（基础数学专业论文）具有常余维数2k2v不动点集的（z2）k作用.pdf

具有常余维数2 七+ 2 v 不动点集的( z 2 ) k 作用 中文摘要 设妒：( 历) m ”一m ”是群( 忍) = 五，死，死i 砰= 1 ，正t j = 乃正) 在n 维光滑闭流形 扩上的作用，群( z 2 ) 由后个可换对合生成作用的不动 点集f 是m n 的有限个闭子流形的不交并若f 的每个分支具有常维数7 1 , 一r ，则 称，具有常余维数r 令最。是具有下述性质的未定向的n 维上协边类锄构成的 集合：存在个代表元m ”以及群( 易) 在m n 上的作用，使得作用的不动点 集f 有常余维数r 矗= 。，靠，t 是未定向上协边环m d 。= 。，o 肘g k 的理 想在本文中，我们通过巧妙地构造流形吖，使其所在的上协边类不可分解，从 而可以作为上协边环m o 。的生成元，并在m 上定义适当的( 历) o 作用使其不动 点集f 具有常余维数r ，决定了未定向上协边环m d 。的理想七知 关键词：上协边类；( - 7 2 ) 作用；不动点集：射影空间丛 ( z 2 ) k - a c t i o n sw i t hf i x e dp o i n ts e to fc o n s t a n tc o d i m e n s i o n2 + 2 v l e t ：( 2 2 ) 。m ”_ m ”d e n o t eas m o o t ha c t i o no ft h eg r o u p ( z 2 ) = 正，死i 砰= l ，正乃= 乃正o nac l o s e d m d i m e n s i o n a lm a n i f o l dg n h e r e ( 汤) 。i sc o n s i d e r e d 嬲t h eg r o u pg e n e r a t e db ykc o m m u t i n gi n v o l u t i o n s t h ef i x e d p o i n ts e tf o ft h ea c t i o no f ( 2 2 ) o nm “i sa d i s j o i n tu n i o no f c l o s e ds u b m a n i f o l d s o f p w h i c h a l e f i n i t e i n n u m b e r i f e a c hc o m p o n e n t o f f i s o f c o n s t a n t d i m e n s i o n n r , w es a yt h a tfi so fc o n s t a n tc o d i m e n s i o nr l e tj ： d e n o t et h es e to fn d i m e n s i o n a lc o b o r d i s mc l a s s c o n t a i n i n ga r e p r e s e n t a t i v em ”a d m i t t i n ga ( 易) 一 a c t i o nw i t hf i x e dp o i n ts e to fc o n s t a n tc o d i m e n s i o nr 矗= n ，i sa ni d e a l o ft h eu n o r i e n t e dc o b o r d i s mr i n gm o = n om 仉i nt h i sp a p e r , w ed e t e r m i n e 贯知b yc o n s t r u c t i n gi n g e n i o u s l yi n d e c o m p o s a b l em a n i f o l d sm ，w h i c hc a nb e g e n e r a t o r si nm o 。