（应用数学专业论文）分阶段hamilton正则点约化理论及其应用.pdf

摘要 摘要 对称性是自然界中普遍存在的现象，具有对称性的系统当中蕴含着某些重要 的守恒性质。利用这些守恒性质可以对系统进行约化。对于一般的h a m i l t o n 系统， 人们通常考虑的是m a r s d e n 等人发展的辛约化，即利用李群m 对相空间p 直接进 行约化。m a r s d e n 等人还研究了另外一种约化方式，即先通过m 的正规子群进行 第一阶段约化，再通过商群m n 进行第二阶段约化。在阶段假设的保证下，通过 这两种约化方式得到的约化空间是辛微分同胚的。半直积和李群扩张的分阶段约 化是分阶段约化的两个重要情况。带有磁力项的余切丛约化对于李群的中心扩张 的分阶段约化起着十分重要的作用。自上世纪末以来，m a r s d e n ，o t e g a 等人在这 方面进行了深入的研究，很多现代辛几何和p o i s s o n 几何的理论被应用到分阶段 约化理论中。随后，这些方法被广泛地应用到刚体力学和流体动力学，并取得了 很多有价值的结果。 本文可以分为四个部分： 第一部分介绍了讨论分阶段约化所必须的流形、李群、h a m i l t o n 系统、李群 扩张等基础概念，并介绍了h a m i l t o n 系统的正则点约化理论。为本文的讨论建立 了基础。 第二部分总结了一般的分阶段约化理论和余切丛约化理论。讨论了在阶段假 设下，两阶段约化得到的空间和直接约化得到的空间之间的辛微分同胚关系以及 阶段假设所起到的作用。这部分还讨论了带有磁力项的余切丛的约化问题，为讨 论中心扩张的约化奠定了基础。 第三部分给出了半直积群约化和中心扩张约化的具体结果，并利用半直积群 的李代数对偶中的元素都满足阶段假设的性质，证明了半直积约化定理。 第四部分通过两个具体的例子，即水下装置和摆群，介绍了分阶段约化理论 的应用。给出了分阶段约化理论在这两种情况下的具体结果。 关键词对称h a m i l t o n 动力系统分阶段约化半直积李群扩张中心扩张 阶段假设磁力项 a b s t r a c t a b s t r a c t s y m m e t r yi sa u n i v e r s a lp h e n o m e n ai nt h en a t u r e ，w h i c hc o n t a i n ss o m ei m p o r t a n t c o n s e r v a t i o nl a w s w ec a l lr e d u c et h es y s t e mi nu s eo ft h ec o n s e r v a t i o nl a w s f o r g e n e r a lh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，p e o p l eu s u a l l yc o n s i d e rt h es y m p l e c t i cr e d u c t i o nt h e o r y d e v e l o p e db ym a r s d e na n do t h e rm a s t e r s ，t h a ti sr e d u c et h ep h a s es p a c epd i r e c t l y b yt h ea c t i o no fl i eg r o u pm t h i sp a p e rc o n s i d e ra no t h e rr e d u c t i o nm e t h o d ，t h a t i sr e d u c ef i r s tb yn o r m a ls u b g r o u pna n dt h e nb yt h eq u o t i e n tg r o u p r a i n t h et w o s t a g e sr e d u c t i o ns p a c ei ss y m p l e c t i cd i f f e o m o r p h i s mt ot h ed i r e c t l yr e d u c t i o ns p a c e w i t ht h es t a g e sh y p o t h e s i s t h er e d u c t i o nb ys t a g e sf o rs e m i d i r e c tp r o d u c t sa n dl i e g r o u pe x t e n s i o n sa r et w oc a s e so fr e d u c t i o nb ys t a g e sw i t hg r e a ti m p o r t a n c e t h e r e d u c t i o no ft h ec o t a n g e n tb u n d l ew i t hm a g n e t i ct e r m