（基础数学专业论文）非线性退化抛物型方程解的存在性与正则性.pdf

摘要 本文研究了非线性退化抛物型方程弱解的存在性和正则性对一般形式 的非线性退化方程，我们在各向异性s o b o l e v 空间中考虑了它的初边值同题， 得到了弱解的存在性，我们使用的主要工具是紧致法对两类应用广泛的退化 拟线性方程，我们研究了它们的c a u c h y 问题弱解的存在性和正则性。并给出 一些具体的例子，这里主要使用了粘性法和最大值原理全文的组织如下： 第一章考虑了如下一般形式的拟线性退化抛物型方程的初边值问题 ，n i 器一岳皿( 为，“，) + 口( z ， ) = o ，z q ，( o ， “ it l 勋= 0 ，训# 神= 讥( 卫) o a l a d y z e n s k a j i a 和n n u r a l e v a 早在上个世纪七十年代对上述问题在非 退化的情形在通常的s o b o l e v 空间做了充分的研究她们在研究中给出了方 程系数的单调性条件和可积性条件等，得到问题弱解的存在性关于退化的情 形，特别是强退化的情形。文献不多鉴于实际问题中。特别是混合介质中的 渗透，传导等扩散问题的需要以及在复杂介质出现的突变现象等，使得有必 要考虑各向异性介质中的退化扩散问题，这就是我们在第一章研究各向异性 s o b o l e v 空间中退化拟线性抛物蛩方程的初边值问题的出发点相对于o a l a d y z e n s k a j i a 和n n u r m c e v a 的工作，我们给出了各向可积性条件和强退 化单调性条件，把她们自9 一致抛物型方程在各向同性s o b o l e v 空间的工作推 广到强退化方程在各向异性s o b o l e v 空间的工作我们得到的结果包含了后 来菜些退化方程的工作本章的主要结论是 定理1 2 1 如果啦( z ，u ，力和a ( x ，t ，u ，功满足条件( a t ) ，( a 2 ) 和( a 3 ) ， 则对任意厶( n ) ，问题( 1 1 1 ) 在，2 ( q ) 中至少有一个解 本工作发表在a c t am a t h e m a t i c as c i e n t i a ( 数学物理学报b 辑) ( s c i ) ，2 0 0 6 ，2 6 b ( 2 ) ：2 5 5 - 2 6 4 在第二章，我们研究个在反应扩散过程中具有较强背景的一类退化抛 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 i i i 物型方程的c a u c h y 问题： 他u t = 垆u a u 蝴- 7 v 砰笛挑r + 这个问题有很多数学工作者研究过它的弱解的存在性也有人讨论过，给出的 证明比较粗造，我们这里给出了详细的证明关于这个问题弱解的正则性是我 们的主要贡献早在1 9 9 0 年，m b e r t s c h , d 。p a s s o 和m u g j a i 就证明了当空间 维数和参数1 取不同范围的值时，弱解有如下正贝0 性结果 n = 1 ，7 0 考沪( q ) ，y ；哥口c ( 矗) n g l 1 ( n ) n 2 ，0 ，y 0 ， 则问题( 3 1 1 ) 的粘性解u 就是问题( 3 1 1 ) 的弱解 定理3 3 2 假设m ，劬，历，岛，u o 满足定理3 3 1 中的条件，如果存在 非正常数s - 2 使得 2 a 2 1 3 1 2 a 2 一s 啦q - 2 s ( s + 1 ) a l + n a l 所0 ， 则在r n 0 ，卅中，问题( 3 1 1 ) 的粘性解t 扛，力关于z 是l i p s c h i t z 连续的 且关于t 是h s l d e r 连续的，其h 6 1 d e r 指数是 从某种意义上讲，本章是第二章的推广，虽然我们仍然使用粘性法和最大 值原理证明问题的弱解的存在性和正则性，但是在具体处理起来更为复杂，要 求技巧性更高而所得的结果包含了许多具体的有意义的问题，特别是包含了 第二章 同时我们独立地给出了粘性解存在性的证明所以说，本章是第二章 的进一步发展 所得的正贝性结果已经发表在美国的微分方程电子快讯上，即e l e c t r o n i c j o u r n a lo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 0 0 7 ，n o 1 5 ，1 6 a b s t r a c t t h i st h e s i sd e a l sw i t ht h ee x i s t e n c ea n dr e g u l a r i t i e so ft h ew e a ks o l u t