（基础数学专业论文）子群的正规性与有限群结构.pdf

摘要 子群的正规性与有限群结构 专业：基础数学 博士生：何宣丽 指导教师：王燕鸣教授 长期以来，利用子群的某种正规性来研究有限群的结构一直都是有限群理论研究的 重要课题之一群论学者们定义出了各种各样的广义正规性来刻画有限群的结构，得到了 大量的研究结果，这给有限群的研究和发展提供了强有力的推动作用正规子群是各种 广义正规性中最基本的概念，子群的正规性质( 可置换性质) 在有限群的研究中起着十分 重要的作用本文推广了子群的可置换性质得到了一些较弱的可置换性质，并利用这些 弱的可置换性质来研究有限群的结构本文具体安排如下： 第一章，我们主要介绍本文的研究背景及现状，我们还给出了本文要用到的一些定义 与结论 第二章，研究s y l o w 子群的某些极大子群满足c 气正规、g 拟正规嵌入或p 覆盖一远离 性质假设条件下有限群的结构我们得到了p 幂零群、超可解群的一些新的判别准则，改 进、统一和推广了最近的一些结果 第三章，利用c - s 半置换子群讨论了幂零群、超可解群、可解群的一些新的特征定 理，推广了陈重穆、郭文彬、张勤海和王丽芳等人的一些结果，并借用c - s 半置换性推广 了有名的s c h u r - z a s s e n h a u s 定理 第四章，定义弱s g 可置换子群，讨论t s y l o w 子群的相同阶的所有子群满足弱s g 可 置换性假设条件下的有限群的结构，并把相应结果推广到群系框架 第五章，引进r 正规子群的概念，并在这一概念的基础上得到了有限超可解群、可解 群的一些新描述给出了所有素数幂阶循环子群均为r 正规的有限群结构的等价刻画，证 明了卜正规传递的有限群等价于每个素数幂阶循环子群都是卜正规子群的有限群 第六章，研究某些f 补子群对有限群结构的影响，得ntp - 幂零群、超可解群的一些 新的判别准则，改进、统一和推广了最近的一些结果 关键词：有限群，可解群，矿幂零群，超可解群，群系 n o r m a l i t yo fs u b g r o u p sa n dt h e m a j o r - n a m e ： s t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s p u r em a t h e m a t i c s x u a n l ih e s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o ry a n m i n gw a n g a b s t r a c t i th a sb e e nv e r yi m p o r t a n tt os t u d yt h es t r u c t u r eo ft h ef i n i t eg r o u p su s i n gt h e n o r m a l i t yo fs u b g r o u p si nt h ep a s tt w od e c a d e s n o to n l ym a n yn e wc o n c e p t sh a v e b e e ni n t r o d u c e db u ta l s of r u i t f u lr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e d ，w h i c hp u s h e df o r w a r dt h e s t u d ya n dt h ed e v e l o p m e n to ff i n i t eg r o u p st h e o r y t h ec o n c e p to fn o r m a ls u b g r o u pi s m o s tf u n d a m e n t a l ，n o r m a l i t i e s ( p e r m u t a b i l i t i e s ) o fs u b g r o u p sa x ev e r yi m p o r t a n ti nt h e r e s e a r c ho ff i n i t eg r o u p s i nt h i st h e s i s ，w eg e n e r a l i z et h ep e r m u t a b i l i t yo fs u b g r o u p sa n d t h e ng e ts o m ew e a k e rp e r m u t a b i l i t i e so fs u b g r o u p s ，s t u d