（基础数学专业论文）两类具有负系数单叶解析函数族的性质及极值点问题.pdf

摘要 本文分为三个部分第一部分介绍了基本概念和主要结论；第二部分引进 s a l a g e a n 算子定义新的函数类五。( 口，卢，7 ) 和塌( q ，声，- y ) ，推出( 卢，1 ) 的一 些性质，找出极值点，并确定近于凸半径，星形半径和凸半径，最后还研究 塌( n ，晟，y ) 中函数的积分算子；第三部分是将( a ，p ，y ) 中第二项系数固定得 到新的函数类l ：，。( 嵋卢，7 ) ，推出联。( 玛鼠7 ) 的一些性质，找出极值点，并确 定近于凸半径，星形半径和凸半径 关键词：单叶函数；s a l a g e a - 算子；负系数；极值点 a b s t r a c t t h i sa r t i c l ei sc o m p o s e do ft h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp m t ，i ti n t r o d u c e ss o m eb a s i c c o n c e p t sa n dm a i nr e s u l t s i nt h es e c o n dp a r t ，i td e f i n e sn e wc l a s s e sl n ( a ，反7 ) a n d 工：( 口，卢，y ) b yi n t r o d u c i n gs a l a g e a no p e r a t o r ，d e r i v e sb e v e r a lp r o p e r t i e so f 二：( 口，卢，y ) ， f i n d so u te x t r e m ep o i n t sa n dd e t e r m i n e st h er a d i 蚺o fc l o 日e - t o - c o n v e x i t y , s t a r l i k e n e s s a n d c o n v e x i t y , l a s t l y w e a t s os t l l d y i n t e g r a l o p e r a t o r s o f f u n c t i o n s b e l o n g i n g t o 二：( 口，反7 ) i nt h et h i r dp a r t ，i tg e t san e wc a s s 三：c ( n ，多，7 ) b yf i x i n gs e c o n dc o e f f i c i e n ti n 二( n ，卢，7 ) ，d e r i v e ss e v e r a l p r o p e r t i e s ，f i n d s o u t e x t r e m e p o i n t s o f t h e c l a s s 磁c ( 口，芦，7 ) a n dd e t e r m i n e st h er a d i u so fc l o s e - t o - c o n v e x i t y , s t a r l i k e n e 鹤a n dc o n v e x i t y x e yw o r d s ：u n i v a l e n tf i m c t i o n ；s a l a g e a no p e r a t o r ；n e g a t i v ec o e f l l c i e n t ；e x t r e m e p o i n t 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 论文作者签名：烈小车包 日期：冽年s 月碣e t 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即； 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的 印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以允许采用影印、缩印、数 字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的的前提下，学校可以公开学 位论文的部分或全部内容。( 保密论文在解密后遵守此规定) 黧墓! 