，a n dd e f i n i n ga p p r o p r i a t e ( z 2 ) a c t i o no nm k e y w o r d s ：c o b o r d i s mc l a s s ；( 2 2 ) k - a c t i o n ；f i x e dp o i n ts e t ；p r o j e c t i v es p a c e h l n d l c 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文具有常余维数2 2 + 知不动点集的 ( z 2 ) 作用，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创 性成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者c 签名，：歹杏训p 辱 谰年j 月哆日 学位论文原创性确认书 学生奎麴婴所提交的学位论文具有常余维数2 七+ 2 v 不动点 集的( z 2 ) 作用，是在本人的指导下，由其独立进行研究工作所取 得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，该论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。 指导教师( 签名) ：丁雁鸿 田年5 月”日 第一章引言 设：( 易) m “一m “是群( 汤) = 噩，马，疋| 砰= 1 ，正乃= 乃正) 在光滑闭沈形胪上的光滑作用，其不动点集f 是胛的有限个闭子 流形的不交并若f 的每个分支具有常维数t l r ，则称f 具有常余维数 r 若n 维未定向协边类o l n 的一个代表元肘“上有不动点集为常余维数r 的( 历) 光滑作用，则记a 。靠p 显然我们有j = 女是耒定向上协边群m 0 k 的 子群，l ，0 = 。 r 最，k 是未定向上协边环m o 。= n o m o 的理想易证 矗 露 + l ，墨i j & j ：= ， $ t o n g 在文章 1 1 中提出了计算最l 的问题对于这一问题，c o n n e r 和f l o y d 在仞中已经证明了最l = ( o ) s t o n g 在1 1 1 中计算了最l ，c a p o b i a n c o 在文 3 1 , 4 1 中决定了以l 和矗l ，而矗l ，卫。，曩l ，曩l 则分另0 由1 w a t a f s , w a d a 6 1 , 吴 振德f 刀和k 如曲j f 研所决定 1 9 9 2 年p lq p e r g h e r 9 开始考虑七 1 的情形他证明了以= ( o ) ，只 包含所有维数不小于2 的类r j s h a k e r 在f j 四中讨论了r 矿的情形，证明 了当r o m o 为未定向上协 河北师范大学硕士学位论文 边环， m i 表示m 所在上协边类这里x ：m d 一易表示模2 欧拉示性数全 文均用模2 系数 在本文中，我们通过巧妙地构造流形m 。使其所在的上协边类不可分解从 而可以作为上协边环m o 瑚生成元，并在m 上定义适当的( 磊) 作用使其不动 点集f 具有常余维数r 决定了未定向上协边环m d 的理想j 譬知主要结果如 下： 定理j 设o f 七，则t ，譬掣由所有维数大i f - 2 + 2 的1 - 协边类及分解武 中每一因子的维数都小于2 i t 的2 + 掣维可分解协边类构成 定理2 设o 2 + 1 4 ，则爱1 2 = m o 。 注：由于证明方法类似，甘羊r n 2 。, k + 2 ”( 2 4 2 ，r m r m l n 0 。则对n t - “，l 2 | 一1 ，在靠中存在不可分解元霉。 文f 2 0 j 中定义了广义d o l d 流形：对拓扑空同x 及正整数m 。