（基础数学专业论文）有限偏序集的二重分步上同调群.pdf

论文题目：有限偏序集的二重分步上同调群 学科专业：基础数学 学位申请人：沃军杰 指导老师：周才军教授 摘要 有限偏序集的单纯上同调群在研究偏序集的组合性质中具有重要的作用已经知道 有限偏序集的单纯上同调群可解释为有限偏序集的外代数的特殊上同调群，基于这一事 实，文 1 】中定义了有限偏序集的分步上同调群，并讨论了该类群的一些基本性质本文 主要研究有限偏序集的二重分步上同调群，特别是零调偏序集的( 2 ，n 一2 ) 一型二重分步 上同调群我们给出了有限偏序集的例以说明分步上同调群不是拓扑不变量，因而分步 上同调群不仅与偏序集的拓扑性质有关而且与偏序集的组合性质有关 我们计算了几类偏序集的分步上同调群，包括锥型偏序集和球形偏序集得到了锥 形偏序集的任意( n l ，礼2 ) 一型二重分步上同调群为零，球型偏序集是( 1 ，亿一1 ) 一型不变 的等结果设p 是有限偏序集，z 1 、z 2 是p 的两个元素，令d 2 是p 中其余元素之和， 我们证明了如果p 的( 2 ，n 一2 ) 一型二重分步上同调群h z l + z ：h a 2 ( p ) = 0 ，则p 是零调 偏序集这是本文的主要结果，它表明有限偏序集的( 2 ，n 一2 ) 型二重分步上同调群为 零是比偏序集零调更强的性质，为今后运用分步上同调群来刻画偏序集的性质提供了一 定的理论依据 关键词：有限偏序集，二重分步上同调群，( 2 ，n 一2 ) 一型二重分步上同调群，零调偏序集， 球型偏序集，锥型偏序集，( 2 ，死2 ) 一型二重零调偏序集 论文类型：理论研究 t i t l e ：t w i c e - s t e p l yc o h o m o l o g yg r o u p so ff i n i t ep a r t i a l l yo r d e r e ds e t s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s d e g r e ea p p l i c a n t ：w oj u nj i e t u t o r ：p r o f e s s o rz h o uc a ij u n a b s t r a c t t h e s i m p l i c i a lc o h o m o l o g yg r o u p so fap o s e tp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo f c o m b i n a t o r i a lp r o p e r t i e so ff i n i t ep o s e t s ，a n di ti sk n o w nt h a tt h es i m p l i c i a lc o h o m o l o g y g r o u p sc a nb ee x p l a i n e da sas p e c i a lc o h o m o l o g yo ft h ee x t e r i o ra l g e b r aa s s o c i a t e dt o t h eg i v e np o s e t a c c o r d i n gt ot h i sf a c t ，m o r ec o h o m o l o g yg r o u p so fap o s e tw e r e d e f i n e di n 【1 1 ，w h i c ha r ec a l l e ds t e p l yc o h o m o l o g yg r o u p s s o m eb a s i cp r o p e r t i e so f s t e p l yc o h o m o l o g yg r o u p sw e r ee s t a b l i s h e di n 1 】t h em a i np u r p o s eo ft h i sp a p e ri st o s t u d yt w i c e - s t e p l yc o h o m o l o g yg r o u p so faf i n i t ep o s e t ，e s p e c i a l l yt h es t e p l yc o h o m o l o g y g r o u p so ft h et y p eo f ( 2 ，他一2 ) o fa l la c y c l i cp o s e t w ew i l lg i v ee x a m p l e st os h o w t h a tt h es t e p l yc o h o m o l o g yg r o u p sa r en o tt o p o l o g i c a li n v a r i a n t s i ti m p l i e st h es t e p l y c o h o m o