yt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s b yu s i n gt h e s ew e a k e rp e r m u t a b i l i t i e so fs u b g r o u p s i tc o n s i s t so fs i xc h a p t e r s c h a p t e r1i sp r e f a c e w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n do ft h ep a p e r ，a n dr e v i e ws o m e n o t a t i o n sa n dt e r m i n o l o g i e sa n dw ea l s ol i s ts o m ek n o w nr e s u l t sn e e d e di nt h ef o l l o w i n g c h a p t e r s c h a p t e r2c o n c e r n sw i t ht h ei n f l u e n c eo fc 一n o r m a l i t y , s - q u a s i n o r m a l i t yo rp - c o v e r - a v o i d i n go fm a x i m a ls u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u p sw i t ht h es m a l l e s tg e n e r a t o rn u m b e r o nt h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s w eo b t a i ns o m en e wc r i t e r i o n sf o rp - n i l p o t e n c ya n d s u p e r s o l u b i l i t yo ff i n i t eg r o u p s ，t h eo b t a i n e dr e s u l t si m p r o v e ，u n i f ya n dg e n e r a l i z es o m e r e c e n tr e l a t e dr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，w eg i v es o m en e wc h a r a c t e r i z a t i o n so fn i l p o t e n tg r o u p s ，s u p e r s o l u b l e g r o u p sa n ds o l v a b l eg r o u p sb yc o n s i d e r i n gs o m ec - s - s e m i p e r m u t a b l es u b g r o u p s ，g e n - i v e r a l i z et h er e s u l t so fc h e nc l m n g m u ，g u ow e n b i n ，z h a n gq i n h a ia n dw a n gl i f a n g ， a n da l s og e n e r a l i z et h es c h u r - z a s s e n h a u st h e o r e mb yr e p l a c i n gt h en o r m a l i t yw i t hc 一5 - s e m i p e r m u t a b i l i t y i nc h a p t e r4 ，w ed e f i n et h ew e a k l ys s - p e r m u t a b l es u b g r o u p s ，i n v e s t i g a t et h es t r u c t u r eo ft h ef i n i t eg r o u p sw h o s et h es u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u p sw i t ht h es a m eo r d e r s a t i s f yt h ew e a k l ys s p e r m u t a b i l i t y , a n de x t e n dr e l a t e dr e s u