（基础数学专业论文）完备仿射极大曲面的性质.pdf

完备仿射极大麓瑟静性质 专注：基秘数学 研究生：秦华攀导师：李安民赵国松 摘要：z ：吖_ - “+ 1 怒一局部严格凸的超曲面，由定义在一个凸 域翁c a “上翡凸螽数。t = ，( 轧，) 给鬻。雩f 入b l a s 。h k e 度 量g = p g 岛如；d x j ，p = 陋埙，】- 南本文将介绍欧氏完备性矛 傍碧 争宪备性的一般蘧论，然蒋将讨论完备的的仿射搬大超曲面的 性质。 关镳词：仿射完备性，欧氏完备性，仿射极大曲面 p r o p e r t yo fc o m p l e t e a f f i n em a x i m a l h y p e r s u r f a c e s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s g r a d u a t e ：q i nh u a j u n d i r e c t o r ：l ia n - m i nz h a o g u o s o n g a b s t r a c t ：l e t , $ ：m _ 。 1 + 1b eal o c a l l ys t r o n g l yc o n v e xh y p c r s ) u f a c e g i v e nb yas t r i c t l yc o n v e xf u n c t i o nx n + 12i ( x l ，一一，。t 1 ) d e f i n e di na c o n v e xd o m a i nnc a ”w ec o n s i d e rt h eb l a s d l k em e t r i c g = p 荣蠢虹奶， p 。【d e t f j 一痢。i nt h i sp a p e r ，w ew i l lf i r s ti n t r o d u c et h eg e n e r a lt h e o r yo f c o m p l e t e n e s st h e nw ew i l li n v e s t i g a t et h ea t t l n em a x i m a lh y p e r s u r f a c e ，w h i c h i sc o m p l e t ew i t hr e s p e c tt ot h em e t r i cg ，a n d p r o v es o m er e s u l t sf o rt h e , d f i n e m a x i m a l h y p e r s u r f a c e s k e y w o r d s ：a f f l n ec o m p l e t e n e s s ，e u c l i d e a nc o m p l e t e n e s s ，a f f i n em a x i m a l h v p e r s u r f a c e 致谢 本文作者蔫先要感谢李安民教授三年来的悉心教器。李安民教授不仅在 学术上有很高的造诣，攀无巨细，都保持着严肃认真的科学态度。而且为人谦 逊和蔼。他学者的风范以及为人的风格将对我吼后的学习和工作超着非常积极 熬影嗡。 作者也真诚地感谢赵国松教授。赵老烬不但农学习上绘与我关心莘拜攒嚣， 而且对我的生活缭与了搬多关心和帮助，对我的潦业前谂也提出很多建议，他 豹教诲我将终身难忘。 揍翥还菲鬻感滏贾方老耀怼裁静论文给与豹指导帮帮劲，同耩寸我蠢感谢郑 泉、李福波两位畿师。感谢他们三年来教学习和生涯上绘与鲍关心和帮助， 最后作者也裳心感谢四川大学数学学院的各位领导和老师以及各位师兄弟 对我的关心和帮助。 第一章，前言 在仿射超曲面的研究中，完备性的假定是很重要的，事实上对于不完备的 超曲面很少有比较好的结果。本文将在欧氏完备性或者仿射完备性的假定下 研究超曲面的性质，因此有必要对两种完备性概念作一个简单介绍。仿射完 备性即是关于b l a s c h k e 度量的完备性，而关于欧氏度量的完备性称为欧氏完备 性，一般说来两种完备性是不等价的。关于两者的关系，丘成桐，郑绍远在仿 射球的假定下证明了欧氏完备性蕴含仿射完备性( 参见 y a s 】) 。