（工程力学专业论文）动态荷载下水泥混凝土路面的破坏特性研究.pdf

摘要 摘要 在我国现行路面设计规范( j t j0 1 2 9 4 ) 中，目前采用静态方法分析路面板在 车辆荷载作用下的响应，并根据此结果进行路面疲劳寿命预估。针对目前国内 水泥混凝土路面往往未达到设计使用年限即产生破坏的现象，本文采用移动荷 载作用下k e l v i i l 地基上的无限大板作为力学分析模型，使用动态方法对路面板 在车辆荷载作用下的动力响应进行分析。采用傅立叶变换法导出了动态荷载作 用下板的挠度、应变和应变率的一般解，并进行了详细的数值计算，据此得到 动态荷载作用下板的最大应力；将按静态方法和动态方法计算得到的板的最大 应力进行比较，并分别将它们代入不同的疲劳方程进行疲劳寿命预估。结果表 明：按动态方法得到的板的最大应力较按静态方法得到的板最大应力偏高，而 按动态方法得到的疲劳寿命比按静态方法时的疲劳寿命偏低许多。 关键词：混凝土路面；移动荷载；数值计算；疲劳寿命 a b s t r a c t a b s t r a c t i nc u r 凇l td e s i 弘o f c o n c r e t ep a v e m e n t ，似i ca 1 1 a l y s i si su s e di ns p e c i f i c a t i o no f c e m e n tc o n c r e t ep a v e m e md e s i g nf o rh i g h w a y ( j t j0 1 2 - 9 4 ) b mi n 缸tm e p a v e m e mi ss u 巧e c t e dt od y n 锄i cl o a di n s t e a do fs t a t i cl o a d t bi n v e s t i g a t et h e d y i l 锄i cr e s p o i l s eo fp a v e m e m ，锄i i l f i n i t ep l a t eo nk e m nf o u n d a t i o ns u b j e c t e dt o m o v i n gl o a dw a su s e dt om o d e lt h ep a v 锄e n ts y s t e mu n d e rm o v i n gv e h i c l e s b y m e a n so f f o u r i e r 协m s f o r m ，n l eg e n e r a ls o l u t i o n sf o rd e n e c t i o l l s ，s t m i na n ds t r a 缸r a t e o ft l l ep l a t eu n d e rd y n a m i cl o a da r ed e r i v e da t l dt h en u m e r i c a la i l a l y s i sf o rt h 锄i s a l s og i v e n 1 1 1 em a x i 董n 啪s t r e s so ft h ep l a t e1 1 i l d e rm o v i n gv e l l i c l e s 啪se v a l l l a t e d t h e l lt h ef a t i g i l el i f ew a se s t i m a t c di nc o o r d i n a t i o no ft h es e s sa n a l y s i se v a l u a t e d t l l l d e rc o n d i t i o no fs 协t i c a i l dd ”锄i cl o a d s 腼md i 脏r e mf a t i g u ee q u a t i o n s m r e u l t ss h o wt h a h ef a t i g u el i f ee v a l l l a t e db yd y l l 锄i ca i l a l y s i si sm o r e1 0 ”惯b e c a u s e t 1 1 a tt h ed y n a m i cs t r e s si np l a t ei sh i g h e r k e yw o r d s ：c o 僦p a v e i n e m ；m o “n gl o a d ；n 啪e r i c a la n a l y s i s ；f a t i g i l el i f e 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得直昌太堂或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示谢意。 