sp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nt h e r e d u c t i o nf o rc e n t r a le x t e n s i o n so fl i eg r o u p s f r o mt h ee n do fl a s tc e n t u r y , m a r s d e n ， o t e g aa n do t h e rr e s e a r c h e r sm a d ef u r t h e rs t u d yi nt h i sf i e l da n dm a n ym o d e mr e s u l t s o fs y m p l e c t i cg e o m e t r ya n dp o i s s o ng e o m e t r yw e r ea p p l i e dt or e d u c t i o nb ys t a g e s s u b s e q u e n t l y , t h e s em e t h o d sa r ew i d e l ya p p l i e dt ot h er i g i db o d ym e c h a n i c sa n df l u i d d y n a m i c s ，a n dg e tm a n yv a l u a b l er e s u l t s t h i sp a p e rc o n s i s t so ft h ef o l l o w i n gf o u rp a r t s ： t h ef i r s tp a r ti st h er e v i e wo ft h eb a s i cc o n c e p t sr e l a t e dt ot h er e d u c t i o nb ys t a g e s ， w h i c hi n c l u d e sm a n i f o l d ，l i eg r o u p ，h a m i l t o n i a ns y s t e ma n dl i eg r o u pe x t e n s i o n s t h i sp a r ti st h eb a s eo ft h ew h o l ep a p e r i nt h es e c o n dp a r tw ei n t r o d u c et h eg e n e r a lm e t h o do fr e d u c t i o nb ys t a g e sa n d r e d u c t i o nf o rc o t a n g e n tb u n d l e s w et a l ka b o u tt h e s y m p l e c t i cd i f f e o m o r p h i mr e l a t i o nb e t w e e nt h et w os t a g e sr e d u c t i o ns p a c ea n dt h ed i r e c t l yr e d u c t i o ns p a c eu n d e rt h e s t a g e sh y p o t h e s i s ，a sw e l la st h er o l ep l a y e db yt h es t a g e sh y p o t h e s i s w ea l s ot a l k a b o u tt h er e d u c t i o no fc o t a n g e n tb u n d l e sw i t hm a g n e t i ct e r m s ，w h i c hm a k e s p r e p a r a t i o nf o rr e d u c t i o nb ys t a g e sf o rc e n t r a le x t e n s i o n so fl i eg r o u p i nt h et h i r dp a r tw et a l ka b o u tt w oi m p o r t a n tc a s eo fr e d u c t i o nb ys t a g e s ：s e m i d i r e c tp r o d u c tr e d u c t i o na n dl i eg r o u pe x t e n s i o nr e d u c t i o n i n 4 1w e p r o v et h es e m i d i 1 1 a b s 廿a c t r e c tp r o d u c tr e d u c t i o nt h e o r yi nu s eo ft h ef a c tt h a tt h ee l e m e n t si nt h ed u a lo ft h el i e a l g e b r ao ft h es