（工程力学专业论文）环扇形薄板弯曲问题环向辛体系的研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 传统的弹性力学，其求解方法是尽量削元使未知量减少，导致方程阶次提高，分离 变量及本征函数展开法等有效的数学物理方法难以实施，只能采取半逆法。 本文主要讨论了辛体系理论在弹性力学中的具体应用。在平面弹性与薄板弯曲之间 存在相似性，其基本方程同为重调和方程，平面弹性的应变位移关系、应力函数一应 力关系、应变应力关系分别对应板弯曲问题的弯矩一弯矩函数关系、挠度一曲率关系、 弯矩一曲率关系。仿照平面弹性，辛求解体系也可以用于板弯曲问题。由环扇形板的类 赫林格赖斯纳变分原理可得到对偶方程组和哈密顿算子矩阵，分离变量后成为哈密顿 矩阵的横向本征问题。其本征向量间有共轭辛正交关系，于是任一全状态向量总可由本 征解展开。对于非零本征解写出通解形式，代入两侧边边界条件得到关于非零本征值的 超越方程，可求得非零本征值，进而得到非零本征向量。根据共轭辛正交性质按展开定 理可写出满足域内方程和两侧边边界条件的表达式，代入两端边界条件确定其中的常系 数就可求得原问题的解。 本文给出了几个例题的分析解，结果显示取前几项本征值就可达到较高的精度。新 方法运用分离变量及本征函数展开等有效的数学物理方法给出了环扇形板的分析解，突 破了传统方法的限制，具有广阔的应用前景。 关键词：环扇形薄板；辛体系；板弯曲；分离变量；本征函数 环扇形薄板弯曲问题环向辛体系的研究 s y m p l e c t i cs o l u t i o n so fa n n u l a rs e c t o rp l a t eb e n d e dw i t hc i r c u m f e r e n t i a l c o o r d i n a t et r e a t e da st i m e a b s t r a c t hc l a s s i c a l e l a s t i c i t ym e c h a n i c s t h es o l u t i o nm e t h o di st oe l i m i n a t et h es o m eo f u n l m o w nv a r i a b l e sa n dc a l lg e ts i m p l e s te q u a t i o ni nab r i c ff o r m a st h er e s u l t ，t h er a n ko f e q u a t i o ni si n c r e a s e d ，5 0s e p a r a t i n gt h ev a r i a b l e sa n de x p a n d i n ge i g e n f u n c t i o nm e t h o d s c a n n o tb ea p p l i e dt os o l v et h ee q u a t i o n i nt h i sp a p e r , s y s t e m a t i ct h e o r yi sa p p l i e dt ot h em e c h a n i c so f e l a s t i c i t y t h e r ei sa n a l o g y r e l a t i o n s h i pb e t w e e np l a n ee l a s t i c i t ya n dp l a t eb e n d i n g t h e i rg o v e r n i n ge q u a t i o n sa r eb o t h b i h a r m o n l ee q u a t i o n s t r a i n d i s p l a c e m e n tr e l a t i o n ，s t r e s sf u n c t i o n s t r e s sr e l a t i o n s h i pa n d s t r e s s - s t r a i nr e l a t i o n s h i pi np l a n ee l a s t i c i t yc o r r e s p o n dt ob e n d i n gm o m e n t - b e n d i n gm o m e n t f u n c t i o n ，d e f i e c t i o n c u r v a t u r er e l a t i o n s h i pa n db e n d i n gm o m e n t c u r v a t u r er e l a t i o n s h i pi n p l a t eb e n d i n gr e s p e c t i v e l y s ot h es y m p l e c t i cs o l u t i o ns y s t e mc a nb ea p p l i e di np l a t