（基础数学专业论文）复超球拓扑积域特征流形上的奇异积分方程.pdf

ab str a c i abs tract inth e p a p e r，w c d e fi n e cau chy in t e gr a 1 o n t b e char acteris t i c m 如fo l d o f two com p 1 e xh y p e r- s p h cr etopo i o gi cal p r 0 d u c t d o m a i ns， w eget qu chyfo rmu l aand s c b w arz in t e g ra l fo n 刀 u l a . the n d e fi n e in t e gr al s o f b 一 t ype and h t y p e b y th e s chw arz in t e gr al fo 加u l aandd i scuss the l 油i tsv ai u cof th e s ctwo加 t e gral son th e c b 越 a cl elis t i c功 a 址 fold w七a ls oobtajnthe com p 0 s j t i助 formu l aa n din ve巧 i o n fo rmu l a ofs i n gul arin t e gr alandtwo c o m pos i t i o ns 川 到l arin t e gr alo p e r a t o rs ， th en discus s th e re l a t i o n o f th e s e two o p e r a to rs . a 以 刀 r d in g t oth e s e resu l ts ， w e s to d y t h e s in gul ar inte gr al 叫u a t i o ns on th e比aract e r i s 6 cm a 苗 fo l dof h 冲 ocom p l ex h y per . spb e r e t o pol o gi cal p r o ductd o m a i n s 旋y w o r d s : h y p e r- spker c t o pol o gi cal p r o d u ct ; th。 比ar a cter i s ti c m 涵fo l d ; s in gul ar 加 t c ale q u a t i qn; 5 比w alz in t c gr a l fo rmul 么 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明所 呈交的学 位论文是本人在导师指导 下进行的 研究工 作及取得的 研究成果。据我所知，除了 文中 特别加以 标注和致谢的地方外， 论文中 不包含 其他 人己 经 发 表 或 撰 写 过 的 研 究 成 果， 也不 包 含 为 获 得 递达遭一 或 其 他 教 育 机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同 工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学 位 论 文 作 者 签 名 (手 写 )耘 入 签 字 日 期 :* 宁 年 月 “日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了 解南昌大学有关保留、 使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门 或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅。 本人授权南昌大李可以 将学位论文的 全部或部分内容编 入有关数据库 进行检索，可以 采用影印 、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学 位论 文。 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 从日 清黝刃 学 位 论 文 作 者 签 名 ( 手 写 ): 嘴 拟 导师签名 ( 手写 签 字 日 期 : 叫 年 月 2 。 日 学位论文作者毕业后去向: 工作单位: 通讯地址 : 拼 日何 “ 电话 : 邮编: 引言 互1 引言 奇异积分与奇异积分方程是复分析中一个重要分支. 在单复变和多复变中奇 异积分与奇异积分方程理论研究的比较完善，得到了 很多 结果 ( 文【 1 一 4) 。但 是对于拓扑积域上的情形，积分方程理论的研究较少。在国外，主要是 kae“叨eb . b . 人和j . g6rski研究了 单位圆 拓扑积域上的 奇异积分。 