掾州 指导教师签名：1 喽刷 日期：川s 增 日期：”7 第一章引言及预备知识 第一章引言及预备知识 1 1 引言 对函数类进行研究一直以来都是复分析方向的研究内容之一在数学研究 中会遇到各种不同的极值问题及不等式，而根据泛函分析中的k r e i n - m i l m a n 定 理，许多极值问题都可以利用极值点理论得到解决从1 9 7 0 年，泛函分析中凸技 巧应用到某些解析函数类中，由此产生了一般极值问题的研究d j h a l l e n b e c k ， t h m a c g r e g o r ，r w i l k e n ，l b r i c k m a n 等国外数学家相继研究了s 族函数，p 族 函数，蜀族函数，c 族函数，t 族函数的性质及极值点问题有不少工作者 对具有负系数的解析函数的子类如d ( 卢) ，g ( 卢) ，p ( ，d + ( 口) ，g ( 声) ，p ( o ) 等进行 过研究( 【4 】“6 】，【8 】f 9 】，【1 1 】，f 1 3 】) 。k i m 和i 艚【2 也曾对s 族函数的子类五( a ，卢，7 ) 和t 族函数的子类l ( a ，芦，y ) 作过研究，对f ( a ，芦，7 ) 中函数的系数进行了估 计并找出了极值点d a r w i s hh e 将l + ( 口，晟7 ) 中的第二项系数固定并得到 函数类e ( 反，r ) ，推出了e ( a ，反，y ) 的一些性质并找出了极值点 本文分为兰个部分，第一部分为预备知识，主要介绍一些基本概念并综 述了k i m 和l e e n ，d a r w i s h ，h e 【3 l 的主要结论 第二部分是在工( 反7 ) 和扩( q 反7 ) 中引进s a l a g e a n 算子，得到新的 函数类k ( n ，卢，们和e ( 口，晟7 ) 在n ，n ，反7 取特殊值时，即为已作过研究的 特殊函数类，如q ( 0 ，卢，0 ) = g ( f 1 ) ，l i ( 1 ，声，0 ) = d + ( 卢) 文中估计系数，推出 玩( a ，卢，y ) 的一些性质。找出极值点，并确定近于凸半径，星形半径和凸半径。 还对( 卢，7 ) 中函数y ( z ) 的积分算子进行研究 第三部分是将睇( a ，卢，7 ) 中第二项系数固定得到新的函数类工：。( 反，r ) ， 文中推出工：。( n ，卢，7 ) 的一些性质，找出极值点，并确定近于凸半径，星形半 径和凸半径 湖北大学硕士学位论文 1 2 预备知识 先介绍一些函数类的记号t 设矿表示单位圆盘扛：h 1 记s = ，( z j ：f ( z ) 在u 内单叶解析且f ( z ) = 孑+ a k z 。 t = ，( z ) ：y ( z ) s 且f o ) = z 一a k z ( 口t o ) ， 矿( 。) 表示n 阶星形函数作成的类( o a 1 ) ，p ( n ) 当且仅当& t 等静 n k ( q ) 表示n 阶凸函数作成的类( 0 口 1 ) ，k ( o ) 当且仅当m l + 错 m c ( n ) 表示a 阶近于凸函数作成的类( 0 n 1 ) ，g ( n ) 当且仅当 r e f 7 ( 2 ) a 定义1 2 1 设x 为线性拓扑空问，u 是x 的个非空子集，跏是u 的 个元素如果知不能表示成，的两个不同元素的真线性凸组合，则张跚 为u 的一个极值点记u 的极值点集为e u 命题1 2 1 “e u 的充分必要条件是若0 t 0 0 _ d ) ，则 _ i ；( = ) 在d 内是单叶的 2 第一章引言及预备知识 记 l ( a ，芦，1 ) = ，( 。) ：，( z ) s ，l 石7 揣l 芦，z u 其中0 a 1 ，0 p l ，0 7 1 l ( a ，卢，7 )= l ( a ，卢，7 ) n t k i m 和l e e n 曾研究过五( n ，口，7 ) 和l ( a ，卢，7 ) 并得到以下结论t 定理1 2 2t ( z ) 三( o ，反们当且仅当 ，( 加等哥铲( z e u ) 其中妒( = ) 解析，i 妒( z ) i 芦，0 a 1 ，0 卢1 ，0 7 1 定理1 2 3 设，( z ) l ( a ，卢，r ) ，则 莆i ，( 列猎 定理1 2 4 ( z ) l ( 口，芦，7 ) 当且仅当 ( 1 + a f l ) k a k 卢( 1 + a 一，y ) 当 m ) = z 一帮( 女矧 时等号成立 推论1 2 1 ( z ) l ( q ，卢，7 ) ，则 错( 嘲) 记 鼬以们娟，( 扯口( 咖) j ，一帮一塾 其中a t , 0 ，0 c 1 ) d a r w i s h h e 1 3 】曾研究过e ( n ，反7 ) 并得到以下结论： 定理1 2 5 ( z ) e ( o ，反7 ) 当且仅当 ( 1 + , x f l ) k a k ( 1 一c ) 1 3 ( 1 + a 一7 ) 。 