eb e n d i n g a sp l a n ee l a s t i c i t y d u a le q u a t i o n sa n dh a m i l t o n l a no p e r a t o rm a t r i xc a l lb ed e r i v e df r o mt h e p r o - h - rv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，a n di tb e c o m e st h et r a n s v e r s ee i g e np r o b l e mo fh a m i l t o n i a n m a t r i xa f t e rs e p a r a t i o no fv a r i a b l e t h e r ei st h ea d j o i n ts y m p l e c t i eo r t h o g o n a l i t yr e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h ee i g e n f u n c t i o nv e c t o r s ，s oa n ys o l u t i o nc a l lb ee x p a n d e db yt h ee i g e n f u n c t i o n v e c t o r s i nt h i sp a p e r , t h eg e n e r a lf o r mo fn o n - z e r oe i g e n f i m c t i o nv e c t o rc a nb e # v a n ，a n d t h e nb es u b s t i t u t e di n t ol a t e r a lb o u n d a r yc o n d i t i o n st og e tt h et r a n s c e n d e n t a le q u a t i o nf o r n o n - z e r oe i g e n v a l u e s s ot h en o n - z e r oe i g e n v a l u e sa n de i g e n v e c t o r sc a nb ep r e s e n t e d a c c o r d i n gt ot h ea d j o i n ts y m p l e c t i co r t h o g o n a l i t yr e l a t i o n s h i pa n dt h ee x p a n s i o nt h e o r e m ，t h e e x p r e s s i o nw h i c hs a t i s f i e s a l lc o n t r o le q u a t i o ni n t h ed o m a i na n dt w ol a t e r a lb o u n d a r y c o n d i t i o n si sl i s t e d a f t e rs u b s t i t u t i n gi ti n t ot w oe n db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，s o l u t i o no ft h e o r i g i n a lp r o b l e mi so b t a i n e d i nt h i sp a p e r , s e v e r a le x a m p l e sa r eg i v e n , a n de x c e l l e n ta c c u r a c yh a sb e e no b t a i n a r eb y u s i n go n l ys e v e r a le i g e n v a l u e s t h en e wm e t h o dp r e s e n t st h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n si na n n u l a r s e c t o rp l a t ev i as e p a r a t i o no fv a r i a b l e sa n de x p a n s i o no fe i g a n f u n c t i o nv e c t o r i tb r e a k st h e l i m i t a t i o no ft r a d i t i o n a ls e m i i n v e r s es o l u t i o n 皿er e s u l t ss h o wt h a tt h en e wm e t h o dh a sv a s t a p p l i c a t i o nf o r e g