（工程力学专业论文）基于能量耗散理论的冻土弹塑性损伤本构模型研究.pdf

摘要 摘要 早期的岩土本构理论，只根据力学控制条件，从不包含能量原理的微分方程 中寻求解答。而对于一般变形过程的研究，完整的微分方程必须包含能量原理， 因为外力做功产生能量的一部分不可避免要以热的形式耗散。从热力学假设出发， 构造能量耗散函数，研究耗散应力空间和真实应力空间的屈服面和流动法则，从 而推进塑性理论的发展。这种方法不仅具有更好的普遍性，而且理论依据明确。 本文用此种方法研究冻土的本构模型。 现有的大量研究成果表明：在载荷作用下，冻土体内存在大量微裂纹的萌生 和扩展及土颗粒的重新定向，导致承载能力的降低。因而用损伤理论来研究冻土 的变形过程可以迸一步深入掌握冻土的力学性能。 由能量耗散理论出发，将冻土的耗散函数表示成塑性耗散( d p 屈服准则) 和损伤耗散之和的形式，其中塑性耗散函数中耦合了损伤变量；再通过弹塑性及 损伤的演化过程，建立了冻土弹塑性损伤增量本构模型，并给出了其有限元格式。 本文与塑性相关的模型参数可由冻土的常规单轴、三轴试验获得。冻土发生 的损伤，可间接反应于弹性模量的变化；在偏应力应变曲线的基础上，通过冻土 的割线弹性模量变化，表现损伤的变化，从而确立与损伤相关的模型参数。 通过模型的有限元模拟曲线与试验曲线对比表明：本文提出的数值计算模型 及其参数符合模型试验条件。 图【1 5 】表【1 1 】参【6 1 】 关键词：耗散函数；冻土；弹塑性；损伤；演化过程；本构模型 分类号：0 3 4 6 5 摘要 a b s t r a c t e a r l yc o n s t i t u t i v et h e o r yo fg e o m a t e r i a l s ，s e e ka n s w e r si nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n o n l ya c c o r d i n gt ot h ec o n d i t i o n so ft h em e c h a n i c a lc o n t r o la n dn o ti n c l u d i n ge n e r g y p r i n c i p l e f o rt h eg e n e r a ld e f o r m a t i o np r o c e s s ，c o m p l e t ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sm u s t i n c l u d ea l le n e r g yp r i n c i p l e ，i nr e s p e c tt h a te x t e r n a lf o r c ed o e sw o r ki n e v i t a b l ep a r to f e n e r g yt ot h ef o r mo fh e a td i s s i p a t i o n s t a r t i n gf r o mt h et h e r m o d y n a m i ca s s u m p t i o n ， m a k ee n e r g yd i s s i p a t i o nf u n c t i o n ，s t u d yo ny i e l ds u r f a c ea n df l o wr u l eo fd i s s i p a t i v e s t r e s ss p a c ea n dt r u es t r e s ss p a c e ，a n dd e v e l o pp l a s t i c i t yt h e o r y t h i sm e t h o dn o to n l y h a st h eb e t t e ro f u n i v e r s a l i t y , b u ta l s oa c l e a rt h e o r e t i c a lb a s i s i nt h i sp a p e r , f r o z e ns o i l c o n s t i t u t i v em o d e li ss t u d i e di na b o v em e t h o d e x i s t i n gs u b s t a n t i a lr e s e a r c hr e s u l t ss h o wt h a t ：f r o z e ns o i lu n d e rl o a d sh a sal a r g e n u m b e ro fm i c r o c r a c k si n i t i a t i o na n dg r o w t ha n dr e o r i e n t a t i o no fs o i lp a r t i c l e s ，s ot h a t t h ee f f e c t i v ea r e ao fd e c r e a s e sa n dc a r r y i n gc a p a c i t yl o w e r s t h e r e