（基础数学专业论文）间断系数的二阶椭圆型方程解的正则性.pdf

复旦大学硕士学位论文 摘要 本文研究的问题源自于生物学与物理学中具有间断介电系数的静电场。我们以 拟微分算子为主要工具讨论具间断系数的半线性二阶椭圆型方程解的存在性和正则 性。 本文将在第三章中讨论具间断系数的线性二阶椭圆型方程解u 在边界上的正 则性。实际上，解在整个闭区域上为c 。，a ( 0 ，1 ) ，而且在每个系数光滑的分块子 区域上解是光滑到边界的。在第四章中，用d e g i o r g i m o s e r 定理来讨论一般情况下 间断系数的半线性二阶椭圆型方程解的正则性。在第五章中，作为应用，将解决两 个半线性问题解的存在性和正则性。 关键词：正则性拟微分算子间断系数 星旦盔堂塑主堂垡煎塞 i i a b s t r a c t t h em a t h e m a t i c a lp r o b l e md i s c u s s e di nt h ep a p e ri sd e r i v e df r o me l e c t r i cf i e l dw i t h d i s c o n t i n u o u sd i e l e c t r i cc o n s t a n t sa r i s i n gi nb i o l o g ya n dp h y s i c s w ew i l ls t u d yt h ee x i s t e n c ea n d r e g u l a r i t yo fs o l u t i o n st os e m i - l i n e a rs e c o n do r d e re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hd i s c o n t i n u o u sc o e f f i c i e n t s t h ep s e u d o d i f f e r e n t i a lo p e r a t o ri s ab a s i ct o o li nt h ed r e 8 e n t p a p e r i nc h a p t e r3 ，w ew i l ld i s c u s st h e r e g u l a r i t y o fs o l u t i o n st ot h el i n e a rp r o b l e m u p t ot h e b o u n d a r y t h es o l u t i o n sa r ep i e c e w i s ec l a s s i c a ls o l u t i o n s i nc h a p t e r4 ，w ew i l ls h o wt h a t t h er e g u l a r i t yo fs o l u t i o n st o g e n e r a ls e c o n do r d e re l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hd i s c o n “n u o u s c o e f f i c i e n t su s i n gd e - g i o r g i - m o s e rt h e o r e m i nc h a p t e r5 ，a ss o m ea p p l i c a t i o n s ，w ew i l l d i s c u s st h ee x i s t e n c ea n d r e g u l a r i t yo ft w ot y p e so fs e m i 1 i n e a rp r o b l e m s k e y w o r d s ：p s e u d o d i f f e r e n t i a l o p e r a t o r ，r e g u l a r i t y ，d i s c o n t i n u o u sc o e f f i c i e n t s 第一章引言 1 9 2 3 年，d e b y e 和h f i c k e l 已给出带电溶液中球型带电微粒的自由电能，见 1 。 