论的强烈背景 下，半群的序结构理论从6 0 年代开始得到了很大的发展6 0 年代初，l f u c h s 写 出了第一本序代数理论的专著，格代数与半群代数结合比较完美的格序半群理论也 作为该书重要的一章和半群代数理论的发展同步，序半群理论在近3 0 多年中， 主要有以下几个方面的进展第一，全序半群结构的研究六七十年代，ts a i t o 和m s a t y a n a r a y a n a 在全序半群的分解及扩张研究中做了大量的工作1 9 7 9 年 m s a t y a n a r a y a n a 还撰写有专著正序半群( p o s i t i v e l yo r d e r e ds e n f i g r o u p s ) ，收集 了7 0 年代之前全序半群的研究工作第二，是用研究序群的方法来研究序半群特别 是格序半群的结构，在这方面研究中重点突出了正锥及格结构的重要性第三，7 0 年代初，b l y t h 和j a n o w i t z 合著了一本专著剩余理论( r e s i d u a t e dt h e o r y ) z 后，t s b l y t h 和他的学生们对可剩余的序半群( 包括自然序半群) 做了大量研究 第四，偏序半群的一般结构理论的研究这方面工作是现今最活跃的方向之一，主 要是8 0 年代后期由希腊的k e h a y a p u l u 教授和她的学生t i n g e l i s ，以及中国的谢祥云 教授，曹永林教授，许新斋教授，高振林教授等在推动该领域的发展谢祥云教授 于2 0 0 1 年所著的g 序半群引论系统全面的介绍了序半群的近年来的研究成果 半群的理想扩张问题如下提出；给定半群s 和带零元的半群q ，构造所有的半 群y ，使得矿有一个理想f ，f 与s 同构且r e e s 商半群叫，与q 同构人们经常对用 一些较简单的结构来构造更复杂的半群，格，有序集，序半群，拓扑半群感兴趣 这往往可通过构造理想扩张来实现半群的理想扩张已先后被c l i f f o r di 2 1 ，c l i f f o r d 和p r e s t o n 【3 】，p e t r i c h 【4 】所考虑全序半群的理想扩张已被h u l i n 【5 , 6 】所研究拓 山东师范大学硕士学位论文 8 扑半群的理想扩张已被c h r i s t o p h 【7 】和h i l d h r u n t 【8 8 研究格和序集的理想扩张已 被k e h a y o p u l u 和k i r i a k u l if 9 ，1 0 所考虑一般序半群的理想扩张由k e h a y o p u l u 和 t s i n g e l i s 1 1 于2 0 0 3 年首先考虑，他们利用序半群的双平移的方法给出一般序半 群的理想扩张的一个构造定理在此基础上本文着重考虑了序半群理想扩张的等价 性，弱可约序半群的理想扩张，由部分同态决定的理想扩张，以及序半群的理想扩 张在序半群的半格合成方面的应用 5 1 2 预备知识 为方便读者，先介绍本文将用到的主要概念和有关结论以及符号，它们大部分 来自文献【1 1 和【2 1 序半群( s ，) 是一个半群，同时又是一个偏序集合( s ，) 使得对n ，bz s ，n b 辛z nsx b ，o zsb x 设( s ，) 是序半群元素0 称作是s 的零元，如果o x = z o = 0 且对任意z s 有0s2 映射a ：s4s 称作是s 的一个左平移，如果( 1 ) a ( z 们= a ( 。) 玑v z ，y s ( 2 ) z 茎y 辛 ( 留) ( 可) ，v z ，可s 映射p ：s 叶s 称作是s 的一 个右平移，如果( 1 ) p ( x y ) - z p ( y ) ，地，y s ( 2 ) 。y 寺p ( z ) p v 。y s 如 果 是s 的左平移，p 是s 的右平移，如果对每个z ，y s 有z a ( ) = p ( x ) y 则 称平移对( ，p ) 是s 的双平移s 的两个双平移u 1 = ( 1 p 1 ) 和u 2 = ( a 2 ，艘) 称 作是可换的，如果对每个z s ，有a l ( p 2 ( z ) ) = p 2 ( l ( 。) ) s 上的双平移集合记作是 n ( s ) 设s s ，则映射k ：s _ sz _ 。