f o r et h ed e f o r m a t i o n p r o c e s so ff r o z e ns o i li ss t u d i e db yd a m a g et h e o r yi sa p p r o p r i a t e b a s e do ne n e r g yd i s s i p a t i o nt h e o r y , d i s s i p a t i o nf u n c t i o ni si nf o r mo fp l a s t i c d i s s i p a t i o nf u n c t i o n ( d py i e l dc r i t e r i o n ) a n dt h ed a m a g ed i s s i p a t i o nf u n c t i o n a n d p l a s t i cd i s s i p a t i o n f u n c t i o ni s c o u p l e d o ft h e d a m a g ev a r i a b l e t h r o u g h t h e e l a s t o - p l a s t i ca n dd a m a g ee v o l u t i o n ，f r o z e ns o i li n c r e m e n t a le l a s t o p l a s t i cd a m a g e c o n s t i t u t i v em o d e li sm a d e a n df i n i t ee l e m e n ts c h e m ei sg i v e n p l a s t i c - r e l a t e dm o d e lp a r a m e t e r sc a nb eo b t a i n e di nc o n v e n t i o n a lu n i a x i a l t r i a x i a l t e s t w h e nf r o z e ns o i li sd a m a g e d ，i ti si n d i r e c t l yr e f l e c t e di nt h ee l a s t i cm o d u l u s c h a n g e s ；a tt h eb a s i so fd e v i a t o r i cs t r e s s s t r a i nc u r v e s ，a n dt h r o u g hc h a n g e so ft h e s e c a n te l a s t i cm o d u l u so f f r o z e ns o i l ，c h a n g e so fd a m a g ea r ep e r f o r m e d ，s ot h ed a m a g e - r e l a t e dm o d e lp a r a m e t e r sa r ee s t a b l i s h e d t h er e s u l tt h a tf i n i t ee l e m e n ts i m u l a t i o nm o d e lc u r v e sa n de x p e r i m e n t a lc u r v e s m a t c hw e l li l l u m i n a t e s ：t h ef o u n d e dm o d e lc o n f o r m st or e a l i t ya n di nf a v o ro ff u r t h e r s t u d ya n da p p l i c a t i o n f i g u r e 【1 5 】t a b l e 【1 1 】r e f e r e n c e 【6 1 】 k e yw o r d s ：d i s s i a t i o nf u n c t i o n ；f r o z e ns o i l ；e l a s t o - p l a s t i c ；d a m a g e ；e v o l u t i o n ； c o n s t i t u t i v em o d e l c h i n e s eb o o k sc a t a l o g ：0 3 4 6 5 i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方以外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 塞徽堡王太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一 同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示谢意。 学位论文作者签名：奎查：墼日期：工年j 月笪日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解塞邀堡王太堂有保留、使用学位论文 的规定，即：研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属于 塞邀堡至太堂。