l o g yg r o u p sd e p e n dn o to n l yo nt h et o p o l o g yo ft h ep o s e t ，b u ta l s oo nt h e c o m b i n a t o r i a lp r o p e r t i e so ft h ep o s e t w eh a v ec o m p u t e dt h es t e p l yc o h o m o l o g yg r o u p so fs e v e r a ls p e c i a lc l a s so fp o s e t s ， s u c ha st h ep o s e tw h i c hi sac o n eo ra s p h e r i c a lp o s e t i tt u r n so u tt h a tt h es t e p l y c o h o m o l o g yg r o u p so fa n yt y p e ( n 1 ，n 2 ) a r ez e r of o rac o n e ，a n dt h es t e p l yc o h o m o l o g y g r o u p so ft y p e ( 1 ，n 一1 ) a r ei n v a r i a n t f o ras p h e r i c a lp o s e t w ew i l lp r o v et h a ti f h z l 托2 h d 2 ( 尸) = 0f o raf i n i t ep o s e tp ，t h e np i sa na c y c l i cp o s e t ，w h e r ex la n dx 2a r e t w oe l e m e n t so fp ，a n d 如i st h es u mo ft h eo t h e re l e m e n t so fp t h i si st h em a i nr e s u l t o ft h e p a p e r ，w h i c hi m p l i e st h a tt h ev a n i s h i n go ft h et w i c e - s t e p l yc o h o m o l o g yg r o u po f t y p e ( 2 ，佗一2 ) i sap r o p e r t ys t r o n g e rt h a nt h ea c y c l i cp r o p e r t i e s s oi tm a k e si tp o s s i b l e i nt h ef u t u r et ou s et h es t e p l yc o h o m o l o g yg r o u p st oc h a r a c t e r i z et h ep r o p e r t i e so fa p o s e t k e yw o r d s ：f i n i t ep o s e t ，t w i c e - s t e p l yc o h o m o l o g yg r o u p ，a c y c l i cp o s e t ，s p h e r i c a l p o s e t ，c o n e ，t w i c e - s t e p l ya c y c l i cp o s e to ft y p e ( 2 ，n 2 ) t h e s i ss t y l e ：t h e o r e t i c a lr e s e a r c h 上海师范大学硕士学位论文 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果论文中除了特别 加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成果其他同 志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了谢意 论文作者签名s 泛彳盎日期2 。伊午月，罗日 上海师范大学硕士学位论文 论文使用授权声明 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即。