（基础数学专业论文）二维对流占优扩散方程基于特征理论的算法研究.pdf

摘要 对流扩散方程是一类基本的运动方程，它可以用来描述河流污染、 大气污染、核废物污染中污染物质的分布，流体的流动和流体中热的传 导等众多物理现象对流占优扩散方程具有一个共性，即对流占优性，对 流占优性给数值求解带来许多困难因此，寻找一种有效数值解法一直是 计算数学中重要研究内容8 0 年代，d o u gla s 和r u s s e1 l 等提出特征修正 技术求解对流占优扩散问题，与其它方法相结合，提出了特征有限差分 方法、特征混合有限元方法等，并给出理论分析 考虑到问题的一维情形研究较多，本论文选择二维线性对流占优扩 散方程作为研究的模型问题，主要做了以下两个方面的工作： 首先，我们将扩展特征混合有限元方法来数值求解该模型问题，给 出了方程的离散格式该格式从未知函数，未知函数的梯度及伴随向量函 数三个方面同时高精度的逼近，即对扩散部分采用了扩展混合有限元方 法；而对对流部分则沿着特征线方向进行离散，以消除流动锋线的数值 弥散现象，这样又保证了稳定性经过理论分析，对于二维情形，该方法 同样具有稳定性且有r 的逼近精度 其次，在相同模型问题不同边界条件下，运用特征有限差分方法数 值模拟由文 27 讨论一维例子，进一步分析，找出一种求解二维对流占 优扩散方程的双线性插值，给出了其离散格式，并理论分析了该格式的 收敛性， 结果整体误差与o f 2 + 缸) 同阶同时，给出了算例，利用 m a t l a b7 0 软件编程算出该例子的数值解，通过图形比较分析，说明对 于一类二维对流占优扩散方程，应用此差分格式，能更有效消除数值振 荡现象，从而能提高数值逼近度 关键词：二维线性对流扩散方程； 差分方法；双线性插值； 扩展特征混合有限元方法；特征有限 误差估计；收敛分析 a b s t r a c t t h ec o n v e c t i o n d i f f u s i o ne q u a t i o n sa r et h eb a s i ce q u a t i o n s ，a n dc a nb e u s e dt od e s c r i b em a n yp h y s i c a lp h e n o m e n as u c ha st h ed i s t r i b u t i o no f p o l l u t a n t si nt h er i v e r ，a i ra n dn u c l e a rw a s t ep o l l u t i o n ，t h ef l o wo fn u i da n d t h et r a n s f e ro f h e a ti nf l u i da n ds oo n 1 th a sac o m m o nc h a r a c t e r ，n a m e l y ， d o m i n a t e dc o n v e c t i o n h o w e v e r ，t h ec h a r a c t e rh a sb r o u g h tm u c hd i f n c u l t y f o rn u m e r i c a ls o l u t i o n t h e r e f o r e ，f i n d i n ga ne f f i c i e n tn u m e r i c a ls o l u t i o ni s a ni m p o r t a n tt o p i ci nt h ef i e l do fc o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s d u r i n gl9 8 0 s ， d o u g l a sa n dr u s s e l l ，e t c ，p u tf 6 r w a r dt h ec h a r a c t e r i s t i cc o r r e c tm e t h o dt o s o l v ec o n v e c t i o n - d o m i n a t e dd i f f u s i o np r o b l e m s ，w h i c hc o u l dc o m b i n ew i t h o t h e rm e t h o d s ，a n dg i v es o m em e t h o d ss u c ha sc h a r a c t e r i s t i cf i n i t ed i f f e 卜 e n c em e t h o da n dc h a r a c t e r i s t i c m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，e t c ，a n dg i v e t h e mt h e o r e t i c a la n a l y s i s i nt e r m so ft h