学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权安徽理工大学 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位 论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：李志、秋签字日期：dc 年5 月l 歹日 导师签名： l 行料嘴彳6 月p 第1 章绪论 1 绪论 1 1 冻土力学的研究现状 冻土是一种温度低于0 且含有冰的土岩，是由固体矿物颗粒、理想塑性的 冰包裹体( 胶结冰和冰夹层) 、未冻水( 薄膜结合水和液态水) 、气态成分( 水蒸 汽和空气) 组成的典型的非均质多相颗粒材料。由于冻土各相之间的相互作用， 因而冻土表现出的力学性能也非常复杂。【1 】【从崔托维奇的第一部冻土力学1 2 1 问世以来，冻土力学的研究走过了一条漫长崎岖的发展道路【3 j 。 上世纪从5 0 年代到8 0 年代，研究学者陆续系统地对冻土在不同负温、不同 土性、不同初含水量、不同载荷等级条件下的强度及变形性质进行了试验研究， 并提出了相应的试验拟合数学力学模型。对工程上常用的冻土的力学性质如不同 负温下的弹性模量、泊松比、粘聚力、内摩擦角，以及冻土特殊的流变性质进行 了试验研究。其中，朱元林、张家懿等根据冻土室内单轴受压的研究成果，将冻 土的单轴压缩本构关系归为粘弹塑性和弹塑性两大类，每一大类又包含若干亚类。 李海鹏、朱元林等对饱和冻结粘性土在常应变率下的单轴抗压强度进行了研究， 建立了以温度、应变率及破坏时间为变量的强度预报方程。李洪升、杨海天等【4 】 研究了冻土的单轴抗压强度对应变率的敏感性问题，把单轴抗压强度对应变率的 敏感性分成几个区域，得到了一定温度下的强度与应变率之间的关系式。马芹永 1 5 】对冻土的抗拉、抗压强度进行了试验研究，得到了冻结粘性土的抗压与抗拉强 度之比为3 - - ，5 ，冻结砂土的抗压与抗拉强度之比为9 1 2 。何平、朱元林等【6 j 对 冻结粘性土、砂土和粉土在不同负温下的泊松比进行了室内试验，指出粘土和砂 土的泊松比可以作为常数，受温度的影响很小，砂土的泊松比随着轴向应变的增 大而增大。h a y n e s 等人1 7 1 通过单轴压缩和拉伸试验发现冻结粉土的弹性模量随应 变率的增加而稍有增加。b r a g g 等人【8 】通过单轴压缩试验发现冻结砂土的弹性模 量随应变率的增加和温度的降低而增加；z h uy u a n l i n 等人【9 】通过单轴压缩试验对 冻结粉土的弹性模量做了系统的研究。由于冻土具有强烈的流变特性，围压的作 用对冻土的变形性能有重要影响，因而许多研究者转向了三轴作用下的冻土的变 形特性及力学指标的研究。常小晓、马巍等人【1 0 l 对三轴应力作用下的冻结砂土、 黄土和粘土的弹性模量进行了室内试验研究，初步得到了弹性模量随围压变化的 规律。沈忠言、吴紫汪等【1 1 】对冻结粘土的三轴强度特性进行了研究。马巍、朱元 林等【1 2 】分析了冻结粘性土的变形特性，指出其体积变形在加载初期缩小，随着载 荷的增大，又逐渐膨胀。 1 第1 章绪论 吴紫汪、马巍f 1 3 ，1 4 】对不同围压下冻土的三轴抗剪强度特性作了系统的试验研 究，指出冻土的抗剪强度随围压的增大而增大，与普通融土的强度特性相同，但 当围压大于某一极限值后，围压的继续增大则加速了空隙胶结冰的压融，降低了 冻土的颗粒间的胶结强度，导致了冻土的弱化；王正贵、马巍等【1 5 j 提出了冻土蠕 变的渐进屈服准则，蔡中民、朱元林等【1 6 j 基于定常温度场及小应变假设，把总应 变率分解为蠕变应变率和塑性应变率之和，推导出了冻土的粘弹塑性本构方程， 并且提出了模型参数的确定方法。朱元林，和平等【1 7 以8 】对冻结粉土在往复载荷作 用下的变形特性及不同动载频率下冻土的强度特性进行了试验研究，发现冻结粉 土在振动载荷作用下的破坏应变基本与围压无关，其平均值约为相同条件下静载 蠕变破坏应变的一半，冻土在振动载荷作用下的蠕变破坏准则与静载下具有相同 的形式，冻土在振动载荷作用下颗粒发生了明显的定向排列，这是导致蠕变强度 和破坏应变减小的主要原因。盛煜、吴紫汪等【1 9 , 2 0 l 对变应力过程中冻土长期强度 以及变形特性进行了试验研究，指出冻土在变应力过程中的破坏时间基本符合破 损度线性累加原理，结合冻土的长期强度曲线即可得到冻土在变应力过程中的长 期破坏时间准则。张长庆、张建明等【2 1 1 还对冻土的正交各向异性特性特征进行了 初步研究。赵淑萍、何平等【2 2 j 对冻结砂土在冻载下的蠕变特性进行研究，分析了 最大加载应力、温度及加载频率对冻土蠕变破坏应变、破坏时间及最小蠕变速率 的影响。沈忠言、张家懿等瞄l 研究了冻结粉土的动强度特性，并且提出了抛物线 破坏准则。俞祁浩、朱元林等l 2 4 】还对冻土的抗冲击强度进行了实验研究。h ep i n g 等瞄】基于各向同性损伤理论，分析论证冻土所具有的粘弹塑力学性质及围压的强 化弱化双重性质。李栋伟等【2 6 捌以冻土试验为基础提出了冻粘土服从d p 屈服准 则的粘塑性损伤变量，研究了冻土粘弹塑性损伤耦合本构关系。