（基础数学专业论文）广义dirichlet级数的增长性.pdf

广义d i r i c h l e t 级数的增长性 摘要 本文主要是在实指数d i r i c h l e t 级数研究的基础上，借助整函数和d i r i c h - l e t 级数经典理论与方法，研究广义d i r i c h l e t 级数所表示的整函数的增长性 质，推广了实指数d i r i c h l e t 级数的相关结果。 全文结构安排如下： 第一章简单介绍了d i r i c h l e t 级数的研究背景及一些常用记号及引理。 第二章在适当的缺项条件下，引进了广义d i r i c h l e t 级数的级p r ，型下r ， 得到了由它所表示的整函数在水平带形中的增长性与全平面的增长性之间的 关系把这些结果应用于t a y l o r 级数时，可得到类似的结果 第三章主要研究了具有0 ，q ) ( 冗) 级和，g ) ( r ) 型的广义d i r i c h l e t 级数 本章通过定义风( p ，口) ( 兄) 级，k 0 ，g ) ( r ) 型，如p ，g ) ( r ) 级和，q ) ( r ) 型， 得到了由这类级数所表示的整函数分别在水平直线上，角形区域中的增长性 与全平面的增长之间的关系 关键词：广义d i r i c h l e t 级数；整函数；级；型；增长性 t h eg r o w t ho fg e n e r a l i z e d d i r i c h l e ts e r i e s a bs t r a c t b a s e do nt h ei n v e s t i g a t i o no fd i r i c h l e ts e r i e sw i t hr e a le x p o n e n t s ，i n t h i s i h e s i sw em a i n l ys t u d yt h eg r o w t ho fe n t i r ef u n c t i o n sr e p r e s e n t e db yg e n e r a l - i z e dd i r i c h l e ts e r i e su s i n gt h ec l a s s i c a lt h e o r ya n dm e t h o do fe n t i r ef u n c t i o n s a n dd i r i c h l e ts e r i e s ，w h i c hg e n e r a l i z er e l a t e dr e s u l t so fd i r i c h l e ts e r i e sw i t hr e a l e x p o n e n t s t h eo u t h n eo ft h ep a p e ri sa r r a n g e da sf o l l o w s ： c h a p t e r1p r e s e n t st h eb a c k g r o u n da n d s o m eb a s i cn o t a t i o n sa n dl e m m a s o ft h er e s e a x c h 。 i nc h a p t e r2w ei n t r o d u c et h eo r d e rp 凡a n dt h et y p e o fg e n e r a l i z e d d i r i c h l e ts e r i e sw i t ht h ea p p r o p r i a t el a c u n a r yc o n d i t i o na n do b t a i nt h eg r o w t h r e l a t i o no fe n t i r ef u n c t i o n sb e t w e e nt h eh o r i z o n t a ls t r i pa n dt h ew h o l ec o m p l e x p l a n e a p p l i e dt ot a y l o rs e r i e s ，w ec a ng e ts i m i l a rr e s u l t s c h a p t e r3i sd e v o t e dt os t u d i e sg e n e