（基础数学专业论文）变分不等式与凸优化问题.pdf

变分不等式与凸优化问题 基础数学 研究生刘小兰指导教师何诣然( 教授) 本文研究了非线性泛函分析和凸优化中的几个问题在第一章中，主要在无穷 维b a n a c h 空间中建立了非线性规划问题的二阶必要最优性条件，所要求的约 束条件比r o b i n s o n 约束条件更弱，在第二章中，主要利用f e n c h e l 对偶理论和 f e n c h e l l a g r a n g e 对偶理论，分别得到了无限维空间中具有有限个凸约束条件和 无限个凸约束条件不等式系统的新f a r k a s 型结果，推广了有限维空间中相应的结 果在第j 章中，在不假设函数具有连续性的情况下研究了无穷维空间中广义拟变 分不等式问题解的存在性，把文献f 3 8 中的结果延拓到无穷维空间 关键词：最优性条件：非线性规划；f e n c h e l 对偶；f e n c h e l l a g a - a n g e 对偶 f a r k a s 型结果；广义拟变分不等式；下半连续；开下截口 第i 页，共3 5 页 v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sa n dc o n v e xo p t i m i z a t i o n b a s i cm a t h e m a t i c s a u t h o r ：l i ux i a o l a n s u p e r v i s o r ：h ey ir a n ( p r o f e s s o r ) a b s t r a c t ：t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t hs o m ep r o b l e m so fn o n l i n e a rf u n c t i o n a l a n a l y s i sa n dc o n v e xo p t i m i z a t i o n i nc h a p t e ro n e ，an e w c o n s t r a i n tq u a l i f i c a t i o n w h i c hi sw e a k e rt h a nt h er o b i n s o nc o n s t r a i n tq u a l i f i c a t i o ni sd i s c u s s e da n j as e c o n do r d e rn e c e s s a r yo p t i m a l i t yc o n d i t i o nf o rm a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g p r o b l e m si nb a n hs p a c e si se s t a b l i s h e d i nc h a p t e rt w o ，b a s e do nf e n c h e ld u a l i t ya n df e n c h e l - l a g r a n g ed u a l i t ， an e wf a r k a s - t y p er e s u l tf o rf i n i t ea n di n f i n i t ec o n v e xi n e q u a l i t i e si ni n f i n i t e - d i m e n s i o n a ls p a c e si so b t a i n e d i n c h a p t e rt h r e e ，w ee x t e n d ak n o w ne x i s t e n c er e s u l to fg e n e r a l i z e d q l l a s i 一a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sf r o mf i n i t ed i m e n s i o n a lt oi n f i n i t e - d i m e n _ s i o n a l s p a c e s k e yw o r d s ：o p t i m a l i t yc o n d i t i o n s ；n o n l i n e a rp r o g r a m m i n g ；f e n c h dd u a l i t y ； f e n c h e l l a g r a n g ed u a l i t y ；f a r k a s - t y p er e s u l t ；g e n e r a l i z e dq u a s i v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s ；l o w e rs e m i c o n t i n u i t y ；o p e nl o w e rs e c t i o n s 四川师范大学学位论文独创性 及使用授权声明 oa 和c o n c c o ( k ) = u oa c o ( k ) 分别表示由k 生成的锥和 凸锥 下面给出相对内部和强拟相对内部的定义： 设k 是x 的一个非空凸子集，用r i k 和s q r i k 分别表示的相对内部和强 拟相对内部，其定义如下： r i k = 扛a f f k t 3 e 0 ，扛+ e b ) n ( a f f k ) ck ，其中b 是单位球，a f f k 表示 j f 的仿射包 s q r i k = z k l c o n e ( k z ) 是一个闭子空问) 容易得出。s q r i kc r i k ， 此外，集合k x ：指示函数矗：x 一旯= r u 士o 。 ，其定义如下： 第l o 页，共3 5 页 第二章无穷维空问中新的f a r k a s 型结果 眦) ：= 偿：篡 支撑函数口( r ) ：x + 一豆其定义如下： 盯 i z ) ：= s u p z e ( z ，z ) 现在考虑函数，：x 一豆 ，的有效域( 定义域) 为：d o m f = 扛x ：f ( x ) 0 ，( a ，) + ( z ) = n ，( n 一1 z + ) ，v z x ； 9 若口0 ( ，( p ) ) + = ，+ ( 3 1 z ) ：v z 。y 定义2 1 1 给定函数 ，m ：x 一盂f l n 口，m ：x 一詹 口口厶( z ) = i n f ( ( z 。) ) ：( z t ) = z ) ， = l l = l 称为函数 ，m 的卷积 定理2 1 1 9 1 设，r ( x ) ，则广f + ( x 4 ) ，而且，”= ( 广) = f 其中 r ( 、，) r ( x ) 分别表示一切真凸下半连续和 + 一下半连续函数的全体 s t e l l a l w p 心1 6 3 c o i n 第1 1 页共3 5 页 毕业论文 第二章无穷维空间中新的f a r k 型结果 定理2 1 2 设 ( z ) r ( x ) ，1 i m ，则 ( d ( a ) + + d ( ，m ) ) + = c l ( 片口口正) ，( 2 - 1 ) 若r i ( d o m ) 有一个公共点，i = 1 ，：m ，则 ( ( 五) ) ( p ) = ( ，：口口荒) ( p ) = i n f ( r ( n ) ) ：p t = p ) ( 2 2 ) 这里对每个矿x + 其下确界可以达到 证明根据定义： ( 口口厶) = s u p 。 妇，z ) 一i n f ( ( y , c z ，) ) ：x i = z ) = s u p 。s u p 。+ + 。：。 扫，z ) 一 ( 。1 ) 一一，k ( z m ) ) = s u p x 。，。 ( p ，z 1 ) + + ( p ，z 。) 一，l ( z i ) 一一，m ( z m ) ) = 片白) + 一+ 扁( p ) 这蕴涵着如下等式： ( 片口口f ：) + = 片+ + + 篇= c l ( f 1 ) + + c l ( ，m ) 因此 ( d ( ) + + d ( ， 。) ) = ( 片口- 口儡) ”= e l ( 片口一口丘) 若r i ( d o m f i ) ，i = 1 ，m 有一个公共点，根据【7 】定理9 3 ，c l ( ，1 ) + + c l ( ，仇) = c l ( a + + 厶) ，通过定理2 1 1 ，后者的共轭就是( ，l + 十，m ) + 另一方面， 由【7 】推论1 6 2 2 ，在相同的条件下，片，展满足【7 】推论9 2 1 的假设，它保 证( 疗口口扁) 是闭的，在( 疗口口层) 的定义下其下确界是可以达到的 注2 1 1 【7 】中的定理9 3 和推论1 6 2 ，2 在无穷维空间中是成立的【7 i 中 的，l 和f 闭性可由 r ( x ) 和疗f ( x ) 得到 推论2 1 1 设 r ( x ) ，i = 1 ，m ，则 m，nm 印i ( ( c l ，i ) + ) = c l ( e p i ( f ) ) ，。