湖北大学硕士学位论文 当 m 陋一错 时等号成立 推论1 2 2f ( z ) l ：( a ，口，7 ) ，则 聪譬掣( ) 4 第二章蟛( a ，卢，们的性质及极值点问题 第= 章( a ，晟7 ) 的性质及极值点问题 在三( 口，反7 ) 和口( n ，芦，7 ) 中引进s a l a g e a _ l l 算子就得到新的函数类工。( a ，反们 和塌( 口，芦，7 ) 记 “( 口，刖= 坼) ：化) i 。，d 八 1 纠f ( z ) - 1 丽z l 声，z 致 其中0 a 1 ，0 芦1 ，0 7 1 联( a ，7 ) = 工n ( 口，卢，1 ) f l t 当住= 1 时，三。( 口，房7 ) 和懿( n ，卢，们分别为k i m 和1 e e 2 l 研究过的 工( o ，芦，y ) 和工+ ( 口，卢，7 ) 当n ，a ，反7 取特殊值时，即为一些已作过研究的特殊函数类例如， ( 1 ) 二：( o ，军等，o ) = p + ( a ) ，0 n n ) k i m 和1 , e e t z ，s a r a r g i 和v r a l e g a d d i 4 1 ，a l - a m i r i 5 1 曾作过p ( a ) 研究 ( 2 ) 五：( o ，卢，0 ) = g ( 卢) ，善中g + ( 卢) = ，( z ) ：，( z ) t ，l ，7 ( = ) 一1 i 芦，z u k i m 和l e e 2 l 介绍过g + ( 卢) ( 3 ) 吲l ，舯) = 州矶其中d = 州小m ) 引；揣i 卢，。 珊k i m 和l e e l 2 也介绍过d ( 卢) 下面将对玩( a ，卢，7 ) 作一些研究 2 1 瑶( o ，芦，y ) 中的系数估计 定理2 1 1 设f ( z ) = z 一a k z k ( o ) ，则l ( z ) 塌( a ，p ，7 ) 当且仅当 k = 2 ( 1 + c 咿) 七”d 七卢( 1 + o 一7 ) = 2 ” 证明( 必要性) 若f ( z ) ( a ，卢，y ) 则 吁d两nf(可z)-而zad l = “，( z ) + ( 1 7 ) z 。 一k n a k z 女 k = 2 ( 1 - i - 口一，y ) z o 女”a k z 蠹= 2 5 声如u ) 湖北大学硕士学位论文 当孑为实数时，刁多并蓦为实数 当z 从实轴上趋于1 时，得 “口f ( 1 + n 一1 ) 一o k n n k 】 k = 2k = 2 则 ( 充分性) 若 a 0 ( 1 + n 卢) k n a k 声( 1 + n 一7 ) k = 2 i d ”，( 2 ) 一z i 。a d “，( z ) + ( 1 7 ) z 一k n a k z 驴n k = i 兰飞广一i 壁l 育一 ( 1 + a 一，y p q k n d i g ( 1 + o t 一7 ) 一o t k a k l z l 0 6 ”毗 型l 百一卢 o 。 r ( 1 + a 一1 ) 一a k n a k k = 2 因此f ( z ) 二：( d ，卢，7 ) 当t l = 1 时得到定理2 1 1 的特殊情形 推论2 1 1 设，( z ) = z 一( 毗o ) ，则，( = ) l ( n ，夙7 ) 当且仅 k = 2 当( 1 + 筇) k a k 卢( 1 + n 一们 一 推论2 1 2 设b z ) = z 一o i 声( i l k o ) ，若，( z ) 玩( n ，反7 ) ，则 钆错( 知糊 2 2 e ( a ，卢，y ) 的一些性质 定理2 2 1 若0 口1 ，0 卢l ，0 讥能 l ， n ，则塌( a ，晟他) 二二( d ，反饥) 证明若，( z ) 瑶( a ，卢，讫) ，则 ( 1 + a t e ) k a k 卢( 1 + a - 7 2 ) 卢( 1 + a 一饥) 6 7 一n+l 卢鲰 n 詹 脚 筇 + p 日 第二章e ，卢，们的性质及极值点问题 由定理2 1 1 知t f ( z ) e ( o ，卢，饥) 定理2 2 2 若0 o l ，0 卢1 ，0 一r 1 ，n n ，则三：+ l ( o ，卢，7 ) c e ( o ，p ，丁) 证明因为 ( 1 + 筇) k n a k ( 1 + 筇) k n + l 毗 k = 2k = 2 从而由定理2 1 1 即可 2 3 偏差定理 定理2 3 1 设，( z ) = 。一a k z k ( a k o ) ，若，( ；) 塌( o ，尻们，则对 z c 0 i n ，有 i d i ( z ) i i ：i 一；，( 1 + a 十- 。