（基础数学专业论文）几类泛函微分方程的周期解.pdf

摘要 本论文分为三章。 第一章，运用指数型二分性及不动点理论得到了关于非线性泛函 微分方程 z ( t ) = a ( t ，x ( t r ( f ) ) ) z ( t ) + ，( t ，。( 一r ( t ) ) ) 周期解存在性的几个新结果。 第二章，运用拓扑度理论讨论了三阶纯量泛函微分方程 2 z ”( t ) + a i x ( i ) ( ) + b i x “( t t ) 】+ g i ( ) + 9 2 ( z ( 一丁) ) = p ( t ) 周期解的存在性，获得了该方程存在非常值周期解的充分性条件，推 广了 1 8 1 的结果。 第三章运用拓扑度理论得到了具有四时滞的非自治平面系统 jt j ( ，) = 一a , t i ( t ) + ，1 ( t x l ( t ) - t 2 ( f ) ) + g l ( t 。1 ( t r 1 ) ，x 2 ( t r 2 ) ) 【r ；( ) = 一b x 2 ( t ) + ，2 ( f 下l ( t ) ，z 2 ( t ) ) + 9 2 ( 1 1 l ( 一r a ) ，z 2 ( f n ) ) 存在非常值周期解的充分性条件，推广了 2 8 】中关于自治平面系统的 相关结果 关键词：泛函微分力程，周期解，指数亘一分性，不动点，拓扑度 i i a b s t r a c t t h i st h e s i sc o n t a i n st h r e ec h a p t e r s i nt h ef i r s t c h a p t e r ，b yu s i n gt h et h e o r yo fe x p o n e n t i a ld i c h o t o m ya n ds o m ef i x e d p o i n tt h e o r m s l w ed i s c u s s e dt h en o n l i n e a r f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n z 7 ( t ) = a ( t ，x ( t 一丁( t ) ) ) 。( t ) + f ( t ，x ( t r ( ) ) ) a n do b t a i n e ds e v e r a ln e wr e s u l t sa b o u tt h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i c s o l u t i o n sw h i c he x t e n d e dt h er e l a t e dr e s u l t si n 4 a n d 阿 i nc h a p t e r t w o ，t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n sf o rat h i r d o r d e rf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n 9 z ( ) + o i 。( i ( t ) + 6 l 。( ( t t ) 】+ 9 1 ( t ) + 9 2 ( z ( t 一7 _ ) ) = p ( t ) i = 0 w a sd i s c u s s e db ya p p l y i n gt h ec o i n c i d e n c e d e g r e e t h er e s u l ti n 1 8 w a se x t e n d e d i nt h el a s tc h a p t e r ，w ee m p l o y e dt h es a m e a p p r o a c ha d o p t e di n c h a p t e rt w ot os t u d yt h en o n a u t o n o m o u sp l a n a rs y s t e m s x i ( t ) = 一a x l ( t ) + a ( t ，x l ( t ) ，z 2 ( t ) ) + g l ( t ，。