i o n s o ft h ei n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n dt h ec a u c h yp r o b l e mf o rn o n l i n - e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n s f o rt h en o n l i n e a rd e g e n e r a t ep a r a b o l i c e q u a t i o n si ng e n e r a lf o r m ，w ed i s c u s si t si n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi n t h ea n i s o t r o p i cs o b o l e vs p a c ea n dg e tt h ee x i s t e n c er e s u l to ft h ew e a ks o l u - t i o n t h et o o lw em a i n l yu s e di st h ec o m p a c t n e s sm e t h o d f o rt w oc l a s s e s o fq u a s i l i n e a rd e g e n e r a t ep a r a b 0 1 i ce q u a t i o n su s e de x t e n 面v e l yi na p p l i c a t i o n w ec o n s i d e rt h e i rc a u e h yp r o b l e m sa n do b t a i nt h ee x i s t e n c ea n dr e g u l a r i t i e s r e s u l t so ft h ew e a ks o l u t i o n s a l s o ，w eg i v e8 0 1 d e x a m p l e st os h o wt h ea p - p l i c a t i o no fo u rr e g u a r i t yt h e o r e m h e r ew em a i n l y1 1 8 et h ev i s c o s i t ym e t h o d a n dt h ei n a x i n l u n lp r i n c i p l e t h eo r g a n i z a t i o no ft h i st h e s i si sa sf o l l o w s c h a p t e ro n ec o n s i d e r st h ei n i t i a l - b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mf o rq u a s i l i n e a r d e g e n e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o ni nt h eg e n e r a lf o r m8 8f o l l o w s ： j 鲁一耋老啦( z ，t ，让，) + 口( z ，t ，) = o , x e 0 ( o ， iu k = 0 ，牡l 醐= ( 。) o a l a d y z e n s k a j i aa n dn n u r a l c e v as t u d i e dt h ea b o v ep r o b l e mf o rn o n - d e g e n e r a t e e q u a t i o n si na no r d i n a r ys o b o l e vs p a c ei nt h e7 0 bo ft h el a s tc e n t u r y u n d e r t h ea s s u m p t i o n st h a tt h ec o e f f i c i e n tf u n c t i o n so ft h ee q u a t i o na x em o n o t o n e a n di n t e g m b l et h e yg o tt h ee x i s t e n c eo ft h ew e a ks o l u t i o n s a sw ek n o w ，a f e wp a p e r sd e a lw i t ht h es t r o n g l yd e g e