并由高斯定理和b o l t z m a n n 散度法则得出电势所满足的的微分方程。d e b y e h i i c k e l 模型如下图所示。 在原始模型中，区域n 中介电系数为e 1 ，而区域n 3 中包含介电系数为e 3 的 溶液，设其中含有自由电荷。q 2 为区域q t 周围一隔离层，在q 。中无自由电荷， 但e 2 = e 3 e t 且三个区域内电荷体密度函数分别为： p l = p l ( z ) ，在n l 内 p 2 = 0 ，在n 2 内 p 3 = - 2 cs i n h ( k u ) ，在n 3 内。 然而，该理论可拓广至更复杂的带电微粒中，如蛋白质中。 首先，由高斯定理知，对二维静电场中任一子区域n ，有： e 秘一”删” a nn 其中e 为介电常数，“为静电势，p 为电荷体密度。若介电系数e 及电势“在其所 复旦大学硕士学位论文 在区域分别是c 1 和c 2 的，则 z 。e 秘= z 。叩砒剃 。上班”( 叼扎) d x d y = 上c 未c e 塞，+ 南c e 嚣鹏z a v 所以，电位势u 满足下面散度形式的方程： 一去( e 塞) 一嘉( e 嘉) = 。m 在n 内 ( ，- ) 一丽( 6 瓦) 一瓦( 丽) - 2 ”p ，衽5 2 内 ( 1 1 ) 即在静电场中，当e ( 。，) 为常数时，u 满足一个二阶椭圆型方程， 有 一e a u = 2 7 r p( 1 2 ) 在蛋白质问题中，电势u 仅为嘲( n ) 的，则这个问题的弱解形式为v 妒嘲( n ) ， 加z ) v u v ( p - 2 ”p ( p ) d x = 。 在分部意义下，( 1 3 ) 等价于下面的边值问题：记q = n lu q 2u n 3 ， 足 l e l u = 2 r p l ，在q 1 内 一e 2 a u = 2 7 r p 2 ，在q 2 内 i e 3 i u = 2 7 r p 3 ，在n 3 内 e - 豢j = e z 炭b 在r t 上；e z 未1 2 = e 3 象k 在r ：上 这里舞i t ( 江l ，2 ，3 ) 理解为各自的迹 事实上，由( 1 4 5 ) 易推出( 1 3 ) ；所以，只须证( 1 3 ) 辛( 1 4 5 ) 。 由( 1 3 ) 知，v 妒础( n ) 有 ( e ( z ) v u v 妒一2 w p c p ) d x = 0 现对任意的妒c 尹( q 1 ) 可将其延拓为 = 0 罴 ( 1 3 ) “础( n ) 满 ( 14 ) ( 1 5 ) 复旦大学硕士学位论文 贝9 尹c 尹( n ) 且 ( e ( x ) v u v 妒一2 丌p 妒) d z = ( q ( x ) v u v 妒一2 丌p l 妒) d z j n j n ， = ( 一e i a u - 妒一2 v p l 妒) d x j iz 1 从而在分部积分意义下，在n - 内有一e l a u = 2 n p 1 。同理可推出( 1 4 ) 的后两式 现选取妒c 字( ( r 1 ) ) 。因为 o = ( e v u vc p - 2 0 1 出 = ，n ( e l vuvl,o一2upl妒)dx+(e2vuvc,o一2丌p2妒)dtj n 1j n ， 一 = ， d i v ( e t g r a d u 妒) 一e t a u 驴一2 丌p l 妒 如 j n 、 + d i v ( e 2 9 r a d ul p ) 一e 2 a u 妒一2 7 r p 2 妒 出 j n 2 2 上十q ( 9 r a d u ) 。r i d s + 上j e 2 ( n 砒妒) 丽d s = 小孰蚺f r i o u 脚 = z ，狲f v t e = 爰l 删s 所以，在r l 上成立q 躲l = e 2 嘉1 2 同理可得( 1 5 ) 第二式。 讨论一般情况，q 为若干子区域q ( 江1 ，2 ，一，f ) 的并，其边界d n 。均光滑。 依赖于电势u 的电荷密度函数为i ( x ，u ) c 。( 面世) 。从而，介电系数间断的静 电势方程即等价于下面的弱解形式： u h i ( a ) 满足 互。) v u v ( p - m 刚z = o ，如础( 呲 ( 1 6 ) 其中e ( 。) 0 在每个子区域暖中均为常数。