（基础数学专业论文）亚纯函数的唯一性和正规性.pdf

【 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：耋鑫鲞二 日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名： 垃导师签名：彳 ， 目录 中文摘要i 英文摘要i i 第一章n e v a n l i n n a 理论的基本知识1 第二章与其导数分担一个值的亚纯函数3 2 1 引言3 2 2 预备知识及引理4 2 3 定理2 1 7 的证明8 2 4 定理2 1 8 的证明9 第三章复合亚纯函数的正规性1 3 3 1 引言1 3 3 2 主要结果及证明1 3 参考文献1 5 致谢1 7 c o n t e n t c h i n e s ea b s t r a c t i e n g l i s ha b s t r a c t i i i c h a p t e ri p r e l i m i n a r i e so fn e v a n l i n n at h e o r y 1 c h a p t e ri im e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n go n ev a l u ew i t ht h e i rd e r i v a t i v e s3 2 1i n t r o d u c t i o n 3 2 2p r e l i m i n a r yl e m m a s 4 2 3 p r o o f o f t h e o r e m2 1 7 8 2 4 p r o o f o f t h e o r e m2 1 8 9 c h a p t e ri i in o r m a l i t yo fc o m p o s i t em e r o m o r p h i ef u n c t i o n s 1 3 3 1i n t r o d u c t i o n 1 3 亚纯函数的唯一性和正规性 王晨光 ( 山东大学数学与系统科学学院，山东，济南2 5 0 1 0 0 ) ( 指导教师：仪洪勋教授) 中文摘要 本文主要研究了亚纯函数的唯一性和正规性问题主要内容如下： 第一章叙述了n e v a n l i n n a 理论的基本知识 第二章研究与其导数分担一个值的亚纯函数的唯一性问题使用权分担的 方法改进了c l l e i 等人的一个结果得到如下两个主要定理 定理2 1 7 ，是非常数亚纯函数，n ，七是正整数且礼克+ 5 如果广和 ( 广) ( ) 分担( 1 ，2 ) ，则f = c e 等，c 为非。常数，w 是t 七= l 的一个根 定理2 1 8 ，是非常数亚纯函数，n ，k 是正整数且几k + 7 如果尸和 ( ，”) ( ) 分担( 1 ：1 ) ，则f = c e 警，c 为非。常数，u 是护= l 的一个根 第三章给出了复合亚纯函数正规性的一个充要条件 定理3 2 2 令是区域d 上的一个非常数的全纯函数，g = 妒( d ) 厂是g 上的一个亚纯函数族则厂在g 上正规的充要条件是g = ( 9 = fo 咖：f 一 在d 上正规 关键词亚纯函数，唯一性，正规性，n e v a n l i n n a 理论 山东犬学硕士学位论文 a b s t r a c t w em a i n l ys t u d yt h eu n i q u e n e s sa n dn o r m a l i t yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s t h em a i nc o n t e n t sa r ea sf o l l o w s ： c h a p t e rig i v e sb a s i ck n o w l e d g eo fn e v a n l i n n at h e o r y c h a p t e ri i i n v e s - t i g a t e st h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ss h a r i n go n ev a l u ew i t ht h e i r d e r i v a t i v e s w eo b t a i nt w ot h e o r e m sw h i c hi m p r o v et h er e s u l to fc l l e i t h e o r e m2 1 7l e t ，b ean o n - c o n s t a n tm e r o m o r p h i cf u n c t i o n ，l e tn ，kb e t