i n t ( zd 。m 片) ，( 2 - 3 ) i = 1i = 1 t = l 若r i ( d o m f l ) ，i = 1 ，m 有一个公共点，则 仇m e p i ( ( 五) ) = e p i ( f ) i 穹l i = 1 s t e l l a l w p c 1 6 3 c o i n 第1 2 页，共3 5 页 ( 2 - 4 ) 毕业论文 苎三兰歪妻笙窒塑! 堑塑垒! 塑! 型丝墨 2 2 f e n c h e l l a g r a n g e 对偶问题 本节中假设x ，y 是局部凸的拓扑向量空间其对偶空间是x ，y k 是 x 的非空凸子集y 被闭凸锥qcy 序化其序关系定义如下： y ls oy 2 ，耽一可1 q ，v y l ，珈y 类似于壳考虑y 。= y u 士o o y ，且满足4 - o o y k 一y 。 + ，坳y ，特别地，由q 生成的序空间y ，我们记为( v 0 ) 设( y q ) 是一个序化局部凸的拓扑向量空间，h ：x y 。为一映射，称日是 9 凸的，若 h ( a x + ( 1 一a ) 可) oa h ( x ) + ( 1 a ) 日( 暑，) ，y x ，v a ( 0 ，1 ) 设y 是由闭凸锥q 生成的序空间g ：x y 。是一个q 凸映射，集 c ：= z k l g c x ) oz 利用有限维空问中介绍的扰动方法( 【2 5 】) ，下一步计算垂儿的对偶函数： 雪每 ：x x + y + _ 旯 垂h ( 矿，矿，z ) = s u p x e x ，p x 声y ( z ，z ) + 白，y ) + ( 矿，z ) 一圣，l ( z ，y ，z ) = s u p = e k , e x , g ( z ) 兰。；f ( z + ，砷+ ( 暑，计+ 仁+ ，石) 一，( z + 可) ， 为了便于计算，以新的变量_ 5 分别代替前面的变量玑z 其定义如下 r ：乏。+ y 5 ：= 名一9 ( 力 s t c n a l w p 1 6 3 0 0 j l l 第1 3 页，共3 5 页 毕业论文 第二章无穷维空间中新的f a r k a s 型结果 于是上面的上确界可以分离为下面三个上确界的和 西l ( z ，y 。) ：= s u p ，e o ( s ，矿) + s u p ，x ( ，r ) 一，( r ) + s u p 。 ( z + 一y 。，z ) + ( ，g ( z ) ) ) jf ( 圹) 一i n l 耳 ( 暑，一z ，z ) 一( 矿，9 ( z ) ) ，z q 一， 【 + o 。，矿# q 一 这里q 一：= 旷y i ：( y ，z ) 0 ，v z q ) 众所周知，原问题( p ) 的对偶问题是： ( d p l ) ：s u p u x ，y 一西( o ，y ，2 ) ) 改变变量的符号后，可得到： ( d f l ) ：s r p y e x ：e o + 一f + ( + ) + i n f z k 一。，满足( c q ) ，则( p ) 和( d f l ) 之间强对偶成 立，即它们的最优值相等，并且对偶问题( d f l ) 有一个最优解 证明问题( p ) 可以写成以下形式： ( 尸) i n 毛e 墨， 9 ( 。) s o o f ( x ) s t c l l a l w p k 1 5 3 c o n l第1 4 页共3 5 页 毕业论文 第二章无穷维空问中新的f a r k a s 型结果 由 2 3 】可得，存在尹q + 使得l a g r a n g e 对偶成立，即是 ”( 1 p ) - ：m a o x + “f 删n d 姗彤( 。) + ( 。