（基础数学专业论文）函数芽截断的相对sc0充分性和相对sv充分性.pdf

摘要 麦予奄赢理论的发展穰实嚣阉题翡懑要，攘对瞧阉题的磅究援餐越来越黧要， 相对映射比一般映射特殊，在合理寻找相对集合s 的情况下，一般映射所不能满足 的条件，捆对陕射就能满足了，本文将经典奇点理论和c 。充分性理论蕊础上结食 掇对映射关系，撼蒙膏黪g o 充分黢鄹弘兖分瞧关系中熬帮分结论，推广到提黠美 系下得出了新的结论 本文共分两章，第一章主要介绍了基本概念和定理，比如芽，g o 充分，相对映射 第二犟主要穷绥了定理，以及定理辫延羁审曩荤爨要我g | 理 关键谰：奇点；相对函数芽；c 帕充分；v 充分 i 錾霪整巍 篓纛j i ：iir 薹垂涎菇繁器禽塞，慧琶糯囊滢基一 jg 熬戮。 懋馐 k i 耋萼明怕鬟芏作放融冀浦蒲目彰黝耗毒! ：l ；i 彝女羟攀毛t 崩 “鼙鳃配i 囊孵蓦i ；l ；：l 黧攫程型；一i 鬟霉j ；l ? 蒜萎 一l i ，j 舞蠹 蓼爱器鳍；塾薹；t i ；! l l ；i i ：霪嚣! ；i l i 一二 j 羹差臻臻l 誉i ；：谶躐醭馨嚣薹一滢辔港莲。萋攫蠢矮攀惫萎踏辩聪；蹦善 要誊! 孵嚣i 镰；算；震；雪酉i ；自；船誊i 鼋i 黑i i 纂纂i f ! ：i ； 焦；蠹酚刻蓥一醚趔鞋鲤撼船；璺纛辖等薹麓篓i 釜粪。器蔫囊一警- 曼；鞋 霸童辩嚣浮露一襞4 醋甚冀霉蓬， 藿姜塞萋委薹鐾蚕姜墓薹霪夔季剥星零豢荔薹麓笺一鬟薹饕；一至薹鼙 墓篓! 璧釜自霉；l li 嫂：= = 霎鋈茎蔫滋? 落鹫誊爹擎裁如妒0 暨墓甚d 隧撵i i 。；i 聚= 。| 3 ；羹淹凌? 堪譬孓蛰豁薹露篓嬲戳； 攀藏大学有裁檬营饕麓憾灞嘻穗涵 杂2 j i i 露g 避j 舞妊爵蚰萼耋= 鹰臻篓幽薹受辫驾蔑一霪p 耍墅j 嫂罐；霪醑瓣瓣雾一孥j “掣；靶翳羹衙涮强嗝j ? i 髫褂二? 咎毳；誊鬻；i j 氯 季；害善 蛰辩 登一2 擎一4 i i 精1 一j ! 蚕i 喃美妻2 7u 委麟，魁霎进耋4 i ；i l 萎；：j ：；荔采? 剥黼引闯l 鹾；：落瞧i i ? i “i l ；g t ；9 ；i l i 嗡毫：琶轻麓淄堪潢童高鹾秘朝。 诠誊i i ，i ：一2 菇翼墓5 ；! j l i 爵豇；一i l l 莹5 墨霎雾蓑姜妻羹篓薹，登 萋卷一f i 喜；嚣篱殛瓣酶旨一娶篓翁嫩， 丝受萋薹纛够融疆i 套萋! ：蕉平骥孵麓袜警l l j ；i i 一9 l “i 搽堂l i s ：i ： x 引言 奇点理论诞生与2 0 世纪5 0 年代，经过5 0 多年的蓬勃发展，不仅它的内容接 近完善，而且在数学的各个领域和其他学科中的应用也越来越广泛例如，孙伟志 等人将奇点理论在物理光学，液晶显示，偏微分方程等方面的应用研究1 1 1 【1 2 m3 1 ； i z m i y a 、裴东河、s a n 。、a k e u c h l 等利用奇点理论的方法在微分几何中进行的一系 列研究f 1 ：l5 】 1 6 1 1 7 1 8 1 ；李养成，邹建成等人关于奇点理论在分歧理论中的应用 f 1 9 】 2 0 【2 1 2 2 】等等。 随着奇点理论的发展与成熟，由它衍生出来的课题也越来越得到了大家的关注。 比如在实际物理问题的背景下，不少学者将奇点理论在相对意义下进行了研究。 近年来，这方面成果也很多，例如函数芽的相对有限决定性的等价条件、相对 稳定性的判定，相对通用开折定理等等。 c o 充分性问题，始于2 0 世纪7 0 年代，是属于奇点理论的分支问题事实 上，它削弱了经典奇点理论中映射的e 条件为同胚，在此基础上研究r o e t 多 项式的e o 充分性，形式上它类似于奇点理论中的有限决定性( m a t h e r 系列文章 2 3 】【2 4 2 5 】 26 ) ，但又有很大的区别。 众所周知，有限决定性是奇点理论中十分重要的内容。首先，它给出了一种等 价关系，然后在这等价关系下给映射芽( 函数芽) 进行分类，若其中前有限项相同 的多项式映射芽( 函数芽) 都属于同一类，我们就称这个映射芽可由前有限项来决 定。比如，非奇异函数芽是由它的1 次项来决定，一个m o r s e 芽是由它的2 次项来 决定等等当然，有限决定性的研究，也伴随着通用形变、通用开折以及无穷小稳 定的问题。其中一般常用的等价关系有冗等价、c 等价、等价、丘等价，而且每 一种等价关系中采用的都是微分同胚条件 相比之下，d o 充分性问题中采用的是一般的同胚关系。形式上，它也是希望 相比之下，g o 充分性问题中采用的是一般的同胚关系。形式上，它也是希望 1 由有限项来决定无限项，但有了很大变化。