金龙等幽j 利用常 规三轴试验数据，获得了冻结砂土的损伤变量的双曲线变化规律。 以上这些研究都属于宏观唯象学范畴。从广义上说，本构关系是指自然界的 作用与该作用产生的效应两者之间的关系【2 9 1 。对于冻土材料，已建立的模型可以 分为两大类，一是拟合试验数据得到的经验模型，它们以提高拟合精度为目标， 基本上不考虑做功、能量、耗散等理论机制；另一类是从某些理论假设出发，通 过数学推导得到的，它们本质上是多种假设的集合，由经典弹塑性力学本构的几 个要素组合而成，在有些情况下这些假设是相互矛盾的。因此，现有的大部分模 型在理论上不够严谨，可能会造成违反热力学定律，需要加以改进。在这个方面 基于热力学基本原理的冻土本构模型体系值得关注。 2 一 第1 章绪论 1 2 基于热力学原理的本构模型 连续介质力学的研究对象是变形体，早期阶段只考虑一些特殊材料和特定的 情况，如理想液体和弹性固体在等温或者绝热条件下的反应。在这些特殊情况下， 可以只根据力学控制条件，从一组不包含能量原理的微分方程中寻求解答。对于 一般的变形过程，完整的微分方程必须包含能量原理，因为外力做功产生能量的 一部分不可避免要以热的形式耗散。因此，我们无法将一个问题的力学部分从包 含着运动的热力学过程中单独分离出来，而是需要同时应用力学和热力学的基本 定律。力学和热力学原理的协调统一首先应用在气体动力学和热弹性力学中，经 过不断发展和完善，现在已经在连续介质力学涉及的所用方面广泛使用。塑性理 论和热力学这两个学科在早期也是独立发展的，后来热力学概念引入塑性理论， 产生深刻的影响，出现了考虑热力学原理的金属本构模型。 岩土本构理论在很大程度上借鉴了连续介质力学和金属塑性力学，但其变形 特性比金属复杂得多。近年来，严格热力学框架下的岩土材料的本构模型得到了 发展，他们既有理论上的严格性，又提供了构建模型的通用方法。在岩土材料塑 性理论中应用热力学有两种方法，其一是采用通常的屈服面，塑性势和硬化函数 的概念，然后将热力学定律作为附加的约束引入本构模型。c o l l i n s 和h o u l s b y ( 1 9 9 7 ) 对此做过研究，发现这种方法非常繁琐，且缺乏通用性。另一种方法是 直接从热力学假设出发，构造能量耗散函数，研究耗散应力空间和真实应力空间 的屈服面和流动法则，从中发展塑性理论。通过定义能量函数，可以满足热力学 第一定律；通过定义非负的耗散函数，可以满足第二定律。这种方法不仅具有更 好的普遍性，而且理论依据明确。在本文，我们用后一种方法来研究冻土本构模 型。 基于热力学方法构建岩土弹塑性本构模型，目标是建立一个协调的热力学框 架，用内变量去描述材料的加载变形历史。这种方法来源于所谓的“广义热力学 ( g e n e r a l i z e d t h e r m o d y n a m i c s ) ”理论，能自动保证满足热力学第一和第二定律， 也被称为“超塑性( h y p e r p l a s t i c i t y ) 模型”其理论依据可见z i e g l e r ( 1 9 8 3 ) 、 h o u l s b y ( 1 9 8 1 ) 、c o l l i n s 和h o u l s b y ( 1 9 9 7 ) 的文章，h a l p h e n 和n g u y e nq u o c s o n ( 1 9 7 5 ) 、m a r t i n 和n a p p i ( 1 9 9 0 ) 、m a u g i n ( 1 9 9 2 ) 、r e d d y 和m a r t i n ( 1 9 9 4 ) 的论文 中【3 0 - 3 2 】对此也有论述。 基于热力学原理建立本构模型的方法由法国科学家初创，经h o u l s b y 、z i e g l e r 、 c o l l i n 等人的发展，目前己基本趋于完善。与经典塑性力学方法相比，它具有以 3 第1 章绪论 下优点： 1 ) 从连续介质热力学的基本原理出发，借鉴热力学中状态变量的基本概念， 吸收强度量与广延量成对的热力学思想，把经典塑性力学能量耗散速率的定义由 d q 叠，修正为d = 筋i ，其中彪是与内主应变( 可取塑性主应变) 成对的内主应 力。 2 ) 借鉴经典连续介质本构关系理论，采用耗散势( 也称耗散函数) 代替d r u c k e r 塑性公设描述材料的塑性特性。通过构造耗散函数表达形式，研究屈服准则和塑 性流动。 冻土由于自身组构的不均匀性，矿物颗粒与土中胶结冰和未冻水以及气体物 质相互作用的复杂性，冻土变形过程中微结构变化的复杂性，冻土对温度的敏感 性等一系列因素，使得我们在细观水平上对冻土变形机理进行研究成为必然趋势。 本文即是在这样背景下，借助热力学方法来研究冻土本构模型。 在利用连续介质力学处理热力学耗散系统过程中，物质的损伤耗散值得关注。 通过建立受损材料的本构关系、解释材料的破坏机理、建立损伤的演变方程、计 算构件的损伤程度，能够达到预估剩余寿命的目的。 1 3 冻土损伤力学的研究进展 损伤力学，主要是在连续介质力学和热力学的基础上，用固体力学的方法， 研究材料或构件力学性能的演变直至破坏的全过程，是固体力学的一个分支，是 经典的固体力学的发展和补充。 