学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 采用影印、缩印或其它手段保存论文保密的论文在解密后遵守此规定 论文作者签名t 沃军冬e ti 争1 ：2 口俸年月，7 日 导师签名： 虿咻矽俨牛月伊 上海师范大学硕士学位论文 前言 前言 偏序集是组合数学的重要研究对象，其研究的个重要方法是研究其相伴的链复形 的单纯上同调群偏序集的单纯上同调理论及其应用在过去三十多年的研究中取得了许 多重要的研究成果，具体参见文【2 】、【3 】、【4 】、 5 】等，已成为研究交换代数、代数拓扑以 及组合数学的重要桥梁由此产生了包括c o h e n m a c a u l a y 偏序集等在内的许多深 刻研究成果，具体参见文【6 】、【7 】、【8 1 、【9 】、【1 0 】等 我们知道同伦等价的偏序集的单纯上同调群是同构的，用这种方法研究可能会丢掉 一些偏序集的组合性质由于偏序集的单纯上同调群可解释为偏序集的外代数的上同调 群，因而研究偏序集的分步同调群具有十分重要的理论意义偏序集的分步上同调群的 研究目前仍处于起步阶段，国内外相关的研究成果不多本文我们将研究偏序集的二重 分步上同调群，以零调偏序集为重点，讨论它们与普通单纯上同调群的联系 本文共分三章，主要有如下内容： 第一章主要介绍单纯同调论、偏序集和链复形的一些已知的命题、概念和定理，为 我们进一步讨论课题提供必要的基础 第二章主要研究偏序集的二重分步上同调群所具备的一些基本性质文【1 】在这方 面做了一些工作在此基础上，首先我们引入二重分步上同调群的定义，研究其元素具备 的一些基本性质接着我们给出零调偏序集的( 2 ，n 一2 ) 型二重分步上同调群不为零的 例，然后对该偏序集所联系的抽象单纯复形进行重心重分，得到新的抽象单纯复形和它 所联系的偏序集，计算它的( 2 ，n 一2 ) 一型二重分步上同调群的值为零这说明( 2 ，n 一2 ) 一 型二重分步上同调群既不是拓扑不变量，甚至不是重分不变量其重要性表明二重分步 上同调群不仅与偏序集的拓扑性质有关，而且与偏序集的组合性质有关，从而研究二重 分步上同调群具有意义由于我们已知零调偏序集的( 2 ，n 一2 ) 型二重分步上同调群不 一定为零，接下来我们研究零调偏序集的元素之间满足哪种组合性质时，( 2 ，n 一2 ) 型二 重分步上同调群等于零证明如果满足x l x 2 = 0 ，那么尸是零调的，当且仅当( 2 ，n 一2 ) 一 型二重分步上同调群h z ，托：h d 2 ( p ) = 0 最后我们引入球型偏序集的定义，零调偏序集 和c m 偏序集都是球型偏序集，我们证明了球型偏序集是( 1 ，n 一1 ) 一型不变的 第三章是本文的主要内容，包含了本文的主要结果我们首先引入锥型偏序集的 1 上海师范大学硕士学位论文前言 定义，随后证明锥型偏序集是( n l ，n 2 ) - 型不变的，且其值皆为零其次，我们讨论了 ( 2 ，n 一2 ) 一型分步上同调群的零调性与单纯上同调的零调性的关系，证明了如果有限偏 序集j p 的某个( 2 ，几一2 ) 一型分步上同调群为零，则尸的单纯上同调群也为零，即尸是 零调的 在本论文中，约定偏序集始终是有限的，并且用w ( p ) 表示偏序集p 的系数在一个 固定域k 中的外代数，其中 w ( p ) = w o ( p ) ow 1 ( p ) o 是分次七一代数我们还将用通常的乘法记号表示( p ) 的外积，即任给a 、b w ( p ) ， 我们记aab 为n 6 2 上海师范大学硕士学位论文 第章准备知识 第一章准备知识 在本章中，我们主要简单介绍本文将要用到的相关基础概念和知识背景在第一节 中，我们介绍单纯同调论的一些基本概念，并不加证明地引用文【1 1 】、 1 2 】、【1 3 】中一些 已知的性质和定理；在第二节中，我们介绍偏序集和链复形的一些基本概念和相关的命 题、定理，读者对这些内容需要进一步了解可以参见文【1 4 】、【1 5 】、【1 6 】 1 1 单纯同调论 定义1 1 1 在r 中，设蜘，v n r ，称，为几何独立的，如果 伽，线性无关 nn 定义1 1 2 设v o ，几何独立，令( v o ，) = h v iiet i = 1 ，也o ) ， i = 0i = 0 称之为由咖，所张成的佗维单形 n n 注1 1 3 如果z ( v o ，) ，z = t i v i ，满足t i = 1 ，t i 0 ，称t o ，k i = 0i = 0 为z 的重心坐标 定义1 1 4 中的一个单纯复形k 是r 中单形的一个集族使得t ( 1 ) k 的单形的每个面都在k 中， ( 2 ) k 的任何两个单形的交是它们之中每个单形的面 注1 1 5 令i k i 是r 的子集，它是k 的单形之并，我们把空间l k i 称为k 的 可剖空间 定义1 1 6 设k 是单纯复形，记k ( p ) = 仃k i d i m a p ) 称为k 的p 维骨架， 特别k ( o ) 为顶点集 定义1 1 7 设k 和l 是单纯复形，定义映射 ，：k ( o ) _ l ( m ， 3 上海师范大学硕士学位论文第一章准备知识 满足如果( v o ，) k ，则( f ( v o ) ，( ) ) 是f 的一个单形的顶点，则称，是一 个单纯映射 显然两个单纯映射的复合是一个单纯映射 满足 引理1 1 8 单纯映射，可诱导一个线性连续映射 f ：j kj _ ， 定义1 1 9 设g ( k ) 表示k 的所有礼维单形所生成的自由a 6 e f 群，称之为系数 在z 中的n 维链复形，规定边缘算子 满足 魏：g ( k ) _ g 一1 ( k ) ， 反( 珈，) = e ( - 1 ) ( v 0 ，谚，) i = o 定义1 1 1 0 设k 为单纯单形，( a ( k ) ，良) 是k 的链复形，定义： 称之为k 的第i 个同调群 巩( k ) = k e r 巩j 仇巩+ 1 ， 引理1 1 1 1 设k 为单纯单形，i k i 的连通分支为 i k m j ，设仇叭，则 凰( k ) 兰0 z 地】 i e l 特别当i k i 连通时，凰( k ) 竺z 4 定义1 1 1 2 设k 为单纯单形，因此有增广的链复形 _ c t ( k ) 生g ( k ) 三z _ 0 ， 吼，j屯 n 铷 _ 仇如 n 御 = z 上海师范大学硕士学位论文 第一章准备知识 其同调群记为t 瓦( k ) ： 剐 1 ； l0 ， i = o ( 当k 连通时) ； 称甄( k ) 为k 的约化同调群 一般地凰( k ) = h o ( k ) 0 z 注1 1 1 3 称k 是零调的，如果凰( k ) = 0 ( i o ) 定义1 1 1 4 设k 是r n 中的一个单纯单形，w 是r 中的一令点，v a = ( v 0 ， ) k ，( w ，v o ，) 是一个竹+ 1 维单形我们可得到一个新的单纯复形 叫木k = 盯i 仃k 或者口= ( 加，v o ，) ，( v o ，v n ) k ) ， 称w ：i tk 是以伽为顶点的一个锥 定理1 1 1 5 设加木k 是一个锥，那么甄( 叫木k ) = 0 ( i o ) 1 2 偏序集和链复形 定义1 2 1 设p 是一个非空集合，若其上定义的二元关系”满足如下三个条 件。 ( 1 ) 对任一z p ，有z z ； ( 2 ) 对z ，y ，z p ，若z y ，y z ，更lz z ； ( 3 ) 对z ，秒尸，若z 可且y z ，则z = y ； 则称” 为p 上的一个偏序关系，进而称( p ，) 为一个偏序集 若z 可且可z ，则记为z 秒当z y 或! ，z ，则称z 与可有关系 定义1 2 2 设p = z o ，z 1 ，互n ) 是一个有限偏序集，k 是一个域令s = k x oo 妇10 0k x n 是以z o ，z 1 ，z n 为基所张成的七一向量空间，则s 是七上 5 上海师范大学硕士学位论文第一章准备知识 的模，因此有模s 的外代数( s ) 设j 为所有形如幺a 巧，戤与没有关系的元素 所生成的w ( s ) 的理想，令彤( p ) = w ( s ) l j , 称之为偏序集尸的外代数 是分次七一代数，记： w ( p ) = w o ( p ) ow 1 ( 尸) o ow n + 1 ( p ) 州( 尸) = 0k ( x j 。ax j ，a 一ax j 。) t 维链 显然冲1 ( 尸) 是由所有形如x j oa x j 。a a 。的i 维链作为基生成的我们将此类基 称为外代数的标准基 满足 且 定义1 2 3 设p 和q 是两个有限的偏序集，：p q 是保序映射，则定义： ，+ ：w ( q ) 一( p ) ， ，c 犰，= 羔；，玑x i 没e 有f - 原l ( y 像i ) 5 厂( y lay 2a ay 8 ) = 广( y i ) a ，+ ( 耽) a ，( 蜘) ， 其中y lay 2a ay 8 是w ( q ) 的一条链 定义1 2 4 设p = z o ，x l ，z n ) 是一个有限偏序集，k 是一个域，则p 联系 了一个抽象单纯复形( p ) ，用g ( ( p ) ) 表示以p 的所有礼维链为基所张成的k - 向量空间因此有增广的链复形 0 一g ( ( p ) ) 旦g 一1 ( ( p ) ) 一旦g ( ( 尸) ) 三k 一0 ， 其中 ( z ) = 1 ，z t c o ( ( p ) ) 6 上海师范大学硕士学位论文第一章准备知识 从而有复形 0 一h o m ( k ，七) 二h o m ( c o ( a ( p ) ) ，七) 卫卫舶仇( g ( ( p ) ) 七) 一o 定义。 胃( p 七) ：膏( 舶仇( c ( ( p ) ) ，七) ) ， 称为p 的系数在k 中的第i 个约化上同调群，简记为胃( p ) 我们称p 是零调偏序集，如果对所有i ，万( p ) ：0 7 上海师范大学硕士学位论文第二章二重分步上同调群 第二章二重分步上同调群 由于同伦等价的偏序集的单纯上同调群是同构的因而用这种方法研究可能会丢掉 一些偏序集的组合性质本章将研究有限偏序集的二重分步上同调群，得到的结果表明 这类群的性质不仅与有限偏序集的拓扑性质有关，而且与有限偏序集的组合性质有关， 从而有可能用该类群进一步刻画有限偏序集的组合性质我们将计算零调偏序集、球型 偏序集的二重分步上同调群，分别讨论它们与普通单纯上同调群的联系 2 1 二重分步上同调群的定义及基本性质 在本节中我们将给出二重分步上同调群的定义与相关的一些基本性质，并且通过举 例证明( 2 ，n 一2 ) - 型二重分步上同调群不仅与有限偏序集的序复形的几何实现的整体 拓扑性质有关，而且与有限偏序集的组合性质有关 因为二重分步上同调群是由有限偏序集的单纯上同调群所引出的，所以在本节开头 