1 ( t 一丁1 ) ，z 2 ( t z ；( t ) = 一b x 2 ( t ) + 2 ( t ，z l ( t ) ，x 2 ( t ) ) + 9 2 ( t ，x t ( t 一亿) ，z 2 ( t 一乃) ) 一q ) ) as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fn o n - c o n s t a n tp e r i o d i cs o l u t i o n sw a so b t a i n e d ，w h i c he x t e n d e dt h er e s u l ti n 2 8 o na u t o n o m o u s s y s t e m s k e yw o r d s ：f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p e r i o d i cs o l u t i o n s e x p o n e n t i a ld i c h o t o m y 】f i x e d - p o i n t ，c o i n c i d e n c ed e g r e e 前言 众所周知，微分方程周期解问题具有非常重要的理论意义和实际意 义。由于考虑时滞的影响，泛函微分方程( f d e ) 比常微分方程( o d e ) 更能客观反映事物的发展规律，这使得泛函微分方程周期解理论有着 广泛的应用背景和研究价值。它与物理、化学、生态系统、工程系统、 社会经济活动等中的一些重要问题息息相关，比如说，多物种生态系 统的全局稳定周期解的存在意味着各种生物能共同持续生存，等等。 因其广泛的应用前景，周期解问题一直都是泛函微分方程理论中最重 要的研究课题之一。很多学者都对其进行了深入地探讨。 另一方面，时滞增加了研究问题的难度。泛函微分方程周期懈的研 究要比常微分方程困难，因此也没有统一的方法。近年来，众多的学者 针对某些具体类型的泛函微分方程，采用了各种各样的方法，得到了一 系列关于周期解存在性、唯一性和稳定性的结果，如范等 3 2 1 1 3 3 用不动 点理论讨论了几类中立型方程( n f d e ) ，证明了有限时滞n f d e 解的 等度最终有界蕴涵周期解的存在性，无限时滞d 算子型线性n d e 存在 周期解当且仅当存在有界解，从而推广了著名的y o s h i z a w a 周期解定理 和m a s s e r a ，i l c h o wsn 等的结果；彭等 3 4 1 运用矩阵测度和k r a s n o s e l s k i i 不动点定理，研究了一类无限时滞f d e 周期解的存在性和唯一性；鲁 运用f o u r i e r 级数理论研究了一类f d e 的周期解，等等。 本文运用指数型二分性理论、不动点及拓扑度方法，讨论了几类 f d e 的周期解问题，得到了一些新的结果。 第一章指数型二分性与泛函微分系统的周期解 本章我们讨论非线性泛函微分方程 一( z ) = a ( t ，x ( t t ( ) ) ) l ( ) + f ( t ，z ( t r ( t ) ) )( 1 1 ) 的周期解的存在性 对于常微分方程，林| 5 证明了：如果对于任意周期函数# ( f ) 线性 系统 z ( t ) = a ( p ( ) ) z ( t ) 具有指新刑_ 分性，且二分性常数o ，p 及投影p 与妒( ) 无关，则当 e ( t ) 为连续周期函数时，系统 z ( t ) = 4 ( z ( ) ) 。( ) + e ( t ) 存在周期解。我们将此结果成功地推广到泛函微分系统( 1 1 ) ，得到了 几个新结果。 1预备知识 1 1线性系统的指数型二分性 考虑线性系统 x i ( t ) = a ( t ) x ( t ) 。= a ( t ) x ( t ) + h ( t ) 其中a ( t ) 为扎n 连续2 ”一周期实矩阵函数h 周期函数。 定义1 11 3 1 称系统( 1 2 ) 具有指数型二分性， 及投影p ( p 2 = ) 使得 ( 1 2 ) 3 ) r - r n 为连续2 7 r 一 如果存在常数o 0 i iix(t)px-(s一)，ll(。 0 、6 0 ，使得当f ，= o ( t o 7 o ) n 【0 ，2 训时，u ( ) 曼一5 ，这里o ( t o ，1 0 ) 表示t o 的r 0 邻域。