r o u n d k e yw o r d s ：a n n u l a rs e c t o rp l a t e ；s y m p l e c t i c ；p l a t eb e n d i n g ；s e p a r a t i o no fv a r i a b l e s ； e i g e n f u n c t i o n i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人雀导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名： 玉壶日期：垒鲤z ；董：型 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名：圣土次 聊虢雌随一 2 丑年尘五日 大连理工大学硕士学位论文 1绪论 1 1 弹性力学中哈密顿体系研究的起源与现状 在各类数学物理线性偏微分方程中，弹性力学方程是最复杂的问题之一。弹性力学 的基本方程体系早在1 9 世纪初便己臻完善，然而求解一直是其发展的一个瓶颈。弹性 力学严格求解的困难促进了一些应用理论的发展，如结构力学、薄壁结构、板壳理论， 再加上结构动力与稳定性、土力学、流体力学等问题，这些构成了应用力学的一个体系。 这些应用理论虽使方程得以简化，但解析求解仍有很大困难。 进入2 0 世纪5 0 年代，随着计算机及高级语言的问世，有限元法首先在应用力学中 出现，迅速改变了局面。在应用力学体系的理论基础上，以强大的计算能力为后盾，对 于用线性方程描述的结构力学、固体力学等很快就发展出通用灵活的有限元数值方法， 并系统化为大规模有限元程序，解算了数以万计未知数的线性代数方程组，成为工程师 手中强大的分析工具，确立了计算力学的地位。有限元法在应用于结构分析中成功的基 础上迅速扩展到了力学、工程与科学计算的各个方面，取得了极大的成功。但有限元法 是一类数值近似，其理论基础脱离不了解析法，因此可以说有限元分析的成功并未减低 解析方法的意义。 求解弹性力学的经典方法半逆法是圣维南在解决弹性柱体的扭矩与弯曲时提出的。 采用半逆法【l 】的原因是弹性力学方程组太复杂。历来的解析求解方法都是在一类变量的 范围之内进行的，或者是应力函数法( 力法) ，或者是位移法( 只有扁壳理论用了混合 法) ，其求解总是用各种方法对未知函数予以消元，得到一个高阶偏微分方程再对一个 未知函数来求解。然而，半逆法依赖具体问题而缺乏一般性，往往只能找到某些解，而 不能证明已找到其全部解。从数学体系的角度看，一类变量的求解属拉格朗日体系的方 法，因此必然导致高阶偏微分方程，以至于分离变量法及本征函数展开法等有效的数学 物理方法无法实施。事实上，这种传统的方法不是唯一的，采用对偶理论及状态辛空间 就是其回答。 根据结构力学与最优控制理论的模拟理论【2 】，将由原变量和其对偶变量组成的辛空 问引入到弹性力学，从而使分离变量及辛本证函数展开的直接解析解法得以实施，形成 了弹性力学问题的辛求解体系1 3 】。辛求解体系是通过理性的推导逐步进行下去的，它改 变了以往弹性力学求解中大量运用半逆法的传统，给出了富有理性的求解方法。这样， 就可以求得许多以往半逆凑合法无法求解或者难于求解的问题。 环扇形薄板弯曲问题环向辛体系的研究 1 2 国内外研究概况 那维埃( n a v e i e rcl ) m 在1 8 2 3 年首次求解了均布载荷和板中点有一集中载荷作用 的四边简支矩形板的弯衄，给出了以双重三角级数表示的解析解，那维埃开创了弯曲薄 板理论求解的先河。列维( l e v ym ) 在1 8 9 9 年给出了一对边简支另一对边为任意支承弯 曲矩形板的解析解。列维解收敛快，具有实用价值，但计算过程复杂，而且只适用于必 须有一对边为简支的弯船矩形板。弗莱彻( f l e t h e rhj ) 和索思( r h o n ecj ) 于1 9 5 5 年发展 了列维法，使之可用于求解任意边界条件矩形板得弯曲，但计算过程仍很复杂。利兹( r 娩 w 惦e 是1 9 0 8 年提出的，是以最小势能原理为基础求解弹性力学闯题的一种近似计算方 法。但前提是，所假设的位移必须是容许的。对于较简单的边界条件问题，容许位移或 许能够假设出来，计算也较简单，解也有一定的精度，利兹法有效。但是，对于复杂边 界条件问题，容许位移难于假设，甚至假设不出来，这时利兹法失效，这便是利兹法的 一大缺点。利用利兹法所得到的是不大于真实解得下限解。迦辽金( g a l e r k i nb 鳓法是于 1 9 1 5 年提出来，是一种以加权余量法为理论基础的近似计算法。它要求所假设的位移应 预先满足位移边界和静力边界全部边界条件，这比利兹法的要求还要苛刻。叠加法是铁 木辛柯( t i m o s h e n k osp 1 于1 9 3 8 年提出的。张福范发展了叠加法，并成功求解了像悬臂 矩形板这样复杂边界条件的弯曲问题。叠加法的优点是可用于求解复杂边界条件矩形板 的弯曲问题；缺点是，对于相应问题的每一叠加项都需要求解一个边值问题，有多少叠 加项，就需要逐一地求解多少项的边值问题，计算很复杂。 