（基础数学专业论文）关于矩阵的若干奇异值特征值不等式及矩阵不等式.pdf

摘要 矩阵理论作为一种各数学学科的基本工具，在数学学科与其它科学技术领 域( 如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等) 都有广泛应用。 而在矩阵理论的研究中，有关矩阵的特征值、奇异值不等式以及矩阵不等式无疑 是重要的。 奉文是我在学习矩阵理论及相关课程之后，在吸收和借鉴了著名矩阵理论 学者科研成果的基础上完成的。文章主要分为三个部分。 在第一部分中，我将在文献【6 ，b o y i n gw a n g a n dm i n g - p e n gg o n g ，1 9 9 3 】 的基础上，利用矩阵奇异值与特征值的关系与正规矩阵复合矩阵的相关性质，得 到关于正规矩阵乘积及其幂积之间一系列关于奇异值的控制不等式与不等式，并 把文献 6 ，b o - y i n gw a n g a n dm i n g - p e n gg o n g ，1 9 9 3 - - 些结论进行推广。 在第二部分中首先得到了两非负定矩阵乘积的若干特征值奇异值不等式，然 后利用复合矩阵的相关性质及其最小特征值与原矩阵特征值的关系给出文献【6 ， b o y i n gw a n g a n dm i n g - p e n gg o n g ，1 9 9 3 中几个定理的另外一种证明。 在本论文的最后一部分首先我将在引理4 2 1 1 的基础上利用s c h u r 补这个工 具得到一些关于矩阵s c h u r 补的特征值不等式；然后得到了一些关于矩阵加法与 h a d a m a r d 积的s c h u r 补的矩阵不等式；最后利用矩阵s c h u r 补与主子阵之间的关 系，得到了关于矩阵s c h u r 补与主子阵的一些矩阵不等式。 关键词：特征值；奇异值；复合矩阵；控制不等式；s c h u r 补；h a d a m a r d 积；主 子阵。 中图分类号：0 1 5 1 2 1 文献标识码：a 3 a b s t r a c t t h em a t r i xt h e o r ya sab a s i ct o o lo fm a t h e m a t i c a ls u b j e c t s ，a r ew i d e l yu s e di n m a t h e m a t i c sa n do t h e rd i s c i p l i n e so fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g yf i e l d s ( s u c ha sn u m e r i c a l a n a l y s i s ，o p t i m i z a t i o nt h e o r y ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s ，s y s t e m s e n g i n e e r i n g ，e t c ) b u ti nt h es t u d yo fm a t r i xt h e o r y ，t h ei n e q u a l i t i e sf o re i g e n v a l u e s ， s i n g u l a rv a l u e sa n dm a t r i c e sa r ei m p o r t a n tu n d o u b t e d l y t h i sa r t i c l ei sc o m p l e t e da f t e rm yl e a r n i n gm a t r i xt h e o r ya n dr e l a t e dp r o g r a m m e s ， a b s o r b i n gi na n dd r a w i n g o nr e s e a r c hr e s u l t so ft h ew e l l k n o w nm a t r i xt h e o r y s c h o l a r s t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t ot h r e ep a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，1w i l lo b t a i n e das e r i e so fm a j o r i z a t i o ni n e q u a l i t i e sa n di n e q u a l i t i e s f o rs i n g u l a rv a l u e so fo r d i n a r ya n dp o w e rp r o d u c t so ff o r m a lm a t r