（基础数学专业论文）高借款利率下投资策略受限制的美式未定权益定价.pdf

摘要 本文研究了有摩擦金融市场中的美式未定权益的定价问题。在标的 资产价格方程服从连续时间i 协过程模型的金融市场中，我们考虑金融 市场的摩擦性同时表现在两个方面：一是借款利率总是高于存款利率； 二是投资策略受到限制。在这种金融市场中，美式未定权益的上下套期 保值价格可以分别表示为 。，( ) = s u p 。( o ) ，h l 。( k ) = i n f 巩，( o ) 。 ( “m 口( v , t t ) e z 这里仉，。( o ) 是美式未定权益在辅助的无摩擦金融市场地，。中的无套利 价格， ，。弘) d ) 是被适当选择能反映上述市场摩擦的辅助的无 摩擦金融市场类。进一步，在基于金融市场无套利的准则下我们可以证 明 h t o w ( 髟) ， 。，( 彭) j 为美式未定权益的无套利价格区间，即如果美式未定 权益的价格属于这个区间则它一定不能产生套利，否则它一定能产生 套利。最后在投资策略受到某些具体限制的情形下，以美式看涨期权为 例，我们给出了上下套期保值价格的显式表达式或估计式。 关键词：未定权益，套期保值，定价，套利，摩擦市场，b l a c k - s c h o l e s 公式，随机控制，等价鞅测度 a b s t r a c t t h e p a p e rs t u d i e st h ep r o b l e m o f p r i c i n ga m e r i c a nc o n t i n g e n tc l a i m s ( a c c s ) i naf i n a n c i a lm a r k e tt h a th a sf r i c t i o n si nt h ef o r mo fc o n s t r a i n t so np o r t f o r l i oc h o i c e a n dah i g h e ri n t e r e s tr a t ef o rb o r r o w i n gt h a nf o rl e n d i n g t h es e t t i n gi st h a to fa c o n t i n u o u s t i m ei t 5p r o c e s sm o d e lf o rt h eu n d e r l y i n ga s s e t s u n d e rt h ea b o v e f r i c t i o n st h eu p p e r h e d g i n gp r i c ea n dt h el o w e rh e d g i n gp r i c eo fa na c c a r er e s p e c t i v e i y 。h a 。8 。8 2 8 d a 3 u p ( k ) 2 似s u l u p ；口巩，p ( o ) ， 。w ( k ) 2 ( 。盔l d 乩，p ( o ) t h e r e ( r ，“) 口 l ”，驯t 仉，“( o ) i st h ep r i c e o ft h ea c ci na n a u x i l i a r yf r i c t i o n l e s sm a r k e t 尥，“a n d t h e f a m i l y 胁，p i ( ，p ) 口) i ss u i t a b l y c h o s e nt or e f l e c tt h em a r k e t f r i c t i o n s f u r t h e m o r e ，b a s e d o nt h ep r i n c i p l eo f a b s e n c e o f a r b i t r a g e ，w ec a np r o o f t h ei n t e r v a l 愚j 。w ( 。