白k a c h a n o v 于1 9 5 8 年研究金属拉伸棒蠕变断裂时提出了损伤连续变量的概 念，又于1 9 6 3 年提出损伤因子的概念1 3 0 j ，到1 9 7 7 年j a n s o n 和h u l t 等人【3 1 】明确 提出了损伤力学( d a m a g em e c h a n i c s ) 的新名词，随后l e m a i t r e l 3 2 1 和c h a b o c h e 【3 3 】等 人先后发展和完善了损伤力学理论。在这几十年的时间内，损伤力学获得了重大 的进展，其问并推广到延性断裂和疲劳断裂的研究中，形成了连续介质损伤力学。 到目前为止，连续介质损伤力学已经广泛应用于金属脆性破坏研究，延性破坏， 疲劳和蠕变等各个方面的研究，并获得了大量成果。与此同时连续损伤力学已从 最初单纯的金属研究范畴更多地延伸到混凝土、岩石以及复合材料等，且有针对 各种类型的损伤特性与损伤本构关系的大量研究专著。 冻土的宏观破坏一般应首先源自于冻土内部颗粒的位错、滑移与微裂纹细观 损伤，其损伤的表现形式为受载过程中的附加损伤，并因此导致材料的弱化，从 而最终丧失承受载荷的能力，对较低负温条件下的冻土尤其如此。这些微孔洞和 第1 章绪论 微裂纹远大于分子、原子尺度，而又远小于我们通常意义上的宏观尺度，因此， 它属于细观尺度。对此，我们可以采用细观统计损伤力学的方法来描述其本构特 性。首次将损伤力学应用于冻土力学的研究是苗天德等【3 4 j 人，他们采用复镜一电 镜方法开展冻土蠕变损伤的研究，对细微观损伤特征进行了研究，并提出了蠕变 损伤的本构模型；何平等1 3 5 j 则试图从工程需要出发，采用连续损伤理论建立了损 伤与力学本构相耦合的冻土粘弹塑性损伤耦合本构理论；刘增利等【3 6 1 采用c t 方 法对冻土单轴压缩过程进行了动态测试，对冻土各个阶段的损伤特征进行了讨论， 并提出了各个阶段的损伤计算方法。张树光掣3 7 】基于损伤和分形理论，对单轴压 缩条件下冻土的力学性质进行研究，建立了损伤变量和分形维数随应力的数学经 验表达式，并作出其动态演化曲线。同时，在损伤的识别研究方面，蒲毅彬等【3 8 1 提出采用射线扫描无损实时的检测方法，刘增利等【3 9 , 4 0 1 n 明确提出了冻土附加损 伤的识别模式理论，并进行了单轴压缩损伤的实时研究。 1 4 本文的研究内容 冻土力学作为一门新的科学虽然很年轻，然而唯象学上的冻土宏观力学性质 的研究已经步入低谷，从细观上研究冻土的本构模型已成为研究重点。冻土的热 力学模型由d u q u e n n o i 4 1 】在1 9 8 5 年首次提出，后经f r e m o n d 和m i k k o l a 【4 2 】在1 9 9 1 年改进发展而成。模型在冻土微元体中土、冰、水三相介质的质量守值、能量守 恒及熵不等式的理论基础上，提出了多相介质的相应的自由能和耗散能表达式与 多相介质的本构方程。本文在此基础上，结合当前冻土研究的热点问题一损伤， 通过收集、查阅和整理中外资料，提出了基于能量耗散的冻土弹塑性损伤本构关 系。论文主要开展以下几方面工作： 1 、从热力学的能量守恒和熵增定律出发，推导能量耗散理论；选择冻土能量 耗散过程的状态变量，其中包括外变量和内变量。 2 、从能量耗散理论出发，结合损伤力学、塑性力学，推导冻土弹塑性损伤增 量本构模型；在选定冻土塑性耗散函数和损伤耗散函数基础上，通过弹塑性及损 伤的演化过程，确立具体的冻土弹塑性损伤本构模型，并给出其有限元格式。 3 、通过冻土的单轴或三轴试验确定模型的一系列参数，并将模型有限元模拟 曲线与试验曲线进行对比，验证模型准确性。 1 5 研究的思路和结构 本文的思路和结构如图1 所示： 5 一 第1 章绪论 图1 论文结构和思路示意图 f i g1s k e t c hm a po ft h ep a p e r ss t r u c t u r ea n dt h o u g h t s 第2 章冻土能量耗散理论的热力学基础 2 冻土能量耗散理论的热力学基础 2 1 材料热力学简介【4 3 ，4 4 1 热力学最初因研究热和机械功相互转化的关系而得名，进而发展成从能量观 点研究物质的热性质和热运动以及建立有关平衡的一般规律的科学。热力学的主 要基础是热力学第一定律及第二定律，它们是人类长期实践的经验总结。因此广 泛用于许多学科中，例如应用于机械，就是工程热力学；应用于化学现象或与化 学有关的物理现象，就是化学热力学；在引述热力学基本原理的基础上着重以固 体材料为例说明这些原理的应用，这就是材料热力学的任务。 热力学研究的对象是大量质点组成的宏观体系，它只考虑体系中质点的平均 性质，而不涉及物质内部的复杂结构和质点的微观运动状态；它只考虑体系从一 个状态转变到另一状态，而不涉及过程的机制和所需的时间。所以它是研究物质 宏观性质的科学，又称为宏观热力学。宏观热力学最大的特点是具有坚实的实验 基础，对于现象的内部机制不作任何假设，通过严格的推理、数学的演绎，找出 物质宏观性质之间的关系。所以它导出的结论，有高度的可靠性和广泛的普遍性。 但宏观热力学也有其局限性，它只能回答过程变化的可能性，不能回答变化 的现实性：它能提出反应的必要条件，但不能提供充分条件；它能预测某一过程 能否向某一方向进行，以及进行的限度，但不能解决该过程所需的时间以及内在 原因和变化机制。