对于这种一般情况，有如下定理： 定理a ：设u 刚( n ) 为( 1 6 ) 一弱解，( z ，“( z ) ) 厶9 ( n ) ，q g 。则u c n ( 丽) 对某个a ( o ，1 ) 且u c 。( 硪) 0 = 1 ，一，f ) 。 假设 ( h 1 ) p l = p t ( 。) c 。( 豆刁 3 复旦大学硕士学位论文 ( h 2 ) p 2 = p 2 ( z ) c 。( 面) ； ( 风) 在q 3 中，p 3 = 一g p ( z ) “i 1 1 1 ，0sp ( z ) ec 。( 雨) ，1s7 0 ，n = 2 ，其中0sp ( z ) c o 。( 雨) 。 在上述假设下有： 定理b ：设n 。( i = l ，2 ，3 ) 为光滑有界区域。若( 日1 ) 一( 凰) 满足，则( 1 6 ) 存在一 硎( n ) 弱解，且“c 。( 豆) ，o ( 0 ，1 ) ；“c 。( 而) n c 。( 面) n c 。( 蕊) 。 事实上，当胁= p i ( z ) ( i = 1 ，2 ) 时，线性问题( 1 4 ) ( 1 5 ) 解的存在性已解决， 证明见( 7 ，叉由椭圆型方程解的正则性理论知，当珐c 。( f i ；) 0 = 1 ，2 ，3 ) 时， “c 。( q ：) ( i = 1 ，2 ，3 ) 。本文将在第三章中讨论该线性问题解“在边界上的正则 性。实际上，解u c o 。( 面) nc ”( 砸) nc 。( 两) 。从而广义解即为分片经典解。在 第四章中，将应用d e g i o r g i m o s e r 定理来讨论一般情况下间断系数的半线性二阶椭 圆型方程解的正则性。在第五章中，作为应用，将解决两个半线性问题解的存在性 和正则性。 4 笫二章先验估计 定义2 1 ：对于给定的实数m ，若函数。( 。，) c 。( 磷嘤) ，且对任意重指 标a ，口成立 露霹。( z ，f ) f 瓯，e ( z 十”一 ( 其中瓯口是常数) 则称o s “。又记s 0 。= u s ”，s ”3 = n 驴， ml 定义2 2 ：若函数g ( 。， ) s m ，则可以定义s ( 孵) - + 5 ( 黔) 的线性连续映射 a ： a “( z ) ；西兰；，z ，f 。扛，) o ( ) d f a “( z ) 5 赤水p 。( 玳) 。( ) 武 称a 为o p s m 类拟微分算子，并记a 为n ( z ，d ) 。称o ( z ，) 为a 的象征，记为o 。 o p s n 类拟微分算子与其象征之间的对应可诱导出一个同构 盯m ：0 尸s m d p s m 一1 一p 一个拟微分算子在此同构对应下的象称为其主象征由拟微分算子理论知，有如下 性质：若a o p s 4 ，b o p s ”，则 口m + m ，( b 。a ) ( z ，) = 盯m ，( b ) ( z ，) 盯m ( a ) ( 。，) = 盯m + 饥，( a 。日) ( z ，) a 。b bo a o p s 仉+ m 一1 本章在区域q = 黔f 0 ，1 上进行讨论。为方便，引入索伯列夫空间h ( k ，s ) ( n ) ， 并定义模为 k 嘘。) = 1 1d ；a k 。j + s u ( ) 慨n ) j = 0 这里，a 为一拟微分算子( j 一) ，其象征为。( a ) = 耳研，k 为非负整数， 且s r 。易见h ( ，o ) ( q ) 与通常意义下的索伯列夫空间小) 一致。另外，我们 以 ui ；记iju ( ) 幢吖r n 】 v y 0 ，l 】。 现在，看下面的边值问题： i 器+ 耳( ，z ，d 。) = 日u = ，( z ，g ) 孵( o ，1 ) u l 卿= 9 0 ( 2 1 ) 【u l p 。l = g l 再 复旦大学硕士学位论文 其中k ( v ，z ，f ) c o o ( o ，1 ，s 1 ( 融) ) 引理2 1 ：( 拟微分算子的g 置r d i n g 不等式) 设o ( 。， ) s “，且存在常数m 0 ，a 0 使得，当 m 时， r e a ( = ，) 2a 引”， 则对任何e 0 与8 r ，都有常数岛，使得对一切s ( 肥) 有 兄e ( 。