( z ) = s z 称作是s 的一个内左平移映 射m ：s - s1z _ p 。) = z s 称作是s 的一个内右平移平移对，= ( p ) 称作 是s 的内双平移，s 上的内双平移对的集合记作是n ( s ) 显然，s 的内左( 右) 平 移是s 的左( 右) 平移，s 的内双平移是s 的双平移 设( s ，茎s ) ，( t ，o ，s r ) 是序半群且f ：s _ t 是从s 到丁的映射映射，称怍是 保序的，如果z - sy 有，( 。) - - t ，( p ) ，称作是反保序的，如果z ，y s ，( z ) ! r ，( ) 有sy 映射，称作是同态的如果它是保序的且对每个z ，y s 有f ( x y ) = ，( 。) o ，( g ) f 称作是同构的，如果它是满的，同态和反保序的如果在不会引起混淆 的情况下，我们把不同序半群中的乘法记作是相同的符号设q 为带零序半群， 本文用q 表示q o ) 设( s ，墨s ) 是序半群，( q ，s q ) 是带零的序半群映 射p ：q _ 十s 称作是部分同态，如果( 1 ) a ，b q + ，a b 0 尊o ( a b ) = 8 ( d ) 日( b ) ( 2 ) o ，b q + ，ns q6 净8 ( n ) s s8 ( b ) 映射f ： ( 口，6 ) l 。，b q + ，a b = 0 ) _ s 称作是分歧 山东师范大学硕士学位论文 9 映射，如果对每个( 0 1 ，b 1 ) ，( n 1 ，b 2 ) ( n ，6 ) i 口，b q ，a b = o ) ，对a l o0 2 ，b 1 曼ob 2 有f ( a l ，b 1 ) sy ( a 2 ，b 2 ) 设( k ，y ) 是序半群，s 是y 的理想设v s = v s u ( o ) ，这里0 是s 的 任意一个元在v s 上定义运算“+ ”和偏序“”如下： ：v s v s _ v si ( ，y ) 叶z + ，这里 ， lx y ，如果x y v s ； 10 ， 如果x y s ：= ( vn i ( v s ) x ( v s ) ) u ( ( o ，) 1z v s 则( w s ，+ ，) 是一个序半群且0 为它的零元，称这个序半群为序半群y 的r e e s 商序半群 设( s ，- ，至s ) 是序半群，( q ，o ) 是带零的序半群，s n q = o 序半群( u ，r ) 称作是由q 决定的s 的理想扩张( 或仅是扩张) ，如果存在y 的理想s 使( s ，s ) 望( s ，- s ) 且使得y 的r e e s 商序半群( w s ，* ，s ) 兰( q ，q ) 由n k e h a y o p u l u 和m t s i n g e l i s 给出的序半群理想扩张的一个主要定理如下 定理1 1 t ”l 设( s ，s s ) 是序半群，( q ，- ，o ) 是带零序半群，s n q = o 假设存在部分同态0 ：q 。一a ( s ) i 。_ 十( o ，矿) ，使对每个n ，b q + ，双平移 8 i 。) 和8 嘞是可换钓我们假设存在一分歧映射，： n ，b ) 1 口，b 驴n b = d ) 一s 使以下条件成立： ( c 1 ) o ( a ) o ( b ) = ”m 6 ) ， v a ，b q + ，西= o ； ( c 2 ) i ( a b ，c ) = ，( 8 ，b e ) ，v 。，6 ，c q + ，a b c = 0 ，。b 0 ，妇o ； ( c 3 ) i ( a b ，c ) = a 。( ，( 6 ，c ) ) ，v a ，b ，c q ，a b 0 ，6 c = o ； ( c 4 ) i ( a ，b c ) = p 。( ，( 口；6 ) ) ，v a ：6 ，c q ，0 6 = 0 ，比0 ； ( c 5 ) p c ( ，( n 一) ) = a o ( ，( 6 ，c ) ) ，v a ，b ，c q ，a b = b c = 0 而且假设还存在一集合r s q 满足下列条件： ( ox ) z - sy ，( y ，z ) r ，z o t 辛( 嚣，t ) r ； ( 0 2 ) ( ，( ，c ) ，b c ) er ，v a ，b ，c q + ，o c = 0 ，b c 0 ，ns ob ； ( 0 3 ) 7 r d - a 口( 6 ) ，v ( a ，b ) r ； ( 0 4 ) b ，c q + ，b c = 0 ，( a ，b ) r 号p c ( n ) sf ( b ，c ) ； 些壅盟堇盔堂堡堂堡垒窒 1 0 ( 0 5 ) b ，c 0 + ，b c 0 ，( 。