我们将简单回顾一下单纯上同调群的定义与性质 定义2 1 1 设尸是有限偏序集，w ( p ) = 酽( 尸) ow 1 ( p ) o 是分次w ( p ) - 模，在w ( p ) 中任意取一个分次为j 的元素z 因为z z = 0 ，得到复形 三一1 ( p ) 二( 尸) j + 1 ( 科三， 定义w ( p ) 关于z 的第i 个上同调群为上述复形的第i 上同调群，记为皿( p ) 今后 令： 见( p ) = 琏( p ) o 惩( p ) o ， 则皿( 尸) 是分次( p ) 一模，我们将其称为偏序集p 关于z 的上同调群 8 性质2 1 2 1 命题2 1 】设p 是一个有限偏序集，设 0 _ m 1 一m _ m ”_ q 上海师范大学硕士学位论文第二章二重分步上同调群 是分次w ( p ) - 模短正合列则对任何z w 1 ( p ) 有长正合列 _ 吃( m ) _ 砭( m ) _ 砭( m ) 一砖1 ( m 7 ) _ 我们用纯代数的方法定义了外代数的上同调群，下面的性质表明通常的有限偏序集 的系数在一个域中的上同调群是这类上同调群的特殊情形 性质2 1 3 【1 定理2 1 】设p = x 0 ，x l ，z n ) ( n 为正整敷) ，k 是一个域，则 码( p ) 。醒( p ) 。田( p ) 竺铲( p ，七) 。斧( p 七) 。矿一1 ( 只七) ， 且v 1 t 佗，有磁( p ) 竺胃_ 1 ( p 七) ，其中d ：跏+ z 1 + + z n 接下来我们在定义2 1 1 的基础上，将给出p 的二重分步上同调群的定义，本文围 绕其展开研究和讨论 定义2 1 4 由于皿( p ) 是分次w ( p ) - 模，设! ，是( 尸) 中分次为i 的元素，因 为鲫= 0 ，得到复形 上砑1 ( 尸) 与琏( p ) 上砧1 上， 定义见( p ) 关于的第i 个上同调群为 甩玩( p ) 为分次w ( p ) - 模， 月：i 皿( p ) = k e ry y i 望；1 ( 尸) 岛愿( 尸) = 瑶皿( p ) oe 见( p ) o o 露皿( p ) ， 我们将马也( p ) e t s 0 偏r - & p 的二重分步上同调群，这里z 、秒为w ( v ) 中次数为j 的元素 下面我们首先讨论偏序集的二重分步上同调群的元素所具备的一些基本性质， 9 上海师范大学硕士学位论文第二章二重分步上同调群 注2 1 5 设u 是娥也( p ) 的任一元素，我们可以把u 表示为珏= m ，其中z w 。( p ) ，满足 ( t ) x z = o ； ( i i ) 存在2 ，w ( 尸) ，使得y z = x z 7 ； ( 洌) 若 z 】= 0 ，则存在z 、z 肼w 卜1 ( 尸) ，使得z = y z + z ，其中x z = 0 如果【z 1 】= 【z 2 】，记为；5 1 三z 2 ，今后我们始终用这一记号 性质2 1 6 设p 是有限偏序集，设只、恳为p 的任意两个互不相交的子集，满 足p = 1 1up 2 ，设d 1 d 2 分别等于只、马的所有元素之和，任取z p ，任取 z 】凰。h d ：( p ) ，则 z m 三0 证明：任给一个正整数i ，不妨设m z h ：。h d ：( p ) ，其中z = u t + z 仇一1 ，这里 u i w ( p z ) ，v i 一1 w 一1 ( 尸_ z ) 因为z z = 0 ，贝0 x z = x u i 接着由二重分步上同调群的定义，我们有 d 2 ( 札t + z 仇一1 ) = 0 ， 存在u 7 i w ( 尸 z ) ) ，u t 一1 w 仁1 ( p z ) ) 使得 d 1 ( u i + z 一1 ) = d 2 ( t + x v 一1 ) 比较等式( 2 1 2 ) 两边外代数的标准基的系数可得 d j 让 = 0 ， d ：x v t 一1 = 0 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 若z 恳，通过比较等式( 2 1 4 ) 两边外代数的标准基的系数可得z 牡i = 0 ，由等式 ( 2 1 1 ) 易知引司三0 上海师范大学硕士学位论文 第二章二重分步上同调群 若z p 1 ，不妨设西为p 1 中除x 的所有元素之和，将d l = 啦+ z 代入等式( 2 1 3 ) 可得 ( 嘶- fz ) ( u + x v i 一1 ) = d 2 ( u 7 i + x v 7 “) 通过比较两边外代数的标准基的系数可知 z 地= 一西z 仇一1 + d 2 x v 7 i 一1 因为z z 仇一l = 0 代入上式，则 z = - d 1 x v i l + d 2 x v 7 t 一1 并且由等式( 2 1 5 ) ，可知 x u i 三0 根据等式( 2 1 1 ) ，易知叫z 】三0 ，这就证明了定理 在此基础上我们引进一些概念设r 、马为有限偏序集p 的任意两个互不相交的 子集，满足p = 只up 2 ，令n = i p i ，n l = j 只l ，? 