n e r a t ee q u a t i o n s b u ti nt h er e a lw o r l d ， t h e r ea l t em a n yi n f i l t r a t i o na n dc o n d u c t i v ep r o b l e m si nt h em i x e dm e d i u m ， a l s os i n c et h es u d d e nc h a n g eo fs o m ep h y s i c a lp r o p e r t i e si nm i x e dm e d i u mi t j sn e c e s s a r yt os t u d yt h e i rm a t h e m a t i c a lm o d e l ，i e ，t h eq u a s i l i n e a rd e g e n e r a t e p a r a b o l i ce q u a t i o n si nt h ea n i s o t r o p i cs o b o l e vs p a c et h a ti st h es t a r tp o i n to f o u rc h a p t e ro n e c o u n t e r p a r tt o0 a l a d y z e n s k a j a sc o n d i t i o n sw eg i v et h e d i f f e r e n ti n t e g r a b i l i t yi nd i f f e r e n td i r e c t i o n sa n dt h es t r o n g l yd e g e n e r a t ec o n d i - v 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士拳位论文 、，i t i o n s w et h e ng e n e r a l i z et h e i rw o r k sk o m n o n - d e g e n e r a t ep r o b l e mi ni s o t r o p i c s o b o l e vs p a c et ot h ed e g e n e r a t ep r o b l e mi nt h ea n i s o t r o p i cs o b o l e vs p a c e o u r r e s u l ti n c l u d e ss o m er e s u l t so ft h el a t e rw o r k sa f t e r0 a l a d y z e n s k a j i a 8w o r k t h ed m q t i nr e s u l ti nt h i sc h a p t e ri sa sf o l l o w s ： t h e o r e m1 2 1i fn ( ，t ，t ，p ) a n dn ( 正，t ，q ，p ) 8 a 土i 8 匆t h ec o n d i t i o n s ( a 1 ) ，( 也) a n d ( 如) ，t h e nf o ra n y 讥l 2 ( n ) ，p r o b l e m ( 1 1 1 ) h a sa tl e a s ta s o l u t i o ni nv m 。2 ( q ) t h i sw o r kh a sb e e np u b l i s h e di na c c a m a t h e m a t i c s $ c i e n t i af s c 夥，2 0 0 6 , 2 6 b 例：2 5 5 - 2 6 4 ， i nc h a p t e r t w o ，w es t u d yt h ec a u c h yp r o b l e mf o rt h eq u a s i l i n e a rd e g e n - e r a t ep a r a b o l i ce q u a t i o n 鹊f o l l o w s ju t = u a u 一 r l w l 2 ， ( ，t ) r 驶+ iu ( z ，0 ) = t | 0 ( z ) ， 善r w h i c hh a st h es t r o n g l yp h y s i c a lb a c k g r o u n da n ds t u d i e db yl o to fm a t h e m a t i - c l a n f o rt h ee d s t e