，b ) r 辛( p c ( o ) ，b c ) r ； ( 0 6 ) n ，b ，c q + ，a ob ，c a = 0 ，c b 0 = ( ，( c ，o ) ，c b ) er ； ( o z ) 6 ，ce 国+ ，( 8 ，b ) er ，c b = 0 兮￥( o ) s ，( c ，b ) ； ( o s ) b ，c q 4 ，( n ，6 ) r ，c 6 0 = 争( 入。( a ) ，西) r 令v = s u0 + 设“o ”，“y ”分别是y 上如下定义的乘法和序关系 o ：vxv _ + vl ( a ，b ) - oob ，这里 oo0 = 0 6 矿( n ) ， ”( 6 ) ， ，( 口，b ) a b ， 如果a ，b s ；( m t ) 如果a s ，b 0 + ；( m 2 ) 如果n q + ，b s ，( m 3 ) 如果a l b q ，a b = o ；( m 4 ) 如果a ，b ，a be q + ( m 5 ) v ：= sur u ( z ，) lz ，y q + ，z 茎qy ) 则( e 。，s 。) 是序半群且它是由q 决定的s 的理想扩张反之，由q 决定的s 的 每个理想扩张y 都可以如此构造 定理1 1 给出的由q 决定的s 的每个理想扩张v 是由三个参量0 ，f ，r 确定 的，我们写作v = 弓l 理1 2 【1 1 】设( s ，) 是序半群在s 的全体左平移的集合a ( s ) 上分别如下 定义乘法“r ”和序关系“s a ”： ：a ( s ) xa ( s ) a ( s 1l ( a i ， 2 1 l 2 ，这里 ( a 1 - 2 ) ( 茁) ：= 1 ( a 2 ( z ) ) ， v z s ； a ：a t 2 曹入l ( 。) 2 ( z ) ， v 。s 则( a ( s ) ，曼 ) 是序半群 在s 的全体右平移的集合p ( s ) 上分别如下定义乘法“”和序关系“p ”： ，：p ( s ) p ( s ) _ p ( s ) l ( p ，舶) _ p j p 2 ，这里 ( p i p 2 ) ( 。) ：= p 2 ( p l ( 。) ) ，、q 童s ； 尸：p t pp 2 铮p l ( 茹) p 2 ( o ) ，v z s 则( p ( s ) ，s p ) 是序半群 在s 的全体双平移的集合n ( s ) 上分别如下定义乘法“”和序关系“n ” 山东师范大学硕士学位论文 ：f 2 ( s ) n ( s ) _ n ( s ) l ( ( a 1 ，阳) ，( 沁，p 2 ) ) _ ( l ，p 1 ) ( 2 ，p 2 ) ，这里 ( a l ，p 1 ) ( a 2 ，p 2 ) ：= ( 1 a 2 ，p , p 2 ) ， s n ：( l ，p 1 ) n ( a 2 ，p 2 ) 曹a l - - aa 2 ，p l 尸p 2 则( s ) ，n ) 是序半群 易证得以下的引理1 3 引理1 3 设( s ，- ，) 是序半群则 ( 1 ) s = a 【s ) ，p p s = p p ( 。) ，v ses ， a ( s ) ，pe 尸( s ) ( 2 ) “j 7 r s = 丌 ( 。) ，7 r s u = ( 。) ，v s s ，u = ( a ，p ) en ( s ) 引理1 4 设s 是带幺元的序半群，s 是序半群v 的理想，则s 的全体内左 平移的集合r ( s ) 是a ( s ) 的左理想，内右平移( s ) 是p ( s ) 的右理想，丌( s ) 是 n ( s ) 的理想， 证明对任意a s rc s ) ， a c s ) ，由引理1 3 知 九= a r ( s ) 设 ； 则对任意t s ，有u t ss t ，特别对t = 1 时，有u s 由es ，而s 是l ，的理想 知”s 故a ”r ( s ) 这样r ( s ) 是a ( s ) 的左理想，类似可证( s ) 足p ( s ) 的右 理想，u ( s ) 是n ( s ) 的理想口 坐壅盟堇盔堂塑堂垡鲨塞1 2 第二章序半群理想扩张的等价性 为了考虑所有由q 决定的s 的扩张，可根据用不同方式定义的等价把它们进 行分类，我们这里仅考虑序半群理想扩张的一种等价性 定义2 1 对于序半群y 和y 7 的子半群s ，一个从y 到v 7 内的同态如果使s 中的元是不变的，则称作是s 一同态一个s 一同态如果是满的又是反保序的则 称其为s 一同构y 到s 