i c e sb ym e a n so ft h e r e l a t i o n sb e t w e e ne i g e n v a l u e sa n ds i n g u l a rv a l u e sa n dt h ep r o p e r t i e so ft h ef o r m a l m a t r i c e sa n d c o m p o u n d m a t r i c e so nt h eb a s i so ft h er e f e r e n c e 【6 ，b o - y i n gw a n ga n d m i n g - p e n gg o n g ，1 9 9 3 】，a n de x t e n ds o m ec o n c l u s i o n so ft h er e f e r e n c e 【6 ，b o - y i n g w a n g a n dm i n g - p e n gg o n g ，1 9 9 3 i nt h es e c o n dp a r tio b t a i n e ds o m ei n e q u a l i t i e sf o re i g e n v a l u sa n ds i n g u l a rv a l u e s o ft w op o s i t i v es e m i d e f i n i t em a t r i c e sp r o d u c t s ，a n dt h e ng i v ea n o t h e rw a yt op r o v e s o m et h e o r i e si nt h er e f e r e n c e 【6 ，b o y i n gw a n ga n dm i n g - p e n gg o n g , 1 9 9 3 】b yt h e p r o p e r t i e so fc o m p o u n d m a t r i c e sa n dt h er e l a t i o n sb e t w e e n m i n i m a l e i g e n v a l u ea n d e i g e n v a l u e i nt h el a s tp a r to ft h i sp a p e r ，f i r s t ，1w i l lo b t a i n e ds o m ei n e q u a l i t i e sf o re i g e n v a l u e s o fs c h u rc o m p l e m e n t so fm a t r i c e sb ym e a n so fs c h u rc o m p l e m e n t so nt h eb a s i so ft h e l e m m a4 2 11 ；a n dt h e no b t a i n ds o m em a t r i c e si n e q u a l i t i e so fs c h u rc o m p l e m e n t so f t h es u ma n d h g d a m a r d p r o d u c t so f m a t r i c e s ；f i n a l l y ，io b t a i n ds o m em a t r i x i n e q u a l i t i e so f s c h u rc o m p l e m e n t sa n dp r i n c i p a ls u b m a t r i xo fm a t r i c e sb ym e a n so f t h er e l a t i o n sb e t w e e ns c h u rc o m p l e m e n t sa n dp r i n c i p a ls u b m a t r i xo fm a t r i c e s k e yw o r d s ：e i g e n v a l u e ；s i n g u l a rv a l u e s ；c o m p o u n dm a t r i c e s ；m a j o r i z a t i o n ；s c h u r c o m p l e m e n t ；h a d a m a r dp r o d u c t ；p r i n c i p a ls u b m a t r i x 4 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。 对本文的研究在做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确 方式标明。