l t st of o r m a t i o n i nc h a p t e r5 ，w ei n t r o d u c et h er n o r m a l i t yo fs u b g r o u p s ，o i lt h eb a s i so ft h i sc o n c e p t w eo b t a i ns o m en e wc h a r a c t e r i z a t i o n so ff i n i t es o l u b l eg r o u p sa n df i n i t es u p e r s o l u b l e g r o u p s w eg i v ea l le q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a t i o no ft h eg r o u p sw h o s ea l lc y c l i cs u b g r o u p s o fp r i m ep o w e ro r d e ra r ef n o r m a ls u b g r o u p s ，a n dp r o v et h a tt h ef - n o r m a lt r a n s i t i v e g r o u p sa r et h es a m ew i t ht h eg r o u p sw h o s ea l lc y c l i cs u b g r o u p so fp r i m ep o w e ro r d e ra r e f n o r m a ls u b g r o u p s i nc h a p t e r6 ，w es t u d yt h ei n f l u e n c eo fs o m e 歹 - s u p p l e m e n t e dm a x i m a ls u b g r o u p so n t h es t r u c t u r eo ff i n i t eg r o u p s ，o b t a i ns o m en e wc r i t e r i o n sf o rp - n i l p o t e n c ya n ds u p e r s o l u - b i l i t yo ff i n i t eg r o u p s ，u n i f ya n dg e n e r a l i z es o m er e c e n tr e l a t e dr e s u l t s k e y w o r d s ：f i n i t eg r o u p ，s o l v a b l e ，p - n i l p o t e n t ，s u p e r s o l u b l e ，f o r m a t i o n w i g l 日g i g ：h i 7 r ( g ) z ( v ) 瓦( g ) 磁( g ) c c ( h ) n c ( h ) hqg h g c h a u t ( g ) & 厶 旷 h z h 兰k z ，y 】 日，k 】 g 7 hxk g = h 4 k m g 本文所用的符号 某些素数之集 g 的阶 日是g 的子群 日在g 中的指数 i g f 的全部素因子集 g 的中心 g 的超中心 g 的乒超中心 日在g 的中心化子 日在g 的正规化子 日是g 的正规子群 = nh g ，h 在g 中的核 9 g g 对日的商群( 或因子群) g 的自同构群 n 级对称群 7 1 , 级交错群 = x - 1 y x = 纠y 日) 日和k 同构 x 和y 的换位子 日和k 的换位子群 g 的换位子群 日和的直积 g 是日和k 的半直积，其中hqg m 是g 的极大子群 v i i i s y l p ( g ) e x p ( g ) q ( g ) o p ( g ) 西( g ) f ( g ) p ( g ) n n 9 “ g 的s y l o wp - 子群的集合 g 的幂指数 g 的最大正规p 子群 = n i qg j l g n 为矿群) g 的f r a t t i n i 子群 g 的f i t t i n g 子群 g 的广义f i t t i n g 子群 幂零群类 p 幂零群类 超可解群类 原创性说明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取 得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或 