（基础数学专业论文）八维以下非交换novikov代数的结构.pdf

摘要摘要n o v i k o v 代数与p o i s s o n 括号和h a m i l t o n i a n 算子密切相关，在数学和物理的很多领域有广泛的应用。我们主要讨论二次n o v i k o v 代数的结构。二次n o v i k o v代数是带有一类双线性型的n o v i k o v 代数。二次n o v i k o v 代数在维数小于等于5时是交换的。本文给出了二次n o v i k o v 代数的性质并给出了八维以下的非交换的二次n o v i k o v 代数分类。关键词：n o v i k o v 代数左对称代数双线性型a b s t r a c ta b s t r a c tn o v i k o va l g e b r a sa r er e l a t e dt op o s s i o nb r a c k e t sa n dh a m i l t o n i a no p e r a t o r si nt h ef o r m a lv a r i a t i o n a lc a l c u l u s ，w h i c hh a v ea p p l i c a t i o n si nm a t h e m a t i c sa n dm a t h e m a t i cp h y s i c s t h ep u r p o s eo ft h i sa r t i c l ei st os t u d yq u a d r a t i cn o v i k o ca l g e b r a s ，t h a ti s ，n o v i k o va l g e b r a sw i t hs o m eb i l i n e a rf o r m s i ti sw e l lk n o w nt h a tq u a d r a t i cn o v i k o va l g e b r a so fd i m e n s i o n su pt o5a r ec o m m u t a t i v e i nt h i sa r t i c l e ，w eg i v es o m ep r o p e r t i e so fq u a d r a t i cn o v i k o va l g e b r a sa n dt h ee l a s s i f i c a t i o no fn o n c o m m u t a t i v eq u a d r a t i cn o v i k o va l g e b r a so fd i m e n s i o n su pt o8 k e y ：n o v i k o va l g e b r a s ，l e f ts y m m e t ya l g e b r a s ，b i l i n e a rf o r m s南开大学学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。学位论文作者签名：了丸) 蟊奄r 年| 只 db南开大学学位论文版权使用授权书本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。学位论文作者签名：歹彳厶7 口。孑年f2 月卜日经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。指导教师签名：学位论文作者签名：1 一 ，形侈解密时间：年月日各密级的最长保密年限及书写格式规定如下：第一章引言第一章引言第一节n o v i k o v 代数g e l f a n d 和d i k i i 在研究和h a m i l t o n i a n 系统有关的某些非线性偏微分方程时，发现一些有趣的p o i s s o n 结构，如k d v 方程 1 ，2 。在 3 里，g e l f a n d和d o r f m a n 发现了h a m i l t o n i a n 算子和某些代数结构之间更多的联系。d u b r o v i n ，b a l a n s k ii 和n o v i k o v 等人从另一个角度研究了类似的p o i s s o n 结构 4 - 6 ，以及其中的代数结构 3 。这种代数被o s b o r n 称为“n o v i k o v 代数”。并且0 s b o r n 介绍了它与p o i s s o n 括积之间的联系 7 - 1 3 。a 是域f 上的线性空间，若存在a 上的二元运算，使得对任意x ，y ，z 彳，都有，( 砂) z = ( x z ) y ，( 1 1 )( 砂) z x ( y z ) - - - ( y x ) z y ( x z ) ，( 1 2 )则称彳是一个n o v i k o v 代数。n o v i k o v 代数是一类特殊的左对称代数。左对称代数是一种重要的非结合代数，是在研究仿射流形和仿射结构时引入的 1 4 - 1 7 。a 是一个n o v i k o v 代数，定义彳的换位运算 x ，y = x y y x则定义了一个l i e 代数g = g ( 彳) ，称为彳的伴随l i e 代数。