+ ，9 ( 。) ) 】= 1 “f 洲n 概， ，( 。) + ( r ，g ( 。) ) 】 定义： h ：x _ r ) ：= 仨篙 。x 魍e k , 贝l ji - 式右端写成如下形式：u ( p ) = i n f = x 【，( z ) + 扛) 】 凼为s q r i k n d o m f = s q r i ( d o m h ) n d o m f o o ，由【2 4 】定理3 2 ，存在牙+ x + ， 使得： v ( p ) = m a x x x - f ( z + ) 一h ( 一z + ) 】 = - i ( 扩) 一h + ( 一矿) = - y + ( 茔+ ) 一s u p x 一( z ，z ) 一，l ( 。) = 一，( 孟) 一s u p x 一( z ，z ) 一( 尹，9 ( z ) ) ) = 一，( 孟+ ) 一( 尹g ) 莨( 一圣) 由i 二式的右边，得出它是( d p l ) 在( 孟+ ，矿) 的函数值根据弱对偶性( d 凡) 的 上确界在( 矿，r ) 得到因此，( 矿，矿) 是对偶问题的一个最优解 注：2 1 定理2 2 1 先由( c q ) 成立来证明了原问题和它的l a g r a n g e 对偶 问题强对偶，再证明了其外部取最大值内部取下确界的l a g a a n g e 对偶问题和它 的f e n c h e l 对偶问题问的强对偶成立后者即是前面介绍的f e n c h e l - l a g r a n g e 对偶问题 2 3 无穷维空间中有限个凸约束的f a r k a s 型结果 设 是x 的一个非空闭凸子集，i = 1 ，m ) 为一指标集，y 是由闭 凸锥q 生成的序空间1 - ：x 一置是真凸函数g i ：x y 。是q - 凸函数 g ：x 。娶y5 兰：兰兰，g ( 。) = ( 9 ( z ) ，鲕( 。) ) ，垤x - 考虑凸优化问题： ( p )i n f = c ，( z ) ，c ：= z k i g ( x ) s 口mo ) s t c l l a l w p a l 6 3 c o i n 第1 5 y i ，共3 5 页毕业论文 第二章无穷维空间中新的f a r k a s 型结果 这里q = 兀q = 9 q ，9 ( z ) 口m0 铮吼( z ) o0 ， t = l 。、，。一 ”i 类似上节的方法，得到( p ) 的f e n c h e l - l a g r a n g e 对偶问题： ( 上) ；l )s u p 。e x 。，o m + 一，( g + ) 一( 2 9 ) ( 一z ) ) ， 这里0 + 9 ) p ) = ( 0 ，毋( z ) ) ，矿= ( z ：，东) ，才q + ，1si m i = 1 m q ”+ = nq + = 印+ xq t o 。、，1 。一 m 下面给出这个问题的主要结果： 定理2 3 1c 勺条件成立，则下面两个结论等价： a ) z k ，9 l ( z ) 口o ，v l i = ，( 茁) 0 ( i i ) 存在牙+ x ，j + q ”+ ，使得，( z ) + ( i + 9 ) ( 一z ) 0 ， 证明( i i ) 号( t ) ：设存在矿x ，矿q ”+ ，使得广( 矿) + ( 尹9 ) ( 一矿) 0 ，即一，( 孟) 一( 尹g ) ( 一牙+ ) 0 于是( d - l ) 的最优值v ( d p l ) 大于或等于0 ，由弱对偶 ( 一) 必须大于或等于0 因此，对v x d ，吼( z ) 口0 ，i ，有l ( x ) 0 ，即( i ) 成立 ( i ) 号( i ) ：假设( i ) 成立，则口( ，) 0 因为约束条件( g q ) 成立由定理2 2 ，1 ， 可得存在( 矿，尹) x xq ”+ 为( d f l ) 的最优解，使得u ( p ，) = v ( d f l ) = - i ( ) 一( e - 9 ) ( 一量) 0 结论得证 一 注2 3 1 由( i i ) = 争( i ) ，约束条件( c q ) 不是必要的， 由定理2 3 1 ，可得出下面“二选一”定理： 推论2 3 1 设( c q ) 成立，下面的不等式系统有解且不同时成立： ( 1 ) z k ，g l ( x ) oo ，v i ，( z ) 0 ( 2 ) 1 ( z ) + ( z + 9 ) 知( 一z ) 0 ，z x ，矿q “+ 命题2 3 ，1 定理2 3 ，1 中的( 厕等价于： 0 e p i ( ) + ：e p i ( ( 露肼) ) + e p i ( a k ) ( 2 - 5 ) s t e l l a l w p 1 6 3 c o i i i 第1 6 页，共3 5 页 毕业论文 第二章无穷维空间中新的f a r k a s 型结果 证明( i i ) 辛定理2 3 1 ：设矿x ，尹q ”+ ，使得广忙。) 