撰写过的作品成果对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 9 7 学位论文作者签名：彳可重丽 日期：加p 7 年石月7 日 第一章绪论 1 1引言 代数学是数学的一个重要的基础的分支我们知道现代代数学主要包括群、环、模、 域四种基本结构而群是现代代数学最基本，也是最重要的概念之一群论不仅对于现代 数学的发展有显著的影响，并且对于一些其它的学科( 如几何、数论、密码学、理论物理 学、计算机原理等) 也有较直接的应用在群论的众多分支中，有限群理论无论是从理论 上，还是从实际应用来说，都占据着更为突出的地位 描述一个群的结构和性质是群论研究中的基本问题刻画有限群g 的结构，一般是通 过g 的子结构、商结构与算术结构而进行研究的( t h o m p s o n 语) 要得到g 的子结构与商 结构，就要利用g 的正规子群设n 塑g ，我们可以得到：1 商群g n ；2 新子群，对任 意h g ，则日g 为获得g 的更多的子结构与商结构信息，人们自然从这两方面来 推广正规子群研究有限群的一个重要方法是通过对群的部分子群附加一定的条件或限 制来刻画整个群的结构我们通常考虑s y l o w 子群、极大子群、极小子群等考虑限制在 什么范围内的s y l o w 子群、极大子群、极小子群也是有限群论常常研究的一个问题，人们 经常考虑限制在f i t t i n g 子群、广义f i t t i n g 子群等子群内 众所周知，由g a l o i s 弓 入的正规子群的概念是有限群结构研究中十分重要的一个概念 利用子群的正规性，人们得到了j o r d a n - h 6 1 d e r 定理、s c h u r z a s s e n a h a u s 定理和s c h r e i e r 群 扩张理论等结论，这些结论奠定了有限群构造理论的重要基础在正规子群概念的基础 上，许多专家及学者又引进了与正规性条件密切相关但比正规性条件弱的一些子群的概 念，并得到了群结构的一系列丰富结果设日是群g 的子群称日是g 的次正规子群，如果存 在g 的子群g o ，g l ，g r 且使得h = g r 笪g ，一1 璺里g 1 笪g o = g 成立p h a l l 于1 9 3 7 年 在一次报告中引进了对立于正规子群的概念一反正规子群不过，反正规子群的概念首先 出现在1 9 6 1 年c a r t e r 写的文 1 】中次年，g a s c h f i t z 在文 2 中引入的覆盖一远离性也是 正规性的推广有关覆盖远离性对群结构的影响，很多专家及学者有过一些贡献( 参见 【3 ，4 ，5 ，6 ，7 ) o r e 和k e g e l 等人引入了拟正规性和s 拟正规性，并利用这两个子群特性 2 第一章绪论 得到了群结构的一些初步结果( 8 ，9 】) 。作为拟正规子群和g 拟正规子群的一个推广，陈 重穆于1 9 8 7 年在文 1 0 】中引进了半正规子群和s 一半正规子群的概念嗽e r 则从另一个 角度给出j 下规性的推广一正规嵌入性( 【1 1 】，i ，7 1 ) 随后，l e n n o x 和b a l l e s t e r - b o l i n c h e s 等 人又分别给出了拟正规嵌入子群f 1 2 和s 一拟正规嵌入子群 1 3 】的概念。1 9 9 6 年，王燕鸣 引入了c 正规子群，并成功地应用于群的可解性、超可解性和幂零性的研究中，得到了 若干新的判别准则( 1 4 ，1 5 】o1 9 9 7 年t f o g u e l 在文【1 6 】中提出了共轭置换子群的概念 最近，郭文彬等人利用子集性质引入了x 一置换子群 1 7 的概念设x 是群g 的一个非空 子集称g 的子群日在g 内是x 一置换的，如果对于g 的任何子群t ，都存在某个z x 使 得日p = p 日此外，群的可补性在有限群的分类研究中也扮演着十分重要的角色我们 知道如果一个群的某些子群存在补子群那么该群的许多性质可以很容易地被刻画由p h a l l $ 1 j 用s y l o w 子群的可补性建立起来的s y l o w 系理论和s y l o w 牢b 系理论( 【1 8 ，1 9 】) 是可解 群结构理论的重要理论基础此后，k e g e l 、a r a d 和w a r d 、b a u m e i s t e r 等人利用子群的可 补性给出了可解群的一些刻画( 2 0 ，2 1 ，2 2 ，2 3 】) 最近，b a l l e s t e r 、李德玉和郭秀云等人 也利用子群的可补性给出了可解群的一些刻画( 【2 4 ，2 5 ，2 6 】) 作为正规子群和可补子群 的统一推广，苏向盈于1 9 8 8 年在文 2 7 