第二节z e l ，m a n o v 定理令三x ，三，分别代表n o v i k o v 代数的左乘和右乘运算。由( 1 1 ) 和( 1 2 ) ， 尺工，尺， = 0 ，( 1 3 ) 三x ，三， = 三【工，】，( 1 4 )即左乘运算构成一个l i e 代数的表示，右乘运算是可换的。( 1 1 ) 和( 1 2 ) 还可以表示为三珏= 三：r ，( 1 5 ) 三：，尺j = r ：rx r 屈( 1 6 )考虑e n dma 的由r 彳= 尺口ia a ) 生成的子代数。如果存在n 1 使得尺：= 0 ，则我们称a 是右幂零的。第一章引言引理1 设a 是一个右幂零的二维n o v i k o v 代数，则彳2 一定是幂零的。如果，和，：都是a 的右幂零理想，则，+ ，也是彳的右幂零理想。因此，一个有限维代数彳存在极大右幂零理想，记为( 彳) 。引理2 商代数彳( 彳) 是域的直和。引理3 一个非结合代数必然包含非零理想。由引理2 和引理3 ，我们可以得出重要定理：定理1 特征为零的域上的有限维单n o v i k o v 代数是一维的。第三节n o v i k o v 代数的构造方法现在我们介绍一些建立n o v i k o v 单代数的方法，对于有幂等元的情形，徐晓平在 1 2 里已做了详细的论述。这里我们只考虑没有幂等元的情形。为了构造n o v i k o v 代数，我么先引进n o v i k o v p o i s s o n 代数概念，这是一种定义了两种运算的代数体( a ，o ) 。元素对前一种运算构成交换结合代数，对后一种运算构成n o v i k o v 代数。即除了( 1 1 ) 和( 1 2 ) 外，还必须满足( x y ) oz = x ( yoz )( 1 7 )( xoy ) z xo ( y z ) = ( yox ) z yo ( x z )( 1 8 )在 1 3 中，有如下引理：引理4 设( a ，) 是一个交换结合代数，d 是的彳一个导子，定义彳上的运算 o 使得xoy = x d ( 少)( x ，y a )( 1 9 )则( a ，o ) 构成一个n o v i k o v p 0 i s s o n 代数。这个引理告诉我们由一个结合代数构造n o v i k o v p o i s s o n 代数的方法。进一步，下面的定理由一个n o v i k o v p o i s s o n 代数出发，可以构造一个新的n o v i k o v代数。这就为n o v i k o v 代数的研究开辟了广阔的空间。定理2 设( 彳，o ) 是一个n o v i k o v p o i s s o n 代数，对彳中的任意元素f ，我们定义一个新的运算“ ：x y = xoy + 善x y ( x ，y a )( 1 1 0 )则( a ，) 构成一个新的n o v i k o v p o i s s o n 代数。至此，我们掌握了由交换结合代数构造n o v i k o v 代数的方法。由于孝的任意性，对于么中不同的元素，我们可以构造出一族不同的n o v i k o v 代数。再由2第一章引言定理2 ，我们可以从一个n o v i k o v 代数出发，定义新的运算，从而构造新的n o v i k o v 代数。第四节二次n o v i k o v 代数域f 上的n o v i k o v 代数彳上的对称双线性若满足，厂( a b ，c ) = f ( a ，b c ) x ，y ，z a( 1 11 )厂( a ，b ) = 0vba=a=0则称厂是彳上的非退化结合双线性型。( 彳，厂) 称为二次n o v i k o v 代数，如果厂是n o v i k o v 代数彳上的非退化的结合双线性型。n o v i k o v 代数的研究已经有将近3 0 年的历史，但n o v i k o v 代数的分类依然是悬而未决的公开问题，特别的四维的分类也没有完全解决。本文将给出非交换的维数不大于8 的二次n o v i k o v 代数的分类。第二章二次n o v i k o v 代数的伴随l i e 代数第二章二次n o v i k o v 代数的伴随l i e 代数第一节基本概念设( 4 ，厂) 为二次n o v i k o v 代数， e i , e 2 ，e 。) 是a 的一组基。那么双线性型厂完全由f = ( ；j ) 决定，其中 = f ( e r ，e j )设 c ； 为这组基的结构常数，即e i e ，= c 缸也就是说，a 在这组基下的特征矩阵为：定义1 设为a 的理想，定义n 上= x alf ( x ，y ) = o ，v y ) 。如果厂i j 。 ，= 0 ，称是自迷向的；如果fi 。是非退化的，称是非退化的。以z ( 彳) 表示彳的中心，即z ( a ) = x a i x y = y x = 0 ，v y 彳) 。引理1 ( 2 0 ) z ( 彳) = ( 州) 上，并且d i m z ( a ) + d i m a a = d i m a定义2 设g 是一个l i e 代数，厂是在g 上满足f ( x ， 少，z ) = 厂( x ，y ，z ) ，v x ，y ，z g的非退化的双线性型，则称( g ，厂) 为一个二次l i e 代数。