学位论文作者签名( 手写) ：却吱签字日期：p 7 年，b 月哆日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解直昌太堂有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权直昌盘堂可以将学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存、汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究 所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通过网络向 社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：p 刁年一月吵日 签字日期： t 商移 胛年t 瑚确 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题的提出及研究意义 随着社会经济的发展和运输市场繁荣，我国的道路交通量有了大幅度的增 长，公路里程也在逐年增长，同时车辆荷载也日益重型化，重载、超载现象也 变得越来越严重。这种不利现象的发展对公路造成的破坏已成为公路早期损坏 的主要原因，受到众多公路设计人员和各主管部门的广泛关注。 水泥混凝土路面具有刚度大、强度高、使用耐久和日常养护工作量小等优 点。并且随着交通事业的发展，国产优质交通路用沥青逐渐变得短缺，价格不 断上涨。这样，水泥混凝土路面在重交通公路就处于愈加重要的地位。然而， 在水泥混凝土路面建筑里程逐年增加的同时，水泥混凝土路面过早损坏也变得 越来越明显，许多地区的水泥路面达不到设计使用年限，往往在使用3 5 年后 即出现错台、断裂等损坏，大大增加了路面的养护维修费用，也给运输部门造 成了不必要的经济损失。如河南省境内1 0 7 国道一些路段于1 9 8 9 年修建，1 9 9 1 年即出现断板，1 9 9 6 年破板率已超过1 0 ；北京市东直路的水泥混凝土路面在 使用初期的7 年内，折断板的数量达到5 6 4 。 分析水泥混凝土路面过早损坏的原因，除部分是由于车辆严重超载造成路 面板发生一次性的断板外，主要还有路面疲劳寿命预估误差较大的原因。按现 行的路面设计规范，在进行疲劳寿命计算前，首先计算板在车辆荷载作用下的 最大应力，之后将此计算结果代入疲劳方程得到疲劳寿命后再进行轴载换算， 从而得到路面的设计使用年限。但是在计算板的最大应力时，现行路规的计算 方法是采用静态荷载的假设，即认为车辆荷载是静态的、不移动的。显然，这 和实际路况是不符的。 为此，本课题以水泥混凝土路面板为研究对象，结合以往研究成果，通过 理论分析和数值计算等方法，针对混凝土路面在移动荷载下的应力分布、疲劳 破坏作进一步的研究，以适应当前公路设计的需要。 第1 章绪论 1 2 国内外研究现状 1 2 1 混凝土材料的动态性能 现代混凝土结构除承受正常设计荷载外，往往还要承受诸如撞击、爆炸、 地震等动荷载的作用。此外，地震、海啸、旋风、火灾等自然灾害引起的混凝 土结构所受的动力作用也受到了广泛的关注。上述动力作用均会使混凝土以高 于静态许多量级的应变速率变形，并表现出与静态时不同的力学性能。 一般认为，在动态载荷作用下引起混凝土材料力学特性显著区别于其准静 态下情况的重要影响因素是材料的应变率敏感效应。自1 9 1 7 年a b m m s ”1 第一次发 现混凝土动态抗压强度存在率敏感性至今，人们对混凝土在不同应变率下的动 态力学性能已进行了广泛的研究。 早在1 9 1 7 年，a b r 锄s 就对混凝土材料进行了应变率响应为s = 2 1 0 _ 4 s 和= 8 1 0 。6 j 下的压缩实验，发现混凝土材料抗压强度存在应变率敏感性。从 此，学者们对混凝土材料在不同载荷形式作用下的力学特性进行了系统的实验 研究。 b i s c h o 舒”在分析比较这些实验研究结果的基础上对混凝土材料在应变率下 的抗压特性从各个方面进行了总结性的综述说明。日本学者于1 9 6 0 年最先进行 了混凝土材料在快速加载下的直接拉伸实验。当应变率响应为叠= 4 1 0 。j 时， 抗拉强度提高3 3 ，当应变率响应为毒= 4 l o 。2 j 时，抗拉强度提高了5 5 。此 后，陆续有人对混凝土动态拉伸特性进行了实验研究。通过总结前人的实验研 究结果，m a l v a r ”“4 1 在其综述性文献中描述了混凝土材料抗拉强度的应变率敏感 性。一般来说，随着应变率的提高混凝土材料的抗拉强度和抗压强度都会有明 显的增强。 混凝土受拉试验对设备的要求很高，而且成功率也很低，因而进行得很少。 m e l l i n g e r 完成了混凝土应变率为o 5 7 1 0 7 s 、o 2 1 0 2 s 的受拉试验，结果表 明混凝土抗拉强度分别提高了5 8 倍、6 3 倍。同样的冲击试验也被r o s s 等o “”人 的h o p k i n s o n 杆试验及a n t o 眦“1 的板冲击试验所实现。y o n 嘲( 1 9 9 2 ) 的动力抗拉试 验表明当应变率低于3 o 1 0 。3 s 时，应变率对混凝土的抗拉强度没有影响，动 强度等于静强度：当应变率高于3 o 1 0 1 s 时，强度增加值的对数与应变率的 2 第1 章绪论 对数成线性关系。