r a l i z e dd i r i c h l e ts e r i e sw i t h 白，g ) ( r ) o r d e ra n d 仞，g ) ( 兄) t y p e i nt h i sc h a p t e r ，t h r o u g ht h ed e f i n i t i o no f 风仞，口) ( r ) o r d e r ，0 ，口) ( 冗) t y p e ，p r 白，q ) ( r ) o r d e ra n d ，口) ( 冗) t y p e ，w er e s p e c - t i v e l yg e tt h eg r o w t hr e l a t i o no fe n t i r ef u n c t i o n sr e p r e s e n t e db yt h eg e n e r a l - i z e dd i r i c h l e ts e r i e sb e t w e e nt h es t r a i g h tl i n e ，a n g u l a rd o m a i na n dt h ew h o l e c o m p l e xp l a n e k e yw o r d s ：g e n e r a l i z e dd i r i c h l e ts e r i e s ；e n t i r ef u n c t i o n s ；o r d e r ； t y p e ；g r o w t h n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 日期：年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解江西师范大学研究生院有关保留、使用学位论 文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权江西师范大学研究生院可以将学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 签字日期： 导师签名： 签字日期： 第一章引言 1 1 背景 d i r i c h l e t 级数足1 9 世纪由解析数论的奠基人d i r i c h l e tl 在研究解析数 论时首先引进的。后来，人们为了解决数论研究中提出的问题及了解这类级 数的性质，歼始对这类级数的分析性质进行专门的研究，经过一百多年的发 展，d i r i c h l e t 级数与随机d i r i c h l e t 级数已成为复分析中一个十分活跃的研究 领域。 上个世纪2 0 年代，芬兰著名数学家n e v a n l i n n ar 创立了亚纯函数n e v a n - l i n n a 值分布理论，为d i r i c h l e t 级数的研究注入了新的活力。在上个世纪3 0 年 代，著名数学家m a n d e l b r o j ts ，g e r g e nj 及v a l i r o ng 等人首先对d i r i c h l e t 级数定义的整函数的增长性和值分布进行了研究，开创了d i r i c h l e t 级数研究 的新方向。此后的半个世纪以来，b l a m b e r tm ，t a n a k ac o s k o l k o vv a 以及 我国的余家荣等人分别对d i r i c h l e t 级数、随机d i r i c h l e t 级数定义的整函数与 随机整函数作了大量的研究工作。在2 0 世纪7 0 年代，余家荣首先定义了半 平面上的d i r i c h l e t 级数，开创了对由d i r i c h l e t 级数、随机d i f i c m e t 级数定 义的解析函数与随机解析函数的增长性、值分布及边界性质的研究工作，引起 了国内外数学界的重视。8 0 年代以来，经过以余家荣教授为代表的中国数学 工作者等几代入的努力，使我国在该领域的研究上取得了一系列的原创性成 果，使在该领域的研究上，走在了国际的前列。另外，贺隆贞，吴敏等人还研 究了d i r i c h l e t 级数的( p q ) ( r ) 级和( p ，q ) ( r ) 型，讨论了由它所表示的整函 数在水平带形、水平直线上的增长性。 黎提在研究常系数无限级线性齐次方程时讨论到有间隙的这种级数。