p 3 ) j1 2 1 2 和 d i f ( z ) i 卅，( i + l 1 c 十, - 印- r ) ji z l 2 当 d i ，= z 一矧z 2 时，上面两个不等式中的等号成立 证明因为d y ( z ) = z 一k i a k z 。，由定理2 1 1 知； 2 n - i ( 1 + 卵) 鲰( 1 + 筇) k n a k 3 ( 1 + d 一，y ) 由上式可得 冲i一塾删料h2争t-_9i(1+a俐-y)if(z)l s a i z l印 m 一讲吲一评t t 一，。z 1 2 女= 2女= 2 和 ldiflh+薹ooid嘶k 制主钟i + 瑞2 ( z ) l h + 毗坩+ 汗毗卅等黼评 七= 2七= 2 、7 当i = 0 时得到定理2 1 1 的特殊情形 推论2 3 1 设，( z ) 三：( a ，卢，y ) ，贝0 i z l 一搿i z l 2i f ( z ) i i z i + 矧1 2 1 2 ( z c ，) 湖北大学硕士学位论文 当 m 一一搿z 2 时。等号成立 当= 1 时d ( ，( z ) ) = z ( z ) ，由定理2 1 1 可得下面的推论 推论2 3 2 设，( z ) 玩( n ，反7 ) ，则 1 一瑞l z i t 1 ( z ) l 1 + 善端i 。i 。u ) 当 m 旧一嬲= 2 时，等号成立 推论2 3 3 设，( z ) ( n ，卢，7 ) ，则，( z ) 将单位圆盘u 映成一个区域，这 个区域包含圆盘 小i 坐笔掣 2 4 e ( n ，卢，7 ) 的极值点 定理2 4 1 设方( z ) ：z 一曼n i j ( 。幻o ) ，厶( z ) ( a ，卢，7 ) u ： m 一 m 1 ，2 ，m ) ，若h ( z ) = c j a z ) ( 勺o ) ，其中ec j = 1 ，则7 l ( ：) ( d ，反们 j = lj = 1 证明由厶( z ) 及 ( z ) 的定义得 由厶( z ) 工：( 口，卢，7 ) 知 因此 m _ i l ( 力= z 一( 勺鲰j ) k = 2 j = l ( 1 + 叩) k n a k j 卢( 1 + n 一7 ) k = 2 mm o o ( 1 + 筇) 驴( c j 8 k j ) = c j ( 1 + 筇) 驴。女j 】卢( 1 + a 一7 ) k = 2 j = lj = l k = 2 由定理2 1 1 知，l ( z ) ( n ，卢，7 ) 推论2 4 1 比( 卢，y ) 关于凸线形组合是闭的 8 第二章e ( a ，卢，7 ) 的性质及极值点问题 证明设乃( z ) = g 一a k j z ( a k j o ) ，乃( 。) k ( d ，反7 ) 0 = 1 ，2 ) ， h ( z ) = p ，1 ( z ) + ( 1 一p ) ，2 ( 2 ) ( 0 p 1 ) 在定理2 1 1 中取m = 2 ，c l = p ，c 2 = 1 一弘，可得h ( z ) 瑶( q ，芦，r ) 定理2 4 2 设 ( 石) = z ，k ( z ) = 名一笔栅 佧2 ) ，其中o n 1 ，0 卢1 ，0 7 1 ，n n ，则f ( z ) 联( n ，卢，7 ) 当且仅当( z ) = u k f k ( z ) ， 七= l 其中m 0 佧1 ) 且肌= i k = l 证明若 他，= 塾腓一一妻k = 2 豁等矿 他) = 触，七( z ) = ：一篙 等p t k = l 7 则 ( 1 + 卵) o o 舻错瓜卢( 1 + a - 7 )( 1 + 卵) 舻篙嵩弘卢( ) k = 2 、 。 7 若，( z ) e ( 卢，7 ) ，则。女譬捌佧2 ) 令舻黼。邙2 ) , p l - - - - 1 - - 量脚 则，( 。) ：登胀a ( ：) 膏= l 定理2 4 3 ( 口，卢，7 ) 的极值点为定理2 4 2 中的m z ) 佧1 ) 证明 设y = ( 名) ： 如) = 石，k ( 名) = 名一捌 忙2 ) ) 假设 z f l ( 1 n + a - 目7 、) 一：t g l ( z ) + ( 1 一t ) 舶( z ) 。一扩( 1 + 筇) 一5 1 ( 。j 十1 一。j 舶【2 j 其中0 t 1 ，职( z ) ：z 一萎毗，吼( z ) 瑶( n ，卢，y ) “：1 ，2 ) 则有 笔箬梨：缸+ ( 1 一帆。 妒( 1 + n 卢) 一”一、 ” 由北) 塌( 郇，y ) 知：i 锝静崭( = 1 ，2 ) 因此a k , 1 - = a k , 2 删 由于g i ( z ) 联( a ，卢，y ) ，由定理2 1 1 知； ( 1 + a 卢) k “o 七，卢( 1 + 口一7 ) 9 湖北大学硕士学位论文 因此对任何满足条件n k 的整数竹，有o 。