本人完全意识到本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名：驻 日 期：j 坐埋兰盟 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解贵州大学有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅；本人授权贵州大学可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文储鞲斗锄张噬帆世必 、上 j l _ 日l j吾 矩阵理论作为一种各数学学科的基本工具，在数学学科与其它科学技术领 域( 如数值分析、优化理论、微分方程、概率统计、系统工程等) 都有广泛应用。 而在矩阵理论的研究中，有关矩阵的特征值、奇异值不等式以及矩阵不等式无疑 是重要的。 本文是我在学习矩阵理论及相关课程之后，在吸收和借鉴了著名矩阵理论 学者科研成果的基础上完成的。文章主要分为三个部分。 在1 9 3 7 年，著名的v o n n e u m a n n 簿不等式l i ：e ( 护( 彻) ) s q ( 么) q ( b ) 就发表了，其中r e 定义实部，f r 定义矩阵的迹。自从这个不等式发现后，在将 近7 0 年的时间里，它在纯数学理论研究及应用数学中都引起了广泛的注意。 对于矩阵的奇异值来说，有许多与之相关的精彩的不等式，b o y i n gw a n g ， b o y a n x i ，m i n g p e n gg o n g ，f u z h e nz h a n g 等人都对其做了大量的研究 并得到了一些比较好的结果。如：b o y i n g w a n g ，b o y a hx i 在文献【1 1 ，b o - y i n g 七t w a n g a n d b o y a n x i ，1 9 9 7 中证明了( 肋) ( 么k 小。( 占) ， 七丘 三彰( 彻) z ( 彳e + 。( 口) ；n k o m a r o f f 在文献 3 1 ，n k o m a r o f f , 2 0 0 7 q b 一步加强了v o n n e u m a i l n 迹不等式r e ( 驴( 彳b ) ) s q ( 么) q ( b ) 。还有其他很多 j 。l 学者在这方面的研究，我就不在此一一列举了。第一部分主要是在文献【6 ， b o - y i n gw a n g a n dm i n g p e n gg o n g ，1 9 9 3 的基础上证明了关于正规矩阵的一 些奇异值不等式，并把文献【6 ，b o y i n gw a n g a n dm i n g - p e n gg o n g ，1 9 9 3 - - 些结论进行了推广。 矩阵特征值与奇异值估计在矩阵计算，误差分析等应用数学方面一直是十 分重要的课题，对此国内外学者得到了许多著名的结果( 【1 】i 【5 】) 。在此基础上， 本文第二部分中首先得到了两非负定矩阵乘积的若干特征值奇异值不等式，然后 利用复合矩阵的相关性质及其最小特征值与原矩阵特征值的关系给出文献f 6 ， b o y i n gw a n g a n dm i n g - p e n gg o n g ，1 9 9 3 q u 几个定理的另外一种证明。 矩阵不等式作为一个广阔的数学领域，从某种意义上说比矩阵等式有更大的 用处。在矩阵理论的研究学习和统计学的应用中，s c h u r 补是一个非常有用的工 具，国内外许多学者在这方面做了大量的工作。h a y n s w o r t h ，r o n a l dl s m i t h ，a n d o ， b o y i n gw a n g ，f u z h e nz h a n g ，j i a n z h o ul i u ，s h u a n g z h e “u 等都利用s c h u r 补得到 了一些比较好的结果。如：b o y i n gw a n g 和f u z h e nz h a n g 在文献【7 ，b o y i n g w a n g a n df u z h e n z h a n g ，1 9 9 7 1q h 研究了s c h u r 补和h a d a m a r d 积；r o n a l d l s m i t h 在 3 2 ，r o n a l dls m i t h ，1 9 9 2 中研究了s c h u r 补的特征值交错不等式； j i a n - z h o u l i u 和y u n q i n gh u a n g 在文献 2 7 ，j i a n z h o ul i u ，y u n q i n gh u a n g ，2 0 0 6 】 中得至g - j - 许多精彩的关于矩阵s c h u r 补的特征值不等式。例如b o - y i n gw a n g 和f u z h e nz h a n g 在文献【7 ，b o - y i n gw a n ga n df u z h e nz h a n g ，1 9 9 7 中得到 了这样一些结果：若a ，b 为n 阶正定矩阵，则有( a 。