ef a c t t h a tm o s tw o r k sf 6 c u so nt h es i t u a t i o no fo n e d i m e n s i o n ， w ec h o o s et h el i n e a rc o n v e c t i o n d o m i n a t e dd i f f h s i o no ft w o d i m e n s i o n sa 8o u rm o d e li nt h i s p a p e r t h em a j o rc o n t r i b u t i o n so ft h i s t h e s i sa r ei nt w oa s p e c t s ： f i r s t l y ，w ew i l lg i v et h ed i s c r e t ef o r m a to fe q u a t i o nb yt h ee x p a n d e d c h a r a c t e r i s t i c m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o dt on u m e r i c a l l ys o l v et h em o d e l p r o b l e m t h i ss c h e m ec a ns i m u l t a n e o u s l yd e a lw i t ht h r e ev a r i a b l e s ： t h e s c a l a ru n k n o w n ，i t sg r a d i e n ta n di t sf l u xo p t i m a l l yt oa p p r o x i m a t ep r e c i s e l y t h a ti s ，w ea d o p te x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o dt ot r e a tt h et e r mo f d i f f u s i o n w h i l ew ed i s c r e t i z et h ec o n v e c t i o np a r ta l o n gw i t hd i r e c t i o no f t h ec h a r a c t e r i s t i c1 i n ei no r d e rt oo v e r c o m et h ep h e n o m e n ao fn u m e r i c a l o s c 订l a t i o n sa tt h ef l u x i o n t h u s ，i tc a ne n s u r et h es t a b i l i t yo ft h i sa l g o r i t h m b yt h et h e o r e t i c a la n a l y s i s ，f o rt h et w od i m e n s i o n a lc a s e ，t h i ss c h e m ei s s t a b l ea n da t t a i n sa no p t i m a l口 e r r o re s t i m a t e s e c o n d l y ，w es i m u l a t ei tb ya d o p t i n gc h a r a c t e r i s t i c sf i n i t ed i f f e f e n c e m e t h o du n d e rt h es a m em o d e lb u tw i t hd i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n s t h e a u t h o r so f 【2 7 】d i s c u s st h ee x a m p l eo fo n ed i m e n s i o n w ef i n dt h eb i l i n e a r i n t e r p o l a t i o nt o s o l v et h ec o n v e c t i o n d o m i n a t e dd i f f 、l s i o ne q u a t i o no ft w o d i m e n s i o n sb yf u r t h e ra n a l y s i s ，g i v ei t sd i s c r e t es c h e m e ，a n dt h e o r e t i c a l l y a n a l y z et h ec o n v e r g e n c eo ft h i ss c h e m e ，w h i c hs h o w st h ee r r o ro fo r d e r d ( 2 + 出) a n dt h e n ，w es h o wan u m e r i c a le x a m p l eb ym a t l a b7 o b yt h e c o m p a r i s o no ft h ef i g u r e ，i ti ss h o w nt h a tt h ed i f f e r e n c es c h e m ec a ne l i m i - n a t et h en u m e r i c a lo s c i l l a t i o n sm o r ee f f i c i e n t l yf o rak i n do fc o n v e c t i o n - d o m i n a t e dd i t u s i o no ft w od i m e n s i o n s t h u s ，w ec a ni m p r o v et h ea p p r o x i m a t i o nr a t eo fn u m e r i c a ls o h l t i o n k e yw o r d s ： l i n e a rc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o no ft w od i m e n s i o n s ； e x p a n d e d c h a r a c t e r i s t i c - m i x e df i n i t ee l e m e n t m e t h o d ； c h a r a c t e r i s t i cf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ；b i l i n e a ri n t e r p o l a t i o n ；e r r o re s t i m a t e s ；c o n v e r g e n c ea n a l y s i s m 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：胡氙皂炙 日期：多。7 年歹月，多日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库 进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密囹。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 日期：加。夕年岁月彦日 醐：平朋，严日 丘j 芝彳刚呻 圳橼 名 名 签 签 者 师 作 导 第一章绪论 1 1 对流占优扩散方程的背景 对流扩散问题主要是研究流体在流动过程中，流体所携带的某种物 理量的变化规律。这些物理量如温度或溶解于流体中的物质浓度等这些 变化一般包括对流、扩散以及由于某种物理化学原因所引起的物理量自 身衰退或增长的过程 1 1 1 对流扩散方程的物理过程 假定伊= 伊( 五j ，z ，f ) 是流体中单位体积所携带的某种物理量这个物理 量可以是流体中所含污染物质或热量，也可以是流体介质本身的质量于 是p 可以表示流体所含污染物质的浓度或流体的温度，也可以表示流体的 密度p 因此还可以将物理量缈写成乘积卯为了研究物理量缈的变化规 律，在流体中任取一个有限的区域d ，其边界为s 我们感兴趣的是区域d 内矽的分布和变化情况 下面介绍影响物理量矽的三个过程： 区域d 内物理量矽的变化一般由对流、扩散和源汇三个方面的物理变 化过程所构成，现在分别进行讨论 ( 1 ) 对流过程在对流过程中，有限区域d 内缈的变化有两个方面，其 一是p 随时间而产生变化，其二是由于 流体位置发生变化引起的变化( 参见左 图1 1 ) 在对流过程中有限区域d 中，缈 的积分量变化可以写成下面的随体导数 罢见= 儿老知+ 唾伽。勰( 1 1 ) 图1 1 有限区域d 的随体导数 式中= 甜厅是流体速度在s 面上的法向分量利用g r e e n g a u s s 公式 缈。凼= 儿疥y ( 伽) 扣，则有 丢见伊奶= 儿 等+ 访y ( 缈) 奶 ( 1 2 ) ( 2 ) 扩散过程扩散过程包括分子扩散和湍流扩散由于扩散，使得物 一，一一一一一、一 理量矽由高值向低值方向转移现设单位时间内通过单位面积的物理量为 g ，即扩散的速度根据f i c k 定律，扩散速度g 和物理量缈存在如下关系 g = 一胛9 ( 1 3 ) 式( 1 3 ) 中k 为扩散系数k 可以是缈或其它物理量的函数，或者是常 数 考虑到扩散的作用，有限区域中的缈增量为 电刀椰= 唾刀k v 邮= 见西y ( k v 伊归 ( 1 4 ) ( 3 ) 源汇物理量缈还因为流场中存在源和汇而发生变化流畅中的物理 量9 可能由于受到污染或进行某种处理等原因，可使得9 自身增长或衰 减，并用源和汇来描述，记为q q 为分布函数，q o 表示源，q o ， x = ( 五，屯) 2 ，6 ( 石) = ( 6 l ( x ) ，6 2 ( 工) ) 1 ，c ( x ) = c ( x ，f ) ，哑n 1 6 ( x ) i m 警口( x ) ，“表示可溶物 质的浓度或饱和度，6 = 似，如) 表示混合流体的达西速度 对上述模型问题一一二维线性对流占优扩散方程，我们对对流部分沿 特征线方向进行离散，以消除流动锋线的数值弥散现象，保证格式的稳 定性；而对扩散部分采用扩展混合有限元方法，即同时高精度逼近未知 函数，未知函数的梯度及伴随向量函数从理论分析表明，该方法具有稳 定性，和有最优的亭逼近精度 5 1 3 2 线性对流占优扩散方程的特征有限差分法 aed k bf c 运用特征有限差分法求解对流占优扩 ( k ) 散方程，一般都要利用代数插值进行计算， 文献 2 6 】中考虑的是一维对流占优扩散方程 、 的初边值问题，采用了如左图双线性插值方 法( 图1 2 ) 构造出一种特征差分算法此算 t ( k 1 ) 法可以有效地消除数值振荡基于此方法的 思想，本文推广运用在本文模型问题一一 图1 2 双线性插值示意图【2 6 】 二维线性对流占优扩散方程，我们构造如图3 1 形式的双线性插值方法， 得到了方程稳定的离散计算格式( 3 12 ) ，并对其收敛性质进行分析，给 出了相应的数值算例，说明对于一类二维对流占优扩散方程，应用此差 分格式，能更有效地消除数值振荡现象，从而较好地提高数值逼近度 6 第二章线性对流占优扩散方程的扩展 特征混合有限元法 2 1 引言 在标准的混合元的基础上，陈章新于l9 9 8 年提出了扩展混合元方法， 并将其应用于椭圆型方程的求解t 使用该方法可以同时逼近未知函 数，未知函数的梯度及流量函数( 即系数与梯度的乘积) 特别是，当方 程中的流量函数所包含的系数是一个小张量时，用此方法能够得到更好 的数值结果其缺陷在于有限元空间的选取有一定的要求，构造的空间必 须满足l b b 条件，这样给空间的选取和方法的应用带来一定困难 针对对流占优扩散方程，我们引入特征线法【1 3 】，和扩展混合有限元方 法相结合，即被称为特征扩展混合有限元方法l ，解决本文提出的线性 对流占优扩散方程的模型问题该方法对此类模型问题不仅可以同时高 精度逼近未知函数，未知函数的梯度及其伴随函数，同时可以消除对流 锋线前沿而由传统方法容易产生的数值振荡和弥散现象，为了进行理论 分析，我们将引入了一些假设条件和引理，在此基础上证明了几个定理 理论分析表明，我们的特征扩张混合有限元方法可以较好地应用在一类 二维的对流占优扩散方程中，此方法是一种能保证格式稳定的高性能数 值方法 2 2 方程的扩展特征混合有限元离散格式 讨论如下线性对流占优扩散问题 ( 口) c ( x ) 詈+ 6 ( x ) v “_ v ( 口( z ) v “) = 厂( 刈) ，( 彬) q ( 。，丁】； ( 6 ) 詈= o ，( 五，) 讹( 咿】； ( 2 1 ) ( c ) “( x ，o ) = “。( x ) ， 工q 其中q c 尺2 是具有光滑边界孢的有界区域，时间为，= ( o ，丁) ，r o ，空间 为z = ( 五，艺) r ，6 ( z ) = ( 2 5 i ( 石) ，6 2 ( z ) ) r ，c ( x ) = c ( 五f ) ，哑n 1 6 ( x ) l 峄口( x ) ，“表示可溶 物质的浓度或饱和度，6 = ( 2 j i ，如) 表示混合流体的达西速度，口，6 ，c ，均为已知 函数，并且满足如下条件： 7 存在正常数口l ，口2 ，c i ，c 2 ，k ，便 i ( 口) o c l c ( x ) c j ； ( 6 ) o 口l 口( 工) 口： 佃； ( 2 2 ) 【( c ) 1 6 ( x ) l + | v 6 ( z ) 卜k 坛q 设( 2 1 ) 的解“满足 i ( j ) 吩r ( o ，丁；h n l ( q ) ) ； ( p ) r ( o ，丁；日n 1 ( q ) ) ； ( 2 3 ) 【( 厂) r ( o ，r ；r ( q ) ) 令缈( 五f ) = c 2 ( 五f ) + 1 6 ( z ) 1 2 ，与算子c ( z ，f ) 詈+ 6 ( 工) v “相伴的特征方向为： c 卅= 嵩，端 4 ， 从而沿特征方向f 方向的算子为： 南= 端昙+ 端v 5 ， a f ( 五f ) y ( x ，f ) a 。y ( x ，f ) 。 “。 