上的s 一同态称为v 的s 一自同态如果s 既是y 的 理想又是y 的理想，且存在1 ，到y 上的s 一同构( 即y 与v 是s 一同构的) ， 则称y 和是s 的等价理想扩张 定理2 2 设( s ， - s ) 是序半群则s 的理想扩张( k + ，v ) = 和( v ，o ，s v t ) = 是等价韵当且仅当存在从q 到a 上的同构妒、使 得 ( i ) o = 妒； ( 2 ) 对任意的a ，b q + ，当a b = 0 时，( d ，b ) = 八妒( 口) ，妒( 6 ) ) ； ( 3 ) ( a ，6 ) r = 辛( o ，妒( 6 ) ) r ， 证明售设存在满足定理中条件的同构妒：q - q 7 我们考虑映射 ：y - l 。_ n 如果。s i l 妒( o ) ， 如果臼+ 显然，映射曲是良定义的，它是满的且使s 的元是不变的 1 对v d ，b v 有咖( o + b ) = 庐( o ) 。壬( b ) 事实上： 1 1 设n ，b s 则由定理1 1 知西( 口帕) = 咖( 曲) ；a b = aob = 咖( n ) o ( b ) 1 2 ，设d s ，b q 。爨4 牵( 。 6 ) = 簪( 矿( 。) ) = 矿( a ) ，牵( 。) 。毋( 6 ) = a o t p ( b ) = p “( n ) 因为口= o 妒，所以对任意的be 秽有o ( b ) = 口妒( 6 ) 这样( n p t , ) = ( a 口( 们，矿”) 因 此p 6 = p p ( 们从而毋( o 十b ) = ( n ) o 币( 6 ) 1 3 设8 q ，b s 孤4 庐( a + b ) = 妒( “( 砷) = 入8 ( b ) ，咖( 口) o ( b ) = 妒( 。) ob = a p ( “) ( 6 ) 由1 2 的证明可知a 。= a p 这样( 口b ) = ( 口) o ( b ) 1 4 设d ，b 0 ，口6 = 0 则1 p ( d ) ，妒( 6 ) q “，妒( o ) 0i p ( 6 ) = 妒( n 6 ) = 0 ， 咖( n ) = 妒( o ) ，曲( b ) = p ( 6 ) 层l 此币( n $ 6 ) = q 5 ( ，( n ，6 ) ) = f ( a ，6 ) ，咖( a ) o q 5 ( = 妒( n ) o 妒( 6 ) = 山东师范大学硕士学位论文 1 3 ，( 妒( n ) ，妒( b ) ) 因为f ( a ，b ) = ，( 妒( o ) ，妒( 6 ) ) ，所以( o 女6 ) = 咖( o ) o ( 6 ) 1 5 设n ，b ，a b q + 贝0 ( n ) = 妒( 。) ，庐( 6 ) = 妒( 6 ) ，妒( d ) ：妒( 6 ) ，妒( 。) 妒( 6 ) q “ 这样咖( n + b ) = 曲( n 6 ) = 妒( n b ) = l p ( 口) 妒( 6 ) = ( o ) o ( 6 ) 2 咖是保序的： 设os vb 则曲( n ) e p ( b ) 事实上： 2 1 设o ，b s 则曲( ) = o ，咖( 6 ) = b 那么妒( n ) s ( 6 ) 这样，由定理1 1 知 ( ( ) ，毋( 6 ) ) s s v ，= sk j r u ( ，矿) ，1 一，矿q “，z qr 矿) 即妒( n )v 一妒( 6 ) 2 2 设( o ，b ) r ，则( o ) = 。，咖( 6 ) = 妒( 6 ) 由假设知( 口，妒( 6 ) ) r 于是 ( 咖( n ) ，曲( 6 ) ) ：( ，妒( 6 ) ) r 这样妒( 。) y ，咖( 6 ) 2 , 3 设( o ，b ) ( ( z ，掣) ，l 。，可q + ，。q 挈 贝q ( o ) = 妒( 8 ) ，孛( b ) = 妒 ) 因 为n5 qb 妒是保序的，所以妒( n ) s o ，妒( b ) ，和妒( o ) ，妒( b ) q “这样( 妒( n ) ，妒( b ) ) ( t 7 ，y 1 ) ，i 。7 ，y q “，z of ) 因此母( o ) v ，( 6 ) 3 手是反保序的： 设，b u 曲( o ) 曼 庐( 6 ) 则o vb 事实上： 31 设n ，b s 则( n ) = 。，毋( 6 ) = b 所以( a ，b ) = ( 妒( n ) 、毋( 6 ) ) 鱼，且 ( a ，b ) s 因此as 矿b 3 2 ，设n s ，6 q + 则( 8 ) = 8 ，妒( b ) = 妒( 6 ) 因为f # ) ，凸( ，所以 ( ( ) ，咖( b ) ) r ，则由假设知( 。