j a v i e rm a l v 牡“1 ( 1 9 9 8 ) 等人总结了混凝土拉伸应变率效应，给 出了混凝土动态抗拉强度与应变率的关系：动态抗拉强度随应变率的增加而增 加，1 0 0 s 左右是一个临界值，应变率高于该临界值时，强度随应变率的增加而 明显变大。 根据现有试验成果，普遍认为随着应变率的增加，混凝土的弹性模量增加， 在某一特定应变或应力处的割线模量也相应地增加。d l l i r 。1 ( 1 9 7 2 ) 的动力试验 中，应变率从5 0 1 0 5 s 增加到2 5 1 0 1 s 时，混凝土在5 0 9 6 强度处的割线模量 增加了2 2 。尚仁杰“”得到应变率1 0 1 0 1 s 时的弹性模量约提高1 0 1 5 。 a t c h l e y “”( 1 9 6 7 ) 和s p a r “2 3 则认为随应变率的增大，混凝土刚度增大，但刚度的 增大与混凝土强度间没有确定的关系。 当前，对混凝土材料泊松比与应变率之间关系的研究尚不多见，但一般认 为：混凝土在受压时，随着应变率的增加，其内部的微裂缝减少，因而导致了 泊松比的减小；在受拉时，随着应变率的增加，其泊松比相应增加。也有实验 发现，泊松比并未随应变率的变化而发生明显的改变。造成各种混凝土材料变 形特性试验成果很不一致的原因，可能是因为在影响混凝土动态变形特性的诸 多因素中，应交率的影响是微小的。3 ，所以试验条件的不同可能会掩盖材料真实 的率效应。因此，通常按c e b 的建议，即假设泊松比是与应变率无关的。 1 2 2 路面板在动态荷载下的响应 最早从事路面板在动态荷载作用下的受力情况这一领域研究的是ge 嬲o n ， 他研究了弹性半空间体在移动力作用下的应力分析方法“。他先对弹性体的物 理方程、一般运动方程求傅立叶变换，然后通过边界条件解出位移分量的表达 式，最后通过一系列的数学过程求在移动力作用下位移、应力表达式，其计算 曲线见图1 1 。从曲线中可以看出随着速度的增加，其表面挠度值也随着增加。 之后1 1 1 0 m p s ，l e w s 和h 世研究了支承在粘弹性温克勒地基上板在活动荷载作 用下的分析方法“，他们在数学变换过程中采用了一些近似的假设。 3 第1 章绪论 图1 1 弹性半空间体在移动荷载作用下的位移变化曲线 f r y b a “”分析了移动荷载作用下端支有限大板和地基支承无限大板的动力响 应，但仅求得了板挠度的解析解。k i m 和r o e s s “”1 ，i ( i m 和m c c u l l o u 曲“”分析 了移动矩形均布荷载作用下k e l v i n 地基上无限大板的动力响应问题，但侧重于 分析亚临界速度移动荷载作用下的板挠度。 在国内，黄晓明和邓学钧“”利用粘弹性温克勒地基板的挠曲振动方程，借 助于傅立叶变换方法，获得了路面结构在任意动荷载作用下的挠度表达式 孙璐，邓学钧“”基于线性系统的叠加原理和坐标变换，建立了求解运动荷 载作用下板的动力响应的广义d u h 咖e 1 积分公式，把运动荷载问题转化为获取位 移脉冲响应函数。在柱面坐标系中利用l a p l a c e 和h a n k e l 变换求解板在瞬时点源 荷载作用下的解，结台广义d u h 锄e l 积分得到了稳态响应的精确解，并验证了动 态响应退化为静力解时的正确性。但上述文献都未给出详细的数值计算分析。 周华飞和蒋建群等1 采用移动荷载作用下k e l v i n 地基上无限大瞄r c l l i l o f f 薄 板为力学分析模型，分析了运动车辆作用下刚性路面的动力响应。首先采用积 分变换法推导了板挠度的g r e e n 函数，并通过d l l l l 锄e l 积分求得各种移动荷载模 式作用下板稳态挠度的二维积分解析解，包括恒常和简谐移动点源、线源和面 源荷载。然后采用自适应数值积分算法计算解析解中的二维无穷积分，得到了 板稳态挠度的数值结果。最后对速度和阻尼等对板稳态挠度的最大值和空间分 4 k，挚。l 2 第1 章绪论 布的影响进行分析，得到了荷载临界速度，发现了板动力响应的特性和规律。 侯芸和孙四平等。”应用三维有限元动力学的基本方法，结合n e 眦k 积分方 法逐步求解运动方程，对移动点荷载作用下温克勒地基上板的变形和应力响应 进行了分析。计算了路面的固有频率、临界速度，讨论了荷载速度、板参数、 地基参数对最大动挠度和拉应力的影响规律。 1 2 3 混凝土疲劳方程 由于混凝土路面的疲劳寿命很长，进行野外疲劳特性的试验研究是非常困 难的，目前国内外只有少量的研究成果，如美国的a a s h 0 试验路。因而一般采 用室内小梁疲劳试验，通过对混凝土试件施加固定变化幅度的反复应力( 压缩、 拉伸或弯曲) ，测定试件出现断裂破坏时的反复应力作用次数，由此建立不同 反复应力级位同相应的疲劳寿命之间的经验关系。通常，都以反复应力最高值 同该试件在一次荷载作用下的极限强度的比值( 简称为应力水平s ) 来表示反复 应力级位，这时它同疲劳寿命之间可以建立较有规律的经验统计式。一般采用 双对数或单对数关系建立( s 一) 的疲劳方程，而后。根据疲劳方程采用各级 轴载等效的原则建立轴载换算方法。