1 960 年，k 孔 h ， e b . b . a 151 首 次 研究了 多圆 柱 上的 积 分 表 示的 边界 性 质。 之 后， j . g 6 rskiij研究了双圆 柱的 积分表示并得到了著名的 p l elnelj 公式; 在国 内， 陆启铿、 钟同 德17，51 开 创了 拓扑积域上奇异积分的研究工作. 1 9 5 7 年至 1 9 65 年， 陆启铿、 钟同 德研究了 。 “ 中有界光 滑域d及其拓扑积上的d x b ” cr m a rt i n clli 型和c a uc h y 型积分表示 及边界性质，并且得到了拓扑积域上的p le 淤lj公 式。 钟同 德1，于1 9 78年利用该公 式研究并得到了 特征流形上奇异积分的合 成公 式， 之后又得到了具有 b och ner 一 m art i n e l l i核的多维奇异积分的置换公式 ( 文 【 10 ) 。 这些公式是研究 奇异 积分方程的理论基础。 孙继广tll首次研究了闭 光滑流形上的奇异积分方程; 19 89年， 林良 裕阅研 究了多复变量的线性奇异积分方程.但这并不意味着奇异积分方程理论的 研究 已 完善，众所周知，在单复 变中 只有c auchy 核，而在多复变中有很多种不同的 核，因而多复 变中的奇异积分方程理论比 单复变中的奇异积分方程理论更为丰 富 和复杂。 故研究具有各种核的奇异积分和奇异积分方程是有必要的， 这对于 充实多复变中奇异积分方 程的内 容具有重要意义。 近些年，有许多人 研究 奇异积分和奇异积分方程 ( 文 1 3 ，1 4) .1 9 8 6 年， 许忠义l51研究了 双圆柱 上的b 一 型积分与h 一 型积分及其奇异积分方程; 2 0 04年， 凌爱 凡、许忠义叫研究了 超球拓扑积域特征流形上的奇异积分并且得到了 特征流形上的合成公式和反转公式 pi阴elj 公式: 2 0 06年， 黄玉笙、 林良 裕ii，j研究了 复合球域上的线性奇异积分 方 程;2 0 0 6 年， 本人1151研究了 超 球拓扑积域特征 流形上的s chw arz 积分公式 和 c a 毗h y 公式。 基于文【 16 和 1 8， 本文将主要研究b 一 型 积分与h 一 型积分， 并 且 定义两组奇异算子，还 得到了 这两组算子之间的关系，最后讨论了几类具有常 系数的奇异积分方程。 互 2特征流形上的合成公式与反转公式 2 . 1定义与记号 设风 ， b z 分 别 表 示 复 空 间c “ ， c . 确 中 的 单 位 超 球 ， abi， 妞2 分 别 表 示c . ， 少书 中实加 一 1 维和如 一 m ) 一 1 维单 位超球面.abi 上的 l eb es gu e测度记为 乌( 胡1 ) 二 劫 加 (m 一 1)! ， 在abi 上 引 进测 度讯， 使 得巩 ( ab j 1 ， 它和l l 的 关 系为 l l -丁 贯 一 二 下a l 妙 刀 一 月 三 ， 同 理 ， 在ab z 上 引 进l eb e s g u e 测 度l z 和 测 度a z ， 两 者 的 关 系 为l : . 去r 卜用 (n一 m 一 1) ! 记人 氛任 ab* :i 1 一 叮 : ， 氛 卜占 刀 : 任 飒 ， 0 占 几 k 几 好;凡 人、 凡; ab j = ( 扭， 一 人 ) x( 妞2 一 人 ) ; ab一 又 。 二 韶。 + ( ab ， 一 人 )x人+ 人 、 ( 超 2 一 凡 ， 其 中 由 - 小哥 定 义 。 定 义2 . 1 点 集 b bi、 b z (z 1 ，2 2 ) 任 c : 2 ， (z ， ， ， 广) 任 几 ， 2 2 一 (卢 +1 ， ， ， 广 ) 任 凡 ， 称 为b l ，b z 的 拓扑 积;ab， 飒 、 abz ( 氛 ，氛 ) e c ， ， 氛 (梦， 特征流形上的合成公式和反转公式 ， 护) 任 abi ， 乱 传 +1 ， ， 犷) 任 ab: 称为 域尽x b z 的 特征 流 形。 定 义2 . 2 函 数城 么 ， 氛 ) 称为 在 特 征 流 形ab二 abl x abz 上 满 足 正 条 件， 如果 特征 流形ab 飒 x abz 上的 任 意两 点临， 最 ) ， 切 ， ， 叮 2 ) 有下 不 等 式 成 立 : .; (al ，。 卜 ， 。 1， 2) : 客 a : ( ; 一 。士，。 一 ， 正 。“ 一 、 ， 。 ( 2 . 1 . 1 ) 其中 正 常 数鸿 ， a z 为h 6 1 d er常 数，。 1 ， a z (0 。 1 ， 。 2 1) 为h 6 1 d er指 数， 简写 为 中 ( 氛 ， 氛) 任 h( a ， 阳) 。 定义 2 . 