n c eo ft h ew e a ks o l u t i o nt h e r ew a sar o u g hp r o o fi n 2 2 】 a n di nt h i st h e s i sw eg i v eai n t e n s ea r g u m e n tf o rt h ee x i b t c e t h em a i n c o n t r i b u t i o ni n t h i sc h a p t e ri so u rr e g u l a r t yt h e o r e m a se a r l i e ra 8t h ey e a r 1 9 9 0 ，m b e r t s c h ，d p a s s oa n dm 喇p r o c e e dt h a tf o rt h ed i f f e r e n td i m e n s i o n s o ft h es p a c ea n dt h ed i f f e r e n tr a n g e so ft h ep a r a m e t e r ，yt h er e g u l a r i t yr e s u l t s a r ea sf o l l o w s ： n = 1 ，7 0 = 争t g ( q ) 1 7 妻哥t c ( f i ) n c l , 1 ( q ) 22 ，o s 7 0 ，t h e nt h ev i s c o s i t ys o l u t i o n o fp r o b l e m ( 3 1 1 ) i sj u s tt h ew e a k s o l u t i o no fp r o b l e m ( 3 1 1 ) t h e o r e m3 3 2s u p p o s et h a t 凸l ，勉，岛，岛，t 1 0s a t i s f yt h ec o n d i t i o n s i nt h e o r e m3 2 1 ，a n dt h e r ee x i s t san o n - p o s i t i v ec o n s t a n ts - 2s u c ht h a t 2 a 2 1 2 a 2 一s 锄+ 2 s ( s + 1 ) 口1 + n a l 所0 t h e n ，i nt h er e g i o no fr o ，刁，t h ev i s c o s i t ys o l u t i o n 0 ，t ) o fp r o b l e m ( 3 1 1 ) i sl i p s c h i t zc o n t i n u o u si nza n dh 6 1 d e rc o n t i n u o u si ntw i t ht h ee x p o - n e n t i n8 0 m es e n s et h i sc h a p t e ri st h eg e n e r a l i z a t i o no fc h a p t e rt w o a l t h o u g h w es t i l lu s et h ev i s c o s i t ym e t h o da n dt h em a x i m u mp r i n c i p l et op r o v et h ee x - i s t e n c ea n dt h er e g u l a r i t yo ft h es o l u t i o nb u tt h i sp r o b l e mi sm o r ec o m p l i c a t e d t h a nt h ep r o b l e mi nc h a p t e rt w oa n ti tr e q u i r e sm u c hs u p p e rt e c h n i q u e s a l s o ， t h er e s u l tw eg o ti nt h i sc h a p t e ri n c l u d i n gm a n ys i g n i f i c a n tr e s u l t s ，e s p e c i a l l y t h eo n ei nc h a p t e rt w o a tt h es a m et i m ew ep r o v e di n d e p e n d e n t l yt h ee x i s - t e n c eo ft h ev i s a o s 蚵s o l u t i o nt ot h i sp r o b l e m t h e r e f o r e ，t h i