定义s ，i x x 上的对合t 为：r ( u ，z ，f ) = ( - - u ，y ，将商空间s ”x xx x t 记为 p ( m ，x ) 若x 为n 维流形，则p ( m ，x ) 为m + 2 n 维流形并证明了 引理2 7 1 2 0 li f ( m ，m “) 】为m o 。中的不可分解元当且仅当【 p 】不可分解 且 ，、 f m 棚_ 1 1 兰l 删2 m 一1 引理z 9 2 1 l 若【m “l 不可分解且n r h 2 】，则【 俨j 譬以p 引理2 妒1 】设( 历) 作用于流形l p 且8 ( h ， ) 【 铂o ，则 p 的不动 点集的某一分支的维数不小于i a l 2 勺+ + x , 2 。】 为了应用引理2 9 的方便，下面给出一种计算示性数的方法： 设u = ( i l , i 2 ，一，) 为正整数n 的一个分拆，翟1 i j = n ，令u = ( ：，i ：，一，f ：，1 ) 为n 峨 一个分拆，记w = ( i 1 ，2 ，i 。，i ：，i ，m ) 为n + 札的一个分拆，如果畸 是i ，的一个分拆( 1 j m ) ，则称。l “乜岍。为u 的加细 给定一个闭流形m “，u = ( 1 1 ，如，) 为n 的一个分拆，钆( ) = 壤锈i 2 壤是 关于r 个变量t l ，t 2 ，一，0r n ) 的最小对称多项武则乱( t ) 可表示为基本 对称多项式盯l ，c r 2 ，矗的多项武，不妨设乱( z ) = p ( o r l ，观，“) ，我们 用m “的第j 个s t f c 岔f 1 v h j n c y 类屿( m ”) 代替乃( 1 j r ) ，可得上同调类p ( t e ，l ，w 2 ，摒 记其为钆( m ”) 钆【m “】表示与钆( m “) 对应的示性数 引理z j d 2 2 ：j m 叫如果m 2 一1 ) 是m o 。的生成元，则 。j0 如果u 不是( i l ，i 2 ，i m ) 的加细， 班一馏d 。1l 圣口果“，：( 饥珏) 若w ( u ”) = h ：l ( 1 + a d ，印m “的全s 如f e j w h i t n e y 类能分解成一次项因式相 4 河北师范大学硕士学位论文 口r ) n r ，划 如果r m 如果r i 引理2 j j 陋；3 2 l 对于+ 1sn 2 + 2 一1 ，存在不可分解元j 矗1 引理2 - j2 i 母5 l 对2 t ns2 + 2 ，k22 t l 为偶数，存在不可分解 元舷2 5 如 c ； 口 口 钆 钆 ，_l_，l-l_ = 、j n m 则 钆 武形的乘 第三章 余维数为2 。+ 2 v ( 0 2 v 2 h + 2 l ，0 z k ，且n 不具有形式2 u 一1 ，存 在不可分解元j 拳 证明当z = 1 。2 ，3 ，k 一1 ，k - 2 时，结论成立( 参见f j3 j 乳f j 研 2 3 1 , 2 4 d 以下考虑4 z 七一3 的情形 说明：如果f = k 一时，满足2 + = 2 + 2 k - b ，则当k = k o + 1 ， + 2 ，k o + 3 时，结果已包含在文献“3 j ，“5 土“8 7 的结果中因此在证明过程 中，只考虑k k o + 3 的情形例如，当z = 2 k - a 时，只考虑k 7 的情形 f 鲈+ 2 3 ( 2 一1 + 1 ) + 2 由引理2 j 知不可 分解，由引理2 4 可知舞掣 但，2 + 2 礼 2 知+ 2 ，且n 2 + 2 ”1 “ n ls 七) ， 当2 + 掣 n l 0 当2 七+ 1 n l 0 由于n 不具有2 u 一1 的形式，所以等也不具有2 t i l 的形式由f j 毋5 1 1 , 可 取2 = 产维不可分解元x j ：一设 扩为x 的代表元，使得在 f 上有( z 2 ) 6 河北师范大学硕士学位论文 作用供中可交换对合分别为q ，z ，咒 其不动点集为p ，且d i m f = n - j 2 l 一 ( 2 一1 + 2 j 一1 ) 令= f p ( 2 t l ，】，由引理2 7 知。