希 尔与隆茨分别独立的研究过它的收敛区域，并且获得了若干共同的结果。范礼 隆将黎提与希尔的结果加以推广，并且研究由这种级数所定义的整函数。近 年来，余家荣、邓冠铁等人也研究了一些关于广义d i r i c h l e t 级数的若干问题。 其中，邓冠铁得到了对一个广义d i r i c h l e t 级数所表示的，其系数满足一给定 增长条件且在一固定水平带形有界不恒为零的整函数的存在性，给出了充分 必要条件。宁菊红等人讨论了由这类级数所表示的整函数在水平直线，角域等 的增长性。 l 江两帅范大学硕+ 论文 广义d i r i c h l e t 级数足指具彳r 复指数的d i r i c h l e t 级数，足函数论中最重要 的研究方向之，也是复变函数沦的一个分支。它是结合复分析、实分析与泛 函分析中相关结论，把问题转化为构造满足定增长条件的解析雨数，然后再 利用傅立叶变换，找剑其傅立叶逆变换，用傅比尼定理、或复分析方法来讨论 这个函数的相关性质。而此性质在微积分和泛函分析中有很多的应用，例如可 以用来研究复指数多项式存某一函数空f b j 的完备性。存其它学科也有广泛的 应用背景，例如，各类数宁滤波器的设计，保角映射的近似计算，各类软件的 实现等。同时也为其它学科的发展提供了有力的研究工具。 1 2 预备引理 我们把具有复指数的d i r i c h l e t 级数称为广义d i r i c h l e t 级数，或复指数 d i r i c h l e t 级数。 定义1 2 1 形如 ( 8 = 盯q - i t ：伊，r )( 1 1 ) 其中系数 n n 和指数 h 都是复数列，则称f ( s ) 为广义d i r i c h l e t 级数。 定义1 2 2 【1 l 若令m ( - ) = s u p l y ( a + i t ) i ：q r ，定义级p 和型下 p ：l i m s u p l o g l o g m ( a ) ， 口_ 一 一o r 若0 j 口 + o o ， 下：l i m s u p l o g m ( a ) 口_ 一 e o p 定义1 2 3 设水甲带形区域 b = s = + i t ：i t t o l o ) 令尥( 盯+ i t ) = s u p i ( a 十i t ) ：i t t 。i d ) ，定义在水平带形中的级p 口和 型 p b 若0 p + o o ， ：l i m s u p l o g l o g m 口( a ) 口_ 一一盯 = 粤翼o o 等掣d _ 一 。 2 n e n o 脚 = s ，j 广义d i r i c h l e t 级数的增长性 定义1 2 4 1 2 令 咖= 翌霉篙等i 口p - i u k i f j 其中m ( o ) = s u p l f ( o + i t ) l ：吒r ( p ，q 为整数，p q 0 ) 若p ( p 一1 ，q 一1 ) = 0 或+ o o ( p q 1 ) ，而b p ，q ) q 时，b = o ) ，则称函数( s ) 有指数对( p ，擘) 。如果f ( s ) 有指数对 ，q ) ，则j d = p p ，q ) 称为f ( s ) 的( p ，q ) ( 冗) 级。 定义1 2 5 f 2 l若有0 ，g ) ( r ) 级p ( b p q 时，b = 0 ) 的整函数f ( s ) = e 墨l e 以秘满足： 丁) _ l i ms u 。p 器口一 i n j 兰一。i u1 1 7 其中p , q 为整数，p 1 ，q o ，p q ，则称f ( s ) 有p ，口) ( r ) 型丁，q ) 。 定义1 2 6 定义如( p ，g ) ( 兄) 级 这里 胁= 蛾曩三， 日= 日= 1 恕掣硒l o 瓣g p l r e 入, , 1 j l o g 竹+ i o g i 芏鼍一t j lj 定义1 2 7 若b p ，q ) q 时，b = o ) ，那 么定义k ( p ，g ) ( 兄) 型 fl i 住m 。佃s u plos扣-11一r而ean(109ql ，p 口2 ， l 住一+ o oi | _ 蕊) p 71 1 7 ) = 学1 罂骝碌抽，p = 口1 【酽11 n i m 。佃s u p 燕， p - 1 ，g _ 0 3 江西师范大学硕士论文 定义1 2 8 设水平直线l = 5 = “十i t o ：t 仃) ( t 。