（基础数学专业论文）一类二阶微分方程有界解的讨论及其应用.pdf

中文摘要 本文主要讨论了一类受阻力的微分方程 + g ( z ) x 7 + f ( o t h ，x ) = 0( 1 1 ) 的动力学行为，其中阻力为 ( t ) 首先对方程未来有界解的知识和相关结论给出 证明，并运用拉回吸引子的理论证明了方程有界解的存在性及在空间日上的稳定 性并且，我们还会对物理学中单粒子运动方程 z 7 7 + 口z 7 + s i n ( x ) = e 解的情况展开详细讨论，其中a ，e 0 ，这里它是作为理论的应用来考虑的从而构 成对方程( 1 1 ) 及其应用研究的的完整论述 第一章为绪论，主要介绍受阻力作用的二阶微分方程在物理学中的背景以及 本文主要内容 第二章主要给出了一些相关定义和基本定理及推论，我们将利用这些工具研 究非线性微分方程( 1 1 ) 解的存在性 第三章讨论了方程( 1 1 ) 满足一定条件下有界解的存在性，稳定性及其证明 第四章从一个实例入手作为主要理论结果应用方面的研究 关键词：有界解；二阶微分方程；拉回吸引子；相柱面 a b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，w eg i v es o m ep r e c i s ed e s c r i p t i o n so ft h es t r u c t u r ea n db e h a v i o ro f b o u n d e ds o l u t i o n sf o rn o n a u t o n o m o u ss e c o n d o r d e re q u a t i o n ： z + 9 ( z ) z 7 - 4 - f ( o t h ，z ) = 0 w i t hc o m p a c tb a s es p a c eh a n dd r i v i n gs y s t e mpi nc a s ef ( o t h x ) i ss t r i c t l yd e c r e a s i n g i nzo ns o i n ei n t e r v a l ( n ，6 ) t h es t a b i l i t yo ft h eb o u n d e ds o l u t i o n sw i t hr e s p e c tt o p e r t u r b a t i o n si n i nt h es e c o n dp a r to ft h ep a p e r ，w ew i l lt r yt oe s t a b l i s hs o m ea n a l o g o u sn e wr e s u l t s f o r ( 1 1 ) b yd e v e l o p i n gs o m ee l e m e n t a r yt e c h n i q u e si n 9 】， 1 0 ， 1 3 】a n d 1 5 ，c o m b i n i n g w i t ht h eb a s i ct h e o r yo fp u l l b a c ka t t r a c t o r sf o rc o - c y c l ed y n a m i c a ls y s t e m s w ea l s oe s t a b l i s hs o m es t a b i l i t yr e s u l t sc o n c e r n i n gt h es t r u c t u r eo fb o u n d e ds o l u t i o n s t h r o u g h o u tt h ep a p e r ，w ew i l la l w a y sa s s u m et h ee q u a t i o ns a t i s f i e st h ef o l l o w i n g s t r u c t u r ec o n d i t i o n s ： ( f 1 ) ：g ( x ) 6 0 ，a n dg ( z ) i sl i p s c h i t zc o n t i n u o u s ( f 2 ) ：y ( o t h ，z ) i sc o n t i n i o u sa n ds t r i c t l yd e c r e a s i n gw i t hr e s p e c tt oz ( f 3 ) ：( h ，d ) i sac o m p a c tm e t r i cs