k ) ， u p ( k ) 】i s t h ei n t e r v a lo fa r b i t r a g e - f r e ep r i c e so ft h ea c c ；n o p r i c ei nt h ei n t e r i o ro f t h i si n t e r v a lp e r m i t sa r b i t r a g e ，b u te v e r yp r i c eo u t s i d et h ei n t e r v a ld o e s f o rs e v e r a lc o n c r e t e c o n s t r a i n t so np o r t f o l i o ，e x p l i c i tc o m p u t a t i o n so re s t i m a t i o n so ft h eu p p e rh e d g i n g p r i c e a n dt h el o w e rh e d g i n g p r i c ea r ec a r r i e do u ti nt h ec a s eo fa m e r i c a nc a l l o p t i o n k e yw o r d s ：c o n t i n g e n tc l a i m s ，h e d g i n g ，p r i c i n g ，a r b i t r a g e ，f r i c t i o n a lm a r k e t ， b l a c k s c h o l e s f o r m u l a ，s t o c h a s t i cc o n t r o l ，e q u i v a l e n tm a r t i n g a l e m e a s u r e s 2 0 0 4 复旦大学硕士学位论文 第一章引言 金融数学在过去三十多年中得到了非常迅猛的发展，特别是等价鞅 测度的引入，使得随机分析和随机控制成为解决数学金融问题一个强有 力的工具。 未定权益定价问题的研究是金融数学的一个重要分支。早在1 9 0 0 年，b a c h e l i e r 就开始对欧式未定权益的定价进行了研究，这也宣告了金 融数学的诞生。但直到1 9 7 3 年，这一问题的研究才得到了革命性的进 展，那一年，b l a c k 和s c h o l e s 4 发表了著名的b l a c k s c h o l e s 公式，在基于 金融市场无套利的准则下，给出了完备的无摩擦的连续i t 6 过程模型金 融市场中的欧式未定权益b 唯一的无套利价格，记作u ( o ) 。在无摩擦 的连续i t 6 过程模型金融市场中，所谓市场是完备的是指任何未定权益 都可以被可允许投资策略所复制。市场是完备的一个充分必要条件是存 在唯一一个与原概率测度等价的新概率测度使得折现的基本资产过程 在这个新概率测度下为鞅。这个新概率测度就是所谓的等价鞅测度，我 们记作p o 。事实上，上述欧式未定权益唯一的无套利价格u ( o ) 等于它 在等价鞅测度p o 下的折现值期望，即u ( o ) = e 0 【p ( t ) 引，其中卢( ) 为贴 现因子过程，t 是b 的到期日，e o 表示在等价鞅测度p o 下求数学期 望。相关工作可以参见文献 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 2 5 3 0 】。 所谓金融市场无摩擦是指：( i ) 资产的交易时间和交易额度是连续 的；( i i ) 不存在交易费和税收；( i i i ) 对资产的交易没有限制；( i v ) 存 款和借款的利率相同。无摩擦的金融市场是一种理想化的金融市场，对 其进行研究的目的在于揭示市场的许多内蕴性质但实际上金融市场总 是有摩擦的，从而对有摩擦的金融市场的研究也变得非常重要起来。 对资产交易受到限制的欧式未定权益定价问题的研究是由c v i t a n i c 和k a r a t z a s 5 】，k a r a t z a s 和k e u 1 8 1 发展起来的。资产交易受到限制的金 融市场变得不再完备，此时欧式未定权益的无套利价格不再唯一，而 是变成了一个无套利价格区间 h i 。，h 帅】，而且b l a c k s h o l e s 价格u ( 0 ) 【h i 。，h 忡 。这里 。，是欧式未定权益的卖方没有风险的所能接受的最 低价格，我们称为上套期保值价格；h 是欧式未定权益的买方没有 2 0 0 4 复旦大学硕士学位论文 2 风险的所能情愿支付的最高价格，我们称之为下套期保值价格。区间 h ，h 帅】具有下列性质： ( 1 ) 若未定权益的价格属于这个区间，则它在金融市场中一定不产 生任何套利； ( 2 ) 若未定权益的价格不属于这个区间，则它在金融市场中一定能 产生套利。