w op o s i t i v ei n t e g e r sw i t hn k + 5a n dab caf i n i t en o n z e r oc o n s t a n t i ff “ a n d ( ，n ) ( ) s h a r e ( n ：2 ) ，t h e n ，= c e 警，w h e r ec i san o n z e r oc o n s t a n t ，ui st h e 第一章n e v a n l i n n a 理论的基本知识 n e v a n l i n n a 建立的亚纯函数值分布理论是2 0 世纪最杰出的成果之一下面 我们说明一下在本文中用到的亚纯函数值分布理论的记号和定义详细的内容 可在w k h a y m a n 1 1 ，l y a n g 2 和c c y a n g 与h x y i l a 的书中找到 我们用n ( r ，口) 表示方程f ( z ) = n 在r 中的根的数目，重根记重数用 瓦a ) 表示方程f ( z ) = n 在h 7 中的不同的根的数目，重根不记重数相应 的我们定义 n ( r ，t l , 肛脚，击) = o 学出堋训o s r ， 她吖) 翘_ 击) = o 华咖) l o g r 我们用i ( r ，f ) 和一n ( r ，f ) 表示n ( r ，( 3 0 ，f ) 和丙( r ，。，) 我们定义 m ( r ，) 2 去j c 1 0 9 + i f ( r e i 9 ) l 枷， 毗击) = 新”o g + 丽南织n c t ( r ，) = n ( r ，f ) + m ( r ：f ) 为，( ：) 的特征函数 定义函数，( z ) 的级和下级分别为 a ( f ) = l i m ，+ s 。u p 警，p ( f ) = l i ，m + 。i n f 警 定理1 1 f 1 2 ，3 】( 第一基本定理) f 是在h r o o 上的亚纯函数如果 a c 是任意复数，0 r r ，则 r ( r ，志) = 丁( r ，) + l o g i c , i + e ( 。，7 ) ， 其中c r 是击在原点的洛朗展式第一个非零的系数，( 口，r ) l o g + i n l + l o g 2 山东人学硕士学位论文 定理1 2 1 1 ，2 ，3 i ( 对数导数引理) ，是i z l r 上的亚纯函数，k n 如果 f ( 0 ) 0 ，( 3 0 ，0 r p r ，则 嘶，等) g ( 1 + l o g + l o g + 丽1；1+专+p+log+t+log+log l o g + p +( 硝) ) ， m ( r ，字) k ) 重零点，当 且仅当它是夕一n 的n ( k ) 重零点，其中m 不一定等于n 我们说，和9 分担 ( a ，k ) 是指，和9 以权k 分担a 显然如果，和夕分担( a ，后) ，则，9 分担( n ，p ) ， 对所有整数p ，0 p k 成立，和9 分担ai m 或者c m 可以分别写成，和9 分担( n ，0 ) 或者( n ，) 我们考虑使用权分担的思想将定理2 1 3 中的条件”，“与( 尸) ( 七) 分担a c m ”减弱，得到了如下两个定理： 定理2 1 7 ，为复平面上的非常数亚纯函数，n ，k 是正整数且n k + 5 如 果尸和( ，”) ) 分担( 1 ，2 ) ，则，= c e 警，c 为非0 常数，u 是t = 1 的一个根 定理2 1 8f 为复平面上的非常数亚纯函数，礼，k 是正整数且n k + 7 如 果广和( 广) 七) 分担( 1 ，1 ) ，则f = o e “；- ，c 为非0 常数，u 是t 2 = 1 的一个根 2 2 预备知识及引理 引理2 2 1 【l i l ，( z ) 是复平面上的非常数亚纯函数，8 ，k 是两个正整数则 s ( r ，高) ? ( 7 ，) 一t ( r ，) + s + 七( ，7 1 ) + 眠n 山东大学硕士学位论文 札( r ，南) 腼( 吖) + s “1 ) + 跗，n 引理2 2 2 1 3 i ，( z ) 是复平面上的非常数亚纯函数，七是正整数则 ( r ，南) 腼( 删) + u ( r ，) + s ( t n 引理2 2 3 ，( z ) 是复平面上的非常数亚纯函数，n 是有限非零常数，后， l r t , 七十2 是正整数如果广和( 广) ( ) 分担( n ，2 ) ，贝i j - f n 情形之一成立： ( 1 ) 尸三( 广) ( 知； ( 2 ) u ( r ，) 南丙( r ，) + s ( r ，n 证明设 圣：笪! 