设日为g 的理想，定义日上= xeaf ( x ，y ) = o ，v y h ) 。称n 是非退化的，4、，pe七h七m；pp七七mc ；c，一=pe第二章二次n o v i k o v 代数的伴随l i e 代数若j 。月是非退化的。定义3 设g 是一个l i e 代数，考虑g 的理想序列：g o = g ，9 1 = 【g ，g 】，g “1 = g ，g 】。如果存在整数，z ，使得g ”= o ，则称g 是幂零的。如果g “= o 而g ”1 0 ，则称为m 步幂零引理2 ( 2 0 ) ( 彳，厂) 是二次n o v i k o v 代数，则( g ( 彳) ，厂) 是二次l i e 代数。并且当d i ma 4 时，g ( a ) 是交换的( 即是1 步幂零的) 。引理3 ( 1 9 】) 二次n o v i k o v 代数是结合代数。证明设( 彳，厂) 为二次n o v i k o v 代数，v 口，b ，c ，d a ，2 f ( ( a b ) c ) 一a ( b c ) ，d ) = f ( ( a b ) c ) 一a ( b c ) ，d ) - f ( d ，a ( b c ) 一( a b ) c )= f ( a ，b ( c d ) 一( b c ) d ) 一f ( d ，b ( a c ) 一( b a ) c )= f ( a ，c ( b d ) 一( c b ) d ) 一f ( c ，d ( b a ) 一d ( b a ) )= f ( c ，( b d ) a 一6 ( 如) ) 一厂( c ，( d b ) a d ( b a ) )= 0 。又因为是非退化的，所以( a b ) c a ( b c ) = 0 。第二节性质定理1 二次n o v i k o v 代数的伴随l i e 代数至多2 步幂零。证明设( 彳，厂) 是一个二次n o v i k o v 代数，g ( 彳) 为其伴随l i e 代数，则v a ，b ，c ，d a ，有f ( a b ，c ，d ) = f ( a ，【6 ，c d )= f ( a ，b ( c d ) 一c ( b d ) )5第二章二次n o v i k o v 代数的伴随l i e 代数= f ( ( a b ) c 一( a c ) b ，d )= f ( ( a b ) c 一( a b ) c ，d )= 0o由此可知，【6 ，c cz ( a ) cc ( g ( 彳) ) 。由于f ( a b ，c 】，d ) = 厂( 【6 ，c d ，a ) ，这说明g ( a ) 至多2 步幂零。推论1 设( a ，f ) 是一个二次n o v i k o v 代数，g ( a ) 为其伴随l i e 代数，则d i m g ( 以g ( 制丢d i m 鲁( 4 )证明由引理2 ，我们可以得到c ( g ( 彳) ) = g ( 彳) ，g ( 彳) 上这说明d i mc ( g ( 么) ) + d i m g ( a ) ，g ( 彳) = d i mg ( 彳)再由定理1 ，可知。 g ( 彳) ，g ( 彳) cc ( g ( 彳) )即，d i m g ( 彳) ，g ( 彳) 1 2 d i mg ( 彳)推论2 设( 么，厂) 是一个二次n o v i k o v 代数，g ( a ) 为其伴随l i e 代数，如果c ( g ( 彳) )是自迷向的，则 g ( 彳) ，g ( 彳) _ c ( g 似) ) ，并且d i m a 为偶数。证明因为c ( g ( 么) ) 是迷向的，则c ( g ( 彳) ) c ( g ( 彳) ) 上= g ( 彳) ，g ( 彳) 再由 g ( 彳) ，g ( 彳) cc ( g ( 彳) )这就可得出6第二章二次n o v i k o v 代数的伴随l i e 代数 g ( 彳) ，g ( 彳) = c ( g ( 彳) )设d i m g ( a ) ，g ( 彳) 】- d i mc ( g ( 彳) ) = k 时，则d i ma = 2 k 为偶数。推论3 设( 彳，厂) 是一个二次n o v i k o v 代数，g ( 彳) 为其为其伴随l i e 代数，则 g ( 彳) ，g ( 彳) ca acc ( g ( 彳) ) ， g ( 么) ，g ( 彳) cz ( a ) cc ( g ( 彳) )证明容易得到眩( 彳) ，g ( 彳) ca a 和k ( 彳) ，g ( 么) 】cz ( a ) cc ( g ( 么) ) 。下面我们证a acc ( g ( 彳) ) ， c a ，b ，c ，d af ( a ， 6 ，c d ) = 厂( 口，6 ，c d ) = 0由于f 是非退化的，这说明 6 ，c d = 0 ，即a ac 7 c ( g ( 彳) )推论4 设( 么，厂) 是一个二次n o v i k o v 代数，g ( a ) 为其伴随l i e 代数，如果c ( g ( 彳) )是自迷向的，则z ( 彳) 也是自迷向的。