1 = n 础= 0 从而g l ( z ) = 9 2 ( z ) 这表明 f k ( 加。一篇z k e l * ( a , 刖 用同样的方法可以证明tf l ( z ) = z e 瑶( q ，卢，y ) 所以vce l * ( a ，卢，7 ) 由定理2 4 2 知。 三：。( a ，卢，7 ) = 日矿 显然y 是紧集，由k r e i n - m i l m a n 定理知： e l * ( o t ，卢，7 ) = e h vcv 从而e l ：( a ，卢，7 ) = v 2 5 关于半径的几个定理 定理2 5 1 设f ( z ) = z 一a k z ( o o ) ，若f ( z ) 塌( a ，卢，7 ) ， ( z ) = k = 2 z + 曼c 七( 铅o ) ，f ( z ) ：( 1 一a ) ，( z ) + a ( ，( z ) ( = ) ) ，( 。) 九o ) 为，o ) 与 ( z ) 的 k = 2 h a d m a r d 乘积，a 0 且1 - - a + a c k 0 ，则当川 r ( a ，c k ) 时，f ( z ) l t , ( a ，卢，7 ) ， 其中r ( a ，) = 1 蛆r = 嘉丙】由 证明因为 则 o o f 如) = ( 1 一a ) ，( z ) + a ( ，如) + _ i l ( z ) ) = z 一( 1 一a + a c k ) 8 k z k = 2 由上知，当 i 竺! 丝二! i 。a d f ( z ) + f 1 一r ) z k n ( 1 一a + a c k ) a k z = l 竖l 万一l ( 1 + a 一7 ) z 一a ”( 1 一a + ) c k ) a k z k = 2 后“( 1 一 + a c 女) n 女i z i 一1 生2 _ 1 f 一 ( 1 + o 一7 ) 一a k , ( 1 一a + a c k ) d 1 2 卜一1 0 0 驴( 1 一a + 搬) 计一1 卢( 1 + n - 7 ) 一卵酽( 1 一a + a c k ) 钆坩一1 七= 2k = 2 1 0 第二章玩( 口，卢，7 ) 的性质及极值点问题 薹高南州t 叫计以 ， 色卢( 1 + a 一7 ) “、工 w 咻p 。 一 成立时。有 l 高i 卢 因为f ( z ) 工：( o ，卢，y ) ，则 妻稿sk斋罴七”s 1= 2 一一。 故只需( 1 一a + a ) 一1 1 ，就有f ( z ) e ( 口，晟7 ) 从而 m ，q ) 酬f i _ = 六a 瓦】由 一十 c 定理2 5 2 设，( z ) = z 一a k z ( 鲰o ) ，若，( z ) 塌( a ，反7 ) ，则当 h r l ( ，l ，口，卢，y ，j ) 时，( 力是j 阶近于凸的( 0 6 1 ) 其中 州删删= 1 妒【号群】由( ) 证明只需证明当 r l ( n ，q ，卢，y ，j ) 时，有j ，( z ) 一1 i 1 6 成立 因为 | ，( z ) 一1 1 = i k a k z k 。1 i k n , i z l 扣1 若 三南n 制1 1 扣1 1 色一6 ”叫 ” 则有i ，z ) 一1 i 1 一正 由定理2 1 1 知： 幺而1 丽+ a 3 严t l台卢( 1 + 口一7 ) ”1 若 南h 黼 即当 h 【号群】由( 嬲) 湖北大学硕士学位论文 则有 成立 从而 薹南叫矿- 1 州叩觚驴警【号群】由( 啪) 定理2 5 3 设，( 。) = = 一a k z ( 钆o ) ，若，( z ) 玩( d ，卢，7 ) ，则当 m r 2 ( n ，晟，y ，6 ) 时，( z ) 是6 阶星形的( 0 6 1 ) 其中 咖矾7 棚= 平 篇端】由( 嘲) 证明只需证明当纠 r 2 ( n ，a ，卢，y ，6 ) 时，有i 矮警一1 1 1 一j 成立 因为 l搿叫=i面k_2(1-k)akzk-1 若 佧一1 ) a 女l z l 。一1 1 一a k l z l 一1 k = 2 k 壹= 2 掣， 则有 i 错刈小正 由定理2 1 1 知； 壹k揣如矧=2 斋罴n i l 一一。 ， 若 而k-61h 黼1 一j 。、卢( + a 一，y ) 即当 【卷黼】由( 喇) 则有 妻k = 2 掣1 t “ 一d 第二章玩( d ，卢，7 ) 的性质及极值点问题 从而 咖m ，r 脚= 1 钉怒黼】由( 嘲) r 2 ( 郴，跳6 ) = 1 矿【嚣等铺菩】由( k 2 ) 定理2 5 4 设，( z ) ：z 一曼d 女( 鲰o ) ，若，( z ) 玩( 口，卢，7 ) ，则当 i zj r 3 ( n ，o t ，卢，y ，j ) 时，l ( z ) 是d 阶凸的( 0 d 一1 且c 为实数，( z ) 由f ( z ) = q 詹t c 一1 f ( t ) d t 确定， 则当吲 彤时，( ：) 是单叶的 其中 f = ；n f 【锗粼】由( 嬲) 证明由于 砟) = 等z 。