3称c . x c 月 上的函数 c (z 1 ， 2 2 ， 岛 ， 氛 ) 二 - 一 一 下 丁 - : 采 二 一 ， - - 二 ， 一 二 二 二 妙一2 1 ， 夕 1 )妙一2 2 ， 9 2 ) 为c ， 中 超 球 拓 扑 积丑 ， x b z 的c a u c h y 核， 如 果设f 任 li 佩， 。 2 ) ， ( 2 : ， 2 : ) 任 b ， x b z ， ( 氛 ， 氛 ) e abl x 退 ， 且 2 ， 氛， ， 几 k 人 20 则由c (z ， ， 2 2 ， 岛 ， 岛 ) 可以 产 生 一 个 新 函数: c lf (z 1，2 2 ) 一 瓜 二。 c (2 ，2 2 ， 么 ， 氛 ) f (氛 ，氛 丫 。 1 ( 乡 )d 口 : (氛 ) ， ( 2 . 1 . 2 ) 并 称qjj为了 的ca“ chy 积 分， b 上 全 纯 函 数 的 全 体 记 为h 伊 ) ， 在万 连 续 函 数 的 全 体 记 为c(万 ) ， 我 们 一记 a ( 刃 万 (b ) n c ( 习， 其中 刀 blx 刀 2 ，d a 传 ) d 叭 临) d a z 摄) 。 定义2 . 4 。 (z : ， 2 2 ) 设 在 特 征流 形飒 x abz 上 给 定 连 续函 数试 氛 ， 氛 ) ， 那 么 称 积 分 产( 2 1 ， 2 2 ， 易 ， 最 冲 ( 氛 ， 夸 2 冲 口 ( 夸 ) ，(z ， ，2 2 ) 任 b l x b z ( 2 3 ) 为ca“ chy型 积 分 。 当 变量2 。 ，氛任 ab* 认 戈 2)时 ， 积 分(2 . 1 . 3) 在正 常 积 分 的 意义下不存在。 特征流形上的合成公式和反转公式 定义2 . 5 积分 小 (” : ，” 2 ) 产伪 1 ， 2 ， 氛 ， 氛 ( 氛 ， 头 丫 “ ( 占 ) ， 勿 : ， 。 2 ) e ab l x 阳 2( 2 4 ) 鸽 x 姚 称为 在 特 征流 形abi 、 初2 上 的 奇 异 积 分. 定义2 . 6 对于积分 巾 勿 1，” 2 “ 者伪 1，” 2，“ ，氛 切 “ ，氛 ” 。 “ ， 勿 1，” 2 任 abi ab z 2 5 如 果 极 限 勿气 怀叼存 在 ， 那 么 称 这 极 限 为 奇 异 积 分 (2 1 4 ) 在 特 征 流 形 ab 上的ca叱勺主值。 . 引 理1 叫 若袱 务 ， 最 ) 在妞上 满 足h 6 1 d er条 件， 则cauc hy主 值 v 叮c 切 ， ，。 2 ，氛 ， 炙) 切 临， 乱 丫 “ ( 幻， 伪 ; ， 粉 2 ) ab， x 妞2 是存在的，并且等于 与一 丝 业 丛 一 2 城(1 一 ) 卜 用 d o 2 ( 氛) + f 些乒亘粤琴丝华卿粤卫、 a (: ) 一 粤 ， 伪 j， : ) 裔妙 一叮 1 ， 右 1 少气 1 一刀 2 ， 雪 : ) 一斗 ( 2 1 . 6 ) 这里cau c hy主 值按 (2. 1 . 5) 所定义。 2 . 2特征流形上的奇异积分算子 现在 我们在特征流形ab、 ， abz 上引 入要用的奇异积分算子，1 为单位算子， i p。 叨 ，且 又 切 “ 2 了 试 切 ( 氛 ， 叮 2 ) (l 一 ) . d 口 ， ( 氛 ) ( 2 . 21 ) 5 2 甲.2 轰 . 伪1 ， 氛) (l 一 ) 卜 . d a z ( 占 2 ) ( 2 . 2 . 2 ) 特征流形上的合成公式和反转公式 5 1 切 中 ( 自 ， 刀 2 ) (1 一 氛 ， 刀 ， ) 加 d 巩( 氛) ( 2 . 2 . 3 ) s z p 中 勿 、 ， 氛) (l- 杏 2 ， 叮 : ) 卜 阴 d 口 2 候 ) ( 2 . 2 . 4 ) . 5 1 5 2 切. 4 森石 不万 端武不 蕊 万 蕊 甲 ( 氦 ， 氛) d a ( 杏 )( 2 . 2 . 5 ) 一 5 1 5 2 切 切 ( 夸 ， ， 夸 2 ) (l 一 ) 卜 加 “ 护 “ 霖蕊 轰 冲 (6) d 口 ( 夸 )( 2 . 2 . 6 ) ( 2 . 2 . 7 ) 切尸 扩梦 由 此 不 难 得 到 如 下 性 质3 那 01 : ，sj伊 5) 帅 ， j 华 s j s 。 中 5 * 5 ) 甲 一 5 ， 切 ， j ， k ， ， k 几 2 灯叨 帅， 甲 ， j 珍 对 于 奇 异 算 子 瓦 ， 梦 也 有 以 上 三 条 性 质 。 事 实 上 ， 凡 场 一 坤 ， ， j = 几 2 是 一 个 复 超 球面 上的 合 成公 式15 。 在 此 基础 上引 进两 组 复 合 奇 性算 子万 和万 : 孙。 1 (s ， + 5 2 ， 犷 ， 风 * 瓦 ， 梦一 4a 冲 4 ( 2 . 2 . 8 ) + 5 2 ， 5 一 风一 风一 了 ， ) 尹 ( 2 2 . 9 ) s 1一屯 h 中. 