证明如果c ( g ( 彳) ) 是自迷向的，则由推论2 可知 g ( 彳) ，g ( 彳) _ c ( g ( 彳) ) ，再由推论3 可得z ( a ) = a a ，这说明z ( a ) 也是自迷向的。第三节八维以下的分类在上一节，我们已经知道二次n o v i k o v 代数的伴随l i e 代数至多2 步幂零。另一方面，如果( g ，厂) 是一个至多2 步幂零的二次l i e 代数，定义：1x y = 专i x ，y v x ，y g二这样( g ，厂) 就成为一个二次n o v i k o v 代数。从而，二次n o v i k o v 代数的伴随l i e代数的分类问题，就转化成至多2 步幂零的二次l i e 代数的分类问题。利用下面的两个引理，我们将给出8 维以下2 步幂零的二次l i e 代数的分类。引理4 设( g ，厂) 是一个二次l i e 代数，日是g 的理想，则日上也是g 的理想。7第二章二次n o v i k o v 代数的伴随l i e 代数进而，如果日是非退化的，则日上也是非退化的，且g = hoh 上。引理5 在4 维以下，不存在2 步幂零的二次l i e 代数。2 3 1d i m g = 5由于维数为奇数，通过推论2 ，可知c ( g ) 不是自迷向的。也就是说存在一个元素x c ( g ) 使得厂( x ，x ) 0 ，这样g 可以分成g = c x0 石上而x 上是一个4 维的至多2 步幂零的二次l i e 代数，因此g 是可换的。2 3 2d i m g - - - 6根据c ( g ) 分两种情况讨论。如果c ( g ) 不是自迷向的，和5 维的情况类似，存在一个元素x c ( g ) 使得f ( x ，x ) 0 ，g 可以分成g = c x x 上而x 上是一个5 维的至多2 步幂零的二次l i e 代数，此时g 是可换的。下面我们假设c ( g ) 是迷向的，这样d i m c ( g ) = 3 。我们可以找到g 的一组基 e 。，e ：，e 。，i ，六，以) ，其中 e 。，e ：，e 3 ) 构成c ( g ) = 【g ，g 的基。并且f ( e 。，z ) = f ( e ：，以) = f ( e ，六) = 1其余都为零。因为厂( z ， z ，厶 ) = f ( e z ，以】， ) = 0 ，可以设厂( z ， ) = a e ，。同理，厂( 厶，f 3 ) = b e 。，厂( ，z ) = c e ：又因为厂( z ， 厶，六】) = f ( f z ， 以，z 】) = f ( f 3 ， 一，厶 ) ，d i m g ，g = 3 ，所以a = b = c 0删佣 她。，拓：，掘s ，嘉z ，壶以，磊1 以) 来代替 e l ，e ： e 3 以厶，以) ，则第二章二次n o v i k o v 代数的伴随l i e 代数厂( z ，厶) = e ，( 厶，五) = e 。，厂( 以，z ) = e ：2 3 3d i m g = 7由于维数为奇数，通过推论2 ，可知c ( g ) 不是自迷向的。也就是说存在一个元素xec ( g ) 使得f ( x ，x ) 0 ，这样g 可以分成g = c xox 上而x 上是一个6 维的至多2 步幂零的二次l i e 代数。2 3 4d i m g = 8和6 维的情况类似，根据c ( g ) 分两种情况讨论。如果c ( g ) 不是自迷向的，则存在一个元素x c ( g ) 使得f ( x ，x ) 0 ，g 可以分成g = c x o x 上而x 上是一个7 维的至多2 步幂零的二次l i e 代数。下面我们假设c ( g ) 是迷向的，这样d i m c ( g ) = 4 。我们可以找到g 的一组基 e l ，e 2e 3 ，e 。，z ，以， ，厶) ，其中 e l ，e 2 ，e 3 ，e 4 ) 构成c ( g ) = 【g ，g 的基。并且f ( e 。，z ) = f ( e ：，以) = f ( e ，六) = f ( e 。，f 4 ) = 1其余的都为零。因为厂( z ，乃 ，z ) = 0 ，厂( z ，乃 ，乃) = ov i ，j = 1 ，2 ，3 ，4 ，因此可以设【z ，五 _ 口乏e 3 + 口乏p 4 ， z ，六 = 口之e 2 + a 4 3 e 4 z ，厶 = 口五p 2 + 口五p 3 ， 以，厶 = a 2 1 3 e l + 口2 4 3 e 4 以，六 = 口2 i 4 e l + a ；4 e 3 ，【六，厶】- 口3 1 4 e l + 口3 2 4 e 2又因为厂( ，乃】，以) = 厂( 乃，以 ，z ) = 厂( 以，z ，乃) v i j k ，所以9第二章二次n o v i k o v 代数的伴随l i e 代数口1 3 2 = 口：3 = 一口磊，口是= 口3 4 1 = 一口五，考虑矩阵b =，容易验证，r a n k b 4 ，这说明d i m g ，g 】 4 。基于以上的讨论，我们可以给出如下定理：定理2 设( g ，厂) 是一个二次n o v i k o v 代数的伴随l i e 代数，对于8 维以下的情形，我们可以给出如下分类：( i ) 若d i m g = ，z ，1 n 5 ，则g 是可交换的。