( z ，d ) u ，“) ( a e ) | | ul l 聋一c b | | “l l ： 下面的引理引自 2 。为方便读者，这里给出证明 引理2 , 2 ：假设r ea ( k ) c oi i - q ，磷r ，c o ，c l 为二正常数。 则对任意u h ( 1 ，。) ，( 52o ) 成立 i “( 1 ) ? ；+ 1 + | | “l l 五p ) c | | h u | 知，。) 十ef i u 1 1 ( 2 0 , o ) + j “( o ) ：+ ；，v s 0 ( + ) 证明：由内积及拟微分算子的性质，有 2 r e ( a 2 s + i “，u u ) l 2 ( r n ) = 2 r e ( a 2 s + l u ，毛u ) + 2 r e ( a 2 s + i u ，k u ) = ( a 2 s + i 让，钆u ) + ( 岛u ，a 2 s + l u ) + ( a 2 s + l u ，k u ) + ( k u ，a 2 3 + 1 饥) = 如( a s + “，a s 十 “) + ( k 4 a 2 。+ 1 札，“) + ( a 2 s + l k u ，u ) = 色ia 5 十 乜i ；+ ( ( 趸+ k ) a 2 s + 1 u ，札) + ( r 2 。+ l u ，“) 此处以及后面的n 均满足t i c 。( 1 0 ，l 】 o p s 。) ， 由假设口( 肖+ k ) = 2 r e a ( k ) 2 c oifl 一2 g 1 ，应用g i r d i n g 不等式，可得 2 r e ( a 2 。+ 1 “，月。u ) 岛i a 3 + 让j 3 + c i 札白) l ；+ 1 一c i i u 国) 1 3 这里以及后面的gc 7 均表示不依于u 和y 而变化的常数。 u ( 可) ：+ 1 2 r e ( a 2 s + l 钍，日也) 一南ja s + i 1u ( 可) 1 3 + g 1 珏( 分) 曙 将( 2 2 ) 在 0 ，1 上关于y 积分： i 1 i 奄，s + i ) 十i 。( 1 ) 1 ；+ st i l l h u 8 南s ) + 1 l | 1 知。) 】+ 1u ( o ) i ：+ 由 i i 让| | 1 ，) = 1 1d ”u | | 知，。) 十i i “l l ( 2 0 ，。十1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 24 ) 6 复旦大学硕士学位论文 7 口j 得， 1 “( 1 ) + i i “) l ld 俨) + g1 1 日u ) + g1 1 ”) 十1u ( o ) sg h u l i 南，) + l l “i l 知，。) + “( o ) i ：+ ； ( 2 5 ) 这里我们运用了假设 l id nl i 知，。) = ll h u k u l i 知，。) g i l h u i l 南，。) + i i “l i 南，+ 1 ) 定理2 1 ：如果引理2 2 的假设成立，则方程组( 2 1 ) 在日( 舢) ( n ) 中的解u 满 足， i u ( 1 ) i 。一 + i i u l l ( 铀) c 1 1 日uf l & 一l ，。) + i i u i i 盈o ) 十iu ( o ) l l 。一 对一切t z + ，s20 都成立。 证明：对t 用归纳法，当t = 1 时，命题即为引理2 2 现假设下面的不等式对 于某个m21 成立 i “( 1 ) i 刍一 + i i “l i 2 讯，。) sc t 1 日ul l 孙“。) + i i “i i 知，。) + i “( o ) i 毛+ 。一 ( 26 ) 以a u 替代u ，得 a u ( 1 慷。一；+ i ia u 。) c 1 1 日a u 晦刊+ i ia “) + ia u ( o ) 一副 而 | | h a u | | 2 m 吐。) - c oiff g l ，( 岛，c 1 0 ) 时，“的正则性依 赖于h u 和u ( o ) ；当mo ( 一k ) c o fj 一凸，( 岛，c 1 0 ) 时，“的正则性依赖于 h u 和u ( 1 ) 。 8 第三章间断系数的线性泊松方程解的正则性 本章考察线性情形：q = n 1 u n 2 ，p 。