r ) 。着令 m l ( c r + i t 。) = s u p l f ( u + i t 。) i ：u 口 ( 。r ) ，定义在水平直线上的 0 ，q ) ( r ) 级p l 和( p ，g ) ( 兄) 型气， ，l o g 舛1 lm l ( a ) p l i 矿m 一s u 。p 弋 o 矛f - - , 丽0 矿_ 一jl 一， 若有( p ，g ) ( 冗) 级p ( b p q 时，b = o ) ，则 ，l o g k lm l ( a 1 吒一i 口m 一s u p 恻- ( 一叫o of 口 一i 儿j 兰。i u r 其中p , q 为整数，p 1 ，q 0 ，p q 定义1 2 9 定义以0 ，g ) ( 冗) 级 如沪陋虢基三， 这里 q = 弛g ) - ，罂s 普硒l 两om - 4 - l o g l o g n _ o o ”1 l 南音 定义1 2 1 0 若b 0 有 i 口竹i a ( d ，e ) ，( 盯+ * o ) e t 4 + ( 1 t o l + d ) 柚。1 r * 入n + d i a n i 这里6 。= ( r d + ) c o s4 , 0 ，( 0 o 2 丌) ，h = 9 3 1 n ( f ( a ) d 证明：令 剐力2 七曼1k # n ( 1 一七= 石 则 删k = 巍l 。c 紫) ，知n ” 用与文 3 ，l e m m a 3 1 3 】类似的方法，可得 l i m s u 。p 掣弛 其中h = 9 3 1 ns ( a ) d 于是v 0 ，了n 0 ，vn n ，有 i n l i t _ n - i f ( z 一) lsh d + e ， i k l 。 一 即 丽1 研州肼引 由文【1 】的( 1 3 3 ) 和( 1 3 5 ) ，有 l a d2 赢南f ( s ) 川e 枷i ， 和 i l n 【f ( s ) 】l a ( d ，) m ( 矿+ 氏) 其中矗= ( 丌d + ) c o so ，0 o 2 7 r 是一个常数。从而 i a n l a ( d ，e ) m ( a + 6 0 ) e l k i ( d 押) l e k 。i 由于s b ，r e a n 0 和条件( d ) ，因此 i e k 8l = e 。瓣k 一。m a n e 4 鸵k + i t l m a i e 4 默n + ( i t oi + d ) 觚。豫k ， 5 江西师范大学硕士论文 于是 i a n l a ( d ，s ) m ( + 6 0 ) e l 口+ ( 忙o i + d ) 柚a 】船h + d i x n i 引理1 2 1 3 1 4 广义d i r i c h l e t 级数墓j 口n e k 3 存点s 。= + i t 。绝对 收敛，且 k 满足条件( 。) ，( 6 ) ，( c ) 和( ，则v k n + ，协 ，i t t o l c o tq i 口一o o i 时，有 k i 佩脚。) u + i t o ) | 2 如卜+ j t o m t ， 其中 驯= n 直奄l 授| n = 1 n 七“ 引理1 2 1 4 1 4 1 设复数列 k ) 满足条件( o ) ，( 6 ) ，( c ) 和( d ) ，则 0 0 ) 在z = 。= e - 吾一1 时达到最大值b e 一罟一1 。 引理1 2 1 6 若复指数 a n ，满足条件 l 耕i l t l suims u p 罴邓 + o 。， 1 竹+ 画萤i2 e 0 ，j n n ，使 t l + o 。 ” l o g 佗 r e 人( e + 三) 如果口+ i t g ：，那么盯一e 一十i t g 。，因此 m ( 盯) 一h 8 i + i n 。e 咄( 棚叫棚i e 邯 m + m ( 盯一队) 。妻。( a ( ) m ( 仃一e e ) 6 广义d i r i c h l e t 绒数的增长性 引理1 2 1 7 在引理1 2 1 6 的条件下，那么 p ( 川) 一- i msu。l，ilogirj+；而llr e ( a ) ，d _ 一 l u z l 一仃i 若有，q ) ( r ) 级p ( b 0 有 l a n i a ( d ，) 订( 盯+ 6 0 ) e 4 ( r 。