中引进了不同于陈重穆的半正规子群的概念作 为d 正规子群和可补子群的统一推广，b a l l e s t e r - b o l i n c h e s 、王燕鸣和郭秀云在2 0 0 0 年引 入了c 可补子群的概念，并利用子群的d 可补性得到了群可解、超可解和p 幂零的一些 新的刻画( 2 8 ，2 9 】o 作为g 拟正规嵌入子群、d 正规子群和可补子群的另一种推广，韦 华全和王燕鸣引入了c 一正规子群f 3 0 的概念，并利用子群的驴一正规性得到了群结构的 一些刻画作为d 可补子群的推广，郭文彬在文【3 1 】中引进了f 补子群的概念，并得到 了有限群结构的一些新的描述 目前，人们仍然继续推广正规子群的概念进而得到一些广义正规性的概念，并利用这 些新的广义正规性来研究有限群的结构 1 2 研究背景及现状 长期以来，幂零群、超可解群、可解群的结构刻画都是群论研究的重要课题之一利 用子群的正规性质( 置换性质) 和局部性质来研究有限群的幂零性、超可解性、可解性是 1 2 研究背景及现状 3 群论研究的重要工具其中利用子群的罱换性质来刻画有限群的结构的结果尤其丰富，而 且这也直是群论研究中的一个活跃的研究课题人们通常考虑的子群有极大子群，极小 子群，s y l o w 子群，正规化子等 近年来，许多专家及学者讨论t s y l o w 子群的所有极大子群在满足某种正规性条件下 的有限群的p 幂零性及超可解性，此方向研究的典型结果是1 9 8 0 年s r i n i v a s a n 给出了下面 的结论： 定理1 2 1 3 2 】如果有限群g 的s y l o w 子群的所有极大子群都是g 的正规子群，那 么g 是超可解群 此后，很多专家及学者在减弱正规性的假设条件下推广- 了 s r i n i v a s a n 结果，参见 1 0 ， 2 7 ，3 3 ，3 4 ，3 5 ，1 4 ，1 3 ，6 ，2 9 ，3 6 ，3 7 ，3 8 ，3 9 ，4 0 ，4 1 ，4 2 ，3 0 等 极小子群是极大子群的一个对偶的概念因此，利用极小子群讨论有限群的结构也 是有限群研究的一个重要话题早期的结果如i t 6 证明了下面的结论： 定理1 2 2 4 3 】假设g 为奇阶有限群且g 的所有极小子群都在g 的中心z ( g ) 中，那 么g 是幂零群 后来，很多学者推广t i t 6 的这一结果b u c k l e y 于1 9 7 0 年证明了： 定理1 2 3 4 4 设g 是奇阶有限群且g 的所有极小子群在g 中正规则g 是超可解群 随后，许多专家及学者减弱正规性从而推广t i t 5 及b u c k l e y 的结果，参见 3 7 ，3 8 ，3 9 ， 4 0 ，4 1 ，4 5 ，4 6 ，4 7 ，4 8 等 为了使结论更加一般化，人们通常考虑将条件限制在较小的子群里例如当群g 是可 解群时我们就考虑f i t t i n g 子群f ( g ) 的某些子群 定理1 2 4 【3 4 设g 为可解群若f ( g ) 的s y l o w 子群的极大子群在g 中正规，则g 是 超可解群 定理1 2 5 4 9 设g 为可解群若f ( a ) 的s y l o w 子群的极大子群在g 中s 一拟正规，则g 是 超可解群 针对极小子群，l a u e r 在文 5 0 】中证明了： 定理1 2 6 5 0 设g 为可解群如果f ( g ) 的极小子群及4 阶循环子群在g e e 正规，那 4 第一章绪论 么g 为超可解群 但g 是一般群时，f ( g ) 可能是平凡的，此时f ( g ) 就没有足够好的性质来刻画g 的结 构我们就需要考虑用一个较大的子群的性质来刻匦g 的结构，f i t t i n g 子群的一个自然推 广就是广义f i t t i n g 子群f 4 ( g ) 王燕鸣 5 1 】首次去掉g 的可解性，利用g 的广义f i t t i n g 子 群f + ( g ) 来讨论群g s j 幂零性，超可解性，证明了下面两个结论： 定理1 2 7 5 1 】设g 是有限群，是g 的使得a n ) 超可解群的正规子群若f ( ) 的 每个极小子群及4 阶循环子群在a e e c 正规，则g 为超可解群 定理1 2 8 5 1 设g 是有限群，n 是g 的使得g 为幂零群的正规子群，且p ( ) 的 每个4 阶循环子群在g 中c 正规则g 是为幂零群当且仅当f + ( ) 的每个极小子群在g 的 超中心里 韦华全，王燕鸣，李样明在【3 9 】证明了： 定理1 2 9 3 9 】设g 是有限群，日是g 的正规子群且使得g 日为超可解群。