（基础数学专业论文）分次代数的组合性质.pdf

摘要 ， f 代数的分次性和模的分次性是代数和模的一种重要性质 a b e i l i n s o n ，v g i n s b u r g 和w s o e r g e l ，1 9 9 6 年在他们的文章【2 】中 证明了具有有限长度的不可分解的分次模的分次在平移( s h i n ) 的 意义下是唯一的，这自然便产生了如何具体给出一个分次模的分 次的问题路代数按照道路的长度有一个自然的分这垡数结构， e l g r e e n ，r m a r t i n e z v i l l a 在f 6 1 中证明了任意有限一次生成的 可裂的基代数作为分次代数同构于某个路代数的商代数因此把路 念，对所有模均可分次的有限维路代数进行了完整的刻划，给出了 满足此性质的一些等价条件通过引入模上的分次函数的概念，讨 论了路代数的商代数何时具有所有模均可分次的性质，得到了相应 的一些结果此外，通过对厶型代数上的模的性质的讨论，我们 还刻划了所有模均可零次生成的直哩堡堕垡塑： i n a b s t r a c t t h eg r a d a b l ep r o p e r t yo fa l g e b r a sa n dt h e i rm o d u l e si so n e o fi m p o r t a n tp r o p e r t i e s i n 1 9 9 6 ，a b e i l i n s o n ，v g i n s b u r ga n d w s o e r g e li n 【2 】2p r o v e dt h a t t h eg r a d i n go fa ni n d e c o m p o s a b l e g r a d e dm o d u l e w i t hf i n i t el e n g t hi su n i q u eu pt og r a d i n gs h i ra n d i s o m o r p h i s m t h u s ，i ti sn a t u r a lt oa s kh o wt og r a d ea g r a d e dm o d u l ec o n c r e t e l y p a t ha l g e b r a sh a san a t u r a lg r a d i n gb yt h el e n g t h o fp a t h e l g r e e na n dr m a r t i n e z v i l l ai n 6 】6 p r o v e dt h a ta l ls p l i t b a s i c ，f i n i t l y1 - g e n e r a t e dg r a d e da l g e b r a sa sg r a d e da l g e b r a sa r e i s o m o r p h i ct oq u o t i e n tm g e b r a so fp a t ha l g e b r a s s oi ti sn a t u r a l t os t u d yp a t ha l g e b r a sa sg r a d e da l g e b r a sa n d s t u d yt h ep r o p e r t i e s o ft h e i rg r a d e dm o d u l e s t h a ti st h eb a s eo fm yt h e s i s i nt h i sm a s t e rd i s s e r t a t i o n ，f i r s tb yi n t r o d u c i n gs o m en e wc o n c e p t s ，s u c ha sa r r o wf u n c t i o n so nq u i v e r s ，v e r t e xg r a d e dm o d u l e s ， e t c ，w ec l a s s i f i e dt h ef i n i t ed i m e n s i o np a t ha l g e b r a sw i t ha l lm o d u l e s g r a d a b l e s e c o n dw es t u d i e dw h e n t h eq u o t i e n ta l g e b r a so f p a t h a l g e b r a sh a st h ep r o p e r t i