p a c e hi sm i n i m a l ，m o r e o v e r ，o t h = 日，i e v h ， a t h l t r ) = h i nt h et h i r ds e c t i o nw ew i l ld e s c r i b ea ne x a m p l eo ft h ea b o v et h e o r e ma n dc o n c l u s i o n s a tl a s t ，w es u m m a r i z et h er e s u l t so ft h ew h o l ep a p e r k e yw o r d s ：b o u n d e ds o l u t i o n s ； s e c o n d o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；p u l l b a c ka t - t r a c t o r ；p h a s ec y l i n d e r 一 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：旅确掮 签字日期： 砂孑年岁月z 歹日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫鲞苤鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权墨鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：次确吱琶 导师签名：学位论文作者签名：彼朗玄犰导师签名： 签字日期：脖 岁月塔日 签字日期：矾学年，月“日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 问题背景 在科学研究，和与我们生活息息相关的领域中( 如同步发动机，一些实 际应用工具如电动机和交流发电机等) ，广泛存在一些应用二阶微分方程的 有关理论来解决的实际问题，而它们可以转化为受阻力的二阶微分方程这 样的同一类数学问题常见的例子有如常转动力矩作用下具有线性阻尼的 摆，如果以m 记这个常力矩，我们将得到摆的运动方程为： ，絮+ 6 掌+ 邺s i n o ：m o 其中，为摆的惯性矩，b 为当角速度等于f 时受到的阻力矩，引入新的独立 变量下= 平，可将方程化为如下形式： 尝+ q 面d o + s i n o p ：0 0 ( 1 1 ) i 万+ q 石+ s 一2 【1 l j 其中口= 而b 菰 0 及p = m m g o 。 0 同步马达及并联发动机的运行问题，也可以转化为这种方程来研究在 同步马达的情况中，0 表示定子磁场方向与转子磁场方向间的夹角，此时m o 为负荷加给马达的力矩( 我们假定负荷是不变的) ，因为从负荷来的力矩使转 子转动减速，这里和摆的情况一样，我们将力矩写在方程右边并给以负号，这 时如果转子磁场落后于定子磁场，我们应取0 为正，除去负荷力矩以外，转子 还有阻力和电阻尼产生的阻力矩，这种力矩假定是和角速度成正比的，因为 这些力将阻碍运动，所以在方程右端项一6 磐来表示，且b 0 ，但除了负荷力 矩和阻力矩以外，转子上还作用着转子磁场和定子磁场的相互作用产生的力 矩，这种方向恰好是使角度0 减小的方向( 使落后的转子加速) ，因而，我们可 以记这一力矩为一，( 口) ，且，和0 具有相同的符号，当0 等于0 时，亦等于0 我们现在可以令所有力矩的和等于惯性矩与角加速度的乘积，得到： ，万d 2 0 = m o 一6 塞- ，( 们 至于表征转子与定子磁场相互作用的函数f ( e ) 的形状，则在一定的简化假设 下，这个相互作用可表示为正弦类关系式，以s i n o 代替，( 伊) ，我们得到的方程 与( 1 1 ) 完全类似 第一章绪论 在发电机和其他机器与公共电网并联运行的情况中，同样也存在类似的 方程只不过0 和f ( o ) 代表的意义不同而已 值得注意的是，这些问题都可以通过变换转化为类似于l i 6 n a r d 方程的 形式，但是却不能通过l i 6 n a r d 定理的方法来确定其极限环的存在性和唯一 性，尤其是( 1 1 ) 中p 变为h ( t ) 时，这时情况将变的更加复杂，可喜的是在这方 面的研究已经取得了很大的收获，得到了许多完美的结果在 3 1 ， 4 】中关于动 力系统： z “+ 9 ( z ) z + ，( z ) = h ( t ) ( 1 2 ) 在夕( z ) o ，( z ) 在区间( a ，b ) 上严格递减的条件下，取得了很好的结果，并得到 当方程在( 0 ，。) 