( 后来这个 定理被李安民推广到更一般的情形( 参见( l s z 一1 ) ) 。同样在仿射球的假 定下李安民等人证明了仿射完备蕴含欧氏完备( 参见( 参见【l i 一1 1 ) ) 。对完备 仿射球的研究，一个重要的问题就是它的分类，因为完备的椭圆型仿射球和抛 物型仿射球都是二次超曲面，而双曲型仿射球却不一定是二次超曲面，因此关 于完备仿射球的分类的研究就主要集中于对双曲型仿射球分类的研究，对此 c a l a b i 提出了关于完备双曲型仿射球分类的猜测，这就是著名的c a l a b i 猜测。 关于这个问提，做出突出贡献的是丘成桐，郑绍远( 参考【c h e r t 1 7 2 】) ，和李安 民( 参见( 三一s z 1j ) 等人另外，在中心仿射和相对仿射几何中，李安民等在 切比雪夫场的模有界的情形下分别证明了中心仿射完备( 参见 l s z 一2 】) 和关于相对度量完备( 参见陋一j 一1 】) 与欧氏完备的关系，使仿射微分几何 的完备性理论进一步完善起来。 在超曲面的研究中，还有一个重要的概念就是仿射极大曲面，所谓的仿射极 大曲面就是仿射不变体积的极值曲面，相应的e u l e r l a g r a a g e 方程是四阶非线 性偏微分方程。最初，人们与黎曼几何中的极小曲面类比，称其为极小曲面。 c a l a b i 曾计算过极值曲面的体积的第二变分，发现在很多情形下第二变分是负 的，因此他建议称其为仿射极大曲面。 关于仿射极大曲面陈省身提出了一个很重要的问题，即b e r n s t e i n 问题，即 是说如果一个仿射极大曲面能在r 2 上表示成一个凸函数的图，那么这个曲面 一定是椭圆抛物面。这个问题最后被汪徐家和t r u d i n g e r 解决。李安民等人在 中心仿射微分几何( 参见( l - h - u ) 和相对微分几何( 参见 l _ j 一2 】) 中解决了类似 b e r n s t e i n 问题，但对于维数高于三维的情形这个问题至今仍未解决。 本文将在这些理论基础上进一步讨论完备超曲面的性质。第一章将介绍仿 射超曲面的一般理论，材料主要来源于 l - s z 一1 】以及 l j 1 】第二章将介绍 些完备性的结果，并给出一个推论，然后将讨论完备的极大曲面的性质。 第二章，预蘩知识 5 1 仿射越曲面的一般理论 a ”1 为 + 1 缀仿射空间，m 为n 维涟通定向的c o o 流形，z ：”j _ 4 为一局部严格凸的超曲面。选择幺模仿射标架场协盼吊邸。， 满足； 8 l ，e 2 ，e n 站m 如t ( 。l ，e 2 ，e n + 1 ) = 1 g i j = 船 e n + j 盏y g 裘示b l a s c h t e 度擞，y 为仿射法向量场。 。，u 2 ，。”+ 1 为e l ，e 2 ，e 。+ ，翡对髑标柒强。由结梅方程 d = “2 。i + w r l + l 岛l + i 幽= u ? q + ”e 。+ l 甜“+ 1 | 村= o 对之进行微分得 幽”1 = 舢尹1 = 0 由c a , 。缸n 引理( 参见 c h e f q ) “= h i d w j h q = h j t g = g “u ， = ( d e ( b ) ) 祜b e 沿善傍瓣法线方离，魁( 证暖谤参考瞄一s z 1 1 ) 对一t 式求外微分，樽 。 # 搿+ 纛i 罐姆( 矗$ ( b ) 净0 u o l “? “。0 壶e m 翻? ；弓 理 f 2 】2 1 ( 2 13 ) a 簿+ i 4 ) 显然 “0 1 = 一z ”u ? “ # 站= | 弘 嚣= 一遽+ ，。y 1 = 拶h f l h j 。5 勘一 “h i k h j f b i j = 鼋 茸强保持翁射法线不交的标檠变换下是不变的，b 关予m 的b l a s c h k e 度量g 的特征根k 是仿射不变的记h = d e t ( h 订) 。我们称 譬l _ 5 ) 1 = ；嚣蠢= ；太 为m 的仿射平均曲率。满足l 严0 的超曲筒称为仿射极大曲面，很显然，在 正交标架下， 二= ：= ；凰 记g 的仿射联络形式为 。