e st h a ta l lm o d u l e s a r eg r a d a b l e m o r e o v e r ， a l lf i n i n t ed i m e n s i o n p a t ha l g e b r a sw i t ha l lm o d u l e s0 - g e n e r a t e d a r e a l s os t u d i e d 1 v 致谢 p4 3 5 1 g 在完成本论文时，首先感谢我的导师章璞教授，本文所涉及的工作是在他 的精心指导下进行并顺利完成的同时，感谢所有曾授过我课的老师，是他们 的谆谆教诲才使我有能力完成本论文在写作过程中，讨论班上的叶郁，黄华 林，方明等给我提出了许多宝贵的意见，在此一并对他们表示感谢此外，感 谢系里所有的工作者和9 5 0 1 全体同学，感谢他们为我提供了良好的学习和生 活环境 最后，衷心感谢我的父母，是他们的理解和支持，使得我得以完成三年的 学、匕 第一章引言 代数的分次性和模的分次性是代数和模的一种重要性质p g a b r i e l 在 【9 】中证明了任意有限维的初等( e l e m e n t a r y ) k - 代数必定是某种k q i 的形 式，其中q 是个有限箭图，是个容许( a d m i s s a b l e ) 理想，即存在整数n 2 ， 使得j 了2 ，这里，j 是q 中由所有箭头生成的理想这使得路代 数逐渐成为了一个重要的代数研究对象我们称代数相应的箭图的性质为代 数的组合性质通过对箭图的考察，我们可以获得许多有趣的相关路代数的性 质具体参见f 4 | 按照道路的长度，我们可以给路代数一个自然的分次代数结构e l g r e e n r m a r t i n e z v i l l a 在f 6 1 中证明了任意有限一次生成的可裂的基代数作为分次 代数同构于某个路代数的商代数因此我们自然可以把路代数作为分次代数来 进行研究，通过考察路代数的相应箭图的性质来讨论相应分次代数的性质我 们把箭图的性质称为相应分次代数的组合性质，这是本论文所讨论的重点 a b e i l i n s o n ，v g i n s b u r g 和s o e r g e l1 9 9 6 年在他们的文章【2 中证明了具有有 限长度的不可分解的分次模在平移( s h i f t ) 的意义下是唯一的这自然便产生 了如何具体给出一个分次模的分次的问题本论文通过对路代数及其相应箭 图的研究，对路代数及其相应的模给出了一些具体有意义的分次基于此，在 本论文中，我们提出了顶点分次模，顶点分次代数，模上的分次函数等概念来 刻划一些具体的路代数及其模的分次 在第二章中，我们主要对本论文所需要的基础知识作了一个简单的介绍， 罗列了一些重要的性质，其中包括分次代数，分次模，路代数等基本概念的定 义，箭图的表示，各种分次代数的定义，以及他们的基本性质另外，我们还 给出了关于分次模的一个结论的推广 在第三章中，我们首先引入了箭图上的箭向函数的定义，讨论了箭向函数 的一些相关性质，给出了箭图上存在箭向函数的充分必要条件然后讨论了路 代数上的模的各种具体的分次，比如顶点分次模，零次和1 次生成模等通过 对箭向函数和所有模均可分次的有限维路代数的研究，我们得到了所有模均 可分次的有限维路代数同其相关箭图上存在箭向函数的等价关系具体刻划 了所有模均可分次的有限维路代数，给出了一些等价条件另外，我们通过对 中国科学技术大学硕士学位论文 2 路代数上模的研究，从模本身的角度给出了所有模均可分次的路代数的一个 充分条件最后，通过具体的例子给出了各中模的不同分次的区别 在第四章中，我们引入了模上的分次函数的定义，讨论了代数上的模可分 次同模上存在分次函数的等价关系考察了型如k q i ( 其中，为齐次的容许 理想) 的路代数，讨论了其何时具有所有模均可分次的性质，给出了一个充分 条件另外通过对a 。型路代数的研究，我们讨论了所有模均可零次生成的路 代数的相应箭图的性质，刻划了满足这一性质的路代数的箭图形状，给出了具 有这种性质的路代数的一个充分必要条件 第二章基础知识 本章的主要目的是简要叙述一下本论文需要的一些基本知识，其中包括 箭图的表示，路代数及其表示的相关概念和结论；分次代数，分次模的相关概 念和结论在本章中，我们总是用k 表示域，a 表示k 一代数 2 1 路代数及其表示 在本节中，我们回顾箭图的定义及其表示，路代数的定义，以及相关的一 些结论 箭图是由点和箭头组成的有向图我们总是用符号q = ( q o ，q ) 来表示 一个箭图，其中q o 表示它的顶点集，而q 表示箭头集对任意的箭头a q 。， 我们以s ( 。) 