对于环扇形板其解析求解还不十分丰富。文献 8 3 假设了满足径向边界条件的位移 函数，代入环板的方程后转化为常系数的微分方程，应用有限差分求解微分方程。文献 【9 、 1 0 3 给出了扇形板、环形板弯曲问题的f o u r i e r - b e s s e l 级数解。文献 1 i 中利用 加补充项的f o u r i e r b e s s e l 双重级数的位移模式，给出了沿直边简支的环扇形板的一 般解。文献 1 2 中利用加补充项的f o u r i e r - b e s s e t 双重级数的位移模式，给出了沿直 边非简支的环扇形板的一般解。 平面弹性与薄板弯曲问题的相似性理论【3 】基础上，可给出薄板弯曲经典理论的另一 套基本方程，建立薄板弯曲的类赫林格一赖斯纳及类胡一鹫变分原理，并进一步给出板弯 曲与平面弹性问题的多变量变分原理。基于相似性原理，将平面弹性问题的哈密顿体系 及其辛几何理论直接引入到薄板弯曲问题，形成薄板弯曲的哈密顿辛求解体系，解决了 矩形域薄板的弯曲问题。还讨论了极坐标平面弹性问题的哈密顿体系，通过分别将径向 及环向模拟为时间坐标，建立了两种不同形式的哈密顿体系，从而给出了圆形及环扇形 大连理工大学硕士学位论文 域平面弹性问题的一个解析求解方法：同时在辛体系中把环扇形薄板径向模拟为哈密顿 的时间坐标，给出了两直边为自由边界条件时的解析解。 1 3 本文的主要工作 本文将详细介绍平面弹性与薄板弯瞳问题的相似性理论，给出薄板弯曲经典理论的 另一套基本方程，建立薄板弯曲的类赫林格赖斯纳变分原理，基于相似性原理，将平 面弹性问题的哈密顿体系及其辛几何理论直接引入到极坐标描述的环扇形薄板弯曲问 题，形成薄板弯曲的哈密顿辛求解体系，从而用理性的方法研究了环扇形薄板弯曲问题。 环扇形薄板弯曲问题环向辛体系的研究 2 预备知识 一切守恒的真实物理过程都能表示成适当的哈密顿体系，它们的共同数学基础是辛 空间。辛空间与研究长度等度量性质的欧几里得空间不同，它是研究面积的，或者说是 研究做功的。本节以有限维空间为例，就辛空间的基本概念与基本性质作一简介。 2 1辛空间 定义1v 是实数域r 上的一个疗维线性空间，v 为其对应的疗维对偶线性空间，定义 形- 矿矿- ( 三) i 口矿，矿， ( 2 t ， 则称线性空间形为由矿与v 组成的实数域r 上的2 ，l 维相空间。 这里特别说明的是，在具体问题中，线性空间矿与y 具有完全不同的量纲，通常不 发生直接的联系，但其对应分量的乘积却有特定的物理意义。例如，一个是位移，一个 是应力，其对应分量的积具有功的量纲。 定义2 设形是实数域r 上的一个2 n 维相空间，对形中的任意两个向量a ，口依一定法 则对应着一个实数，这个数称为辛内积，记作扣，卢) ，并且辛内积0 ，声) 运算满足下列4 个条件： ( 1 ) p ，少) - 印，4 ) ( 2 2 a ) c 2 ) ( 妇，) - - k ( a ，声) ，k 为任意实数 ( 2 2 b ) ( 3 ) 忙+ 如少) - 和，少) + ( y ，声) ，是矿中任意向量 ( 2 2 c ) ( 4 ) 若向量口对形中任- n 置- # 均有0 ，少) 一o ，则4 一o ( 2 2 a ) 称定义有这样辛内积的相空间为辛空间。 定义3 在幼维实向量空闯r 2 “中，对任意向量工= r 屯屯) ， ，一( y l 儿y 。) ，定义辛内积 ( 工，y ) 一( 了，z 。，) 一艺( 五n 。- x “咒) 一工_ z 。y ( 2 3 ) 其中5 。4 - 大连理工大学硕士学位论文 凡一( 三台) 称为单位辛矩阵，向量工，y 满足辛内积的4 条性质，于是就构成一个2 ，l 维辛空间。 下面介绍辛空间中的辛矩阵和哈密顿矩阵。与欧几里得空间中的正交矩阵对应，辛 空间中存在辛矩阵。 定义42 n 2 n 矩阵s 应满足 s t j s j ( 2 5 ) 则称s 是辛矩阵，其中i ，是单位辛矩阵。 易知辛矩阵有如下性质： ( 1 ) 辛矩阵的逆矩阵还是辛矩阵； ( 2 ) 辛矩阵的转置矩阵还是辛矩阵； ( 3 ) 辛矩阵的行列式值等于1 或一l ； ( 4 ) 辛矩阵的乘积还是辛矩阵； 定义5 设矽是知维辛空间，如果线性算子宣对任意向量口，口满足 l a ，彩) - p ，疡) ( 2 6 ) 称线性变换啻为辛空问的哈密顿算子。 定义6 如果2 n 2 n 矩阵日对任意知维向量矗y 满足 ( 而x y - ( y ，胁：) ( 2 。7 ) 则称矩阵日为哈密顿矩阵。 哈密顿算子啻在标准共轭辛正交基下的矩阵是哈密顿矩阵。哈密顿矩阵( 哈密顿算 子) 本征问题是非自伴的，因此可能出现复本征值，而且还可以产生重本征值。但哈密 顿矩阵的本征问题也是有特点的 ( 1 ) 如果肛是哈密顿矩阵日的本征值，重数为m ，则一也一定是其本征值，重数 也为m ；如果哈密顿矩阵日存在零本征值，贝其重数一定为偶数。 的两个本征值为哈密顿矩阵互为辛共轭本征值。通常将哈密顿矩阵的非零本征 值分为两组： ( 口? 一，r e m o 或r e z i 。