y m m e t r yg r o u ps a t i s f y t h es t a g e sh y p o t h e s i s t w oe x a m p l e sa r eg i v e ni nt h ef o r t hp a r to ft h i sp a p e r w ea p p l yt h em e t h o do f r e d u c t i o nb ys t a g e si nt h e s ee x a m p l e s ，a n dg i v eo u tt h ec o n c r e t er e s u l t s k e y w o r d s h a m i l t o n i a ns y s t e m sw i t hs y m m e t r yr e d u c t i o nb ys t a g e ss e m i d i r e c t p r o d u c t l i eg r o u pe x t e n s i o nc e n t r a le x t e n s i o n s t a g e sh y p o t h e s i sm a g n e t i ci t e m i n 符号说明表 ( 只u ) 彳 f i t 西： z m m m z a d m a 嚷一t m ， m 口 f p j m ：p _ m 钌：m _ 1 3 1 , e x p m ：m _ m ( p ，0 ，h ，m ，如) ( 只，q 口) n j n n + t l + ( 乃，q p ) 趣v ：m v 限vxr_r 3 v p ( m 。n 。) + ( ( r ) p ，( q p ) p ) c v g 西，ba s e ( 3 ) s o ( 3 ) “：r 3 一s o ( 3 ) 符号说明表 v i h a m i l t o n 系统的相流形，其中叫是 一个闭的非退化的2 一形式 h a m i l t o n 系统的对称群 李群m 的李代数m 的对偶 m 在流形p 上的李群作用 点z 的迷向子群 李群m 在m 上的伴随作用 李群m 在m + 上的余伴随作用 点盯的余伴随迷向子群 点盯的迷向子代数 与相应的无穷小生成元 关于m 在尸上的作用的动量映射 与动量映射了相应的非等变1 阶上循环 指数映射 对称h a m i l t o n 系统 全约化空间 对称群m 的一个闭正规子群 关于在p 上的作用的动量映射 李群的李代数对偶 李代数对偶中的一个元素 第一阶段约化空间 尥0 在第一阶段约化空间r 上的作用 关于耽肌在尸上的作用的动量映射 ( m p n ，) + 中的一个元素 第二阶段约化空间 李群g 和向量空间y 的半直积 李群g 通过交换李群a 的扩张 欧几里得群 旋转群 兄3 与8 0 ( 3 ) 之间的同构 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：面日荛j 、雪 沙口7 年尹月2 1 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月目 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 内部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 秘密1 0 年( 最长l o 年，可少于1 0 年) 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均己在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：备魄漕 姗7 年岁月27 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 引言 约化理论的研究最早起源于力学，具有很长的研究历史。可以追溯到e u l e r 、 l a g r a n g e 、p o i s s o n 、l i o u v i l l e 、j a c o b i 、h a m i l t o n 、r o u t h 、n o e t h e r 、p o i n c a r d 等学者 对具有对称性的力学系统的研究。这些工作的目标是利用系统的对称性来减少所 研究的力学系统的自由度，以达到简化计算的目的。随着李群李代数理论的发展， 辛几何和p o i s s o n 几何等工具越米越多地被应用到物理学的研究中。到了上世纪中 期，a b r a h a m 、a r n o l d 、k i r i l l o v 、k o s t a n t 和s m a l e 等学者开始了几何力学的研究，从 而将数学中的重要问题和刚体、流体等经典力学中的重要问题紧密地联系起来。 这些理论中的“对称性”也从最初直观的平移及旋转对称性发展为可积系统中不 易察觉的某种隐蔽的对称性。现代约化理论的研究开始于a r n o l d 和s m a l e 的奠基性 工作。