设 e i ，1 f n ) 是其一组基，则f ( e f ，e ，) = 8 ，v 1 f ，刀( i i ) d i m g = 6 ，有两种情况( a ) g 是可交换的。设 e ，1si 6 1 是其一组基，贝j jf ( e ，p ，) = 彰，v 1 f ，j 6( b ) g 不可交换， e 。，e 2 ，e 3 ，z ，厶，以) 为其一组基，满足 z ，六 = e ， 以，以 = e 。， z ， = 一e ：双线性函数厂在基上的作用为f ( e 。，z ) = f ( e ：，厶) = f ( e ，六) = 1其余都为零。这个代数我们命名为q l n 6( i i i ) d i mg = 7 ，有两种情况( a ) g 是可交换的。设 口f ，l i 7 1 是其一组基，贝j jf ( e ，e ，) = 8 ，v 1 f ，7( b ) g = 三loq l n 6 ，其中厶为一维二次l i e 代数。1 0z 。moo旌。呓。旌oo 以。旌弼o3 坦，o口0 寸- o叫。以0o 琥砭第二章二次n o v i k o v 代数的伴随l i e 代数( i v ) d i m g = 8 ，有两种情况( a ) g 是可交换的。设豫，1 f 8 ) 是其一组基，贝, l jf ( e f ，e j ) = 彰，v 1 f ，_ ，8( b ) g = l lol 10q l n 6 。第三章八维以下非交换二次n o v i k o v 代数的分类第三章八维以下非交换二次n o v i k o v 代数的分类我们已经知道，5 维以下的二次n o v i k o v 代数都是交换的。本章主要给出维数不大于8 的非交换二次n o v i k o v 代数的分类。第一节六维非交换二次n o v i k o v 代数通过上一章的讨论，我们知道六维非交换二次n o v i k o v 代数似，厂) 的伴随l i e 代数为q l n 6 。而且存在a 的一组基 e 1 ，e 2 ，e 3 ，z ， ，六) ，使得 e l ，e 2 ，e 3 ) 构成c ( g ( 彳) ) = 【g ( 彳) ，g ( 彳) 】的基。且有 z ，厶】= e ， ，六 = p 。， 以，z 】= e ：，f ( e 。，z ) = f ( e ：，厶) = f ( e ，厶) = 1 ，其余都为零。由推论4 ，由于c ( g ( 彳) ) 是自迷向的，所以z ( a ) t g 是自迷向的。因此设e i e j = o ，e j f j = 0 ( 1 i , j 3 ) 。z 以= 瞄( ，3 ) ，贝t j a 的结构完全由瞄决定。当i 时，f h ：j ：f ( f f ，乃) = f ( f ，z 乃)( 1 f ，3 ) ，即f o f 。f l ，f j 、) = f ( 8 n 。+ 6 i 2 e 2 + 6 ：e 3 ，f j 、) = 6 ：厂( z ，f , f j ) = f ( f ，6 i j e 。+ 西e 2 + 爵p ，) = 彰可得到1 2第三章八维以下非交换二次n o v i k o v 代数的分类万= 万 ；同样可由厂( 乃z ，z ) = 厂( 乃，z ) ，得出6l j i = 6 ：o因此对于任意的1sf ，- ，3 ，i 歹，都有：6i = 6 ；=万土，记为b 驴又因为f ( f l ，以六) = 厂( z 六，六) ，而可得到厂( z ，a l ) = 厂( z ，莲。e 。+ 砝p 2 + 岛p ，) = 莲，厂( z 六，六) = f ( 8 3 ：。万! ，= 艿。：+ ( 罗i 2 2 e 2 + 观e 3 ，六) = 醴，又因为厂( 六，z 以) = 厂( 六z ，厶) ，所以万：! 。= 万于。= 万。：我们记为c 。同理可知万曼= 万。；= 万2 3 。又因为 六，厂2 = f 2 一f 2 六= p ，。即所以有因此( 万1 1 2 一万2 1 1 ) e l + ( 万l ；一万翕) p2 + ( 万l 乏一万2 3 1 ) p 3 = e3 。万。；一万三= 1 。万曼= 万i ；= 万2 3 l = c 一1至此，我们可以得到如下定理。第三章八维以下非交换二次n o v i k o v 代数的分类定理3 设( 么，) 是非交换的6 维二次n o v i k o v 代数。则存在么的一组基 e 。，e 2 , e ，z ，厶，六) ，使得a 在这组基下的特征矩阵为0 0 000 o oo0 0 oo0 0 0a l e l + b i 2 e 2 + b l s e 30 0 0b 1 2 e l + b 2 l e 2 + ( c 一1 ) e 30 00c e l + b 1 3 e 2 + b s l e 3ooob 1 2 e 1 + b 2 l e 2 + c e 3b z i e l + a 2 e 2 + 6 2 3 e 3( c 一1 ) p 1 + b 2 3 e 2 + 6 3 2 e 3uoob 1 3 e 1 + ( c 一1 ) e 2 + c 31 e 3c e l + b 2 s e 2 + b s 2 e 3b s l e l + b s 2 e 2 + a 3 e 3其中a1 ，a2，a3 ，b 1 2 ，b 1 3 ，b2 l ，b2 3 ，b3 l ，b 3 2 ，c c 。