记f _ m ( 州区间长度) ，并设1 h ( t ) l p ( 常数) ，则 一蒜印= ：。2 丽川2 五 ( 的含义同定义1 2 ) 。 引理1 2 4 1 若系统( 1 2 ) 具有指数型二分性，则系统( 1 3 ) 存在唯一 的2 丌一周期解z ( ) ，且z ( t ) 可以表示为 z ( z ) ：x ( t ) p x 一f”x(t)(，一p)xx(t)px(s)h(s)dsp ) x 一1 ( s ) h ( s ) d sz ( z ) = _ 。 一x ( t ) ( 卜一 _ 1 j 一 j l 引理1 3 僦6 】如果实矩阵- ( f ) = ( n ：，( t ) ) 。满足下列条件之一 ( 1 ) n ：。( t ) + el a , j ( t ) ls - - 7 0 i = k + 1 ，礼； j t j = 1 2 j = k + 1 那么线性系统 z ( t ) = a ( t ) z ( t ) 具有指数型二分性，且二分性常数为7 ，二分性投影p = ( 0 ：) ， 为 - 阶单位矩阵。 1 2 不动点定理 s c h a u d e r 不动点定理 1 1 1 设s 是b a n a c h 空间b 的一个有界凸闭集， 而f 是s 到自身的任意全连续映象，则f 在s 内至少有一个不动点。 s c h a e f e r 定理( 1 9 5 5 ) 1 3 1 设b 是赋范空间，t ：b 呻b 是连续映象， 它在b 的每个有界子集x 上是紧的。那么或者 ( a ) 对a = 1 ，方程z = a t x 有解； 或者 ( b ) 对0 a 0 ，使得 耳1 0 f s u 蜘pi f ( t , z ) i 品 ( 1 5 ) o 一 _ ， 一 t t ， j n n 嘶圳 + 一 ” 仃 订 2 ( i 一 9 j l j 系统( 1 1 ) 至少存在一个2 丌周期解。 为了定理的证明，先引入一个引理： 引理13 若g ( ) 是连续2 。周期函数，且满足 1 9 ( s ) i 幽 m 则 f 。r - n ( b ( s ) l d s 0 ，当 卅z 一叫i 6 时，有i f i 0 ，0 k 墨n 使得( 1 5 ) 式满足； 则结论依然成立。 定理1 2 若 ( 1 ) 对任意u c 2 。，系统 。( ) = a ( t ，u ( ) ) z ( t ) 具有指数型二分性，且二分性常数n ，p 不依赖于“； ( 2 ) 而- 一三r tj ，o h s u p i ( t , x i z l l _ r , t 簪； 一 2 d 一u 则系统( 1 2 ) 存在2 丌周期解。 证明如定理1 1 中一样，定义算子f ，由定理11 的证明知f 连 续。为了运用s c h a e f e r 定理，我们先证明以下两个结论。 命题1f 在任意有界集gcc 2 。上是紧的。 事实上，对任意u g 有： ( f c 小f ) i 曼l i x 。( 2 ) r _ i 1 ( s ) ，( s ，“( s r ( s ) ) ) 胁 j o 。 ，十 + f i i x n ( ) ( ，一r ) y 0 1 ( s ) ，( s u ( s r ( s ) ) ) l d s j ， ，e e 1 “5 i ，( s ，u ( s r ( s ) ) ) l d s( 1 9 ) j 一 ，+ o ； + b e 。“5 i ，( s 。u ( s r ( s ) ) ) l d s j = 曼仁飘卢e - o f t - s ) l m ，小刊川如 十量j ，“撕h 口e 0 ( 一( s r ( 圳出 高t + 2 n 口 。、 。 ，” f i e 咖”厂l m ，u ( s r ( s ) ) ) 胁 + n 量= 0 盯2 f i f ( 舢( ( s ) ) ) | d s = 。嚷( e ”) o ( s ，吣- r ( s ) ) ) 协 2 f e - 2 9 7 裂五；小，l 小一小肼厶 】) ，= i i 二：u g 0 2 ”i ( s ，“( s r ( s ) ) ) l d s 则i ( f u ) ( t ) ism ，从而f g 中函数一致有界。又因为 f 岳( 川 ，叫叫f ) ) 川”札m ) f + m u ( t 叫) 4 ，+ l 其中， = s u p ，i i a ( t ，u ( t r ( t ) ) ) | i ，l = 8 竺p i ，( t ，u ( t r ( t ) ) ) i e m o 2 。