sc h a p t e ri st h e f u r t h e rd e v e l o p m e n to fc h a p t e rt w o t h er e g u l a r i t yr e s u l ti nt h i sc h a p t e rh a sb e e np u b l i s h e di ne l e c t r o 血c j o u r n a jo fd f f f e r e n t j a le q u a t i o n s ，2 0 0 7 , n o 1 5 ，1 6 符号说明 英文字母e 一般表示( 可能逐行不同的) 常数，c 辑，a ) 表示跟，o t 有关的常 数 z 表示掣7 空间的点( z l ，勋，) ，n 为r 空间的维数特殊说明除外 f 表示实数域上的n 维欧氏空间 表示自然数 ，( 霉) ，f ( x ，让) 表示耐9 空间上的实值函数 v f ( x ) 为可导函数，( z ) 的梯度向量，即 v m ) ：；( 警，面o f ( x ) ，瓦o f ( x ) ) t 有时候，也用d ，表示v ，即 1 9 , f ：吒- 若 是l a p l a c e 算子，即 驸= 智+ 可0 2 f ( x ) 锷 一表示强收敛。一表示弱收敛 x q y 表示x 嵌入到y ，x q y 表示x 紧嵌入到y 8 眩r ) 表示以z 为圆心，r 为半径的开球 d i a m ( f 1 ) 表示q 的直径 n i 表示q 的l e b e 8 9 u e 测度，a q 表示0 的边界 c ：( q ) 表示。上k 次可微且具有紧支集的实值函数全体 致谢 借此论文完成之机，我要衷心感谢导师陈祖墀教授的多年关爱和悉心指 导自2 0 0 2 年9 月进入中国科大数学系攻读基础数学专业博士学位以来，不 管是在学习上还是生活上，陈老师都给了我极大的帮助和无微不至的关怀在 陈老师的指导下，我进行了非线性退化抛物方程的研究在这五年的学习过程 中，陈老师渊博的知识。严谨的治学，都深深地影响着我他不仅传授给我大 量的专业知识，也教给我进行学术研究的方法本文正是在他的悉心指导下完 成的从论文的选题，到初步结果的得出，以至最后成文，都凝聚了他大量的 心血导师在生活上的宽容，达观向上更是令我受益匪浅，终身难忘在此我 谨向恿师陈祖墀教授致以崇高的敬意和衷心的感谢l 我还要感谢陆云光教授，他为我的论文的完成给予了多方面的帮助他对 此毕业论文的选题和部分内容的完成起了非常积极的作用在此我也要致以 我崇高的敬意和衷心的感谢! 感谢我的各位同门，跟师兄弟师姐妹们经常在一起探讨交流各自的体会 与心得使我受益匪浅在此特别感谢宣本金副教授，和已毕业的几位师兄( 弟) 师姐( 妹) ，他们是钟金标，刘兴涛，魏公明，邓吴，赵昆，f a k h ”k a m r a n 。汪 全珍，王先婷和在读的师妹崔盈还要感谢在科大生活的九年中所有关心爱护 我的各位老师和同学，是他们为我提供了个良好的生活和学习的环境在此 向他( 她) 们表示深深的谢意 最后，我要感谢我的家人，特别是我的父母，是他们多年来对我全力支持 和奉献，才使我能够安心学习并顺利完成学业 招燕燕 2 0 0 7 4 1 5 前言 o 1 有关工作简介 非线性退化抛物型方程是类重要的偏微分方程自然界中广泛存在的扩 散现象渗流理论，相变理论生物化学以及生物群体动力学等都出现了这类 方程例如，在物体内部不具有热源的情况下，它的温度分布表示为线性热传 导方程 1 c = 舻m ， ( o 1 1 1 ) t = l 其中a 2 = 苦，k 是传热系数，q 是热容量这是物理学中最早出现的偏微分 方程之一。所以，从1 8 世纪以来这个方程就成为数学家重要的研究对象但 是有时候传导系效不是常数，而是温度的函数，那么热传导方程就变成了个 拟线性方程 地= ( 口( u ) u ；。) 。 ( o 1 2 ) = l 在后来的研究中人们更发现气体渗流遵循非线性二阶抛物型偏微分方程的形 式，而且对于等温线性达西流动，般的非线性偏微分方程简化为拟线性偏微 分方程 地一- 瓦o 口( 卫，t 沌) - - 1 - a ( x 9 池) = 0 ( o 1 3 ) 这就是个拟线性退化抛物型方程在许多情形下，所提出的方程都具有退化 性或其他奇异性事实上，从纯数学的角度而言，退化性和奇异性的存在使得 对方程的研究更困难，研究的内容更加丰富多彩；而从实际生活的角度来说， 这类方程比不具有退化或其他奇异性的方程更有实际意义，例如扰动传播的 有限性等因此，在近四十年来，这类方程的研究吸引了众多的数学工作者， 并取得了令人瞩目的进展为克服由退化性或其他奇异性带来的特殊困难，人 们发展了许多新的思想和工具。大大丰富了偏微分方程的理论( 【4 0 1 ) 。 