并且厂在这组基上的作用为f ( e 。，z ) = f ( e ：，以) = f ( e 。，以) = 1 。第二节七维非交换二次n o v i k o v 代数这一节我们研究二次七维n o v i k o v 代数的结构。由定理2 可知，若二次七维不可换n o v i k o v 代数( 彳，厂) 的伴随二次l i e 代数( g ，厂) ，则g = 厶oq l n 。，其中厶为一维二次l i e 代数。我们仍设 e ，e 2 , e ，z ，办，六) 为q l n 。的一组基，则在q l n 。内有 z ，厶 = e ， ，以】= e 。， 以，z = e ：，f ( e 。，石) = f ( e ：，以) = f ( e ，厶) = 1 ，其余都为零。设x 为厶的单位元。由第二章的讨论可知l 。不是自迷向的，即f ( x ，曲0 ，因此可令厂x ) = 1 。1 4第三章八维以下非交换二次n o v i k o v 代数的分类现在在g = l 。oq 州。内，我们只需要再考虑两类问题：喊中元素的运算在厶上的分量，以及x 和q 删。中的元素运算后的结果。由于厶= c ( 彳) ，可设即3z 石= k = l6 专e k + 6 基x e i 4 = 匹：3 ，j x ，z 巳= + 3 x ，e i e j = 4 x + 3 j + 3 x33硕- f i x = s “3 x + 辞以+ 辞+ 3 ，3k = lk = l3x e i = e i x = s ，x + 醴3 以+ 礴3 龟，x x = s o x +3k = l6 k 于k +k = l3皖+ 3 e k ( 1 f ，尼3 )k = lk = l利用上的双线性函数厂，可知f ( x ，l i _ = l 心c j t ，l = l l f i ，x j 、万扩= 万f ，+ 3 = 万i + 3 ，记为s 扩( 1 f ，3 )同理可以得到万，：。，_ ，= 万，二。= 万j ，记为s ，+ ，万f ：+ 3 = 万f ，+ 3 = 万i + 3 ，记为s “+ 3万，：s + 。= 万，二之3 = 万j ：；，记为s ，+ ，+ 。再考虑厂( 贼，z ) = f ( x ，磋) ，f ( x x ，e ，) = f ( x ，x e ，)可得到万f = s f ，万“3 = s f + 3 ( 1 i 3 )第三章八维以下非交换二次n o v i k o v 代数的分类我们可以得出继续化简上述参数，能得到这类七维n o v i k o v 代数更简明的结构。由于。为g 的中心，即x e f = e i x ，x f , = f i x ，( i = 1 , 2 ，3 ) ，而彳为n o v i k o v 代数，可得何f px = ( f 。x ) l = ( 葫) 以= ( 矾) z = x ) z = ( 六i ) x由前文知在a 中，z 和以z 在x 上的分量相等，即z 厶= b 1 2 e l + b 2 l e 2 + c e 3 + 2 x ，厶z = b 1 2 e 1 + b 2 l e 2 + ( c 一1 ) e 3 + t 1 2 x对照各个系数，容易得到( b 1 2 e l + b 2 l e 2 + o 巳+ f 1 2 x ) x = b 1 2 e 1 + b 2 l e 2 + ( c 一1 ) p 3 + t 1 2 x xc e 3 x = ( c 一1 ) e 3 xe 3 石= 0这说明e 。理想中的元素与x 也是正交的。即：s 62t 1 62t 2 62t 3 62t 4 62t 5 62t 6 620同理可得：1 6xz厶六白乞巳一、j岛即助跏跚跏跏观即膨助黝膨跏23456sqqq 墨q 靠邸跏蹦邸踟蹦$邸膨跏邸膨跏鼬即蹦蹦肼邸跏靳两既$“髟踞xz厶厶q乞巳x第三章八维以下非交换二次n o v i k o v 代数的分类s 4 = t 1 42t 2 42t 3 42t 4 42t 4 52t 4 6 = 0s 52t 1 52t 2 52t 3 52t 4 52t 5 52t 5 620即e , 4 和e ，e j 在z 上没有分量。而我们再考虑由于( 就) z = ( 葫弦( 艇) z = ( s o x + s l e l + s 2 e 2 + s 3 e 3 ) z= s o ( s l x + s l l e l + s 1 2 e 2 + s i 3 e 3 )2s o s l x + s o s l l e l + s o s l 2 e 2 + s o s l 3 e 3( 秭) x = ( s l x + s l l e ls l ( s o 工+ s l e l+ s 1 2 e 2 + s 1 3 p 3 ) x+ s 2 e 2 + s 3 e 3 )= s o s l x + s 2 1e 1 + s l s 2 e 2 + s l s 3 e 3两边对照，可得：s o s i i = s ”= 要s o s l 22s i s 2 ，8 0 s 32s i s 3 ，s 1 s 28 1 22 二二s os l s 3s 1 32 _ ：二s 0同理可得其余的参数：$ 2 2 ：堕，s ，：堕，s ：，：盟2 二，s 3 32 ，s 2 32t 二s 0s 0s o由- 3 = x x = s 。