（应用数学专业论文）关于某些分块矩阵的drazin逆表示.pdf

哈尔滨t 程大学硕士学位论文 摘要 矩阵厂义逆理论是矩阵代数中研究的活跃领域矩阵广义逆理论 在控制论、金融数学、最优化等领域有重要的应用，它在矩阵代数中尚 有大量问题没有解决，其中分块矩阵d r a z i n 逆、群逆表达式及群逆存 在性问题是重要的未解决问题 1 9 7 9 年，c a m p b e l l 和m e y e r 提出一个o p e n 问题：2 x 2 分块矩阵 ( 三三 ( 彳，。是方阵) 的d r a z i n 逆和群逆表达式问题，此问题至今尚 未解决，一些学者仅在一些特殊条件下给出了其表达式，而且分块矩阵 ( 三尝) ( 彳是方阵) 的。r a z i n 逆和群逆表达式也远没有解决 设a c “”，i n d ( a ) = k ，若矩阵x c 职”满足下列条件：a 删= a ， x a x = z ，倒= x a ，则称x 为a 的d r a z i n 逆，记作x = a d ，其中k 是使 r a n k a “1 = r a n k 4 成立的最小的非负整数，当i n d ( a ) = 1 时，x 为a 的群 逆，记作x = a 4 本文首先概述了矩阵广义逆研究的意义及国内外的研究现状，然 后介绍了广义逆矩阵的基础知识最后，在第3 、4 、5 章分别讨论了特 殊形式的2 x 2 分块矩阵的d r a z i n 逆、群逆表达式及其群逆存在性，主 要结果如下： ，给出分块矩阵( 互压e 。e o e 。) ，( 上l e e 。e o 。) ，( e e 。髓o 。 ， i厂i厂【j ( ：苫 的。r a z i n 逆表达式，其中e c “月 2 给出分块矩阵( ：若 和( 三三) 群逆存在的条件和表达式，其中 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 彳，b k ，a 2 = a 3 给出分块矩阵( 三三 的d r a z i n 逆表达式，其中彳，b c ， 彳2 = 彳 关键词：分块矩阵；幂等矩阵；d r a z i n 逆；群逆；二项式系数 哈尔滨t 程大学硕+ 学位论文 a bs t r a c t g e n e r a l i z e di n v e r s eo fm a t r i c e st h e o r yi sa na c t i v ef i e l di nt h es t u d y o fm a t r i xa l g e b r a i th a sm a n yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o n si nc o n t r o lt h e o r y ， f i n a n c i a lm a t h e m a t i c sa n d o p t i m i z a t i o na n d s oo n t h e r ea r em a n y q u e s t i o n su n r e s o l v e di nm a t r i xa l g e b r a t h er e p r e s e n t a t i o n so fd r a z i n i n v e r s e ，g r o u pi n v e r s e f o rb l o c km a t r i c e sa n dt h ee x i s t e n c e so fg r o u p i n v e r s ea r ei m p o r t a n tu n r e s o l v e d1 s s u e s i n19 7 9 ，c a m p b e l la n dm e y e rc a m eu pt h ef o l l o w i n go p e np r o b l e m ： f i n da ne x p l i c i te x p r e s s i o nf o rt h ed r a z i ni n v e r s eo fa2x 2b l o c km a t r i x 曙加t e r m s v a r i o u sb l o c k s , w 胁汕eb l o c k saa n dda r e a s s u m e dt ob es q u a r em a t r i c e s a tt h ep r e s e n tt i m et h e r ei sn ok n o w n r e p r e s e n t a t i o nf o ri t s o m es c h o l a r so n l yg i v et h ee x p r e s s i o n su n d e rs o m e s p e c i a lc o n d i t i o n s f u r t h e r m o r e ，t h er e p r e s e n t a t i o no ft h ed r a z i n ( g r o u p ) i n v e r s ef o rb l o c km a t r i xo ft h ef o r m ( 矧c 舶刚a r e 蚰a v e n o tb e e ng i v e n f o ra c 舢，l n d ( a ) = k ，t h em a t r i xx c 脓”i ss a i dt ob et h ed r a z i n i n v e r s eo fai fi th o l d st h a ta 。