1 2 0 0 7 年 中国科学技术大学博士学位论文 2 退化和奇异方程研究的困难在于- 对于非退化或非奇异方程，在前人的研 究中得到很多很有用的工具以抛物型方程为例，这时一般要求方程是严格抛 物的例如，对形如 n n t t 一a t j ( x ，t ，t ，t k ) t q q + 啦o ，t ，u ，t i 老。) = 0 ( o 1 4 ) i j = l i = l 的拟线性方程，要求存在常数a z 彻1 6 如 0 使得 在这种要求下我们能得到最大值原理但若不存在这样的常数使上述不等式 成立，比如说 o q j ( x ，t ，u ，t b ) = “ 当“= 0 时不存在使得不等式成立的a ，这时方程是退化的，从而不成立最大 值原理，所以凡是应用最大值原理得到的结论对于退化方程而言不一定成立 由此可见，对退化方程的研究就比较困难 对于非线性退化抛物方程解的存在性与正则性的研究，一般采用以下的 思路- 选择一种近似方法构造近似解，对近似解取极限，通过近似解的先验估 计，证明这个极限存在并且就是方程的弱解( 以下说到方程的解，若无特别说 明，指弱解，即积分意义下的解) 再由近似解的正则性。得到弱解的正则性 结果， 这个思路只是个大概的框架，在研究具体问题时要选用具体的方法本 文用到的是以下的方法， i 紧致法选择泛函空间，利用o a l e r l d n 方法在有限维空间构造近似解； 利用常微分方程组解的存在定理证明近似解的存在性；然后令空间维数趋于 无穷大，对近似解取极限，通过证明近似饵序列的紧致性这里需要用到一些 先验估计) ，证明极限解存在并是方程的解( 见第一章) 2 粘性法。给方程或初( 边) 值条件加上粘性项构造近似解( 本文是给初 值加上粘性项) ，对近似解取极限，通过某些先验估计证明极限解即是方程的 解，同样通过近似解和最大值原理可以得到正则性( 见第二、第三章) r 刀 u 力 =z 瞰 比r 、 白 &力 go 一 f a 2 0 0 7 年 中国科学技术大学博士学位论文 3 以上两种方法都要用到先验估计这里的先验估计是如下求得。将求解方 程乘以未知函数后进行线性叠加，或者直接乘以未知函数的非线性表达式。然 后适当的运用分部积分一般来说，对同一个方程，不同精度的先验估计，会 得到不一样的结果在计算的过程中我们发现，如何得到个恰当的估计，是 退化方程研究的个关键方面 对于拟线性退化抛物方程，没有任何限制的最一般的方程 n n t t 一叼( 毛t ，) + 啦协，t ，t b 。) = 0 ( o 1 5 ) i j = li f f i l 的结果比较少o a l a d y z e n s k a j i a 和n n u r a l e v a 在上个世纪七十年代，把 上面的方程限制在非退化情况下，充分讨论了它的初边值问题解的性质但是 人们在研究这个方程有退化点的时候都是对系数函数a q ，0 4 作一些限制才能 得到部分结果，s a k e s 在1 9 8 2 年把用跟t 有关的函数来控制，得到了解的 存在性，唯性和正则性等解的性质陈祖墀在1 9 9 0 年用跟t 。有关的函数 来控制系数函数也得到了解的存在性s a k e s 和陈老师的结果都是在各向同性 s o b o l e v 空间里面做的，但是物理学中很多的问题发生在各向异性空间，所以 在各项异性空间中考虑解的性质是很有必要的 方程( 0 1 5 ) 对和a i 有退化点的情况到现今为止研究文章并不太 多到目前为止，人们都是对它的各个具体方程进行讨论其中讨论最多的是 n e w t o n 渗流方程 t t = u r n ( 0 1 6 ) 和发展的p - l a p l a c e 方程 砘= d i t , ( i w , i p - - 2 v u ) ( o 1 7 ) 这方面的工作从1 9 5 8 年开始，关于方程( 0 1 6 ) 的各类定解问题的研究文献浩 如烟海，比较全面的论述可参看【4 0 】上述两个方程的c a u c h y 问题的弱解都 存在、唯一并且h s l d e r 连续 尹景学在1 9 9 1 年( 【4 1 】、【3 4 ) 证明了在某些限制下，方程 m = x a ( u ) + v b ( u ) 2 0 0 7 年中圈科学技术大学博士学位论文4 第一初边值问题的b v 解存在，唯一关于这个问题的正则性结论很少 陈祖墀在1 9 9 4 年( 【6 】) 证明了方程 n “t 一( 叼o ) 圣( u ) 即) 。