后者需借助统计物理学深入地涉及分子微观态的各种热运动， 这就是统计热力学。 现代的材料热力学力图将宏观热力学与统计热力学结合起来，使经验的宏观 规律能用统计的微观机制诠释，从而能更深刻地理解和掌握热力学的基本原理， 更好的指导实践。 2 2 热力学第一和第二定律的微分形式【2 6 】 2 2 1 能量守恒定律 本文研究冻土的本构关系属于小变形问题，应力和应变张量分别用呸，和。表 示；应变的改变率记为i “每单位体积上的变形功是呸，z 一假定在物体中任取一 部分，其体积为y ，表面积为s ，表面外法线的方向余弦为v i ，物体的表面力矢 量为t ，= 呸；v ；。以f 表示单位体积的体力矢量，喀表示速度，则外力所做功率为： 7 第2 章冻土能量耗散理论的热力学基础 i = 正嘞y j 吃嬲+ 工五喀d v 2 - 1 ) 根据高斯公式： 正( 芸+ 詈+ 警户y 2 正( 勋娩+ 姒减+ 鼢哪灿 ( 2 - 2 ) 可以将面积分化为体积分： a = l ( d ：，吃+ 嘞吃，d v + 上五吃d v ( 2 _ 3 ) 以y 表示单位质量的热生成率，吼表示热流密度矢量。) ，又称热源强度，即单位 时间内单位质量热源产生的热量。热流密度矢量吼为单位时间内通过等温面单位 面积的热量。对于法向单位矢量为k 的面积微元嬲，单位时间内通过它的热量为 q y ；d s 。则物体中的热能增加率为： q 一吐q y a s + f v p y d v ( 2 - 4 ) 上式右边第一项表示由边界传入物质的热量，第二项为物体内热源产生的热 量，p 为密度。 系统的动能为z 2 ：f 争照跏，其中质量微元跏2p d v 。若以e 表示单位质 量的内能，则总能量的变化率为： 于+ 官= d f u 2 1z 2 矗谢+ l 蒯= j ：f ( 坛成+ 唇) 棚= 正( 吃啦+ 毒膨矿 ( 2 _ 5 ) 按照热力学第一定律，总能量变化率等于外力功率与热量增加率之和，即： 工户( 如，够+ 垂矽矿一上( ，吃+ 五“+ z 西，p y 一正呸，d v + f v p y d v 。 ( 2 - 6 ) 利用运动方程，+ 五= j d 玩，上式简化为： 正p ( 叠一) ，p y2 工吃，d y f v q i ，j d v 2 - 7 ) 再由关系式正“= 岛，继续变形为： 正p ( 毒一r ) d v2 f v o , a v 一吼，j d y ( 2 - 8 ) 该式对物体中的任意部分y 均成立，因而有： 8 第2 章冻土能量耗散理论的热力学基础 p ( 舌- y ) ；毛一吼，j 即： 庳一乇+ v q ；0 ( 2 - 9 ) 这就是可变形连续体中热力学第一定律的微分形式。其中v 口= ( 一p y + 吼，j ) 是 单位体积微团向外输出的热量。 2 2 2 熵增定律 以口表示绝对温度，t 表示单位质量的熵密度，则熵： s 2 f r l d m5 l m q p 删 ( 2 1 0 ) 由热力学第一- - 疋佯z s 。一日建+ p 毫之q 和供热率的表达式( 2 4 ) ，可得： o s - f s q i v i d s + f v p y d v ( 2 1 1 ) 上式两边同时除以0 ，则有： s ( q , v , o ) d s + f 矿( p r o ) d v ( 2 1 2 ) 将( 2 1 0 ) 式代入得： 工p 私y 面( p r o ) d v 一正( 呸屹口炒 ( 2 1 3 ) 再利用高斯积分得： f v p , i d v 够( p rl o ) d v 一上( 呸0 一q i o a 0 2d v ( 2 1 4 ) 也即： 上( p 肋一p y + c h 一q , o a o ) 0 ( 2 1 5 ) 该式对物体中的任意部分y 均成立，因而有： p 口磅+ v q 一呸见0 0 ( 2 - 1 6 ) 此式即为热力学第二定律的微分形式。 9 一 第2 章冻土能量耗散理论的热力学基础 2 3 物质能量耗散系统的相关理论【4 5 】 2 3 1 由能量守恒定律导出的能量耗散系统相关方程 在( 2 - 9 ) 式中v q 一( - p y + 呸，j ) 是单位体积微团向外输出的热量。微团之所以 能产生热量起因于状态有所变化，包括外部状态变化与内部状态变化。先看外部 状态变化，外部状态变化是指物质发生了粘性或塑性流动及热流动。这种流动或 变形自然要耗散能量，发出热量，并且可以从外部观测得到。但尽管如此，物质 之所以有这种变动是物质本来的性质，不能视为物质内部发生了什么变化，故称 之为外部状态变量，简称外变量。 物质受到外力作用时，物质的变形白分成两部分：弹性变形f ；和塑性变 形f 善。外力的功也分为两部分：一部分克服物质的弹性，储入物体；另一部分用 来克服塑性变形，将被耗散掉。即外部状态变化时所耗散的功为：孑。 内部状态变化是由于各种物理与化学的原因m ，如受载、承受高温、受到辐 射或腐蚀、氧化等，而造成物质各种物理或化学上的变化，如结构改变、相变化、 成分变化等。我们用表示内部状态变量，用4 f 表示发生单位q 所耗散能量，则 4 f 盔为内变耗能率( 下标i 重复表示求和) 。 内部变化与外部变化所耗散的能量将全部转变为热。