表示它的起点，以t ( a ) 表示终点如果一个箭图的顶点集和箭头 集都是有限集，我们就称它是有限的，否则称为无限的 箭图q 中的箭头序列p = a l a 2 a 。称为非平凡道路，如果r f t 1 ，而且 s ( a 。) = t ( o 州) ，对任意的1si m 用图表示为：壁l 垡之堡m 此道路的起点s ( p ) 为s ( o 。) ，终点t ( p ) 为t ( a 1 ) 对道路p = a l a 2 a 。，我们 定义它的长度为i ( p ) = m 对任意的顶点i q o ，我们用e i 来表示以i 为起 点和终点的平凡道路( 即不经过任何箭头的道路) ，并且我们定义此平凡道路 的长度为l ( e i ) = 0 箭图中的非平凡道路p 称为有向循环，如果s ( p ) = t ) 如果一个有向 循环里的箭头两两不同，我们就称其为基本圈 给定一个箭图，我们可以定义一个与之相应的代数，即所谓的路代数设 k 为任一个域，q 为任意的箭图记k q 为以箭图q 的所有道路为基的k 一 向量空间对任意的道路p ，q ，我们定义乘法 ， i 道路的连接，如果t ( q ) = s ( p ) ， 10 ，否则 容易验证在此乘法下，向量空间k q 成为一个结合代数我们称之为关于箭图 3 中国科学技术大学硕士学位论文 4 0 的路代数 关于路代数，有以下简单事实： ( 1 ) k q 是含有单位元的代数当且仅当箭图q 的顶点集是有限的此时，代数 七q 的单位元为1 = ；口。e i ( 2 ) q 是有限维的当且仅当箭图q 是有限的，且不包含有向循环 箭图q 的表示：q 的一个表示x 记为( 托，已，i q o ，a q 1 ) ，其中五 为k 一向量空间，。为j ，5 ( 。) x t ( 。) ，o q 1 的线性映射箭图的两个表示 之间的态射e ：x 斗x 为( o 。：x i 斗墨，i q o ) ，其中e 。为满足对任意 的o q 1 ，o 。( 。) = t ( 。) 已的线性映射，用图表示如下： 毽( 。，p j l 墨( 。，) 。( 。) 0 “。 五( 。) i 上+ ! x ( 。) 态射之间的合成为：对任意的态射0 ：x 叫x ，西：x _ y 1 圣o0 为 x y 的态射，其中( 西o0 ) i = 西。00 f 以后我们常用r e p ( q ) 表示箭图q 的k 一表示全体组成的范畴对于箭 图q 的k 一表示范畴r e p ( q ) 和路代数a = q 的模范畴之间的关系，我们 有下面熟知的等价定理具体参见f 4 1 定理2 1 1 q 的模范畴与q 的一表示范畴等价 由上述定理知，我们可以用箭图的表示来表示k q - 模因此，为方便起 见，我们以后只用箭图的表示来表达相应路代数q 的模 箭图的应用起源于g a b r i e l 的一个著名的定理，参见 9 此定理证明了， 任意有限维的初等( e l e m e n t a r y ) 女一代数必定是k q 1 的形式，其中q 是个有 限箭图，j 是个容许( a d m i s s a b l e ) 理想，即存在整数n22 ，使得l ，“，j 2 ， 这里，j 是q 中由所有箭头生成的理想g a b r i e l 定理保证了有一大类我们 感兴趣的代数可以用路代数来表达通过箭图的性质我们可以得到相关路代 数的一些性质，我们把相应路代数的箭图的有关性质称为代数的组合性质 本文主要讨论的便是分次代数的组合性质 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文 5 2 2 分次代数和分次模 在本节我们主要回顾分次代数的定义，分次模的定义，以及相关的一些结 论另外，还给出了关于分次模的一个结论的推广 k 一代数a 称为一个分次代数，是指存在一族k 一向量空间 a t ) 诓z ，a ， a ，满足：a = o a i ，a i a j a i + j ，v i ，j z ，且a o 为a 的k 一子代数 i = - 我们记a = 。= o a s ，v i z a 称为正分次代数，若a = a 2 0 正分次代数 3 三2 a 称为一次生成的，若a 。a 3 = a i + j ) vz ，j2 0 设a 为一次生成正分次代数，如果a 还满足：a o = k “，n n ，且 d i m ( a 1 ) 0 ( 3 ，则称a 为有限一次生成可裂基代数 设a 为分次代数，m 为a 一模，若有向量空间的分解：m = o 尬， t z 且满足a , m s 尬+ ，vi ，j z ，则称m 为分次模分次模m 称为零次 生成的，若m = a 如易知，若a 为正分次代数，m 零次生成当且仅当 m 。