若f + ( 日) 的 s y l o w f 均极大子群在g e e c 一正规，则g 为超可解群 群类理论是上世纪6 0 年代创立并逐渐发展起来的到目前为止，群类理论已经发 展成为了群论的一个重要分支群类的研究不仅形成了自身丰富的理论，而且为群论的 研究提供了新的思想方法和研究技巧群类的研究内容主要包括饱和群系、s c h u n c k 类 和f i t t i n g 类近年来，群系也是许多群论学者经常关注的研究对象针对一个给定的群 系歹，讨论一个群满足什么样的条件时该群才能属于这个群系歹，这个问题引起了许多学 者的关注我们通常考虑包含超可解群类的饱和群系及包含幂零群类的饱和群系目前， 此方面研究已经有了很多研究结果，参见【5 2 ，5 3 ，6 ，5 4 ，5 5 ，5 6 ，4 2 等 最近，s k i b a 在文 5 7 】中讨论s y l o w 子群的相同阶的所有子群满足弱孓可置换性假设 条件下的群的结构，得到了下面较好的结论，统一和推广了有关s y l o w 子群的极大子群和 极小子群的很多已知的结论 定理1 2 1 0 【5 7 设厂是包含超可解群类的饱和群系，是有限群g 的使得g 包含 在，中的正规子群，p 是f ( ) 的任一s y l o w 子群假如尸存在子群d 使得l i d f 2 时) 的 子群日在g 中或有超可解补充或是弱s 可置换的那么g 包含在厂中 1 2 研究背景及现状 5 随后，李样明等人利用嵌入性质在文 5 8 】中推广了s k i b a 的结果为： 定理1 2 1 1 5 8 】设厂是包含超可解群类的饱和群系，是有限群g 的使得g n 包含 在厂中的正规子群，p 是f + ( ) 的任一s y l o w 子群假如尸存在子群d 使得l i d i 2 时) 的 子群日在g 中是弱s 一可置换嵌入的那么g 包含在厂中 同时他们还得到了如下结论： 定理1 2 1 2 5 8 设g 是有限群，p 是g 的阶的最小素因子，p 是g 的s y l o w p 一子群如 果p 存在子群d 使得1 ap ，其中h 是g 的奇阶交换h a l l 正规一子群，p = 扛) s y l p ( g ) 且( 矿) = z ( v ) = q ( g ) ，z 通过共轭作用在日上诱导出胃的无固定点的p 阶幂自同构 随后，人们通过减弱正规性条件对上述结论进行了一系列的推广b a u m a n 和e b t e r 在 文 7 5 】中给出了所有子群或为次正规或为反正规的有限群的刻画，l e g o v i n i 在文【7 6 】中 确定了每个子群或为次正规或为类正规的有限群的结构，张勤海在文 7 7 】中研究了每个 子群或为半正规或为反正规的有限群，在文【7 8 中他又刻画了每个子群或为s 半正规或 为反正规的有限群的结构群结构分类的刻画是群论研究中的一个重要研究内容，目前 人们仍在继续这方面的研究 1 。3 研究的主要问题 本文的主要任务就是继续上述研究课题，我们将提出一些新的广义正规性子群概念， 包括d g 半置换子群、弱s d 可置换子群、r - 正规子群等这些新的子群概念是我们熟悉 的一些概念的推广，文中我们将会举一些例子说明这些概念的引入是有意义的，并证明它 1 4 常用概念及结论 7 们与已有概念的关系我们研究这些新概念的性质，并利用这些性质得到了有限群的可解 性、p 幂零性、幂零性、超可解性的一些新的刻画具体而言： 第一章，我们主要介绍本文的研究背景及现状，我们还给出了本文要用到的一些定义 与结论 第二章，在减少s y l o w 子群的极大子群个数的基础上并减弱正规性假设条件推广了前 人的某些结果，借助p 子群p 的秩( p y p ( p ) = ，dr 为尸的秩) 分析研究s y l o w 子群p 的d 个极大子群满足c + 一正规，p 覆盖一远离或s 一拟正规嵌入等正规性假设条件下的有限群的结 构我们得到了矿幂零群、超可解群的一些新的判别准则，改进、统一和推广了最近的一 些结果，包括韦华全、王燕鸣和郭秀云等作者的结果 第三章，我们利用d g 半置换子群给出了p 幂零群、超可解群和可解群的一些新的 特征定理，推广了陈重穆、郭文彬、张勤海和王丽芳等人的一些结果，并利用h a l l 子群 的d 口半置换性推广了有名的s c h u r z a s s e n h a u s 定理 第四章，给出弱s g 可置换子群的概念，讨论t s y l o w 子群的阶相同的所有子群满足 弱s s 可置换假设条件下的有限群的结构，进而利用广义f i t t i n g 子群把所得结果进一步推 广，并把相应结果推广到群系框架，统一和推广了s k i b a 、李世荣等人最近的一些结果 第五章，我们引入r 正规子群，并在这一概念的基础上得到了有限超可解群、可解群 的一些新描述给出了所有素数幂阶循环子群均为r 