b ) s a 以o b _ 1 以及 r 形】s ( 必) - 1 + ( ) 以和形( 彳么) 古，m z + ；s ( 彳么广，肌z 。显然， 这些不等式都非常有用。还有其他很多学者在这方面的研究，我就不在此一一列 举了。本文第三部分首先我将在引理4 2 1 1 的基础上利用s c h u r 补这个工具得到 一些关于矩阵s c h u r 补的特征值不等式；然后研究了一些关于矩阵和与h a d a m a r d 积的s c h u r 补的矩阵不等式；最后利用矩阵s c h u r 补与主子阵之间的关系，得到 了关于矩阵s c h u r 补与主子阵的一些矩阵不等式。 6 第一章记号与定义 在本文中，用n 表示自然数集，z + 表示全体正整数集合，所有肌以阶复 矩阵的集合记为c ，c 表示咒阶复矩阵集，a 。表示a 的共轭转置，a 以表示a 的逆，a 。表示4 的a 次方幂，用4 。表示( 彳一1 ) 8 ，这里口 o 。a z 0 ( a o ) 分别 表示矩阵a 半正定( 正定) 。若a + - a ，则称a 是h e r m i t i a n 矩阵。a b 则表示 彳一b o 。设彳c ”螂，所谓a 的奇异值是指分( 彳+ 么) ，通常记为q ( a ) ， ；一l 2 ，万设4 m 。，九( 4 ) ，九( 么) 表示其特征值，使i a ( 4 ) 卜l 九( 彳) l ， 记a 似) _ ( a 一) ，丸似) ) ；q ( 彳) ，吼( a ) 表示基奇异值， 使 q ( 彳) 乏q ( a ) ，记仃即) = ( q 似) ，吒即) ) 。设x 一( 葺，矗) 表示实数域上 n 维行向量，重新排列x 的各分量后为x l = ( 啊，x t 。】) ， 其中 x l , l - zx t 。】，xt 一( _ ，) ，气。) ) ，其中簟。) s s t 。) 。 集合 1 ，2 ，1 ) 简记为 对 的任意子集口，a ( a ，卢) 表示彳的 属于口的行和属于卢的列所组成的子矩阵，特别的当口一卢时简记彳( 口，卢) 为 a ( a ) 。用a 表示a 在集合 中的补集。 令彳一( 口# ) ，b 一( ) ，当彳，b 为同阶矩阵时，彳。b 鼍( 口u ) 表示矩阵4 ，b 的h a d a m a r d 积。 酬为? 二= 懈，篇卜削懒阵 a ( a 。) 一a ( a ，口) 彳( 口) 】一a ( a ，口) 为么( 口) 在彳中的s c h u r 补，并记作么口。 下面我们给出本文要用到的几个定义。 i i l , y , 1 1 叩喉1 9 9 0 】设x ；( 葺，) r “，y 一( ) ，1 ，一，y 。) e r ”， 7 x y ； 七 量 一 n ( 1 ) 若善诈】墨荟咋】，七= l ，疗，且善讳】2 善唧】，则称z 被y 控制，记为 j k ( 2 ) 若石，y 只满足荟嘞s 荟嘲，七i 1 ，刀，则称x 被y 下弱控制，记为 戈 。y 。 定义1 2 【1 王伯英1 9 9 0 】 设o s x ，y e r “， 七七 若珥坪】砸】，七啮“m 则记为1 0 9 x - o j l o g y ； 若进一步满足珥唯】5i y d ，则记为l 。g x _ l 。g y 。 定义1 3 旺伯荚1 9 9 0 】 设爿肘。，则称q 曲= 每( 朋) ，i 。l ，l 为a 的奇异值。 定义1 4 【1 王伯英，1 9 9 0 】 设4 m 。，；g a a 。a a ，则称a 为正规矩阵。 定义1 5 【1 王伯英1 娜】设4 = a ) c 一，1 s k i n i n m ，z ) ，用彳( i ) t ( d e t a 口l ) 表 示a 的k 级复合矩阵，它是由a 的所有k 阶子式按字典次序排列而 成，其中口幺朋为行标，幺一为列标。( 其中q 。表示前n 个自然 数取k 个的所有序列的集合中分量严格增的序列的集合。对于 a 鲛用，卢级一，用彳 口i 】= ( 口口【f ) ，) ) 表示a 的七足的子矩阵，它 是由a 的a ( 1 ) ，a ( k ) 行与卢( 1 ) ，卢( 七) 列相交的元素组成。它的 行列式( 也叫k 阶子式) 可表示为d e t a a f 1 t g ( 万) 丌口。( ；胁( ；) ， 其中p ( 石) 为1 或一1 视万为偶置换或奇置换，s k 为k 阶置换群。) 。 8 第二章关于正规矩阵的若干奇异值不等式 2 1研究背景 矩阵理论作为一门基础学科，其奇异值不等式无论是在纯数学理论还是应 用数学方面都有着重要作用。对于矩阵的奇异值来说，有许多与之相关的精彩的 不等式，b o y i n gw a n g ，b o y a hx i ，m i n g p e n gg o n g ，f u - z h e nz h a n g 等人 都对其做了大量的研究并得到了一些比较好的结果。