= a 。m 0 ，v i 0 ，且有m = 0 ，v i 0 今后我们常用a r o o d 表示a 一模范畴，a m o d 表示a 一分次模范 畴，也简记为c t ( a ) ，零次生成的分次模范畴记为c r o ( a ) ，g t ( a ) 中的态射集 为 f h o m ( m ，n ) i ，( m i ) cm ) ，常记为h o m h ( m ，) 此时我们自然可以 问一个问题：对怎样的分次代数a ，我们有a r n o d 竺o r ( a ) ，即任意的a 一 模均可分次，以及何时有g r ( a ) 兰g r o ( a ) 本论文部分解决了这个问题 对于分次代数和分次模，我们有下面一个有意思的性质 。 命题2 2 1 设a = o a i ，m 为一正分次的右a m o d ，如果m o a a o = 0 ，则 = 0 m = 0 r 在这里a o 看成左a 模，作用如下：a a o = a o - a o j 证明：易知我们有正合列：o oa ，一_ a a o _ o 以后我们记 j 1 j = oa s ，从而有正合列：m 圆 ， m aa _ m o aa o 叫0 ，由 j l 于m aa 竺m ，m aa o 皇0 ，上一正合列可化为mo aj 斗m _ 0 ， 其映射为：o ， 一u 。 ，其中札：m ， j 由此即知m = 0 否则，设u 为m 中次数最小的齐次元，则u = u , f i 由d e 9 ( ， ) 1 知 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文 6 d e g ( u i ) o 限箭图q ，女q 为有限一次生成的可裂基代数事实上，e l g r e e n ，rm a r t i n e z v i l l a 在 6 中证明了下面的定理： 定理2 2 2 设k 为任意域，a 为有限一次生成的可裂基的k 一代数，则存在有 限箭图q 和相应路代数q 的齐次理想阿由齐次元生成的理想o ( q ) 。， t 2 使得有分次代数同构a 型k q r 由上面定理知，把路代数作为分次代数来进行研究对研究一类分次代数 具有重要意义基于此，本论文讨论了与路代数有关的一些性质，我们通称这 些性质为分次代数的组合性质 关于分次代数的分次模的分次唯一性，a b e i l i n s o n ，v g i n s b u r g 和w s o e r g e l 在 2 中给出了肯定的回答，由于这一结论对本文的研究有着至关重要的作 用，在此我们以一个引理的形式叙述如下，并给出它的证明 引理2 2 3 设a 为一分次环，m 为一不可分解的有限长度的a 一模，则如 果m 可分次，那么m 作为分次模在分次平移r s 班j 和同构的意义下是唯一 的 证明：由m 为不可分解模，则m 的自同态环e n d m 是局部环，即非同构的 自同态组成e n d m 的一个理想设m 具有分次模结构m ，如果m 还具有另 一分次模结构m 7 ，则由h o m a ( m ，m ) = oh o m h ( m ，m ( n ) ) ，我们有单位元 n 的分解：i d = i d n 由于谢为m 的自同构，则存在凡，使得i d n 可以诱导 n 出m 的一个自同构，从而i 氐即为m 7 m ( n ) 的同构 口 注记2 2 27 分次模的分次平移：设m 为分次模，m = on 以，则把m 分 i e n 次平移n 所得到的分次模m 满足( m ) ，= m j 一。 有了这个引理，我们在讨论分次模的分次时，我们只需给出分次模的一个 分次即可，而不需要讨论各个不同分次的区别这也是我们可以具体给出各种 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文 7 分次模的分次的关键所在因此，在本论文的以后讨论中，我们不考虑分次模 的不同分次 第三章顶点分次路代数 本章主要通过引进箭图上的箭向函数和顶点可分的分次模的概念，对任 意模均可分次的不带关系的有限维路代数进行了完整的刻划，并给出了相应的 一些等价条件，部分地解决了第一章提出的问题，即何时有a r o o d 竺g r ( a ) 成立 3 1 箭向函数和对称圈 在本节中，我们引入箭向函数的定义，并给出了箭向函数的一些性质和箭 图上存在箭向函数的充要条件 定义3 1 1j 设q = ( q o ，q l ，8 ，t ) 为一箭图，函数f ：q o z 称为q 上的 一个箭向函数，如果，满足对任意的a q 1 ，有，( t ( o ) ) = ，( s ( n ) ) + 