k ) + d i k i 返是= ( 7 r 口+ s ) c o s 丸，( 0 丸2 7 r ) ，h = 9 3 l na ( a ) d 证明：令 嘶卜詹囊n ( 1 一是) ， 脚圳知囊竹( 嘴铲) 1 i m s u 。p 掣鲫( 。 o ) 其中h = 9 3 i n 6 ( a ) d 于是v 0 ，jn 0 ，vn n ，有 产鲫托 即 1 赢南e l a 1 ( h d + e ) 由文【1 】的( 1 3 3 ) 和( 1 3 5 ) ，有 l a n l2 赢l 三n 【f ( s ) 】i l e n 。l ， 7 江西师范入学帧。 j 论文 和 l “f ( s ) 1 i a ( d ，e ) m ( a + 6 。) 其中民= ( 7 r d + ) c o s 丸，( 0 九2 7 r ) 于足，垤 0 ，v s g 。，都有 l n 。e - a r t s i a ( d ，) m ( 口+ 民) e d l a 一 令s = 盯g 口，v 盯r ，有 i 口n l a ( d ，) m ( 仃+ 民) e 口( 如k ) + d i k i 8 第二章在水平带形中的增长性 本章中对广义d i l i c h l e t 级数加上适当的缺项条件，引进了广义d i r i c h l e t 级数的级p 只，型，得到了由它所表示的整函数在水平带形中的增长性。把 这些结果应用于t a y l o r 级数时，可得到类似的结果。 2 1 引言及主要结果 令h = h = l h l e i 艮：n = l ，2 ，) 是右半平而一复数列，且满足下列 条件： ( 口) 0 hl m l a n i 口； ( 们l i m s 。u p 南= d + o 。； ( d ) s u p ( 1 0 。i ：他= j ，2 ，) o 考 设由在复平而上收敛的广义d i r i c h l e t 级数 ( s = 莎+ i t ：仃，t r ) ( 2 1 ) 所表示的整函数，其中系数a n ) 和指数 入n ) 都是复数列，且满足上述条件 ( 口) ，( 6 ) ，( c ) 和( d ) 。 设水平带形区域 口= s = 盯+ i t ：i t t o i o ) 令m n ( a + i t ) = 8 u p ( 1 ，( 口十i t ) ：l t t o i d 主要结果如下： 定理2 1 设存在处处绝对收敛的广义d i r i c h l e t 级数( 2 1 ) ，其复指数列 h ) 满足条件( a ) ，( b ) ，c ) 和( d ) 。则y t 酞，有 p 只p 口p( 0 p + o o ) 特别地，当p = 0 和+ 时，此结论也成立。 9 n一 e n 口 脚 = s ， 江西师范人学硕士论文 定理2 3 设存存处处绝对收敛的广义d i r i c h l e t 级数( 2 1 ) 】e 复指数 a n 满足条件( a ) ，( b ) ，( c ) 和( d ) 。则vt r ，有 1 7 -( 0 o ，v a 一o r 时，有 由引理1 2 1 2 ， 于是 l o gm b ( e r + i t ) e - ( p e + p a n l a ( d ，e ) m ( a + 民) e p + ( i t o l + d ) 柏田m k + ，) i h i a ( d ，) 绍( 盯+ i t ) e t 口+ ( i t o i + d ) 蚰a r e a n + h d i a n i ， 由引理1 2 1 1 于足 l o gi a nj l o ga ( d ，e ) + l o gm b ( c r + i t ) + p + ( i t 。l + d ) t a n a r e a n + h d i a n i l o ga ( d ，) + e - ( p b + 5 p + 盯r e a , 。 + ( 1 。l + d ) t a nr e h + ，；d i 入n i e 一( p 口+ p + 盯r e k 再r e i n ( 1 + l 。g 两p b w e ) ， l o gl a 。f l o ga ( d ，) + ( i t 。l + d ) t a n or e a n + h d i a n l + 差( 1 + l o g 甓) l o ga ( d ，) + ( i t 。