m a r s d e n 、w e i n s t e i n 和m e y e r 将a r n o l d 对于李代数约化方法的研究和s m a l e 利 用交换李群对余切丛约化的研究综合起来，发展了一般辛流形和等变动量映射的 约化理论。对称力学系统的约化理论在稳定性理论以及力学系统的分岔理论等领 域具有重要的应用。 在经典力学中有两个主要的研究方法，f l p h a m i l t o n 力学和l a g r a n g e 力学。相应 地，在约化理论中，也逐渐地发展了两种主要的约化方法，其中辛约化和p o i s s o n 约 化主要考虑如何利用对称群作用将辛2 一形式或p o i s s o n 结构约化到商空间上，而 l a g r a n g e 约化主要强调如何将可变结构约化到商空间上。这两种方法之间可以通 过l e g e n d r e 变换联系起来。下面我们先简单介绍一下h a m i l t o n 约化的内容。设李 群m ( 其李代数为m ) 作用在辛流形( p q ) 上，并且该作用有一个等变的动量映 射j ：p _ m + ，则辛约化空间定义为商空间b = j - 。( o ) c 口，其中盯是j 的一个 正则值，g 口是m + 中关于m 的余伴随作用的迷向子群。著名的m a r s d e n w e i n s t e i n m e y e r 辛约化定理( 可参考文献【l 】) 保证了这个商空间是一个辛流形。 在通过对称群m 的作用对辛流形( p q ) 进行约化之后，自然地想到是否可以 对辛约化卒间再次进行约化。因此我们自然地提出这样的问题：设是m 的一个 正规子群，首先通过对流形p 进行约化，然后再通过商群 ，进行约化。我们 第一章绪论 将这个过程称为分阶段辛约化。这个问题看似简单，然而解决起来却有很多技术 上的困难。m a r s d e n 、m i s i o l e k 、p e r l m u t t e r a n d 和r a t i u 首先研究了半直积约化理论 ( 见文献 1 9 】) 。半直积约化是分阶段辛约化的一种特例，并且在重陀螺、m h d 和 水下装置动力系统( 见文献 1 6 】) 等力学领域中有很多应用。m a r s d e n 和o t e g a 等 对分阶段辛约化的一般理论进行了研究( 见文献i 1 8 】) 。分阶段约化不仅会使约化 过程变得更加简单，而且对于约化空间特别是余伴随轨道的计算而言也是一个重 要的工具。分阶段约化和其他的约化方法也有密切的联系，下面我们将做简单介 绍。 p o i s s o n 约化就是利用p o i s s o n 括积和p o i s s o n 流形的观点对约化方法进行研究。 在很多物理系统的h a m i l t o n 描述中，都要用至l j p o i s s o n 括积和约束变分原理。非典 贝j p o i s s o n 括积的一个基本例子就是李代数对偶上的l i e p o i s s o n 括积。在p o i s s o n 约 化理论中，最简单的约化方法就是考虑通过p o i s s o n 映射的方式作用在p o i s s o n 流 形p 上的对称群m ，然后自然地得到商流形p m 及其商p o i s s o n 结构( 见文献【2 3 】) 。 只上的p o i s s o n 结构和e g _ k 的商p o i s s o n 结构有着密切的联系。m a r s d e n 和r a t i u 在 文献 2 2 1 中对这种联系进行了研究，并且给出了更具一般性的p o i s s o n 约化方法。 在p o i s s o n 约化的范畴中，我们也可以讨论分阶段p o i s s o n 约化，其中最简单的结果 就是“尸m 和( p i n ) ( m n ) 是p o i s s o n 微分同胚的”。如何对文献 2 3 1 中介绍的一 般p o i s s o n 约化进行分阶段约化是一个有趣的问题，不过本文不对此进行讨论。 l a g r a n g e 约化是约化理论中另一种重要的约化方法。和h a m i l t o n 约化中对辛 结构或p o i s s o n 结构进行约化不同，l a g r a n g e 约化主要是对变分原理进行约化。考 虑构型流形q 上的l a g r a n g e 系统的h a m i l t o n 变分原理以及作用在q 上的一个对称 群m ，, 贝t l a g r a n g e 约化就是要在商空间q m 上诱导出一个约化变分原理。h o l m 、 m a r s d e n 和r a t i u 研究了半直积群的l a g r a n g e 约化方法并且推广了e u l e r - p o i n c a r 理 论。该方法在很多流体力学问题中都有重要的应用。文献【9 】针对一般的分阶段 l a g r a n g e 约化理论，研究了如何利用l a g r a n g e p o i n c a r 舌丛理论进行分阶段l a g r a n g e 约化的问题。 