鬯曙】、 “ 所以f g 中函数等度连续。从而f 在g 匕是紧的。 l u 一 命题2 对任意a ( o 、1 ) ，集合0 = u ：= a f u 廿c 2 。 是有界 集。 由( 1 、1 0 ) 式知，对任意“0 ，有： i ( t ) js i ：j ；! i 百iz 2 1 i ，( s 、“( s r ( s ) ) ) f d ( 11 1 ) 令 1， ， ( n ) = 圭上s u pi f ( s ，z ) i d “，o i i ：r l t _ n “ 由定理l 。2 的条件( 2 ) 知： 6 ：恧l i r ah ，7 ) o ，当n j h4 一 蜓v 日扎鼽锄刮托 等，其中气1 等一d 由( 1 1 1 ) 知 划s毒z”俪1：lff邝，圳拈妾蚓f)_lluimi s u p 3 雨o 俪i 怖 z 凇2 毒 ( ) 脯忙忪，则黼s 羔牝一蚓s u 卵p 川黼 ，；但 另方面：e s 仲u p 。】币l u ( 矿t ) l = 丽i l u l l = 1 ，矛盾! 所以i l u l l n 。即q 有界。 由s c h a e f ( 、r 定理知，f 在c 2 。中存在不动点。定理1 2 证毕。 由定理11 及引理11 可直接得到如下推论： 推论1 1 如果 ( 1 ) 存在正常数t 7 0 及正规矩阵h ( o 和连续不恒为零的2 ”一周期函 数。( ，) ，使得 m ( t ，z ) = h ( t ) a ( t ，。) + 4 r ( t ，x ) h ( t ) + h ( ) 的所有特征根满足： a t u 0 ) 0i i x l i n o ，t r ，i = 1 ，2 n ( 2 ) 存在k ，0 k n o ，使 碳1 翟i f ( s u pi f ( 胚芸后 i 。：。t ，石) | 丽1 污 “z “ 0 ，使 ( 1 】) j - - 骢五i 0 f 2 n 潞i ，( f ，啪 0 使得i a ( h ) l p 。取p = 3 以，则 i tc t ) l = 以i 忑f 币丽sp = h c 札a c t ，( i ) ，+ rc t ，( ：) ，h c t ，+ h 印， = ( 一2 + s i n ：+ 卫+ 可 一。+ 。：+ 。+ y ，)一2 + c o s ( t + r + ) ， 易见m 的特征值凡一1 ，取u ( t ) = 一1 ，从而引理1 1 的条件成立。 由于 hr ( 排z 以 因此对充分大的k 0 ，有 天1 溉s u p 。卜( 引茄 ；2 + v 2 三n 2 i4 i 由定理1 1 知系统( 1 1 2 ) 存在2 ”周期解。 第二章三阶泛函微分方程的周期解 这一章，我们讨论三阶泛函微分方程 2 f l fjt 【n 1 。7 t t ) 十d ，。：7 ：( 一 ) 】+ g l ( z ( t ) ) + 9 2 ( 。( t r ) ) = p ( f ) ( 2 1 ) 周期解的存在性，推广了文f 1 8 的结果。 1拓扑度与引理 定义21 设x ) 是b a n a c h 空间，有界线性算子了_ ：x - l 称为 一个f r ( 、d h o h n 算子，若： ( 1 ) i m t 闭； ( 2 ) d i m k e r t 。； ( 3 ) c o d i m t m t 0 ，作连续函数中： o + x ) 一r ， 使之满足 ( 1 ) 存在口r ，满足0 o 0 ，觑兰0 ，使得l 皿( z ) ism i + 觑l z i ，z 月，( n = l ，2 ) 为方便，记 b = 2 ( 1 a 1 1 + 1 6 l i ) + ( 4 7 r 2 + 1 ) l b o + l b 2 l + 4 丌( p l + 屈) ( 2 一i b 2 i ) f = i b l + 2 ( 口l + 院) 对于方程( 2 1 ) ，我们有 定理21 若 【1 ) 条件( 何) 成立； ( 2 ) l 疗o + b o l 口l + 3 2 ，且i b 2 | 1 “i 十b ( 1 n 2 1 + p 2 1 ) + f 、b ， 则方程( 2 1 ) 至少存在一个周期解。 