= p i ( x ) c o 。( 面) ，i = l ，2 。线性问题解 的存在性见 5 这里讨论该线性问题解在边界r t = a n l 上的正则性。本章中，我 们总假设u 础( n ) 在散度及迹的意义下满足以下的方程和边界条件。 侩誊三篡窝 慨， 其中，r 1 光滑，p l c 。( 酉) ，p 2 c 0 0 ( 筋) ，u 硎( q ) ，在f l 上“于两侧的迹相 等，且有 k ! 曼毒箸毒上 z ， 由假设a n i = r 1 光滑，运用“局部化”和“展平”技巧对任意。o r 1 ，当 其邻域a f ( x o ) 充分小时，( 。o ) nf 1 满足方程z 。= 妒( z 1 ，z 。一i ) 作变换 fyi=：x茹i。,一1妒。i。：-n，-，1。一。， 再加一个压缩变换就可得到一光滑的微分同胚：( o ) _ b - ( o ) 使得 r ln ( z o ) - _ fgi l ，= 0 ) = b 2 n ln ( 卫o ) 卜_ l 掣 0 ) = b 产 q 2n 2 v ( x o ) h 引可l 1 ，y n 0 ) ( 31 ) ( y 0 时的做法，可得 ( 岛。一a 一( l ，z ，d 。) ) 石f g 。：o e 日 ( 皿，- 1 ) 即 ( 一岛一a 一( ，。，d 。) ) 商i ：o h ( 咿一1 )( 31 0 ) e 1 ( 3 9 ) + f 2 ( 3 1 0 ) ，若令= o ，可得 ( 一e l 以一一e 2 a 一) 石( z ，o ) 日 ( 黔一1 ) 于是， 一( e l + e 2 ) a 一日 ( 衅一1 ) 。当e l + e 2 0 时，有a - 商( z ，o ) 日 ( r n 一1 ) 。 从而，矗( z ，o ) 日i ( 般1 ) 且石h 2 ( ( o ，1 ) 孵一1 ) ，商h 2 ( ( 一l ，o ) 融一1 ) 。 由b o o t s t r a p 方法，可得及z ) - 。( 硪) ，i = l ，2 ，s 0 ，时， 五( z ，0 ) h s + ( 璃“一1 ) ，矗h s + 2 ( ( 0 ，1 ) r n 一1 ) ，h s + 2 ( ( 一1 ，o ) 爬n 一1 ) v s 0 再拉回到n 。即得u h 什2 ( n 。) ( = l ，2 ) ，“h s + ( r 1 ) v s 0 定理得证。- 推论3 1 ：线性问题( 1 4 ) ( 1 5 ) 的解u 满足”c 一( 蕊) n g o 。( 蕊) n g 。( 甄) 。 1 2 第四章半线性问题解的正则性 在文章最初提到的蛋白质问题中，p 。依赖于“，是一半线性问题。本章中我 们就讨论一般的间断系数半线性二阶椭圆型方程解的正则性。 假设区域q = uqc 郾，g9 1 = o ( i n 2 满足下面的假设 。”( 。) 矗白aif1 2v 。n ，瞅，lo “l l * + | | c | | l - a 对某- 一, - 7 常数a ，a 成立。设u 础( q ) 为一个解，即 o ：，d ：t d j 妒十c u 妒= ，妒，v 妒日a ( n ) j nj n 若f 二。( n ) ，则uec 8 ( 百i ) ，o ( o ，1 ) 引理4 2 ：( n i r e n b e r g 不等式) 若0 s i m ，1 p ，q s + o 。，则 i i d 。，“驴( r 。) sci i ，l i ：痞。) i | d “，l i 言( r 。) 其中， ；= ( 1 一而ij ；1 + 鬲i - i i 。 定理a ；假设u 础) 为( 1 6 ) 一个弱解，且f ( x ，u ( z ) ) l q ( f 1 ) ，q 。则 u c 。( 再) 对某个q ( 0 ，1 ) 并且u c 。( 面) ( i = 1 ，f ) 。 证明：由f ( x ，u ( z ) ) ( q ) ，q 以及d e g i o r g i m o s e r 定理，可得u g q ( 豆) 对某个o t ( 0 ，1 ) 且u l 。( 丽) 。又因为，f ( x ，u ) c o 。( 面庇1 ) 。所以， 1 1 d 。f ( x ，u ( z ) ) 1 1 l 。