；= r f j j g 的l e v i c i v i t a 联络形式为 哥= 西一 3 a 了 ( 2 16 ) a = a 小u 一为f u b i n i 络的二阶协变微商为 r 缸一r 氛= , 4 i m ， a i j k = q i a 缸 p i c k 张量场那么，z 关于g 的l e v i c i v i t a 联 ( 2 1 7 ) 2 9 , i j = 一西z 一= z 。一西e 。 。 = r o e k + “垆1 为其普通微商，我们计算z 关于度量g 的拉普拉斯 a x = g4 。，= 目南护， = 日南 i j ( ( f 。k ，一巧) e 。+ h i 3 e n + 1 ) = g i j a 嚣e + n 吣】 在所取标架下】= 譬= e ”t ，g i j = h ；，= 吣 故。峨= a m = 0 我们把y 的对偶形式称作仿射余法失量u ，如果u 满足 ( u y ) = 1 在所取标架下，u 可以与旬ae 。a ae 等同起来，并且对一固定点。m 可以让( 参见 c h e r g ) ( 2 1 8 )u = 0 我们计算u 的拉普拉斯 d u = d ( e lae 2a - - ae n ) = ( h l k e la a 吣l ae a e 州a ae 。如 l自 = e 1 a e ha 坼1ae , + la ae = 4 t d u i 端e i ”a e k _ ，、觑a e k + l a 艮ia e 州a e i + la - - a e ，；+ “蠢l e a - - - a e # t 采 在点。有 又瞬 即 辩 敬 f 2 1 9 ) 一u ；巩+ w 0 。矿 “；= a i j 一a i b = 。4 ，= 一u u 鼻l = b i ，w j 瓤= ( ， 鸽砜一b j u ) j = d u , 一爵 = p 拶。 配，= 一且巩一b 。u a u = 一( _ 4 “一风口) = 一n l 。u 我们现在来计算黎曼曲津和挛奇曲率，在我们所取标架下有 遽一遥= i 蜮+ ) 一直璐驴 对( 2 i 1 0 ) 第二式求外微分得 u 以十瞄 u i + w r l 识+ + 哆+ 。 u ：+ ， 将( 2 i 。1 0 ) 找入褥 = 2 雅牙女扩+ 2 a o i , a ； _ 2 ( 枞栅一d 玎t u l 一 m q 一a “：) 护 = q ；件1 嵋+ 1 + u ，十1 u ：+ i tf + 将q = + 。站u 。代入得 2 ( “谢一4 “t 迈4 m 可4 船叠) u = 以；，。+ 4 蚋 静 ( 2 1 1 1 ) 2 a i j i ，一- ( 3 j + 勘l “) 另外，我“j 根据黎受几何戆知识( 参见眵船r q ) 蓝率形式躞满足 1 2 ) n 磐罐哥 磊 ( 2 i 1 3 ) 噬= ；粕“ 游 2 1 1 0 ) 代入 2 。i + 1 2 ) 褥 咧叫n + l d 一( 拟谢一a 叫最a m 巧一| 4 忡远) 扩+ 。, n j k 。 1 ) a 。m 敖 ”( m 一，z ) + ( 一舻。) + ( 。：a 。似一a i r a k 刊 将( 2 1 1 1 ) 代人 ( z h 4 ) r 雏蛳= i ( 最女扩2 + 南 z 饼藏f z 批一岛女密) + ( | 4 i 讯 a m 批, 4 i m k - 4 ，。一) 对上式进行指标缩并得李奇曲率为： ( 2 l l l 5 ) = 直“蕊勰+ 写兰+ ；堍 2 貔褒忝或一令霹罄凸蠡数懿辍躲超爨惹 设$ ：m _ a “+ 1 由一个局部严格幽的函数z 。+ 严，( 钆汹。) 给出，此函数定 义在一个凸域nca n 上，选择么模仿射标架： 搿0 0 1 舞0 羹； 比= ，熬) e n = ( o ，1 ，芒) 5 g 喇漆萋费藜法缓穷麓。b l a s c h k e 瘦量秀( 参踅【l s z l j ) 。- ， g = k 器) 一器蛐， 记，。d e t ( 矗) r 南，垂= 峄 v 趣梯度算子。令仿射佘法失u = 鼢，如，+ ，) 塞意义羟氓= 0 ，为黯疆琵台，甏职+ 玩一差= 0 潮 u = “一石o f ，差，一差，1 ) 弓l 入l e g e n d r e 变换 则 则 故 f 2 2 2 ) 即 ( 2 , 2 3 ) 岛：凳 ， “= 戤瑟a f 一， ，；( z l ，一，a 岛。，a f ) 锥 面。