上有界解的情况下，存在唯一周期解，并且r + 上的有界解在 雪( z ) 下连续递减同胚于区间，( a ，b ) 再有近来 1 9 】，李德生教授关于方程： z “= f ( e t h ，z ，z 。)( 1 3 ) 得到了r 上有界解的行为及其稳定性，其中z 在( a ，b ) 上严格递减，日是紧空 间 本文主要研究方程( 1 1 ) 在满足三个条件： ( 1 ) g ( x ) 6 0 ，9 ( z ) 是l i p s c h i t z 连续的； ( 2 ) f ( o t h ，z ) 连续，关于z 严格递减； ( 3 ) ( 日，d ) 是紧的度量空间，且满足日是最小，即o t h = h ，v h ，o t h i t r = 日； 的情况下的解的性态 这时，我们将运用有界解的基本理论再由拉回吸引子的知识得到了方程 ( 1 - 1 ) 解的动力学行为及其稳定性 2 第二章预备知识 第二章预备知识 2 1度量空间及其紧空间的基础知识 定义2 1设x 是一个集合，p ：x x r ，如果对于任何z ，可，z x 有 ( 1 ) ( 正定性) p ( x ，! ，) 0 ，并且p ( z ，剪) = 0 当且仅当z = 1 1 ； ( 2 ) ( 对称性) p ( x ，y ) = p ( y ，z ) ； ( 3 ) ( 三角不等式) p ( z ，z ) p ( x ，耖) - t - p ( 秒，z ) ； 则称p 是x 的一个度量如果p 是集合x 的一个度量，则称偶对( x ，p ) 是一 个度量空间，或称x 是一个对于度量p 而言的度量空间 定义2 2设x 是一个拓扑空间，如果x 的每一个开覆盖有一个有限子 覆盖，则称拓扑空间x 是一个紧致空间 定理2 1 紧致空间的每一个闭子集都是紧致子集 定理2 2设x 1 ，x 2 ，x 3 是t t 1 个紧致空间，则称积空间x 1 x 2 也是一个紧致空间 2 2l i 6 n a r d 方程及其理论 这一节我们主要介绍了l i 6 n a r d 方程： 瞄引 协- ， 第二章预备知识 ( 2 ) f ( x ) 是奇函数； ( 3 ) ，( z ) o ( o o 时，f ( x ) 单调递增； 则( 2 1 ) 至少有一个周期解，其中( 5 ) 可以去掉，若加上( 5 ) 则周期解是唯一的 而且是渐近稳定的 定理2 5 ( l i 6 n a x d 定理) 假设f g 是z 的奇函数，对z o , x g ( z ) o ，f ( o ) = 0 ，f ( 0 ) 0 ，a ( x ) 是l i p s c h i t z 连续的 ( f 2 ) ：i ( x ) 是连续的，且关于z 严格递减 ( f 3 ) ：( 日，d ) 是一个紧的度量空间，满足v h ，o t h l t r = 日 3 2 主要结论 本节我们将对于方程( 3 1 ) 给出其有界解的存在性结论 定理3 1 设( f 1 一f 3 ) 成立，对于某一个h = h o h 方程( 3 1 ) 有一个未 来有界解( 关于其定义将在下一节有描述) 则： 8 第三章方程z ”+ 9 ) z 7 + f ( e h ，x ) = 0 有界解的结构 ( 1 ) 存在一函数丁c ( 日) ，满足对于任一h h ，7 h ( t ) ：= 1 - ( 仇九) ，是方程( 3 1 ) 的唯一在r 上的有界解 界解 ( 2 ) 对于任意z o ，h h ，存在唯一的z 1 r 满足l ，p h ( t ；x o ，x 1 ) 是( 3 1 ) 的有 ( 3 ) r 上的有界解是唯一的 定理3 2设( f l f 3 ) 成立，对于任意h = h 0 h 方程( 3 1 ) 有一个未来 有界解v ( t ，t o ，2 ；0 ，x 1 ) ( 1 ) 对任一h h ，存在一个最大开区间d ( 圣日) c ( a ，b ) 和一个连续的减函 数圣h 在d ( 垂危) 上满足对任意的z d ( 雪h ) ，z ( ) ：= ( t ；正，雪 ( z ) ) 是( 3 1 ) 在r 上 的唯一有界解，满足x ( t o ) = z o ( 2 ) 圣h ( z ) 在( h ，z ) 点处连续，且关于z 递减 ( 3 ) 对于任意的紧区间icd ( 垂九) 满足 1 i ml 砂h ( t ；o o ，圣 ( z ) ) 一w h ( x ) i + l 妒i ( t ；x 0 ，圣h ( z ) ) 一u i ( z ) i = 0 t - - + - + o o 其中w h ( x ) 是一个有界解 3 3 相关的结论及有界解的比较 这一节我们将考虑一些有关的结论并对方程( 3 1 ) 的两个不同解进行比 较首先我们来看c a m p o s 和t o r r o e s 提出的结论： 定理3 3 ( c a m p o s a n d t o r r o e s 2 ) 设z x ( t ) = z ( t ；t o ，x l ，v 1 ) 和x 2 ( t ) = z ( t ；t o ，x 2 ，v 2 ) 是方程( 3 1 ) 的两个不同的解，满足口 z 1 x 2 b 并且1 ) 1 v 2 ，则。