删= a ，x a x = x ，a x = x a d e n o t e b yx = a d ，w h e r e ki st h es m a l l e s tn o n n e g a t i v ei n t e g e rs u c ht h a tr a n k a + 1 = r a n k a 2 t h ec a s ew h e ni n d ( a ) = 1 ，xi sc a l l e d t h eg r o u pi n v e r s eo fa a n di sd e n o t e db y x = a 4 f i r s t l y ，t h e d i s s e r t a t i o no u t l i n e s t h er e s e a r c hs i g n i f i c a n c eo ft h e g e n e r a l i z e di n v e r s eo fm a t r i c e sa n dt h es t a t u si nd o m e s t i ca n do v e r s e a s ， s e c o n d l y ，t h eb a s i ck n o w l e d g ei si n t r o d u c e d f i n a l l y ，t h ep a p e rs t u d i e s t h ed r a z i ni n v e r s ea n dt h eg r o u pi n v e r s eo f2x2b l o c km a t r i c e so fi t s 哈尔滨工程大学硕士学位论文 s p e c i a lb l o c k si nc h a p t e r3 ，4a n d5r e s p e c t i v e l y t h ef o l l o w i n ga r em a i n r e s u l t s ： ( 1 ) g i v et h er e p r e s e n t a t i o n so ft h ed r a z i ni n v e r s ef o r m a t r i c e s ( 。艺。) ，( 。苫 ，( ：笔。 ，( 笛 w h e r e e c ” ( 2 ) g i v et h ee x i s t e n c e sa n dr e p r e s e n t a t i o n so ft h eg r o u pi n v e r s ef o r b - 。c km a t r i c e s ( 三吕 a n d ( 三当 ，w h e r e4 ，b k “月，彳2 = 么 ( 3 ) g i v et h er e p r e s e n t a t i o n so fd r a z i ni n v e r s ef o rb l o c km a t r i x ( ：三) ，w h e r e 么，b c “ ，彳2 = 彳 k e y w o r d s ：b l o c km a t r i c e s ；i d e m p o t e n tm a t r i c e s ；d r a z i ni n v e r s e ；g r o u p i n v e r s e ；b i n o m i a lc o e f f i c i e n t k ， 1 i m 胪d 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在 文r fi 指，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体己经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完伞意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：杰丛兹 日期：撕踔6 月日 哈尔滨工程大学硕士学何论文 第1 章绪论 1 1 广义逆矩阵概况 广义逆矩阵是上世纪矩阵理论的一项极为重要的新发展，广义逆 的概念最早由f r e d h o l m 于l9 0 3 年提出的，他给出了f r e d h o l m 积分算 子的广义逆，h u r w i t z 于19 1 2 年利用有限维f r e d h o l m 积分算子的零空 间给出了此类广义逆的一个简单的代数表征，h i l b e r t 于1 9 0 4 年讨论广 义g r e e n 函数时曾提出了微分算子的广义逆，之后许多学者研究了微 分算子的广义逆，特别是m y l l e r ，w e s t f a l l ，r e i d 等 逆矩阵的概念只是对非奇异矩阵才有意义但是在实际问题中，遇 到的矩阵不一定是方阵，即使是方阵也不一定非奇异，这就需要考虑： 可否将逆矩阵概念进一步推广为广义逆? 