若诚 务 ， 氛 ) 在ab上 满 足 正 条 件， 那么 上 述算 子 在cao chy 主 值的 意 义 下 是 存 在的。 对于所有在特征流形ab上满足正条件的复值连续函数所组成的 全体显然 是一 线性空间， 记为x ; 所 有在特征流形胡上满足正 条件的实 值连续函 数所组 成的 全 体是 一 线 性 空间 ， 记 为x ; 对于 所 有 在 特征 流 形ab上 满 足正 条 件的b 一 调 特征流形上的合成公式和反转公式 和函 数所组成的 全体 构 成x 的 线 性子空间， 记为b 。 利用上述定义的奇性算子及其性质，我们可将文 1 6中得到的超球拓扑积 域特征流形上的月已 阴 eli公式写成: ， (。 1，。 2) 二 去 【( + 5 1)( + 5 2)，。 (el ，。 ) ( 2 . 2 . 1 0 ) 这里 (z 1 几 ) 是从几x b z 的内部趋于点切 1 ， 小 ) 任 abi、 扭 2 且保持 夕 * 仓 ; ， 叮 ; ) / d * ( 2 * ， 刀 。 ) q ( 正 常 数) ， 止 二 瓦 2 . 2 . 3 合成公式与反转公式 由前面基础我们不难得到: 引 理1 如果诚 岛 ， 氛 ) 任 h (a ， 祖) ， 则又 切 已 h ( 飒， 。 : 一 )， 凡 护 任 h 恤 : 一 气 ， abz ) ， 这里 ; 为充 分 小的 正 数。 引 理2如果武 氨 ， 矣 ) e h (a ， ab) ， 则奇 异 积 分 (2 . 1 . 4)属于h 恤一 : ， 妞) 。 定理2 . 3 . 1 如果 可 积实 值函 数城 氛 店 2 ) 在祖上 满足正 条 件， 则由(2. 1 . 5) 定 义的 函 数中 伪 ， ，刀 2 ) 属 于h (a ， 一 ; 1 ， a z 一 : : ; ab) ， 其中e 为充 分 小 的 正 数。 证明: 由(2 . 2 . 1 0)知，中 伪 1 ， ” 2 ) 为以 上 所 定 义 的 奇异 算 子的 线 性 组 合， 由 引 理1 ， 2 即 可知巾 伪 1 刃 ， ) 属于万 ( a ， 一 e : ， a : 一 ， 2 ; 超) 。 引理31 9 ， 若帆 氛 店 2 ) 任 h ( 。 ， ab) (0 a 1) ， (gl， 头 ) e ab， 则 工a 一 ， ， ， 氦 ) ， (l 一 叮 2 ， 氛 ) 卜 “ 切 ( 雪 ， ， 雪 2 ) a u l ，去 不花万万不舀 忑瓜 声a 。 “ 一 鑫 ， 勿 1，” 2， ( 2 . 3 . 1 ) 这一公 式 称为 奇 异 积 分 (2 . 1 4) 的 合成公 式， 其中伪 ， ， 冲 2 ) 任 ab， 积分 部分 取 s c b w a r z 积分公式 ca讹勺主值. 利用算子5 2 的定义可将该结果写成: 2 5 2 中 帅. 甲( 2 . 3 . 2 ) 由定理 1 可得一组反转公式 推论 1若城 氦 ， 氛 ) 任 h 仁 ， ab x 。 a 1) ， 临， 氛 ) 任 ab， 则下面所定义的 劝 勿 1 刃 2 ) 也满足h 6 l d e r 条件， 且 5 中 4 了 中 临， 参 2 ) a 一 ) (l 一 2 2 ， 夸 2 ) 卜 . d 口 传) ( 3 . 1 ) 证明: 暂时固 定氛， 则了 (z ， ， 夸 2 ) 任 a 俩) h (bl) 门 c 低) ， 则由 超球的c auch y 积分公式1101有: f (zl，劲一 瓜 f ( 氛 ， 畜 2 ) (l 一 ) 尽 一 ) 嘴 (l 一 几 ， 夸 2 ) 一 加 间 令 b (z : ，之 2 ， 氦 ，岛 ) 二 r es (zl， 毛 ， 参 ，最 ) c ( 书 ， 毛 ， 易 ， 轰 ) + c 李 j， 几 ，务 ， 氛 ) 一 1 c (z ， ， 几， 氛 ， 最) + c ( 岛 ， 最， 2 : ， 2 2 ) 一 1(4 2) h( 气 ， : 2 ，务 ， 氛 ) 二 加5 (z : ， : 2 ， 氛 ， 最 ) 一 (c 仓 1 ， 2 2 ，易 ， 氛 ) 一 瓦 不 不瓦 翻) /i 一 (c( 2 1 ， 2 2 ， 易 ， 氛 ) 一 c ( 氛 ， 氛， 2 1 ， 2 2 ) / 1 ( 4 . 3 ) 于是公式 (4. 1) 可以写成一对共扼 b 一 调和函数 “ 。 1， 2 ” 欺氛 ，“ b “ 】， 2，参 一 占 2丫 a 夸 ， “ 1， 2 “ 北岛 ， 2” ( 1， 2 ， 1，夸 2” 口 “ ， ( 4 . 4 ) ( 4 . 5 ) 由 b ( : ， ，2 2 ， 易 店 2 ) 与 城 2 1 ，2 2 ， 氛 ，氛 ) 的 定 义 易 得 b ( 0 ， 0， 参， 氛) .丸 h (0， 0 ， 参， 氛) 一 0 ( 4. 6) 定 义4.