（基础数学专业论文）k超正则函数及其相关函数的性质.pdf

k - 超正则函数及其相关函数的性质 摘要本文第一部分由k 超正则函数的p 部和q 部满足的两个方程。讨论了方程与 k _ 超正则函数及其相关函数的关系第二部分给出了k 一超正则函数的开拓定理和唯一 性定理，以及由唯一性定理证明了超正则函数列的性质 关键词k 超正则函数k 一超调和函数k 一超正则函数的p 部和q 部 唯一性定理开拓定理 2 整些壅整叁望堡生堡垒垒兰垒燕妻3 a b s t r a e i nt h e6 r s tp a r to ft h i sp a p e r ，a 8p p a r ta n df 一p a r to fk h y p e r m o n g e n i cf 、l n c t i o n sa r e s 8 髓s 鑫e dw i t h w oe q 毛1 9 毒i o n s ，v p ed i s e 珏s s h el t e l a t i o n s 莪i pb e 谢e e 篁lt h e s et w oe q u a 曩o l l s n 硅 k 小y p e r m o n g e n i cf u n c t i o n sa h dt h e i rr e l a t i v ef u n c t i o n s i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ， w es h o wt h ek - h y p e r m o n g e n i cp r o l o n g a t i o nt h e o r e ma n dt h ek - h y p e r m o n g e n i cu n i q u e n e s s t h e o f e m 。w h 戢i s 豫。f e ，晦媳eb 圭l y p e r m o 娃g 珏i e 娃珏i q 毽n e s s 强e 。r e n ，w ep f 。v et h ee 。珏一 v e r g e n c eo fs q u e n c ew i 乞hk h y p e r m o n g e n i cf u n c t i o nt e r m s k e yw o r d s ：王( 一 y p e r l 熊o n g e n i cf 缸n e t i o n壬( 一 y p e r b o l i eh a r r n 。n i e n e i 蟠o nt b e p p a r a n dq p a r to fk h y p e r m o n o n i cf u n c t i o nu n i q u e n e 8 st h e o r e mp r o l o n g a t i o n t h e o r e m 河北师范大学硕士研究生学位论文 一引言 c l i f f o r d 代数a 。( r ) 是一种可结合但不可交换的代数结构，创建于上个世纪初c l i f o r d 分 析是上世纪7 0 年代新兴起的一个活跃的数学分支，具有重要的理论和应用价值，在许多领域中都扮 演了重要角色例如，麦克斯韦方程，杨( 振宁) 一米尔磁场理论。量子力学等1 9 7 0 年以来，国内外 许多学者从事c l i f r o r d 分析的研究工作： b r a c kf ，r e l a n g h er ，s o m m e nf l “，奠定了c l i 肋r d 分析的理论基础，书中在d i a r c 算子的基础上，提出正则函数，并讨论其许多性质如正则函数的开 拓和唯一性定理等闻国椿，黄沙，j o h nr y a n ，乔玉英等对实和复的c l i f r o r d 分析的函数理论， 以及c l i f f o r d 分析的边值问题奇异积分及高阶奇异积分理论进行了研究f 2 】一【8 | 近几年来，对实的 c l i r d 分析的研究又有了新成果：s 一l e r i k s s o n b i q u e 和h l e u t w i l e r ，于2 0 0 0 年，在修正 的d i r a c 算子的基础上，先定义了超正则函数和超调和函数【9 】一【l l 】，并研究了它们的性质，然后将它 们推广到更一般的函数一k 超正则函数和k 一超调和函数【”】，并得到了一系列性质 在c l i 舫r d 分析中d i a r c 算予定义为d = e i ，方程”d ，= o ”的解称为正则函 = o，z i 数正则函数是一类重要函数，是单复分析中全纯函数在高维空间中的推广但是有些常用的函数 倒如扩，礼= 1 ，2 ，卫r 卅1 都不是正则函数在2 0 0 0 年，s 一l e r i k s s o n b i q u e 和h l e u t w i l e r 引入了超正则函数【9 j 为了介绍超正则函数先引入两个算子 d er h a m 算子。 d ( ，( z ) d 正j 1 d z j 。 d ，) = 薹掣妞胁小奶2 螈 若凹是一个有测度夕黎曼流形，则微分算子d 有一个共轭j d i r a c h o d g e 算予定义如下： 其中是h o d g e 星算子 d + d = d + d ：胪m _ n 呻m 4 塑! ! 塑整叁芏塑妻堡窒皇鲎垫笙圭5 ( d z ，。 。 