为此，引进下列条件： ( 1 ) 对于奇异矩阵甚至长方矩阵都存在“广义逆”； ( 2 ) 它具有通常逆矩阵的一些性质； ( 3 ) 当矩阵非奇异时，它还原到通常的逆矩阵 19 2 0 年，在美国数学会通报上，m o o r ee h 首次提出了非奇异方 阵逆矩阵的概念，以摘要的形式给出了任意矩阵广义逆的定义，在之后 的3 0 年广义逆很少被人注意，直到5 0 年代中期，围绕着广义逆的最小 二乘性质及广义逆与线性方程组的解的关系的讨论，才使广义逆的研 究有了新的起色19 5 5 年，英国学者p e n r o s er 在剑桥哲学学会学报上 发表的“广义逆矩阵”中，用四个矩阵方程的直观形式给出了广义逆矩 阵的新的更简便、实用的定义之后，广义逆矩阵的理论和应用才得以迅 速发展，由此广义逆理论的研究进入了快速发展的轨道 1 2 广义逆研究的意义 哈尔滨1 二程大学硕十学位论文 近五十年来，广义逆在实际中得到了广泛的应用它们在数值分 析、数理统计、测量学和最优化等领域发挥着广泛的重要作用在研 究最小二乘问题，长方、病态线性、非线性问题，不适定问题，回归、 分布估计、马尔可夫链等统计问题，无约束、约束、随机规划问题，控 制论和系统识别问题，网络问题等等中，广义逆更是不可缺少的研究工 具 i - 2 4 对非奇异矩阵来说，不论什么研究目的，逆矩阵的定义是唯一的， 而对广义逆矩阵来说，对不同的目的有不同的定义因此，广义逆矩阵 类型有很多，典型的有m p 逆， 1 ) 逆，d r a z i n 逆，群逆，加权m p 逆，应 用于电网络理论的限制广义逆b o t t d u f f i n 逆以及广义的b o t t d u f f i n 逆等由于广义逆矩阵的特殊重要性，多年来，学者一直对广义逆矩阵 的研究充满了浓厚的兴趣，成果不断涌现，应用逐步深入 1 3 广义逆研究的现状 研冤分块矩阵的厂义逆及厂义逆的分块算法对许多应用领域郡是 非常必要的，而分块算法又是计算广义逆的重要方法，因此分块矩阵的 d r a z i n 逆和群逆已成为矩阵论研究中一个很活跃的领域近年来，广义 逆沿着快速发展的道路获得蓬勃的发展，取得了许多重要成果，也提出 了很多值得继续研究的问题 19 7 9 年, c a m p b e l l 和m e y e r 在文献【6 】中提出( 罢 暑 ( 彳，。是方阵) 形式分块矩阵的d r a z i n 逆( 群逆) 表达式问题，但是此至今尚未解决而 在9 7 7 等c a m p b e l l 在文献c 2 5 ，给出了分块矩阵( ：暑) 和( 言三) 的 d r a z i n 逆表达式；2 。0 1 年，曹重光在文献 2 6 】中给出分块矩阵( 暑三) 群逆存在的条件是r a n k a = r a n k b = r a n k ( a b ) = r a n k ( b a ) ，并给出其群逆 2 表达式，同时给出分块矩阵( 三尝) 群逆存在的条件是彳4 和c 4 存在， 阳船( 三尝) = 翮翩+ 翮肥，并且给出其群逆表达式；文献 2 7 】给出了 分块矩阵( ：三) 的d r a z i n 逆表达式然而求形如( 罢三 c 彳是方阵， 的分块矩阵的d r a z i n 逆( 群逆) 表达式一直没有解决，这种分块矩阵的 广义逆在最优化及方程领域都有其深刻的实际应用背景，目前人们对 形如( 罢言 ( 彳是方阵) 的分块矩阵的d r a z i n 逆( 群逆) 的研究仍局限 在某些特殊条件下，如卜长江在文献 2 8 】中给出分块矩阵( 三三 的群 逆存在的条件是( c b ) 4 存在，r a n k ( c b ) 2 = r a n k ( b ) = r a n k ( c ) ，并给出其群 逆的表达式；n c a s t r o g o n z a l o z 在文献 2 9 】中给出了复数域上分块矩 阵( 主三) 群逆和d r a z i n 逆的表达式，并且在特殊条件下给出分块矩阵 ( 三言) ( 彳是方阵) 的d r a z i n 逆表达式；文献 3 。】给出了复数域上一些 曙暑) 形式的分块矩阵的群逆表达式，其中彳 c 一尸尸) ， p 2 = p ，p 是p 的共轭转置；文献【31 】给出了复数域上分块矩阵 ( 三；) 的群逆表达式，其中a 2 = a , a * 为彳的共轭转置；文献c 3 2 ，给出 了分块矩阵( 三三) 群逆存在的条件是( 么+ 功4 ，( 彳一功4 存在且 础( 三僦( 4 删+ m 州卅，并给出其群逆表达式，同时给出 了( z 剀和一。