证明记 x = z iz c 3 ( r r ) ，x ( t + 27 r ) = z ( t ) ) z = z l ；c ( r ，r ) ，z ( t + 2 7 r ) = z ( t ) 定义范数： h 。2 蚝i n m & x 。】i z ( ) l ，i x l 。2m a x 。，。，矽k l z i 。) 易知( y 姚( z ，i i o ) 均为b a n a c h 空间。 定义算子： 1 5 l ：x - z ，( l x ) ( t ) = o ( t ) 、3 2 x 显然l 是线性算子，且k e 儿= r ，m l = 。z ：上。( t ) d t = o ) ，从而 i u d ( l ) = d i m k e r l c o n d i m l m l = 0 且h n l 是z 中的闭子空间。所以l 是指标为零的f r e d h o l m 算子。 定义投影： 1r 2 p 嘣_ k e r “p 拈嘉上x ( t ) d t ，蚝x q ：z _ z m l ，q 。2 嘉j o 2 ( t ) d t ，。z 易知h n p = k e r l = r ，l m l = k e r q ，故l _ p = i l 。，p ：k e r p _ l m l 是 到上的一一映射，从而有逆k ，：，m l k e r p 易证k p 是紧线性算 子，从而l 的广义逆k 朋= k p ( i q ) 也是紧算子。定义v ：x _ z 如 下： 2 ( z ) ( t ) = 一 a i z ( i ) ( t ) + 坟z ( ”( t t ) 】一9 1 ( z ( ) ) 一9 2 ( z 8 一r ) ) + p ( t ) ，= 0 由假设知n 连续，且将有界集映成有界集，因而对x 中的任意有界开 集n ，q _ 、：甄_ z 及只? n ：甄- z 均在丽上紧，故v 是一紧的。 考虑算子方程 、l：c=ane a ( 0 ，1 ) l u 即 t 卅( t ) + a o ，丁7 ( t ) + 饥t 2 ( t n ) 】十a 9 1 ( z ( ) ) + a 9 2 ( z ( t 丁) ) = a p ( f ) ( 2 2 ) 当a = 1 时，( 2 2 ) 即方程( 2 1 ) 为了方便，记 忙忙( 门州) 1 2 d t ) 5 xec ( r 假设对某a ( 0 ，1 ) ，x ( t ) x 是方程( 2 2 ) 的解如果桫| | = 0 ， 则。【) 为常数，从而它也是( 2 1 ) 的解，定理2 1 显然成立。以下设方程 ( 2 2 ) 无常值解，所以l i x | 0 对方程( 22 ) 从0 到2 7 r 积分得： r 2 rr i t r 上+ b o 坤) + g l ( r ( f ) ) + 9 2 ( t ( 洲出。0 p ( t ) a t 7 故存在t ( o ，2 丌) ，使得 ；“。6 0 l i 卫( t ) j 茎7 1 , + l g l ( x ( t 4 ) ) l 十i 目2 ( z ( r ) ) i 冬m + m 1 + m 2 + ( 卢1 + 岛) i z ( t + ) l 其中m = m a 。x 。忡) l ，所以 i x 胚嚣群寄= a 协。， 所以对t 0 2 , 7 】，有 l z 。i z ( ) l + 一2 ”l z 7 ( ) l d t s d + 上2 ”i z 7 ( t ) l d tj 0 利用h s l d e r 不等式，得 ，孙m f ) | d f 历| |( f ) | d f 2 7 r | | j 0 因此 曼d + 、际i( 2 4 ) 从而 ( 存酬。出) 5 ( o 韶) 5 磊l z l o 瓜d + 2 - l l x 川( 25 ) 用r m ) 乘以( 2 2 ) 并从0 到2 ”积分得 一i i x t 1 2 + a 。，i i z 7 1 1 2 + a 6 。z “。( t 一罚) z 心) 出+ m 。：0 2 r x t ( 1 ) 。心) d t + a k z “( t n ) z ( t ) d t - t - z ( t ) 岫l ( z ( ) ) + 9 2 ( _ ( t r ) ) 】d ，0 j 0 。 。 ，y2 7 = a r ，( t ) p ( t ) d t j n 所以有 z ”1 1 2 冬l o z 川2 + i b o i i i x l l l l x 川十1 6 。