正规的有限群的结构的等价刻画，证 明了r 正规传递的有限群等价于每个素数幂阶循环子群都是r 一正规子群的有限群同时 也给出了丁- 群的些新的刻画条件 第六章，研究某些乒补子群对有限群结构的影响，推广了郭文彬、郭秀云等人最近的 一些结果 1 4 常用概念及结论 本文所考虑的群皆为有限群设g 是群，日的g 的子群 p h a l l 于1 9 3 7 年在一次报告中引进了对立于正规子群的概念一反正规子群 8第一章绪论 定义1 4 1 称日是群g 的反正规子群( a b n o r m a ls u b g r o u p ) ，如果对任意的g g 有夕 ( h ，h g ) 作为正规子群和反j 下规子群的统一推广，p h a l l 又提出了类正规子群的概念 定义1 4 2 7 9 】称日是群g 的类正规子群( p r o n o r m a ls u b g r o u p ) ，如果对任意的g g ，h 和日9 在( 日，日g ) 中共轭 o r e 哥= 1 9 3 9 年在文 8 】中提出拟正规子群的概念 定义1 4 3 8 】若对任意k g ，h k = k h ，则称日是g 的拟正规子群( q u a s i n o r m a l s u b g r o u p ) 有时也称日是g 的置换子群( p e r m u t a b l es u b g r o u p ) k e g e l ：j = 1 9 6 2 年在文 9 中提出了比拟正规子群弱的s 一拟正规子群的概念 定义1 4 4 9 】称日是群g 的s 一拟正规子群( s - q u a s i n o r m a ls u b g r o u p ) ，如果对g 的任 意s y l o w 子群p ，日p = p 日成立 作为拟正规和g 拟正规子群的推广，陈重穆于1 9 8 7 年在【1 0 】中引进了半正规和s 一半 正规子群的概念 定义1 4 5 【1 0 称日是群g 的半正规子群( s e m i n o r m a ls u b g r o u p ) ，如果对g 的子群k ， 只要( i h i ，1 9 1 ) = 1 ，就有h k = k h 成立 定义1 4 6 1 0 称日是群g 的s 半正规子群( s - s e m i n o r m a ls u b g r o u p ) ，如果对g 的 任意s y l o wp - 子群尸，只要( i h i ，p ) = 1 ，就有日p = p 日成立 张勤海在文【7 8 】中分别称半正规子群、口半正规子群为半置换子群( s e m i p e r m u t a b l e s u b g r o u p ) 、s - 半置换子群( s - s e m i p e r m u t a b l es u b g r o u p ) f 盥e r 从另一角度给出正规性的推广，即正规嵌入性( 1 1 ，i ，7 1 ) 定义1 4 7 1 1 】称日是群g 的正规嵌入子群( n o r m a l l ye m b e d d e ds u b g r o u p ) ，如果日的 s y l o w 子群是g 的某个正规子群的s y l o w 子群 作为正规嵌入子群的推广，l e n n o x i g l b a l l e s t e r - b o l i n c h e s 分别在文 1 2 】和文 1 3 】中引 入了拟正规嵌入子群和g 拟正规嵌入子群的概念 1 4 常用概念及结论 9 定义1 4 8 1 2 称日是群g 的拟正规嵌入子群( q u a s i n o r m a l l ye m b e d d e ds u b g r o u p ) ， 如果日的s y l o w 子群是g 的某个拟正规子群的s y l o w 子群 定义1 4 9 1 3 称日是群g 的s 一拟正规嵌入子群( s q u a s i n o r m a l l ye m b e d d e ds u b - g r o u p ) ，如果日的s y l o w 子群是g 的某个s 拟j f 规子群的s y l o w 子群 作为正规子群的另一种推广，王燕鸣在文【1 4 中引入了d 正规子群的概念 定义1 4 1 0 称日是群g 的c 一正规子群( c n o r m a ls u b g r o u p ) ，如果存在g 的正规子 群k 使得g = 日k 且日nk 日g 定义1 4 1 1 ( 8 0 】，i i i ，定义3 5 ) 称日在群g 中可补( c o m p l e m e n t e d ) ，如果存在g 的 子群k 使得g = 日k 且日nk = 1 此时，k 称为日在g 中的补子群 b a l l e