1 ( t ) x 2 ( t ) 对于任意的t ( t o ，墨鸭凹z ( 幻，x i ，忱) ) 成立 证明：由已知口1 睨知一定存在区间( t o ，t o + 7 - ) 其中7 是使得x l ( t ) 一x 2 ( t ) 0 则 z ：( r ) 一z ；( r ) + 口( z i ( 下) 一z ：( r ) ) = 0 把式两边在( o ，r ) 上积分得： ，r z ：一z ：；+ 9 ( z 1 ) z ：一夕( z 2 ) z ：- ff ( e h ，z 1 ) 一f ( e h ，z 2 ) - 如= 0 ，0 得： z ：( t ) 一z ；( t ) 1 5 = z i ( 丁) 一z ：( 下) 一z i ( o ) + z ：( o ) g ( x l ( 7 ) ) 一g ( x l ( 0 ) ) 一g ( 。2 ( 7 - ) ) + a ( x 2 ( o ) ) 由g 单调递增和g ( z 1 ( 7 ) ) = g ( z 2 ( 7 ) ) 得到： g ( z 2 ( o ) ) 一g ( x l ( 0 ) ) 0 而又有： f ( e t h ，t , 1 ) 一f ( e t h ，x 2 ) 0 所以一定有 2 i ( 下) 一z ：( 7 - ) 0 第三章方程z ”+ 9 ) z 74 - f ( o t h ，z ) = 0 有界解的结构 而这又与丁的定义相矛盾，结论得证 若z i ( 幻) z ：( t o ) 我们可以通过做逼近处理即可得到结论也是成立的 引理3 1对于方程( 3 1 ) 的任意两个不同解，最多有一个共同点，即至多 存在一个挑使得x l ( t 宰) = z 2 ( t 奉) ，其中x l ，x 2 是方程( 3 1 ) 的解 注：它的证明比较简单，只运用了数学分析的基础知识即可，这里我们就 不再详细证明 定义3 1设z 是方程( 3 1 ) 的一个解，它称为未来有界解，如果满足： 3 r ，s 和t o r ，a r z ( t ) s t o 成立 结论：方程( 3 1 ) 任意两个不同的未来有界解z 1 ，z 2 满足 ( 1 ) z 1 ( t ) x 2 ( t ) 对于每一个有定义的t 成立 ( 2 ) 定义映射 th ix l ( t ) 一x 2 ( t ) 1 在两个解都有定义的情况下是严格递减 的，更确切的，如果x l ( t ) 7 成立，令 靠：= i n f r c ；x 2 ( t ) z 1 ( ) )( 3 2 ) 在( 1 ，+ 。) 上，只要证明凡= c ，z ： c 成立即可 由( f 2 ) 得t t 。时 x g ( t ) 一z ? ( ) + g ( x 2 ( t ) ) z ：( t ) 一g ( z 1 ( t ) ) z ：( t ) 0 所以函数 z ：( t ) 一z ：( t ) + 厂。2 夕( z ) d z 第三章方程z ”+ 9 ( z ) z 7 + f ( 6 t h ，z ) = 0 有界解的结构 在( a ，+ 。) 上严格递增，因此有 h l i r a 。( 出“+ 蔗咖= s u p ( 出旷出卅蔗出m 由于x l 未来有界s r ，s ，t t o “满足 由引理3 2 有 则【t x l ( t + ) 】是方程 o r x l ( t ) s b s u pz i ( t ) l c 1 t o s u pz ：( t ) l 0 2 t o 。+ 9 ( z ) z 7 - t - 厂( 巩+ h h ，z ) = 0 在( t o 一，+ 。) 上的一个解，t o r ，3 n n ，t o + t o 满足 口 r z l ( t - i - t n ) s b ( 3 3 ) ( 3 4 ) 对于任意t ( t o ，+ o o ) 由引理3 2 得： z 7 + ) i c 1 z ( t + ) f c 2( 3 5 ) 对于任意的 t ( t o ，+ o 。) 