关于资产交易受到限制的欧式未定权益定价研究的相关工作 可参见文献【3 】 8 9 1 4 】【2 1 】【1 0 【2 3 。 美式未定权益是相对于欧式未定权益而言的，设t 为未定权益的到 期日，美式未定权益可以在期权有效期内任何时刻进行执行，而欧式未 定权益只能在到期日t 执行。正是由于这个区别使得对美式未定权益定 价的问题研究更有趣，更有挑战性。b e n s o u s a n 2 】在1 9 8 4 年，k a r a t z a s 1 5 】 在1 9 8 8 年对完备的无摩擦金融市场中的美式未定权益定价问题进行了 研究，得到了标准性的定价理论。在此金融市场中美式未定权益b ( ) 的 无套利价格u ( o ) 唯一的，且u ( o ) = h 。= f 。= s u p ，。e 0 卢( r ) 口( 7 _ ) 】。其中 妒表示取值于 0 ，t 】的一切停时全体。 k a r a t z a s 2 1 又在1 9 9 8 年对资产交易受到限制的美式未定权益的定 价问题进行了研究，在基于金融市场无套利的准则下，得到美式未定权 益的无套利价格区间m 。， 。，】 本文研究的也是有摩擦金融市场中的美式未定权益的定价问题。但 我们所讨论的金融市场的摩擦性同时表现在两个方面：一是借款利率总 是大于存款利率；二是资产的交易受到限制。 在文章得第二部分，我们对借款利率总是大于存款利率的金融市 场进行建模；在第三部分，我们首先给出了美式未定权益b ( ) 及其上 下套期保值价格 。和7 z c 。定义，然后对完备的无摩擦金融市场中的美 式未定权益的标准性定价理论进行了简单的回顾；在第四部分，我们对 投资策略受到限制的情形进行建模并提出了高借款利率下投资策略受 到限制的美式未定权益的定价问题。在这种情形下，我们用m ( k ) 表示 存在上述两种摩擦的金融市场， 。，( k ) 和 r 。( ) 分别表示美式未定权 益目( ) 在m ( k ) 中的上下套期保值价格；第五部分和第六部分是本文的 主要结果，在这两部分我们将证明如何计算 。，( k ) 和h z 。( k ) 。类似于 2 0 0 4 复旦大学硕士学位论文 3 文献 5 6 】【1 8 的证明方法，我们适当引入反应上述两种市场摩擦的辅助 的无摩擦金融市场类 帆，。p ) 口) ，设每个辅助金融市场帆，。的等 价鞅测度为p 一，贴现因子过程为风，。( ) ，则美式未定权益b ( ) 在市场 尬，。中无套利价格为 巩，p ( o ) = s u pe “ 风，p ( r ) b ( 7 _ ) 】，v ( ，卢) 口 r 我们使用随机分析和随机控制的工具可以证明： h u p ( k ) = s u p 巩，p ( o ) = s u ps u pe “” 风，“( 7 _ ) b ( 7 _ ) 】 【，【，口7 t 。w ( k ) 2 ( 。i n ) f 。口巩，“( o ) 2 ( 。离l 。翼g e “ 风，“( r ) b ( r ) 】 在第七部分，我们给出了金融市场m ( k ) 的无套利准则并证明了 h t o w 畔) ， 。，( k ) 是美式未定权益b ( ) 的无套利价格区间；第八部分，在投资策略 受到某些具体限制的情形下，利用本文结果我们给出了美式看涨期权的 上下套期保值价格的显式表达式或估计式。 2 0 0 4 复旦大学硕士学位论文 4 2 1 标的资产 第二章数学模型 设金融市场m 中有d + 1 种标的资产。一种是所谓的无风险资产， 我们称之为债券或投资者的银行账户，t 时刻的价格用p o ( t ) 表示，假定 它在时刻区间 0 ，t 满足如下常微分方程： d p o ( t ) = p o ( t ) r ( t ) d t ，p o ( o ) = 1( 2 1 ) 其中，r ( t ) 称为时刻t 的短期利率。另外d 种资产是所谓的风险资产， 我们称之为股票，t 时刻价格用毋( t ) 表示，i = 1 ，d ，假定它们在时 刻区间 0 ，t 】满足如下的随机微分方程： d d p i ( t ) = p i ( t ) ( b i ( t ) d t + a o ( t ) d w j 0 ) ) ，1 isd ，只( o ) = p ；( 0 + o 。) ( 2 2 ) j = l 在方程( 2 2 ) 中，w ( t ) = ( m ( t ) ，( t ) ) + ，0 t t ( + 表示向量的转置) 为带域流的完全概率空间( q ，( 五) 。