i + d ) t a n 口r e a n + h d i a n i 1卜nean1+log(pb+) p b + ( r e a 几) l o g ( h e a n ) p 口+ 广义d i r i c h l e t 级数的增长性 从而 l o gf f，l o ga ( d ，占) ( i t 。 + d ) t a noj r e a n + h d i a 乱i ( r e a n ) l o g ( r e a 。) ( r e l 。) l o g ( r e ) _ n ) ( r r a n ) l o g ( r e l n ) 1 + l o g ( p 口+ s ) 1 l o g ( r e l n )几+ e 由于i k ic o s r e l n l h l 和一l i m + o 。l h l = + o 。，得到靠如另 外，由于vt r ，有 m b ( a + i t ) m ( 口) ， 因此如j d 对p = 0 和+ o o 的情形，证明可类似给出。 作替换z = e 一，可由上述结果得到关于幂级数的类似结果。 推论2 2 若q = 0 ，即当 a 馆) 为严格递增的正实数列，且满足条件( a ) 和( b ) ，则v r ，l i m 入n = + o o 时，有 t i - - 4 + o o p r2p 日2p 证明：由文【l 】知 州；m s u p 警铲， 综合前面得到 u 罂m 8 u 笔铲 o ，v a 一吒时，有 l o g m b ( o + i t ) ( - r n + e ) e 一舻 由引理1 2 1 2 a n l a ( d ，e ) m ( a + 6 0 ) e l a + ( i t o i + d ) t a n c - r a , a , , + h d i k t a ( d ，) 毛( 盯+ i t ) e l 一+ ( i t o i + d ) a n n r e x n + d i a n i ， 1 1 江两师范大学硕士论文 1 4 足 l a n i a ( d ，e ) e ( + 咖一e ( i t o l + d ) t a n o r e a , + h d m h 引理1 2 1 1 l a n i a ( d , e ) e h d l , 、i + ( i t o l + d ) t a n ar e i n e 挚( 1 + l o g 挈) ， 从而 警l a n l 彘a ( d , e ) 赤e h d i + o i + m 腻饥删， 故有 l i m s u p l l m s u o 皇生蚓上r e i n 一l l r 。 n _ e p 一 即对于p = 0 和+ 的情形，证明可类似给出。 作替换名= e ，可由上述结果得到关于幂级数的类似结果。 推论2 4 若q = 0 ，即当 h ) 为严格递增的正实数列，且满足条件( a ) 和( b ) ，则vt r 1 i m a n = + 时，有 。2 1 证明：由文【6 】知 丁：l i m s u p 心i i 轰 n _ e p 。 与定理2 1 的证明类似有 2 2 t 同理，作替换z = e 一，可由上述结果得到关于幂级数的类似结果。 1 2 第三章 具有( p ，g ) ( 冗) 级和( p ，g ) ( r ) 型的广义 d i r i c h l e t 级数 本章主要研究了具有( p ，q ) ( 冗) 级和( p ，口) ( 兄) 型的广义d i r i c h l e t 级数。在 这章中通过定义( 弘g ) ( r ) 级，l ，g ) ( r ) 型，靠仞，口) ( r ) 级和靠( p ，q ) ( 冗) 型，得到了由这类级数所表示的整函数分别在水平直线上，角形区域中的增长 性与全平面的增长之问的关系。 3 1 引言：问题及结果 邓冠铁得到了对一个广义d i r i c h l e t 级数所表示的，其系数满足一给定增 长条件且在一固定水平带形有界不恒为零的整函数的存在性，给出了充分必 要条件。宁菊红等人讨论了由这类级数所表示的整函数在水平直线，角域等的 增长性。贺隆贞，吴敏等人还研究了d i r i c h l e t 级数的( p ，q ) ( r ) 级和( p ，q ) ( r ) 型，讨论了由它所表示的整函数在水平带形、水平直线上的增长性。我们通过 学习他们的成果得到了复指数的d i r i c h l e t 级数的( p ，q ) ( r ) 级和( p ，q ) ( r ) 型 在水平直线上，角形区域中的增长性。 