一f 趔竺 ，”一o【，“pj n 令f = 广假设中0 由对数导数引理，m ( r ，垂) = s ( n ，) 若z o 是，的m 重 零点代入，( z ) 在z o 点的泰勒展式，得到z o 是圣的至少( 礼一七一t ) m 重零点， 则 ( r ，7 1 ) 再苦( n 丕1 ) + 跗 南t ( r j 圣) + s ( 7 ， 南( r ，圣) + s ( r ，) 再b ( 丙( 吖) + _ ( 3 ( _ 瓦1 ) ) + 跗 三b ( 矾 ，) + 扣，铷+ s ( 吖) i = 旨( 丙( r ，) + 三a r ( r 箬) ) + s ( r ，) i = j ( 丙，) + 三( 丙( n 1 ) + 丙( l f ) ) ) + s ( r ，) i b ( 罢丙( 吖) + 1 u ( r ， ) ) + 跗，) ， 因此( 2 ) 成立若圣三0 ，则广一n = c ( ( ，n ) ( 七) 一o ) 如果，有一个有限零 点，( 1 ) 显然成立如果，0 ，( 2 ) 显然成立 引理2 2 4 ，( z ) 是复平面上的非常数亚纯函数，n 是有限非零常数，七， 7 , 忌+ 3 是i e 整数如果p 和( 尸) ( k ) 分担( n ，1 ) 则下列情形2 _ - - 成- 亡r ： 5 山东人学硕士学位论文 ( 1 ) f ”兰( 广) ( 七； ( 2 ) 季) a 妾丙( r ，) + s ( r ，n 证明设 垂：堂! 一! 坐1 1 p o ( 产) ( ) 一a 令f = f “假设中0 由对数导数引理，m ( r ，圣) = s ( r ，) 若z o 是，的m 重 零点，代入f ( z ) 在z o 点的泰勒展式，得到z o 是西的至少m k 一1 ) 仇重零点， 则 ( n7 1 ) i = l j ( n 石1 ) + s ( r ，) 再苦丁( 哪) + 跗，)再百j 聊，垂) + s ( r ，) 南( r 圣) + s ( r ，) 南( 丙( r j ，) + - ( 。志) ) + s ( n ， 南( ( r ，) + ( r 参) ) + s ( r ，) 南( ( r ，) + ( n ) ) + 跚，) 南( 丙( r ，) + ( 丙( r ，i 1 ) 十丙( r ，f ) ) ) + s ( r ，) 南( 2 ( n ，) + ( r ，) ) + s ( r ，) 因此( 2 ) 成立若垂三0 ，则t 厂“一a = c ( ( 广) ( ) 一n ) 如果，有一个有限零 点，( 1 ) 显然成立如果f 0 ，( 2 ) 显然成立 使用l a h i r i 的文章【1 2 】中定理l 的证明方法，容易得n - 引理2 2 5f ( z ) 是复平面上的非常数亚纯函数，礼，k 为正整数，n 是有限非 零常数f = f “，g = ( 广) ( 如果f 和g 分担( a ，2 ) ，则下列情形之一成立： ( i ) ：t ( r ，g ) 2 ( r ，i 1 ) + 2 ( ，西1 ) + 3 - ( r f ) + s ( r ，) ； ( 2 2 1 ) ( i i ) ：f g 三a 2 ； ( i i i ) ：f 兰g 引理2 2 6i ( z ) 是复平面上的非常数亚纯函数，n ，k 是正整数，a 是有限非 6 山东火学硕士学位论文 日= 【若一筹】_ 【苦一墨】， 其中f = 尸，g = ( 尸) ( 舢如果f 和g 分担( a ，1 ) 并且h 0 ，则 t ( r ，g ) 2 ( r 万1 ) + 2 ( r ，否1 ) + a n ( r ，) + _ ( 2 ( nf i l ) + s ( nn ( 2 2 2 ) 证明e hf 和g 分担( a ，1 ) ，得到 ( r 击) = _ ( r ：瓦1 ) ，丙( 2 ( l 瓦1 ) = _ ( 。( n 瓦1 ) 进而得到 丙( 瓦1 ) = 晰瓦1 ) 恻l 瓦1 ) f 和g 分担( a ，1 ) ，通过对z o 点的泰勒展式的计算，得到如果z o 是f n 和 g a 的简单零点( 1 重零点) ，则h ( z o ) = 0 于是 1 ) ( n 而1 ) = 舰) ( r ，瓦1 ) + 眠，) r ( 万1 ) + 趾，) 丁( r h ) + s ( _ ，) 由对数导数引理，得到m ( r ：h ) = s ( 7 ，f ) + s ( r ，g ) = s ( r ，) 下面我们对 n ( r ，h ) 进行分析首先，f 的单零点不是h 的极点，因为f 和g 分担( a ，1 ) ， f a 和g a 的相同重级的零点不是h 的极点，则 ( r ，日) 丙( z ( r 去) + 丙( 2 ( r ：否1 ) + 丙( r ，) + _ 0 ( t 可1 ) + x o ( t 万i ) + 丙( 2 ( _ 而1 ) + s ( r ，) ， 其中蚍( r 刍) 表示是f ，的零点但不是f ( t a ) 的零点的点的计数函数 n o ( r , 古) 