（基础数学专业论文）最大公因子封闭集上的幂lcm矩阵和lcm方程.pdf

四川大学硕士学位论支 y7 7 5 9 9 7 最大公因子封闭集上的幂l c m 矩阵和。c m 方程 基础数学专业 研究生李懋指导教师洪绍方教授 设s = $ 1 ，) 是由n 个不同正整数组成的集合设e 为一个实数如 果对所有的1si ，j n ，有( 墨，z ，) s 。则称s 是最大公因子封闭的( g o d c l o s e d ) 第i 行j 列元素由8 和z ，的最小公倍数的e 次幂k ，z ，r 构成的n n 矩阵( 3 7 ，。j 】。) ，称为定义在s 上的e 次幂l c m 矩阵在这篇文章中证明了如 果e 1 并且ns7 ，那么定义在最大公因子封闭集s 上的幂l c m 女e 阵( 【3 7 i ，3 7 ，1 e ) 是非奇异的这证明了洪绍方在2 0 0 4 年提出的一个猜想在ns7 及e21 时是正 确的 洪绍方在2 0 0 2 年猜想：对于给定的止整数t ，存在一个由唯一决定的正整 数( t ) ，k ( t ) 满足：如果nsk ( t ) ，那么定义在任何最大公因子封闭集 s = ( 3 7 ，。) 上的幂l c m 矩阵( h ，。，】) 是非奇异的，但是对十n ( t ) + 1 ，则存在一个最大公因子封闭集s = z 。，z 。) ，使得其幂l c m 矩阵( k ，z ，1 t ) 是奇异的2 0 0 4 年曹炜证明了对任意给定的整数t 2 ，k ( ) 9 等价于下面的 不定方程( 称为l c m 方程) 在约束条件下没有t 次幂整数解： 纛而一妻妾+ 志+ 志+ 面= 。 对f 给定的整数z ，用o d ( 3 7 ) 表示3 7 的小同桑因子的个数并令g = 【y l ，3 ，y 4 1 ， 这本文中我们i 正明了当u ( y ) ：妒( d ) b e s l i n 和l i g h f 4 】证明了每个g c d 矩阵都是非奇异的，但是 。：篡；。 并不一定每个l c m 矩阵也是非奇异的，b o u r q u e 和l j g h 6 】证明了定义在最大公 因子t , t 闭集s = 扛h ，z 。) 上的l c m 矩阵( k ，q ) 等于i - i z ；仇，其中 = 2 凤= 9 ( d ) ，这里g 是一个算术函数，定义为9 ( m ) = 磊1 d p ( d ) ，这 d f z 豫。 帅 样最大公因子封闭集上的l c m 矩阵的行列武总可以用上面这个公式计算，但 是对于乘积岛岛风是否为零并不是完全清楚、所以他们提出了如下猜想： 猜想1 1 定义在最大公因子封闭s s = 茁一，z 。 _ e 的l c m 矩l 砗( 1 x 。，z7 ) 是 非奇异的 在1 9 9 6 # ，洪绍方 1 4 】证明了如果n 7 ，则e 述猜想是正确的，但是当n2 四川大学硕士学位论文 8 时上述猜想不正确，这样就把b o u r q u e 和l i g h 猜想完全解决了b o u r q u e 和l i g h 7 】 证明了：如果s = z ，o 。) 是由n 个不同正整数构成的集合，那么定义在s 上 的幂g c d 矩阵( ( 墨，巧) t 1 ，任意整数22 ，是非奇异的但是对于定义在由n 个 不同正整数构成的集合s = - ，。x n ) 上的幂l c m 矩阵( k ，q 】。) ，其e e t 2 为 整数，是否非奇异还不清楚由【6 我们知道：如果s = 铂，z 。) 是因子封闭 的，那么定义在s 上的幂l c m 矩i i $ ( x ；，。j 】f ) 1 任意整数2 ，是非奇异的但是 对于s = z 1 ，z 。) 是最大公因子的情形，洪绍方 】6 】提出了如下猜想： 猜想1 2 对于给定的正整数t ，存在一个由t 唯一决定的正整数( 哆k ( t ) 满 足：如果n ( t ) ，那么定义在任何最大公因子封闭集s = 扛1 ，x n 上的 幂l c m 矩阵( k ，】) 是非奇异的，但是对于n 兰k ( t ) + l ，则存在一个最大公 因子封闭集s = p h ，z 。) ，使得其幂l c m 矩阵( 陋，】) 是奇异的 洪绍方 1 8 】给出了计算定义在最大公因子封闭集s = z h ，z 。) 上的矩 阵( 陋 ，o j r ) 的行列武的公式。并且还给出了有关上述猜想的一个有趣结果：如 果一个最大公因子封闭集s = x 1 ，z 。) 