o i m p j 0 l ( 2 8 ) ( 6 ) 以“一一肛l 7 环扇形薄板弯曲问题环向辛体系的研究 在( a ) 组之中还可以按肫的绝对值得大小来编排，越小越在前。式( 2 8 ) 中没有包含零本 征值，它是特殊的辛本征值，即其互为辛共轭的本征值是其自身。 ( 2 ) 日是哈密顿矩阵，拼”，“”，卅”和y ( 0 ，y ，缈p 分别是本征值肫，_ f 对应的 基本本征向量及约当型本征向量，则当地+ ，l0 时本征向量问有如下关系： ( 耐”，缈 ) 一拼一。t ，计- 0( j o ，1 _ 明；t - 0 , 1 , 一j n ) ( 2 9 ) 这说明非辛共轭的本征值对应的基本本征向量及其约当型本征向量间存在辛正交 性质( 辛正交指辛内积为零，否则为辛共轭) 。 本节给出了有限维辛空间的基本概念，并简单介绍了一些基本性质，这里许多概念 和性质可以直接推广到无穷维辛空间。最有给出欧几里得空间与辛空间的对比关系表。 表2 1 欧几里得空间与辛空间的对比关系表 欧几里得空间辛空间 内积( 口，夕) 一( 长度) 辛内积( g ，声) 一( 面积) 单位矩阵j单位辛矩阵- ， 正交( 工，y ) - x 7 j ( 一石巧) a o辛正交( 工，y ) - x 7 y ( - x 7 毋) = 0 ( 标准) 正交基( 杯准) 廷挑芊止父昼 正交矩阵q ，满足q 7 q ( 一q 7 坦) 一， 辛矩阵s ，满足st - 腰- j 对称变换 ，劫) - 汐，五4 ) 哈密顿变换( 4 ，劫) 一，疡) 对称矩阵4 ，满足4 7 = a ( - 工盯) 哈密顿矩阵日满足h 7 一j h j 实对称矩阵的本征值如1 t 是哈密顿矩阵的本征值， 皆为实数则一p 也是其本征值 实对称矩阵不同本征值的哈密顿矩阵非共轭本征值的 本征向量必正交本征向量必辛正交 由实对称矩阵本征向量可组成由哈密顿矩阵本征值向量可组成 一组标准正交基 组标准共轭辛正交基 大连理工大学硕士学位论文 勒让德( l e g c n d r e ) 变换是实现拉格朗日体系向哈密顿体系转变的关键。 h - 芸，v 一芸 t ， h - = ，l ，- _ 三一f 2 1 1 1 d 霄d ， x - x ( u ，) ，) ， ，- v ( u ，_ ) ，) ( 2 1 2 ) 厂( “，) ，) a ，p ( “，y ) ，y 】 ( 2 1 3 ) 笪；堕垦+ 堕。鱼+ y 1 兰。誊盖8x8u8 u 毛8 u 一0 4 ) 望。笪堕。“一。旦阢1 一石l 、。 船孤 、7 l 巷鞫 5 ， 工一云( 敬一班鲁l 式中g ( ，) ，) 一班一- f - 孚善一，。由此可以看出，当独立变量由x ，y 变为“，y 时， d x 环扇形薄板弯曲问题环向辛体系的研究 上面讨论的仅是对自变量x 实施勒让德变换。也可以对两个自变量z ，y 同时实施勒 让德变换，即选择u ，y 作为独立变量。由式( 2 1 1 ) 可解得 x - x ( u ，v ) ，y - y ( - ，v ) 函数，亦可改用n ， ，表示，即 ，( 比，v ) - ，【x ( m ，v ) ，y ( u ，v ) 】 引入变换函数 季( “，v ) 一麟+ 哕一，( “，v ) 则有如下关系 堕。x + 站堕+ ，盟一笪堡一望至。z a 球a “a “a xa “ 毋a “ 堕。y + “兰+ ，塑一笪塑一笪竺y 却7却却缸知却却 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 即x ，y 可用季对球和y 的偏微商表示出。勒让德变换可以从两个变量推广到多个变量。 2 3 哈密顿原理与哈密顿正则方程 在经典力学中最小作用量原理归结为哈密顿原理，通常用有限自由度疗维的广义位 移吼( i - 1 ，2 ，n ) 或表达为向量口来描述。用也表示其对时间的微商，则动力系统的拉 格朗日函数( 动能一势能) 为 l ( q ，圣) 或 ( 吼，q ：，吼；反，么，吼) ( 2 2 0 ) 哈密顿原理表述为：一个保守系统自初始点( 口o ，t o ) 运动到终结点( ，) ，其真实的 运动轨道应使作用量a 成为驻值 a = | ：! 工( 口，圣) d f ，d a - 0 ( 2 2 1 ) a 的变分应为零，作其分部积分有 d 4 t j ： 詈一鲁( 篱) 】由出一。 g 2 力 一8 一 大连理工大学硕士学位论文 由于d g 可任意变分，可导出拉袼朗日方程： 丝a q 。旦( i t ( 盖) g 功 一 ，_ la 圣j 、7 因此，哈密顿原理式( 2 2 1 ) 对应于拉格朗日方程( 2 2 3 ) ，它是二阶常微分方程组。表 达式只有位移这一类变量，是单类变量的变分原理。 按勒让德变换步骤，把拉格朗日函数中的一类独立变量圣( 广义速度) 变换为p ( 广 义动量，即对偶变量) ，t i a l ( 2 砷 口u 再从中解出圣，使圣是p ，q 的函数，即 圣t q ( v ，口)( 2 2 5 ) 按照勒让德变换的规则，还需要引入交换函数，即哈密顿函数( 动能+ 势能) h ( q ，p ) 一v t , i l ( q ，圣( p ，吁) ) ( 2 2 6 ) 于是根据式( 2 x s ) 有 盖- - 等，圣。