t ，p ) 上的一个d 维标准b r o w n 运 动，其中( 五) 唧t 为b r o w n 运动w ( ) 生成的自然。一域流的扩张。b i ( ) 称 为股票的平均回报率，a 订( ) 称为股票价格的波动系数，a 0 为第i 种 股票的初始价格。记b ( t ) = ( b l ( t ) ，6 d ( t ) ) + ，o ( t ) = ( ( t ) ) d d ) 0 t t 。 设6 ( t ) ，r ( t ) ，口( t ) ，0 t t 满足下列通常的假设凰： ( 1 ) 过程6 ( ) ，r ( ) ，盯( ) 为【0 ，t 】xq 上的) 唧s 丁循序可测过程； ( 2 ) 过程6 ( ) ，r ( - ) ，d ( ) 在【0 ，t q 是一致有界的； ( 3 ) 对v ( t ，u ) 0 ，t q ，矩阵盯( t ，“j ) 的逆( 7 - i ( t ，u ) 存在，并且在 0 ，t 】n 是一致有界的。 下面我们讨论一下等价鞅测度。由假设1 知，金融市场m 的风险 市价过程日( - ) 为 o ( t ) 竺( 7 - - 1 ( t ) 【6 ( t ) 一r ( t ) 1 】，0 茎ts 正1 = ( 1 ，1 ) + r 8( 2 3 ) 并且在 0 ，t 】q 是一致有界的。从而口( ) 满足n o v i k o v 条件e e x p ( j 詹i i o ( 9 1 1 2 d s ) 1 + o o ，因此过程 z o ( t ) 竺e x p ( 一上矿( s ) d w ( s ) 一i 上i i o ( s ) 1 1 2 d s ) ，o t t ， 2 0 0 4 复旦大学硕士学位论文 在概率测度p 下为鞅( 参见 1 9 】) 。定义厅上与p 等价的概率测度p o p o ( a ) 垒e z o ( t ) i a ，a ，( t ) 由g i r s a n o v 定理( 参见 1 9 j ) 知在概率测度p o 下， ( f ) 垒彬( t ) + z 。口( s ) d s ，os ts 丁 ( 2 4 ) 为一个标准b r o w n 运动。定义贴现因子过程 肿) 垒赤= e x p ( 一f o t r ( s ) d s ) ，。t t 由( 2 2 ) ( 2 4 ) 和i t 6 乘积公式易知贴现股票价格过程岛( ) 只( ) 满足下述随 机微分方程 d f l o ( t ) p i ( t ) = 阮( t ) 只( t ) 【( k ( t ) 一r ( t ) ) d t + a i j ( t ) d w j ( t ) 】 i 1 = 风( t ) p i ( t ) i ( 堍( t ) 一r ( t ) ) d t + 盯i j ( t ) ( 一o j ( t ) d t + d w 誓o ( t ) ) 】 j d = 阮0 ) p i ( t ) 【( 6 ( t ) 一r ( t ) ) d t 一( 玩( t ) 一r ( t ) ) d t + 盯甜( t ) d 时o ( t ) d j = l = f l o ( t ) p i ( t ) ( t ) d 叫o ( t ) ，风( o ) 只( o ) = p i 从而在概率测度p o 下，贴现股票价格过程风( ) 只( ) ，i 一1 ，d 为鞅。 p o 就是所谓的等价鞅测度。 2 2 财富过程和可允许策略 在实际的金融市场中，存款和借款利率总是不一样的，借款利率总 是高于存款的利率。若投资者持有债券的市值为正时，我们认为该投资 者在货币市场有储蓄，若投资者持有债券的市值为负时，则我们认为投 资者在货币市场有借款。我们设t 时刻借款利率为r ( t ) 并假设它满足如 下假设皿 ( 1 ) 兄( ) 是【0 ，t 】q 上的( 五) o c ；c 丁循序可测过程； 2 0 0 4 复旦大学硕士学位论文 6 ( 2 ) r ( t ，u ) 2r ( t ，u ) ，a e ( t ，u ) 【0 ，t 】q ； ( 3 ) r ( ) 在 0 ，t 】q 上一致有界。 定义2 1 一个) o 。c t 循序可测过程7 r ：【0 ，t 】q _ r 8 称为一个投 资策略，如果口 i 霄( t ) 1 1 2 + o 。，8 e 。 