- 4 - 4 ( z ) m ) = 0 j = l 第一初边值问题解存在性和唯性 关于粘性解的研究，p a s o ，l u c k h a n s ，u g w 和陆云光等人写了一系列的文 章( 【2 2 】、俐、 2 1 1 、【3 6 】，【3 5 】、【1 1 ，【2 3 】) i , - j - i 仓了方程 饥= u a u 一，r i v t 1 2 的c a u c h y 问题的粘性解证明了粘性解就是弱解，但是弱解不是唯一的，除 了粘性解，还可能有其他形式的弱解对于正则性，他们陆续得到了如下结 果 n = 1 ，y 0 t 正沪( q ) 1 j 万一1 争t 关于zl i p s c h i t z 连续且关于th 5 1 d e r 连续 n 2 ，0 1 o ( i = 0 ，1 ，2 ，) ，口21 ，口 1 m , 一1 ，g ，是g 的共扼数。g 0 不失一般性，令s u p g ( t ) = 1 ( a s ) 个强退化单调性条件 k 0 ，t ，口，d r ) 一啦( t ，d “) 】( d 一皿u ) d x d t 止，y ( mi d u l ) g ( i d v l ) ( d i v 一皿训“) 如 ，n= 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 6 v u ，。w ( q ) ，其中1 n ，您) 是一个正连续函数， r l o ，死0 g ( 0 满足 引理0 2 1 ( 嵌入定理) 令s = 啬， 伽= 悟删s 1 如果q o 1 ，则有吒，2 ( q r ) 嵌入到l q o ( q t ) 然后，由这个引理，并用紧致法得到存在性结果一 定理0 2 1 如果啦0 ，t ，u ，p ) 和a ( x ，t ，t ，p ) 满足条件似l j ，他j 和阻3 ， 则对任意讥如( n ) ，问题口j 纠在吃，2 ( 龟i t ) 上至少有一个弱解 2 第二章 第二章考虑问题 j 毗2 u t 一7 1 v u l 2 ，( 叫) r r +( ) it ( z ，0 ) = = t i o ( z ) ， z r n 其中7 是非负常数，t o 是r n 上的有界非负连续函数本章的主要方法是粘 性法先是构造粘性解，然后证明粘性解就是问题的弱解，随后再证明粘性解 的正则性 构造粘性解：令眦是问题 饥2 ”一7 l v u l 2 + ”， ( 为。) n ( o 2 2 ) iu ( z ，0 ) = t 幻( z ) ， z r n 。 的古典解，再令t 。= 咄4 - e 0 是下面同题 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士学位论文 7 慨u t = 惦u z x u 一- 7 v u l 2 笛n ：渤 的古典解因为( z ，幻关于e 递减，因此 ”( 霉，功2 觋u c p ，t ) 在磊中处处成立 定义0 2 1 他沙上述过程得到的桩限t 称为问题似2 砂的粘性解 定义0 2 2 称函数“工”( n ) n 工乙( 【o ，+ o 。) ；h l c r ) ) 是问题似幺砂 的弱解，若在n 上几乎处处有t 0 ，并且对所有的t 0 和任意的妒 c ：1 ( r 【0 ，明) 有 上，坳妒( 。) 如+ z 。( o 。研“警一缸饥v 妒一( 1 + 1 ) 1 w , 1 2 妒如出= 。 成立 首先得到引理， 引理0 2 2 令。是问题似2 剀的古典解。，设a 是型7 中的任意有界 子域，k = a ( 0 ，乃。a 【o ，1 ) ，j i , j 存在常数c k 。使得对任意的f 0 ， 上叫v 训2 成立 特别的，对任意j 0 ，存在旬，t s 0 使得当e 0 ，a 0 ，则当t f 时。 存在常数g 使得一饥t c 饥 引理0 2 5 若口ha 2 、尻，岛k 如引理n 2 引听示，并且满足口l ( 历一 1 ) 一2 a 2 0 ，则t 在工2 ( k ) 中一致有界 引理0 2 6 若啦，也，角、岛、k 如引理n 2 文引理n 盟5 所示，则在 驴( k ) 中，当e o 时，v 母+ 1 一v t m + 1 引理0 2 7 若口h 勉、尻岛、k 如引理n 幺文引理n 2 5 所示，则在 工2 ( ) 中，当e 一0 时，母i v u 。1 2 t p - - 1 i v , , 1 2 利用上述引理可以证明 定理o 2 4 若岛= 角- 1 ，岛20 ，口l ( 风一1 ) 一口2 0 ，z 1 ( , 8 1 一1 ) 一2 她 0 。 