( n ，) = 1 1 厶( z ，u ( 。) ) + a ( z ，u ( 。) ) 以u | | l t ( n ，) s c i f 厶( z ，“( z ) ) i i l 。( 吼) + g | | a ( x ，u ( 。) ) 如ul | l 。( n 。) c 1 1 厶( 。，u ( 。) ) f f l z ( n 。) + g1 凡( z ，u ( 。) ) i 。o 民u1 1 l ：( n ) 】3 复旦大学硕士学位论文 从而d 。，( 。，h ( 。) ) l 2 ( 哦) ，“( z ) ) eh 1 ( 咄) 由定理3 1 ，可得“h 3 ( r i d 且 “h ( a n 。) 。注意至0 ， d ：，( z ，“( z ) ) i l l z ( a d = | | 儿。+ 厶。d 。u + 。d 。“+ 凡。( d 。“) 2 + 九d ：u 【( n 因为，( z ，“) c o 。( 雨哩1 ) ，l 。( 豆) ，于是由n i r e n b e r g 不等式，选取i = l ，m = 2 ，r = 4 ，q = 2 ，p = + o 。则 i id 。ui l l , ci i “i 。i id ：“晾 从而，d 。三4 ( 础) ，所以有s ( x ，“) h 2 ( n ，) 。又由定理2 1 ，可得h 4 ( n 。) 且u h ( a q ：) 。由此依次下去可得，u h ( n 。) 且u h ”i ( a ) ，v s 3 。即 u c 0 0 ( 夏) ( i ；1 ，i ) 。 _ 1 4 第五章应用 3 本章将应用第四章得到的结论解决两个半线性问题解的正则性。假设n = un 。 t = l 考察 i e l a u = 2 7 r p l ( 。) ，在q l 内 一e 2 a u = 2 7 r p 2 扛) ，在n 2 内 ( 5 i ) i e 3 a u = 2 7 r p 3 ( x ，u ( z ) ) ，在f 1 3 内 其中，r 1 ，工1 2 光滑，见c 。，i = 1 ，2 ，u 在n ( 1 = 1 ，2 ) 两侧的迹相等。 u l o n = 0 e 1 - o u l 2 = o 在r 1 上 e z 赛卜e a 蒙护。在r z 上2 丽1 2 6 3 蕊1 3 2 “仕1 2 上 其中，舞l 。，貉| 州0 = 1 ，2 ) 分别为u 在n 两侧法向导数在n 上的迹。 ( 5 2 ) ( 53 ) ( 5 4 ) 引理5 ，1 ：( s o b o l e ve m b e d d i n gt h e o r e m ) 设n 为黔中的光滑有界区域，n ，1 曼ps 。，则有： ( 1 。) 若k p n ，1 qs i ，则。( n ) ql q ( n ) 。若q 芒铬，则该嵌入为紧。 ( 2 。) 若0 m 七一； m + l ，0so 七一m 一；，贝0w 巾qc m , a ( 豆) 。 一m 一：，则该嵌入为紧。 引理5 2 ：( p o i n c a r d 不等式) 若q 为直径为d 的有界区域，则对于u 础( n ) ，成立 上i u | 2 d z 2 ，贝4 三尝= 三2 ( n ) 。 1 5 若 ( 55 ) 可知，若n = 复里盘堂亟主堂垡堡壅1 6 注意到，当，y + 1s2 + 时，满足条件( 5 2 ) 一( 55 ) 的方程( 51 ) 是泛函 脚，= 肚f v “一2 d x + 2 7 , 。等州扣z ”五，, 0 1 u d x - 2 7 ：p 2 他 在明( q ) 上的e u l e r l a g r a n g e 方程。由c a u c h y 不等式和p o i n c a r 6 不等式知，当n 充分小时，有 e ( u ) ；e ( z ) 1v u 1 2d x c 1 c ；l u 1 i 备- ( n ) 一c 1 所以e ( “) 是强制的。f ( u ) 在础( q ) 上是弱下半连续的。事实上，假设“m m ，“m 。 u 础。则由嵌入定理知，u m u 口，若n 3 则p 2 + ；若n = 2 ，则p 为 任意正数。即，当n 3 ，7 + 1 o ，且n = 2 ( 5 6 ) 为讨论该半线性问题的存在性，我们需要介绍m o s e rt r u d i n g e r 不等式。 