1 | i t 2 + 扣2 i i i z i i l i x 吲+ v 啄m l l x 7 + | | z | | ( z 2 。1 9 ，( z ( t ) ) 1 。d t ) 5 + i l z ，l l ( z 2 ”1 9 。( t ( 一，) ) i 。d t ) 5 由式( 2 4 ) ， 有 其中 b= d= ( 2 5 ) 及定理2 1 条件( 1 ) 并注意到 i m 憎i i s ；( 1 l x 1 1 2 + i i x l l “ i l ? ”1 1 2s 且l l ? 1 1 2 + c l i x | | + d( 6 ) 2 ( 1 a 1i + l a 2 1 ) + ( 47 r 2 + 1 ) l b o l + | 6 2 j + 4 ：r ( 3 l + 膨) ( 2 一i 幻1 ) 2 、互；f 2 7 r | 6 0 l d + m + 且1 1 + j 如+ ( 口1 + 岛) d 】( 2 一i b 2 1 ) 7 ；d 2 1 用x n ( ) 乘以( 2 2 ) 从0 到2 n 积分，得到： 一n 。 i z 7 1 1 + a ：l l z 1 1 2 + b of f 。x ( t - t o ) z ”( t ) d t + b l z 2 。z ( t 一1 ) z 7 7 ( t ) d t + 6 。i 1 tx i i ( 一亿) z ( z ) d z + ：2 ”z ，。) 口。( z ( t ) ) d t + z 2 ”z ”( t ) 9 。( 。( t r ) ) d t t 2 n 2 o 一( t ) p ( t ) d t 所以 0 1 1 1 il 2 茎l a 。l l l x ”1 1 2 + i b o l i l x l | 2 + | 6 z 1 1 1 1 z i i + i b 2 l l l x 1 2 + 、万m | i z ” + l i z i j ( z 2 ”1 9 。( 。( ) ) i z d ) 5 + i i ；，”* ( z 2 ”1 9 。( z ( 一，) ) | z d t ) 5 1 8 一 由定理2 1 条件( ! ) 及式( ：6 ) 得： l ( i n o i 一 b 0 1 ) 一( 1 d 2 1 + i b 2 1 ) b l l 训2 茎c ( i 凸2 i + | 6 2 ) l i z i l + d ( i 。2 i + i b 2 1 ) + ( e 十f i i t t 1 ) ( b i i z 1 1 2 十( 、i h l i + d ) 1 7 2 其中e = 历( + ，】+ 如+ 。，l d + 岛d ) ，注意到： ( b l 沁，| | 2 + c l l z ie + d ) 2 西| 1 z i i + v 伍l l x 1 1 1 7 2 + 西 从而 【( 1 。 一i b 0 1 ) 一( 1 a 2 i + i b 2 1 ) b f 西川。1 1 2 si c ( 1 0 2 1 十i b 2 1 ) + e 、面十f 五】z 7 1 l + f 虿| 1 一1 1 3 2 + e , - d l l z l 1 2 + i e 五+ d ( 1 a 2 1 + i b 2 1 ) 因此存在正常数n 。，札：，n 3 ，n 4 ，使得 令y = 憎2 ，则 故存在p 0 ，使得p ，因此： | | p 2 = d 由式( 2 ) 及( 27 ) 知 x l o 墨d + 2 7 r d l = r ： ( 27 ) 再由式( ? 6 ) 知存在d 。 0 ，使得忪”| | 0 ，使 o r ；1 f tr ! ( ) 弼 由式( 2 2 ) 知 2 i x ( ) is( i n 。i + i 钆i ) 1 z 2 i o + ，n + m l + m 2 + ( p l + 岛) i z l o l = 0 2 ( 1 a d + l b d ) r ；+ i + ( j l + 也) r ；+ m + a ，1 + m 2 = r ： 1 9 令a = m a x r l ，鹛，瞒，扁) ，取f l = zex ，3 o ) ，则当 r = 4 时 q n z = 一( 咖+ 6 。) a b ，( a ) + 9 ：( a ) 】+ 去z 孙p ( ) 毗 一( a o + b o ) a + 1 9 l ( ) + 9 2 ( a ) l + m 二 一( n o + ) + ( 玩+ 口2 ) + ( m + ，l + 如) 0 故在0 n n k e r l 上，q n ( z ) 与q n ( 一) 方向不相同，由引理2 1 知： d e g ( q n 、n n k e r l ，日) 0 从而引理2 2 的条件全部满足，因此方程( 21 ) 至少有一个周期解。 