十 ( f g ) ( 一i ) 0 首先假设5 + = 0 ，则，8 ( 矿) + s u p z k ( 一孟+ ，z ) 0 因此，口k ( 一孟) = s u p z e k 牙，z ) 一，+ ( 王+ ) 即( 一孟一，+ ( 孟+ ) ) e p i ( a k ) 所以有如下关系： 0 = ( 牙，+ ( 牙) ) + ( 一牙，- f + ( 牙+ ) ) e p i ( f ) + e p i ( a g ) e p i ( f + ) + e p i ( ( 5 ：g f ) ) + e p i ( a h - ) f e ， 当矿0 时，= i i ：露o ) 非空，另外，( 孟) + ( 尹9 ) k ( 一孟) 0 ，于是 存在r r ，使得厂 + ) r - ( 5 。夕) ( 一矿) 所以 ( 牙，r ) e p i ( ，+ ) ，( 一孟，一r ) e p i ( ( j 9 ) 斋) 。( 2 - 6 ) 根据关于对偶函数集合k 的定义，有： ( 尹g ) k ( 一z + ) = s u p 。k ( z ，z ) 一j + g ( z ) ) = s u p x e x z ，z ) 一( j + g ( x ) + 6 ( z ) ) ) = ( 矿g + 如) ( 矿) ，v x + x + 这里矗是d 的指标函数显然( 矿g ) k = ( ( 尹g ) + 6 ) 事实上，是一个凸 集，则r i k = r i ( d o m ( 6 9 ) ) 非空由推论2 1 1 ，就进一步得到： ( 一牙，一r ) e p i ( ( 5 + g + 啄) ) = e p i ( ( 5 + g ) ) + e p i ( ( 6 k ) + ) ( 2 - 7 ) 一 由( 2 - 4 ) 式，得 e p i ( ( 5 g ) + ) = e p i ( ( z 薯吼) ) = e p i ( ( q i 9 1 ) + ) = e p i ( 若9 1 ) ) = e p i ( z , * 9 1 ) + ) i e l 口i e l q 1 e l 口 i e l 所以，由( 2 - 6 ) 式，( 2 - 7 ) 式和畋= o k ，得 0 e p i ( f ) + e p i ( ( 露玑) ) + e p i ( a , v ) i e l s t e u a l w p 1 6 3c o i n 第1 7 页，共3 5 页毕业论文 第二章无穷维空间中新的f a r k a s 型结果 定理2 3 1 净( i i ) ：令牙x + ，r r ，使得( 矿，r ) e p i ( f ) ，( 一孟。，一r ) e p i ( ( 零仇) ) + e p i ( a k ) 于是可得：，( 矿) r 由推论2 2 1 ，可推得： ( 一牙。，一r ) e p i ( ( 暑吼) ) q - e p i ( 妖) = e p i ( ( ( ( 零吼) ) + e p i ( 肥k ) ， = e p i ( ( g + 9 ) ) + e p i ( k ) ) = e p i ( ( 尹9 ) ) 即找至了( 孟，z ) x + xq “+ ，使锝 ，( 孟) + ( ( 矿9 ) + ) ；f ) 玉( 一孟) r r = 0 推论2 3 2 设矿x ，d r ，( c q ) 满足，则下面商个结论等价 ( i ) z k ，吼( z ) o0 ，v i ，= 争( 王，z ) q ( i i ) 存在尹q ”，使得( j g ) ；f ( 矿) n 证明构造函数f ：x 一矗，f ( x ) ：= q 一( 矿，z ) 进而可得： “：= 慨- i - o o ；i 二 于是两者问的等价性由定理2 3 1 , - i 直接得到 注2 3 2 设，：x ，真，f ( x ) = a 一位+ ，z ) ，e p i f + = ( 一i + ，一a ) + o ) j r + 由命题2 3 1 ，推论2 3 2 中的( i i ) 变为： 忙+ ，n ) e p i ( 嚣m ) + + e p i ( a k ) + 0 1 r i e ? 