由a s c o l i 定理，我们可以假设存在序列满足 z 1 ( + ) _ y l ( t )( 3 6 ) z ：( t ) ( t + ) 一可i ( ) ( 3 7 ) 当n 一+ 在开区间( 匍，+ 。o ) 的紧的开子集一致成立由( 3 3 3 7 ) 和微分方 程基本知识知y 1 是方程( 3 1 ) 在( r 0 ，+ 。o ) 上的一个解，满足： d n j x i ( t ) 一定有 彰( t ) 一耖，( ) + 夕( 抛( t ) ) 如( t ) 一9 ( 可1 ( t ) ) 可i ( t ) = 0 ，( 3 i i ) 成立从而得到： f ( 0 , h ，y l ( t ) ) 一f ( o t h ，耽( t ) ) = 0v t r 则有 y l ( t ) = y 2 ( t ) 对v t r 成立，所以又有 s u p ( z ：( t ) 一。i ( t ) + 厂。2 9 ( z ) d z ) ：o ( 3 1 2 ) t r j z l ( t ) 即对v t 凡有 ( z 翻一z + 严9 ( z ) d z o ( 3 1 3 ) l ，z l ( ) 由于函数陋一( z ：( t ) 一z j ( t ) + e 搿夕( 名) 如) z l ( ) 和 。：( t ) z j ( t ) 1 3 第三章方程z ”+ g ( x ) z 7 + f ( o t h ，z ) = 0 有界解的结构 引理3 2 设j = ( t o ，+ o 。) ，t o = 一0 0 或t o r ，如果z 是( 3 1 ) 的一个未来有 界解( 或r 有界) ，即a r x ( t ) s t o ( 或t r ) 成立，则z 7 ，z ”未来 有界( 或r 有界) ，即 s u pz 。( t ) l sc 1 + 。o s u pf ( t ) i c 2 + 0 0 t e i 其中， c o = m a x ( iri ，i 5i ) c l = 2 c j 0 + 言 s u pf ( o t h ，z ) i + 4 c os u p9 ( z ) r s z t or s z s s c 2 = c 1s u pig ( z ) is u plf ( o t h ，z ) l r z sr s z s s ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) 证明：设z 。( ) 是方程( 3 1 ) 的一个未来有界解，i = ( t o ，+ 。o ) ，当t o = 一o o 时 i = r 由( 3 2 ) 定义和t a y l o r 公式，得到： 所以有 ，l z ( t + f ) = z ) + z 7 ( t ) + ( 1 一t ) x ”( t + 1 ) d l( 3 1 7 ) ，0 z ( t ) i 2 c 。+ i 厂1 ( 1 一z ) z 7 ( t + 1 ) d l ，0 由方程( 3 1 ) 得 z 1 ( 1 一f ) 。”( t + f ) d ：= z 1 ( 1 一z ) ( 一9 ( z ) ) i - - ，( 巩危，z ) ) d z 三，s u 。p 。i ，( 仇 ，z ) i + j 厂0 1 ( 1 一1 ) 夕( z ( t + f ) ) z 7 ( t + f ) d z ( 3 1 8 ) 二r 0 t o 有 z 1 ( 1 - f ) 如( 川) ) z 。+ f ) d fl 0 满足： x h ( t ，t o ，z l ，7 3 1 ) 一u h ( t ，o ，z o ，v o ) i + iz ( t ，t o ，z 1 ，t ，1 ) 一u ：( t ，t o ，z o ，u o ) j u h ( t o ) ，由前面定理3 3 知有 x h ( t ) w h ( t ) 对于任意的t t o 都成立，并且x h ( t ) 一u h ( t ) 0 在( t o ，+ ) 上递减 注意到 w h l h 日) 在r 上也是一致有界的，我们得到集族 p ：= x h x h ( t o ) j ，x h ( t o ) u 九( t o ) ，h 日) 也是一致未来有界的 并且又引理( 3 2 ) 知3 m 0 ，满足 l i z h l l c = ( , o ，+ 。) mi i u i i c 2 ( 幻，+ ) m 这里m 对于所有的z h p 和所有的u h 都成立 设 0 是引理3 3 任意给出的，我们知道存在一个t 0 ，满足 x h ( t ) 一u h ( t ) i t 对t t 成立，对于任意h 日和x h 在卢中成立 另一方面，由引理( 3 2 ) 和x h u 的单调性知，对每一个正整数k ，可以 找到一个t k 0 ，充分大满足对任意h h 和t t k 有 z ：( t ) 一u ：( ) i 0 ，3 t 0 ，满足对v h 日和z n p z ：( t ) 一u ：( t ) i t 7 成立 引理3 4 设x ( t ) 是方程( 3 1 ) 的一个未来有界解，则存在一个开区间 ，ic ( a ，b ) 和一个严格递减的连续函数： f ：j r ，w 幻，3 = ( z ，毒( z ) ) z ，) 这里w t o ，8 ：= ( z o ，咖) ( a ，b ) xr ，z ( t ，t o ，x 0 ，v 0 ) 是未来有界的】 引理3 5设 z c 2 ( 冗+ ) 满足h l i 十r a o 。x ( t ) = 0 ，则存在序列t n 一+ o 。满足：当n 一+ 。时 z ( k ) i + lz 7 心。) i 一0 证明：对任意正整数n ，定义一个 0 ，1 】上的函数z 。 z 。( t ) = z ( n + t ) 对t 0 ，1 】，则z n 在c 2 ( 0 ，1 】) 上是有界的，因此存在一个子列( 依然记为z 。) 在 c 7 ( 0 ，l 】) 上收敛，由扣l i 十m o 。x ( t ) = 0 我们有当n 一十。时，| | z 忆恬( 1 0 1 1 ”_ 0 ，我们选 择序列 s n 0 ，l 】 满足( s 。) 一0 ，令t 。= n4 - 鼽，则序列具有期望的性质 1 6 y g - - 章方程z ”+ g ( x ) x 7 + f ( e h ，x ) = 0 有界解的结构 引理3 6对于h h ，设 u ，t ，c z ( a + ) 是方程( 3 1 ) 在r + 上的上解和下解即： 一i ( e h ，h ) 一g ( u ) u 7 t ，一i ( e t h ， ) 一a ( v ) v 7 t 0 ，假如i lul i e 。( r + ) ，i i 口i | 萨( r + ) ( t o ) ( 相应的x ( t o ) u ( t o ) ，z 7 ( t o ) 口7 ( t o ) 的情形，由最大存在原理 很容易发现z ( t ) 一口( t ) 在 t o ，t + ) 上严格递增，由引理( 3 2 ) 知| 1zl i e z ( 【0 ，t + ) ) 0 $ - - - - , - k 存在，由引理( 3 5 ) 对于。( t ) 一口( t ) 一6 ，我们可以得到 z 7 ( t 。) 一口7 ( t 。) i + lz 7 7 ( t 佗) 一口( n ) l 一0 当n 一+ 时成立 抽取子序列可假设( t ，( k ) ，t j 7 ( 如) ，( “) ) 一( r ，p ，q ) 当7 1 , 一+ 。时有 ( x ( t 。) ，z ( t n ) ，z ”( k ) ) _ ( r + b , p ，g ) ，z 一+ 。 我们还可以假设8 t 。h h 7 得到 z 7 7 ( t 。) 一钉7 7 ( t n ) 9 ( z ( t 。) ) z 7 ( t 。) 9 ( 口( t n ) ) 口7 ( t n ) + ，( 仇。h ，z ( t 札) ) 一，( 巩。h ，口( t 。) ) 1 7 第三章方程。”+ g ( x ) x + f ( o t h ，x ) = 0 有界解的结构 由( f 1 ) ，得到 z ( ) 一u 7 7 ( ) + l x 7 ( ) ( ( z ( k ) 一钉( k ) ) ，( 巩。h ，z ( ) ) 一，( 口t h ，t ，( k ) ) 由假设z ( t ) 一矿+ 。得 z 7 ( ) _ 0 ， zi c nj _ 当n 一+ o o 取极限有 0 ，( 九，r + 6 ) 一，( 九7 ，r ) 与( f 2 ) 矛盾 3 4 主要结论的证明 这一部分，我们将会对第三章第一节的结论给予证明 首先我们来看定理( 3 1 ) 的证明 证明：定义d 士x o = y r ：s u p = c h ( 友x 0 ，y ) = 士o 。 我们证明d 士x 0 是开集，我们只证明d + ( z o ) 是开的，设y l d + ( z o ) ，知存 在t 球t o 满足 c h ( t , ，z o ，y 1 ) w h ( t ) 妒：( 车，z o ，y 1 ) u ： ) 这里u 。( ) 是方程( 3 1 ) 给出的一个有界解事实上如果不成立，则我们有 以( ；。