0 卜逆表斌其中a 2 = a , a 为彳的共轭 转置；文献【3 3 】给出了分块矩阵( 么b b 暑 群逆存在的条件是彳4 ，b 4 存 在，并给出其表达式，同时给出了分块矩阵( ；暑 ( 彳2 = 彳，彳为彳的 共轭转置) 的群逆表达式；文献【3 4 】给出了分块矩阵( ，三； ( 彳2 = 彳， a 为a 的共轭转置) 的群逆表达式；一些特殊条件下分块矩阵的d r a z i n 逆也有大量的研究1 3 4 - 5 0 1 1 4 本文的主要工作 在这一篇文章中，我们在第三章获得的主要结果是： 定酗3 ，设m = e 胖o 卜c 班叫一删 i厂 、。 肌匕甜 定取3 2 设m = 瞪甜叱刚 肌一甜 定理3 3 3 设m = ( ：艺。) ，砌d c d = ，e c “n ，则 肌一剖 定舭3 4 设m = 瞄针螂一m 一则 4 则 则 哈尔滨下程大学硕十学位论文 肌辩 我们在第四章获得的主要结果是： 定理4 3 1 设m = 口a 其中圳k 91 = a 9 翮删一， ( 1 ) m 4 存在的充分必要条件是r a n k ( b ) = r a n k ( b a b ) ； ( 2 ) 若m “存在，则 ，#f ，a 一( 彳b ) 4 + ( 彳b ) 4 a 一( 彳曰) 4 a b a彳+ ( 爿b ) 4 a 一( 彳曰) 4 a b a1 一i ( 别) 4 b + ( 蒯) 4 ( 彳b ) 4 a b 一( 蒯) 4一( 删) 4j 推论4 3 2 设m = ( 三三 ，其中彳，b k “n ，彳2 = 彳，m 七c 彳，= ， ( 1 ) m 8 存在的充分必要条件是r a n k ( b ) = r a n k ( b a b ) ； ( 2 ) 若m 4 存在，则 肌r 黑勰! 篱功_ 刚删义船y a b + ( b 。a a b ) a a b a - ( a b ) 广肛印功4 ) i彳+ ( “ 一( 彳b ) ” 4 j 我们在第五章获得的主要结果是： 定理5 3 ，设m = ( 尝三) ，其中a , b e c a 2 = 彳，m 以c 么，= ，则 肚黜矧， 其中：丑。( ，) ：兰c ( ，一l 一) ( 彳酬彳+ 兰c ( ，一2 一“) ( 彳b ) 川； c r ，、 p , 2 ( 1 ) = z c ( 1 - 1 - i ，f ) ( 彳b ) a 。 5 哈尔滨t 程人学硕十学位论文 最l ( 1 ) = z c ( i , 2 - i ，o ( s a ) 件1 + c ( ，一3 一( 删) 川b ； t ，、 j “) i = oi = 0 则 昱：兰c ( ，一2 _ f ，f ) ( 删) f + 定理5 3 2 设m = ( 三三 ，其中彳，b c ，彳2 = 爿，玎础c 彳，= ， m d ： l 易。黔 其中：巨l = z l z j + z 2 么一( 么b ) d + ( 彳b ) d a 5 互2 = z 2 a + ( a b ) d a ； 易l = 1 1 2 b a b + ( y 2 一x ) ( b b 4 ) + ( b 4 ) d b 一( b 4 ) d + b a ( b a ) d ( 彳召) d ； 岛：= ( 巧一匕) 删一( 删) d 记 ，一l ，一l z l = ( 一1 ) 。c ( 2 j ，拟彳b ) 。( 彳召) 君，z 2 = ( 一1 ) 7 c ( 2 j + i ，烈彳b ) 7 ( 么召) ”； j = oj = o r i ，一l k = ( 一1 ) c ( 2 j ，烈删) 川( 删) 。，艺= ( 一1 ) 。c ( 2 j + i ，烈删) 川( 删) 。 6 哈尔滨j 程大学硕士学位论文 第2 章广义逆矩阵的基础知识 2 1 广义逆矩阵的相关概念 2 1 1m o o r e - p e n r o s e 逆 设c ”为复刀维向量空间，c 袱”为复m ，z 阶矩阵的全体，c y = x c “”，r a n k x = ， r ( a ) = 0 ，由矩阵的奇异 值分解知，存在m 阶酉矩阵u 和刀阶酉矩阵y 使得a = u r v h ，其中 r = ( 会暑) c “n ，为满秩，阶对角阵i e 墨= ( 乞1 吕) c “m ，下面证 明x = v r l u 满足m o o r e p e n r o s e 的4 个条件，即x = v r l u 为彳的m p 逆彳+ ( 1 ) a x a = u r v 胃v r l u u r v 圩= u r v = a ； ( 2 ) x a x = v r i u h u r v 日v r l u h = v r l u = x ； c a x ) n = ( u r v n v r i 晔m 扩卜从； ( 4 ) 与( 3 ) 同理( x a ) = 黝 下面证明彳+ 的唯一性 设x ，x 2 都满足彳的m o o r e p e n r o s e 逆的4 个条件，则 x l = x l 删l = x l ( a x 2 x ) x i = x l ( 从2 ) ( 似1 ) = x l ( a x 2 ) ( a x l ) h = x l ( a x l 似2 ) = x l ( a x 2 ) 日= x l 似2 = x i 膨2 a x 2 = ( x l 彳) ( x 2 彳) 胃x 2 = ( x 2 a x i 彳) hx 2 = ( x 2 彳) 何x 2 = x 2 似2 = x 2 故a 的m p 逆彳+ 存在且唯一 m p 逆与通常的逆阵有相似的性质 定理2 1 2 设a c ”，则 ( 1 ) ( 么+ ) + = a ； ( 2 ) ( a ) + = ( a + ) 圩； c 3 ，c 刎，+ = 彳+ ，其中五c ，矿= 1 三三三； ( 4 ) ( 4 彳) + = a + ( 彳) + ，( a a ) + = ( a 何) + a + ； ( 5 ) a + = ( a 彳) + a = a ( a a ) + ； ( 5 ) a h = a h a a + = a + a a ； ( 7 ) ( u a v ) + = v 圩彳+ u ，其中u 为m 阶酉阵，v 为刀阶酉阵； ( 8 ) r a n k a = 刀时，么+ a = l ，r a n k a = m 时，a a + = i m 证明由定理2 1 1 证明，设4 有奇异值分解a = u r v ，其中 r = 呤o o ) ”，其中为满秩，阶对角阵，贝0 如豫。u 日， 墨= ( 乞1 吕 c ，易证c h 8 ，成立 2 1 1 2 矩阵的值域和零空间 定义2 1 3 设a c “”，定义4 的值域r ( a ) 和零空间n ( a ) 为 r ( 彳) = 少c ”：少= a x ，x c ”) ， 9 哈尔滨t 程大学硕士学何论文 ( 彳) = z c ”：a x = 0 ) ； 可以证明 r ( 彳) 上= n ( a ) 这里尺( 彳) 上表示尺( 彳) 的正交补子空间，即每个向量x c ”，可唯一地表 成x = y + z ，y r ( 彳) ，z r ( 彳) 上 定理2 1 3 ( 值域与零空间的性质) ( 1 ) r ( a ) = r ( a a + ) = r ( a a ) ： ( 2 ) r ( a + ) = g ( a ) = r ( a + a ) = r ( a a ) ； ( 3 ) r ( i a + a ) = n ( a + a ) = n ( a ) = r ( a 日) 上： ( 4 ) r ( i 一4 彳+ ) = n ( a a + ) = n ( a + ) = n ( a ) = r ( 彳) 上； ( 5 ) r ( a b ) = r ( a ) r a n k ( a b ) = r a n k a ； ( 6 ) n ( a b ) = ( 召) r a n k ( a b ) = r a n k b 弓l 理2 1 1 设a c ”。”，贝0 ( 1 ) r a n k a = r a n k a + = r a n k ( a + a ) = r a n k ( a a + ) ； ( 2 ) 设e 4 = l 一彳彳+ ，瓦= i 。一彳+ 彳，则 r a n k a = m r a n k e ，r a n k a = n r a n k f a ； ( 3 ) r a n k ( a a 片) = r a n k a = r a n k ( a 何a ) 2 1 1 3 满秩分解 一个不是列( 行) 满秩的非零矩阵可以表成一个列满秩和一个行满 秩矩阵的乘积，称为矩阵的满秩分解，它在广义逆矩阵的研究中是一个 有力的工具 定理2 1 4 设a c y ， 0 ，则存在列满秩阵f c y 和行满秩阵 g c 7 ”，使得 a = 粥 ( 2 7 ) 应该指出，一个矩阵彳的满秩分解不是唯一的因为若c c 7 7 ，则 a = ( 彤) ( c _ 1 g ) 量f , a 。也是彳的一个满秩分解利用a 的满秩分解可导 1 0 哈尔滨- 丁程大学硕十学位论文 出m p 逆彳+ 的一个显示公式 定理2 1 5 设a c ? ， 0 ，有满秩分解a = f g ，则 a + = g ( f a g ) 一f = g ( g g ) 一( f f ) - 1 f h( 2 - 8 ) 推论2 1 1 若a c ，则a + = ( a 彳) 。1a ；若a c m 。