现行规范的轴载换算及荷载疲劳应力就是 根据上述方法得到的， 对疲劳方程的问题，国内外许多学者和机构进行过大量的研究工作。1 8 9 0 年，f e r e t 首先进行了混凝土的弯曲疲劳试验，随后k e s l e r 、m c c a l l 、b a l l i n g e r 、 g a l l o w a y 、h u s w i r s c h i l l i n g 、永松静也等人都对混凝土材料的弯曲疲劳特性进行 了分析研究，他们大多采用下述半对数形式的关系式来整理其试验结果，通常 在n 于1 0 2 1 0 7 范围内得出线形疲劳方程： s = ! 警= 口一l g ( 1 1 ) ， 飞 式中：d k 一反复应力最大值； f一混凝土的弯拉强度； 口，君一疲劳试验确定的系数。 d a n e r 在汇总了k e s l e r 、i h i i h b y 和g a l l o 、v a y 以及b a l l i n g e r 【2 2 】，【2 3 】，【2 4 】的梁试件弯 拉疲劳试验结果后，整理得出了失效概率为5 0 时的回归系数为 萨1 0 6 = o 0 5 6 8 。而比利时的v e v e r k a 等得出的试验结果为萨1 0 ，6 = o 0 5 。 5 第1 章绪论 式( 1 1 ) 所示的疲劳方程，是在低应力保持不变( 等于或接近于o ) 而施 加不同级位高应力的循环加荷情况下得到的。混凝土面层承受行车荷载和温度 两方面的交替作用，无行车荷载时，面层亦会受到幅度变化的温暖度应力的反 复作用，它构成了混凝土所承受的循环应力的低应力。而同时作用有行车荷载 时，面层承受荷载和温度的综合反复作用，此综合应力构成了循环应力的高应 力。因而，混凝土面层受到的是高、低应力变化的反复应力的作用。为考虑这 种加荷情况对混凝土疲劳寿命的影响，一些研究者进行了探讨和试验。挪威的 a a s j a c o b s o n 首先提出了在式( 1 1 ) 中引入一项低应力和高应力之比的系数r ， 采用下述形式的疲劳方程： s ：! 每堕：口一6 ( 1 一r ) i g ( 1 2 ) ? jji 式中r = 盯i n j n 盯。 这一关系式反映了混凝土的疲劳寿命随低应力的提高而增加并呈线形关系 的规律。a 鹪一j a c o b s o n 通过试验得到的系数值为口= 1 o ，6 = o 0 6 4 。t c p f e r s 等采 用不同的低应力进行了混凝土试件受拉( 劈裂) 和受压的疲劳试验，也证实了 上述关系式，并得出在s o 8 0 时口= 1 o ，6 = o 0 6 8 5 ；而在s 0 8 0 时试验结果 的离散性很大，西班牙的f a g g i g a 等得出的试验系数为口= 1 o ，6 = o 0 6 9 1 。同济大 学采用不同低应力进行了混凝土的弯嗌疲劳试验，运用回归分析方法，对试验 结果进行统计分析，得到式( 1 2 ) 形式的半对数疲劳方程中的系数 口= o 9 9 9 ，6 = 0 0 7 2 4 ，( 失效概率5 0 ) ，同时整理得到相关性很好的双对数形 式的疲劳方程： l g s = l g 口一o 0 4 2 2 ( 1 一r ) l g ( 1 3 ) 西安公路交通大学。”针对目前交通组成中超、重载较多从而引起混凝土板 实际应力水平较高的情况，重点作了应力水平在0 8 5 1 的室内小梁弯曲疲劳试 验，同样得到相关系数很好的双对数形式疲劳方程( 保证率5 0 ) ： l g s = l g 口一0 0 3 8 8 ( 1 一r ) l g ( 1 4 ) 6 第1 章绪论 1 2 4 混凝土路面破坏类型及特征 水泥混凝土路面在交通作用下容易诱发各种病害的产生。据调查，在车辆 较多的公路上，混凝土路面存在不同程度的唧泥、错台、断板和露骨等破坏现 象，有些路段损坏还相当严重。现将混凝土路面典型的损坏类型和特征论述如 下。 冲刷破坏 冲刷破坏是荷载反复作用、接缝处水的入渗、基层被冲刷等多种因素综合 作用的结果，在交通路面中普遍存在且非常严重，主要表现为唧泥及由此引发 的错台、脱空和断板。图1 2 和图1 3 为某交通道路在通车不到两年时间出现 的冲刷破坏情况。 图1 2 水冲刷破坏导致板角断裂 图1 3 水冲刷破坏引发的网裂 由图1 3 可以清楚地看出，在该道路上，由唧泥留下的一道道泥浆的痕迹 和大量碎屑堆积物，其厚度可达1 5 坍聊。冲刷物一般是细屑物质，严重时也含 有砂和碎石，碎石最大粒径可达1 5 肌坍。 疲劳破坏 另外，水泥混凝土路面通车一年后，除了水冲刷掏空引起板角断裂、横向 和斜向断裂破坏之外，还出现横向疲劳断裂破坏，如图1 4 所示。 由图l5 可以看出，板横向疲劳断裂的出现为冲刷破坏创造了条件，进一 步扩大了冲刷破坏的范围。板的疲劳断裂与水冲刷共同作用结果使得混凝土路 面出现大面积严重的网裂( 如图1 3 ) 。 7 第l 章绪论 图1 4 板中的横向断裂图1 5 疲劳断裂诱发水冲刷的产生 磨损破坏 在水泥混凝土路面还存在较为严重磨损破坏现象，如图1 6 所示，这类破 坏通常不为大家所重视。 