不可分解在铲1 mxm 上定义可 换对合正，乃，致如下： 乃( “，马y ) = ( 札，p ) ，可( y ) ) 噩( 牡，z ，) ；( ( z ) ，z ( f ) ) 孔( t ，霉，可) = ( 牡，疋( z ) ，( 鲈) ) 这些对合都与t 可交换，因而在【p ( 驴t ，m ) 】上导出相应的对合，其不动点集为f = 铲1x ，”f t ，$ t d i m f = 2 “1 + 2 睁n - - 可2 n l 一( 2 一1 - i - 2 f 一1 ) 】= 一( 2 + 2 。) 故 存在不可分解元z 。= 【p ( 2 ，l t ，m ) 1 靠 沏22 + 2 此时，由于余维数r = 2 + 2 ，因而由引理2 6 可知，存在不可分解的 上协边类z 。嘏誓 - 由于n 3 j f j 乳f j 孔“鲫中决定了余维数为2 + 2 ，2 + 4 ，2 + 6 ，2 k4 - 8 的 情形，引理3 ，2 _ 3 ，职考虑8 2 + 2 v 可得警2 一1 + ”因而由“0 _ 矗u 可取孚维不可分解元x 震；：”设m 为x 的代表元，使得在m 上有( 历) 作用，其不动点集为f ，则出m = 孚一( 2 一1 + ) 设z ，i = 1 ，2 ，七为m 上的( z 2 ) 作用 7 河北师范大学硕士学位论文 令= 【p ( 1 ，m ) 】，由于m 是不可分解元x 的代表元且 ( 1 琶。1 ) = ( 詈) 甜。 由引理2 7 知不可分解在s 1xm xm 上定义可换对合乃，t 2 ，疋如下： 五( t ，。，y ) = ( u ，q ( z ) ，石( ) ) 乃( “，z ，y ) = ( “，z ( z ) ，e ( ! ，) ) 死( t ，z ，y ) = ( t ，t i ( z ) ，疋( ) ) 这些对合都与丁可交换，因i 面在p ( 1 ，m ) 上导出相应的对合，其不动点集为f = s 1x f t ，且d i m f ；n 一2 一2 v 故存在不可分解元z 。= 【p ( 1 ， f ) 】 最知 - 引理3 3 设2 萨，因而由引理2 6 可知，存在不可分解的 上协边类七知 ( 乃k z + 1 ，2 + + 1 n 2 + 2 n = 2 i + l 取如= 僻p ( 3 ( v + 1 ) + 2 ，2 一3 v l ；2 一3 ) l ，由引理zj 知z 。不可分解， 由引理2 4 可知z 。瑶掣 ( i d n = 2 + 2 + ( 2 七一1 一1 ) 8 河北师范大学硕士学位论文 取= 【r p ( 3 ( v + 1 ) + 2 ，2 1 + 一3 口一1 ；2 一3 ) 】，由引理2 j 知不可分解， 由引理2 4 可知z 。露2 廿 ( ) 2 + 2 + 1 n 2 + 2 且n 2 七+ 1 和n 2 + 掣“( 2 i 七一1 一1 ) 当2 k + 1 n m 1 当2 + + ，1 2 他m 1 由于n 不具有形式2 u 一1 ，故3 = ；竺也不具有形式2 u 一1 ；且由n 2 0 + 2 v 可 得2 = 产2 k - i + 口因而由“仍ij j ，可取2 = 产维不可分解元x ，：k ：- - 罂i + 9 k i j x m 为x 的代表元，使得在m 上有( 忍) t $ - i 啊，其不动点集为，d i m f = = 笋一( 2 扣1 + ”) 设霹，i l ，2 ，七为 彳上的( 汤) 作用， 令z n = 【p ( 2 “，m ) 】，由于m 是不可分解元x 的代表元且 ( 2 “三竺1 叫) ；t 删。 铲m 一 由引理2 7 知z 。不可分解在铲m m 上定义可换对合死，乃，n 如下： 五( u ，z ，”) = ( u ，石( z ) ，墨( ) ) 疋( u ，z ，”) = ( 牡，z ( z ) ，z ( ) ) 瓦( “，z ，”) = ( “，( z ) ，( y ) ) 这些对合都与t 可交换- 因而在p ( 咖，m ) 上导出相应的对合。