1 由箭向函数的定义，我们自然有下面的引理 引理3 1 1j 设，为连通箭图q 上的一个箭向函数，g ：o o z 为q 上的 另一函数，则g 为q 上的一个箭向函数当且仅当存在n z ，使得g = ，+ v 证明： =由箭向函数的定义易得 考虑函数h ：q o - - + z ， ( 口) = g ( v ) 一，( ) ，v v q o 由g ，f 均为箭向 函数知， ( ( o ) ) = ，( t ( n ) ) 一g ( t ( o ) ) = ( ，( s ( o ) ) + 1 ) 0 ( s ( q ) ) + 1 ) = f ( s ( o o ) 一 9 ( s ( q ) ) = ( s ( a ) ) ，v 。q 1 再由q 的连通性知， ( u ) = 九( 叫) ，v v ，w q o ， 命题得证口 箭图上的有向圈是指起点与终点相同的非平凡道路，为作更进一步的研 究，我们需要对圈的定义进行推广 定义3 1 2j 箭图称为一个圈是指其底图( 即去掉所有箭头的方向以 后所得到的图) 为： 20 。 工栅堙】 8 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文9 其中 ，2 ，n ) 为互不相同的顶点为方便起见，我们常用一，来表示形如 五的图 定义3 1 37 设为圈，其相应的底图为( ) 对于箭向o t a l ，若 n ：m m + 1 ，我们就称n 为顺时针箭向i 若q ：m + i m ，则称为逆 时针箭向在此，我们将1 和n + 1 看作同一顶点如果在a 中，顺时针箭 向同逆时针箭向数目相等，我们就称是对称的否则称是非对称的 由箭向函数的定义易知，对无圈的箭图，我们总可以定义其上的一个箭向 函数另外，显然有向圈不是对称的 由定义，我们有下述结论 引理3 1 27 圈是对称的当且仅当在上存在一个箭向函数 证明： = 设f ：o _ z 为上的一个箭向函数，形如( + ) ，则 f ( 1 ) = ，( n + 1 ) ，在此，我们认为1 也为第n + 1 个顶点由箭向函数定义有： ，( n + 1 ) = f ( 1 ) + # 上的顺时针箭向) 一4 上的逆时针箭向) ，即 4 上的顺时针箭向) 一# 上的逆时针箭向) = 厂( 佗+ 1 ) 一f ( 1 ) = 0 ，从而 是对称的 设形如( 十) 归纳定义f ：a o 斗z 如下令f 0 ) = 0 ， 肋，= 慧糌i i ，f ：二：v 由的对称性以及从充分性的证明中可知，+ 1 ) = ，( 1 ) ，从而f ：a o z 是定义合理的，由f 的构造易知，为上的一个箭向函数口 下面的引理刻划了存在箭向函数的箭图 引理3 1 37 设q 为连通的箭图，如果q 中的任一圈均是对称的，则在q 上 存在一个箭向函数 证明：对l q 。i 进行归纳当l q o l = 1 时，结论自然成立 由于q 中不含有向圈，q o 中至少含有一个源点，记为s 令 口一，仉， 为由s 出发的所有箭向的终点的集合，q 为q 去掉源点s 后的全子图不妨 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文1 0 f 设q = uq ( i ) ，其中q ( 1 ) ，q ( 1 ) 为q 的所有互不相交的连通子图由q 2 = l 的连通性知f t ，从而我们得到了 u l ，仇) 的一个划分： u 一，魄= 马u 岛u u 岛，满足& q ( i ) o ，i = 1 ，f ，且s ，s 为无交并 对每个q ( i ) ，q ( i ) 中的圈仍然是对称的，且i q ( i ) o i i q o h 由归纳假设我 们可在q ( i ) 上定义一个箭向函数 ：q ( i ) o z 由于q ( i ) 是连通的，则对任意两个口l ，v 2 s ，存在一条从 l 到u 2 的 道路，设为p ，即有： l 翌 2 ，从而s u l 竺u 2 一s 形成了q 中的一个圈由已知条件知该圈是对称的，从而道路p 中顺时针 箭向的个数等于p 中逆时针箭向的个数，则由五为q ( i ) 上箭向函数知， ( ”2 ) = ( 1 ) + 6 p 中的逆时针箭向) - 一4 p 中的顺时针箭向) = ， ( ”1 ) 这样， 我们证明了对任意的v & ， ( ) 为常值 现在构造g ，：q ( i ) o - - - 4z ，i = 1 ，f 如下，肌= ，t 一五( ) 4 - 1 ， s i 则g ：仍然是q ( i ) 上的箭向函数，且g i ( v ) = l ，对任意 & ，i = 1 ，f 。 