x ，我们用来代替x 做为一维空间的基，这样s 。= 1 ，于是可得1 7第三章八维以下非交换二次n o v i k o v 代数的分类到如下定理定理4 设( 彳，厂) 是非交换的7 维二次n o v i k o v 代数。则存在a 的一组基 五p 。，e ：，e ，z ，以，六) ，使得彳在这组基下的特征矩阵为x + s l p l + s 2 e 2 + s 3 e 30 0 0s ? 岛+ s i s 2 p 2 + s l s 3 巳5 l j 2 e l + s l s ；p 2 + s 2 s 3 巳s l s 3 e 100 0 00000 0 00000 0 000+ $ 2 s 3 e 2 + s 3 e 3000s i e l + 函s 2 e 2 + s l s 3 e 300 0口i p l + b 1 2 e 2 + b 1 3 e 3b 1 2 e 1 + 3 2 l e 2 + c eb 1 3 e l + ( c 一1 ) e 2 + c 3 j e ：5 l s 2 p 1 + s l $ 2 e 2 + s 2 s 3 e 30 0 0b 1 2 e l + 6 ，l p 2 + ( c 一1 ) e 3b 2 1 p l + 口2 p 2 + 如3 p 3c e j + b 2 3 e 2 + b 3 2 e 3s i s 3 e l 十s 2 5 3 e 2 + s ；巳00 0c q + 6 1 3 e 2 + 玩i e 3( c 一1 ) e l + b 2 3 e 2 + b 3 2 e 3b 3 1 e l + b 3 2 e 2 + a 3 e 3其中al ，a2 ，a3 ，b 1 2 ，b 1 3 ，b 2 l ，b 2 3 ，b 3 l ，b 3 2 ，cs l ，s2 ，s 3 c 。并且厂在这组基上的作用为f ( e ，z ) = f ( e ：，厶) = f ( e ，f 3 ) = f ( x ，功= 1第三节八维非交换二次n o v i k o v 代数从第二章的讨论中我们已经知道，八维非交换二次n o v i k o v 代数( 彳，厂) 的伴随二次l i e 代数g = l l0l loq 肼6 。设这两个一维n o v i k o v 代数的基分别为x 和y ，则 x ，y ，p 。，p ：，p ，z ，厶，六) 构成彳的一组基。以一维代数为中心的七维n o v i k o v 代数厶。龇正是我们第二节所得到的结果，因此可设j 瞬= 石+ s 1 9 l + s 2 e 2 + $ 3 e 3a z = s i ( s l e l + s 2 e 2 + s 3 e 3 )y y5y + f l p l + t 2 e 2 + t 3 e 31 8第三章八维以下非交换二次n o v i k o v 代数的分类两= t i 0 1 e l + f 2 乞+ f 3 e 3 )( 1 i 3 )下面我们仍利用双线性结构f ，由于f ( x ，y x ) = f ( x y ，力，f ( y ，x y ) = f ( y x ，y )即砂和y x 在x ，y 上的分量相等，又因为f ( x y ，z ) = f ( x ，y f , ) = 厂( y f , ，功= f ( y x , f i )所以x y 和y x 在e ，上的分量相等，同理，在彳上的分量也相等( 1 i 3 ) ，故妙= 芦，即x ，y 也是八维n o v i k o v 代数的中心元素，我们现考虑砂在彳上的表示。设x y = 1 e l + 吃e 2 + 吩e 3 + _ 石+ 吩以+ 六十x + 0 y在第二节的讨论中我们已经知道，x e 。在七维n o v i k o v 代数中为零，因此只可能在y 上有分量，同理妒1 只可能在x 上有分量，且f ( x y ，e 1 ) = f ( x ，y e i ) = f ( x e l ，y ) = r 4即x e l2r 4 y y p l2r 4 x ，所以彳x = r 4 ( r 4 x ) = r 4 y e l = x e l e l = 0 ，由x 的任意性，可知r 420同理，得到r 5 。r 650因此，砂在么上的表示可简化为x y2f i e l + r 2 e 2 + r 3 e 3 + 0 工+ 0 y1 9第三章八维以下非交换二次n o v i k o v 代数的分类并且f ( x y ，) = f ( x ，啊) = f ( y ，珥) = ( 1 i 3 )f ( x x , y ) = f ( x ，y x ) = ，f ( y y ，x ) = f ( y ，y x ) = 0下面我们进一步化简其中的参数。