等 - - - - - _ - - 一 ， 叼d 口妒 考虑到( 2 2 3 ) 可得 堕a q - 旦a t f t 丝a , 口) 1 一户 ( 2 2 8 ) 一l l 。p 【二z 劲 故得 。a = h = ，。一a j h q p 一 ( 2 2 9 )。- ，- 一= _ 一【z z 9 ) d pd q 式( 2 2 9 ) 就是哈密顿, - f 贝i j 方程，其中采用t - - 类变量；广义位移鼋与广义动量p 。与 哈密顿方程( 2 2 9 ) 相对应的变分原理是 哦 v t q 一日( 叫) p 2 0 ( 2 3 0 ) 环扇形薄板弯曲问题环向辛体系的研究 其中p 与鼋应当看成互不相关独立变分的变量。单类变量的变分原理式( 2 2 1 ) 变换到 二类变量的变分原理式( 2 3 0 ) 的过程具有典型性，它是通过勒让德变换而实现的。 2 4 分离变量法 由文献【3 】，哈密顿对偶方程组具有如下形式： p - t t v + j l ( 2 3 a ) 式中 r 心口。( ：_ d t ) m 动 分离变量法要寻求( 2 3 1 ) d 0 齐次方程p h v 的以下形式的解： v ( x ) 一宇( z ) 吵( 2 3 3 ) 其中：亭( x ) 是x 的函数，与向量妒中任意分量无关；y 则是2 n 维向量，它与x 无关。 y 一( 缈：| | f ，：。) t( 2 3 4 ) 是“横向”的“函数”。把式纪3 3 ) 代入口一日v 得 掣。嚣( 2 ，1 ) ( 2 3 5 ) 娥亭( 工) 、 一 7 、7 上式左端与x 无关，而右端与下标i 无关，因此他们只能等于常量，记之为。于是有 h 掣- 弘vq ，3 6 ) 及 亭( z ) 昌e ”。( 2 3 7 ) 方程( 2 3 6 ) 为哈密顿矩阵的本征问题。 由于哈密顿矩阵置不是对称阵，可能出现重本征值，因此还可能有约当型的本征向 量。若y ( o ) 是重本征值p 的基本本征向量，其各阶约当型本征向量缈( ”，缈( ”，妒( ) 应分 别由下列方程求得 大连理工大学硕士学位论文 日妒( 1 ) 一妒( 1 ) + ( o l 丑妒( 2 ) 一f 妒( 2 ) + 吵( 1 ) 嚣矽( ) 篁芦y ( ) + y 忙- 1 ) ( 2 3 8 ) 约当型本征向量矿( 们，吵( “，、缈忙) 不能直接构成齐次方程t h v 的解，但由它们可以组 成原齐次方程的解 v 0 ) 纠【妒+ z 咿扣】 y ( 2 ) 一c p 妒( 2 ) + x 妒。) + 三x 2 y ( 0 】 v p _ e p 。【y 恤) + x y 恤1 + + 击工y 扣】 ( 2 3 9 ) 这里需要特别指出本征值a 一0 是一个特殊情况。在弹性静力学中口= 0 是常见的， 且通常存在约当型，其对偶的本征向量与其约当型的解混在一起，这在理论上带来了某 种不便。其处理方法应当是将零本征值的本征解子空间先行求出，并将哈密顿阵降维到 不含有零本征值，使之适应式( 2 8 ) 的划分。 2 5 弹性薄板弯曲的小挠度理论 板是重要的结构元件之一，其相关力学问题的求解一直是固体力学研究的重要内 容。当板厚与板面内的最小特征尺寸之比在1 8 0 和1 5 之间时，称为薄板。对于一般工 程计算精度，当h b 在1 8 和1 5 之间，就可以按薄板计算。 平板所受载荷可分为作用于中平面的面内载荷和垂直于中平面的横向载荷两类。前 者为典型的弹性力学平面应力问题；后者将引起板的弯曲，是即将讨论的薄板弯曲问题。 在横向载荷作用下，板的中平面将变形成为一个曲面，垂直于中平面的位移称为挠 度w 。在小挠度弯曲问题中板中面的最大挠度w 远小于板厚h 。 薄板小挠度弯曲理论的基本假定是由基尔霍夫首先提出，也成为基尔霍夫假定： ( 1 ) 直法线假设：变形前垂直于中面的法线，变形后仍为直线并垂直于变形后的中面； ( 2 ) 中面内各点无面内位移； ( 3 ) 平行于中面的各层互不挤压。 环扇形薄板弯曲问题环向辛体系的研究 2 6 平面弹性与薄板弯曲问题的相似性 薄板弯曲基本方程为重调和方程，它是拉格朗日与索菲日耳曼在1 9 世纪导出的，从 此至今基本问题就是如何对其求解。传统的纳维 a i v c f ) 法、莱维( l e v y ) 法等半逆解法， 对于对边为简支的各向同性板是非常有效的，但对于复杂一点的边界条件贝o 难于应用。 弹性平面问题的求解传统是采用艾里应力函数，它也满足重调和方程。既然基本方 程相同，两者互相间必然有相似性。 以矩形板为例，薄板弯曲的基本方程为 v 2 v 2 w 。旦 ( 2 4 0 ) d 其面内横向载荷q 可以用一个特解通过叠加原理预先加以处理，因此可先考虑目一0 的齐 次方程 v 2 v 2 w 一0 ( 2 4 1 ) 而平面弹性的艾里应力函数吼也满足重调和方程 v 2 v 2 红一0( 2 4 2 ) 以此为契机，可以建立两类问题之间的相似性。