又因为e p i ( a k ) + o ) 凰= e p i ( a k ) ，于是有 ( 矿，o ) e p i ( 5 * g i ) + e p i ( 盯k ) i e l 注2 3 3 重新考虑推论2 3 2 让k = x 则下面两个结论等价 ( i ) x x ，g i ( x ) 口0 ，v i ，= ( 孟。，z ) q 。 s t d l a l w p 毽1 6 3 c o n l 第1 8 页，共3 5 贞 毕业论文 第二章无穷维空间中新的f a r k a s 型结果 ( i i ) 存在三+ q m + ，弓( 乏。9 ) + ( i 。) o 因为e p i ( o x ) = 0 ，凰，( i ) 和( i i ) 等价于： ( i + ，o ) c p i ( ( 五+ g 。) + ) 十 o ) 尼 ( 2 8 ) l ， 若矿0 ，( 2 - 8 ) 式还可等价地写为：( 矿：n ) e p i ( ( 露9 1 ) + ) i e i 2 4 无穷维空间中无限个凸约束的f a r k a s 型结果 假定x ，y ，k ，g i ，f 与上节中的假设相同，是任意的指标集 g = z x l g , ( x ) 口0 ，v i j ， 考虑原始问题优化问题： ( j p 8 )i n f ：c f ( x )c ：= k n g = z f m ( z ) q0 ，v i j ) 假设c 是非空的， 利用g 和耳的指标函数如，矗，p ”可等价地写成： ( p ”)i n f f ( x ) + 如( z ) + 6 ( z ) i z x ) = - ( f + 如+ 5 k ) ( o ) 若r i ( d o m f ) nr i g nr i k o ，由( 2 - 4 ) 式，得( j p o 。) 的f e n c h e l 对偶问题 ( d 尹) s u p 。；e p 一f ( z ：+ z ；) 一略( 一z ：) 一妖( 一z ；) ) 有一个最优解以及( p ”) 和( 0 7 ) 的最优值相等，即( j p ”) = ( _ d 罗) 注2 4 1 广义f e n c h e l 对偶问题( d 笋) , - - f d a 使用第三节中引入扰动函数的 方法得到： 垂p l ：x x x 一矗 蚧水m 小= “悯x + y l 。x + + 。z 阮eg , $ x 戗e x , l+ o o z + o 仨“，$ s t c l l a l w p ( 1 6 3 c o r n第1 9 页，共3 5 页 毕业论文 第二章无穷维空间中新的f a r k a s 型结果 定理2 4 1 假设r i ( d o m f ) nr i ( g ) nr i ( k ) 0 ：下面两个结论等价： ( i ) x k ，毋( z ) 口0 ，、屹，：亭，( z ) 0 ( i i ) 存在z ；，z ；x + ，使得，+ ( z ：+ z i ) + 配( 一墨) + 豫( 一z ；) 0 证明 ( i i ) = ( ) ：令z ：，z ；x + ，使得广( z ；+ z ；) + 略( 一舛) + 眩( 一z ；) 0 于是推得广义f e n c h e l 对偶问题的最优值r ( d 芦) 大于或等于0 ， 由弱对偶，原问题( 尸。) 的最优值v ( e ”) 大于或等于0 因此，c ，( z ) 0 即( i ) 成立 ( i ) 寿( i i ) ：设( i ) 成立，则”( p 。) 0 因为正则条件成立，是闭凸集，则妖 是真d h - f 半连续，定理2 2 3 保证了( d 罗) 最优解( z ：，。；) 的存在，使得 v ( p 。o ) = 一( ，+ 如+ 6 ) ( o ) = - s ( z ：+ z ；) 一略( 一z ；) 一6 玉( 一e ) = u ( d 罗) 0 因此，( i i ) 成立 一 注2 4 ，2 ( i i ) 辛( t ) ，