（基础数学专业论文）各向异性泛函极小点和各向异性方程解的局部有界性.pdf

摘要 各向异性泛函是泛函的重要推广，泛函的各种性质已经得到了广泛的研究；各向异 性方程可以看作是a 调和方程的推广，4 调和方程的性质已经得到了广泛的研究但 有关各向异性泛函和各向异性方程的研究相对发展比较缓慢 在本文中，我们证明了各向异性泛函 ， ，( u ：q ) = ，( z ，t z ，d u ) d x ju i 够警( q ) i ，n 极小点的局部有界性；在一些弱条件下证明了各向异性方程 d i v 么( 。，u ，d u ) = 0 弱解的局部有界性这些结果可以看作经典结论的推广 关键词局部有界性；各向异性泛函； 各向异性方程；局部极小点；弱解 ab s t r a c t a n i s o t r o p i cf u n c t i o n a l sa r ei m p o r t a n tg e n e r a l i z a t i o n so ff u n c t i o n a l s al o to fp r o p - e r t i e so ff u n c t i o n a l sh a v ea l r e a d yb e e ne x t e n s i v e l yr e s e a r c h e d t h ea n i s o t r o p i ce q u a t i o n s a r ei m p o r t a n tg e n e r a l i z a t i o n so ft h ea - h a r m o n i ce q u a t i o n s m a n yp r o p e r t i e so ft h ea - h a r m o n i ce q u a t i o nh a v eb e e nb r o a d l ys t u d i e d b u tt h ed e v e l o p m e n to ft h er e s e a r e h m e n t o nt h ea n i s o t r o p i ce q u a t i o n si sr e l a t i v e l ys l o w i nt h i sp a p e r ，w ep r o v et h el o c a lb o u n d e d n e s sf o rm i n i m ao fa n i s o t r o p i cf u n c t i o n a l s ，( 让；q ) = x , u , d u ) 如，“w l 。, q 2 ( q ) a n df o rs o l u t i o n so fa n i s o t r o p i ce q u a t i o n s d i va ( x ，u ，d u ) = 0 u n d e rs o m ew e a kc o n d i t i o n s ，w h i c hc a nb er e g a r d e d3 8g e n e r a l i z a t i o n so ft h ec l a s s i c a l r e s u l t s k e y w o r d s l o c a lb o u n d e d n e s s ；a n i s o t r o p i cf u n c t i o n a l ；a n i s o t r o p i ce q u a t i o n ；l o c a l m i n i m a ； w e a ks o l u t i o n i i 河北大学 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得河北大学或其他教 育机构的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了致谢。 作者签名： 王红敏 日期：丝生年红月l 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解河北大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年月日解密后适用本授权声明。 ， 2 、不保密囱。 ( 请在以上相应方格内打“) 作者签名：至垒黛 导师签名：i 控 日期：旦年j 月l 日 日期：丛乳年月4 一同 妄垒皇2 1 ：! ：! 翌! ：2 璺旦坐： c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n a n i s o t r o p i cf u n c t i o n a l sa r ei m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n gg e n e r a l i z a t i o n so ff u n c t i o n a l s t h ef u n c t i o n a lh a sa l r c a d yb e e ns t u d i e db yl o t so fs c i e n t i s t s h s l d e rc o n t i n u i t yo ff u n c - t i o n a l sw i t hv a r i a b l eg r o w t he x p o n e n th a sb e e no b t a i n e db yv a l e r i ac h i a d6a n da l e s s a n - d r ac o s c i ai n 1 5 l o c a lr e g u l a r i t yr e s u l t sf o rm i n i m ao ff u n c t i o n a l so ft h ec a l c u l u so f v a r i a t i o nh a sb e e no b t a i n e db yg i a c h e t t ida n dp o r z i om m i n 【i s i no u rp a p e r ，w es t u d yt h ea n i s o t r o p i ci n t e g r a lf u n c t i o n a l s i tl o o s e st h ec o n d i t i o n s f o rt h ei n t e g r a b i l i t yo ft h ei n t e g r a n d a n de v e r yc o m p o n e n tf u n c t i o nc a nb e l o n gt od i f f e r - e n ts o b o l e vs p a c e a n i s o t r o p i ce q u a t i o n sa r ei m p o r t a n tg e n e r a l i z a t i o n sa n dd e v e l o p m e n t o fe q u a t i o n s i no u rp a p e r ，w ec a ns e ei ta st h eg e n e r a l i z a t i o n so ft h ea - h a r m o n i ce q u a - t i o n t h ea - h a r m o n i ce q u a t i o nh a sa l r e a d yb e e ns t u d i e db yl o t so fp e o p l e a n dl o t so f p r o p e r t i e so ft h ea - h a r m o n i ce q u a t i o nh a sb e e n o b t a i n e d g a oh o n g y a ，l ij u a na n dd e n g y a n j u nh a so b t a i n e dt h ee x t e r m u mp r i n c i p l ef o rv e r yw e a ks o l u t i o n so fa - h a r m o n i ce q u a ，- t i o ni n 1 0 g a oh o n g y ah a so b t a i n e dt h er e g u l a r i t yr e s u l t so ft h ev e r yw e a ks o l u t i o n so f t h ea h a r m o n i ce q u a t i o ni n 【2 0 t h em o t i v a t i o nt os t u d yt h ea n i s o t r o p i cf u n c t i o n a l sa n da n i s o t r o p i ce q u a t i o n so r i g i - n a t e sf r o mt h ec l a s s i c a lf l m c t i o n a l sa n dc l a s s i c a le q u a t i o n s b u t ，i fw el o o s et h ec o n d i t i o n s ， m a n yc o n c l u s i o n sw i l lh a v eb r o a d e ra p p l i c a b i l i t y , a n ds o m e r e s u l t sc a nb ee x t e n d e dt ot h e a n i s o t r o p i cf u n c t i o n a l sa n da n i s o t r o p i ce q u a t i o n s t h em i n i m ao ft h ei n t e g r a lf u n c t i o n a l si sah o tt o p i ci nt h ea n a l y s i st h e o r y , s e e 9 ，1 1 ，1 7 ，1 8 ，1 0 1 r e g u l a r i t yo fq u a s i m i n i m i z e r so fi n t e g r a lf u n c t i o n a l sw i t hd i s c o n t i n u o u s p ( z ) 一g r o w t hc o n d i t i o n sh a sb e e no b t a i n e db yf a nx i a n l i n ga n d z h a od u n i n 9 】l o c a l r e g u l a r i t yr e s u l t sf o rm i n i m ao ff u n c t i o n a l so ft h ec a l c u l u so fv a r i a t i o nh a sb e e no b t a i n e d b yd g i a c h e t t ia n dm m p o r z i o i nr e c e n ty e a r s ，t h e r eh a v eb e e nr e m a r k a b l ea d v a n c e sm a d ei nt h ef i l e do ft h ea n i s o t r o p i c i n t e g r a lf u n c t i o n a l s ，s e e 2 1 ，2 2 1 b u t ，a tp r e s e n t ，t h er e s e a r c h m e n tf o rt h ea n i s o t r o p i c e q u a t i o ni sp o o r w ep r e l i m i n a r ys t u d ys o m cp r o p e r t i e so ft h es o l u t i o n so ft h ea n i s o t r i p i c 1 一 e q u a t i o n s i nt h i sp a p e r ，w en e e dm a