利用引理1 ，由于( 葫) y = x ( z y ) ，( s l x + s ? e l + s l s 2 e 2 + s l s 3 e 3 + y ) y = x ( t l x + t ? e l + f l t 2 e 2 + f l t 3 e 3 + 功，s l 砂+ = t l x y + 1 艇s l ( e i + r 2 e 2 + r 3 e 3 + r j x + r y y ) + ( f l e l + f 2 e 2 + f 3 e 3 + _ 0 x + f l y )t l ( 巳+ 吃p 2 + 吩p 3 + 0 x + r y y ) + ( s i e l + s 2 e 2 + s 3 e 3 + f i g y + _ x )两边对照，可得出同理有_ = t l ，= 0 ；1s 22t 2 ，s 32t 3至此，彳中的元素相互作用在一组基上的表示已经完全清楚。由此我们可以得到如下定理定理5 设( 彳，厂) 是非交换的8 维二次n o v i k o v 代数。则存在么的一组基 x , y ，e ，e ：，e ，z ，厶，厶 ，使得a 在这组基下的特征矩阵为孙么c中其、坛+吃乞吃屯+白白巧墨+yy+xx骟怕+纪勿吃+巳白巧+y 少卜+xx，。，。一l i4第三章八维以下非交换二次n o v i k o v 代数的分类c =d =ooo1 少+ s ? e l + s i s 2 e 2 + s i s 3 e 3吃少+ s l s 2 p l + s ；e 2 + $ 2 s 3 p 3吩y + s i s 3 e l + $ 2 s 3 e 2 + s ；p 30o0a l e l + b 1 2 e 2 + b l s e 30 0 0b 1 2 e l + b 2 1 e 2 + ( c 一1 ) e 30 0 0c e l + b l s e 2 + 岛l e 3r 2y + s is 2 e l+ j ；p 2 + s 2 s 3 e 3r 2 x + s l s 2 e !+ s 2 2 2 2 + $ 2 s 3 e 3ooor 3 y + s l s 3 e !+ s 2 s 3 e 2 + s ；p 3r 3 x + s i s 3 e i+ s 2 s 3 e 2 + s ；p 31 x + s 2 1e l + s l s 2 e 2 + s l s 3 p 3吃x + s l s 2 p l + s ；p 2 + s 2 s 3 已3x + s i s 3 e l + $ 2 s 3 e 2 + j ；p 3o0ob 1 2 e l + b 2 , e 2 + c e 3b 2 l e l + a 2 e 2 + b 2 3 e 3( c 1 ) p i + b 2 3 e 2 + 6 3 2 e 3ooob 1 3 e l + ( c 一1 ) e 2 + c 3 1 e 3c e l + b 2 3 e 2 + b 3 2 e 3b 3 l e l + b s 2 e 2 + a 3 e 3其中a1 ，a2 ，a3 ，b 1 2 ，b 1 3 ，b2 l ，b 2 3 ，b 3 l ，b3 2 ，cs l ，s 2 ，s3 ，_ ，吃，c 。并且厂在这组基上的作用为f ( e 。，z ) = f ( e ：，厶) = f ( e ，以) = f ( x ，石) = f ( y ，y ) = 1其余都为零。ppssss白+ 巳+2&如2乳勿砰痛砰娩十博士沁ysxs1 + 1 +oooooo，。_=boo0o00oo0ooo第四章结论第四章结论从 2 0 中已知，一个二次n o v i k o v 代数的伴随l i e 代数是二次l i e 代数，我们也知道低于4 维的n o v i k o v 代数都是可换的，但并不是所有的n o v i k o v 代数都可换。相应的，也并不是所有n o v i k o v 代数的伴随l i e 代数都可换。一个很自然的问题是：一个二次n o v i k o v 代数的伴随l i e 代数是什么样子的呢? 在本文中我们说明了这些伴随l i e 代数都是至多两步幂零的。这使我们得以研究高维的二次n o v i k o v 代数。通过本文的讨论，我们可以得到关于二次n o v i k o v 代数的如下结论：( i )二次n o v i k o v 代数( 么，厂) 的伴随l i e 代数( g ( 么) ，厂) 至多2 步幂零。并且2d i m g ( a ) ，g ( 彳) d i mg ( a )( i i )如果c ( g ( 彳) ) 是迷向的，则 g ( 么) ，g ( 4 ) _ c ( g ( 彳) ) 并且2 d i m g ( a ) ，g ( 么) 】- d i m g ( a ) ，z ( a ) 也是迷向的。( i i i )二次n o v i k o v 代数的伴随l i e 代数分类问题，实际上就是至多两步幂零的l i e 代数分类问题。( i v )低于6 维的二次n o v i k o v 代数都是可换的。对于非交换的情形，我们确定了低于8 维的二次n o v i k o v 代数的结构。参考文献参考文献 1 】g e l f a n dima n dd i k ilad i f f e r e n t i a lo p e r a t o r so nt h eb a s ea f f i n es p a c ea n das t u d yo fg - m o d u l e s ，l i eg r