卜 如 果诚 氛 ， 易 ) 为 飒 、 退 上的 任 一 可 积 实 值 函 数 ， 我 们 称 。 ( 2 ， 2 2 ) 一价( 氛 ， 雪 2 ) b ( 2 1 ， 2 2 ，参 1 ， 夸 2 丫 口 (夸 )( 4 7 ) 斌 民 招 ， 为b一 型积分，称 b 一 型积分与h 一 型积分 甲 (zl ， 22) 价临 ，最 祷 俩 ，几 ， 邹 最 丫 “ (a) ( 4 ， 8 ) 为h 一 型积分。 。 (z ， 2 ) 价(岛 ， 最 ) c (z， ，2 2 ，氛 ， 岛 ) + c (2 1 ，2 2 ， 易 ， 占 2 ) 一 水 “ (夸 ) 斌 x 埃 价(岛 ，夸 z k (2 1 ，2 2 ，岛 ，今 : 丫 u (夸 ) + 价(夸 ， ，雪 2 ) c (z ， ，2 2 ， 氛 ，言 2 丫 a ( 占 ) 码“ ab:踢x abz 一 ffw(5l ，乱 万 。 (6) 日 执“ 日 习 2 我 们 记 9 。 ， ，2 2 ) 一 价临 ，最 )c (2 1， 2 忐 ，雪 2 丫 “ ( 占 ) ， 则 了 (2 ，2 2 ) 是 ” 内 的 全 码 x 祖， 纯 函 数 ， 故 巾 认 ，几 ) 一 z r 9 (zl ，几 ) + c ， 其 中 c 一jfw(彭 氛 丫 “ ( 豹 为 常 函 数 。 玛 x 把j 类 似 有甲 (z 1 ， 2 2 ) 2 加g( 孙几 ) 。 因 此，。 (z2， 2 2 ) 和平 伪， 勺 ) 分 别为b 内 全纯函 数29(zl， 几 ) + c 的 实部 和虚 部，所以是共辘的b 一 调和函 数。 定 理4 . 1 若城 氛 ， 最 ) 任 h (a ， abx o a 1) ， 临， 氛 ) 任 ab， ， 那么由(4 ， 7)及 (4 . 8)式 所定 义的巾 0 ， ， 几 ) 和甲 ( 21 ， 2 2 ) 在 边界 上的 极限 值存 在， 并 且 有 ， 。 1，。 2) 二 ” 【， (。 :， 2)】 合 ， 。 :， 2) ( 4 . 9 ) 平 ( 叮 : ， 叮 2 ) h 【 尸 ( 务 ， 夸 2 ) 1 这 里反万 分 别 按(2 . 2 . 8 ) (2 . 2 . 9)定 义。 ( 4 . 1 0 ) 证明 : 当仇， 2 2 ) 从尽x 风的 内 部 趋 于伪 ， ， 刀 2 ) 任 飒 x 扭2 ， 则有( 2 21 0) 式 得:中 伪 1 ， 冲 2 ) l i m ( 2 1 ， 之 : ) 磅( ，刀 2 ) .l im ( 石声 之 ( 叭小) 价(氛 ， 若 2 ) c (z 1 ，2 2 ，岛 ， 占 2 ) + c (z : ，2 2 ，氛 ， 最 ) 一 f 口 (占 ) 码x 姐2 北岛 ，夸 2丫 “ 1， 2，“ ，参 2” a “ ， + :，恕 :)北氛 ， 2，c “ 1， 2，“ ， 2” 口 “ ， 一 次自 ，氛 ” a “ ， 二 去 (，+5 ，)(i+5:) 沁，。 卜 去 (， 取 琳低 铆 一 ; 冬型积分与卜型积分 注 意 到 1 ， 5 ， ， 瓦的 性 质 及 5 ， 户 ， 百 的 定 义 即 得(4 . 9)式 . 同理可证 (4. 1 0) 式。 由定理4 . 1 我们可以导出一系列重要推论。 推 论4 . 1 若城 氛 ， 氛 ) 任 x ， 则城 氛 ， 氛 ) 任 b 的 充 分 必 要 条 件 是 ， (。 ， 2) 香 。 (。 ，。 2)，伪 1，。 2， 任 飒 ab z ( 4 . 1 1 ) 证明:充分性显然;现证必要性 若 中 ($l， 最 ) 任 b ， 则伊 伪 ， ， 叮 2 ) b 中 ( 氛 ， 占 2 ) 蚤 ， 。 !，。 2) ， 立 得 呼 。 ， 2) 辛 ( 饥， 叭) 。 由 ( 4 . 9 ) 及 ( 4 . 1 。 ) 式 知 ， 若 ; ( 岛 ， 氛 ) e :， 贝 。 万 。 (氦 ，; 2 ) ， 粤 ， 勿 ，。 2 ) 及 乙 万 切 临， 劲分 别 属 于 b ， 再 利 用 推 论4 . 1 可 得 : 推论4 . 2 : 若华 临， 氛 ) 任 x ， 则 防 ， (。 ，。 )= 丢 ， (。 1，。 2) ( 4 . 1 2 ) 1+-2 证 明 :乖毗，幼 -b 切 ( 氛 ， 氛) 勿 1，”2，一 告 伪 ， 2， lb * 。 1，。 2，1一 合 甲 勿 1，“ 2 1+-2 b 甲 低， 易 ) r.西月. b . 一 专 ， 伪 】，“ 2 事实上， ( 4 . 12)式给出了万 一 算子在特征流形ab上的合成公式。 推论4 . 3若 帆 氛 ， 氛 ) 任 x ， 则 冰 (al ，。 )一 告 、 飞，。 2， ( 4 . 1 3 ) 推 论4 . 4若 诚 易 ， 氛 ) 任 x ， 则 b 一 型积分与h 一 型积分 乖 、 ，。 ) 一 告 “ 而 ( 4 . 1 4 ) 2、.1 刀七幻 a 协甲 临，劲卜万 卜 中 临， 一 万 巨 城 岛 ， 参 2 ) 二o( 4 . 1 5 ) 证 明 : 首 先 注 意 到 5 ， ， 瓦 ， 5 ， 了 ， 与 a 是 可 交 换 的 ， 由 万 ， 万 的 定 义 易 知 万 ， 万 与 a 是 交 换的 ， 即丽中二 ba 矶a h 切二 h a 称 现证 杨(。 ，。 ) 一 合 ， 。 :，。 2)， 队 。 ，。 ) 注意到cau c hy公式及 ( 4 . 6 ) ，( 4 . 9 ) ，( 4 . 1 0 )式，有 乖 毗，。 2) 一 ljs贴，: 2 )a(n)- 低 ， 扭， 川、 ， 2卜 告 。 !，叼 脚) ， 0，0，一 告 鑫 伪 1，”2” a 勿 ， 价(nl ， 2 姆 ( 0 ，0 ，” ，” 2 丫 口 勿 ) 鸡 x ab， 一 告 户畅 叭 ” 。 (n) 一 价勿 1，” 2 丫 u 伪 ) abl x 妞，一 告 北 佩 ，飞 ” “ 伪 ， 价伪 :，” 2 丫 u 切 )一 合 “ ， 勿 !，” 2 同理可证a 伪帆夸 ， ， 参 2 ) . 0 。 推论4 . 5 若诚 氦 ， 聋 ， ) 任 x ， 则 市毗，: 2 )=亦毗，刻 ( 4 。 1 6 ) 证 明 : 由 5 ， ， 瓦 ，扩 ， 梦的 性 质 以 及(2 . 3 . 2)式 及 推 论4 . 4 有 h b 切= 粤 万 (5 ， 、 : 2 + : ， + 瓦 ， 又 ， 了 ， 一 。 )， 4 一 生 (s ， + 5 ， ， 扩 屯 一 瓦 一 又 一 岁 ). 气 5 ， + 5 ， + 扩， 瓦 十 瓦 ， 护 )， 4 b 一 型积分与b 一 型积分 ( 251 + 252 + 25， 5 : 一 25; 一 252一 2 5声 2 知 1一4 生 (s ， 2 ” 1一书1一屯 一 告 咖 仇 再由推论4 . 3 可得 “ ， 5 2 ， 5 一 凤 一 瓦一 了 ， ) p ，。 2 ) . 1 6 ) 成立。 现 在 讨论万 一 算子 的 复 合 奇 性公 式: 定 理4 ， 2若城 务 ， 乱 ) 任 x ，临， 夸 2 ) e 超， 则 市贴， 刻一 粤 殉 : ，叼一 外( 氛 ， 刻+ 小(al ，刻， 切 ， ， 2 ) 。 ab .一乙 ( 4 . 1 7 ) 证 明 : 由 5 ， ， 瓦 ，5 ， 了 ， 的 性 质 以 及 万 的 定 义 有 : 万 .万 ， 。 (4)， (s : + 5 2 + : 舰 一 瓦一 了 2 ) 2 甲 劲+ 丽 二 。 弘 “ ” 笋争 凡一凡 + 目if ss 工+ 二 生 殆 ， 一 2 (s ， ， : ， 1 6 ) (s1 一 昌 一 壹 “1 2 ” 风 又万+i h +月 二合 ( 5 : + 5 2 + 5 )， 一 +a - ( 风+ 瓦+ 了 2 ) ， 根据推论 4 . 2 一 4 ， 5 jl-， 可得: 与 5 ， ， 5 ， + 犷 x 凤 十 瓦 + 护 ) 一 挤 + 沂 4- + a x b一 ih+ a ) 与+ 万 . 万 * za 4 从 而 万 万 切 r3_ 1二 . 二、 二 . 犷月 、 1 言 ij i _ _ .一1 一，一一【 刀 +认 +尺找 万 一王 n十月) +丁刀 十丁入 1 甲 【 88 ”2 _ 乌， 生 (去 1+h 8 2 “ “ ，一 笋 一 妙 _ 与+ 编. 万 ， 生 a _ 王 万 4222 r.r. : l 了月 1一2 - r.se几.l 由此得:布 贴， az)- b+a 1 3 算子h，o 由推论4 . 1 及定理4 . 2 立得如下推论: 推论4 . 6 若诚 易 店 2 ) 任 b 且 具 有 边 界 值切 勿 ， ， 粉 2 ) ， 则 万 。 (el ，氛 ) 一 ， 伪 1，。 2 ) + ， 加 (氛 ， 2 )1( 4 . 1 5 ) 推 论4 . 7 如 果 诚 氛 ， 岛 ) 任 b ， 则 万 2 甲 二 。 。械 氛 ， 夸 2 ) 一 c onst 。 证明: 充 分 性由(4 . 1 8)立得; 必要 性由 。 二 一 切 伪 1 刃 2 ) + a 城 氛 ， 氛 ) 立 得. 互 5 算子万 ， 0 在互 2 中 ， 我 们已 经 定 义 了 线 性 空 间x和x 、 算 子反 万 ， a， i ， 现 在 定 义 算 子h， 口如下: 枷。 咖 偏最 ) c(zl， 2 2 ， 氛 ， 易 )d 。 传 ) ， 切 6 x ( 5 1 ) 口 切 二 0， 切 任 x ( 5 . 2 ) 利用线性算子符号，可将互 2 中的 (2. 3 . 1) 写成 hz =1( 5 _ 3 ) 为了后面便于讨论特征流形上的奇异积分方程，我们将荟 4 中的结果列表如下: 万 2 _ 二 ，( 5 . 