定义2 , 2 一个( 五) ! t 循序可测过程c ： 0 ，t 】q _ 【0 + o o ) 称为 消费过程，如果c ( o ) = 0 ，c ( t ) 1 ， e o ( a 尸 o o( 2 8 ) 使得财富过程x 叩，c ( - ) 满足 x 。“g o ) 一aa e ，v 0 st( 2 9 ) 这种关于初始财富。的可允许投资消费策略( ”，e ) 的全体记作4 。( z ) 。 由i 乘积公式，方程( 2 5 ) 可以改写为 d 俐x ( 。) + 矗酬d c ( s ) + 片删( r ( s ) 一俐( x ( s ) 一p ( s ) ) 一如( 2 1 0 ) = 。+ j ：岛( s ) 耳+ ( s ) 盯( s ) d h 7 ( o ( s ) ，0 ts t 若过程( 2 1 0 ) 中投资消费策略( ，r ，e ) 是可允许的，则过程( 2 1 0 ) 为下有界 的尸o 局部鞅，从而为p o 一上鞅。因此由可选轨道理论可得 e 。【风( r ) x ( r ) + 上风( s ) d g ( s ) + 0 风( s ) ( r ( s ) 一r ( s ) ) ( x ( s )j 0j 这里记妒叫为取值予b 的停时全体，则妒= 妒0 ，r 。 妒 ) 计 z 1 ，使得e s u p 汹b ( t ) ) 1 0 ，a + ( z ) 竺 ( 丌，c ) a ( x ) l p ( t ) f 0 ，x 。，”，口( ) 0 ，o e ，v o t 冬t ) ； 女果z 0 ，a 一( z ) 竺 ( 7 r ，c ) 4 ( z ) l p ( t ) k 一，x 。t ”，。( ) 0 ，o e ，v 0 ts t 。 这种可允许投资消费策略取值于4 ( z ) 的市场模型m 记作m ( k ) ， 类似于定义3 2 和定义3 3 ，市场m ( k ) 中美式未定权益b ( ) 的上下套 期保值价格分别定义为 。p ( j r ) 垒i n f b l 垒i n f x 0 1 3 ( 亓，e ) a + 扣) s t x 。，。，。( 下) b ( 1 _ ) ，v 7 - 妒) ，( 4 2 ) 危l 。卅( j f ) 全s u p全s u p x o l j 于妒，| ( 开，0 ) a 一( 一。) s t x 一2 。( f ) + b ( 于) o ) ( 4 3 ) h n ，、l 一p、j7 一l+ +p7 2 0 0 4 复旦大学硕士学位论文 下面我们讨论一下在本文中起着重要作用的一虬与k 一的支撑函数， 设一k + 的支撑函数为5 ( x ) 其有效定义域为耳 耳垒 zer 4 i j 卢ers t 一p + zs 卢，v p ej o ) = 。e r “1 5 ( x ) 1 ，有x ，g ( t ) 一丌 ( t ) 一k x “叩( t ) ，0 e ，v 0 = 1 d d t t ，则尺- + = p er 4 i 胁k + 1 ) ，k 一= p r “i e 以k + 1 ) ，瓦= 伽e r 4 i x l 一= x d 茎o ) ；在蟊上，5 ( x ) = 一( + i ) x l 。 2 0 0 4 复旦大学硕士学位论文 1 2 第五章上套期保值价格 在本章和下章中，我们通过引入反映市场摩擦的辅助的无摩擦金融 市场类，使用随机分析和随机控制的工具对金融市场m ( k ) 中的美式未 定权益b ( ) 的上下套期保值价格分别进行细致的刻画。下面我们首先引 入辅助的无摩擦金融市场。 定义 咒竺 口：f 0 ，刀q 寸耳一为) o 蜒r 循序可测过程， 且满足e 口( 1 | ”( t ) 1 1 2 + 6 ( ( t ) ) ) 出 + c x d ) y 垒 弘：【0 ，t j q _ r 8 i p 为) o s t s t 循序可测过程， 且满足0 p l = 肛2 = - p d - ( r r ) ，a e 【0 ，t 】xq 对v ( ，p ) 7 - 1x y ，建立辅助的无摩擦金融市场也，：设，。中的一种 无风险资产和d 种风险资产的价格方程分别为 d 胃“( t ) = 豸1 ”0 ) ( r ( t ) + d ( ( t ) ) 一p l ( z ) ) 出垒璐“( t ) r ( ”，p ( t ) d t ，跆“( o ) = 1 d 彤”( t ) = 爿“o ) 【( 如( ) + v d t ) + 6 ( ”0 ) ) ) 出+ a l j ( t ) d w j 0 ) d j = 1 竺芹“( t ) 瞄“( t ) d t + a f j ( t ) d w j ( 吼碍”( o ) = p i j = l 则r t * l “( ) ，一( ) ，盯( ) 分别为市场m 。