磨耗破坏主要表现路表水泥砂浆体在车轮剪切作用和冲击作用下脱落，碎 石或砂砾骨料出露简称露骨、混凝土剥落，有的甚至出现坑槽。反之，裸露的 粗集料在车轮尤其是重车轮剪切作用和冲击作用下，极易被冲击松动、脱落， 形成空穴，导致与车轮接触面减小，作用在路表面剪切应力和冲击应力增大， 空穴周围的砂浆极易被磨耗掉，空穴也因此逐步扩大。如此反复进行，严重影 响水泥混凝土路面使用性能，直至最后路面结构的破坏。水泥混凝土路面一旦 出现露骨，路面平整度和抗滑能力将急剧下降，严重影响行车舒适、安全及路 面使用寿命，而且也是诱发路面其它损坏的原因。 图1 6 露骨与混凝土剥落 水泥棍凝土路面是层状的结构。水泥混凝土板是承受荷载的结构层次，其 强度、刚度都比较大。为了避免出现不规则的裂缝，路面板一般是被切缝分块 的。基层是传递荷载的结构，其强度和刚度都比路面板小。垫层的主要作用是 防水和抗冻，其强度和刚度更小。水泥混凝土是路面板的材料，其抗拉强度大， 抗压强度小。稳定类材料是最常用的基层材料，具有强度高、刚度大、整体性 8 第l 章绪论 好等特点。对路面结构影响较大的荷载有汽车荷载和温度荷载。汽车荷载的分 布是随机的，但遵循一定统计规律。汽车对路面的作用，不但有竖直的向下的 压力和水平的摩擦力，还有向上的吸附力。这些力的大小不但与汽车的重量、 速度、加速度和轮胎的构造有关，而且与路面的平整度，甚至与路面结构的震 动频率有关。温度荷载是由于路面板中不同部位的温度差引起的。温度差来源 于气温的变化，所以温度应力具有周期性和局限性的特点。一般情况下，荷载 在水泥混凝土路面板中产生的应力比较小，不能造成路面的一次性开裂破坏， 所以水泥混凝土路面的破坏一般是疲劳开裂破坏。 以2 2 c m 厚的水泥混凝土路面板为例，如果混凝土的回弹模量3 0 g p a ，泊松 比为0 1 5 ，基层顶面的地基反应模量k 为5 0 m n a n 2 ，则在轮胎气压为o 7 m p a 的5 0 k n 轮载作用下，板底的最大拉应力仅仅为1 3 4 m p a 。“，而一般路面水泥 混凝土的抗弯拉强度为4 5 m p a 所以，在一般情况下水泥混凝土路面是在疲劳 应力的作用下破坏的。 1 3 本文主要研究内容 ；： 基于现行路面设计规范在对水泥混凝土公路疲劳寿命预估时的不足，本文 在以往的研究基础上着手如下方面的研究： 1 水泥混凝土路面板在车辆荷载作用下的响应 考虑行车荷载的速度效应，采用动态荷载假设，解出路面板在移动荷载 作用下的挠度、应变及应变率的解析解； 对路面板在移动荷载作用下的响应进行数值计算，讨论行车速度、地基 阻尼、板厚等对应变和应变率的影响。 2 水泥混凝土路面在车辆荷载作用下的疲劳 根据现行路规所采用的静态荷载假设计算板的最大应力，结合板的动态 响应数值计算结果，分析现行路规在计算板最大应力时的误差以及该误差在进 行疲劳寿命计算时带来的影响； 根据以往试验结果，对现行路规采用的疲劳方程、早期规范( 8 4 ) 采用 的疲劳方程以及其他疲劳方程进行比较，分析现行路规所采用的疲劳方程在疲 劳寿命预估时的优点及不足。 9 第2 章水泥混凝士路面在运动车辆作用下的动力响应 第2 章水泥混凝土路面在运动车辆作用下的动力响应 2 1 引言 目前世界各国对交通工程结构的设计均以静止车辆荷载作用下的结构为力 学分析模型，这在车速较低的情况下是合理的。但当车速较大时，静力荷载模 式与运动车辆作用于交通工程结构的实际荷载之问的差异却非常大，交通工程 结构的动力学特性也远非静力学模型所能描述。因此，运动车辆荷载作用下交 通工程结构的动力响应问题引起了研究人员的普遍关注。 作为刚性路面体系，水泥混凝土路面在力学上一般被简化为黏弹性地基上 的板加以研究，而运动车辆荷载一般采用移动荷载来模拟。f r y b a “”分析了移动 荷载作用下端支有限大板和地基支承无限大板的动力响应，但仅求得了板挠度 的解析解。飚m 和i b e s s e t “，k i m 和m c c u l l o u 曲“7 1 分析了移动矩形均布荷载作用 下k e l v i n 地基上无限大板的动力响应问题，但侧重于分析亚临界速度移动荷载 作用下的板挠度。在国内，黄晓明和邓学钧“，孙璐和邓学钧“”采用积分变换法 和g r e e n 函数法求得了移动荷载作用下板瞬态和稳态挠度的积分解析解，但未见 详细的数值计算分析，周华飞和蒋建群汹1 对移动荷载作用下无限大板的板稳态 挠度做了详细的数值计算分析，并分析了速度和阻尼等对板挠度的最大值和空 间分布的影响。可见，多数已有工作仅给出了板挠度的积分解析解和数值结果， 而板在移动荷载作用下应变和应变率的探讨则相对缺乏。鉴于此，本文在不考 虑混凝土材料参数由于应变率效应发生改变的前提下，拟以板应变和应变率的 数值计算为本文的立足点，研究移动荷载作用下黏弹性地基上无限大k i r c i l l l o f r 薄板的动力响应特性。首先求解各种移动荷载模式作用下板应变及应变率的二 维积分解析解：然后以恒常移动集中荷载作用下板的应变和应变率为例，采用 自适应数值积分算法计算应变和应变率的数值结果；最后对速度、板厚以及地 基阻尼等对应变和应变率的最大值和空间分布的影响进行全面而细致的分析， 进而探讨板动力响应的特性和规律。 