由于q o = s ) u ( uq ( i ) o ) ，可令，：q o 斗z 满足 i = 1 ，( s ) = o ，( ”) = 研( ”) ，如果v q ( i ) o 则有f ( v - ) = ，( ”2 ) 一= f ( v t ) = 1 = ，( s ) + 1 ，从而，成为q 上的一个箭 向函数，引理得证。口 综合引理3 1 2 和引理3 1 3 ，我们得到下面的定理 定理3 1 4 ：箭图上存在箭向函数当且仅当其不合非对称圈 证明：因为箭向函数限制在子图上仍为箭向函数，故由引理31 2 可得到必要 性。 充分性由引理3 1 3 给出 口 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文l l 3 2 顶点分次模 在本节中，我们通过对路代数上的模引入顶点分次的概念，完整地刻划了 所有模均可分次的有限维路代数，证明了路代数具有这种性质当且仅当其相 应的箭图上存在箭向函数， 首先我们给出顶点分次模的定义设q 为有限箭图，a = k q 定义3 2 1j 设m 为a ，模，m 称为顶点分次的，如果存在m 的一个分 次：使得每个齐次分支均是某些e 。m 的直和，其中口q o ，也就是说对每 个顶点o q o ，e 。m 均包含于某个齐次分支中 以下，对于分次模m ，v q o ，我们用 乱表示m 在顶点v 处的向量空 间，即m 。= m 为避免混淆，我们在给出m 的分次时，用m = om ( i ) i e z 表示 引理3 2 17 设q 为有限箭图，k 为任意域，m g r ( k q ) ，m = o 峨。) ， 2 z 则螈= o 尬。) n 蜴特别地，若d i m k ( 眠) 1 ，v q o ，则m 是顶点分 i e z 次的。 证明：上述和式显然为直和，故只需证明尬，= 诞zm ；) r i m , 任取z m ， x = l z m l ，其中m i m 。) 由e u z = 。知，z = 。= l z e u m i 。zm 。) n 厶特别地，若有d i m k ( m 。) 1 ，则a 乱只能包含在某一个齐 次分支中，得证口 下面的引理是本章的关键，它给出了路代数上所有模均可分次的一个必 要条件在后面，我们将证明这也是一个充分条件 引理3 2 2j 如果任意k q 模都是可分次的，则q 中的任一圈均是对称的。 证明：设q 中含有圈，不妨设 ，k1 _ 二：夕) 考鼬q _ 栅“案：。乜 即有m 。= k ，vs q o ，眠= 1 ，v q q 1 由假设知m 可分次，从而由引 2 0 0 2 年 中国科学技术大学硕士学位论文 1 2 理3 21 知m 为顶点分次的定义，：o z 如下： ，( u ) = i ，如果 眠m ；) 容易证明，为上的一个箭向函数事实上，如果。：u w ， 且j f ( ) = i ，由m 的构造有坛u = ( 且磊) ( 且缸j ) a i 嫩m ( i + l j ，即 ，( 叫) = i + 1 = ，( ) + 1 。从而由引理31 2 知是对称的口 综上所述，我们得到了本章的主要定理 定理3 2 37 设q 为有限箭图，k q 为相应的路代数，则下述命题等价 门，任意k q 一模均是可分次的； 俐q 中的任意圈均是对称的； r 圳在q 上存在一个箭向函数； 心j 任意k q 一模均是顶点分次的； 佑) 正则模是可顶点分次的。 证明：( 1 ) 兮( 2 ) ：引理3 2 2 ； ( 2 ) 号( 3 ) ：引理3 1 3 ； ( 3 ) 号( 4 ) ：设f ：q o z 为q 上的一个箭向函数，由于对任意k q 模m ，有m = 0e 。m ，令：m 。) ：=oe 。m ，则m = om 。) v e q ov e q o ，( ) = l i e z 为m 的一个分次对任意：s ( q ) t ( ) ，有，( t ( a ) ) = ，( s ( a ) ) + 1 由 o m = o e 。 ) j ，知o m 。) = 0 ，v i ，( s ( ) ) 而o 吩( 。扣) ) 垦e t ( 。) m m ，( ( 。) ) m s ( 。( 。) ) + l ，从而结论成立。 ( 4 ) 号( 1 ) ：显然。 ( 4 ) 令( 5 ) ：显然 ( 5 ) 号( 3 ) ：若k q 为顶点分次的，根据定义有向量空间的分解： k q = m o ) om o ) o m 2 ) o ，a ( i ) m ，) m 件j ) ，v i ，j 0 ， 且对任意u q o ，存在某个j ，使得岛七q m j ) 我们定义q 上箭向函数 f ：q o _ + z 如下：f ( u ) = j ，如果e 。