中的短期利率、股票的平均回报 率、股票的波动系数。在金融市场帆，。中，定义贴现因子过程 垒高= e x p 一o ( 小) 州小) ) 咱( s ) ) 删 风险市价过程： 以，p ( t ) 垒g r - 1 0 ) ( 6 ( ”，“( ) r ( ”，一( t ) 1 ) = e ( t ) + g - - 1 0 ) ( 0 ) + p ( t ) ) 再定义 邑，( f ) z 、e x p 一0 2 彤，( s ) d ( s ) 一；z | j ，( s ) j 1 2d t ， w ( ( t ) 垒w ( t ) + 片乱，。( s ) d s = w 7 ( o ( t ) + 后0 - - 1 ( s ) ( ( s ) + 肛( s ) ) d s ， 2 0 0 4 复旦大学硕士学位论文 1 3 p “( a ) 竺e 乙，“( t ) 1 a 】， a f r ， 口竺 ( ，p ) 咒y 【s u pi i 盯( t ，“j ) i i + o 。) 【t ，u j e t 0 ，1 。j x e 2 则对v ( ”，芦) d ，以，。( ) 在【0 ，刃q 上一致有界，从而满足n o v i k o v 条件 e e x p ( j 仃l | 口。( s ) 1 1 2d s ) 】 ，因此乙，。( ) 为p 一鞅。再由g i r s a n o v 定理知 w ( ”，一( ) 在概率测度p w 下为一个标准b r o w n 运动。对v ( 址p ) d 定义 仉，。( o ) 兰s u pe “慨，p ( r ) b 【r ) 】， 其中e v , u 表示在概率测度尸w 下求数学期望。 再定义 v 兰s u p 巩，p ( o ) ， ( ，脚d 一( ，盔 口巩，一( o ) ， 蜀删兰赢删，哿胖吼删b ( 7 ) 忡) 墨( 。) 兰8 ( 船l 口k “( ) ， 虬f p 叉( t ) 垒e s ss u p 矗“( t ) ( ，p ) 口 由定理3 1 知，巩，。( o ) 是美式未定权益b ( ) 在无摩擦金融市场帆，。中的 公平价格，矗。( ) 是b ( ) 在 o ，邪上的价格过程。 引理5 1 过程x ( ) 具有右连左极修正，而且对v ( u ，p ) 口，氏。( ) 叉( ) 是尸w 上鞅。 证明见附录a 。 定理5 1 在金融市场m ( k ) 中，美式未定权益b ( ) 的上套期保值价 格为 九婶( 耳) = v = s u p 巩，p ( o ) = s u ps u pe “l p ( _ r ) b ( 丁) ， l f ，pl p ，口1t p 如果v o o ，则存在投资消费策略( 亓，0 ) a + ( y ) ，使得x 眠c ( r ) = 一x ( t ) b ( 丁) ，计妒。 证明：我们先证 。，( k ) 兰v 。如果( k ) = o o 则不等式自然成立。 若 。，( k ) + o 。，则( 4 2 ) 式中的集合, 非空，从而对比吖，由纠的 2 0 0 4 复旦大学硕士学位论文 兰 一 一 定义知存在( ，0 ) a + ( z ) ，使得x 。，。，。( r ) 口( r ) ，v r 妒由方程( 2 5 ) 和i t o 乘积公式可得 函。( o x 。 。( t ) + 片函，。( s ) d d ( s ) + 矗尻，。o ) x x , i r , c ( s ) ( 6 ( ( s ) ) + p + ( s ) ”( s ) ) 4 5 + j ：阢、。( s ) ( 亓( s ) p ( s ) 一x 2 ，。，。( s ) p l ( s ) + ( r ( s ) 一r ( s ) ) ( x 。 。( s ) 一膏。( s ) ) 一) d s = z + 胁，p ( s ) 州盯( s ) 舭，o 茎。掣 ( 5 1 ) 撕娟再卜一翩m 垒 静翥芸浆淞股票 的投资比例。由( 亓，0 ) a ( 。) 知p ( t ，u ) k + a e o ，t 】n ，从而由d ( 。) 的定义知 d ( 口( t ，u ) ) + p + ( t ，u ) u ( t ，u ) 0 。