1 2 = 1 1 2 i 设d 1 、也为1 ( p ) 中两个元 素，分别等于p 1 、恳的所有元素之和，我们称h d 。h d 2 ( p ) 为尸的( n 1 ，佗2 ) 一型二重分步 上同调群如果p 的所有( n 1 ，砌) 型二重分步上同调群均有相同的舡向量空间维数， 则称p 为( n 1 ，n 2 ) 一型不变的 在文 1 】中我们知道有限偏序集p 是( 礼一1 ，1 ) 型不变的；并且如果p 是零调的， 那么p 也是( 1 ，n 一1 ) 一型不变的通过下面的两个例子我们将发现零调偏序集不一定 是( 2 ，n 一2 ) 型不变的 。 在这里需要特别指出的是：本文围绕有限偏序集的二重分步上同调群展开研究，它 的重要性可由下面的结果得到初步体现，它表明有限偏序集的二重分步上同调群不仅与 偏序集的序复形的几何实现的整体拓扑性质有关，而且与偏序集的组合性质有关 例2 1 7 设p = x l ，x 2 ，x 3 ，如，其中满足x l x 2 ，x 4 x 2 ，z 1 x 3 ，设d 为 尸中所有元素之和，如为p 中所有除z l 和z 2 外的其余元素之和可以得到 ( i ) 尸是零调的，即玩( p ) = 0 ，但是 ( i i ) 也。+ z ：魄( p ) 0 1 1 上海师范大学硕士学位论文第二章二重分步上同调群 解：根据p 的偏序集结构，我们知道1 ( p ) 的标准基为x l 、x 2 、x 3 、x 4 ，w 2 ( 尸) 的 标准基为x l x 2 、x l x 3 、x 4 x 2 ( i ) 根据p 的偏序集结构图是一条折线段，p 是零调的，从而h d ( p ) = 0 ( i i ) 假设也，+ z 2 h d 。( p ) = 0 ，易知d 2 = x 3 + x 4 ， ( z 3 + z 4 ) z l z 2 = 0 ， ( z 1 + z 2 ) z l z 2 = 0 根据注2 1 5 ，, - - f 知 x l x 2 】h ：1 + x 2 h a 2 ( p ) 于是根据假设，可知【x l x 2 = 0 根据注 2 1 5 ，存在q 、e t k ，1 i 4 ，满足： 比较等式( 2 1 6 ) 两边外代数标准基的系数可得 x l x 22c 2 x l x 2 + c 1 x 2 x 1 计算可得c 2 一v l = 1 ； 对于等式( 2 1 7 ) ，根据p 的偏序集结构，得 c l x 3 x l + c 2 x 4 x 22 0 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 计算可得c l = c 2 = 0 两个计算结果相互矛盾，于是得到 x l x 2 】0 ，假设不成立所以h z 。+ z ：h a 2 ( p ) 0 通过上例我们知道了零调偏序集( 2 ，n 一2 ) - 型二重分步上同调群可能不为零，接下 来我们对例2 1 7 的偏序集p 所联系的抽象单纯复形a ( p ) 进行一次重心重分，得到新 的抽象单纯复形和它所联系的偏序集q ，下面我们将计算它的( 2 ，佗一2 ) 一型二重分步上 同调群，以探讨该类群更进一步的性质 1 2 z 4 甜 z + 3 z + z q 4 甜 z + z=zz 0 = z q 4 甜 z + z 上海师范大学硕士学位论文第二章二重分步上同调群 例2 1 8 设q = z 1 ，x 2 ，x 3 ，x 4 ，x 5 ，x 6 ，z 7 ) ，其中满足x 4 x 5 ，x 2 x 5 ， x 2 x 6 ，z 1 x 6 ，x l z 7 ，x 3 x 7 ，设d 为q 中所有元素之和，如为q 中所有除z 1 和z 2 外的其余元素之和，可以得到 ( i ) q 是零调的，即蜴( q ) = 0 ，且 ( i i ) 1 t = 。+ z ：岛：( q ) = 0 解：根据q 的偏序集结构，我们知道1 ( q ) 的标准基为x l 、x 2 、t , 3 、x 4 、x 5 、x 6 、z 7 ， 2 ( q ) 的标准基为x 4 x 5 、x 2 x 5 、z 2 2 6 、x l x 6 、x l z 7 、x 3 x 7 ( i ) 通过q 的偏序集结构图是一条折线段，则q 是零调的，从而h d ( q ) = 0 ( i i ) 任取h z l l + x 2 h d 2 ( q ) 中的个元素【z 1 】，其中 7 名1 = 锅( q 七) 根据注2 1 5 ，得： 7 77 巧= 0 ， i = 3 t = 1 77 ( z l + z 2 ) c 而= 巧e 幽( e i 七) i = 1 j = 3 i = 1 通过计算可得在h ：1 + x 2 h d 2 ( q ) 中，z l 兰0 任取h 工2 x + x 2 h d 2 ( q ) 中的个元素k 】，其中 z 2 = x 4 x 5 + 厶z 2 2 5 + z 2 2 6 + f 4 x l x 6 + a x l x 7 + a x 3 x r 根据注2 1 5 ，得t 7 7 j = 3 ( 五七) x j ( f l x , x 5 + 厶z 2 2 5 + f 3 x 2 x 6 + z l z 6 + 1 5 x l x 7 + f s z 3 = 7 ) = 0 ， p 1 + z 2 ) ( z 4 奶+ 厶z 2 2 5 + z 2 粕+ z l z 6 + z l z 7 + ，6 2 3 2 7 ) = i = 3 吻国1 黝z 5 + 9 2 x 2 x 5 + 9 3 x 2 x 6 + 9 4 x l x 6 + 9 5 2 1 2 7 + 9 6 x a x r )( g i 七) 1 3 上海师范大学硕士学位论文 第二章二重分步上同调群 通过计算可得在h ：。+ z ：h d 2 ( q ) 中，z 2 三0 于是 h z 。+ z 。h d 2 ( q ) = 0 根据上面两个例子，我们发现( 2 ，n 一2 ) 一型二重分步上同调群既不是拓扑不变量， 甚至不是重分不变量这说明该类上同调群不仅与偏序集的拓扑性质有关，而且与偏序 集的组合性质有关这为我们将来进一步用二重分步上同调群对同伦等价的偏序集的不 同组合性质进行刻画奠定了基础 2 2 零调偏序集的二重分步上同调群 例2 1 7 证明了零调偏序集存在( 2 ，n 一2 ) 一型二重分步上同调群不为零，本节我们 将证明如下的结果， 定理2 2 1 设尸是有限偏序集，任意的z 1 、x 2 尸，d 1 为p 中所有除z 1 外的其 余元素之和，也为p 中所有除z 1 和z 2 外的其余元素之和如果满足x 1 x 2 = 0 ，那么 尸是零调的，当且仅当 也。+ z 。凰：( p ) = 0 证明：任给一个正整数i ，根据假设z 1 x 2 = 0 ，所以( p ) 中不可能出现既含有 x l 又含有z 2 的元素，于是每个w i ( 尸) 的元素w i 均可表示为w i = 牡t + z 2 仇一1 ，这里 u i w i ( p z 2 ) ) ，v i 一1ew 一1 ( p x l ，z 2 ) ) 于是假定p 是零调的，h d ( p ) = 0 设 z 是啦! + x 2 h d ：( p ) 的任意一个元素，不妨 设z = + x 2 v i 一1 ，这里让t w ( p z 2 ) ) ，v i 一1 w 扣1 ( p x l ，z 2 ) ) 则由二重分步 上同调群的定义，我们有 d 2 ( u i + x 2 v i 一1 ) = 0 ，( 2 2 1 ) 存在u ：w ( p z 2 ) ) ，一l w 卜1 【z 1 ，x 2 ) ) 使得 1 4 ( z 1 + z 2 ) ( 地+ x 2 u i 一1 ) = d 2 ( u ：+ z 2 一1 ) ( 2 2 2 ) 上海师范大学硕士学位论文第二章二重分步上同调群 比较等式( 2 2 2 ) 两边的系数易得出 x l u t = d 2 t ， x 2 u t = d 2 x 2 一1 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 对于等式( 2 2 3 ) ，等式右边含有元素z 1 ，根据d 2 的假设，u ：必然含有元素x 1 ，于是存在 8 i 一1 w 扣1 ( 尸 z 2 ) ) 使得 等式( 2 2 4 ) 通过移项可得 x l t i2d 2 x 1 8 i 一1 z 2 ( u t + d 2 一1 ) = 0 对于等式( 2 2 1 ) 可知d 2 u i = 0 ，于是 根据上面两式得到 根据等式( 2 2 5 ) 可以得到 如( u + c f 2 一1 ) = 0 d 1 ( u t + 也一1 ) = 0 z 1 ( 啦+ d 2 v i 一1 ) = d 2 2 1 8 i 一1 4 - z l d 2 一1 根据已知x 1 2 ：2 = 0 ，于是也x l = d a x l ，得到 z i ( 钍i + d 2 v ：一1 ) = d l z l s 一1 + z l d l 一1 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) 根据等式( 2 2 6 ) 和( 2 2 7 ) ，我们可知饥+ d 2 v i 一1 h z 。h d ，( p ) 又因为p 是零调 的，所以h z 。h d ，( 尸) = o 1 定理3 2 】根据注2 1 5 ，存在u 2 1 、让竺1 w 一1 ( p z 。 ) ，畦2 、畦2 w w - 2 ( p 一x l ， 一2 、一2 卜。