于是利用上述记号，方程( 1 1 口) 可以写成如下形式： y ( 彬) 妻一v ( 口( 工) v “) = ( f ) ( 五f ) q ( o ，r ) ( 2 6 ) 引入中间变量 a = v ”，仃= 一口( x ) v ”= 口( 工) a 令 ( 口) 沙( 彬) 妻+ v 仃= 厂； ( 6 ) 允= 一v “； ( 2 7 ) ( c ) 仃= 口( x ) z 日( 挑，q ) = v 口( q ) r ( q ) ；v v r ( q ) ) ； 矿= y 日( 加；v - 二= o d 行施) ) ； 形= 口( q ) ； 人= r ( q ) r ( q ) 则与问题( 2 1 ) 相应的扩展特征混合有限元变分形式为：求 盯，旯，) y 人形满足： ( 口) ( 少( 彬) 妻，w ) + ( v 旺w ) = ( 厂，w ) v w 形； ( 6 ) ( 五， ，) 一( “，v ，) = o v ，矿； ( c ) ( 盯，) 一( 口( x ) 兄，) = ov 人 ( 2 8 ) 设瓦为q 的拟正则剖分，剖分参数为 ( o j i l 1 ) ，剖分单元为e ， 饱互， 圪( e ) ( e ) 为文献 9 ，2 4 】中定义r a v i a r t t h o m a s 空间或b r e e z i d o u g l a s m a r i n i 空间，即： 圪( e ) = ( 只( e ) ) ”，呢( e ) = ( 只一。( e ) ) ( 尼1 ) 据此定义下列有 限元间： a 。= 人；i 占圪( e ) ，v e 瓦) ； 圪= 1 ，矿；v i e 圪( e ) ，v e 乃) ； = w 形；w l e ( e ) ，v e 瓦 选取时间步长为& ，在时间层广= 珂f 离散变分问题，对特征方向做如 下近似，记作： 岛一鹈础 则 ( 少珈k 叫蒿并 斗r 一) 掣 则相应的扩展特征混合有限元离散格式为： 求( 吒， ，以) ： f 。，f 1 ， 专圪人。呢满足 9 ( 2 9 ) p 辱小v 训彤”川v 删； ( 6 ) ( 群，) 一( “：，v v ) = ov 圪； ( c ) ( 吖，以) 一( 口刀，以) = o 人。； ( d ) 醒= 品。坛q 其中磁p 加：_ ( ；) 1 卜鬻小。由2 2 ，札。时确定 2 3 扩展特征混合有限元格式解的存在唯一性 定理2 1 在上述假定条件下，格式( 2 10 ) 存在唯一解 证设= 聊刀 仍，仍，纨 ，圪= 卿以 破，欢，九 ，= 。，i f ，足 mnk 磁= 衅仍，吖= 町办，雒= 刀 j = l，等l，= l 将上式代入到( 2 1 o ) 中，并令= 仍，v = 力，= 帆 设u ”= ( “? ，“；，屹) r ，矿= ( 吖，嵋) r ，五”= ( 冒，刀，雒) r b = ( ( 纺，v 谚) ) 材。，么= ( ( 仍，纺) ) 吖枷，d = ( ( 力，) ) m k ， 层= ( ( v 力，纺) ) 。，日= ( ( 口，) ) k 。量，d r = ( ( 吩，力) ) x 。， f ”= ( ( 厂“，仍) ，( 厂4 ，仍) ，( 厂”，) ) ， g 纠= ( ( 薛1 ，仍) ，( 西1 ，仍) ，( 云1 ，) ) 则问题变为u ”，旯”，仃“满足，对v f ( o ，r ) 有 口) c ”彳u ”+ 培仃“= “+ c “g ”1 ； 6 ) d 兄“一e 【，“= o ； c ) 允“= 矿矿 ( 2 1o ) 由于h 是对称正定矩阵，故从( 2 1 1c ) 中可得到= 日- 1 d 7 矿代入 ( 2 1 16 ) 中可得： d 仃一1 d r 仃“= e u “( 2 12 ) 假设矩阵删一1 d r 是可逆的，则可得盯“= ( 册一1 d r ) e u “ 1 0 令口= 形，有 c “彳u 4 + 坍( 明一1 d r ) - 1e u “= “+ c ”g “一l 彳沙= f ( 口p 一口b ( 朋1 d r ) 一e u ”) + g 川 矿= 一 & ( 一口b ( 明q 。r ) 删) 坩。1 当缸充分小时，又因为么是可逆矩阵，所以此线性代数方程组存在唯一解 下面只要证明矩阵脚_ 1 d r 可逆即可 证因为空间圪c 人。，所以k ，因为日是对称正定矩阵，故只需证 明矩阵d 秩为，即行满秩即可用反证法，假设矩阵d 的个行向量线 性相关，不妨设第个向量可以由前一1 个线性表出，即： ( ( 九，) ，( 九，) ) = 屈( ( 谚，) ，( 谚，) ) ：趸i篓。tt，：t，驴1)，(：篓，。!，：，：t，缈k)：!1：；：) 则有 ( j 。，。) = = ( ! 篓c b ，c ，。：) ，a i = = - ，2 ，3 ，【 ( 九，y 。) = i 屈谚，l ，七= l ，2 ，3 ，k f = l 从而 ( ，- ，! 篓c ，：t ，s t ，。：) = = 。，z ：= = ，2 ，3 ，z 【 i 九一屈谚，l = o ，七= l ，2 ，3 ，k f = l 一l 九一屈谚= o ( 2 14 ) f = l 式( 2 1 4 ) 与荔，唬，九为空间圪的一组基向量相矛盾，故结论得证 2 4 扩展特征混合有限元格式的误差估计 记簖= “j ：一磊“，= 磊“一“”，= 刀一互”，孝“= 互“一名“，算= 群一孑”，矿= 孑”一盯” 由文【13 可知下列估计成立 = 卜徘硒洲l ，+ l 眦) 1 ，尼+ 1 ( 2 15 ) 钏= 忆一五r l | 砌7 q i l r 1 ，- 露+ l 刁l l = 1 l 盯一刎砌7 洲圳1 ，后+ l 7 7 f | l = l j q 一训砌7 骶| | ，+ i 眦 1 ，后十l ( 2 16 ) ( 2 17 ) ( 2 18 ) i i p o = i l “一品8 篙j j ；! ! i i ，：三l ；后 c2 9 ， o 肛o = o q 一磊，o 篙j 矬3 | ，二三二尼 c2 2 。