满足m a x u ( 。) ：z s 2 ，其 中u ( z ) 表示z 的不同素目数的个数，那么对任意正整数t ，s 上的幂l c m 矩 阵( b 。，q 】。) 是非奇异的在2 0 0 4 年，曹炜【l o 】证明了对任给的整数t 2 ， 有( t ) 8 ，但是其证明比较复杂曹炜【1 1 1 提出一个新的方法对该结果给 出了一个较为简单的证明并且他还证明了对任意给定的整数t 2 ，9 等价于下面一类d i o p h a i l t i n e 方程( 称为l c m 方程) 没有t 次幂整数解 赢1 而一善4 妾+ 蕊1 + 而1 + 而1 = 。 其约束条件为：( a ) y ；十协对于l i j s4 。 ( b ) ( y l ，y 4 ) = ( 玑4 ) = ( y s ，y 4 ) = ( y l ，y 2 ，y 3 ) = 1 ( c ) 设。l = ( y 1 ，址) ，a 2 = ( y l ，y 3 ) ，0 3 = ( 耽，y s ) ，则n ， n j ，l i j 曼3 我们说可1 ，2 ，9 3 ，y 4 是方程( 1 ) 的次幂整数解，是指叭满足方程( 1 ) 及其约柬 条件( a ) ，( b ) 和( c 同时又都是某个正整数的t 次幂令y = m y ，? 2 舶，蛐j ，盔 本文第三部分中我们证明了当u 0 ) 4 时，上述l c m 方程( 1 ) 没有t ( 2 ) 次幂 四川大学硕士学位论文 整数解，并且给出“j ( ) = 4 时方程( 1 ) 有二次幂整数解的必要条件进一步证 明了ys1 3 3 4 0 2 5 时，方程( 1 ) 无二次幂整数解一般地，我们猜想k ( 2 ) 29 ，印 若ns9 ，则定义在任何最大公因子封闭集s = z 。，z 。) 上的平方l c m 矩 阵( 陬，。j 】2 ) 是非奇异的 最近，洪绍方【1 9 】提出了如下猜想： 猜想1 3 设e 0 如果s = 知。，x n ) 是一个最大公因子封闭集并且s 中的 每一个元素都是奇数，那么定义在s 上的矩阵( k ，巧j 。) 是非奇异的 本文第二部分证明了对任意的实数e l ，如果n 7 ，那么定义在最大公 因子封闭集s = ( z h ，z 。 上的幂l c m 矩阵( 【墨，】。) 是非奇异的这就表明如 果p 1 并且ns7 ，那么猜想1 3 是正确的 4 四川大学硕士学位论丈 2 最大公因子封闭集上的幂l c m 矩阵( k ，】。) 在本节中，设e21 是任意给定的实数n 个不同正整数组成的集合 s = 。l ，x n ) 是最大公日子封闭的并且1 墨z l z 。用lal 表示有 限集a 的元素个数而g c d ( a ) 则表示正整数集合a 中的所有元素的最大公因子 引理2 1 1 6 1 设，是半乘法函数，h r l 表示，在和r 的最小公倍数i ，r 1 处的取 值如果s = z 一，x n 是最大公因子封闭集，那么 d e t ( f x , ，勺j ) = i i 【，( 。疆) 】2 0 s ( z * ) ， k = l 其中 ( ，+ 肛) ( d ) d 口k 女2 2 o 女 定义【1 4 】设r 是一个由不同正整数构成的集合对任意n ，z t 且n 。、如 果n k 并且由n z ，y z 及t 推得= a ，那么就称a 是。在丁中的一个最大 型因子 例如，如果t = l ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，8 ，1 2 ) ，那么6 是1 2 在丁中的最大型因子，l 是2 在了1 中 的最大型因子，商2 和3 均为6 在r 中的最大型因子，但非1 2 在t e e 的最大型因子 给定正整数集合t k z t ，以g 扛) 表示z 在t e e 的所有最大型因子构成的 集合，即g ( z ) ：= 忙t ：8 i 。，d z 且扣ly f z ，y z k y t i 辛y = 口) 引理2 2 【1 9 设，是算术函数r s = x 。，x n 是最大公因子封闭集对任意 z s ，有 o s 加) = ( 一1 ) w l f ( g c d ( ju 埘) ) 引理2 3 设e 是任意一个实数且s = 。一，z 。) 是最大公因子封闭集那么定 义在集s 上的幂l c m 矩阵( k ，句】。) 