“，则 a + = a ( 州) 2 1 1 4 不相容线性方程组的极小范数最小二乘解与m p 逆 若x = ( 而，x 2 ，x 。) r c p ，我们知道x 的2 一范数 忪i i , = ( h1 2 ) i 2 = ( x x ) v 2 ( 2 - 9 ) i = l 为方便起见，记l | x l i ：= i | x i i 若“，v c p ，且u 和1 ，正交，即( z ，v ) = 0 ，则 + v1 1 2 = 忪i | 2 + i i1 ，0 2( 2 lo ) 这就是著名的勾股定理 下面讨论不相容线性方程组 a x = b ( a c “”，b 萑尺( 彳) ) 的最小二乘解和极小范数最小二乘解 定义2 1 4 设a c 肘”，b c ，向量甜c ”称为( 2 4 ) 的最小二乘解， 如果| la u bl i 1 la v b | | 对一切1 ，c ”成立 定义2 1 5 设a c “”，b c 朋，向量“c ”称为( 2 4 ) 的极小范数最 小二乘解，如果u 是( 2 - 4 ) 的最小二乘解，且i i 甜1 1 ，则 a 1 ，3 ) = g = a 1 3 + ( 厶_ 4 0 , 3 ) a ) z ，z c “任意)( 2 一l8 ) 定理2 1 18 设a c “”，b c ”，劢是不相容线性方程组a x = b 的 最小二乘的充分必要条件是x a 1 ，3 ) 2 1 3 具有指定值域和零空间的广义逆 2 1 3 1 幂等矩阵和投影算子 定义2 1 8 设e c “”，e 2 = e ，则称e 为幂等阵 引理2 1 2 设e c “”为幂等矩阵，为? x 丹单位阵，则 ( 1 ) e 片和，一e 是幂等矩阵； ( 2 ) e 的特征值为0 和1 ，其中1 的重数等于r a n k e ； ( 3 ) r a n k e = t r e ； ( 4 ) e ( i e ) = ( ，一e ) e = 0 ； 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 ( 5 ) e x = x 当且仅当x 只( e ) ； ( 6 ) e e 1 ，2 ) ； ( 7 ) ( e ) = r ( i e ) 引理2 。1 。3 若e = f g 为满秩分解，则当且仅当g f = i 时，e 为 幂等矩阵 设三和m 为c “的互补子空间，即c ”= lom ，则x 可唯一地表成 x = y + z ( y l ，z m )( 2 19 ) 我们称y 为x 沿m 在三上的投影 定义2 1 9 用兄朋表示将任意x e “沿m 变到它在三上的投影 上去的变换( 可以证明这是一个线性变换) 。这个变换在标准正交基下 对应的矩阵也用艺埘表示( 可以证明这是一个幂等矩阵) ，我们称变换 置为沿m 到l 上的投影算子，最x = y 下列重要定理建立了刀阶幂等阵与投影算子r 朋之间的一一对应 关系 定理2 。1 19 对每个幂等阵e c “”，r ( e ) 和( e ) 互为补子空间， 而且 e = 乓( e ) ，( f ) ( 2 2 0 ) 反之，若和m 互补，则存在唯一的幂等阵置拟c “，使 r ( b 朋) = l ，( 置朋) = m ( 2 2 1 ) 推论2 1 3 设c ”= l0m ，则对每一个x c ”，分解式( 2 19 ) 由下式 给出 y = 置, m x ，z = ( ，一吃朋弦( 2 - 2 2 ) ( 2 2 2 ) 式表示了投影算子最朋与直和之间的关系 推论2 1 4 若彳和x 互为 1 ，2 逆，则 a x = 最( 一) ，( x ) ，剧= 最( z ) ( 一) ( 2 2 3 ) 由定理2 1 1 9 知只朋是幂等阵利用引理2 1 2 知也是幂等 阵，故咣也是投影算子利用n ( a ) = r 似) 上可得 1 6 哈尔滨下程大学硕士学位论文 r ( ) = ( 最彤) 上= m 上，( 最h ) = r c e ：) 上= r ， = 足( 喘燃吼) = 气- ，p 由此可得 推论2 1 5 令= l m ，则当且仅当乞埘为h e r m i t e 阵时，膨 = p 就像定理2 1 1 9 指出的投影算子吃和幂等算子之间有一一对应 关系一样，投影算子尸，和h e r m i t e 幂等阵之间也存在着一一对应关系 我们把沿p 到上的投影算子简称为到三上的投影算子，它是将每个 x c ”变到其在三上的正交投影上的变换今后用尸，表示，也称为到三 上的正交投影算子 下面讨论在什么情况下，投影算子的和、差、积也是投影算子 定理2 1 2 0 设只是沿l 到蜀上的投影算子，最是沿：到r ：上 的投影算子，则p = 异+ 最为投影算子的充要条件是 互最= 只只= 0 ( 2 2 4 ) 此时，尸为沿n = n jnn 2 到r = r l0r 2 上的投影算子 定理2 1 2 1 鼻和忍的假设同定理2 1 2 0 ，则p = e 一为投影算 子的充要条件是 鼻= 最舅= 昱( 2 - 2 5 ) 此时，p 为沿n = n 。or 2 到r = r lnn 2 上的投影算子 定理2 1 2 2 只和只的假设同定理2 1 2 0 ，若 暑最= 最e ( 2 2 6 ) 则p = 蜀墨是沿n = n l + n 2 到r = r lnr 2 上的投影算子 2 1 。3 。2 广义逆a o , 2 弓l 理2 。