1 0 第2 章水泥混凝土路面在运动车辆作用下的动力响应 2 2 板的运动方程及其解 2 2 1 基本方程 黏弹性地基上无限大瞄f c l l l l o 脯板在移动荷载作用下的模型如图2 1 所示， 采用位移解法，板以位移表示的控制方程为： 。( 窘+ z 急+ 窘m + 砌+ 力窘叫力 c z - ， 式中： d = 脚( 1 一u z ) ，板的抗弯刚度； eu ，厅一分别是弹性模量，泊松比，板厚； p 一板的密度； “一地基反应模量； ，7 一地基阻尼。如采取w i n “c r 地基假设时，其值为0 。 图2 1黏弹性地基上无限大k i r c h h o 啭板 结构的动力响应根据是否考虑加载、初始条件等的影响可划分为瞬态和稳 念响应。若荷载在当前时刻之前很久就已经施加在结构上，初始时刻的位移和 第2 章水泥混凝土路面在运动车辆作用下的动力响应 运厦挠动以及加载的影啊已捎失殆尽，则杯此时结构的动力啊应为稳态啊应。 值得注意的是，这里的稳态并非指响应可以表示为时间的简谐形式。反之，若 初始时刻的位移和速度挠动以及加载等对结构的动力响应仍有影响，则称此时 结构的动力响应为瞬态响应。本文仅分析板的稳态响应问题，其边界条件为： 烛爹。0 删，1 ，2 ，3 一 汜。， 嘞孑划胪o ，1 ，2 ，3 2 2 2 移动荷载的表达式 从荷载的空间分布角度划分，主要分析的有点源、线源和面源荷载：从荷 载的时间变化角度划分，主要分析的有恒常和简谐荷载。本文主要介绍沿x 轴正 向移动的荷载，以下介绍其数学表达式。 ( 1 ) 移动点源荷载 沿砖由正向以速度c 匀速运动的竖向点源荷载的一般表达式为： ，( x ，y ，) = 万( x c f ) 万( y ) 厂o ) ( 2 3 ) 式中：万( ) 一单位脉冲函数： 厂( f ) 一荷载大小的时间变化函数。 恒常移动集中荷载 若一个大小为尸的恒常移动集中荷载很久之前就已经作用在板上，户o 时刻它 正位于坐标原点处，则该荷载可表示为： f ( x ，y ，f ) = p 万o 一甜) 艿( _ y ) ( 2 4 ) 简谐移动集中荷载 若其大小变化的圆频率为，则可表示为： ，o ，y ，f ) = p p 埘v 万 一c r ) j ( y ) ( 2 5 ) ( 2 ) 移动线源荷载 沿x 轴正向以速度c 匀速运动的竖向线源荷载的一般表达式为： f ( x ，j ，r ) = g ( x c r ) 占( ) ，) 厂o ) ( 2 6 ) 1 2 第2 章水泥混凝土路面在运动车辆作用下的动力响应 式中：g 一c r ) 一线源荷载的纵向分布函数。 恒常移动线均布荷载 若一个合力大小为，分布长度为刀的恒常移动线均布荷载很久之前就己 作用在板上，f = 0 时刻它的荷载中心正位于坐标原点处，则该荷载可表示为： p ，( 工，y ，f ) = 毛日【，2 一( 工一c f ) 2 】占( y ) ( 2 7 ) z l 式中： 日( ) 一单位阶梯函数。 简谐移动线均布荷载 若荷载集度变化的圆频率为，则可以表示为： m ，y ，f ) = 昙硎2 唯叫) 2 】鼢) ( 3 ) 移动面源荷载 沿x 轴正向以速度c 匀速运动的竖向面源荷载的一般表达式为： f ( x ，y ，r ) = g ( x 一甜，j ，) 厂o ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 式中： g 一甜，力一面源荷载的空间分布函数。 、 恒常移动矩形均布荷载 若一个合力大小为p 、分布区域为 一口x 口，一6 x 6 的恒常移动矩形均 布荷载很久之前就已经作用在板上，闭时刻它的荷载中心正位于坐标原点处， 则该荷载可表示为： d f ( x ，y ，f ) = j h 口2 一( 工一c f ) 2 】h ( 6 2 一y 2 ) ( 2 1 0 ) 简谐移动矩形均布荷载 其荷载集度变化的圆频率为，则可表示为： d f ( x ，y ，f ) = 苦p w 日【口2 一o c f ) 2 】日( 6 2 一y 2 ) ( 2 1 1 ) 2 2 3 板稳态挠度、应变和应变率的解析解 本文以恒常移动集中荷载下板挠度为例，通过傅立叶变换法“”解出其解析 解。设有函数厂( x ，) ，f ) ，那么它的三重傅立叶变换式为： 肥而班南f ：仁f ：他川 劬训删+ ( 2 1 2 ) 其微分性质为 f 【( ，) _ f 以f 【厂( f ) ( 2 1 3 ) 1 3 第2 章水泥混凝土路面在运动车辆作用下的动力响应 利用上述公式及性质，可得方程( 2 1 ) 的三重傅立叶变换： d ( 砰+ j i ；) 2 刃+ 玎+ f 国叩万一力珊2 刃= f ( 七l ，七2 ，缈) ( 2 1 4 ) 所以 嗽心捌= 研豸氅盎丽 弦 ( 1 ) 板稳态挠度解析解 求出式( 2 4 ) 的三重傅立叶变换式为 f = 尸艿( + 幽) ，( 2 万) “2 ( 2 1 6 ) 将式( 2 1 6 ) 代入式( 2 1 5 ) 得： 嘶k 妒南面毫鬻汜m 得到该式的逆变换： 咖，f ) = 嘉j = = j = j ：雨毫篱孚杀面e 呐m 删纸出：如 ( 2 1 8 ) 根据狄拉克函数的性质 l ：，( f ) 万( f 一岛) d f = f ( ，o ) ( 2 1 9 ) 则式( 2 1 8 ) 为： 国毒您仨雨孝纛幽哦汜z 。