4 ) 4 a z .a( 5 . 5 ) +a( 5 . 6 ) 二 加( 5 . 7 ) 户ab 。 众 一h b 。o 。 王 万 2 ( 5 . 8 ) ( 5 . 9 ) ahbh 含有ou chy 核的奇异积分方程 互 6含有ca “ chy核的奇异积分方程 本节考虑如下形式的方程 a 甲 + bh切 + k 切 了 ( 6 . 1 ) 其 中 a， ” 为 复 数 ， 已 给 任 x， “ . 护 (el， 最 k(n 1，“ 2 ，岛 ，基 ” a (a) ， 核 仇 ，仇 ， 务 店 2 ) 是对勿 1 ， ， 2 ) ， (gl， 氛 ) 都 满 足h 6 l d er条 件复 值函 数。 先考虑 ( 6 . 1) 的特征方程 a 切 + 右 万 甲 . 了 ( 6 . 2 ) 并设a z 一 扩， 0 。用算子 m .a l石 万( 6 . 3 ) 作 用于 (6. 2) 两端， 应用 (5 . 3) 得 到(a 2 一 护冲 a，一 西 毋 ， 即 a，b， ， 叨 .- 仁 产 -不犷1 一一丁一丁 丁才 刁 0 -一 0一a 一 口 一 ( 6 . 4 ) 是方程 ( 6 . 2) 在x内的唯一解。 对于方程 ( 6 . 1 ) ， 我们可以 应用如 ( 6 . 3) 所示的算子m把它归结为一个与 之等价的f red h ol: 方程。事实上，用m作用于 ( 6 . 1) 立得: al 甲 十 k z 甲. f ( 6 . 5 ) 其 中 a : 二 a 一 扩， 0， f mf， 凡 a k 一 石 刀 x 由 于 hkq“ 擎(vl ， 2，自 ，含 2丫 口 馆 铲伪 1，” 2 )k 临 ，氛 ，” 1，“ 2 d 口 勿 ， 4 欺汀 扭 一 与c (vl ，一 “ ，氛 丫 “ 夸 铲伪 1，“ 2 k 氛 ，杏 2 ，“ 1，“ 2丫 u 伪 ， 一 4 恕ffe娜。 丫 “ 勿 )llc (v，vz，彭 氛 )k 嘟易 、 。 冲 “ 嘟 一 咖 伪 1 ，” 2 丫 a 伪 犷(v ， ，v z ， 氛 ，夸 2 )k (氛 ，夸 2 ，” ; ，“ 2 )d 口 (夸 ) 含有c a o c h y 核的奇异积分方程 由 定 理 2 3 ， 护(vl ，“ 2，“ ，头 k 岛 ，最 ，” 1，“ 2 丫 口 信 ， 一 尤 1(v， ，“ 2，“ ，参 2 对 (vl ，“ 2 和勿 ， ， 冲 2 )满 足h 己 l d e r 条 件， 所以( 6 . 5 ) 是 一 个f r e d h o l m 方 程。 方程 (6. 1) 与 ( 6 . 5) 是等价的，这只需证明凡方程 (6. 5) 式的解必满足 方程 ( 6 1 ) 。 将算子 m， 一 口 1 + 西 万( 6 . 6 ) 作用于 (6. 5) 式两边，便可得 ( 6 . 1 ) 。 综上所迷， 有如 下定 理: 定理6 . 1 设 在 方 程(6 . 1)中， a b 为 复 数， 满 足r一 护， 。 ， 已 给f e x， 积分 算子k 的 核k 勿 ， ， 刀 2 点， 氛 ) 满 足h51 d er条 件， 则: (1) 方程 (6. 1) 的 特征方 程 (6. 2) 在x内 有 唯一 解， 如 ( 6 . 4) 式 所示. (2) 在x 内， 奇异 积分 方程 (6. 1) 与f re d h ol ln 方程 (6. 5 ) 等价。 现在考虑方程 ( 6 . 1) 的例外情形，即当a 之 一 少 0 时，此时变为求解下面 方程 甲 二 万 中 f( 6 . 7 ) 其中f 任 x， 在x内 求 解。 如果方程 (6. 7) 在x内 有解， 用算子1 干 h作用于两端知， 必须使 ( 1 干 h) f二 0( 6 . 8 ) 当f 满足 (6. 8) 时， 任取 劝 任 x ， 则 ; 香 ， (“ “ ， ( 6 . 9 ) 必为方程 ( 67) 的解。 最后讨论如下方程: 具有奇异算子b和h的奇异积分方程 a 切 + ch中 + 犬 沪 了 ( 6 . 1 0 ) 其 中 a， 为 实 数 ， 已 给 了 任 ” ，“ 一 护 (gl， 氛 孙 !，朴 氛 ，易 ” a (a) ， 核 尤 仇 ，叭 离， 氛 ) 是 对切 : ， 冲 2 ) ， ( 氛 ， 氛 ) 都 满 足h 6 1 d er条 件的 实 值函 数。 我们 有 定理 6 . 2如果在b中求解 (6. 1 0 ) ，则可将它化为与之等价的f red h olm方 程。 证明:用算子 m .al 一 ch( 6 . 1 1 ) 作用于 ( 6 . 1 0 ) ，利用推论4 . 1 及 ( 56) 式，得到: 气 切 + 凡护 = f， ( 6 . 