，b ) r 这样口vb 3 3 设a q + ，b s 贝0 ( o ) = 妒( n ) q “，( 6 ) = b s i 司为咖( “) 、，毋( 6 ) 和 s 是v 的理想，所以咖( d ) s 这种情况是不可能的 3 4 设a ，b 0 + 则西( n ) = 妒( n ) ，咖( 6 ) = 妒( 6 )因为妒( n ) ，妒( 6 ) q h ，所 以( o ) ，西( b ) q “，又因为( o ) s v 一币( 6 ) ，可知( 咖( o ) ，曲( 6 ) ) ( 。7 ，y ) l 。、y q “，一墨口，y 1 ) 则妒( n ) s 掣妒( 6 ) 由妒是反保序的，可知as qb 因此( n6 ) ( 。，弘) 。，可( 4 ，：# o 管) 蔓y ， 综上可知毋是y 到矿上的s 一同构因此ky7 是s 的等价理想扩张 = 辛设圣是y 到矿7 上的s 一同构在q 上定义妒：妒1 0 = 妒1 v s 和妒( o ) = 0 7 可直接验证妒是从q 到q 上的同构对任意的。q 和t s ，由定理l ，l 有 4 ( ) = 口 t = ( n + ) = 妒( o ) o ( t ) = 妒( n ) o = 州o ( ) ， 对偶地有p a ( ) = p t p ( o ) ( ) ，这样可得0 = l p 如果a ，b q + 且曲= 0 ，则 ，( 口，b ) = 0 1 6 = 垂( n b ) = ( o ) o ( b ) = 1 p ( n ) o 妒( 6 ) = ，。( 妒( o ) ，妒( b ) ) 山东师范大学硕士学位论文 1 4 设( n ，b ) r ，则aes ，beq + 因此咖( o ) = a ，币( 6 ) = 妒( 6 ) eq “因为( n ，b ) r ，所 以a 墨vb 这样由是同构的可知咖( n ) 咖( 6 ) 故( 咖( o ) ，咖( 6 ) ) er 另一方面，设 ( n ，妒( 6 ) ) r ，贝0a v ，妒( b ) 因为咖( n ) = n ，曲( b ) = 妒( 6 ) ，所以咖( n ) - v ，( 6 ) 由是 反保序的，可得n vb 由aes ，beq + ，可知( 。，b ) r 口 山东师范大学硕士学位论文 第三章弱可约序半群的理想扩张 1 5 定义3 1 设( s 、，) 是序半群如果对任意a ，b s ，和所有的z s ，由 a x b x ，x ( 1 x b ，可推出a 茎b ，则称s 是弱可约的 命题3 2 设( s ，) 是弱可约序半群则映射庐：s - - - 4h ( s ) 1a + ”。是同 构映射 证明显然咖是满射 ( 1 ) 对任意a ，b s ，咖( 曲) = 曲( n ) 咖( 6 ) 事实上： 因为毋( 0 6 ) = 7 t a b = ( 曲，p 。6 ) ，西( o ) 曲( b ) = 7 r 。珊( a 。a 6 ，p a p b ) 所姒只需证 ( 幽& 。) = ( a 。h ，p 。p b ) 由于对任意t s ，有 曲( t ) = o 砧= 口( 嘲= a b ( t ) = 。a 6 ( t ) 因此a a b = 。a b 类似可证p a b = p a p 6 从而庐( n 6 ) = 咖( 口) 庐( 6 ) ( 2 ) 是单射 因为若设7 r 。= 凡，则h = h ，凡= p 6 因此对任意s 有a t = 眠t a = t b 这 样耐s s 乩，t a s 掘由s 的弱可约性知a sb ，类似地由6 s sa t ，t bs st a 得到 bs sa 这样a = b ( 3 ) 咖是保序的 对任意a ，b s ，若a sb ，则对任意s 有a t s 呱t a sl b ，即h 曼、 扎p 。s pp b 从而”。曼n 札，这样币( o ) n 咖( 6 ) ( 4 ) 庐是反保序的 对o ，b s ，设币( o ) n 毋( 6 ) ，即”。兰n 那从而k ah ，几pp b 因此对任意 s 有a f sb t ，t as s t b 由s 的弱可约性知n - sb 口 命题3 3 设( s ，) 是弱可约序半群则s 的任意两个双平移是可换的 证明对任意t ，9 s 和( ，p ) ，( n p l ) q ( s ) ，我们有 t 【p ( ，) 】= p ( ) ( ) = p 【p