e ( t ，叫) 【o ，t 】q ( 5 2 ) 再由0 芝p l = 肛2 = = p d 2r r 可得 开( t ) p ( t ) 一x z 菏，。( t ) 弘1 ( t ) + ( r ( t ) 一r ( t ) ) ( x 。才 。( t ) 一噍( t ) ) 一 ：卢。( t ) ( 妻删一x 埘 。( t ) ) + ( r ( t 卜r ( t ) ) 卵( t ) - 圣删) 一 一m ( 聊印卜塾) + + 删( f 气。一p p ) ) 一f 5 3 1 + ( r ( t ) r ( t ) ) ( x 。，。，。( t ) 一疵( t ) ) 一 = l d = 一肛l ( t ) ( x z ，。，。( t ) 一最( t ) ) + d t = l + ( 天。，女。( 亡) 一疵( t ) ) 一( m ( t ) 十r ( ) 一r ( ) 20 ，v o t t 因此由( 5 2 ) 和( 5 3 ) 知过程( 5 1 ) 为非负p 一局部鞅，从而为p ”一上鞅a 2 0 0 4 复旦大学硕士学位论文1 5 于是由可选轨道理论可得 z 三e 风，。o - ) x x , h , c ( r ) + 居口。( s ) d e ( s ) + 居尻，。( s ) x 岍，o ( s ) ( j ( ( s ) ) + 卢( s ) v ( s ) ) d s + 盯卢，。( s ) ( 亓+ ( s ) ( s ) 一x m f i - , o ( s ) p ( s ) d + ( r ( 8 ) 一r ( s ) ) ( x 。，c ( s ) 亓：( s ) ) 一) d s 】 ；= l e ”“ f l u 。( 7 - ) x x , i r , c ( r ) 三e “ 卢，( 7 _ ) b ( r ) ，v r 妒 从而由z “，7 _ 妒，( u 弘) 口的任意性可得 。，( ) l ，。 下面来证明 。，( k ) v 。如果v = o o ，结论显然成立，若v 。，由d o o b m e y e r 分解和鞅表示理论我们可以把引理5 1 中的p ”一上鞅 风，。( ) x ( ) 表示成 风m 。v 徽笳a 小，0st 墨t a ， = + 片砂：。( s ) d w 7 ( ”，“( s ) 一。( )墨 、 7 其中妒。是 o ，t i q 上取值于剧的( 五) 唧t 循序可测过程，而且 詹| ，。( t ) f 1 2 d t 。一；4 。是定义在 o ，t 】q 上的具有右连左极递 增轨道的非负( 五) o e t _ r 适应过程，而且a 。( o ) = 0 。 对v ( ，卢) 口，( a ，妒) d ，易知 r c 夙，* ( 。) = 尻，“( 。) 啷p z ( 6 ( ”( s ) ) 一d ( a ( s ) ) + 妒t ( s ) 一肛- ( s 胁 由( 5 4 ) 和i t 6 乘积公式可得 d 风，( t ) x ( t ) = d e x p ( j ； ( d ( v ( s ) ) 一d ( a ( s ) ) + 妒- ( s ) 一卢。( s ) ) d s ) 风，。( ) 叉( t ) = e x p ( 詹( 6 ( ( s ) ) 一d ( a ( s ) ) + 妒。( s ) 一卢。( s ) ) d s 阮，“( t ) 叉( t ) ( d ( ( z ) ) 一6 ( a ( ) ) + 妒l ( t ) 一p l ( t ) ) d t + 砂：，。( t ) 口一1 ( t ) ( p ( t ) + t t ( t ) 一a ( t ) 一妒( t ) ) d t d a u ，“( t ) + 1 】j ：，。( t ) d 1 y ( 1 ，”) ( t ) ( 5 5 ) 设瓢，( ) 叉( ) 有d o o b m e y e r 分解， 嘶，( ) 叉( ) = g ，( t ) d w ( 1 ，( ) 一d a ，( t )( 56 ) 2 0 0 4 复旦大学硕士学位论文 1 6 与( 5 5 ) 比较得 扒，( ) 啷p z 。( d ( a ( s ) ) 一妒( s ) ) d s = 虮( t ) e x p z 。( d ( “( s ) ) 一卢【( s ) ) 出= a ( t ) ( 5 7 ) 则 ( t ) 和( ，“) 无关。