， 式( 2 2 0 ) 即为恒常移动集中荷载作用下板的稳态挠度解析解。 ( 2 ) 板应变解析解 根据飚r c l l l l o 疗薄板假设，应变分量可以表示为： a 2 8 x z 哥 ：一z 磐 ( 2 2 1 ) 占y 一。矿 。2 2 1 驴之z 筹 1 4 第2 章水泥混凝| 十路面在运动车辆作用下的动力响应 由十挠反凼毅国2 国( x ，y ，f ) ，上式所不_ 匝燹分量q ，占y ，p 均为z 的线彤 函数，即沿板厚呈线性分布。而这里，本文主要研究的是板底的应变及应变率， 所以取： z = 2( 2 2 2 ) 将式( 2 2 1 ) 和式( 2 2 2 ) 代入式( 2 2 0 ) ，即得到恒常移动集中荷载作用 下板底应变的解析解： 巳= 嚣匕也丽豸专概班： 铲嚣您也丽焉专鼬。蹴。 汜z s ， 驴嚣眦两焉篆舭：戤疵： 切 8 万2 “。d ( 七1 2 + 霹) 2 一加2 砰+ 甜一f 私i “”屯r “2 ( 3 ) 板应变率解析解 在变形的过程中，单位时间中应变值的增量称为应变率，即： 叠：丝( 2 2 4 ) a 由式( 2 2 3 ) 和式( 2 2 4 ) 可得到恒常移动集中荷载作用下板底应变率的解析 解： 六= 磬匕而善嘉柏啦 铲磬= 面善斋吨慨必c z z s ， 岛= 磬= ：而篙讯姒 2 3 数值计算方法 由式( 2 2 3 ) 和式( 2 2 5 ) 可以看到，应变和应变率解析解的形式均为复 指数函数的广义无穷积分，要得到其数值解，必须要确定其积分限和积分式。 下文中以恒常移动集中荷载作用下板的x 轴向应变占，的计算为例，给出积分限 1 5 第2 章水泥混凝土路面在运动车辆作用下的动力响应 的确定和积分式的选取方法。 其中板参数在合理的路面参数内取值，详见表2 1 ： 表2 1 地基、板以及荷载参数嘲 甜，m 一2e n 订| u p 磁m 。 忍，mp nc ，聊j 一1 6 8 9 1 0 62 8 1 0 1 0 0 1 5 2 3 1 0 3 0 2 5 1 0 5 1 0 3 1 6 7 2 3 1 广义无穷积分的积分限确定 令毛解析解的被积函数为： d f ( 一) + t 2 y l g ( 力2 而再争磊可而砰 2 6 w i n k l e r 地基假设时，该函数的模： 础，= 蒜 ( 2 2 7 ) 由于该积分上下限均为对称，故选定方形积分区域，令t = j i 2 = 后，则式( 2 2 7 ) 可化为偶函数日( 后) ： 日( 垆面f ( 2 2 8 ) 对该函数求导，得： = 赢 眩z 代入各参数( 见表2 1 ) 计算，图2 2 给出了日( 后) 的分布，从图中可以看到当七o 时，日( i ) o ，当_ i 0 ，因此函数日( _ j ) 是一个收敛函数。图2 3 给出了函数日( j i ) 的分布，也可以看出当| | = o 时，h ( 后) 有最大值 日一= 1 甜= 1 4 5 1 4 1 0 - 8 ，并且1 i m 日( 七) = o 。- 1 6 第2 章水泥混凝土路面在运动车辆作用下的动力响应 x 10 - 1 5 f j r r = = 钐一一一一一一一j 一一一一j 一一一一j ：二二；= ：斗 - 8 0 0 _ 6 0 0 砌- 2 0 0o2 0 04 0 06 8 0 01 0 k x 1 0 1 3 图2 2 日( 七) 的分布图 l 一一一1 一一一一1 一一一一t 一一一t 一一l 一一r 一一一一r - 一一一一r 一一1 一一一一。 l 一一一一j 一一一一j 一一一一一一一i 一一l l 一一一一j 一一一一一i 一一一一j 一一一一 ：i ： ：7： ： ： 彰 娅 一1 0 枷删删- 2 0 0o2 4 0 06 8 0 01 0 0 0 k 图2 3 日( t ) 的分布图 2 佰 ， o 舶 一 们 c i l 舶 8 7 6 5 4 3 2 1 o 第2 章水泥混凝土路面在运动车辆作用下的动力响应 令日( 七) = 1 1 0 。1 4 ，得出： 选定积分上下限分别为： 2 3 2 复指数函数积分部分选取 七= 士7 8 i = 8 0 被积函数可化为： = 塑篙蔫篱等掣汜s 。， 令： 口2 七一8 吖t t j 叫6 2 七? 8 i n 颤( 工一) + 哎y 】 ( 2 3 1 ) 厂= d ( 砰+ 尼；) 2 一所c 2 砰+ “g = 慨 g = 篇= 型铲 。z ， j l gj + g 根据实际意义，取式( 2 3 2 ) 的实部做积分计算： 铲等匕j 竺簿郴： ( 2 s s ) 最终，得到恒常移动集中荷载作用下，荷载移动方向( x 轴) 应变s ，的数值 计算积分式为： 铲嚣域鬈簿戤础： 汜s a ) 2 4w i n l l e r 地基上无限大板的动力响应 w i n k l e r 地基是k e l v i n 地基在无阻尼下的一个特例，因此，只要在k e l v i n 地 基上无限大板应变和应变率的积分解析解中令，7 = o ，即可得到w i n k e r 地基上无 限大板在相应移动荷载作用下的应变及应变率的积分解析解。