余切丛约化理论是一般约化理论的一个十分重要的例子。在某种意义上，任 何力学系统都可以看做一个余切丛。最简单的余切丛约化就是在盯= o r 对p = 丁+ q 进行约化，所得到的约化空间为t o = t + ( q m ) ，并带有典则辛形式。文 献i 1 】首次研究了利用非交换群作用在动量映射的任意值处的余切丛约化。k u m m e r 在研究这一问题的时候首次提出了力学联络的概念。一般来说，余切丛约化空间 2 第一章绪论 的辛结构带有一个磁力项，即力学联络的曲率。因此，在对余切丛进行分阶段约 化时，第一阶段约化空间的辛结构就带有一个磁力项。如何对带有磁力项的余切 丛进行约化，是对余切丛进行分阶段约化必须解决的问题。文献【1 8 】利用余切丛 约化的嵌入观点给出了对带有磁力项的余切丛进行约化的方法。 前面我们介绍了h a m i l t o n 约化中的点约化方法。除了点约化外，在h a m i l t o n 约 化理论中还有很多其他的约化方法。轨道约化与点约化不同，它构造了商空间 j _ 1 ( p 盯) m ，其中仇是李代数对偶中的一个余伴随轨道。文献【3 1 】给出了轨道约 化空间上的h a m i l t o n 系统，并证明了轨道约化空间j _ 1 ( p 盯) m 和相应的点约化空 间j _ 1 ( 盯) 尥是辛微分同胚的。群m 作用的自由性保证了盯是动量映射的一个正 则值，从而可以进行正则约化。如果群m 作用不是自由的，则盯不再是动量映射的 正则值，进而商空间b = j - x ( 仃) 不一定是一个流形。文献【4 】、【3 1 和【3 7 】证 明了这个商空间是一个w h i t n e y 分层空间，其中每个层都自然地是一个辛流形，并 且相应于m 一不变h a m i l t o n 函数的h a m i l t o n 向量场的流在这些层上自然地诱导出 约化h a m i l t o n 系统。这个结果被称为辛分层定理。文献【3 l 】还对奇异辛轨道约化 进行了研究，并探讨了它和奇异辛点约化之间的关系。文献【1 8 】给出了分阶段轨 道约化的方法，并证明了如果轨道o 。满足阶段假设，则通过分阶段约化得到的约 化空间和直接通过m 进行约化得到的约化空间是辛微分同胚的。在奇异辛约化的 研究中用到了辛分层理论，但是直接利用辛分层理论研究分阶段奇异约化是十分 困难的。m a r s d e n 等在文献【1 8 】中提出了最优动量映射的概念，并利用此方法得出 了分阶段最优约化的方法。在这套理论体系中，不要求群作用是自由的，从而解 决了分阶段奇异约化的问题。 在得到约化空间之后，我们还要考虑系统的约化，即如果日是p 上的一个m 一 不变h a m i l t o n 函数，则它在约化空间b 上诱导了一个约化h a m i l t o n 函数以，相应 的h a m i l t o n 向量场x h 和x 矾是一相关的。和约化问题相对的就是系统的重构问 题。关于这些理论的详细介绍可以参考文献【1 】和文献 3 1 】及其中提供的参考文献。 1 2 本文的主要工作 本文对分阶段约化的一般理论进行了系统的总结。分阶段约化定理说明在阶 段假设成立的条件下，通过两种方法得到的约化空间是辛微分同胚的。半直积群 和中心扩张群的约化是分阶段约化的两个特殊情况，在物理问题中有着广泛的应 用。文献【1 9 】证明了在半直积约化巾，分阶段约化定理中的结论同样成立，但是所 3 第一章绪论 采用的证明方法不具有一般性。本文利用阶段假设中的方法对于半直积约化定理 重新进行了证明。最后，针对于半直积约化和中心扩张约化分别举出水下装置和 摆群两个例子，给出了两种约化在实际问题中的具体结果。 本文可以分为四个部分： 第一部分即第二章，介绍了讨论分阶段约化所必须的流形、李群、h a m i l t o n 系 统、李群扩张等基础概念，并介绍了h a m i l t o n 系统的正则点约化理论，为后文的 讨论建立了基础。 第二部分即第三章，总结了一般的分阶段约化理论和余切丛约化理论。讨论 了在阶段假设下，两阶段约化得到的空间和直接约化得到的空间之间的辛微分同 胚关系以及阶段假设所起到的作用。这部分内容还讨论了带有磁力项的余切丛的 约化问题，为讨论中心扩张的约化奠定了基础。 第三部分即第四章，总结了半直积群约化和中心扩张约化的具体结果，并利 用半直积群的李代数对偶中的元素都满足阶段假设的性质，证明了半直积约化定 理。 第四部分即第五章，通过两个具体的例子，即水下装置和摆群，分别介绍了 半直积约化和中心扩张约化的应用。给出了分阶段约化理论在这两种情况下的具 体结果。 4 第二章准备知识 第二章准备知识 本文的主题是h a m i l t o n 系统的分阶段正则约化，主要目的是介绍h a m i l t o n 系 统的分阶段正则约化理论及其应用。要从数学的角度来描述h a m i l t o n 系统的对称 性，就需要用到流形、李群作用与辛几何等概念。在下面的几节中我们将对后文中 需要用到的概念及相关结论做一个简要的回顾。