其不动点集为f = s 2 p f t ，且- d i m f = n - 2 - 2 v 故存在不可分解元= 【p ( 2 “， z ) 】 露知 口肚= z + 1 ，2 七+ 掣+ 1 t i 鲈+ 2 9 河北师范大学硕士学位论文 当2 + 2 f + 1 ，i 仇1 由于7 , 不具有形式2 l 一1 。故华也不具有形式2 t 一1 ；且由佗 2 k + 2 v 可 得2 = 产2 一1 + 因而由f j 仍王j j ，可取堡2 产维不可分解元x j ：k ：- 掣x + v ，设m 为x 的代表元，使得在肘上有( z 2 ) 作用，其不动点集为p ，见 d i m f = - 字- - ( 2 一1 + t ，) 设z ，i ；1 ，2 ，后为m 上的( 磊) 作用 令如= | p ( 沙，m ) i ，由于m 是不可分解元x 的代表元且 ( 2 “= 。1 ) 耐z 由引理2 1 7 知z 。不可分解在铲“m m 上定义可换对合五，疋，瓦如下： n ( u ，z ，) = ( u ，巧扛) ，( f ) ) 疋( u ，z ，f ) = ( t ，e ( z ) ，z ( 掣) ) 死( ，z ，y ) = ( u ( z ) ，( ) ) 这些对合都与丁可交换，因而在p ( 2 “m ，m ) 上导出相应的对合，其不动点集为f = s 2 f ，f t ，且d i m f = n - 2 - 2 v 故存在不可分解元= 【p ( 2 ，m ) 】 j ：“ 在本节以下引理3 4 引理3 趿雎仲： 设2 f 2 v 2 l + 1 ，鲈+ 2 v r 2 h l 上 l r l = 2 奄+ 掣- i - 2 “1 + 2 “2 - i - + 2 ，m 1 ，l 7 1 , l 砌 n 仉2l 引理3 4 设n ，m ，s 意义如上，则当m s 时，则存在不可分解元 露知 1 0 河北师范大学硕士学位论文 证明此时必有n 一2 t “2 + 2 v ，证明方法同引理3 3 ( 俺上 引理3 5 设n ，m ，s 意义如上，则当m s 且存在j 1 ，2 ，m l ，使 得唧 r j 时，存在不可分解元爵知 证明此时必有n 一2 一2 + 2 v ，证明方法同引理3 3 ( 卵( 略 情形 注：当七f + 1 时，没有确定不可分解元的存在性的维数n ，只有下面两种 ( d n = 2 + 2 1 ( 动m s 且唧= r j ，l s j m 一1 1 1 第四章定理的证明 4 1攻掣( o 2 + 2 。的可分解元，以及2 + 2 。维上协边类墨。，m 1 ， 2s i l 如i m ，i l + i 2 + + = 2 + 2 j i l + i 2 + 4 - i m22 + 2 + 2 ( i 兑。 2 + 2 t 的情形 此时，由引理3 j 有z t ，警。又由j 拳一为理想可知必有 x i t 嗣2 甄。聍， ( 2 。 2 一1 的情形 由2 i l 曼i 2 i m * - f 知i j 2 一l ，j ；i ，2 ，一，m v a u o ； 5 1 1 有z i ，l ，0 选取 ，使得2 i l + i 2 + + i h 2 + 磐，e i t + 2 + + i + i + l 2 + 2 1 当2 f i l + i 2 + + i h 砂+ 掣一l 时，有z - 墨。以k j ：xc j 二譬2 十”斗噜“，且1 2 鼍+ 2 一( i l + i 2 + + 如) 2 k + 2 l 一( i t + i 2 + + 如) ，因而z t h + l z l m z 一一旬“2 和”“ ，所以有 颤。d l i 4 i a + + “呓加。一时“订c 礞埘 1 2 河北师范大学硕士学位论文 当 i l + i 2 + + i h = 2 + 掣一l 时，由于此时t l i 2 ，一，“中至少有 一项为奇数，设y o i j o ，由“雌n 知z 虑，因而有。