s t e r - b o l i n c h e s 、王燕鸣和郭秀云在文【2 8 中提出了d 可补子群的概念，这一概 念是d 正规子群和可补子群的推广 定义1 4 1 2 称日是群g 的c 可补子群( c - s u p p l e m e n t e ds u b g r o u p ) ，如果存在g 的子 群k 使得g = 日k 且日nk h a 定义1 4 1 3 2 设a b 是群g 的主因子我们说( i ) h 覆盖a b 如果日a = h b ；( i i ) h 远离a b 如果日na = h nb ；( i i i ) h 是g 的c a p 一子群如果日或者覆盖或者远离g 的每 个主因子 下面的定义是我们都熟悉的 定义1 - 4 1 4 设g 是群，尸是g 的s y l o wp - 子群如果存在g 的正规子群k 使得g = p k j t pr lk = 1 ，则称g 为p 一幂零群( p - n i l p o t e n tg r o u p ) ，称k 为g 的正规p 一补( n o r m a l p - c o m p l e m e n t ) 定义1 4 1 5 存在中心群列的群叫做幂零群( n i l p o t e n tg r o u p ) 群g 幂零当且仅当对 于任意p 7 r ( g ) ，g 为p 幂零群 定义1 4 1 6 称群g 为p 一超可解( p - s u p e r s o l u b l eg r o u p ) ，如果它的每个非循环主因 子都是群如果对于所有p 7 r ，g 是矿超可解的，则称g 是7 r - 超可解的( 7 r s u p e r s o l u b l e g r o u p ) 如果对于所有素数p ，g 是p 超可解的，则称g 为超可解群( s u p e r s o l u b l eg r o u p ) 1 0第一章 绪论 定义1 4 1 7 ( 8 l 】，i i i ，定义3 2 ) 设g 是有限群a l e i = 硝1 霹，其中p l p 2 p r 若g 有正规子群列1 = g rqg r 一1 g 1 司g o = g 且使得g i 一1 g i 的阶恰为群 ( i = 1 ，r ) 则称群g 拥有超可解型刚。璐性质( t h es y l o wt o w e rp r o p e r t yo fs u p e r - s o l u b l et y p e ) ，g 是s y l o w 塔群( s y l o wt o w e rg r o u p ) 定义1 4 1 8 群g 称为p 一可解的( p - s o l u b l eg r o u p ) ，如果它的每个非交换主因子是p l 一 群如果对于所有素数p 7 r ，它是p 可解的，则称g 是7 r 一可解的( 丌一s o l u b l eg r o u p ) 如果 对于所有素数p ，它是p 可解的，则称g 是可解的( s o l u b l eg r o u p ) 定义1 4 1 9 群g 的所有正规丌一幂零子群的乘积记为b ( g ) 当7 r = 切) 时，简记 为b ( g ) g 的所有正规幂零子群的乘积- i d ：为f ( a ) ，称为g 的f i t t j n 厅群( f i t t i n gs u b g r o u p ) 定义1 4 2 0 设h k 是群g 的一个主因子，称驯k 是g 的一个p 主因子( p - c h i e ff a c - t o r ) ，如果l 驯k i 是p 的某个方幂；日k 是g 的一个础一主因子( p d - c h i e ff a c t o r ) ，如果p 整 除ih ki 下面我们给出有关群系的一些概念 定义1 4 2 1 设厂是一个群类则称厂为群系( f o r m a t i o n ) ，如果( i ) 若g 厂且n 司g ， 贝i g n 厂；( i i ) 若1 ，n 2 司g 且使得g 1 ，g n 2 厂，则g ( 1n 2 ) 厂 定义1 4 2 2 ( 【8 2 】，v i ) 称群系厂为饱和群系( s a t u r a t e df o r m a t i o n ) ，如果g 圣( g ) 厂蕴含g 厂 对于一个群系厂，每一个群g = 都存在一个最小的正规子群使得g n 属于厂这个唯 一确定的正规子群称为g 的f 剩余子群( 歹 - r e s i d u a ls u b g r o u p ) ，记为g 尹 设p 是所有素数集合所谓群系函数，意指定义在p 上的函数，使得对每个p p 都 有，( p ) ( 可能为空的) 是一个群系群g 的主因子驯k 在g 中称为f - 中