限于篇幅，本文 仅以恒常移动集中荷载为例予以说明。 1 8 第2 章水泥混凝土路面在运动车辆作用下的动力响应 2 4 1w i n e r 地基上无限大板的应变 由式( 2 2 3 ) 可以锝到w i 畦l e f 地基上无限大扳在荷载移动方向上的应变s ，： = 导心= 丽筹牦叱s s ， ( 1 ) g 的空间分布 图2 4 给出了r = o 时荷载移动方向上应变，的空间分布。可以看出，的 分布图形关于荷载作用点正对称，轴和y 轴均为对称轴。并且最大应变出现在 荷载作用处，板上各点并不总是正应变，也有可能出现负应变，这表明板在运 动荷载下受到了弯拉和弯压的交变应力作用。 图2 4 - i 血l e r 地基上荷载移动方向上应变e 。的空间分布 ( 2 ) s ，随时问变化的规律 图2 5 给出了原点处府变随时间变化的曲线。可以看出，当荷载作用在该 点时，该点处麻变最大；随着时间的增大，荷载和作用点的距离随之增大，该 点的应变值总体上呈现出逐渐减小并最终减小至0 的趋势。并且应变时正时负， 1 9 第2 章水泥混凝土路面在运动车辆作用下的动力响应 这也能说明在移动荷载作用下，板应力是弯拉和弯压交变式应力。 制 趟 图2 5 原点处e ，的时程曲线 ( 3 ) 板厚对f ，的影响 计算了当，= 0 ，y = o ，板厚分别为 = 2 0 硎，矗= 2 5 硎，厅= 3 0 硎时板上沿荷载 运动方向上的4 m 范围内的应变( 即x 【o ，4 】) 。 图2 6 给出了计算结果，可以看到，板厚对应变的影响比较大，随着板厚 的增加，应变随之减小。 第2 章水泥混凝卜路面在运动车辆作用下的动力响应 制 毯 x1 矿 i 么：五m l i jj 一。 = ， | 衫= 五| 悌；一 介 1 0 m ，s h 弋：， 。装 7 j h 、一 夕| | o0 0 10 陀00 30 0 0 50 0 0 70 0 0 1 时间t ( s ) 图2 1 9x = 5 所，j ，= o 处应变率随速度变化规律 第2 章水泥混凝十路面在运动车辆作用下的动力响应 ( 5 ) 地基阻尼对t 的影响 表2 4 给出了不同地基阻尼时原点处应变随时间变化的关系。可以看到， 地基阻尼的变化仅对荷载作用点的六影响较大；而对其他各点来说，这种影响 基本上可以忽略。 表2 4 不同地基阻尼时原点处应变率随时间变化的关系 ，o ) 行= 0，7 = o 8 1 0 6 舶朋3 = 1 6 1 0 6 胁所3 0o3 0 0 9 9 e - 0 0 96 0 1 9 8 e 0 0 9 0 o l- 0 0 0 1 4- 0 0 0 1 4- 0 0 0 1 4 o ，0 20 0 0 4 20 0 0 4 2 o 0 0 4 2 0 0 3- o 0 0 6 1o 0 0 6 10 。0 0 6 1 0 0 4o 0 0 3 50 0 0 3 50 0 0 3 5 0 0 5o 0 0 3 70 0 0 3 7o 0 0 3 7 o ，0 6加，0 0 9 7o 0 0 9 7- o 0 0 9 7 0 0 7o 0 0 8 2 0 0 0 8 20 0 0 8 2 0 0 88 3 9 1 7e - 0 0 48 3 9 1 7e 一0 0 4 8 3 9 1 7e 0 0 4 o ，0 9_ 0 0 0 9 6o ，0 0 9 6- o 0 0 9 6 o 1 0 o 0 1 0 4o o 1 0 4o o 1 0 4 2 6 本章结论 本章以无限大板在恒常移动集中荷载作用下的应变及应变率为例对黏弹性 地基上无限大k i r c l l l o f 礴板的动力响应特性进行研究，给出了应变及应变率的解 析解及其求解方法、详细的数值计算方法并对它们进行参数分析。讨论了荷载 移动速度、板厚、地基阻尼等参数对它们的影响，并得到了以下一些结论： 在恒常移动集中荷载作用下，应变的最大值出现在荷载作用点，并且板 在、) l ，i n k l e r 地基上，应变的分布是关于作用点完全对称的；板在k e l v i r 龅基上时， 应变的分布在板宽方向上是关于荷载作用点对称的，而在荷载移动方向上并不 对称； 在恒常移动集中荷载作用下，应变率的最小值出现在荷载作用点，并 且应变的分布是关于作用点完全对称的。但是考虑地基阻尼的情况下( k e l v i n 地 3 3 第2 章水泥混凝土路面在运动车辆作用下的动力响应 基) ，荷载作用点处的应变率不为0 ，而不考虑地基阻尼的情况时( w i n l 【1 e r 地基) 荷载作用点处的应变率为0 。 在恒常移动集中荷载作用下，随着时间的变化，应变和应变率都时正时 负，这说明板在移动荷载作用下，应力是弯拉和弯压交变应力。 板厚对板的应变和应变率影响都较大，无论板是在w i n k l e r 地基或k e l v i n 地基上，随着板厚增加，应变和应变率都随之减小。 荷载移动速度对板的应变值影响较小，并且这种