i ，x i 。z “2 。2 ， 又由f j 毋5 1 j 有z “+ 。最t ，因此有 瓤。筑。 + 。z 正! 掣一2 蠢cz 掣 ( 观一1 2 h 一1 ， 由f j 仍王j j 有墨。一。z 二+ 掣- 1 z ；1 榭，因此有 一k 蓐。蓐州一c 嚣2 ( 鳓一l 2 + 2 f i 。+ 1 ，且2 - 4 - 2 l i m + 1 2 + 1 2 ，由f j 仍5 1 1 g z 。- z k 一，z ，一m + 1 ，又由“仍王j j 及 引理2 jj 有z 。z z 因此有 。z ，i 贯牡“z ：。ct ，掣 ( ：f j 班。一l 2 一1 ，1 t i 。为偶数 取引理2 j 2 中的不可分解元玑。z l 则 而i 一x i m = z h - x i m - i ( z k + 玑m ) 4 - 翰i x i m - i 玑m 由 1 + + i m - l 之2 + 2 + 2 一i m 2 。2 + 2 l + 2 一i 仇掣+ 2 2 2 所以有墨。z h 一。i ，警掣+ 2 一因此有 墨。z i m - t 露舢2 4 z ：- 2c 壤哆 受f f f - x 。x i 。( z - 4 - 玑。) ，因为z 。4 - 。为可分解元，故可设 墨仉4 - 玑m = 巧i ，j ls s 丘 i m 2 + 2 f 1 3 河北师范大学硕士学位论文 此时墨。- z k 一。( + ) 必为情形( 城情形( 3 砸) 或情形或情形( 卵之 一如果属于前三种情形，则有。x i 一。( 甄。+ ) ，搿，如果属于最后 一种情形，可仍用上述方法，最后必可化为情形( 刁或情形( 劲或情形( 3 ，之 一因此有 z 1 z 。j 芝掣 2i l + i 2 + + = 2 + 2 l + 1 若2 i m 2 + 2 ，由f j 仍i j 王及引理2 1 1 ，有k z ：一1 ；又由2 i l i 。一l 2 k 2 u o ；5 1 1 有。互k 一。z 0 + k - - i 因此有 ”z i m - s z r “如以c 嚣 若i 。 2 + 时有z h z i 。z t 。七 ，i l + i 2 + + i m = 2 + 2 f 若 。 2 ，f l h l o ；5 1 1 有z 。也，j = 1 ，2 ，m ，因此 瓤一。以i l 拈i 2 喙c 嚣掣 若 。2 。，则由引理2 9 可知z n z 虹忍。一。魏。譬t ，謦掣x e a 引理2 8 知z 2 + 2 隹 礴薯f 其次考虑形状为名l q 。矗的协边类，其中m j 1 ，2 s 呓 磊，+ 呓+ + 磊，= 2 + 2 f ，且磊，2 设畸= i l ，呓，磊。 。不妨设m ls 讹f l i p ，则 河北师范大学硕士学位论文 咒t ( 跺- z ) = 鼢( z i ) + 名2 t ( z ) = 1 + o = 1 ，由引理2 9 知，温l z z 。晶譬露； 综合以上讨论可知，所有维数大于2 + 的上协边类都属于t ，警，；舅2 k 蓦k 由 所有适合条件：分解式中每一因子的维数都小于2 的可分解元构成 4 2攻2 l 2 ( o 3 时，对于n 2 + 掣一2 且几不具有形式2 “一1 ，存在 不可分解元j 拳一 证明：当n 为奇数时，取如引理3 z 当n 为偶数k n 2 + 2 时，取z 。如引 理3 3 当n = 2 + 2 t 时。取z 。如引理2 1 2 - 定理2 设 z o ，则，警2 - 2 由所有维数大于2 + 一2 的上协边类及分 解式中每一因子的维数都小于2 2 的2 + 2 2 2 维可分解协边类构成 证明：f = 1 ，2 ，3 时，结论成立f 见1 1 1 h 1 3 1 1 1 7 1 ) 以下证明七 l 3 的情形 取耽= 【r j p ( 2 ) 】，则x ( z ) = 1 对3 2 + 掣2 ，选取z 。如引理4 2 1 我们首先考虑形状z i 。z 。：甄。