( 尸，x 2 ) 使得 饥+ d 2 v ：一1 = x l ( t ：1 + x 2 t 2 ) + d l ( u ：1 + z 2 啦2 ) ， d t ( 牡2 1 + 2 2 畦2 ) = 0 ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 1 5 上海师范大学硕士学位论文第二章二重分步上同调群 对于等式( 2 2 8 ) 比较两边的系数可得 u t + d 2 v i 一1 = x l u i 一1 - 4 - d 2 u i ：1 i i i ， 对于等式( 2 2 9 ) 比较两边的系数可得 2 1 +”= 0 x 2 u id 2 x 2 u i 2 0 一1 + = 将等式( 2 2 i i ) 代入等式( 2 2 1 0 ) 得 牡t + d 2 一1 = z u i - 4 - d 2 一1 = d 2 u 2 1 = 0 ” i i i 1 u i 一1 - 4 - x 2 1 卫i l + d 2 x 2 v i _ 2 + d 2 u i _ 1 ， ( z 1 + x 2 ) u 2 1 + d 2 x 2 ，_ 2 + 也u ：1 结合等式( 2 2 1 2 ) ，根据注2 1 5 ，我们得到在h z 。+ z ：h a 2 ( p ) 中， 于是u i 三0 对于等式( 2 2 1 ) ，易知 不妨设五= z 1 + d 2 ，可知 u l + d 2 一1 三0 ， d 2 x 2 u i 一1 = 0 4 2 2 v i 一1 = 0 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 i i ) ( 2 2 1 2 ) 于是我们得到x 2 v i 一1 h x 2 h 4 ( p ) 根据 1 定理3 2 】，可知当p 是零调的，h z ：h 4 ( p ) = 0 根据注2 1 5 ，存在札：竺、钆：2 w t 一( p z 。) ) ，0 竺、以笔w 一2 ( 尸 z 。，z z ) ) ，使 得 z 。v i 一。= z 2 ( 牡：竺+ z 。0 竺) + 五( u 翌，+ z 。蠢2 ) ， 4 ( u 出- 4 - x l v l 4 2 2 ) = 0 对于等式( 2 2 1 3 ) 比较两边的系数可得 1 6 z 2 v i 一1 = z 2 “笠+ d u ；( 一5 ) 1 ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) 上海师范大学硕士学位论文 第二章二重分步上同调群 对于等式( 2 2 1 4 ) 比较两边的系数可得 z l u i t ( 4 ) - f d 2 x 1 蠢竺= 0 ， d 2 丝= 0 将等式( 2 2 1 6 ) 代入等式( 2 2 1 5 ) 可得 z 2 v i 一1 = ( z 1 + z 2 ) 钍：竺- 4 - d 2 x l t 竺+ 如u ：2 ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) 结合等式( 2 2 1 7 ) ，根据注2 1 5 ，可知在h z ，托：h d 2 ( p ) 中，x 2 v i 一1 兰0 于是我们得到 z 三0 ，证明了也。+ z ：h d 2 ( p ) = 0 反过来，假定h x 。+ z 。h d 2 ( p ) = 0 设 叫】是h ：。h d 。( p ) 的任意一个元素，不妨设 叫= u i + x 2 v i 一1 ，这里u i w ( 尸 z 2 ) ) ，v i 一1 w 扣1 ( p z 1 ，z 2 ) ) 因为d l = d 2 + x 2 ， w = t 正一d j 一1 + d l v i 一1 ，所以在h z ，h d 。( p ) 中【埘】= 阻t 一也仇一1 】 由w 的选取 d 1 ( 札t d 2 v i 一1 ) = 0 ， 且存在t l ：w ( p z 2 ) ) ，一1 w 一1 ( p z ，x 2 ) ) ， 根据上面两式可以得到 z 1 ( 地一d 2 仇一1 )= d 1 ( 乱：+ z 2 一1 ) d 2 ( 啦一也仇一1 ) = 0 ， x 2 ( u i 一也他一1 ) = 0 ， z l ( 让i d 2 一1 ) = d 2 所以( 蚴一d 2 地一1 ) 巩，+ z ：h d 。( p ) 因为也。托：h d 2 ( p ) = 0 ，根据注2 1 5 ，存在 牡2 1 、t 正i l l l1 w 一1 ( p z 2 ) ，- 2 、i n 一2 w 一2 ( 尸x l ，z 2 ) ) ，使得 地一c f 2 仇一l = ( z 1 + z 2 ) ( 乱2 l + z 2 矗2 ) + 如( 钍：1 + z 2 i l l2 ) ， d 2 ( u 2 l + z 2 吐2 ) = 0 ( 2 2 1 8 ) ( 2 2 1 9 ) 1 7 上海师范大学硕士学位论文 第二章二重分步上同调群 比较等式( 2 2 1 8 ) 两边系数，可得 u 一d 2 v i 一1 = x l u 2 1 + d 2 u i - 1 ， 2 1 +”= 0 x 2 u id 2 x 2 v i - 2 0 一1 + = 由等式( 2 2 1 9 ) 可得d 2 仳2 1 = 0 ，结合等式( 2 2 2 1 ) 可知 d l ( u 2 。一d 2 二。) = 0 又因为在h z ，h a