1 4 设c ”= em ，则 ( 1 ) 兄埘a = 么的充分必要条件是r ( 彳) c l ； 1 7 哈尔滨1 二稗大学硕士学何论文 ( 2 ) 么最埘= a 的充分必要条件是mc ( 4 ) 定理2 1 2 3 设a c “”，r ( a 】= ，( 4 ) = m ，c 脚= 上os ，c ”= tom ，则x 为彳的使n ( a x ) = s ，r ( x a ) = t 的 1 ) 逆的充要条件是 a x = 尸l ，剧= b 捌 引理2 1 5 满足矩阵方程a x = b ，尉= c ，x a x = x 的解至多有 一个 定理2 1 2 4 设a c ”，尺( 么) = l ，n ( a ) = m ，c 肼= los ，c ”= 丁。 肘，则矩阵方程似= 吃x a = b ，x a x = x 有唯一解x ，且解x 为 彳的 l ，2 逆，灭( x ) = t ，( x ) = s ，x = 弓彳1 兄，s ( 称满足上述条件的x 为a 的具有指定值域与零空间的 l ，2 ) 逆，记为a o , 2 ) 引理2 1 6 秩( 罢三 = 秩彳，则一定存在x ，】，使得b = 删， c = y a 成立 下面定理给出了a o , s 2 的一个刻画 定理2 1 2 5 设斜0 字, 2 存在，则秩( 詈三) = 秩彳具有幂等解b ，c 且 ( b ) = s ，r ( c ) = t 的充要条件是d = 呷a ( l ，s 2 2 1 3 3u r q u h a r t 公式 利用u r q u h a r t 提供的结果，可以构造一个计算a o , 2 的公式 定理2 1 2 6 设a c 7 ”，u c “p ，v c 删，x = u ( v a u ) n v ，其中 ( v a u ) 1 ( v a u ) 1 ，则 ( 1 ) x a 1 ) 当且仅当r a n k ( v a u ) = ，； ( 2 ) x 彳 2 ，r ( x ) = r ( u ) 当且仅当r a n k ( v a u ) = r a n k u ； ( 3 ) x 彳 2 ) ，n ( x ) = n ( v ) 当且仅当r a n k ( v a u ) = r a n k v ； ( 4 ) x = 瑚a o ( , u 2 ) ) ( p ) 当且仅当r a n k ( v a u ) = r a n k u = r a n k v = r ： ( 5 ) x = 彳茹x ( 矿) 当且仅当r a n k ( v a u ) = r a n k u = r a n k v 1 8 哈尔滨丁程大学硕十学何论文 定理2 1 2 6 不仅可以构造彳鼢州矿) 而且还可以构造具有指定值域 天( u ) 和零空间( y ) 的 2 ) 逆彳彩) 下面我们就来讨论这种广义逆 2 1 3 4 广义逆彳终 定理2 1 2 7 设a c 7 ”，子空间tc c ”，scc ”，d i m t = d i m s 上 = f ，则a 有满足r ( x ) = t ，n ( x ) = s 的 2 ) 逆x 当且仅当 a t o s = c “ ( 2 - 2 7 ) 此时x 是唯一的，记作x = 彳罢 下列推论指出，当定理2 1 2 6 中的f = ，时，么器化为岬a o , s 2 推论2 1 6 设a c ，t 和s 分别为c ”和c ”的，维和m 一，维子 空间，则下列三个命题等价： ( 1 ) a t os = c 埘； 、 ( 2 ) r ( a ) o s = c ”，( 彳) 0 t = c ”； ( 3 ) 存在一个x a i ，2 ) ，使得r ( x ) = t ，n ( x ) = s 2 1 4d r a z i n 逆 首先指出，d r a z i n 逆只对方阵有定义，下面先给出方阵指标的定 义 定义2 1 10 设a c ，我们称满足 r a n k a + 1 = r a n k a 的最小非负整数寿为a 的指标记作 i n d ( a ) = k 若么非奇异，则i n d ( a ) = 0 若么奇异，则i n d ( a ) 1 ，以下我们只考虑彳 是奇异的情形 1 9 5 8 年，美国数学家m p d r a z i n 在研究结合环的代数结构时对方 阵引进了一种新的广义逆，现在称为d r a z i n 逆 定义2 1 11 【5 设a c “，i n d ( a ) = k ，若x c 删“满足 1 9 哈尔滨丁程大学硕十学俯论文 ( 1 ) 彳黝= a 。； ( 2 ) x a x = x ； ( 2 2 8 ) ( 3 ) 从= x a ； 则称石为a 的d r a z i n 逆，记作x = a d 下面证明d r a z i n 逆的存在性和唯一性 定理2 1 2 8 设a c “”，i n d ( a ) = k ，则a 的d r a z i n 逆存在且唯 证明因为i n d ( a ) = k ，由r ( a ) 0 ( 彳) = c ”，设p = ( ，1 ，v ，v ，+ 1 ， ，1 ，。) ，其中 v l ，一，) 和 v ，+ l ，。) 分别是r ( a ) 和n ( a ) 的基底记 p = ( 互，最) 置= ( v l ，1 ，) 忍= ( v r + l ，k ) 因为r ( a ) 和n ( a ) 都是彳的不变子空间，故存在c c 和n c ( ) ( ) ，使 a p t = 鼻c ，彳罡= 1 2 n ， 于是彳有分解式 么= 彳三弦， l d 因为a k n ( a ) = 0 ，故0 = 彳最= 最。