如：b o y i n gw a n g , b o - y a h x i 在文献【1 1 ，b o y i n gw a n g a n d b o y a hx i ，1 9 9 7 】中证明了 善( 仰) 苫荟( 彳e 州( 曰) ，善吖( 彻) 芑善( 彳k 小z ( b ) ；n k o m a r 。f f 在 文献【3 1 ，n k o m a r o f f , 2 0 0 7 】中进一步加强了v o nn e u m a n n 迹不等式 r e ( 护( 朋) ) s q ( 么) q ( b ) 。还有其他很多学者在这方面的研究，我就不在此 一一列举了。b o y i n gw a n g a n dm i n g p e n gg o n g 在文献【6 ，b o y i n g w a n g a n dm i n g - p e n gg o n g ，1 9 9 3 】中证明了两复半正定矩阵乘积及其幂积之间一系列关 于特征值的控制不等式与不等式。在本章中，我将在文献【6 ，b o y m gw a n g a n d m i n g p e n gg o n g ，1 9 9 3 t 拘基础上，利用矩阵奇异值与特征值的关系与正规矩阵复 合矩阵的相关性质，得到关于正规矩阵乘积及其幂积之间一系列关于奇异值的控 制不等式与不等式，并把文献【6 ，b o - y i n gw a n g a n dm i n g p e n gg o n g ，1 9 9 3 1 一些结论进行推广。 2 2预备知识 为应用方便，给出以下引理。 引理2 2 1 6 , b o - y i n gw s a g 4 枷n g - p e n g6 0 嘲9 9 3 】 设a ，b e m 。均为复半正定矩阵，m e n ，则： l o g m ) 叫咖曲“p 1b 而1 ) - l o g g p 。酬础 弓f 理2 2 2 6 ，b o - y i n gw 蛐g 4 m i n g - p 如gg 。n g ，1 9 9 3 】 设a ，b m 。均为复半正定矩阵，肌，则： 9 l1 i o g a ( a b ) - 1 0 9 a = a ”b “) 1 0 9 a 而( + 1 b 肿1 ) l o g a ( a ) 。a ( b ) 。 z 3l 蔓a2 2 3 【6 ，b 硝i n gw a n gi d d 心n g - p e n gg o n g , 1 9 9 3 设a ，b m 。均为复半正定矩阵，z ，则： l o g a “( 么) 。a m ( 曰) t l o g a ”( a b ) - l o g a ( a ”b 4 - l o g a ”( 么) 。a “( b ) 。 引理2 2 4 【1 7 ，h 抽z h 柚g ，2 蛳 设o x ，y e r “，若l o g x - 。l o g y ，则有x _ 。y 。 引理2 2 5 【6 ，b 硝啦w 哪棚m i n g - p e n g g o n g , 1 9 9 3 设a ，b e m 。均为正规矩阵，肌，则有： l1 ( 1 ) l o g o ( a b ) - l o g o ia ”b 4 ) - l o g w + - - i ( a ”+ 1 b 州) - l o g c r ( a ) 。仃( b ) ； ( 2 ) l o g ( y ”( 4 ) 。仃”( b ) t l o g ：( a b ) l o g c 丁( a ”b ”- l o g a ”( 彳) 。仃“( b ) ； ( 3 ) j ( 仙) - 。莎( 么b ) 。仃磊( 彳：+ 1 b “1 ) - 。口( 彳) 。仃( 台) ； ( 4 ) o , m ( 彳) 。盯“( b ) t 。o r m ( 彳b ) 。o ( a ”b ”) 。仃“( 彳) 。o r 小( b ) 。+ 2 3 主要结果 定理2 3 1 设a ，口m 。均为正规矩阵，小，则有： 1 0 9 巾) 叼( 州引。g 矿+ 1 p 1 咖1 ) - l o g o r p 丢卜g 口( 绯 证明：注意到a a + 。a + a ，b b * 。b 术b ，由引理2 2 1 得： 妒p 1 而1m 陋熹忡熹) ) 。 2 i k m + l ( ( 彳宰) 磊1 彳磊1b 磊1 ( b 串) 熹) 2 愈 + 1 ( ( 州木) 熹( 肋宰) 熹) j t 11 k 珥譬( 以唪) 罐m ( 船术) 2 珥q ( 4 b 州( b ) o 七；。川 且当kt 以时上式等号成立。 由定誓2 得：- 。g 仃( 么) 。口( 丑) t - 。g 仃”+ 1 ( 爿磊1b 磊1 ) 。 1 0 冉筇( 彳丢寸) 2 冉莽( ( 彳三砉) ( 彳i 1 丽1 ) ) = 愈舻( c 朋木，去c 肋木声) 乏耳k 矿m + l 熹( 酬熹) | i ：i p 熹) 且当k = r l 时上式等号成立。 