的行列式等于。2 。如( z ) ，其中 呱如) = j 暑，、编cg s f t l 一7 四川大学硕士学位论文 6 证明设，( o ) = z 8 由引理2 1 和9j ! 9 2 2 丑即得证j 在下面的引理中设g s ( 孤) = v 1 ，y m ( 1 墨ksn ) ，其e p y l y m 那么就有g s ( z 1 ) = o 并且若k22 ，则c s ( x k ) o 如果m 2 ，设g = 0 l ，一，) 且玑= g “( 1 曼i m ) ，那么有1 矾 t 掣毫并 且( 奶，比) = l _ 定义m ( m ) ；u 翌。叫，其中心”1 = “玑l ，- - ，。) l 1 兰i i i ，sm ) ( 2 rsm ) ，其中一，y 。，) 表示玑l l 一，y l ，的最大 公因子因此g m ( ”) 且fm ( ”) f 三1 引理2 4如果正整数m 2 且e 三i ，l g a c 。s 。( 。k ) 0 证明如果m = l ，那么由( 2 ) 有a s ，。( z k ) = 啬一素因为讥 k 并且e2 1 所以 山kl 有o s 。( z k ) 0 如果m = 2 且( g l ，y 2 ) = g ，那么由( 2 ) 有 。即( = 夏1 一磊1 谤1 + 百1 = 去+ 百1 ( 1 一诱1 一纛) ， ( 3 ) 。即( 。) 。夏一磊谤+ 百2 夏+ 百( 1 一诱一旃) ， 3 ) 因为1 0 一 引理2 5设正整数m23 g e 1 如果i 肼( 哪 一1 ，j g a c , s 。 k ) 0 证明因为g m ( ”) 且lm ( “f _ 1 ，有m ( “) = g ) 对1 t 1 i ，曼m ( 2sr m ) 有( 玑，玑，) = g 显然就有( ，! ，；r ) = 1 由( 2 ) 有 吣如小去一善m 访1 + 薹c 一三差诞。击 = 嚣1 + 壶( 一喜去+ 薹c 叫7 ) c 。， = 熹十西l ( m - 1 - 娄势y l e2 砭十西备砺) 四川大学硕士学位论文 凼为l 0 ，_ 引理2 6如果im ( 3 l s3 并且e 1 ，那么o s 。( 巩) 0 证明由引理2 5 知道只需要去考虑im ( 3 1l 一2 和im ( 3 l = 3 这两种情形 如果fm 3 1 = 2 ，可设村( 3 = g ，z g ) ，其中z 1 那么三个形如( 虮，y j ) ( 1 i 。 如果 m 3 l = 3 ，则可设m ( 3 ) = ( g ，x g ，g g ) ，其中1 z 于是 形如( 孰，筠) ( 1 i 0 因为蜘是最大型因子且( 矿。，矿。) = y ，y 7 。 所以 圭( ，一去一壶) 可，所以嘉诱1 0 目此 圭+ 嘉一喜嘉= c 当一壶一舞，+ c 嘉嘉卜。 于是由( 6 ) 有n s 。( x k ) 0 引理2 7 如果f 吖( 4 f 茎2 且e 1 ，那么q s ，。( ) 0 证明由引理2 5 知我们只需要讨论f f = 2 如果lm ( 4 ) 净2 ，可设m ( 4 ) = g ，z g ) ，z l 因此形如( 协) ( 1si ( j 4 ) 的六个元素中至少有一个等f f - z g ，否则有：c g 圣m ( 4 1 ，这是与假设相矛 盾的因为( y i ，妇，蜘，y a ) = g ，所以形如( 玑，鲫) ( 1si j 4 ) 的六个元素中至 多有三个等于g ，否则有( 1 ，y 2 ，y 3 ，y 4 ) = z g ，这就产生矛盾考虑下面的两种 情形： 情形1 形如( 。，驺) ( 1si j 4 ) 的六个元素中恰好只有一个等于z g 那么 其他五个等于g 因此形如( 叭，协，y t ) ( 1si j f 4 ) 的四个元素等于g 于 四川大学硕士学位论文 是e h ( z ) 有 出扣麦一妾去+ 丽1 + 虿5 西4 + 击 = 去一妻妾+ 两1 + 忑2 x c ) g。；鲁赁。( 。 。 = 熹+ 去c 。+ 三一壹i = 1 势i 因为1 1 y 2 o 情形1 1 形如慨， ) ( 1si 。所以 ( 兰一诱1 一诱1 熹) + ( ，一麦) 。 、z 。 7 ：可7 ；可：7 、可7 ：。 定理2 8 设e l 是实数如果ns7 ，那么定义在最大公因子封闭集 s = 扛一，x n 上的幂l c m 矩阵( b ，x j 。) 