象，2 老, p - 1 + p - 2 甓， 撕p 一2 老j r u n _ b l ( p - i + p - 2 已瓦t o p 肛l 巩- t - t 。p 盯刊一著，一差， 当斟为强大整嚣辩，辩垂我貊有话诗( 参楚陋一j 一1 】) 啦南擎一每署警 7 尝n = 2 时 ( 2 2 4 ) 当”= 3 时 因 骶 教 【2 , 2 5 ) 牛f 2 一 # 2 十# # 一2 、砖 2 沸一1 j7 矿 圣学+ 啦i 学+ ；警一屯等 ( 孚一老赴。、圣、厢o 垂i 譬ss 警+ 皇t 2 f 蕉 由兰一；警十丧警 8 第三章，完备仿射极大超曲磷的性质 1 完备性理论 窥瑾3 1 ，i ( 参觅( y a s ) ： 的，它也是仿射完备的。 窀瑾3 1 2 ( 参觅【l i 一1 j ) 的，则它也是欧式完备的。 设m 是直n + t 中的一个傍射球，若m 尾欧式究备 设掰是岔一1 中静一个傍射球，若村德仿_ 鸯于宪备 对定理3 1 1 李安涎皴了逡一步黎广 窳理3 _ 1 3 ( 参见 l s z 一1 d ：m 熄a 一1 中局部严格凸的欧式完备的超曲面， 选择- ”托中正交搬据，瓤，觏，+ ，) 袋掰能表示残定义在一个愚域nca ” 一e 的一个正函数的图，超平面z “+ 1 = 0 是m 在点。的切超平丽，在蛳有 嫩标( o ，0 ，o ) 如果存在一个常数n 0 使在m 上满足： ( a 十 i + 一，十 ：) 曼n 1 n ( 2 十，) 1 2 扎燕仿辩主醢率，那么埘是仿辩完备的。 对于本定理，我们得到下佩的推论； 攥论3 i 1 ：蓍掰为直8 + t 中局帮严格凸静傍袈投大馥面，鲡栗英李奇叠率r ，j 满足磷有界，且p i c k 不变量有界，那么若m 是欧氏完备的，它必然也是 爨射完备抟。 证明：我们只须诞明璐有界即可。选局部正交标架场协e 。，盼- ，+ 。 蠖e 。，# n 马掰，e # + l 嚣e g ； = 轰 因为j 有界，故 j = 而与( a ) 嚣”i + 1 a 。“i i a 。玎i n r - 2 i 嚣i 字1 l 墨嗡 + j l t 厶一2 。+ z ：4 1 。) i ( + 螺。) 9 为菜拿正数。所以 生竺嚣曼a；十2ny：tr。i+n4 。 _ q 一厶州q 。 妄端+ ( 冀毳+ 1 ) 2 群璐肖界 攀实上蓊j = 0 酃么m 为撩粼澈物掰( 参燕i l - s 一嚣l j ) 。 2 完备份射超曲麟的性潢 在缭爨下露霆毽藤我j 笼绘爨一个罨滂l ； 引瑚3 2 1 ( 参见 g o 1 1 ) ：仿射完备的抛物型仿射球熄椭圆抛物面。 定骥3 2 1 ：f ，( 孤，z , d 是秘帮严格鼹的函数，定义在个题竣q c 妒 上，若m = ( 钆，g 。，净l ，强，m 。) ( 钆现，。) q 怒敬氏受蛰的傍餐搬 大怒曲面鱼李奇曲率r i c ( m ) 0 ，那么m 是椭圆拯物丽。 话磷：设5 鸯一露矢璧，u 为m 鹃传辩佘法爨鹜，令9 一馘醉，懿秘一 一n l i ( 轵6 ) ，当b = ( 0 ，0 ，1 ) h 寸，由( 2 2 2 ) 知，( 弘6 ) = k + l = p = ( 出# ( i ； ；岳) ) 一南 ，敬a p = 0 ，瘗，戆严锤爨鼗，麓p 8 ，敬# 。喾数参霓阶一鬟) ，静瑟怒 一撒物型仿射球，由定璎3 1 1 以及等i 理3 2 1 知它必为椭圆抛物筒。 定璨3 2 。2 ：+ i = ，魄，：) 楚嚣辩严格蕊懿蚕数，定义擞一个篷竣建c n 上，若m = f ( 钆 。，( 钆隅；) ) i ( 钆，z 。) n 掇关予b l a s c h k e 度量g 究 蕾蛉僚射极大怒潼磷基潜是；， 1 ) 李奇曲率有下界 2 ) p = 汹女蔷基) 一彘蠢上器n 邪么t 一2 ，3 时，甜是襁强撼物蕊。 对予本定理的证确需要下面的弓l 理( 参觅降s 】) 弓l 爨3 2 2 ：浚艇是宠簧翘黎曼溅形，是a ，上一罄定点，l 嫠臻点p 簿趣 的溯缱距离蛹数，假定m 的李奇曲潦商下界村剜 ( 3 。2 。1 ) r 墨加一1 ) r ( k ，r ) 1 0 其中 由双曲函数性质可知： r r “k l ，；) s1 + v ，碲 定理3 2 2 的证明：令p 0 m ，记r ( p o ，p ) 为关于度量g 的测地距离函 数，a 为任意正数，岛( p 0 ) = p m l r ( p o ，p ) a 考虑定义在b 。