如与平面弹性的应力吒，仃，对应 板弯曲有曲率b ，t ，b ；与平面弹性的应变，岛对应板弯曲的弯矩m ，以， 2 m 。，而弯矩- 曲率关系除了泊松比，变号外，显然与平面弹性的应变一应力关系是一一 对应的。 按照相似性，与平面弹性的位移 ，v 对应，薄板弯曲应引入弯矩函数驴= ( 丸，哆) t ， 于是与平面弹性的几何关系对应板弯曲有弯矩与弯矩函数的关系 哆一誓，收一誓，一警+ 誓 ( 2 4 3 ) 改用算子矩阵 大连理工大学硕士学位论文 营( v ) a 旦。 缸 。旦 砂 aa 砂缸 ( 2 4 4 ) 则可表示为 拼- 占( v ) 矿( 2 4 5 ) 其次讨论边界条件。这里的边界条件并不限定为直边，而是为任意的光滑曲线，且 为方便认为没有角点。记板边界曲线的外法线方向为一，沿周界方向为j ，两者构成右 手系，而且n 与z 正向之间的夹角为口，边界曲线的衄率半径为p ，且以向外凸的为正， 于是对边界上的任意函数g 有 塑。塑0 0 s 口+ 塑s i n a1 量盖血口盖 亿4 回 塑一塑血口+ 塑c o s 口i 、7 o s缸 a y j 此外由曲率的定义可知 百a c l 一万1 ( 2 铆 8 s p 、 因为弯矩函数的变换规则与向量相同，因此边界上的弯矩函数为 纯。纯c 。s 口+ 鸯s m a1 唬。一g ；s i n a + 哆c o s a i 用弯矩函数表示的边界法向弯矩的计算公式为 詹娑+ 立 o l s p 用弯矩函数表示的边界总的分布剪力的计算公式为 屯一丢降告) ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) ( 2 5 0 ) 环扇形薄板弯曲问题环向辛体系的研究 玩发w 衣不h 可迈昴剀i 司圃翠利忍开础羊圈计异公瓦力 t 一鲁+ 告 a 统 1a w 一蔷+ i 石 有了上述边界计算公式，就可以按照板经典理给出边界条件，如 ( 1 ) 在给定位移边界i u 上有给定挠度和转角的边界条件 ，- 帚与吒一- a w 一瓦 d n ( 2 ) 在给定力边界i o 上有给定弯矩和总的分布剪力的边界条件 即o s 告胡。1 民- - 丢( 善一砉) 2 瓦 ( 3 ) 在简支边界r l 上有给定挠度和弯矩的边界条件 w 再与m 。- 鼍+ 盘p 一积。 ( 2 s 1 ) ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) 其中面，瓦：玩，瓦皆为边界给定函数。 与平面弹性的赫林格赖斯纳变分原理相似，可写出薄板弯曲的类赫林格赖斯纳变 呱“黧譬掣蕊紫0 坛引扣回e 卜( 吨一瓦) + t ( 氟一无) 蚪= 、 其中石，元等为已知。 之所以称式( 2 5 6 ) 为板弯曲的类赫林格赖斯纳变分原理，是因为它们是根据板弯曲 大连理工大学硕士学位论文 3 环扇形薄板弯曲环向辛求解体系 3 1 环扇形板的极坐标方程 图3 1 环扇形板示意图 f i g 3 1 s k e t c hm a po faa n n u l a rs e c t o rp l a t e 在极坐标系下板弯曲的基本方程： ( 1 ) 曲率一挠度关系 ( 2 ) 弯矩一曲率关系 其中d 为板的弯曲刚度。 ( 3 ) 平衡方程 1a w1a 2 w 。石万+ 歹而 a 2 w b 石 一寺( 吉嚣)一万l ；面j 降1 ，l 引m p 如o ( 3 。1 ) ( 3 2 ) 、l_illlill， b ，- 、lllllfli， y o 0 一 o 2 y 1 o 环扇形薄板弯曲闯题环向辛体系的研究 百a m p 一吉等+ 世p - a ppa 甲 ” 吉等一知一誓喝 ( 3 3 ) 与 孥a p + 鲁+ 三p 等- 口 pd 妒 连续分布的扭矩与横向剪力在边界合成的总的分布剪力为 - 一吉等，一一誓 ( 3 5 ) 根据板弯曲与平面弹性问题的相似性原理，板弯曲的挠度w 对应平面弹性的艾里应 力函数，因此与平面弹性极坐标系的位移“。，“。对应，板弯曲在极坐标系下有弯矩函数 为蟊，靠，弯矩与弯矩函数的关系 以。誓，以吉卜+ 等) ，肘。专( 等+ p 兽一晦) c s d 类同于平面弹性的刚体位移，函数 办- a 0s j n 妒+ q c o s p ，蟊i c o s 妒一q s i n 妒+ a 2 p p ，7 ) 不产生任何弯矩，其中a 。，a 1 ，口：为任意常数，式( 3 7 ) 为极坐标系零矩函数。 取图3 1 中0 点为坐标原点，在半径为a 的板边处，边界条件有以下三种形式： ( 1 ) 当p i a 的边界固支时，边界条件为： w 一0 ； 业a p 。o ( 3 8 ) ( 2 ) 当p a 的边界简支时，边界条件为 w 1 0 ； m p m ， ( 3 9 ) ( 3 ) 当p a 的边界条件自由时，则边界条件是： m ，一0 ；i 0 ( 3 1 0 ) 大连理工大学硕士学位论文 对于两直边矿一口的边界条件，如在给定位移边界l ，有给定的挠度话和法向转 角瓦，用切向曲率和法向扭率k 表示为 e 一匠- 雾，k 一死一鲁 ( 3 1 1 ) e 。t 。