这些概念的详细介绍和相关结论 的详细证明可参考文献【l 】、【2 】、【3 】、【11 】、【1 2 】、【1 3 】、【1 7 、【2 8 】、【2 9 、【3 0 和【3 1 】。 2 1 流形、子流形和余切丛 微分流形和向量丛的概念是力学研究中十分重要的数学工具。本节的目的是 对这些内容所涉及的定义、定理以及约定做一个简要的介绍。 定义2 11 设尸是一个胁m 砌，脏间，若对任意一点z p ，都有z 在p 中的 一个邻域同胚于m 维欧式空间r m 的一个开集，则称尸是一个m 维流形( 或拓扑 流形) 定义2 1 2 设尸是一个m 维流形。如果在p 上给定了一个坐标卡集= ( 以妒【，) ，( k 妒y ) ，( 彬妒) ，) ，满足下列条件，则称是尸上的一个c 7 微分结 构： ( i ) 【v 彬) 是p 的一个开覆盖； ( i i ) 属于的任意两个坐标卡是c r 相容的； ( i i i ) 是极大的，即：对于p 的任意一个坐标卡( u ，妒疗) ，若与属于的每一个 坐标卡都是眇相容的，则它自身必属于。 若在p 上给定了一个伊微分结构，则称尸是一个伊微分流形。如果r = 。， 则称p 是一个光滑流形，简称流形。 定义2 13 设，：p _ q 是一个映射，若在一点p p ，存在点p 的容许坐标 卡( ，妒u ) 和点，( p ) 的容许坐标卡( vc v ) ，使得映射 矽y 。，o 妒孑1 ：垆u ( 【，) 一c v ( v ) 5 第二章准备知识 在点妒c ，0 ) 是c o o 的，则称，在点p 是c 的。若映射在p 的每一点都是c 的，则 称，是x k p 多 q 的光滑映射。 定义2 14 给定流形p 中的一点m 尸，称两条c 1 曲线c 1 ，c 2 ： 一e ，e 】_ p ， e o , c 1 ( o ) = c 2 ( o ) = m 在m 处相切，如果在m 处存在坐标卡( 阢妒) 使得 乳。，( c 以) ) = d t = o m 2 ) 这就构成了不依赖于所选坐标卡的等价关系。流形p 在m 尸处的一个切向量就 是由在m 处相切的c 1 曲线构成的等价类【c 】m 。所有这样的等价类构成的向量空间 称为流形p 在m 处的切空间尸。并可定义t p ：= u m p p p 的对偶空间称 为p 在m 的余切空间，记作焉尸。 定义2 15 设，：p _ 是光滑流形p 和之间的一个光滑映射，则定义它的 切映射t ，：t p _ t 为： t f ( v m ) ：= d l t = o ，( c ( 亡) ) 其中c ( t ) 是任意一条满足c ( o ) = m 且e ( o ) = p 的光滑曲线。特别地， 将丁，i p 记为， 定义2 16 设p 与是两个光滑流形，若有光滑映射f ：p _ ，使得： ( 1 ) ，是单一的； ( 2 ) 在任意一点m p ，切映射 f ：尸_ 乃( m ) 是单射，则称( ，尸) 是的嵌入子流形。 如果映射，只满足条件( 2 ) ，则称( ，尸) 是的浸入子流形。 若( 1 厂，尸) 是的子流形，并且，：p _ f ( p ) c 是同胚映射，则称( ，尸) 是 n 的9 - n 子流形，厂是p 在n e e 的正则嵌入。 定义2 17 设u 是光滑流形的一个开子集，将的光滑流形结构限制在u 上， 便得到u 的一个光滑结构，成为与n n 维数的光滑流形。令妒= i d ：u _ 是恒 同映射，则( 妒，u ) 成为的一个嵌入子流形，称为的开子流形。 6 第二章准备知识 定义2 1 8 设( 妒，p ) 是的一个光滑子流形，如果 ( 1 ) 妒( 尸) 是的一个闭子集； ( 2 ) 对每一点q 妒( p ) ，存在一个局部坐标系( u ；u ) ，使得妒( p ) nu 是由方程 t 上m + l ：t 尸+ 2 ：t ，：0 定义的，其中m = 出m p ，则称( 妒，p ) 是的一个闭子流形。 定义2 19 设e ，p 是两个光滑流形，7 r ：e _ p 是光滑的满映射。v = 础是q 维 向量空间。如果存在p 的一个开覆盖 玩) 及一组映射 忆) 使得- f 歹, i 条件成立： ( 1 ) 每一个映射忆是从础到7 r - 1 ( ) 的光滑同胚，而且对任意的p 睨，y 础有 7 ro ，y ) = p ； ( 2 ) 对于任意固定的p ，令 妒a 护( 可) = 砂a 0 ，) ，v y 毫q 则映射忆，p ：r q _ 7 r - 1 ) 是同胚，并且当n d 时，对于任意的p 玩n ，映射 卯，a 0 ) = 蟾；o 饥 p ，v y r 口 是线性同构，即卯，n g l ( 口) ； ( 3 ) 当n o 时，映射：n _ g l ( q ) 是光滑的，则称( e ，只7 r ) 为 光滑流形p 上秩为g 的向量丛，其中e 称为丛空间，p 称为底空间，7 r 称为丛投影，v = r q 称为纤维型。 设p 是m 维光滑流形，令 t p = u 瓦p z p 则丁p 是p 上的一个向量丛，称为光滑流形p 上的切丛。