是非奇异的 证明设s = z ”，z 。，是最大公因子封闭集不失一般性，设1 曼z 1 t 2 x n 对1 墨k m ，设g s ( z e ) = f ，) 是z 女在集s 中的最大型圈 子的集合，其中叭 y m ，那么g s ( 。1 ) = 0 并且对k 2 有g s 扛) 【1 ( 印m 1 ) 对7 5 l 2 ，设a 4 m = ( 弘。，歇，) l1 1 l 的不同素因数的个数，且定义 u ( 1 ) = 1 令y = y l ，y 2 ，y 4 定理3 1如果( 9 ) 0 ，t 一1 ，2 ，3 在方程( 1 3 ) 两边取模y 4 ，我们可得到： 推论3 6 若方程( 1 3 ) 有解，则必有 矾：；n l a 2 a 3 三1 ( r o o dy 4 ) ( 1 5 ) 推论3 7 若方程( 1 3 ) 有二次幂整数解且9 = p 2 1 p 2 2 心2 心2 ，p i 为不同的素数，则y i n 取值必为下列情形： y - = p i 吃，y 2 一最吨，y a = 碡成，y 4 = 域 ( 1 6 ) 其中0 1 ，i 2 ，码，i 4 ) 表示f 1 ，2 ，3 ，4 ) 的一个排列 此时显然有a l = 砣，a 2 = p 毛，n 。= p 乏，y i = 必= 醵= l ，将它们代 入( 1 3 ) 和( 1 5 ) ，我们得到： 推论3 8 若方程( 1 3 ) 有二次幂整数解且f = p 2 l p 2 2 p 3 2 p 4 2 ，p i 为不同的素数，则必 有下列等式和同余武成立： 皖磕+ 域p 毛+ p 乞绣) p 乏一最p i 2 ，p i 2 。= ( 磕+ 磋十p ；2 ，j p “2 1 0 7 ) 磕瑶巍s1 ( m o d 芘) ( 1 8 ) 其中( i 1 ，i 2 ，i 3 ，i 4 表示 l ，2 ，3 ，4 ) 的一个排列 注记设p l ，p 。是n 个不同的素数在1 9 6 4 年，柯召和孙琦【2 6 】证明了同余 方程组 蚴一t ( m o dn ) i ：1 ，n( 1 9 ) p i 在2 sn s6 时有解，并问是否对每一个n 22 ，( 1 9 ) 均有解? 在1 9 8 7 年，曹珍 富 2 7 证明了n = 7n ( t 9 ) 有解1 9 9 9 年，w b u s t k e 等【2 8 j 证明了n = 8 时( 1 9 ) 有 解在孙琦的建议下，李曙光研究了类似的问题：同余方程组 半至1 m 。dp ) 汪l ，n ( 2 0 ) p i 1 4 四川大学硕士学位论丈 何时有解? 目前，在3 n 1 0 时，( 2 0 ) 均找到了解最近孙琦进一步提出下 面的问题：对于任意给定的正整数n24 和三2 ，是否总存在n 个不同的素 数p 1 ，p n 满足同余方程组： 争；1 ( r o o d p t ) ，n( 2 1 ) 作为推论3 7 的推广，我们有： 推论3 9 若方程- 0 3 ) 有二次幂整数解且9 = p 2 建砖p 2 ”，p i ，p 为不同的素 数，m 1 ，则y i 的取值必为下列情形之一： y 1 = p i p 乏，! ，2 = p ；2 。p 蛆2 ，y a = p 乜2 p ；2 3 ，y 4 = p 2 m( 2 2 ) 弘。= p 2 ”p i ，蜥：= p 2 k p 乞，y j a = 磕磋，y 4 = p 毛( 2 3 ) 其中 i i ，i a ，i a ) 和 j l ，力，西) 均表示 l ，2 ，3 ) 的一个排列，且l k5 m 将( 2 2 ) 和( 2 3 ) 分别代入方程( 1 ) ，我们得到： 推论3 1 0 若方程( 1 3 ) 有二次幂整数解且= p 2 1 2 2 2 p ”，p l , p 为不同的素数， m 1 ，则必有下列等式之一成立： ( p 2 l p 2 2 + 宿砖+ 建p 2 ) p 2 m p 2 l p j p 3 = ( 砖+ 递+ 砖) p 2 m 一1 ， ( 最p 乏+ 强矿+ 磁矿) p 2 h 一吃一磕p 乏矿”= ( p 乏+ 碡p 2 ( ”一+ p 2 ) 境一1 相应地，必有下列同余武之一成立： p 2 1 2 2 2 兰l ( m o dp 2 4 ) ，强绣p 2 ”i1 ( m o d 珐) 其e e i 1 ，i 2 ，i a ) 表示 1 ，2 ，3 ) 的一个排列，且1 sm 运用以上推论，可以给出方程( 1 ) 有二次幂整数解时y 的一个下界。 