d 码 ) ( d z j 一 d z j ) = d ? o d 茹l t d 搿n 馕形l 娄艇= 霆”1 ，匙爨空瓣a 霆拜1 ) 霹擒予c l i 毪b r d 找数空鞫么。( 霆；。 设 e 0 ，e 1 ，一，e n 魁r ”1 的搬交基，e ；一一1 ，e t 勺= 一勺e t ，i j ， ，j = 1 ，2 ，礼，则 “汹肚砉磕 是d i r a c 算子方程d ，= o 或( d 十6 ) ，= o 的勰是正则函数。 情形2 矗覃= z + 1 t + = z 0 8 0 十z l e i + + z n e n ；粕，。l ，嚣。戴，。n o ，带有 p o i n c a 晡测度 矗。：鳖噬芝! ：燮 茁矗 d + 6 慨一1 磊一：绺) ：蚤鼬) + 沁一1 ) 盟 方程 m 一q 的解是斑超正则蛹数所以从这个观点出发，正则函数和超越则函数都魁单复分析中全纯函数的推 广。越正戴函数爨在菲欧度鬃下懿攫广续象。 率文在专著 1 】和h l e u t w i l e r f g 】n 【1 1 】的基础上，研究了一些函数的性质，共分两部分，第 一部分是从f 1 2 】中给出k + 2 趣正则函数秘k + 2 超调秘函数蛉关系；隧融，将方穆分别与k 一勰正 刘函数和k 一超调和函数建立联系，得到k 一超正猁溺数和k 一超调和函数的充要条件；此外，述得到 与解析硒数的柯蹰黎曼条件棚对应的k 一超正删函数的性质这样，将讨论函数的问题转化为研究方 程辩酶阏题。 拭次，受文献【1 中正则函数的开拓定理和嗽一性定理的启发，利用文献【1 2 】中给出的k 一超 正虽蕊数的性质，列论了k 一越正则丞数瓣拜挺定理酾唯一性爱理。劳垂褥裂鲢唯一镶定理，谨明了 超正则函数列的收敛性从得到的唯一饿定理可以稽出。超正则函数在其定义域中，部分区域的墩值 情况完全决定着它在其它部分的值；而超正则函数的柯西积分公式【1 0 】中，体现出越正则函数的区 塑! 塑整叁堂攒圭塑墅生壁垒整圭 6 域边界上的值可以推得它在区域内部 的一切值，因此，唯一性定理叩以看成柯西积分公式的补充。 它们零反映出超正剐函数妫特性，是怒正受i l 函数中的基本定理。 二预备知识 1 c l i 熟砖代数 设e = e o ，e 1 ，一，e n ) ，是n 十1 维欧几照得空间上r ”1 的一组标准难变基，8 0 一1 是 r “的单位向煅，则c l i f 轴r d 代数4 n ( r ) 的基强e o ，e l ，；e l 沈，e 。一1 ；- ；e l ，e 。 所戳任一纂元繁可写戒e = 8 。，一，e 。 ，其中a = 扣1 ，- 一，嘶j 至 l ，礼 ，1 o l 血2 o 为常数若， 是在q n 是左k 一超正则函数，而，e g l ( n ，a 。( r ) ) 则，在n 上是左k 一超正则函数 证明在f 2 上任意取定区域q ，若n n q l = 0 ，由题设，忙) 在q 是左k 一超正则函数 若q n q 。0 ，取 k l e = 茁= ( z o ，。l ，z n 一1 ，z n ) i 茁q ，茁。n 。+ ) ， e = g = ( 。o ，。1 ，z 。1 ，z 。) i 茁n ，z n n e ，其中， o n g o - 由引理6 得， k ( ( d d 印) m ) + ( 玩一面。) 雁) ) _ 0 - k ( ( d 吼+ d 咖) m ) 十( 玩一玩) 币) ) _ 0 由于，( z ) 在n 上连续， 1 7 河北师范大学硕士研究生学位论文 厶( ( d 时d a 。) m ) + ( 玩一玩) 厕) = 。蝴+ ( 五硒( ( d 时d 印) m ) + ( 品t 嘉。) 币) ) 十。骂+ 五k ：( ( d 时d 吼) m ) + ( 玩一面。) 币) ) ) =u 由于壳的任意性及引理6 ，可得，( 茁) 在n 上是左k 一超正则函数 3k 一超正则函数的唯一性定理 定义3 若实变量卫的实值函数，扛) ，对于z o 的某一个邻域内的一切z ，( 茁) 能用( z z o ) 幂级数展开，则称函数，) 是实解析的 引理7 【g 】设n ，如上所述，是k 一超正则函数，则，实解析的 定理1 0 设函数，( z ) 在开连通子集q 上是左k 一超正则函数，( 茁) g 1 ( n ，4 n ( r ) ) 在 开集五cn n 。= o 。) 咖( n 。 o ) 上，扛) = o 则， ) 在q 上恒为o - 证明设 是n 的开连通子集，使得天= n n 茹。= n 。) 在 天中包括两个不相互连通的开集 1 和 2 在 上定义函数g 如下： 出，= 董 显然口扛) 在 天上是左k 一超正则函数 利用定理9 ，得9 ( 茁) 在 上是左k 一超正则函数 1 8 露托垮范大学磺士辑完生学位娩文 由引理7 ，9 如) 在 上是实解析的 弱戥( 。) 燕窦函数，耧瘸簿橱丞数豹瑟镌澄，褥妇0 ) 在a 主惩海o 9 ( z ) = e a 口一扛) e 在 上恒为o 遮撵，在 l 上，( 。) 一0 ，同理，扛) 在a 2 上毽为0 ，所黻，( 茗) 予q 上键为o 。 4 唯一性定理的应埔一有界超旋则函数列的收敛性 定义4 设b = ， ) ) 是定义在开连通集qc 冗n + 1 上的一个函数族，如果存在一个正数 甜，辩予露中掰露翦函数歹( 。) ，都有| ，( 嚣) | o ，存在d o ， 使得当q 上魏点l ，。