令a n = k = i a 1 e 艮：礼= l ，2 ，) 是右半平面复数列，且满足下列 条件： ( a ) 0 i a j i i a 霉i 二：l a n l 口； ( c ) l i m s u p 南= d + o o ； ( d ) s o p i o n l ：竹= j ，2 ，) q ，使 ，叫叫叫酬 訾) 2 ， 广义d i r i c h l e t 级数的增长性 由引理1 2 1 3 和3 0 r o 0 ，当仃 一仃。时，有 仃n i 钜藏i r ( a n ) f 。i ，c z t 卜z t 。，1 2 c t 2 5 e c 口+ i t 。i t a n n ，r e a n ， 由于级数( 3 1 ) 处处绝对收敛，故对c r o u q 时，令一矿：2 e x p q 】 訾) + 2 + 2 q 代入( 3 ，1 ) 式，得 l o g w r l l 帆( 盯+ z t 。) l o g mr e a l + o ( 1 )j _ + o o 1 。g m ( 一互1 矿) ： l o g l 万p r e a , b + 。( 1 ) 歹一十o o logb+llm l ( a + i t o ) l o g q ( 一仃) 一 l o g mr e a l + o ( 1 ) l o g q ( 一 口) 一l o g p 曰 r e 。a n $ - + 。( 1 ) l 。g 【q l ( - 口) 因此，当盯_ 一o o 时，p l 仞，q ) h 一由的任意性知，九p ，q ) h 2 。 当p = q 2 时，由1 。可类似地证明p l p ，q ) h 。又p = q 2 时， 由定义知，p lp ，q ) 1 。故当p = q 2 时，p l p ，q ) m a x ( 1 ，日) o 当p = q = 1 时，( 3 4 ) 式即为 l o gm z ( a + i t 。) 一( r e a ) ( r e a n j ) 百l _ + ( 一主口一c , ) r e a n ，一c 3 ， ( 3 5 ) 令一盯= 4 ( r e a n ，) 赤+ 2 q 代入( 3 5 ) 式，得 l o g 【2 】心( 口删。) 警l o g ( r e h ) + d ( 1 ) j - , + o o 1 。g ( 一主盯) 2 百兰乏l o g ( r e a ) + 。( 1 ) j _ + o o ， 从而 l o g 2 1 m l ( 仃+ i t 。) 、挚l o g ( r e a , , 一j ) + o ( 一1 ) l o g ( - l a ) l o g ( - a ) 二去l o g ( r e x , b ) + o ( 1 ) l o g ( 一盯) 因此，当盯一一0 0 时，几白，q ) h + i - 由e 的任意性知，p l ( p ，q ) h + i 综合1 。，2 。，3 。可得 几p ，q ) p n ，口 由( i ) ，( i i ) 得 靠，q ) p l 白，q ) p ，g ) 对于p ( p ，q ) = 0 和+ 的情形，证明可类似给出。 推论3 2 在定理3 1 中，令p = 1 ，q = 0 即得文【4 】中的定理1 推论3 3 若q = 0 ，即当 a n 为严格递增的正实数列，且满足条件 ( 口) ，( b ) 和( c ) ，则v t 。r ，即得文 2 】中的定理1 1 。 广义d i r i c h l e t 级数的增长性 m ( ) ，显然有吒( 弘q ) 7 - ( p ，q ) ( i i ) 1 。 当p q 2b , i ，由( p ，q ) 的定义，垤 0 ，j 序列 n ，) ，使 生 矿 ( 1 0 9 k 1i n i 一丐) - 。gi i 一r e 入，e x p k q ( 警) ； ， c 3 6 ， 把( 3 6 ) 式代入( 3 3 ) 式，得 - 。g 吮c 盯+ 乱。，一r e 入勺e x p k q 0 ，了序列 ) ，使 学一一岛 矿( 一砖l o g 叫) 旷一一 江西师范大羊硕l j 论文 得到 1 。g a n j 一( r e h ) 订p 再1 ) 币l 万p - i ， ( 3 8 ) 同定理3 1 的理由，有 l o g 。i 丢l o g ( 2 r e a 。) + l 。g 只( 入。) + l 。ga t ( 口+ i 气) + 互1l 。