o ，y 1 ) w h ( t ) 由u 的有界性，知c h ( t ；x 0 ，y 1 ) 也是有界的，将导致矛盾 现在，由初始值的解的连续性知，存在一个5 0 ，当l 一y 1f w h ( t 0 ) 妒：( o ，z o ，y 0 ) u ：( t o ) 由引理( 3 6 ) 知l i ms u pc h ( t ；2 ：0 ，y ) = + ，因此y d + ( 茹o ) 1 8 第三章方程z ”+ 9 ( z ) z 7 + i ( o h ，z ) = 0 有界解的结构 接下来，我们证明d + ( 。o ) 是非空的 设m = i i o u h l l c 2 ，+ o o ) 取, t o 满足o m n z ( z o ，m ) 固定z 1 r ，令u ( t o ) = 机( t ；z o ，z 1 ) 取7 - 0 足够小，u ( t ) 在 t o ，t o + q 】上存在，满足u ( t ) 1 0 ，对t t o ，t o + f 】 上成立，并且 ! 塑二兰! ! m r ( 3 2 0 ) 定义截段函数f ： 0 ，7 】xr _ r ： y o 。黑珈。 【u ( t ) z 乱( t ) 令q ( t ，z ，p ) = 9 ( ( t ，z ) ) f 7 ( t ，z ) + f ( o t h ，f 7 ( ，z ) ) ( z f 7 ( t ，z ) ) ，( ，z ，p ) 0 ，7 】x 月p 则当z 一4 - o o 时有q ( t ，z ，p ) 一士o o 关于t t o ，t o + 下】一致成立， 考虑在【t o ，t o + 7 1 上的有界值问题 z = q ( t ，z ，z ) ，z ( 0 ) = x 0 ，z ( 丁) = 珈 ( 3 2 1 ) 由上下解原理知( 3 2 1 ) 有一个解z c 2 t o ，t o + 丁】由u ( t o ) = x o 和u ( t o + 下) y o 通过比较有x ( t ) u ( t ) ，对v t t o ，乃+ 7 - 】成立，设 s = m a x l - t o ，t o + 7 - 1 ：z ( t ) y ot t o ，n 】) 由正( o ) = 知 t o ，由8 的定义知z 是方程( 3 1 ) 在 t o ，t o + s 】上 的一个解，如果z o w h ( t o ) 成立，则z ( s ) = y o m w h ( s ) 很容易发现存在 t 2 t o ，t o + s 满足 z ( t 2 ) u ( t 2 ) z 7 ( t 2 ) u ：( 2 ) ( 3 2 2 ) 假设知 u ( o ) ，则由于z ( s ) u ( s ) ，通过比较发现z ( t ) w h ( t ) 对任意 t t o ，t o + s 】成立 另一方面，由中值定理，得存在t o ( t o ，t o + s ) 满足( 由3 2 0 ) ： z 7 ( 幻) ：( y o - _ = 一o ) ( y o _ = - _ y o 一) m u ：( 。) s 丁 z 在t o 点考虑( 3 1 ) 的解饥( 幺x 0 ，z 7 ( t o ) ) 由初始值的唯一性有讥( 如z o ，z 7 ( t o ) ) = z ( t ) 对w t o ，如+ s 】由( 3 2 1 ) 和引理 ( 3 6 ) 有 l l 妒h ( 亡；z o ，z 7 ( o ) ) i l c z ( r ) = + 第三章方程z ”+ 9 ( z ) z 7 + y ( o h ，z ) = 0 有界解的结构 因此有x o d + ，同理可证d 一( z o ) 是非空开的 定义d b ( x o ) = x l r ；饥( t ；x 0 ，x 1 ) 是( 3 1 ) 的一个有界解) ，则 d + ( z o ) ud 一( z o ) l jd b ( x o ) = r ( 3 2 3 ) 由于d + ( z o ) nd 一( x o ) = l z i ，由拓扑性质很快发现d b ( x o ) 是r 上的非空闭集， 由引理( 3 3 ) ，d b ( x o ) 是单一的，证明完毕 由上述定理，我们可以定义一个r 上的函数毗( z ) ，v x r ，圣 ( z ) 代表唯 一的y 满足c h ( t ；z ，y ) 是r 上的有界解 下面，我们看定理2 2 的证明 证明：我们只证c h ( x ) 是递减的和连续的，假设不是，则存在z l ，。2 r 满足 x l u ( s ) ，t ，(