则问题阳2 卅的粘性解就是问题似2 的弱解 同第二章，我们首先证明 2 0 0 7 年 中国科学技术大学博士学位论文 1 0 定理0 2 5 如果o l 0 ，晚= 历一1 ，且存在常数s ，m 使得 2 a 2 卢i 一2 0 e 2 5 眈+ 2 8 ( s + 1 ) 口l + n l 所0 加 i v ( 舻5 ) i m 刘在蟊中同意c o 2 的粘性拜程满足l w ( u i + 1 ) i m 由上述定理可以直接得到 定理o 2 6 假设o t i ，锄，尻，岛，t 0 满足定理m 2 职如果存在非正常数 s - 2 使得 2 毗风一2 啦一s 0 2 + 2 s ( s + 1 ) o l + a 1 所0 ， 则在r nx 【0 ，刁中问题m 幺的粘性解u p ，t ) 关于。是工i 即c 舷如连续且 关于t 是h s l d e r 连续的，其h s l d e r 指数是i 1 最后，第三章第四节是定理( 0 2 5 ) 的证明思想和定理( 0 2 ，6 ) 的直接应用适 用的倒子是方程 m = ( 矿。) 和方程 毗= + 丐i v u f l 以及第二章的 饥= u a u 一7 l v u l 2 第一章各项异性s o b o l e v 空间中退化方程解的存在性 1 1 引言 o a l a d y z e m l m j i a 和n n u r a l e v a 曾经讨论过下面的拟线性非退化抛 物型方程第边值问题( 1 3 0 1 ) 赘一蚤击啦( z ，t ，) + 口( 毛幽) = o ，z q ，挺( o ，印( 1 1 - 1 ) # 1l i 1 i - i 训却；0 ，u i b | o = 怕( 功 此处q c 础( 竹2 ) 是有界区域，岛= 0 f lx 【o ，t 】 这种类型的方程在物理上有着广泛的应用文章【5 】讨论了问题( 1 1 1 ) 中 椭圆型方程的情况，即问题( 1 1 ) 的平衡稳定状态下池= 0 ) 的情形，它是一 个强退化的方程但是在实际应用中，因为在不同的方向物理材料性质可能不 一样，上述方程各系数应该加上合适的权函数或者是在合适的各向异性函数 空间中讨论但是在各向异性函数空间中解是否存在? 就我们所知，尽管已经 有一些论文涉及到相似的问题，像【1 4 1 ，( 1 3 1 和【3 1 ，却没有论文涉及到我们这 里所提及的同题【1 4 】讨论了各项异性空间中的一个椭圆方程边值问题，( 1 3 】 处理的是个非线性偏微分方程d i r i c h l e t 问题在各项异性s o b o l e v 空间的情 况，1 3 】在个通常的s o b o l e v 空间中讨论了退化抛物方程的一些性质 本节我们在个具体的各项异性s o b o l e v 空间中讨论问题( 1 1 1 ) ，其中 方程是强退化的在讨论过程中，我们使用以下记号， 劬= o 0 刀，岛= 鲫【0 ，卅，d t t l = 。，d u = 定义函数空问c 矿( n ) 的范数为 n t 0 ：，n = i i d , u l l 。，n ，m = ( m - ，m 。) ，r n t2 2 = l 1 1 2 0 0 7 年 中国科学技术大学博士学位论文 1 2 我们称空间g o o ( q ) 在上述范数下的闭包为一个各向异性s o b o l e v 空间，记为 谛辨( n ) 空间v ( q r ) = ，c * ( q t ) ii i 跏= o ) ，v ( q t ) 中的范数为 l u l l , 2 。锄2e 船o m 她a x 。i i u 删“锄 儿，2 ( q t ) 是v ( q t ) 用上述范数完备化得到的空间“2 ( q ) 显然是一 个各项异性s o b o l e v 空间 1 2 存在性结果 定义1 2 1 令1 ；：i i 2 ( 0 t ) 如果对任意在岛上为0 的光滑函数i p 有 一u 仇+ 啦0 ，t ，t ，d u ) d i 妒+ a ( x ，t ，缸，d u ) 妒d x d t j q t + z “( 马t ) 妒( z ，t ) 如一上妒( 为。) 讥( 。) 出；。 则称t ( z ，f ) 是问题( j 1 j ) 的弱解 为了得到主要结论，我们先证明一个引理 假设以下条件成立 ( a i ) a ( 羁t ，“，p ) 和a ( x ，t ，p ) 当( z ，t ，t ，计 n 【0 ，司r r ”) 是 可测的，而且对几乎所有的p ，t ) 国 关于( u ，p ) 是连续的并且有 l 啦( 耳t ，力i 协( z ，t ) + c 1 i t l q m ：+ c l l p d “一1 ，i = 1 ，2 ，n ， l o 忙，t ，t ，p ) l 伽( t ) + 晚i u r + c 2 | p i ” i = 1 其中协厶护( 锄) a = 1 ，2 ，n ) ，伽o ( 秭) ，m 0 = m a x ( m l ，弛， ，仇 o ( i = 0 ，l ，2 ，n ) ，q 1 且仃向 l 帆一1 ，矿是q 的共扼数，矿 0 不失一般性，令s u p g