定理3 1 l 若方程( 1 ) 有二次幂整数解，则必有 1 3 3 4 0 2 5 ， 证明 可设= u 2 ，由定理3 1 知u ( “) 24 对于ys1 3 3 4 0 2 5 ，即u 1 1 5 5 = 3 - 5 7 ，1 1 时，n 含有四个不同素日子曲所有可能值如下表所示： 四川大学硕士学位论丈 n o ud e c o m n o ud e c o m n o d e c o m 12 l o2 3 5 - 7“6 9 02 3 52 3 2 1 9 3 02 ，3 5 3 1 23 3 02 3 5 1 l1 27 1 42 3 7 1 7 2 2 1 9 6 62 3 7 2 3 33 9 02 3 5 - 1 31 37 7 02 571 1 2 3 9 9 02 3 2 5 1 1 44 2 02 2 3 5 7 1 4 7 8 02 2 3 5 1 3 2 41 0 2 0 2 z 3 5 1 7 54 6 22 3 7 1 1 1 57 9 82 3 7 1 92 51 0 5 02 3 7 5 2 65 1 02 3 5 1 7 1 68 4 02 a 3 57 2 6 1 0 9 22 23 7 1 3 75 4 6 2 3 7 1 31 78 5 82 3 1 1 1 3 2 7l l l o2 3 5 。3 7 8 5 7 02 3 5 1 91 88 7 0 2 3 5 2 92 81 1 2 22 3 1 1 - 1 7 9 6 3 02 3 2 5 7 1 99 l o2 5 7 1 3 2 91 1 4 02 2 3 5 1 9 1 06 6 02 z 3 5 1 1 2 09 2 42 2 3 7 1 l 3 01 1 5 53 5 7 1 1 由推论3 8 和推论3 1 0 ，通过计算可知，表中 t t 均不是方程( 1 ) 的解所以，结论 成立，即若方程( 1 ) 有二次幂整数解，则必有轳 1 3 3 4 0 2 5 _ 上机编程，通过长时问的运行搜索，我们也未找到l c m 方程( 1 ) 的一个二 次幂整数解由于曹炜在 1 l l e e 证明了对于任给的整数2 ，k ( t ) 9 等价 于l c m 方程( 1 ) 没有t 次幂整数解因此我们猜想：k ( 2 ) 9 ，即若n 9 ，则定 义在任何最大公因子封闭集5 = 扛”，z 。 上的平方l c m 矩阵( k ，z 铲) 是 非奇异的 6 里删垄芏塑主芏垡笙叁 1 7 参考文献 【l 】tm a p o s t o l ，a r i t h m e t i c a lp r o p e r t i e sd ，g e n e r a l i z e dr a m 口n u j a ns u m sp a c i f i ej m a t h 4 1 ( | 9 7 2 ) 2 8 1 - 2 9 3 【2 】tma p o s t o l ，i n t r o d u c t i o nt oa n a l y t i cn u m b e rt h e o r y ，s p r i n g e r - v e r l a g 。n e wy o r k ，1 9 7 6 f 3 】sb e l i na n dsl i g h ，a n o t h e r g e n e r a l i z a t i o n 矿s m i t hjd e t e r m i n a n t , b u l la u s t r a l m a t hs o c 4 0 ( 1 9 8 9 ) ，4 13 - 4 1 5 4 1s b e l i na n ds l i g h ，g r e a t e s tc o m m o nd i v 拈o rm a t r i c e s l i n e a ra l g e b r aa p p l11 8 ( 1 9 8 9 ) ， 6 5 7 4 【5 】s b e l i n ，r e c i p r o c a l g c d m a t r i c e s a n d l c m m a t r i c e s , f i b o n a c c i q u a r t 2 9 ( 1 9 9 1 ) 2 7 1 2 7 