，m 芝2 ，2 l t 赴i 。，i l + i 2 + + t 。 2 + 2 一2 的* - f 分解元，以及2 + 2 f 一2 维上协边类q i z i 2 z i 。， m i ，2 i l 如i m ，i l + i 2 + + i m = 2 七+ 掣一2 j i l + i 2 + + i m 2 + f di 。 2 + 2 一2 的情形 此时，由引理4 2 j 有z h t ，搿掣，又由嚣岔一2 为理想可知必有 z 如聍扯2 1 5 河北师范大擘硕士学位论文 仞i 。 2 k l 的情形 由l i l i 2 i m * - f f 知i j 2 k - 1 ，j = l ，2 ，m 由“o ；i j j 有 如选取h ，使得掣一2 i 1 + 2 + + “ 2 + 2 t - 2 ，且i 1 + i 2 + + “+ i l 2 + 2 i 一2 当一2 i 1 + 2 + 十氟 2 k + 2 t 一2 一i 时，有蔬l 戤 穗吃c z 譬如扣+ “，且1 掌+ 2 l 一2 一“l + 如十+ i d 2 ，因而有 + 。聋k j z k + 2 l 一2 一m 柏。“ j ，所以 戤。以h 戤 + 。z 虹+ ”州“j 警妒以一m 州2 + ”+ “c 聍掣 当2 f 一2 i l + i 2 + + i h = 2 j , + 2 ，一2 1 时，由于此时 l ，i 2 ，“中 至少有一项为奇数，设为，由f j 取i j 咖z 如，因而有z n 叠。z “ ，鬻2 。2 2 ，又由f j 毋i j j 有以+ 。正k ，因此有 而x i 。t ，拳扯扣2 吃c 疗牡2 2 一1 2 一1 因为2 一1 + 2 1 - 1 1 2 ，所以，由“仍王j j 知，卫；m 一。z 名1 + 2 1 且z h t ，囊1 + 掣。，因此有 y e i m - l 。k 蓐1 + 刈。呓2 “c 呓彬- 2 a oi 。一l 2 + 一2 一( 一1 ) ，f l _ 2 2 + 2 f 一2 一( 如一1 ) 2 由f j 毋i j 伽黾。z t 。一。z 掣一2 一一”，又 由引理2 j j 及“仍王j j 知，z k z 二因此有 。x i m - | z 一- 2 - k - 1 以i m 七- 1c ，掣以 1 6 河北师范大学硕士学位论文 ( ) i 。一l 鲈一1 ，且为偶数 取引理2 j 2 中的不可分解元k z l l = l 戤m - i ( + ) + 墨l x i m - i 由i 1 + ，+ 一l 2 七+ 一i m 2 ，2 2 k + 掣一i m + 1 2 七， 及【l o ；5 ，1 1 知z 。l z h 1 j ：一钿圜既有 8 。z k 一。弧。j 拳掣一z ；一2c 船，一2 对于岛，而一。( 。+ 瓠。) 。因为甄。+ 。为可分解元，故可设 z “+ 挑价= 巧i ，j ls 五 k 2 + 2 l 一2 此时。“一，( z k + y i 。) 必为情形口减情形或情形伪伍威情形口) 之 一如果属于前三种情形，则有z z i m - i ( z ，。+ 鼽。) 七掣如果属于最 后一种情形。可仍用上述方法，最后必可化为情形( 2 ) 或情形p ) 或情形之 一因此有 x i l 聍扯2 2 i l + i 2 + + i m = 2 i + 2 l 一1 若2 i m 2 + 2 一2 ，由f j o ；5 , 1 汲引理2 知，z i 也- 1 ；又由2s i ls i 。一1 2 及f j 仉i j j 知，x i l x i 。一i z 譬+ l m - 因此有 z 矗。一。瓤。，= “m “如1c 瑶， 若i 。 2 + 掣一2 时，有置。z 缸墨。 j 拳牡2 3 - i l + i 2 + + = 2 + 2 一2 若 2 ，由口毋i j j 知，正i ，j = l ，2 ，- 一，m ，因此 缸。如壤壤c 嚣牡2 若 。2 k ，则由引理2 9 知，黾。z 如。一。