，从而n = 0 ，又 彳= 尸( c 0 。吕 p 一， ld ，= r a n k a = r a n k c r a n k c ，故r a n k c = ，即c 为，阶非奇异阵设 x ：尸忙d 协 l0d 易证x 满足d r a z i n 逆的条件，故x = a d 下面证明彳d 的唯一性设x 和y 都是彳的d r a z i n 逆令似= 捌 = e ，a y = y a = f 显然e 2 = e ，f 2 = f 故 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 e ：倒= 么。x 。= a 。y a x 。= a y a 。x = f a x = f e ， f = 蹦= 】，么= 】，a x a = y a e = 咫， 故e = f ，从而x = 朋2 = e x = f x = y a x = y e = y f = y 2 a = a y 2 = y 2 1 5 群逆 定义2 1 12 设a c “”，若x c “”满足 ( 1 ) a x a = a ： ( 2 ) x a x = x ；( 2 - 2 9 ) ( 3 ) a x = x a ； 则称x 为彳的群逆，记作彳4 定理2 1 2 9 设a c “”，若彳4 存在，则彳4 唯一 证明设x 。，x ：为彳的群逆，则 x l = x l 似l = x i ( a x 2 a ) x l = x i x 2 ( a x l a ) = x l a x 2 = x l ( 删2 a ) x 2 = ( a x l a ) x 2 x 22 似2 x 2 = x 2 倒2 = x 2 故若a 4 存在，则a 4 唯一 定理2 1 3 0 设a c 删”不可逆，则彳4 存在的充分必要条件是 l n d ( , 4 ) = 1( 2 - 3 0 ) 证明若a = o ，则命题显然成立，以下假定彳不可逆且a o 充分性由a 的若当分解得 a = 聊，j = 幽昭( 以，以，以) 因为i n d ( a ) = l ，所以r a n k j ? = r a n k 。，；= 1 , 2 ，仃故么的零特征值 对应的若当块都是1 阶的，故存在可逆阵c 使得彳= 尸( 三吕 尸，不难 验证x = 尸( 艺1 吕 户= 彳4 必要性设彳4 存在，则州4 a = a ，a 4 a a 4 = a 4 ，a a 4 = a 4 a ，故 r n a k a ：r a n k a a 4 a ：r a n k a 2 a 4 2 l 哈尔滨工程大学硕七学何论文 r a n k 4 2 r a n k a 所以r a n k a 2 = r a n k a ，即i n d ( a ) = 1 推论2 1 7 设a c 肘”，则彳4 存在的充分必要条件是存在可逆阵 p ，c ，使得彳= p ( 三吕) 尸。1c 此时么4 = 尸( 暑1o 尸一， 2 1 6b o t t - d u f fin 逆和广义b o t t - d u f fin 逆 电网络理论中提出了下列约束方程组 出+ y = b ，x 厶y r ( 2 - 31 ) 其中a c 雕”，b c ”，子空间lcc ”容易看出( 2 31 ) 的相容性等价于下 列方程组 ( 彳最+ 只) z = b ( 2 3 2 ) 的相容性并且l x 1 是( 2 31 ) 的解当且仅当 y x = 忍z ，y = e z = b 一彳最z ( 2 3 3 ) 其中z 是( 2 3 2 ) 的解，兄和c 分别是三和p 上的正交投影算子若 4 最+ e l - 非奇异，则对任何b c ”，( 2 3 2 ) 相容，其唯一解为 x = 兄( 彳圪+ p l j - ) b ，y = b a x ( 2 3 4 ) 定义2 1 13 设a c 脓”，子空间l ( 2 2 ，若么最+ p 非奇异，则么关 于三的b o t t d u f f i n 逆，记作彳p ，定义为 么：- d = e ( 彳最+ c 产) 。1 ( 2 - 3 5 ) 定义2 1 14 设a c ，子空间lcc “，当彳为“三一零 阵时，( 当 彳三nr = 0 时，彳称为“三一零 阵) 彳，= 皖( 彳兄+ t ) +( 2 - 3 6 ) 称为彳的广义b o t t d u f f i n 逆 如果两个线性变换满足互疋= 正互= i ，则称正，疋互为逆变换， 有t ( x 。+ x 2 ) = 0 ，t ( 2 x 。) = 0 ，就是说，( 丁) 对线性运算也是封闭的，同时 哈尔滨下程大学硕士学位论文 t ( o ) = 0 ，n ( t ) 非空，所以n ( t ) 是k 的子空间 2 2 本章小结 在本章中，我们介绍了几种常见的广义逆矩阵：m - p 逆、 1 ) - 逆、 d r a z i n 逆、群逆、应用于电网