q 慨j ) 从引理3 22 中的证明中可 看出，上述函数确为箭向函数 口 2 0 0 2 年 中国科学技术大学硕士学位论文1 3 注记3 2 1 j 事实上，对于满足定理中等价条件的路代数，a r ( k q ) = k q m o d 这是因为利用q 上的箭向函数，所有k q 模可以具有统一的顶点分 次，使得任意模同态均为零次映射 下面的性质从另一个角度给出了每个模均可分次的代数a 的一个充分条 件 命题3 2 4j 设a 为基的零次生成的分次代数，若存在不可分解的a 一模m 满足： 1 ) 顶、分文的； 俐零次生成的； 俐忠实的且a n n a ( m ) n q i _ m 则( 1 ) q o = uq ( o ，q ( o ) = u q oi 2 = 1 也即对任意a q l ，ago 佗n a ( ) v 为源点，) ，q o ) = u q oi 存在a q - ，使得v = ( o ) ，s ( a ) q ( o ) ) ，q ( m ) = u q ol 存在a q ，使得u = ( n ) ，s ( a ) q ( m 一1 ) f 到每个a 一模均是可分的，且具有顶点分次 其中，模m 称为忠实的是指对任意的顶点e q o ，e m 0 ，q ( o ) ，q ( 1 ) ，q ( m ) 为无交并 证明：设m = o 尬，由m 为顶点分次，我们可以令q ( i ) = e q oje m 尬) ，从而有q o = uq ( i ) ，且为无交并由m 为零次生成的，有 i e z 尬+ 1 = a l 坛= n 尬= a e m = a e m ( 1 ) o 0 i日le e q ( o n 0 l ，s ( a ) e q ( i ) m i + 1 = oe m = oe m i + l =o a m ( 2 ) e q ( 2 + 1 )e e q ( i + 1 )o q 1 ，5 ( n ) q ( ) ，t ( n ) q ( 1 + 1 ) 对任意的e q ( i ) ，a q l ，若a e m 0 ，则有t ( a ) q ( i + 1 ) ，这是因为如 果0 a e m a 1 尬= 尬+ l ，则0 a e m = t ( a ) a e m ( 。) 五+ 1 = t ( a ) m ， 从而t ( a ) q ( i + 1 ) 断言：q ( o ) = o 此只要给各个系数齐次式一个分次，我们便可得到m 的一个分次具体定义 如下：令x i m d ( 。) ，对任意系数齐次式，不妨设f = a l ( ，) z l + a 2 ( f ) x 2 十 + a s ( ，) z 。，a i i f ，我们令d e g ( a 。( ，) z 。) = d ( x 。) + d e g ( a 。( ，) ) 即可定义， 的一个分次这是由分次函数的性质保证的命题得证 口 引理4 1 2j 若代数a 中没有非对称圈，则对任意有限维a 模m ，m 上存 在一个分次函数 证明：设m 为任一有限维模，任取m 的一组生成元忸，x 2 ，z 。) ，且 z ，x 2 ，z 。) 满足：存在k i ，使得缸= e 锄， z l ，z 2 ，z 。) 满足的a 中的所有一线性无 关的系数关系式为： + h k 吼 虮 = = 足 ，il_，l_l【 2 0 0 2 年 中国科学技术大学硕士学位论文 1 8 f ，。= o 。( ，。) z 。+ 【 = a 。( 丘) z ，+ + a n ( f 1 ) x 。= 0 + n 。( 正) z 。= 0 设c 1 ，e 2 ，e t 为a 中的本原幂等元，则对 x l ，x 2 ，x 。) 满足的任一 关系式 = a l ( f d x , + + a n ( ) z 。= 0 ，我们有 = a l ( f d x l + + a n ( 五) z 。= 0 甘 ， l = e l a l ( f , ) x l = 0 2 = l ，i = e t a d , ) x f = 0 l = 1 n 五l = 郴d a ) e k ，钆= o ! = 1 n f i t = e 卿( ， ) 。h = 0 这是由于对任意i ，存在k 。，使得e k 。x 。= x i 又由于a 中没有非对称圈，则对任意的i ，j ，e 。a e j 必包含于a 的某个 齐次分支a 。中，从而上一方程中每个前的系数均为a 的齐次元，因此 。，z 。，卫。 满足的关系式均可化为系数齐次关系式我们不妨设 z - ，z 。，x n 满足的系数齐次关系式为 ，- ，2 ，m ) ，相应的集合为 0 _ 一，“。 ，函数 为f d j 。