1 2 ) 其中 al 一 “ “ ，“ 一 衅 已 “ ，枷一2“ 切 mkg一 护 偷 “ 凡 伪 1，朴 “ ，“ ” “ (6) 应 用前 面同 样的 推 理， 易 知ki切 ， ， 叭 ， 岛 ， 氛 ) 对伪 1 ， 叭 )， ( 自 考 2 ) 都 满足hsl d er条 件， 所以( 6 . 1 2 ) 是f r e d h o l 二 方 程。 以 算子万一。 1 + 丽作 用于( 6 . 1 2 ) 立 得( 6 . 1 0 ) ， 从而方程 ( 6 . 1 2 )与 ( 6 . 1 0 )是等价的。 互 7具有奇异算子万 和万 的奇异积分方程 我们首先讨论方程 l 伊 a 伊 + bb伊 + ch伊 + da伊 j 其中a， b ， c， d 为 实 数，己 给f 任 x ， 在x 内 求 解。 先 假 设 。 * 粤 。 ， 。 . z ( 1 ) 当 。 二 王 。 * 、 ， 0 时 ， 注 意 到( 5 . ; ) 一 ( 5 . 9 ) 式 ， 易 知 算 子 2 ( 7 . 1 ) 具 有 奇 异 算 子万 和万 的 奇 异 积 分 方 程 (二 告 ” ) 合 (一 告 ” 冲 + 一 t a 十 三 d ) + ，.卫.j ， c + m1 i- 。 ， 一 (a 、 姜 b 丫 乙月 ，2，( 7 . 2 ) ，胜.，.j 2 、.尹 .o 十 (a 告 ” ，! 专 za 是 算 子 l al、 旅二 丽+ da 的 逆 算 子 ， 即 m 声- 在这时 有唯一解: l m， 二 1。 从而方 程 ( 7 . 1 ) 中 ， m， f ( 7 . 3 ) 其中ml 如 ( 7 2 ) 所示. (i 1) 当 。 + 与+ d = 。 时 ， 注 意 到(5 . 7)式 ， 则 方 程(7 . 1)变 为 : 2 a (，一 a ) 切 + bb以一 a ) 甲 + c h 切 了 ( 7 ， 4 ) 令 (i一 a ) 甲二 劝 ( 7 . 5 ) 又由(5. 8) 则砂 应 满足 方 程 a 砂+ bb砂+ ch沪 f ( 7 . 6 ) 则由 ( 1 )中结论，方程 (7. 6) 有唯一解 势. mz f ( 7 . 7 ) 其中 对2 a 。 合 b ) 告 i一 。 告 b 十 万_ 三 一 一 -石 。 + 告 b )2 二 ，.j 2 c 十 1 8 具有奇异算子b和h的奇异积分方程 十 一 一止址一 一 一a (a 壹 ”，卜 二 告 ”， ( 7 . 8 ) 将 (7. 7) 代入 (7. 5) 易 知当 且仅当af 。时， 方程 ( 7 . 4) 有解，并且 解为 甲 mz f+ cl ( 7 ， 9 ) 其中 mz 由(7 . 8)所示， c ， 为 任 意 实 数。 于是我们得到如下定理: 一_ _， 、 。 二 一 ， ， _、二 _ 、 ， 二、，1_ ， _ _ 定理? . 1 假设在方 程(7. 1)中， a， b ， 。 ， d 为实数， 且a 二 去 b ， 0， 已 给f 已 x， 2 在x内 求解， 那么 ( 、 ) 当 。 十 粤 。 + d ， 。 时 ， 贝 方 程( 7 . ; ) 在 x 内 有 唯 一 解 ， 解 为 ， 二 m lf ， m ， 2 由 ( 7 . 2 )所示。 1_ _ _ . _ ， . ， _ . _ _ _ _ .。 ， ， ， _ _ 、 二_， ， 一 _ ( 1 1 )当a + 舟 b + d 。时， 当 且 仅当af 二 0时， 方 程 (7 . 1)在x内 才 有解， 2 解 为中 对扩+ cl ， 其中对 2 由(7 . 8) 所示， cl为 任 意实 数. 再考虑方程 a 切十 bb切 十 ch护 + 创甲 + k 甲. 了(7. 10) 其 中 a，b，c，d为 实 数 ， 已 给 f 甸， 御一 价汽匀 k 嘛易 岛 冲(6)，核 aal x 祖急 k 伪 : ， 叮 2 ， 氛 ， 氛 ) 对勿 1 刃 2 ) ， ( 氛 ， 夸 2 ) 皆 满 足 h s l d e r条 件， 显 然 ( 7 . 1 ) 是 ( 7 . 1 0 ) 的 一 个特殊 情 形，当 k 中 。 时 ， ( 7 . 1 0) 便 为 ( 71 )o 对于方程 ( 7 . 1 0) 我们有如下定理: 定理 7 . 2如果在方程 (7. 1 0) 中， 目0。 ， 王 b + d ， 。 ， 2 并且在x内 求解中 ，则方程 (7 1 0) 可以 化成与之等价的f red h olm 方程。 证明: 用 (7 ， 2) 所 示 的 算 子m， 作 用于 (7 . 1 0)， 得到 方 程 具 有奇异 算子厅和h的 奇异积分方 程 切 + ki甲， 9 ( 7 . 1 1 ) 其 中 “ m l ，犬 !， 一 m ik 切 一 宏合 1，夸 :k l伪 1，” 2，氛 ，夸 2丫 u 夸 ， “ 知 尤 ， 伪 ， ， 冲 2 高， 氛 ) 对伪 ，