比如，( z ，g ) = 。4 + 9 4 的通用开折的 余维是8 ，然而在g 巾下它的余维是7 。对e o 充分的研究，也伴随着y 充分的研 究，所谓v 充分指的是，一个多项式p 在什么条件下，对于它的高阶扰动不会改 变p - 1 ( 0 ) 的拓扑型问题华裔数学家t c k u o 首先给出了g o 充分性和y 充分性 的概念，并给出了充分必要条件。他通过构造k u o 向量场而后再积分的方法给出了 证明。这种方法也成为了后来证明这种问题的有效的方法。关于g o 和y 充分性问 题上j b o c h n a k 、s l o j a s i e w i c z 、s a t o s h i 、k o i k e 、k u i p e r 这些学者也做了 很多工作l 一1 0 。 本文是前人所作的工作基础上研究了相对意义下的g o 充分性问题，并结合 t c k u o 的证明方法，在相对意义下给出了截断多项式相对g o 充分和相对y 充分 的定义，并推广了相关定理。 2 5 2 定义和定理 定义1 2 1设，g 风，若存在 巩，使得，。 = 9 ，则称，和9 是局部拓扑等价的。我们又称，和9 有相同的局部拓扑性质。 定义1 2 2 设，口e n ，若。点的簇，_ 1 ( o ) ，9 。( o ) 是同胚的，即存在 h 碍；使得，_ 1 ( o ) = o ，- 1 ( o ) ，则称，和9 有相同的局部拓扑图像。 由定义2 1 和22 显然 有相同的局部拓扑性质= 有相同的局部拓扑图像 定义1 2 3 设z 最，若z 的任意两个伊+ 1 实现，和9 都是局部拓扑等 价的，则称z 在e ”1 中是g o 充分的若，。( o ) 和9 _ 1 ( 0 ) 是局部同胚，则称z 在 g 7 + 1 中v 一充分的。 下面我们定义相对f a o 充分 定义1 2 ，4 z 以并且z ! s = o ，若限制在s 上等于零的任意z 的实现 f ，都存在 巩。，使得fo = z ，则称z 是相对s g o 充分的 由定义我们可写成f ( z ) = z ( z ) + p ( z ) ，其中p ( z ) g ”1 ，p ( 。) 最小阶数 大于等于r + 1 ，又有 fo = z ( z + p 1 。h = z ( z + 尸) o l s = z b = o 所以p i s = 0 注：我们所要讨论的z 的相对g o 充分性，实际上是对限制在s 上等于零的相 对扰动p 而言的。 因此，若 z ( z ) e 。 则z ( 。) 的相对扰动p ( ) 也有 _ p ( z ) e 。 令z ( z ) = 研( z ) + 凰( z ) + + 研( z ) 其中凰是i 次齐次多项式假设 h ，( z ) o ，即z ( 。) 是非奇异的这种情况下我们很容易证明( 用隐函数定理) z ( z ) 是e o 充分的，即对任意s 是相对g o 充分的因此我们总假定f ( $ ) = o 。 上个世纪8 0 年代，k u o ，j m “h e r 等多位学者从代数几何中簇的拓扑性质研 究入手，对g o 充分性及充分性的关系进行了较深入的研究并且取得了很好的 4 成果。 定理1 2 1 ：z 矗，则下面条件等价 ( a ) z 在伊+ 1 中g o 充分 ( b ) z 在眇“中y 充分 ( c ) v o d o ，对6 舻充分小邻域内的所有点有 i g r a d z ( 嚣) j i z l 一5 ( c ) 辛( a ) 情况是首先是由n 且k u i p e r 在d = 1 下证明了成立，可以参考文献f 3 1 ， 后来由t c k u o 在d o 时证明成立，可以参考文献【4 】。因为k u 0 的证明方法简 单明了且非常重要，所以本文也主要是模仿k u o 的方法，得到了相对的成果， ( b ) 寺( c ) 首先由r t h o m 猜想，后来由bc h n a k 和l o j a s i e w i c z 证明，可以参 考文献 6 卜 ( a ) 号( b ) 显然成立 本文的主要内容就是将k 1 1 0 的上述结果，推广到相对情况中。 首先，类似上面条件( c ) ，引入了下面新的条件( a ) 条件a ：垤 ojd o ，对0 r n 充分小邻域内的所有点z = ( 。1 ，z 2 ，乩) 有 妻( 劫! 擎孚 其次，构造k u o 向量场，并且在条件4 下推出若干个引理，来分析向量场性 质，并且最终给出了向量场积分曲线的规律。 最后，给出了由条件a ，我们可以判定一个截断多项式是否相对e o 充分。