4 6 1k b o u r q u ea n d s l i g h ，o n g c d a n d l c m m a t r i c e s ，l i n e a r a l g e b r a a p p l 1 7 4 ( 1 9 9 2 ) ，6 5 7 4 7 1k b o u r q u e ，sl i g h ，m a t r i c e sa s s o c i a t e dw i t ha r i t h m e t i c a l f u n c t i o n s ，l i n e a rm u l t i l i n e a ra i g e b r a3 4 ( 1 9 9 3 ) ，2 6 1 - 2 6 7 f 8 k b o u r q u e s l i g h ，m a t r i c e s a s s o c i a t e d w i t h m u l t i p l i c a t i o n f u n c t i o n s , l i n e a r a l g e b r a a p p l 2 1 6 ( 1 9 9 5 ) ，2 6 7 - 2 7 5 【9 】k - b o u r q u e ，s l i g h ，m a t r i c e sa s s o c i a t e dw i t hc l a s s e so f a r i t h m e t i c a l f u n c t i n n jn u m b e r t h e o r y4 5 ( 1 9 9 3 ) ，3 6 7 - 3 7 6 【1 0 】w c a o ，r e m a r k s o n 。c o n j e c t u r e o f h o n g o f p o w e r i , c m m a t r i c e s ，js i c h u a n u n i vn a t s c i e d 4 1 ( 2 0 0 4 ) ，1 1 2 4 - 1 1 3 1 【1 1 】w c a n ，o nh a n g sc o n j e c t u r eo f p o w e r l c m m a t r i c e s , t o a p p e a r 【1 2 】s h a n g , l c m m a t r i xo na nr - f o l d g c d - e l o s e ds e t , j s i c h u a nu n i v n a t s c ie d3 3 ( 1 9 9 6 ) 6 5 0 6 5 7 1 3 1s h a n g ，o nl c m m a t r i c e s 。hg o d - c l o s e ds e t s , s o u t h e s ta s i a nb u l l ，m a t h 2 2 ( 1 9 9 8 ) 3 8 l 一 3 8 4 1 4 】s h a n g ，o n t h e b o u r q u e - l i g hc o n j e c t u r e o f l e a s tc o m m o n m u l t i p l e m a t r i e j a i g e b r a2 18 ( 1 9 9 9 ) 2 1 6 - 2 2 8 【l5 】s h a n g l o w e rb o u n d s f o r d e t e r m i n a n t so f m a t r i c a s s o c i a t e d w i t ha r i t h m p t i c a l m n e t i o m l i n e a rm u l t i l i n e a ra l g e b r a4 5 ( 1 9 9 9 ) ，3 4 9 3 5 8 1 16 】sh o 略g c d - c l a s e ds e t sa n dd e t e r m i n a n t so f m a t r i c e sa s s o c i a t e dw i t h i t h m e t i c d i f u n g c t i o n s , a e t aa r i t b1 0 1f 2 0 0 2 ) ，3 2 1 3 3 2 【1 7 】sh a