引理5 3 ：( m o s e rt r u d i n g e r 不等式) 设，为一紧黎曼流形。若妒h 1 ( 尬；) ，则e x p 妒和e x p 陋“妒i - l f 妒 l 杀) 同】 ( d 是一个不依于妒的充分小实数) 均可积。且存在常数c ，肛和7 使得对一切 妒h 1 都满足： e 9 d ysc e x p # | | v 妒| | ：。+ 7i f 妒| ! ： 藏 且h 1j 妒e 9 l 1 为紧映射。 假设问题i i 的解u 础( n ) ，由引理5 3 可知当n = 2 时，e “l 4 ，v g 之1 。 因此，c o s h ( k u ) l q ，v 口1 。 注意到，满足条件( 5 2 ) 一( 5 4 ) 和( 5 6 ) 的方程( 5 1 ) 是泛函 e ( “) = 上；e ( 。) f v u j 2 d x + 2 ，r 点。鲁一( z ) c 。s h ( u ) 如一2 ”上。一t ( z ) “如一2 ”正。, 0 2 ( 。) “d z 复旦大学硕士学位论文 在酬( q ) 上的e u l e r l a g r a n g e 方程。则由c a u c h y 不等式及p o i n c a r 不等式，得 e ( u ) 2 1i e ( z ) i v u 1 2 一g l glj “j f 刍- ( n ) - c 1 所以，e ( u ) 是强制的。假设当n _ o o 时，u 。一“( 在抒1 ( q ) 中) 又由 m o s e rt r u d i n g e r 不等式，可知h 1 弓妒_ e 9 1 为紧映射。因此，当n _ 。时， c o s h ( k u 。) _ c o s h ( k u ) ，( 在酬( q ) 中) 。进而e ( “) 是弱下半连续的。 于是存在u + h i ( n ) 使得e ( + ) = 。础i n f ( n ) e ( u ) - 并且u + 是问题1 1 一个弱解a 由上述讨论可得 引理5 4 ：对于满足条件( 日i ) 一( 上b ) 的f ( x ，u ) ，问题( 1 6 ) 存在弱解u 础( q ) 。 于是由定理a 可得 定理b ：设n ( i = 1 ，2 ，3 ) 为光滑有界区域。若( 日1 ) 一( 凰) 满足，则( 1 6 ) 存在一 础( n ) 弱解，且“俨( 孬) ，a ( o ，1 ) ；“c o o ( 酉) n c 。( 蕊) n c o 。( 蕊) 。 证明：由引理5 4 可得( 1 6 ) 存在一础m ) 弱解。由索伯列夫嵌入定理可知，当 n = 2 时，问题i 中的p 3 l q ( a 3 ) v g 1 ，o o ) 。另一方面，在问题i i 中，当n = 2 时， 由m o s e rt r u d i n g e r 不等式，可得s i n h ( k u ) l q ( a 3 ) ，v q f 1 ，o o ) 。于是，定理a 可用 于这两种情形，且得到u c 。( 丽) ，d ( 0 ，i ) 且“c 。( 两) n c 。( 雨) n c 。( 蕊) 。 已知在问题i 中，当n 2 时，有“l 2 1 由已知条件( 凰) ：2 n 6 时， 1 茎7 i n 。再由定理a 即得u c 。( 再) ，对某个 n ( 0 ，1 ) 成立，且“c ”( 两) n c o 。( 面) n c * ( 雨) 。 参考文献 1 p d e b y ea n de h f i c k e lp h y s i k z ，1 9 2 3 ，( 2 4 ) ：1 8 5 2 m i c h a e let a y l o r ，p s e u d o d i f f e r e n t i mo p e r a t o r s ，p r i n c e t o nu n i v e r s i t yp r e s s ，p r i n c e t o n ，n e w j e r s e y i1 9 8 1 3 】l a rh 6 r m a n d e r ，l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a lo p e r a t