这 也是本文主要结果，详细结果和证明在2 2 5 其中 唧叫刊差，差， 这样构造的向量场显然有 x ( z ，t ) b = 6 定义 y c z ，。2 ：；一x 忙，耋：三宁j o ，使得对 任意 o ，刍a o ，vz z i 茁s ，0 j z | n ，都有 襻 ； n ，、n 翊孚 7 对v t o ，1 】，有 1 9 r a d f 】：j g r a d ( z + p ) 1 l g r a d ( z ) + t g r a d p l 1 9 r a d z l 1 9 r a d p l 因此 | g r a d f l l s g r a d z l l s i g r a d p l l s 即 雹( 差用圭( 差) 2 ；- 如吼 壹。 。一粤) 4 * 1 【z 判等 一 n 。2 件1 ； 瑚等。 引理2 ，11 说明的是在条件a 下，f 作为z 的实现，在子空间丁上不会出现奇点。 引理2 1 2y ( z ，t ) 在o 墨h 咀中是伊，在o h 中是 的，并且对v 川叩 有，嬲塑型= o 即一致收敛 证明：磐堡学= 磐眢= 磐高警笛 当z 0 时， 由引理2 1 1g r a d f o ，则y 在o 吲 o 是伊的。 磐器磐薏舞 l i 。! 擎剑 一一os 登z 刭警 l i 。竺盟l 一一o e i 妻翊8 笋 注：我们希望 a ，t o ，1 】的v ( 铷，如) 点，y ( z ，t ) 有唯一的局部解，并且 使得最终值是初始僮和时间坐标u 的连续函数引理2 保证了解的存在性，设解为 妒( z ，t ；“) 满足妒( 如，t o ；0 ) = ( 加，o ) ，为了确立解的唯一性，下面给出类似于常微分 方程理论中的l 啦8 如越z 条件。 三i p s c 九托z 条件：y ( z ，t ) 关于妒的工咖s c 托z 常数= ( 妒) 满足工印s c 如 8 条件，若点集知( 。o ，t o ； ) ，i u l 9 ，p ( 嚣) 2 l 雯 e ( 镑) 2 ，p ( z ) 2 z i 4 = f + 1 4 p ( z ) 2 1 一砑和 0 图( a ) 正好表明了我们构造的向量场，( z ，t ) ，在区域【o ，1 ，o 卢内， 任意点的向量与( 1 ，6 ) 的角度不可能大于等于9 0 。并且限制在子空间s 上时，其 向量场分布如图( b ) ，这是我们所希望看到的。因为这表明向量场y ( z ，t ) 的积分曲 线是如图( c ) 形式，曲线可以向上走，也可以中途改为向下走但不可能出现回拐的 情况，其意义在于保证了映射z - 一h ( o ) 是同胚，并且也保证了t 是关于时间变量 u 是单调增加的，图( b ) 的积分曲线是图( d ) 形式，即 l s = ，b ( c ) 1 0 ( d ) 5 2 主要结果 定理2 2 1 ：若z 靠满足条件a ，则z 是相对s c o 充分的。 证明：对于6 r 邻域内的所有点由引理4 任意解妒( z ，t ；“) 的t 分量随u 单 调增加的，因此妒( 。，t ；“) 与超平面t = 1 交与唯一点 ( z ) ，映射z 一 ( z ) 是一个 局部同胚，又y ( z ，t ) s = ( 6 ，1 ) ，因此 ( 。) i s = f s y 在每点( 嚣，t ) 都与水平面f = 常量相切，因此f 沿每个妒是常量，所以 z 知) = f ( z ，o ) = f ( 如) ，1 ) = z ( h ( 。) ) + 尸( ( z ) ) 最终，由相对s 一伊充分性定义，我们找到了同胚 风。使得z = f 。 ，因 此z 是相对s a o 充分的证毕。 基于函数芽的相对d e o 充分性的研究，下面我们讨论一下相对s v 充分 定义：设z 最，7 r ：册一s 标准投射，若z 的任意两个眇“实现，和9 都有7 ro ，。( o ) 和”og _ 1 ( 0 ) 同胚的。则称z 是相对s v 充分的 由它的定义显然我们就有下面定理 定理2 2 2 ：z 靠，z 是相对s e o 充分的，则z 是相对s 一矿充分的。 证阴：z 是相对s g o 充分，即对z 的任意实现，9 e 。，都j 风，g ，有 ，o = g 因此 h 一1 。，一1 ( o ) = 9 1 ( o ) 其中凡- 1 是同胚，所以簇，_ 1 ( o ) 和9 - 1 ( o ) 同胚。 两边都作用，显然7 r 。，。( o ) ， 。9 _ 1 ( o ) 同胚，因此z 是相对s y 充分的 例：z ( z ，) = z 2 作为j 2 ( 2 ，1 ) 中的2 一j e t 在g 3 中不是v 充分的。但