2 满足l o l 一茹2 o ，存在6 o ，使得当q 中任意两点( n ，挈( 2 瀵燃| 爹( 1 ) 一掣( 2 ) | 时。 | 磊一甜，) | ；，江l ，2 ，芦 对! ，e u ( ，6 1 ) ，由( 3 5 ) 戏中 国； 瞄篇主 ， 河托师范太学硕士研究生学位论文 如( ) 一a ( ) i = l 厶( 一厶( 7 ) + 厶( 仍一矗( 们+ 厶( 鹕一a l l 磊) 一，( ) | + l 磊( 乍j 一磊( 了) | + | 轰( ) 一是国) s + 出于与u ( 掣，j 1 ) 中点v 无关，所以 ，n ( ) ) ( n = 1 ，2 ，) 在u ( 掣，d 1 ) j 二一致收敛 由 1 4 】， ( 计在d 中闭集q 上一致收敛到超磁则函数，( z ) 2 1 缀! ! 堑垫盘堂墅生塑塞圭堂堡造塞2 2 魏e 凳r e 珏e e s 【1 】b r a c kf ，d e l a n g h er ，s o m m e nf c l i h b 州a n a l y 8 i s l o n d o l l ：p i t m a na d v a n c e d ，p u b l i s h i n gp r o g r a i l l ，1 9 8 2 i 2 】闻国椿， c l i f 硒r da n n a l y s i 8a n de l l i p t i cs y s t e m ， y p e r b 0 1 i cs y s t e mo ff i r s to r d e r e q u a t i o n s s i n g a p o r e ：w o r l ds c i e n t i f b1 9 9 l2 3 0 - 2 3 7 s h a 珏h 勰g ，y t ly i n g ( 垂a o ，g 珏oc h 珏珏w e n ，r 8 l 氆n dg o m p l e xa n 痰y s i s 王 y p e r m 。n g e n i e f u n c t i o n s 8 p r i n g e r ，2 0 0 5 吲黄沙。 c l 鼗b r d 分柝中驭歪则函数的个非线性边毽闯题中国辩学， 1 9 9 6 ，1 6 ( 1 ) ：6 0 一 6 4 ：1 9 9 6 ，3 9 ( 3 ) ：1 1 5 2 一1 1 6 4 ( 英文藏) ， q i a oy 、ly i n g ，ab o u l l d a r yv a l u ep r o b l e mf o rh y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n si na l i f f b r d a 鞋a l y s i s ，s e i e n e ei 珏c h i n 氇s e ra 氛l a t h e 鞋戢i e s2 o 器v o l 。4 8s 琏p + 3 2 4 3 3 2 6 】r sk r a u 卢h a r ，y uy i n gq i a o ，a n dj 。h nr y a n h a r m o n i cm o n o g e n i ca n dh y p e 卜 m o n o g e i l i cf u n c t i o n so ns o m ec o m f o r m 8 l l yf l a tm a n i f o r di nr “a r i s i n gf r o ms p e e i a l 矗r 呈疆m e i eg r o u p so ft 氧ev 馥l e ng r o 珏p ，g o 激e m p o r a 翠麓氇疆e m 曩毛i e s 。v 6 l 珏m e 3 7 0 2 0 0 5 f 7 】乔玉荚。广义双正则函数的非线性警位移逾傻赫题，系绂辩学与数学，( 2 2 ，1 ) 4 3 一9 。 f 8 】乔玉英，壬丽丽，焦红兵安a i i 肋r d 分析中的拟b o c h n e 卜m a r t i n e l l i 型高阶奇异积分，数 学物理学报，2 0 0 5 ，2 5 a ( 3 ) ；2 8 9 - 2 9 8 + 【9 e r i k s s 。n - 鹜i q u e 。s l a n ( 1 l e l l t w i l e ，l y p e r m 。n o 婶n i e 珏e i o n s ，l ne l i 嚣b r da l g e b r 8 s a n dt h e l ra p p l i c a t i o n si nm a t h e m a t i c a lp h y s i c s 。v 0 1 2 ib i r k h a u s e r b o s t o n 2 0 0 0 2 8 7 - 3 0 2 河北师范大学硕士研究生学位论文 【1 0 】e r i k s s o n s l ，i n t e g r a lf o r m u l a sf o rh y p e r m o n o g e n i cf u n c t i o n s ，b u l l b e l m a t h s o c 1 l ( 2 0 0 4 ) ，7 0 5 7 1 7 f 1l 】e r i k s s o n b i q u e s l a n dh l e u t w i l e r ，h y p e r m