表示是g 7 的零点但不是c ( c n ) 的零点的点的计数函数我们可以 得到 t ( r ，日) 丙( 2 ( r i 1 ) + ( 2 ( n 否1 ) + 丙( r ，) + _ 0 ( r ，万1 ) + _ 0 ( 万i ) + 丙( 2 ( r ，上f - a ) + s ( r ，n 山东犬学硕士学位论文 由第二基本定理，得到 丁( r g ) 丙( r ，否1 ) + 丙( r 蕊1) + 丙( r ，) 一o ( 7 ，万1 ) + s ( n ，) 由n o ( r ，专) 的定义，得到 矾( ，万1 ) + 丙( 2 ( 而1) + 批2 ( r ，万1 ) 一丙( 2 ( ，i 1 ) ( r ，万1 ) 根据引理2 2 2 ，得到 11 1 - o ( r ，刍) + 丙( 2 ( r 志) 丙( r ，) + - - ( f 1 ) + 跳n 因为f 和g 分担( n ：1 ) ， ( n 瓦1 ) = 1 ) ( r ：瓦1 ) + 丙( 2 ( r ，而1 ) + 眠n 综合以上，得到 丁( ，g ) 2 ( r ，i 1 ) + 2 ( r ，否1 ) + 3 8 ( n ，) + 跳n 引理2 2 7 1 2 0 1 对于下面的方程： ，( n + a n - 1 ( z ) ，( n 一1 + + a o ( z ) f = 0 ，a oz ) 0 ， 该方程的系数a o ，? a 。一l 是多项式当且仅当该方程的解都是有穷级的整函数 解 引理2 2 8 1 3 1h ( z ) 是个非常数整函数，f ( z ) = e h ( “入和p 分别是f 的级和 下级我们有 ( i ) 如果p 0 ，存在n o = n o ( k ，e ) n 使得对所有 的z k 有 f 厶一厂( z ) i ， 4 ( 1 + i s n l 2 ) ( 1 + i f ( z ) 1 2 ) 定义3 1 2 称区域d 内的一族亚纯函数厂( 在m o n t e l 意义下) 正规，如果 每一列函数厶c 厂都含有一个在区域d 内内闭一致收敛的子列 3 2 主要结果及其证明 首先我们叙述如下引理 引理3 2 1 1 9 l 令厂为区域d 内的一亚纯函数族，则厂在d 内正规的充要 条件是对任一点z o d ，存在z o 的一邻域v ( z o ) cd 及正常数m = m ( z o ) 使 厂中每个，( z ) 在u ( 翔) 内或者恒有i f ( z ) l m ，或者恒有志m 下面我们来证明本章的主要定理 定理3 2 2 令咖是区域d 上的一个非常数的全纯函数，g = 西( d ) j - 是g 上的一个亚纯函数族则厂在g 上正规的充要条件是夕= 9 = fo 砂：f ，) 在d 上正规 证明必要性的证明厂在区域g 上正规，对于任意z o d ，存在( 翔) g 由引理3 2 1 ，存在u ( 细) ) cg ，对任意f 厂，任意z u ( 硒) ) ，或者 恒有i f ( z ) l m 或者恒有南m 因为妒在z o 是连续的，所以存在 妒( u ( 匈) ) cu ( z 0 ) ) ，对任意f 厂，任意z u ( z o ) 或者有i ，09 ( ：) l m 或者 丽1 m 再由引理3 2 1 ，夕在d 上正规 】3 山东火学硕士学位论文 充分性的证明9 在d 上正规，对任意w 0 g ，存在z o d ，使西( z 0 ) = t 0 0 由引理3 2 1 ，对此z o ，存在u ( 翔) d ，对任意9 夕或者恒有1 9 ( z ) i m ，或 者恒有南m 因为咖为全纯函数，故9 ( u ( 徇) ) 为一区域9 ( 翔) 为妒( u ( 徇) ) 的内点故存在( 咖) c 妒( u ( 翔) ) 因此，对任意s 厂，任意w u ( 蛳) ， i ，) l m 或者恒有顶1 研m 再由引理3 2 1 ，在g 上正规 1 4 0 曩 山东大学硕士学位论文 参考文献 【1 】 w k h a y m a n ，m e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，c l a r e n d o np r e s s ，o x f o r d ，1 9 6 4 【2 】 l y a n g ，v a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r y , s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 9 3 【3 】c c y a n ga n dh x y i ，u n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ， k l u w e ra c a d p u b l ，d o r d r e