除流失热v q 外，全部为 微单元体所吸收，引起了熵值的加大。则对微元体可建立如下关系： 肌上盟掣矿 1 7 ) 由此得： v q = 吼f 彤+ 4 a f p 铆 ( 2 1 8 ) 将该式代入能量方程( 2 9 ) 式又可得n - p e 一白+ f 乡+ 4 a f p 铆= 0 ( 2 _ 1 9 ) 由于这罩分析的是一种缓慢得稳定得变化过程，属于等温变化，为了便于理 解与分析，使用自由能密度函数表示物质的能量状态。 = p 一口刁 ( 2 2 0 ) 故： 矽一毒一口呀一铆 ( 2 2 1 ) 由此得出： 1 0 第2 章冻十能量耗散理论的热力学基础 p 毒= o q 宅q 一0 q 考；一a t a t - p 舀q ( 2 - 2 2 ) 自由能妒是弹性应变s ；，温度日、内变量q 的函数。考虑到白一占；+ 手可以 将自由能函数表示成： 驴= 妒7 ( ，口，a i ) 一( 勺，硝，口，) 则有： 乒。薏岛+ 嚣苟+ 署喀+ 等矽 比较( 2 2 2 ) 。式与( 2 2 4 ) 式可得到： 8 由a 咖 邓蔷一p 萌 驴一菇 a 莎 4 一p 盖 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 由2 4 节介绍的l e g e n d r e 变换，可定义自由能函数的对偶函数一余能函数zj 则有： p x ( a ，p ，q ) = 仃：。一j d 妒( 。，口，q ) “p 鼍 叼一詈 4 一嗳 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 以上为由热力学第一定律一能量守恒关系推导出的关系。但对研究耗散系统 来说还不够，需要根据热力学第二定律一熵增原理寻求控制状态变化的有关函数 与方程。 2 3 2 由熵增原理导出的能量耗散系统的相关方程 在( 2 1 6 ) 式中令g = 吃即为温度梯度。口用绝对温度表示，必大于零。这样 便可得出一个函数： 1 1 第2 章冻土能量耗散理论的热力学基础 夕= v q 一警+ p o o - o ( 2 - 2 8 ) 将( 2 1 8 ) 式代入上式，则有： 夕= 够+ 4 吨一警o ( 2 - 2 9 ) 上式中厂为耗散函数。其中任两个相乘的量都是状态变量，一个具有应力性 质，是广义力；另一个相当于应变率，是广义应变率，两者相乘构成了耗散率。 如果用尽代表广义力，包括、4 、一g ；用属代表广义应变，包括够、q 、石q 。 则耗散函数可表示为： 厂= e 屈0 ( 2 3 0 ) 不但如此，在状态稳定变化阶段，上列方程对e 的任何微小变化也应成立， 即： r i b , a l p , 0 ( 2 3 1 ) 这是因为在任何情况下，耗散的能量只会增多，不能减少。一旦上式不成立， 状态的微小发展，必将散发出能量，这一能量又使状态进一步发展。如此不断循 环，不稳定地发展下去，最终导致材料破坏。 从( 2 2 5 ) 式可知e 与屈可建立函数关系，因此可以把厂表示成e 的函数。 如用e 作为坐标组成一个( 珂+ 3 ) 维的空间，空间中任何一点都代表物质的一种状 态，谓之状态点。状态点沿f = 0 变化能在空间定出一个超曲面： f = 0 ( 2 - 3 2 ) 该曲面是凸的，状态点向曲面内部变化，不再耗散能量。如向外变化，即使 是微量鸩，也将耗散能量，即层必有所发展，设其量为d 尼。如以屈为坐标另立 ( n + 3 ) 维空间，使它与忍空间重合，则在该空间中层变化d 屈将垂直于厂= o 面。 因为如不垂直就有可能找到一种引起d 屈的e 变化鸩使( 2 - 3 1 ) 式不成立。由此 可知： 房= 磋 ( 2 - 3 3 ) 它包括： 1 2 第2 章冻土能量耗散理论的热力学基础 铲a 亳 卜旯著 窿= 兄笪a 4 ( 2 3 4 ) 式中j = q o ，叫熵流量。允根据以下关系求得： = 0 ( 2 3 5 ) 对于塑性流动或变形，通常使用的是上述方法，即利用耗散函数厂寻求状态 变化。 最后将有关物质能量耗散的方程可简化为下表： 表l 物质能量耗散的相关方程 t a b l eit h ee q u a t i o nr e l a t e dt os u b s t a n c ee n e r g yd i s s i p a t i n g 符号变量名称相关方程 方程名称 占 应变 = 三 v “+ ( v ) 7 变形协调方程 p 密度两蠢= 0质量连续方程 “ 位移v o + p b = p i i力的平衡方程 ，7 熵v q = 一a a t p 移而能量守恒方程 a 矽 盯 应力 盯2 p 素 a 矽 口 温度 ，7 一荔 材料的本构方程 4 内变阻尼力 伊嗜 1 3 第2 章冻土能量耗散理论的热力学基础 表1 ( 续) 符号变量名称相关方程 方程名称 p 塑性应变 叠，a 笪 a 仃 状态发展方程 q 内部状态变量 面以盖 ( 增量理论) a f = 0 f 耗散函数给定材料内部性质 自由能函数给定 2 4 l e g e n d r e 转换【4 7 】 l e g e n d r e 转换是一种非常有用的数学工具，广泛应用在力学研究的许多方面。 