由定义2 得，b g 口“1 1 五) - l o g o r ( 彳去b 去) 。 k - 1 ，万。 愈q ( 船) ；l ：i k 簪1 ( ( 仰) ( 彻) 。) = i ：l k 簪1 ( ( 朋宰) ( 嬲木) ) 之i j a 声( ( m 宰) 去( 占b 木) 去) 2 辜，口，( 4 三b 去) ， 且当七。，l 时上式等号成立。 由定义2 得山矿卜未卜酬础 由引理2 2 4 与定理2 3 1 可得以下结论： 推论2 3 1 ： 设彳，b m 。均为正规矩阵，m ，则有： k - 1 ，乃； 巾) 叫州 。叫彳磊1b 磊1 卜“卜三卜仃( 朋o 证毕。 注：同时，我们可以用数学归纳法将定理2 3 1 与推论2 3 1 引理2 2 5 推广可得： 设a ，b m 。均为正规矩阵，口，卢，口 卢，则有： c 1 ，- 。g 盯( 4 ) 。盯( b ) t l o g 口卢( 彳吉b 砉) - l o g a ( 彳昙b 吾) 。g 盯( 彳b ) ： ( 2 ) ( 3 ) l o g o ( a b ) - l o g o ia 。b “) 仃万( 彳声b 芦- 1 。g e t ( a ) 。盯( b ) 5 口( 彳) 。口( b ) t _ 。芦( 彳吾b 砉) 。仃。( 么昙b 言) 一 。口( 彳b ) ； 1 ( 4 ) 仃( 4 b ) 一 。盯= a 。b 。) 一 。 1 仃万( 4 卢b 卢) _ 0 ，则有： 九( 彳) 九( b ) s 丸( a b ) s1 ( 彳) 九( b ) s ( 彳b ) s 九( 彳) a ( b ) 。 弓l 理2 3 7 1 ，王伯荚，1 9 9 0 】 设x m 。令x 表示x 的七级复合矩阵( 1 s 七s ，1 ) ，则有： ( 删严d q y ，a ( 圳一血水) 。 尤其，当a 为正定矩阵时，口r ，有( 彳。) 刖一a i ) 。 推论2 3 2 ：设x m 。，令x 表示x 的k 级复合矩阵( 1 ks ，1 ) ，则有： q ( 删一冉q ( 趴 您l 篁 七 l 船 q 。y 白 口 8 口 彳 三带 1 吨 8 吨 4 兰印 证明：q ( 盖c t ，) = 霹( xc t ，x t l ，) + ) z 本( x t i ，( 石) 耻) 一本( ( 肠木) ) 引理2 3 。8 6 ，1 k - y i n gw a n g 删m i 喈胁g g o l i g 1 9 9 3 】 设a ，b e m 。均为正规矩阵，m e n ，则有： q ( 彻) s 西( 4 ”b ”) s a 肿b “) s q ( 彳) q ( b ) ， ll 吼( 彻) 砖( 彳”b “) 市( 彳”i 1 b ”1 ) 之吒( 彳) q ( b ) 。 我们可以用数学归纳法将其推广， 推论2 3 3 ：设a ，b m 。均为正规矩阵，a ，a 卢，则有： q ( 仰) s 4 ( a 。b 8 ) s 4 ( a 芦b 声) s q ( 彳) 吼( b ) ， 吒( 4 b ) 苫( 彳。b 。) 乏蠢( 彳卢b 卢) 2 吒( 彳) q ( 口) 。 定理2 3 2 ：设a ，b e m 。均为正规矩阵且可逆，a ，声尺。 ( i ) a 卢，邵0 ，则： 证毕。 1 1 吒( 么) 吒( b ) s 井a 。b “) s 彳a 卢b 卢) sq ( 彳) 吼( b ) ， 吒( 彳) 吒( b ) s 彩( 彳卢b ，) s a 。b 。) sq ( 彳) q ( b ) 。 ( 2 ) 0 a f l , 则 1 3 x q 。珥 = 0 肠 一i 砰 。珥 篁 l o g o ( a ) 。仃( b ) t - l o g o = ( 彳。b 。) _ l o g 仃万a 卢b 卢- - 1 。g o ( a ) 。口( b ) ； ( 3 ) 口 卢 o ，则 l o g o ( 彳) 。仃( b ) t l 。g 口石1 ( 彳卢口卢) 1 0 9 盯i 1 ( 彳a b a ) l 。g 。( 彳) 。口( b ) ： ( 4 ) l a l - l 贝, u l o g c r 4 ( 4 ) 。盯8 ( b ) - l o g c r 。( a b ) - l o g c r ( a “b 口) - l o g a “( 爿) 。o r 4 ( b ) ； ( 5 ) l a i l 则 l o g c r 。( 彳) 。仃。( b ) t i l 。g o ( a 。b 。- - 1 。g 仃。( 么b ) - 0 时，由引理2 3 6 得： - 1 a z ( a - 。b - o ) 乎- - 1p 叫( r ) 。卜币- 1 ( 以木) ”( b b 木) ”】 t 币 ( 朋奉) 。( b b 宰) “】。d ( a 咿) ， 吼( 仰) = 砑( 朋木b b 宰) s 砰( 朋车) 砑( 肋木) 。