定理2 2 对于方程( 2 1 ) ，如果 ( 1 ) 定理21 的条件满足； ( 2 ) p ( t ) 不为常数， 则方程( 2 1 ) 至少存在一个非常值的2 丌周期解。 证明：由定理2 1 知方程( 21 ) 存在2 ”周期解， 现设z ( t ) 三c 是方程的周期解，代入( 2 ，1 ) ，得到 p ( t ) 三( o o + b o ) c + 9 1 ( c ) + 9 2 ( c ) = c o n s t 与定理2 2 条件2 ) 矛盾，证毕。 【；主】将原方程中9 l ( z ( f ) ) 改成g 。( t ，丁( ) ) 定理2 , 2 中条件( 2 ) 相应改 为： ( 2 ) 对任意常数c ，p ( t ) 一g 。( t ，c ) 不是常数 则定理2 1 定理22 的结论依然成立 3一个例子 考虑三阶泛函微分方程 ：l i f t ( ) + a o x ( t ) + t ”( 一n ) + x t ( t 一砭) + s i n ( t + z ( t ) ) + s i n x ( t r ) = p ( t ) ( 2 8 ) 其中p ( ) 连续且以2 丌为周期，由于 1 9 1 ( f z ) i = is i n ( t + ? ) is1 ，1 9 2 ( z ) i = ls i n z l 兰1 故可取伪= 伤= 0 ， ，1 _ ，2 = 1 ，且易计算出b = 3 ，f = 1 ，于是 由定理2 1 知：只要i a o l 3 + 怕，方程( 2 8 ) 至少有一个2 丌周期解。 另外，若对任意常数c ，p ( t ) 一s i n ( t + c ) 非常数，则该方程存在不为 常值的2 ”周期解 第三章平面非自治系统的周期解 1引言 已经有很多作者对平面系统的周期解作了研究，如【2 5 】， 2 7 分别 对平面系统 fz ：( ) = - - 3 ：1 ( ) + 0 _ 厶( 。l ( t f ) ) 。2 ( 一7 - ) ) i 。；( t ) = 一z 2 ( t ) + ，2 ( z l ( t r ) ，z 2 ( t r ) ) 和 jz j ( ) = - - a o x l ( t ) + o l 州z l ( t r 1 ) ，x 2 ( t 一砭) ) 【- j ：( f ) = 一b o a2 ( ，) + b i 止( ，r i ( f t i ) ，1 2 ( f 一2 ) ) 进行了讨论，文献【2 8 运用重合度研究了自治系统 lz ：( ) = 一口o z l ( ) + n l f l ( x l ( 一n ) ，x 2 ( t 一以) ) iz ：( t ) = 一b o z 2 ( t ) + b l ，2 【z l ( t n ) ，x 2 ( t 一4 ) ) 均得到了存在非常值周期解的条件。本章利用重合度理论讨论更一般 的非自治平面系统 j z j ( t ) = 一 g x l ( ) + ( t ，z l ( t ) ，z 2 ( z ) ) + g l ( t ，石l ( 。一7 1 ) ，。2 ( 。一2 ) ( 3 1 ) i 。：( t ) = - b x 2 ( t ) + s 2 ( t ，x l ( ) ，z 2 ( t ) ) + 9 2 ( t ，x l ( t 一丁3 ) ，x 2 ( t q ) ) 、 周期解的存在性。其中，a , b 为常数。 ，虮：r 3 _ r ( i = 1 ，2 ) 连续且关 于以2 丌为周期我们用到下列条件 ( 日。) 3 f , 0 ，使得 j l ( t ，z ，y ) 1sf( t ，t y ) er 3( i = 1 ，2 ) ( h 2 ) 3 g ， 0 ，口：0 ，屈0 ，使得 i ，( ， f 口) l 茎g ，4 - f 、， l + 。