若令 t * p = u 巧只 z p n t + p 也是p 上的一个向量丛，称为光滑流形p 上的余切丛。 7 第二章准备知识 2 2 李群作用及对称h a m i l t o n 系统 李群作用、动量映射等概念是描述h a m i l t o n 系统约化理论所必需的数学工具。 为此我们需要回顾一下相关的概念和定理。 2 2 1 李群作用 定义2 21 一个李群g 是一个光滑流形，并且是一个群，使得乘法运算 ( 夕，h ) g gh g h g ，v g ，h g 是一个光滑映射。 定义2 22 设y 是一个向量空间，【，】：v v _ v g v 上的运算。如果运 算【 满足下面三个条件，则称( k 【，】) 是一个李代数，【，- 】为该李代数的李括积： ( i ) 运算【，】是双线性的； ( i i ) 对于任意的z v 有k ，x 】= o ； ( i i i ) 对于任意的z ，y ，z v 有陋， y ，z 】+ 【y ，臣，z 】+ 【z ，【x ，训= 0 李群g 的切丛丁+ g 中的任意一个元素都可以按以下方式决定。形( g ) 中的一个 左不变向量场已： 缸( 9 ) = t e l 9 ，的g 在疋g 上构造一个李括积运算【，- 】如下： 陈，刀】l = 陆，钆】，k ，7 7 正g ， 则正g 以及这个李代数结构称为李群g 的李代数，记为g 或l i e ( g ) 设c ( 亡) 是左不变 向量场缸，g 的通过单位元e 的积分曲线，则我们将映射e x p a ：g _ g ，e x p g ：= c ( 1 ) 称为指数映射。 定义2 2 3 设尸是一个光滑流形，g 是一个李群，则g 在尸上的左作用是一个 光滑映射圣：gxp 一尸，并且满足 ( i ) 圣( e ，z ) = z ，对所有z p ( i i ) d p ( g ，垂( ，z ) ) = ( p ( g h ，z ) ，v g ，h g ，z p ， 我们将三元组( 只g ，西) 称为一个g 一流形。 r 第二章准备知识 如果李群g 作用在流形尸上，则元素m 尸的迷向子群为 c m ：= 9 g l m 9 ( m ) = m cg ， 其李代数g 仇为 g m = g k p ( 仇) = o ) 定义2 2 4 给定一个作用西：c p _ p ，则相应于g 的无穷小生成 元和影( p ) 是如下定义的向量场 昏( m ) 一面dl ：。圣鲋p t ( m ) = 正圣m ，f 设g 是一个李代数，p 为一个光滑流形，则g 在p 上的一个右( 左) 李代数作 用是一个李代数( 反) 同态f gh 昏形( p ) ，使得映射( m ，f ) p gh 扫( m ) t p 是光滑的。 定义2 25 设p 1 ，b 是两个g 一空间，妒：尸1 _ b 为一个映射，则称妒为g 一等 变映射，如果对任意的9 g ，名尸1 有 妒( g z ) = g 妒( z ) 称妒为g 一不变映射，如果对任意的g g ，z p 1 有 妒( 夕z ) = 妒( z ) 定义2 26 对于每一个夕g 都可以定义内自同构a d 9 = l ：g _ g ，其 中映射，9 定义为毛( ) = g h g ， v h c 在单位元处对内自同构微分即可得 到g 在g 上的一个线性左作用 a d g ：= 正厶：g _ g ， 称为g 在g 上的伴随作用如果记a 蟛：g + _ 9 4 为l 如的对偶映射，则映射 圣：c g + 一g + ( g ，) ha 呓一，z ， 定义了g 在g + 上的一个线性左作用，称为g 在g + 上的余伴随作用。 9 第二章准备知识 在实际问题中，很多系统的构型空间都是余切丛，因此我们有必要考虑一下 光滑流形尸上的李群作用在切丛和余切丛上的提升作用。 定义2 27 设圣：g p p 是李群g 在光滑流形尸上的一个李群作用， 则圣在p 的切丛t p 上自然地诱导出一个作用 g ：= 呜u r n ， 其中夕g 且尸，称之为g 在t p 上的切丛提升作用。圣在p 的余切丛丁+ p 上 自然地诱导出一个作用 g q m ：= 零m 圣g 一1 a m ， 其中9 g ，q m t + 尸，称之为圣在余4 z _ , l k t + p 上的余切丛提升作用。 本文所考虑的李群作用大多有特殊的性质，如自由、p r o p e r ，下面介绍这些概 念。 定义2 2 8 流形p 上的一个李群作用称为可迁的，如果仅有一条轨道；称为自 由的，如果尸中每一个元素的迷向子群都只包含单位元。 定义2 29 设g 是一个李群，它通过映射圣：g p 呻p 作用在尸上，如果对 于p 中的任意两个收敛序列 m n ) 和 肌m n ) ，在g 中都存在一个收敛子序列 鲰。) ， 则称西是一2 f p r o p e r 作用。 下面的定理给出t p r o p e r 李群作用的一个重要性质。 定理2 2 1 设圣：g p p 是李群g 在流形p 上的一个p r o p e r 用，则对任 意点m p ，迷向子群g m 是紧的 2 2 2h a m i l t o n 系统和标准动量映射 本文的研究对象是对称h a m i l t o n 系统，因此有必要回顾一下辛流形和h a m i l t o n 系统的相关概念。 