，( t ) d t 则 m ，= 雩掣一薹c 崭m 只需证明当 彤时，有i ，协) 一1 i 1 成立 而 批) _ 1 1 妻笔掣叫计。批) 一等坩。 k = 2 由定理2 1 1o r , 妻蒜南挑刚 台卢( 1 + d 一，y ) 若 等删。1 耥 第二章e ( o ，卢，们的性质及极值点问题 则l ，【z ) 一l i 1 成立 即当 眺i 【舄鬻】由 时，( z ) 是单叶的 从而 肚唧锗渊】击( 啪) 1 5 湖北大学硕士学位论文 第三章。( n ，反们的性质及极值点问题 第二章定理2 1 1 告诉我们，若，( z ) 玩( q ，反n 则n 2 冬矧 在瑶( n ，鼠7 ) 中将第二项系数固定就得到新的函数类工：。( n ，卢，y ) 这里。 划郇，y ) - ，：m ) 呱( 郇朋 ，( 加z 一矧一妻k = 3 螂， 其中d i o ，0 c l 当n = 1 时。( q 反们为d a r w i s h h e 3 1 研究过的e ( a ，卢，7 ) 下面将对工：。( n ，卢，- 7 ) 作一些研究 3 1 工：。( 卢，y ) 中的系数估计 定理3 1 1 设，( 。) - - - = z - - 笔榭z 2 一k 萎= 3 n t ( o ，o c 1 ) 则，( z ) 工：。( a ，卢，7 ) 当且仅当( 1 + c 咿) k n a k 卢( 1 一c ) ( 1 + a 一，y ) 证明( 必要性) 若，( ：) 玩。( 卢，y ) ，则 ( 1 + 筇) ”d 卢( 1 + q 一，r ) 其中眈= 驾等拜 从而 ( 1 + 卵) e k “d i 卢( 1 一c ) ( 1 + a - 7 ) ( 充分性) 若 ( 1 + 筇) “毗3 ( 1 一c ) ( 1 + n 一，y ) 因为啦= 驾帝弁 则 ( 1 + 筇) k “卢( 1 + o 一7 ) 因此 ，( z ) l ：( n ，卢，7 ) 所以( z ) l ：。( a ，卢，7 ) 第三章e 。( 乜，卢，y ) 的性质及极值点问题 。推论3 1 1 设 m 一一等涮户一薹o ，o 蜞地 若f ( z ) 工：。( n ，卢，7 ) 贝 。t 唑帮( 捌) 3 2 二乞( 口，反7 ) 的一些性质 定理3 2 1 若0 a l ，0 卢l ，0 饥能 1 ，0 c 1 ，n n ，则有 工二c ( 口，芦，r 2 ) 工二 c ( n ，卢，饥) 证明若l ( z ) 二；。( n ，卢，仇) ，则 0 0 ( 1 + q 所女”毗( 1 - c ) 3 ( 1 + a 一他) ( 1 - c ) 3 0 + a - y 1 ) i g = 3 由定理3 1 1 知ti ( 0 瑶。( n ，卢，饥) 定理3 2 2若0 a l ，0 卢l ，0 7 1 ，0 c 1 ，n n ，则有 瑶+ 1 c ( o ，卢，订e 。( 口，卢，7 ) 证明因为 ( 1 + a 卢) 奄“诹( 1 + 卵) 旷+ 1 詹= 2k = 2 由定理3 1 1 即可得 定理3 2 3 若0 a 1 ，0 卢1 ，0 7 0 - 1 ，2 ，m ) 若办( z ) 工：，c ( 。，卢，y ) ，令f ( z ) 。j = l 嘞疗( z ) ( 由o ) ，其中暑由= 1 ，则有 f ( z ) 瑶。( o ，卢，7 ) 证明因为b ( z ) 工：。( a ，卢，7 ) 0 = 1 ，2 ，m ) 由定理3 1 1 知： ( 1 + a 卢) k ”a k d 卢( 1 一c ) ( 1 + a 一7 ) d = 1 ，2 ，m ) 由已知条件我们知道： f c z ，= z 一笔辫户一薹c 薹嘞。幻， 则 ( 1 + 筇) 驴( 咖k j ) = d j ( 1 + 卵) 驴a k j j = l k = 3 ( 1 一c ) 卢( 1 - i - a 一，y ) 第三章e 。( 口，卢，y ) 的性质及极值点问题 所以f ( z ) 工：c ( a ，反们 定理3 3 3 设 胁) = z 一矧= 2 ( z ) = z 一曼糟户一史= j ；掣佧= 3 ，4 ) 则，( z ) 工：，。( a ，卢，们当且仅当f ( z ) = k ( = ) ，其中k 0 且沁= 1 c o = z - 2 证明( 充分性) 若，( z ) = a ( z ) ，则有下式成立 她陋一帮z 2 一妻k = 3 帮k 因此 ，1 。