i 了，k 。一百亍 【j 1 ) 而在给力边界l 上有给定法向弯矩厨。及等价剪力瓦，用弯矩函数表示的边界条件为 ：妻：蔓莒f 二：嚣凼+ + 口 p - 刁 九一无- j 三p s ) 民凼+ + 口l 、。 3 2 环向模拟为时间的辛求解体系 平面弹性问题引入哈密顿体系，可以导出一套求解辛体系。利用薄板弯曲与平面弹 性的相似原理可以为薄板弯曲的分析求解开拓出一套辛求解体系。文献【3 】中讨论了矩形 板的弯曲问题，辛求解方法当然也可以用于环扇形板的弯曲问题。本节所讨论的是用极 坐标描述的环扇形板。 与极坐标系平面弹性的赫林格赖斯纳变分原理相似，可写出板弯曲的极坐标系类 赫林格赖斯纳变分原理： d r 卜等+ 等卜+ 等) + ( 等一告+ 砉券) 一u p 叫妒- 。， q ( k ，) 一吾。【+ + 2 k + 2 ( 1 一，) 砖 ( 3 1 4 ) 其中d 为板的弯曲丹8 度，为板弯曲应交能密度。 在这个变分原理中，挠度w 是不出现的，它是在求出曲率后通过进一步积分而得 出的。在执行上式的变分，其中，符品，蟊，蟊视为独立变量，即可导出弯矩一 曲率关系 环扇形薄板弯曲闯题环向辛体系的研究 丝；盟 a p a 吉( 哆+ 嚣) 一嚣 盟一生三丝。盟 a pppa 华a k w 及曲率协调方程 堡+ 塑+ 三监。0 1 a p ppa 9i 三生+ 勉+ 坠o i p8 妒a p p、 与平面弹性扇形域问题相同，引入变换 亭一1 i l p ，即p - e 5 并记： 轰1 h 墨，岛一l n 恐 引入新的变量： sp - p 冀。， s 9 - p x ，s 砷- p x 婶 于是板弯曲的极坐标系类赫林格赖斯纳变分原理改写成为： 虻r 等+ 卜+ 等) + ( 善一+ 鼍) _ 三。 + + 2 y + 2 ( 1 一y ) 扣亭d 妒一o ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) ( 3 。1 9 ) 将妒模拟为哈密顿体系的时间坐标，并记( ) - a d 妒，将( 3 2 0 ) 对s 。变分有： 一吉兽， 。石右叫 ( 3 2 1 ) 式( 3 ，2 】，代入式( 3 2 0 ) ，削去毛得 大连理工大学硕士学位论文 其中 d m 钍爹+ r 击龟扣f 2 j d ( 1 一，砖一，警博啦+ 簧一埘脚一。 哈密顿密度函数为： g a ( 蟊蟊) 7p - ( ) t ( 3 2 3 ) 口c 办。( ：，警：哆) + ( 如一等) 一 。2 西1 k - 。f f “! + 争，2 降2 。( 1 一，) 磊 对式( 3 2 2 ) 舜j p ，鼋变分即得对偶方程组 t 矾 其中v t 哆哆) 7 为全状态变量，将( 3 2 5 ) h 潲t 算子矩阵为： 丸 九 s s 口 1 一喜2 d ( 1 一，) a 毒 、7 0 0 0 一1 9 0 0 1 一旦 蹭 陲 ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) o o瞎o o + d 1 旦略铲f 。瞧蒜。 一 一 环扇形薄板弯曲闯题环向辛体系的研究 t t ， a 宇 1a 2 d a 亭2 0 2 0 ( 1 一v ) 0 o n ( 1 ) ( 3 2 7 ) 对式( 3 2 7 ) ，按数学物理方法的常规，可用分离变量法进行求解。令 ( 芋，伊) - e ”9 缈( 宇)( 3 2 8 ) 其中是本征值，待求。而妒( 占) 是本征函数向量，它只是亭的函数，其本征方程为： 月v ( 亭) ，t 妒( 亭)( 3 2 9 ) 当然本征函数向量矽( 亭) 还应该满足两侧边相应的齐次边界条件。 为了讨论算子矩阵日的性质，引入单位辛矩阵 ，一( 9 20 ) 令 ( 叶，吃) t r 枷：峙。r ( 啦，。：+ 蟊 ：一s 。砟2 - - s p 以：砖 ( 3 3 1 ) 显然式( 3 3 1 ) 满足辛内积的4 个条件，按照( 3 3 1 ) 1 掎辛内积定义，全状态向量v 组成一辛 几何空间。 通过分部积分知有： 以，日吃) - 化，日) + 怍等叫嘞，( 吉等叫慨：r 3 矽 如果叶，v ：满足自由、固支或简支等相应边界条件，则恒有“，日吃) 一( v 2 ，日h ) ， 因此- 为哈密顿算子矩阵。 卫砖o l 0 一 o 以 。一瞎 y 0 + o 2 瞎 一 0 o 大连理工大学硕士学位论文 4 圆弧边简支板 两条弧边宇一点和亭- 岛皆为简支边，则其边界条件为 m ，一0w 一0 ( 亭- 最亭一岛) 改用全状态向量描述： 砉( 等+ 啦) 8 。万a s , + l o ( 瞒) 4 1零本征值的本征解 由本征方程( 3 2 9 ) - j 将零本征值本征解的方程列出为： ( 4 1 ) ( 4 2 ) 。 咿等+ 2 d ( - 一，) 。一。 也+ v 釜 oo + 。( 1 卅- o 一三d 善。 。 鲁。 3 ae|pa 。 一一鲁 。- 。 e h 其第4 式及侧边条件易知有 s w - 0 然后代入式( 4 3 ) 第1 式，求解得 屯一e 。p 而由