， 此外 0 互i l r ( 。 p ) k ； 0 五r0 r ( 。r r ) k ( 2 21 ) 为了进行数值分析，引入变分问题的混合椭圆投影：求( 孑，互，品) ：【o ，丁卜争 圪人。满足 口( a 一互) ，) 一( 仃一孑，) = o 弘人。 旯一互，v ) 一( “一五，v v ) = o v ， 。 ( 2 2 2 ) v ( 盯一孑) ，_ = o v w 呢 建立如下引理，这些引理对定理的证明是非常重要的 引理2 1 【9 】对v “r ( q ) ，存在吼日1 ( q ) 日1 ( q ) 满足 i ( 口) v 钆= ( 6 ) 。k m | o ，有 1 2 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ，iii，i_，fii 、一、j 口 6 c ，一，ii、，f一， ，-_i_il-，、_-_i_l_l 故 则 又有 ( ，孝) i o ，由g r o n w a l l s 引理得 ( 2 4 3 ) ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) 吲卟卅+ | | 帆。，誓，) + 制b 山 4 6 ， 由于一“= + p 再结合( 2 19 ) 和( 2 2 0 ) 得 一“i i = i l + 0 + 例i m 幽叩矿砷一+ k 俐帅卅蚺酬= t 阳毗卅+ i i 批咿吲) + k 矧脚卅山圳圳，2 后 m 圳卟疋叫+ l | 圳帅卅) 叫胤n 咄) 捌 愀川h ) + i m b 叮，卜倒k 卅2 一后 ( 2 4 7 ) ( 群，v ) 一( 霞，v ) = o ( 群，屹) 一( 一，v ) = o 1 6 ( 2 4 8 ) ( 2 4 9 ) 由( 2 4 8 ) 和( 2 4 9 ) 得 于是 ( 一，) 一( 一一，v v ) = o f 一月一l 一o ，、1 - r 一，l 一- 1 j ，v i = o 1 在( 2 31 口) ，( 2 31c ) 和( 2 51 ) 分别取w = = 钟则 p 簖一一万 ( 2 5 2 ) p 一 一l 一如 p n p n l - - 一1 、， | + | v 并， j 一_ 1 一- 1 ， l p h 等 一万”1 ， - ( p 一p 一l 。o 一- 1 加得 ：一s i 2 r = 卜 先考虑( 2 55 ) 左端进行估计 p 一犁一一i p = ( c ” k 1r i + i 够：， l 一q 爵一_ 1 ， 簪1 1 2 + 矿 f0i 群一群- 1 一1 ) + ( c _ 一- 1 “一一云”- 1 一簖- 1 = 。 = o 一石”1 + 去( 群，群) 一列一 一 一l “一甜 ， p 一p h i o 一- 1 一去( 群，鬈一) h p 一l ，一 ( 2 5 0 ) ( 2 5 1 ) ， ( 2 5 2 ) ( 2 5 3 ) ( 2 5 4 ) ( 2 55 ) ) + 矗( 制) 一毫( 刖 譬，譬陶圳2 护l | 1 2 1 7 、j r 一 一，二 一 翌 然后把( 2 5 6 ) 代入( 2 55 ) 整理得 所以有 fc “譬，譬k h 1 1 2 ) i垃出j2 垃u 4 l l “， 譬，簪h 垃 出 ii 。 k 8 譬1 1 2 + 剁懿1 1 2 _ l 圳1 2 ) 譬，簪h a f出 7 址 il 一( c ”华， 一p 譬 一( c ”譬 ，譬 f i p 譬 ( 2 5 6 ) ( 2 5 7 ) ( 2 5 8 ) 其中，有 = 旧c ”譬，簪h 随h 憎，m 剐譬f | 2 5 9 ， 吲( c “华，簪h 桃+ 剐譬1 1 2 由( 2 5 5 ) ( 2 6 0 ) 可得 + 去( m 2 一 1 1 2 ) s 嘏k 叶卅似枷白一， 一卜 。一万 ，譬h 掣 1 8 ( 2 6 0 ) ( 2 6 1 ) 簪 _ l ， 直出 簪笪出 一 簪譬生打 y 少 ，。、，。 一 = 簪簪 f 1 。m i i 簪 q 一 蔓出 一 由= o 及方程( 2 3 16 ) ，( 2 3lc ) 可得= o ，对上式两端同乘以址，然 后对，l 求和得 据引理 同理有 f = p 簪1 1 2 + 出 l l 冠 叫 p 州一万”1 2 口。2 f 2 + ；f 、。r 一茚1i 一l 扛1l 易得下列估计 小 ，一茚11 ) ) ，i + ) 卜 p 一一 叶一l p ，一f 一1 一ip 、 ) t 1 j 一万) 足；矿剖讲+ k ；矿k 址 卜譬小 i 出 “j = p 一一万 j 磁j + k 舻1 1 2 + 咎1 1 2 + 融秘1 1 2 我们