定义一个随机过程y r * ( ) = ( 亓l ( ) ，礼( ) ) + ： 亓( t ) = a 岛( ) ( ) 口一1 ( ) ，0st tf 5 8 ) 显然开( ) 是( 五) o ! e 丁循序可测过程，并且仃 亓( t ) 1 1 2 d t 0 ，t 9 ) 则p ( ) 可以看作股票的投资比例。由( 57 ) ( 5 8 ) ( 59 ) 知随机过程妒。f ) 可 以表示成 ( ) = z o ( t ) x ( t ) b 印 上s ) d ( v ( s ) ) ) 埘徘) 口( t ) = 函，。( t ) 亓+ 【加( t ) ( 5l o ) 将( 51 0 ) 带入( 5 5 ) 再与6 ) 比较可得 f 掌”( t ) d a 。，p ( cj x 0 ) p ( ( 印) + p ( f ) ( ) + 妒。( ) 灿0 ) 一弘l ( t ) l d t = f 守9 “( t ) d a ，p ( ) 一又( t ) 陋( a ( t ) ) + 卢+ ( t ) a ( t ) + 卢+ ( f ) 妒( t ) 一p 1 ( t ) t d t ( 51 1 ) 垒d g ( t ) 则卵) 与肛) 无关，再定义一个随机过程矽f ) ：f 0 ，t i q - 咒 ，t d c | ( ) 竺9 ( o ) 一、( r ( s ) 一r ( s ) ) ( x ( s ) 一亓；( s ) ) 一d s ( 51 2 ) 。 i = 1 特别地取u = 0 ，肛( t ) = ( r ( ) 一r ( t ) ) 1 f ! 。 。m 膏1 ，则0 ( f ) = 后璐“( 5 ) 姐。，( s ) 0s t t ，于是e ( ) 是一个右连左极增的( 五) o t t 循序可测过程，且 c ( o ) = 0 ，o c t ) o 。，从而d ( ) 可以看作一个消费过程。 由( i1 1 ) ( 5 1 2 ) 知随机过程a 。( ) 可以表示成 4 。( 。) = 石尻，。( s ) d 0 ( s ) + 片, b y ，“( s ) 叉( s ) 眵( ( s ) ) + 卢+ ( s ) ( s ) 】d s d + 后岛，一( 5 ) ! 骨( s ) p ( s ) 叉( s ) p z ( s ) + ( 兄( 5 ) 一r ( s ) ) ( 叉( s ) 一氟( 5 ) ) 一i d s i = 1 ( 5 1 3 ) 2 0 0 4 复旦大学硕士学位论文 1 7 下面我们建立一个重要的不等式，对v ( 。，灿) d ， 占( u ( t ，u ) ) + 声+ ( t ) 副( t ，u ) 0 ，血e ( t ，u ) 0 t 】q ( 5 1 4 ) 如果( 5 1 4 ) 成立，则由 6 1 的定理9 1 中的讨论知亓( t ，u ) ko _ e o ，t q 。 现在我们就来证明不等式( 51 3 ) ，如果存在( u 肛) 口，使得( 5 1 3 ) 不 成立，定义 只 兰( 出q ：j ( z ，( t ，u ) ) 十声+ ( ，“) 刮( t ，u ) o ) ，v o t5t ， 毋兰( ”q ：d ( u ( t ，u ) ) 十p + ( t ，u ) 训( t ，u ) 2o ) ，v 0 t t 定义 a ( ) 兰 v ( t ) i f + n ”( t ) 1 ( 1 + | | p ( ) 1 1 ) 一1 妒( ) 垒0 则( a ，妒) 口，取充分大的n ，由( 5 1 3 ) 和d ( z ) 的正齐次性可知： e 凡，( 丁) = e 【詹风，( s ) 葩( s ) + 詹陬，( s ) x ( s ) ( d ( ( s ) ) + 卢( s ) a ( s ) ) d s + 詹风，( s ) ( r ( s ) 一r ( s ) ) ( 叉( s ) 一开：( s ) ) 一d s 。 se 0 ( t ) + 仃( r ( s ) 一r ( s ) ) ( 叉( s ) 一亓 ( s ) ) 一d s + e 詹( 1 + f ”( s ) f f ) - 1 x ( s ) ( 一( s ) ) + 矿( s ) ”( s ) ) 1 砰d s j + 礼e 詹( 1 十| | v ( s ) i ) 一1 x ( s ) ( 6 ( ( s ) ) 4 - 卢+ ( s ) ( s ) ) 1 r d s 0 此与e 阻押( t ) 】0 矛盾，从而不等式( 5 1