x t = 聋j 拳掣一2 又由引理2 8 知z 2 - + 2 l 一2 聋 。桫2 t , + 榭2 1 - 2 , 其次考虑形状为名l z z 的协边类，其中m ，1 ，2 i l 磋 编，以+ 谚+ + 该，= 2 + 2 | 一2 ，且穰，2 设叼= f 碍，呓，一，磊) ，不妨设m lsr 砌sm ，则 。( e j l l 。t ；。矗) = t ( 2 ：- 1 x i ：t 。岛) + 名2 咒- ( z z ) = 1 + 0 = i ，由引理2 9 知，；l 鼍z 磊隹u j 2 2 2 - k + + 掣一- 2 - 2 综合以上讨论可知，所有维数大于2 + 一2 的上协边类都属于z 2 k k + 2 。2 ， 且k + + 2 1 。- 2 t 由所有适合条件：分解式中每一因子的维数都小于2 的可分解元构 成 4 3 最2 ”( 2 3 2 v 2 4 2 ) 的决定 当2 3 铲+ 2 4 时，取如引理3 3 当n = 2 + 2 4 时，取z 。= 【r p ( 1 5 ，1 5 ；2 一1 3 ) 】因 。n - 1 ) + ( 1 2 - 1 3 - 2 ) ( 一0 ) 兰- 一 由引理2 1 得，是不可分解的 下证加 在兄p ( 1 5 ) 上建立( 汤) 2 作用，其中t j u = 1 ，2 ) 作用在r p ( 1 5 ) 上为： 丑由1 ，y 2 ，y a 6 l = i - y l ，一蛐，蛐，y a 6 l t 2 y l ，钝，y 1 6 】= 【- y l ，一舶，y 5 ，y 8 ，- y g 一y 1 2 ，讥3 ，掣1 6 】 则，乃) 在r p ( 1 5 ) i - 的不 点集为4 个r p ( 3 ) 令( z 2 ) o 作用在其它上是恒同， 且2 2 + 2 2 + 2 七1 322 七一7 2 + 1 2 ，且n 不具有形式2 “一1 ，存在不可分 解元z 。露” 证明同引理4 3 j 定理3 设七5 ，则t ，警1 0 由所有维数大于2 + l o 的上协边类及分解式中每 一因子的维数都小于2 的2 + 1 0 维可分解协边类构成 证明：( ) 取z 2 = 【r p ( 2 ) 】测x ( z 2 ) = 1 ，x ( z ；) = 1 由u o ；5 t j 知z 2 置 例对3 s ，l s2 + 2 ，且n 不具有形式2 ”一l ，选取不可分解元使得x ( ) = 0 陌则用+ 孝代替土当2 r m i n ( n ，2 一1 ) 时，1 1 0 ；5 1 1 得r x , , 由f j 得z 2 - + l 或，由f j 2 j 得z 弘+ 2 壤n j 警1 ； 1 9 f c ) 对鲈+ 3 ，l 2 k + 6 ，选取不可分解元如f j 3 - j6 j 满足j 蒹1 ； 对2 + 7 ，i 炉+ 8 ，选取不可分解元如“7 j 满足t ，篁； 对炉+ 9 2 k - i - 1 0 遗取不可分解元如f j 观满足8 ； 对，l 鲈+ 1 0 ，选取如引理4 3 1 我们只须考虑形状为戤，。h ，m 2 ，2 i l i 2 ，i l + i 2 + + 2 + l o 的可分解元 j i 1 + 如+ + i m 2 量+ 1 0 “jk 2 k 的情形 若 2 + 1 0 ，由有。t ，搿1 0 ； 若= 妒+ 1 0 或者镛= 鲈+ 9 ，则t 1 + 如+ + t 。一1 2 ，由f t o ；s t l q z 。瓤，石一。 兄，由知戤。聍8 ，因此翰。霸。吃，鬻8c ，” 若= 2 七+ 8 或者i m = 掌+ 7 ，则t l + 1 2 + + l m l24 ，由f l o ；5 i j 有z 1 茹b 。z h l 以t ，由渺墨。疗6 ，因此翰，而。如嚣6c 瑶” 若2 。+ 62i m 2 。+ 1 ，则i 1 + i 24 - - i - i m - i 2 知+ 1 0 l m ，且4 2 + 1 0 一i m + 1 2 七+