k eu s eo ft h ea n i s o t r o p i cs o b o l e vs p a c e t h et h e o r y o ft h ea n i s o t r o p i cs o b o l e vs p a c eh a sb e e ne s t a b l i s h e d ，s e e 2 - 4 i nt h i sp a p e r ，w eo b t a i nl o c a lb o u n d c d n e s sf o rm i n i m ao fa n i s o t r o p i cf u n c t i o n a l sa n d s o l u t i o n so fa n i s o t r o p i ce q u a t i o n s l e tqb ea no p e nb o u n d e ds u b s e to fr ，n 2 l e t 吼 1 ，i = 1 ，n d e n o t e g2 1 乏臻俄， p2 l 署 l e tz o qa n dt 0 ，w ed e n o t eb yb tt h eb a l lo fr a d i u stc e n t e r e da tx o f o r f u n c t i o n su ( x ) a n dk 0 ，d e n o t ea k = z q ：乱( z ) 尼) ，a k ，t = a k n b t m o r e o v e r ， i f p 1 ，t h e np 7i sa l w a y st h er e a ln u m b e r 寺，a n di fs m a x 1 ，n q ，w h e r e ，1 砸2 ) = 卜旷1 ( q ) ： t h e n 札i sl o c a h yb o u n d e di nq 是凹懈一1 ，卜 t h ea i mo ft h ep r e s e n tp a p e ri st op r o v et h el o c a lb o u n d e d n e s sf o rm i n i m ao ft h e a n i s o t r o p i cf u n c t i o n a l so ft y p e ( 1 1 ) w i t ht h em o r eg e n e r a lg r o w t hc o n d i t i o n st h a n ( 1 3 ) ， i e ，w ef l s s u m et h ei n t e g r a n d ，i sac a r a t h 6 0 d o r yf u n c t i o ns a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n gg r o w t h c o n d i t i o n s ： 一b ( 1 札l a + 1 ) ( x ，也，) a i = 1 l 矗i 吼+ b ( 1 u l 口+ 1 ) ，( 1 4 ) w h e r ea 之l ，b 0 ，ps 矿，q 矿a n d 虿 n w ea l s oc o n s i d e rw e a ks o l u t i o n so ft h e t y p e ( 1 2 ) w i t hs o m eg e n e r a lg r o w t hc o n d i t i o n s ， a ( x ，u ，) f m 0 i & l 玑一b 0 ( 1 u l 口1 + 1 ) ， i - - - - 1 柞池钏鲕( 1 + 萎n ( 1 5 ) ( 1 6 ) w h e r em ，b z ，f = 0 ，1a r ep o s i t i v ec o n s t a n t s q 矿，虿 k ：k 0a n da l lb 0 = b p ( z o ) ，召0 一p 口= b p 一舻( z o ) ，b n = b r ( x 0 ) ，w eh a v e a ，。i d u l m d x - 7 1 o - r a 2 p - m 2o f a 。，c t t 奄，”r 2 d a e1 r ，钉佬e s a 七，p f o rn 2sp p c r p ，m l m 2 万i = n m l ( n m 1 ) ，m 1 礼，p r j w ew i l ln e e dt h ef o l l o w i n gg e n e r a l i z e dh s l d e ri n e q u a l i t y ( 2 1 ) l e m m a2 。1 ( g e n e r a l i z e dh s l d e ri n e q u a l i t y ) l e t0 q 。，0 p o oa n d s 一1 = q 一1 + 卢一1 巧，a n dga r em e a s u r a b l ef u n c t i o n so nj ，t h e n f i 向f | 8 n “川。n q l e m m a2 2 s u p p o s et h a tu ( z ) i sa na r b i t r a r yf u n c t i o nb e l o n g i n gt ot h ec l a s s 玩( q ，y 1 ，m l ，m 2 ，忌) ，a n db ncq t h e nw eh a v e m a 甲x z ( z ) c ， i nw h i c ht h ec o n s t a n tei sd e t e r m i n e do n l yb yt h eq u a n t i t i e s7 l ，m 1 ，m 2 ，庇， r i i d y l l l ，。 w ew i l la l s on c c dau s e f u ll e m m af r o m 4 ，5 】 l e m m a2 3 l e t f ( t ) b ean o n - 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