在推导冻土本构关系时，将涉到相关几组重要的对偶函数及对偶量，为了理解方 便，下面就l e g e n d r e 转换做简介。 设曲线( 或空间超曲面) 的方程为z = x ( 鼍) ，它在( 栉+ 1 ) 维( z ，而) 空间定义 了一个面r 。以自变量鼍( f = 1 , 2 ，3 ，尼) 为横轴，函数值x ( 鼍) 为纵轴，则某点p 的 坐标为( x ，毛) 。过p 点函数x ( 鼍) 的切线( 或切面) 斜率用咒表示，则： y f a 曙o x , ( 2 - 3 6 ) 过p 点作曲线( 或空间超曲面) 的切线( 或切面) ，与z 轴相交于( o ，- y ) 。 其中y 是y ，的函数，即有y = y ( y ；) 。过该点作曲面( 或空间超曲面) 的外法线， 由三角形相似性，可以在横轴方向上取为谜溉，则对应的纵轴方向为一1 ，如图 2 ，由于外法线与切线正交，从图上可以看出，矢量( 谜o x , ，一1 ) 与( 鼍，x + y ) 正交， 做这两个矢量的内积，可得到： x + y = x _ f o x o x , ( 2 3 7 ) 将( 2 3 6 ) 式代入上式，则有： x ( 鼍) + y ( y i ) = t y f ( 2 3 8 ) 上式两端对y i 求导，得到： 1 4 第2 章冻士能量耗散理论的热力学基础 婺挈+ 婺咄鲁+ 薯 ( 2 3 9 ) 一二+ 暑v 上+ x k z a x ia y i谤i “弛i 于是： 毛= # y i o y , ( 2 4 0 ) ( 2 3 6 ) 式、( 2 3 8 ) 式、( 2 4 0 ) 式即为l e g e n d r e 转换的基本关系。函数z = _ y ( m ) 实际上是面f 的切面包络面，z = x ( 而) 和z j ( m ) 是对同一个问题的等价描 述，x 和y - q 为对偶函数。同时l e g e n d r e 转换是自对偶的，因为x 和y 的地位完 全相同，可以互相交换。 z = 戤) o x ；q = l ，2 ，力 图2l e g e n d r e 转换的几何表不 f i g2g e o m e t r i c a lr e p r e s e n t a t i o no ft h el e g e n d r et r a n s f o r m a t i o n 归纳起来，l e g e n d r e 转换的根本目的是用对偶函数z = y ( ) ，；) ，替换原始函数 z = x ( 五) ，其中y ；一疆o x , 是原始函数的梯度。这两个函数定义了( 珂+ 1 ) 维空间 中相同的面。原始函数通过一系列点( x ，墨) 确定，对偶函数则利用它的切线 超平面以( y ，y ；) 确定。对偶函数由y = ( x 一而y ；) 给出，正负符号的选择依赖具 体问题的物理意义。 2 5 冻土能量耗散过程状态变量的选择 在不可逆过程中，建立冻土的弹塑性及损伤的热力学框架，需要引进状态变 量，归结为下表。 一1 5 第2 章冻土能量耗散理论的热力学基础 表2 冻土相对偶的状态变量 t a b l e2s y m p l e c t i cs t a t ev a r i a b l eo ff r o z e ns o i l 相对偶的状态变量 位移性质的状态变量应力性质的状态变量 应变( 塑性应力占予)应力 外部状态变量 温度9熵密度，7 未冻水含量 相变潜热 内部状态变量 积累塑性应变p 硬化变量足 损伤变量d损伤应变能释放率y 在上表中任一状态变量均可理解为“广义位移”；而与其相应的相随变量( 对 偶变量) 可理解为“广义应力”。下面对其逐个说明。 2 5 1 外部状态变量 应变和温度为冻土的外部状态变量，可直接观测得到。与之相关的本构方程 为： 或： 叩p 鼍 驴一菇 a 西 - 1 6 ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 旦峨旦忡 办 一，a i 、 矗 第2 章冻土能量耗散理论的热力学基础 2 5 2 内部状态变量 未冻水含量吃【删 土冻结后，并非土中所有的液态水都转变成固态的冰，由于颗粒表面能的作 用，其中始终保持者一定数量的液态水称作未冻水。未冻水的存在主要是由于土 颗粒的吸附作用和毛细力的作用，冻土中的未冻水含量是负温下液态水和干土颗 粒的比值。冻土未冻水含量的任何变化，都将导致冻土力学性质非常明显的、 有时是很剧烈的改变，所以将未冻水含量作为冻土内部状态变化量之一。 引入相变潜热肛：单位质量的固态冰( 液态水) 发生相交所需要的吸收热量 ( 放出热量) 。冻土中的固态冰( 液态水) 发生相变引起冻土中未冻水含量的改变 值与相变潜热的积是冻土相变所需的能量。将作为内变量引入，则与之相关的 本构方程为： “；一堕 (243)p2 一 l z a w # 戥： 吃；a 芒 ( 2 4 4 ) o , u 积累塑性应变p 冻土材料具有塑性各向同性硬化的性质，同时也是一种内部状态变化，所以 引入描述其性质的内变量：积累塑性应变p 。它与冻土位错总密度的加大有关， 是冻土过去所发生过的所有塑性应变之总和。对于一维情况： p 一户川 ( 2 4 5 ) 为了清楚起见，如图3 加以说明。在一维情况冻土沿o a b b7 c c 仞加载路线变形 与沿无卸载o a b c d 加