g ( 一2 口) + ( 仃+ i t 。i t a n q 月p 入。+ 妻l 。g q s 三( 2 r e a 。一1 ) + 冗e a 。十互1l o g ( 一仃) + l 。g 帆( a + i t o ) + 口( 冗e 入。) + i t 。 t a n ( r e a 。 + 互1l 。9 2 q q + 互1l o g ( 一仃) + 仃( r e 入。) + l o gm l ( 盯+ i t 。) + c o ( n e 入。) ， l o gm l ( a + i t o ) l o g l a i 一互1 l o g ( 一仃) 一盯( r e a 。) 一瓯( r e 入。) 一q ，( 3 9 ) 把( 3 8 ) 式代入( 3 9 ) 式，得 l o g 吮( 口+ ) 一( r e h ) 寺i 笔) 寿p p 寺- _ _ i 一互11 0 9 ( 一仃) 一仃( r e h ) 一q ( 兄e a n j ) 一c 5 ， ( 3 i 0 ) 令一仃= p 一古( 笔) 由+ q 代入( 3 1 0 ) 式，得 l o g m l ( a + i t o ) p 一舟( 舭h ) 寿i 笔) 南一互1 l o g ( 一仃) 一g ， ( 刊p = p ( 警) 寿+ q p l o g 吮( 盯+ i 。) 、p 一寿( 兄e a ，) 南( 去) 古fp 一寿( 警) 南 p ( 一盯) p 二 p 一寿( 等) 寿 p【- j d 一古( 等) 古+ g j 一主! ! 墨( 二! 垦 ( 一盯) p 广义d i r i c h l e t 级数的增长性 3 。 当p = 1 ，q = l l 时，由k ( 弘q ) 的定义，v e 0 ，j 序列 咒j ) ，使 ，l 砖 丢r e a jl o g 型掣，( 3 1 1 ) 同定理3 1 的理由，彳f l o gi o 。i 专l o g ( 2 r e a 。) + l o gp , , ( a 。) 十l o g 咀( 盯+ i t 。) + 吉l o g ( 一2 a ) 1 + p + i t 。it a n c 0 r e a 。+ 言l o gq 11 g + o ( r e a 。) + 毒l o g ( r e a 。) + 吉l o g ( 一仃) + l o g 心( 盯+ i t 。) + a ( r e a 。) + i t o it a n a ( r e a 。) ， 从肋 l o g m l ( 盯+ i t 。) 2l 。gl 。i 一互1l 。g ( r e a 。) 一互1l o g ( 一盯) 一盯( 冗e 入。) 一o ( r e a 。) 一t a na ( r e a 。) 一g ， ( 3 1 2 ) 把( 3 1 1 ) 式代入( 3 1 2 ) 式，得 1 0 9 吮( a + i t o ) r c a # 1 0 9 堂掣一弘1酗e ) 一弘1 g ( 一_ 一( 仃+ i 。lt a n a ) ( r e x n # ) 一d ( r e a ) 一g ， ( 3 1 3 ) 令一盯= ；l 。g 万田罢专i 写+ i t 。i t a n q 代入( 3 1 3 ) 式，得 l o g m l ( 盯棚。) 三r e - 一1 0 9 ( r e h ) 一。( r e ) 一互1 l o g ( 一盯) 一q ， 从而 l o g m l ( a + i t o ) e 一口p 一 + ；r e a 唧 e x p ；l 。g 刃+ t o l t a nq 】j d 一j 1l o g ( r e a ，) 一 l o g ( 一盯) 一o ( r e a ) 一岛 e - 口p 因此，当矿一一时，气仞，q ) 一由的任意性知，吒白，q ) ( p ，q ) 江j 两! j i f j 范人学硕士论文 综合1 。，2 。，3 。可得 由( ) ，( i i ) 得 吒白，q ) 2 ，g ) k ，q ) 吒( p ，q ) 7 p ，q ) 对于p ( p ，q ) = 0 和+ 。的情彤，证明可类似给出。 推论3 5 在定理3 4 中，当p = 1 ，q = 0 时，即是文 4 】中的定理2 。 推论3 6 若q = 0 ，即当 a 。) 为严格递增的正实数列，且满足条件 ( o ) ，( b ) 和( c ) 。则v t o r ，