，m 三。( 1 一c ) a ( 1 + n 一7 ) 、 (1+筇)矿与呵铲kk= 3 、。 = ( 1 一c ) 卢( 1 + d 一7 ) 芝二a ( 1 一c ) 卢( 1 + d 一7 ) 由定理3 1 - 1 知； ，( z ) 瑶c ( d ，卢，7 ) ( 必要性) 若，( z ) 塌。( a ，芦，7 ) 则 甓帮( 嘲) 令 沁：d 篇等习引七列，沁：1 一壹h 籼2 矿币厕忙3 l 抛= 1 一色h 则m ) ：曼a k l k ( ：) 定理3 3 4 。( d ，芦，y ) 的极值点为定理3 3 3 给出的函数 ( z ) ( 女2 ) 证明设 y = 协( z ) ：丘( z ) = z 一下c f l ( 1 丽+ a - 7 ) z 2 ， k ( z ) = z 一! ! 帮z 2 一史二 ：群 = 3 ，4 ，) ) 假设 z 一曼剿z 2 一塑l 二k 望n 旦( 1 铲2 e = 幻- ( z ) + ( 1 一t ) 虫( z )。2 ”( 1 + o 移) 。 + 口卢) 一叫u 4 。卜v 9 。p 湖北大学硕士学位论文 其中 1 ，嘶) = z 一驾蔫弁舡黑”州。) e l * ，c ( 郇，7 = 1 ，2 ) 则有 坠k 筹n 兰掣：缸+ ( 1 一慨。 ( 1 + 筇) 一“一”。“ 由g i ( z ) 瞩，c ( a ，舫) 知；n 止甜铲( 汪l ，2 ) 因此a k , 1 = - a k , 2 与船高产 由于班( z ) e 。( n ，卢，y ) ，由定理3 1 1 知t ( 1 + 筇) 女“n ，i 卢( 1 一c ) ( 1 + q 一7 ) 因此对任何满足条件”k 的整数n ，有，1 = ，2 = 0 从而g l ( z ) = 9 2 ( z ) 这表明 ( z ) = ：一! 剿z 2 一史二= ) ；等掣z k ee l ；, ，。( a ，卢，7 ) 用同样的方法可以证明； 1 2 ( 。) = z 一! 猎户e 工：，。( 口，卢，y ) 所以vce l * 。( n ，反，r ) 由定理3 3 3 知t 三：。( a ，y ) = h v 显然v 是紧集，由k r e i n - m i l m a n 定理知：e 三：。( a ，卢，y ) = e h vcv 从而e l * 。( o ，卢，1 ) = 矿 3 4 半径问题 定理3 4 1 设 化旧一矧舡p o o 纠瞎o o 删) 若，( z ) 工：。( a ，卢，7 ) ，则当 n ( o ，卢，7 ，c p ，r ；) 时，( z ) 是p 阶近于凸的 ( 0 p 1 ) 其中r l ( o ，卢，仉c ，p ，t 1 ) 是使得 而cp(1+a-7)r+坠篇掣?k-12n k n 1 一p ( 3 ) 一1 ( 1 + n 卢) 。一1 ( 1 + c 啦) 7 第三章玩。( 口，卢，们的性质及极值点问题 成立的最大僵 证明只需证明当m r l ( a ，反m c , p ，n ) 时，i ，弘) 一1 i 1 一p 成立 当吲r 时， - 1 l 瓮高r + 薹耐以 因为，( ；) 工：。( q ，反7 ) ，由定理3 1 1 知，可取 ”甓帮引) 其中k 0 似3 ) 且曼k 1 对每个固定的r ，可取整数= k o ( r ) 使得而r k - = r i 最大，则 驴o o 1 等铲打1膏=3“日 1 - u ， 因此只需 !12矧n-1r + 尘i 茗觜- i - i - r b 一1 ，一p( 1 + 筇) 一瑶( 1 筇) 。 ” 成立，则，( z ) 在i z i r l ( a ，晟7 ，c ，n n ) 内是p 阶近于凸的 取r o = r o ( a ，芦，c n n ) ，= o ( r o ) 使得 篙端r o + 坚 亭帮r 3 ”l = t p 则r o 是，( z ) 的p 阶近于凸半径 定理3 4 2 设 化心一锱厶妻k = 3 巩。c 1 ) 若，( 。) l ：。( a ，p ，r ) ，则当m r 2 ( a ，卢，* c ，p ，n ) 时，( 。) 是p 阶星形的 ( 0 p 1 ) 其中r 2 ( 口，卢，y ，c ，p ，n ) 是使得 ! 生i ! i ；掣r + ! ! 二二! i 旦k ! n ! ：( 1 1 j 掣r 一1 l p ( 七3 )2 “( 1 + q 卢) + o 啦) r r ”一u ， 成立的最大值 湖北大学硕士学位论文 证明只需证明当i z i r 2 ( 卢，7 ，c p ，n ) 时，i 等等一1 1 1 一p 成立 矧r + 黑( h 产1 i 错叫蜀黔 因此i 等等一1 1 l p 成立当且仅当 盟斋掣- i - r + 妻( 刊矿。