( p 0 ) 上的函数 f = f a 2 一一1 2 圣 其中垂= l 【毕 那么，f 在某一内点p + 达到极大值，设r 。是p 某邻域内的一函数且在 p + ，屯 0 ，那么在p + 即 ( 322 ) f t20 f ，。0 生盟：。 圣o , 2 一r 2 。 c 。z 。， 譬一謦一筹等一筹墨。 惭2 峪= 4 r 2 酬圆= 等 一= 2 | | v r f i 刍+ 2 r r = 兰+ 2 r r p 由( 32 2 ) 和( 3 2 3 ) 知 。删 譬葶备1 v 圳+ 喾磷+ 筹 2 4 r 7 4 4 r a r 一；币f 研+ ；再了习+ i r 了 当，一3 时由( 2 25 ) 得 f 3 z 5 ) 譬一；譬+ 三1 2 1 p 1 1 弘 嘶 k 阽 佩 一 卅 砒 胁 帆皿 3 6 r 2l 蛋 一i 万而十一1 2 万 由( 32 4 ) 和( 32 5 ) 得 圣拦斋+ 南十两4 8 r & r ， m 是局部严格凸的超曲面，可选撵m 的定向使g 成为一正怒的黎曼度量。 即( 魁，翻为完备的藜整流形。盎题设，李奇趣鬻毒下界，不赡假定监下赛 为一k ( k o ) 。郅么癫吾i 理翔 r a r 曼m 一1 ) ( 1 + 、，霄r ) 当r t - = 3 瓣， 垂禹+ 禹+ 警一 即 ( 3 2 ，6 ) ( 矿一产) 2 季茎7 2 0 r 2 + 4 8 ( a 2 一，j 9 6 ( 1 十, - e r ) p ( a 2 一，3 1 茎7 6 8 a 2 + 9 6 n a 2 + 9 6 n 佤3 = ( 7 6 8 十9 6 n ) a 2 + 9 6 n 瓶n 3 = b t a 2 + 如扩 这壁6 l = 7 6 8 + 9 6 n ，堍= 媚薅 显然( 3 。2 6 ) 对n = 2 时也成立。 由 蜒颤南+ b 2 万每 令。一。o ，则圣；o ，鄄i l v p l l ；0 ，敬p = 如t ( 岛) = 常数即m 是仿射完备的 抛物型仿射超球面，由引理( 3 21 ) 可知，m 是椭圆抛物面。 参考文献 1 l i 一1 le c a l a b ic o n j e e t u r eo nh y p e r b o t i ca t t i n es p h e r e ，m a t h z 2 i l j 一1 l i ，a m ，f j i a 0 1 1t h eb e r n s t e i np r o p e r t yo fa f f h mm a x i m a lh y p ( 1 i s u r 翻z ：e s 3 ( l n j * 2 l i ，am ，fj i a ，a i 矗n ed i f f e r e n t i a lg e o m e t r ya n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n so f f o u r t ho r d e r 。g e o m e t r ya n dt o p o l o g y 。f s u b m a n i f o l d sx e d s w 珏。c l m n 酞a i ( p p 1 3 昏 1 4 4 ) 4 f l - j * 训l i ，am ，f j i a c o m p l e t el o c a l l ys t r o n g l yc o n v e xh y p e r s u r f a c e sw i t hc o n s t a n t a i t l n em e a nc l l r v 冉t l l r e 5 函- s z 一1 jl i ，a ，m ，s i m o n u ，g z h a o ：g l o b a la f f i n ed i f f e r e n t i a lg e o m e t r yo fh y p e r - s u r f a c e s ，w a l t e rd eg r a y t e r ，b e r l i nn e w ，y o r k ，1 9 9 3 6 l - s - z - 2 】l i ，am ，s i m o n ，u ，g z h a o ；h y p e r s u r f