c h t ：2 0 0 3 【4 】w k h a y m a n ，r e s e a r c hp r o b l e m si nf u n c t i o nt h e o r y , a t h l o n ep r e s su n i - v e r s i t y , l o n d o n ，1 9 6 7 【5 】陈怀惠，方明亮，关于广，7 的值分布中国科学，2 5a ( 2 ) ( 1 9 9 5 ) 1 2 1 1 2 7 【6 】6l z a l c m a n ? o ns o m ep r o b l e m so fh a y m a n ，p r e p r i n t ( b a r - i l a nu n i v e r s i t y ) ， 1 9 9 5 【7 】 王跃飞，方明亮，涉及零点重数的亚纯函数的值分布，数学学报，4 1 ( 4 ) ( 1 9 9 8 ) 17 4 3 - 7 4 8 f 8 】 e m u e sa n dn s t e i n m e t z ，m e r o m o r p h ef u n k t i o n e nd i em i ti h r e ra b l e i t u n g z w e it e i l c n ，r c s u l t a t em a t h ，6 ( 1 9 8 3 ) 4 8 - 5 2 【9 】 w c l i na n db h u a n g ，an o t eo nh a y m a n sp r o b l e ma n ds h a r i n gv a l u e s a c t am a t h e m a t i c as c i e n t i a ，2 4a ( 4 ) ( 2 0 0 4 ) 4 4 9 - 4 5 3 【1 0 1c l l e i ，m l f a n g ，d g y a n ga n dx q w a n g ，an o t eo nu n i c i t yo f m e r o m o r p h i ef u n c t i o n s a c t am a t h e m a t i c as c i e n t i a ，2 8a ( 5 ) ( 2 0 0 8 ) 8 0 2 - 8 0 7 【1 1 】j l z h a n ga n dl z y a n g ，s o m er e s u l t sr e l a t e dt oac o n j e c t u r eo fr b r f i e k ， j i n e q u a l m a t h 8 ( 1 ) ( 2 0 0 7 ) a r t 1 8 【1 2 】i l a h i r i ，w e i g h t e dv a l u es h a r i n ga n du n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i ef u n c t i o n s ， c o m p l e xv a r i a b l e s ，4 6 ( 2 0 9 1 ) 2 4 1 - 2 5 3 1 5 山东大学硕士学位论文 【1 3 】c c y a n ga n dx h h u a ，u n i q u e n e s sa n dv a l u e - s h a r i n go fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n s ，a n n a e a d s c i f e n n m a t h 2 2 ( 1 9 9 7 ) 3 9 5 - 4 0 6 【1 4 】x t b a ia n dq h a n ，o nu n i c i t yo fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n sd u et oar e s u l t o fy a n g - h u a ，a r c h m a t h ( b r n o ) 4 3 ( 2 0 0 7 ) 9 3 - 1 0 3 【1 5 】h x y i ，m e r o m o r p h i cf u n c t i o n st h a ts h a r eo n eo rt w ov a l u e s ，c o m p l e x v a r i a b l e s2 8 ( 1 9 9 5 ) ，1 - i i 【1 6 j l z h a n ga n dh x y i ，t h eu n i q u e n e s so ff u n c t i o nd e r i v a t i v et h a ts h a r e o n ec mv a l