定义2 2 1 0 设尸是一个光滑流形，则p 上的一个非退化的、闭的2 形式u 称 为p 上的辛形式。一个辛流形是一个二元组( p u ) ，其中尸是一个光滑流形，u 是p 上的辛形式。 1 0 第二章准备知识 定义2 2 1 1 设( p ) 和( ，p ) 是两个辛流形，一个c o o 映射f ：p 一被称 为辛映射或典则变换，如果f + p = u 。 下面的定理表明余切丛也是一个辛流形，并给出了它的典则辛形式。 定理2 2 2 设p 是一个m 维流形，p = t + q ，喃：p _ q 表示典则映射，对任 意的g q ，q g t + q 以及风。死。p ，定义 如。：死。p _ r 风。ho t 口( 风。) 和 o o ：p _ t + p h 口q 口 则w o = 一d o o 是p 上的一个辛形式，称为p 上的典则辛形式。 定义2 2 1 2 设( p ，u ) 是一个辛流形，h ：ph 是一个定义在p l 的c ”函数， 则 i x h w = d h ， 在p 上定义了一个向量场，称为能量函数为h 的h a m i l t o n 向量场。称( 只， ) 为 一个h a m i l t o n 系统 定3 ( 2 2 1 3 设厂，g c ( m ) ，则这两个函数的p d 洳d 咒括积为函教 ，夕 c ( m ) ，定义为 ，夕) ( 名) = u ( z ) ( 辑( z ) ，( z ) ) = 洲z ) = 一x 【引( z ) 动量映射是h a m i l t o n 约化理论的基础，它的重要性在于能够描述一些与系统 的对称性有关的守恒定律。下面介绍与动量映射相关的概念。 定义2 2 1 4 设( p ，u ) 是一个辛流形，g 是一个李群，虫：o x p _ p 表示g 在p 上 的一个光滑左作用，我们称该作用圣是典则的，如果对任意的g g ，有 圣；u = u 如果李群g 典则地作用在( 只u ) 上，并_ h h a m i l t o n 区i 数h 是g 一不变的，即 c o o ( 尸) g ，则称h a i l l i l t o n 系统( p ， ) 是一个对称h a m i l t o n 系统。 第二章准备知识 定义2 2 1 5 设李群g 通过映射圣：g p p 典则地作用在辛流形p 上，g 是 李群g 的李代数，如果对每个g ，都存在一个函数：p 一敢使得 x 硅= p 其中知是一个无穷小生成元，则对任意名p ，由 = ( z ) 定义的映射 j ：p _ g 称为该作用的一个标准动量映射，简称为动量映射。如果对每个g g ，m p 都 有 a d * g 一，j ( m ) = j ( 圣9 ( m ) ) 则称该动量映射是a d + 一等变的或余伴随等变的 一般来说，动量映射未必是余伴随等变的。但是我们可以找到一个作用，使 得动量映射在这个作用下是等变的。为此，首先介绍非等变l 一阶上循环的概念。 定义2 2 1 6 设( p ，u ) 是一个连通的辛流形，g 是p 上的一个李群作用，j ：p _ 9 4 是相应的动量映射，则相应于j 的非等变j 阶上循环为映射 刃：g _ g + gh j ( 呜( 2 ) ) 一a d ；一( j ( z ) ) 显然，钌的定义不依赖于z p 的选取。若j 是等变的，则留( 夕) = 0 ，的g 定义2 2 1 7 设李群g 典则地作用到连通辛流形( 只u ) 上，相应的动量映射j ： p _ g + 。如果z ；u ：g _ g + 是j 的非等变1 一阶上循环，则定义g 在g + 上的仿射作用 如下： e ：g g + 一g + ( g ，p ) ha d * g 一p + 冒( 夕) 映射e 给出- - j g 在g + 上的一个左作用。动量映射j ：p _ g + 关于g 在p 上的辛 作用圣及在g + 上的仿射作用e 是等变的。 定义2 2 1 8 设李代数g 典则地作用在连通辛流形( pu ) 上，并具有动量映射j ： p _ g + ，则元素a 2 ( 9 ) 称为相应于了的无穷小非等变2 一阶上循环，如果 ( ，叩) = j 【，叫( z ) 一 了e ，j 叩) ( z ) ，v z 只，7 1 g 12 第二章准备知识 显然，的定义不依赖于z p 的选择，并且v z p 与砌g ，有 j 。r l p ( z ) = 一a d ；j ( z ) + ( 7 7 ，) 定理2 23 设g 是一个李群，刃：g _ g 。是一个余伴随l 一阶上循环，并且p g + 。设o p 是g 上关于刃的仿射g 一作用通过点肛的轨道，则轨道o p 是g 的一个初始 子流形且对任意一个0 “有 已p p = 。( z ，) ：= 一o + ( ，) k g 】， 其中g 。表示相应于g 的无穷小生成元，是一个李代数2 一阶上循环。 最后，我们介绍一个虽然简单但是在辛约化中起着至关重要作用的结果。 引理2 2 1 ( 约化引理) 设g 是一个李代数，并且典则地作用在流