1 1 一p 扣( 1o 卢) 一色” 一 因为，( 2 ) 工：。( a ，反，y ) ，由定理3 1 1 知，可取 毗= 与帮引嘲)毗2 i 盯五历r m 垆乒 o o 其中札0 3 ) 且k 1 ：3 对每一个固定的r ，可取整数：硒( r ) 使得堕k r - - pr k - 1 最大，则 薹o o 旷p ) 0 一坚絮高学型抄1 七= 3 o 、 7 芈群r + 些氅萨型r o - i 小p 弘( 1 + 口卢) 一 船( 1 + 筇) 、。7 芈群r o + 坚氅学一p m 旧一揣智一争纠巩瞬钏 第三章塌。( d ，卢，7 ) 的性质及极值点问题 驾蒜：篙产r + 坚喾杀11 辨型产1 1 - 卅s ) 2 “一1 ( 1 + c 咿)。舻i 一( + 口们 。 r ”7 证明只需证明当i 。i r 3 ( 口，卢，y ，c n n ) 时，l 筝静l l p 成立 斜篆罄舅 则i 琴静l 1 一p 成立当且仅当 驾笔麓掣r + 妻m 一力a k r k - 1 t p 2 ，i _ 1 ( 1 + 筇) 一乞”。” ” 因为，( 2 ) 塌。( 啦卢，7 ) ，由定理3 1 1 知，可取 毗= 电筹引嘲) 其中k 0 佧3 ) 且曼扎1 对每一个固定的r 可取整数：k o ( ，) 使得堡群最大，则 争嘲一生等半抄1 = 3 u 7 1 1 丛；未- - 1 1 群r + 史二= - 盟：- j i 若掣r b 一1 ，一p2 ，l ( 1 + 筇) 船( 1 + 口鳓 。 、 7 将珊+ 坚警铲一p 湖北大学硕士学位论文 参考文献 【l 】1s a a g e a na s s u b e l a 螂o f u n i v a l e n t n n e t i o n s p t l e c t u r em o t e s i nm a t h s , 1 9 8 3 ， 1 0 1 3 ：3 6 2 3 7 2 【2 】k i mh e ，l e es e s o m e 妇o f m a i v a l e n tf u n c t i o n s j m a t h j a p a n ，1 9 8 7 ， 3 2 ( 5 ) ：7 8 1 7 9 6 3 】d a r w i s hh e o nt h ec o e f 五c i e n t so f8 0 m es u b c l a s s e so fu n i v a l e n th m c t i o n s j s o u t h e a s ta s i a nb u l l e t i no ym a t h ，2 0 0 1 ，2 5 ：7 5 - 8 6 【4 】s a r a g i ，s m u r a l e g a d d ib a t h er a d i t 阻o f c o n v e x i t ya n ds t a r l i k e n e s sf o rc e r t i o n c i a 姗o f a n a l y t i cf u n c t i o n sw j 曲n e g a t i v ec o e m c i e n t s j r e n d ia c a d n a z i o n a l e l i n c e i , 1 9 7 8 ，6 5 ：3 8 - 4 2 5 1 a 1 - a m i r ih s o nas u b c l a s so fc l o s e - t o - c o n v e xh m c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e f 五- c i e n t s j m a t h e m a t i e a ( c l u j ) ( 5 4 ) ，1 9 8 9 ，3 1 ( 1 ) ：1 7 6 】b h o o s n u r m a t hs s ，s w a m ys r a n a l y t i cf i m c t i o n sw i t hn e g a t i v ec o e t 五e i e n t j i n d i a n j p u r ea p p l m a t h ，1 9 8 1 ，1 2 ：7 3 8 - 7 4 2 7 1 d u r e np l u n i v a l e n th m c t i o n s m j n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 8 3 【8 】g u p t av p ，j a i np k c e r t a nc l a s s e so fu n