q ( 爿) ( b ) ， 吼( 彳) 吒( b ) 一砰( 彳彳木) z 2 ( b b 木) s 砰( 彳4 术b b 宰) = q ( 彳b ) ， 综上可得： 吒( 4 ) 吒( b ) s 吒( a b ) sq ( 彳) 巳( b ) sq ( 朋) sq ( 彳) q ( b ) 。 于是： ( 彳。) 吒( b 8 ) 】is 毋( b 。) s q ( 彳。) 吼( b 。) i si ( 彳。b 。) s q ( 彳。) q ( 占“) 】= 即： 吒( 4 ) 吼( 丑) si ( 么”b ”) sq ( 彳) 吒( b ) s 西( 么。b 。) sq ( 彳) q ( b ) 。 表明当口 0 时， 成立。 1 4 当0 a 卢时，令口。一r ，。三其中，s , p ，则0 ， s 。 p p 口；)丢5 ) 对于上述两种情况式 可类似得证。 当a j 6 f 0 时，利用 易证得。 ( 2 ) 只证中间，其余可类似证明。 由引理2 3 6 与推论2 3 2 可得： ( 彳。b “) 忙= ( 彳。) 似( b 。) 忙t ( 么( t ) 8 ( b ( t ) 4 ， q 眇帅) 。卜硝) = 珥kq ( 们。) ， 由推论2 3 3 得： p 1 一d 7 ( 4 声b 声) 。 j = i k 茚1 ( 彳。b 。) 一毒( ( ) “( 砂) “) s 蠢( ( ，) 芦( 砂，) 卢) = l ：i k 衫1 ( 4 芦曰卢) ， k = l ，n 。 当k = n 时， 从而： i = i n 哆1 ( 彳。b 。) =)-1。(融彻)；。i：i谚1(detaaba ( 彳芦b 芦) 。 i = i 哆( 彳。b 。) = ) - = ( d e t 彻) iz i i 谚( 彳芦b 芦) 。 11 l o g c r i ( 彳一b ) 扎g c r 石( 么声b 卢) 成立。 ( 3 )在( 2 ) 中分别以a - 1b 1 代替a ，b ，并且注意到： l o g o ( a ) - l o g c r ( b ) 等价于l o g c r 以( 艿) _ l o g c r 。10 ) 。 ( 4 ) 与( 5 ) 可直接由( 2 ) ，( 3 ) 推得。 注：由引理2 2 4 与定理2 3 2 可得： 设a , b 均为正规矩阵且可逆，口，芦e r ， 证毕。 口 ： b 有 r 影 _ 于 三衅 ( 1 ) 看0 a 声，则有： d ( 4 ) 。仃( 丑) t 。仃：( 4 。b 8 ) _ 。仃石a 芦b 卢) 。仃( 彳) 。仃( b ) ； ( 2 ) 若口 卢 0 ，则有： 口( 4 ) 。盯( b ) t - 。口万( 彳卢b 芦) - 。仃= a “b 。) 二。口( 彳) 。口( b ) ； ( 3 ) 若h 苫1 ，则有： 。( 4 ) 。仃8 ( b ) t 。0 a ( 么艿) 。o ( a 8 b 。) 。0 - a ( a ) o o 。( b ) ； ( 4 ) 若h s1 ，则有： 。( 4 ) 。盯8 ( b ) t _ 。a ( a 。b 。) 。盯。( a b ) - i 。盯。( 么) 。盯。( 口) 。 同时，我们可以根据定义1 将上述控制不等式加以改写， 设a 马均为正规矩阵且可逆，a ，尺。 ( 1 ) 若0 口 卢，则有： 妻茚( 二比m ( b ) s 妻筇( 么b ) s 砉q ( 彳。b 8 ) s 砉筇( 彳废( b ) ，七一l ，刀。 ( 2 ) 若口 卢 0 ，则有： 塞q ( 彳h 州( b ) s 妻( 彳芦召声) s 荟k 毋1 ( b 4 ) s 砉q ( 彳h ( b ) ，豇一l ，忍。 ( 3 ) 若i a l 苫1 ，则有： 套茚( 彳般m ( 二) s 妻( 彳b ) s 套q ( 彳“b 。) s 妻筇( 彳w ( b ) ，七= l ，n 。 ( 4 ) 若h s 1 ，则有： 套吖( 4 k m ( b ) s 耋q ( 彳。b 口) 墨套印( 仰) s 套茚( 么) 茚( b ) ，七一1 ，刀。 第三章关于非负定矩阵的若干特征值奇异值不等式 3 1 研究背景 矩阵特征值与奇异值估计在矩阵计算，误差分析等应用数学方面一直是十 分重要的课题，对此国内外学者得到了许多著名的结果( 【1 】- 【5 】) 。在此基础上， 本章首先得到了两非负定矩阵乘积的若干特征值奇异值不等式，然后利用复合矩 阵的相关性质及其最小特征值与原矩阵特征值的关系给出文献【6 ，b o - y i n g w a n g a n dm i n g p e n gg o n g ，1 9 9 3 几个定理的另外一种证明。 3 2预备知识 为应用方便，给出以下引理。 弓i 理3 2 1 【2 ，杨兴东等2 1 1 设a ，b c 为非爨定h e r m i t e 阵，1 s i t5 zs ，l ，则有： 兀凡- f f + - ( 彳b ) 兀 一，+ ( 彳) 九+ ( b ) ； 七k 兀九- ，+ 。