，l 弘r ) r ( 7 = l ，2 ) 2主要结果及证明 对于系统( 3 1 ) 我们得到如下结果 定理3 1 若以下条件满足 ：1 2 ( 1 ) ( h ，) ，( 凰) 成立； ( 2 ) 1 0 l n 1 m a x 2 n l o i o l ，0 2 ) ，i b l 一3 2 m a x 27 r l b l f ，2 p l ： ( 揣咄) ( 忐一佛) 啪， 则系统( 3 1 ) 至少存在一个2 丌一周期解。 证明设 y = z = ( ? 1 t 2 ) t ：。1 ，z 2 c ，z 1 + 2 7 r ) = z 1 0 ) 、z 2 ( + 2 7 r ) = z 2 ( f ) 定义范数 ( z 1 一r 2 ) 7 | | ：2 。m 【。a 2 x 。 l z ( t ) l + m i 。a ，2 x 。】i z 2 ( t ) i ，( z l ，z 2 ) 7 j 、j 则( x ，m i i ) ，( z ) 均是b a n a c h 空间。定义算子 l ( ( 芝)p ( ：) = q ( ：)( 垮x 容易证明l 是指标为零的f r e d h o l m 算子，p ：x _ k e r l 和q ：z _ z i m l 是投影，并且对任意有界开集ncx ，n 在再上是l 一紧的。 对应于算子方程 lr = a v l 我们考虑系统 j z j ( t ) = 一a a x l 托) + ( t ，z l o ) ，勋( t ) ) + a 们( ，z l ( t 一丁1 ) ，。2 ( t n ) ) ，冀们 【z ；( t ) ：一a b v 2 ( t ) + m 2 ( t ，z 1 ( ) ，z 2 ( ) ) + a 9 2 ( t ，t l ( t 一乃) ，：r 2 ( t 日) ) 。 对( 3 2 ) 中的第一式从0 到2 丌积分，得到 ，2 ”r 2 ”r 2 “】( ) 小2 上 ( t , x l ( t ) t 2 ( f ) ) d h 上g l ( t ，z 1 ( f1 ) ，z 2 ( 一n ) ) m 因此必存在【0 ，2 丌】，使得 ，2 ”r 2 2 ”“( f ) 3 工，l ( 。，。i ( ) ，z 2 ( ) ) “t + 0 g l ( ，z l ( 一r 1 ) ，地( 一n ) ) 小 、lii n n 一 一f 2 2 z z n 飞 一 一 0 丁 z f l 2 9 9 + + 、)、j、)、j 0 2 2 茁 z 、j、j0 “ z z 0 0 厶 + + 曲幻 1 2 z z 0 6 一 一 ， = 、i 1 2 z o ， v 、illli， 出 出 t t l 2 z z 打 打 z 上。一卒磊 ， = 一2 3 所以 r 2 7 r 一2 2 f z l ( ) i 上f 1 矾+ o ( g l + “，川2 _ 丁】) l + 崩i x 2 ( 一n ) 岫 2 7 rf l + 2 g l + 、磊o li i 丁11 | 2 + 、磊j 1 协2 1 1 2 即 、丽j n i i z l ( f ) i 兰、面( e + g 1 ) + n i | z 。1 l 。+ ，i l z 2 1 1 2 而对于任意t 【0 ，2 ”l ，有 旧1 ( z ) i 曼l z l ( f ) l + f i茁：(t)ldtixl7f( ) l + 、2 7 r 1 | 茁j 忆 r z j 0 于是我们得到 瓜呲i l 胁l f i x j 眦) is 瓜l n i ( i z 删+ 厮l ，) 、磊( f i + g j ) + n 1 1 i z l l i 2 + j 9 1 l l z 2 1 1 2 + 2 7 r i a l z j l l 2 由上式，得到下面的不等式 ( i n i n 。) l l x 。i | 。s 、瓦( 一+ g ) + a | i z 2 1 1 2 + 2 ”l a l l l x ：1 1 2 对( 3 2 ) 中的第二式作同样的处理，得 ( 1 6 1 一岛) l i z 2 | | 2 曼、蕲( 局+ g 2 ) + 血2 i l z l i l 2 + 2 7 r 1 6 | z ；1 1 2 故 将( 3 2 ) 中的第一式乘以z ；( t ) 并从0 到2 1 r 积分，得到 ，2 ” 嚏上i x ( t ) i t f l ( t m ( t ) ，z 2