，d ，。 ，下面我们归纳定义出m 上的一个分次函数 ( ，) 取 ，令dh = d r ， ( ，) 任取办，不妨设为，2 ，使得n 如，任取z 0 。n 0 ，令，：= 一( d i ，( z ) 一d 1 ，：( z ) ) ，则可定义di i f 2 = d i ，。( x ) 一k f 2 ，对任意的 i f 。n i ：。，我们有d ( y ) = d i ，：( ) 一= d i ，】( ) 从而，我们便把d 扩充到了i f 。ui f 2 上 否则，存在y i 。n 如，使得d ( y ) = d i 2 ( y ) 一k f 2 d ，1 ( ) ，则有d j ，。( y ) 一 d ，( y ) d ，。( 。) 一d i “z ) ，即在a 中有非对称圈为： ，i，、，f、，【 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文 1 9 这同a 的假设矛盾 ( i i i ) 任取办，不妨设为厶，使得如n ( 0 。u ) 妒 ( 1 ) 如果如n0 。，则任取x i f 。nl f 3 0 ，令k h = ( d i 。( x ) 一 d j “z ) ) ，d ( y ) = d i h ( g ) 一，。，对任意的y 1 1 3 由( i i ) 知，对任意的 y h n 0 。，有d ( y ) = d ( y ) 一= d i “) ，若n 如，则对任意 y n i h ，有d ( y ) 2 d z f 2 ( 9 ) k f 2 下面说明d ( y ) = d r 。( y ) 一k f z 否则有d ，。( y ) 一k f 2 d 1 ，3 ( ) 一，由，2 ，k f s 的定义知，存在z i f 。n 如0 ，z ，a i f 3 0 ，使得k f 2 = d ，。( z ) 一d ，。 ) ，3 = d ( z ) 一d ，( z ) ， 从而有d z ，。( ) 一( d i ，。( z ) 一d i ，。( 。) ) d i f z ( y ) 一( d i ，3 ( z ) 一d 1 ，。( z ) ) 同( ) ， 我们可以说明这同a 中无非对称圈矛盾 ( 2 ) 如果ni f 。= ，则，3n 如，任取z i f an ，2 0 ，令 = ( d ( z ) 一d z ：2 ( z ) ) ，d ( y ) = d i f 。( g ) 一k f 3 对任意的g i f s ，我们只需说明 对任意的y ni f 2 ，有= ( d ( y ) 一d ，。( ) ) ，否则，存在y ni f 2 ， 使得k f 3 ( d ( y ) 一d z ，。b ) ) ，即( d ( x ) 一d i ，。( z ) ) ( d ( y ) 一d 1 ，。( ) ) 同( 1 ) ， 我们注意用，3 的表达式即可说明这也同a 中没有非对称圈矛盾 ( v ) 重复上面的作法，一直到使得0 。u u 满足对任意t 隹 1 ，2 ，s ) ，有hn ( ui f , ) = 咖设d 在u “上已经定义好了，任取 譬 f l ，止， ) ，重复( ) 到( i i i ) 的过程这样我们得到了 f l ，2 ，一，兀) 的一个划分 厂一，厂。) ，其中 厂，厂。 满足彼此之间的集合没有交， 对任意厂。，任取i f 。存在 ，使得0 n j g 妒且d 在 九，厂。 上已经定义好了；从而d 在 z 1 ，x 2 ，z 。 上也定义好了，这是由于d 在 厂一，厂。) 上的取值相互独立，若z x l ，。2 ，z 。) 一u ，则d ( x ) 可 取任意值从而命题得证 口 定理4 1 37 设路代数a 中没有非对称圈，则a 中的有限维模均可分次 证明：设m 为a 的任一有限维模，考虑j m 的补空间m o ，即令m = 厩oj m ( 作为k 一向量空间) 由于m o 可以生成整个m ，因此我们只需讨论 m o 中的元素的分次即可给出m 的一个分次任取m o 的一组基 。，z 。，z 。) 2 0 0 2 年中国科学技术大学硕士学位论文 2 0 由引理4 12 知m 上存在分次函数，又由引理41 1 知定理成立 口 4 2 有限维模均可零次生成的路代数 本节我们主要讨论对怎样的有限箭图q ，有限维k q 一模均为零次生成的， 即存在m 的分次： m = m o ) om 1 ) o ，满足m = ( k q ) m o ) 由引理 3 3 2 知q 中的任一圈均是对称的，特别地，q 中无有向圈本节我们首先 给出满足此性质的两个必要条件，然后证明它们也是充分条件 设q 无有向圈，令q ( o ) 为q