( 朋) s 兀九。+ ，( 彳) t ( b ) 弓i 理3 2 2 【1 ，王伯荚 1 9 如1 设a ，b c 为非负定h e r m i t e 阵，1 s 0 , 1 - ：is n ，则有： 允, ( a b + a a + a b ) s ( 彻) + 咄( 彳) + 咄( b ) 。 显然，由此引理我们可得到以下结论： 推论3 2 1 假设如引理3 2 4 ，则 凡 ( 彳+ 口，) ( b + 口，) s 磊( 爿b ) + 咄( 彳) + 口 ( j 5 i ) + 口2 弓l 理3 2 5 1 1 ，王伯英1 9 如】 设a ，b e c 为非负定h e r m i t e 阵且，+ ss n 一1 ，则有： + 。( 舳) s 4 + 。( 彳) 九+ 。( b ) 。 弓i 理3 2 6 t 1 ，王伯英t 1 9 9 0 设a ，b c 是正定的( 非负定的) ，则a b 的特征值为正实数( 非负实数) 。 弓l 理3 2 7 1 1 ，王伯葵1 9 蛐】 设x m 。，令x 表示x 的七级复合矩阵( 1 s 七s ，z ) ，则有： ( 腰) 州，九( 删t 舭) ( x ) 。 尤其，当4 为正定矩阵时，口e r ，有( 彳。) = a ( i ) 。 弓i 理3 2 8 1 6 , & , - v i 峰w 加g 卸4 m 1 n g c n gg 。n g , 1 删 设a ，b c 为非负定h e r m i t e 阵，m n ，则有： 凡( 肋) s 砰( 4 ”b “) s 巧南a ”1 b ”1 ) s a ( 彳) 厶( b ) ； 九( 船) 2 砖( 爿”b ”) 铲( 彳肘1 b ”1 ) - 九( 么) 九( b ) 。 弓l 理3 2 9 6 , b o - y i n gw gi 矗m n g e 鸭g o n g , 1 9 9 3 设a ，b c 是正定的，口，尺，a 卢，筇_ 0 ，则有： 1 r 丸( 彳) 九( b ) 墨奄( 彳。b 。) s 砰( 么卢b ，) 久( 彳) 凡( b ) ； ( 1 ) 九( 彳) 九( b ) s 露( 彳卢b 卢) s 露( 4 4 b 。) s 九( 4 ) 九( b ) 。 ( 2 ) ni3 n3 2 1 0 7 ，b 科n gw a n g 蝴m e n 动a 唱1 圳 设a ，b c 删为非负定h e r m i t e 阵，则有： l o g ：t ( a ) 。z ( b ) t l o g a ( 扭) l o g a ( 彳) 。z ( b ) 。 3 3主要结果 定理3 3 1 设彳，b c 为非负定h e r m i t e 阵，1 s 0 ，a + a i b4 - a l 为正定阵，由引理3 2 3 得： 珥九小i ( 船) s 珥九卅 ( ? + 口州口+ a 叫s 珥 ( 爿+ 口，) 九小( b + a ，) k t 兀 九( 彳) + 口m 小，( 占) + 口 t 兀 ( 么) 九+ t ( b ) + a ( 彳) + 九t + ，( b ) + a 】 上式右端令a o + 即得( 1 ) 式。证毕。 注：上述证明过程的后半部分还可直接利用特征值的连续性过渡。 1 9 定理3 3 2 设彳，b c “柳为非负定h e r m i t e 阵，1 i 1 式。证毕。 如果在( 2 ) i 3 ) 式中取t t ，我们就可得到， kkk i ：i 九小t ( 彳h 卅- ( 口) s 1 5 州( 朋) s 珥五( 彳儿刊( b ) 口 而在引理3 2 2 的( 1 ) ，( 2 ) 中取；f ，我们还可得到， ：i 凡( 彳r 小( b ) 珥九( 仰) s 珥九( 4 玩( b ) 。 现在，我们把两不等式联立起来就可得到关于两矩阵乘积的特征值的一串不等式 ktkl l = i 九讲- ( 彳地小- ( 口) sl = l 九州( 砧) sl ：i ( a h 小t ( 丑) si ：i ( 4 b ) si ：i 凡( 彳) ( b ) 相应地，关于矩阵乘积的奇异值的结论也成立， 推论3 3 2 设a ，b c “4 ，且1s 五sn ，则有： 证明：注意到： q ( 4 b ) = 膏( b 彳彳b ) = 膏( 彳a b b ) ， 然后应用上述关于特征值不等式的相应定理即得。 证毕。 定理3 3 3设a ，b c 为非负定h e r m i t e 阵，1s 0 ，a + a ，b + a j 为正定阵。由推论3 2 1 可得： 九( 彻) + 咄( 彳) + 叫( b ) + 口2 】玎九 ( 4 + a 州召+ a 纠 i = i ( 彳捌h 州( b 州) ； h ( 彳) + a h 和) + a 】 玎h ，( 彳) k 和) 叫h ( 彳) + k ，( b ) + a j 上式两边令口一0 + 即得( 3 ) 式。 证毕。 定理3 3 4 设4 ，b e c 为非负定h e r m i t e 阵，1